Cáuculo 3_ lista 01

Prévia do material em texto

Fundação Centro de Análise, Pesquisa e Inovação Tecnológica 
Faculdade Fucapi 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 DISCIPLINA: Cálculo III TURMA: 
TÓPICO: Equações diferenciais de primeira ordem 
TURNO: Noturno 
PROFESSOR: Alciélio Rocha PERÍODO LETIVO: 2020/01 
QUESTÕES 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 
1. 1. Encontre uma solução para as equações diferenciais de primeira ordem separáveis. 
 
(𝑎) 𝑥𝑑𝑥 +
1
𝑦
𝑑𝑦 = 0 (𝑏) 𝑑𝑥 −
1
1 + 𝑦2
𝑑𝑦 = 0 
 
(𝑐) 𝑦′ =
𝑥 + 1
𝑦
 (𝑑) 
4
𝑡
𝑑𝑡 −
𝑦 − 3
𝑦
𝑑𝑦 = 0 
 
(𝑒) 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 + 𝑦𝑑𝑦 = 0 
 
(𝑓) Resolva o problema de valor inicial 
𝑥𝑒𝑥²𝑑𝑥 + (𝑦5 − 1)𝑑𝑦 = 0 ; 𝑦(0) = 0. 
(𝑔) Resolva o problema de valor inicial 
𝑦′ =
𝑥2𝑦 − 𝑦
𝑦 + 1
 ; 𝑦(3) = 1 
2. 2. Encontre uma solução para as equações diferenciais de primeira ordem homogêneas. 
(𝑎) 𝑦′ =
2𝑦 + 𝑥
𝑥
 (𝑏)𝑦′ =
2𝑥 + 𝑦²
𝑥𝑦
 
 
(𝑐) 𝑦′ =
𝑥² + 2𝑦²
𝑥𝑦
 (𝑑) 𝑦′ =
2𝑥𝑦
𝑦2 − 𝑥²
 
 
3. 3. Encontre uma solução para as equações diferenciais de primeira ordem exatas. 
(𝑎) 𝑦′ =
2 + 𝑦𝑒𝑥𝑦
2𝑦 − 𝑥𝑒𝑥𝑦
 
 
(𝑏) (1 + 𝑒𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑒𝑥𝑦 = 0 
 
(𝑐) Resolva o problema de valor inicial 𝑦(0) = −1 
𝑒𝑥
3
(3𝑥2𝑦 − 𝑥2)𝑑𝑡 + 𝑒𝑥
3
𝑑𝑦 = 0 
 
(𝑑) Resolva o problema de valor inicial 𝑦(1) = −2 
 
 
Fundação Centro de Análise, Pesquisa e Inovação Tecnológica 
Faculdade Fucapi 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 2𝑦𝑒2𝑥𝑑𝑥 + (1 + 𝑒2𝑥)𝑑𝑦 = 0 
 
4. 4. Dadas as equações diferenciais, encontre um fator integrante, as transforme em exatas e, em 
seguida, resolva-as. 
(𝑎) 𝑦′ = −(3𝑥2𝑦 − 𝑥2) 
(𝑏) 2𝑥𝑦𝑑𝑥 + 𝑦²𝑑𝑦 = 0 
(𝑐) 6𝑥𝑦𝑑𝑥 + (4𝑦 + 9𝑥2)𝑑𝑦 = 0 
(𝑑) 3𝑥²𝑦²𝑑𝑥 + (2𝑥3𝑦 + 𝑥3𝑦4)𝑑𝑦 = 0 
 
5. 5. Resolva as equações diferenciais lineares de primeira ordem 
(𝑎) 𝑦′ + 3𝑥2𝑦 = 0 (𝑏) 𝑦′ +
1
𝑥
𝑦 = 0 
(𝑐) 𝑦′ −
2
𝑥2
𝑦 = 0 (𝑑) 𝑦′ − 7𝑦 = 𝑒𝑥 
 
(𝑏) 𝑦′ − 7𝑦 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥 
 
(𝑓)
𝑑𝑁
𝑑𝑡
= 𝑘𝑁 , 𝑘 = constante 
 
(𝑔)
𝑑𝑃
𝑑𝑧
+
2
𝑧
𝑃 = 4 
 
(ℎ)
𝑑𝑁
𝑑𝑡
+
1
𝑡
𝑁 = 𝑡 , 𝑁(2) = 8 
 
6. 6. Resolva as equações de Bernoulli 
 (𝑎) 𝑦′ + 𝑦 = 𝑦2 (𝑏) 𝑦′ + 𝑦 = 𝑦²𝑒 𝑥 
 
 (𝑐) 𝑥𝑦′ + 𝑦 = 𝑥𝑦3 (𝑑) 𝑦′ + 𝑦 = 𝑦−2 
 
 
 
APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM 
 
Crescimento populacional 
 
7. Uma substância cresce a uma taxa proporcional ao seu volume inicial. Se a quantidade 
original duplica em um dia, qual será a quantidade existente em 5 dias? Dica: tome 𝑁0 
 
 
Fundação Centro de Análise, Pesquisa e Inovação Tecnológica 
Faculdade Fucapi 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 como a quantidade inicial. 
 
8. A população de uma cidade cresce a uma taxa proporcional à população em qualquer 
instante. Sua população inicial de10000 habitantes aumenta 10% em 20 anos. Qual será a 
população em 15 anos? 
 
9. Em uma cultura de bactérias, há inicialmente 𝑁0 bactérias. Duas horas depois o número 
passa a ser (2/3)𝑁0. Considerando que a taxa de crescimento seja proporcional ao número 
inicialmente presente, determine o tempo necessário para que o número de bactérias seja 
triplicado. 
 
10. Em uma cultura de bactérias, o crescimento populacional é proporcional a quantidade 
presente. Inicialmente há trezentas fileiras de bactérias, e após duas horas, a população 
aumentou em 15%. 
(𝑎) Determine uma equação para o número aproximado de fileiras de bactérias no instante 𝑡. 
(𝑏) O tempo necessário para que ocorra a duplicação do número inicialmente presente. 
 
11. Certo material radioativo decai a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se 
inicialmente, há 150 miligramas do material e se, após dois anos, 6% do material decaíram, 
determine a expressão da massa no instante arbitrário 𝑡 e o tempo necessário para a perca 
de 15% do material. 
 
12. A população de certo país cresce a uma taxa proporcional ao número de habitantes. Sete 
anos atrás a população era de 70 milhões e atualmente é de 80 milhões. Supondo que essa 
tendência se mantenha, determine: 
(𝑎) Uma equação que represente o número de habitantes no instante 𝑡. 
(𝑏) O número de habitantes no final dos próximos cinco anos. 
 
13. Quando um raio de luz passa através de uma substância transparente, a taxa na qual sua 
intensidade 𝐼 decresce é proporcional a 𝐼(𝑠), em que 𝑠 representa a espessura do meio (em 
metros). No mar, a intensidade a 5 metros abaixo da superfície é 20% da intensidade inicial 
𝐼0 do raio incidente na superfície. Qual é a intensidade do raio a 15 metros abaixo da 
superfície? 
 
14. Em uma população de 1000 camundongos, 10 foram intencionalmente infectados com uma 
doença contagiosa a fim de se comprovar uma teoria de disseminação de uma epidemia, 
segundo a qual a taxa de variação da população infectada é proporcional ao produto do 
número de infectados pelo número de não infectados. Sabendo que após 5 horas, 25 
camundongos haviam sido infectados, qual o tempo necessário para que 50% da população 
tenha sido contaminada pela doença? 
 
 
Fundação Centro de Análise, Pesquisa e Inovação Tecnológica 
Faculdade Fucapi 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
Ciências Econômicas 
15. Em capitalização contínua, o valor aplicado 𝑁 aumenta a uma taxa proporcional a 
quantidade presente. Isto é 
𝑑𝑁
𝑑𝑡
= 𝑘𝑁 
 em que 𝑘 é a taxa anual de juros. 
(𝑎) Determine o montante acumulado ao longo de sete anos, considerando uma aplicação de 
 𝑅$ 9.000,00 a uma taxa de 2,5% em capitalização contínua. 
(𝑏) Em quanto tempo o valor inicial aplicado quadruplicará? 
 
16. Um investidor aplica R$6.000,00 numa conta em favor de um dos filhos. Admitindo que 
não haja depósitos nem retiradas, de quanto a criança disporá ao atingir a idade de 21 anos, 
se o banco aplica juros de 5,5% ao ano compostos continuamente durante todo o período? 
 
17. Determine a taxa de juros necessária para quadruplicar um investimento em 5 anos sob 
capitalização contínua. 
 
Mudança de temperatura 
18. Um empadão quente, que foi cozido a uma temperatura constante de 250ºC, é tirado 
diretamente de um forno e colocado ao ar livre, na sombra, para resfriar, em um dia em que 
a temperatura ambiente é de 10ºC. Após 5 minutos na sombra, a temperatura do empadão 
está reduzida a 175ºC. Determine a temperatura do empadão após 20 minutos e o tempo 
necessário para que a temperatura do empadão seja de 200ºC. 
 
19. Um corpo à temperatura de 50°𝐶 é colocado em um forno cuja temperatura é mantida em 
150°𝐶. Se, após 10 minutos, a temperatura do corpo é de 75°𝐶, determine o tempo 
necessário para que o corpo atinja a temperatura de 100°𝐶. 
 
20. Um corpo com temperatura desconhecida é colocado em refrigerador com uma temperatura 
constante de 0°𝐶. Se, após 20 minutos, a temperatura do corpo é de 40°𝐶, e após 40 
minutos é de 20°𝐶, determine a temperatura inicial do corpo. 
 
21. Prepara-se chá em uma taça pré-aquecida com água quente de modo que a temperatura 
tanto da taça quanto do chá seja inicialmente de 190°𝐶. Deixa-se então a taça resfriar em 
um ambiente mantido à temperatura constante de 72º𝐶. Dois minutos mais tarde, a 
temperatura do chá é de 150°𝐶. Determine a temperatura do chá após 5 minutos e o tempo 
necessário para que o chá atinja 100°𝐶. 
 
Mistura 
 
 
Fundação Centro de Análise, Pesquisa e Inovação Tecnológica 
Faculdade Fucapi 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 22. Um tanque contém 40 litros de uma substância química obtida pela dissolução, em água 
pura, de 120 gramasde uma substância solúvel. Um fluido, contendo 2 gramas desta 
substância por litro, entra no tanque à razão de 3 litros por minuto, e a mistura 
homogeneizada sai do tanque à mesma taxa. Determine a quantidade da substância no 
tanque após 20 minutos. 
 
23. Um tanque contém 1000 litros de água pura. Uma solução salina contendo 4 𝑔 de sal por 
litro é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 10 litros por minuto. A mistura é 
drenada a mesma taxa. Encontre a quantidade 𝑄 em gramas de sal no tanque no instante 𝑡. 
 
24. Se no problema anterior a solução for drenada a uma taxa de 15 litros por minuto, quando o 
tanque estará vazio? 
 
25. Um tanque contém 100 litros de um fluido no qual são dissolvidos 15𝑔 de sal. Uma solução 
salina contendo 2𝑔 de sal por litro é então bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 
2 litros por minuto; a mistura é drenada a uma taxa de 1 litro por minuto. Encontre a 
quantidade de gramas de sal 𝑄(𝑡) no tanque em qualquer instante. 
 
26. Uma bebida contendo 6% de álcool por litro é bombeada em um tonel que inicialmente 
contém 400 litros de uma bebida com 3% de álcool. A taxa de bombeamento é de 3 litros 
por minuto, enquanto o liquido misturado é drenado a uma taxa de 4 litros por minuto. 
Encontre quantos litros de álcool haverá no tanque no instante t. Qual é a porcentagem de 
álcool após 60 minutos? Quando o tanque estará vazio? 
 
Outras aplicações 
27. A taxa na qual uma droga é disseminada na corrente sanguínea é dada pela equação 
diferencial 
𝑑𝑁
𝑑𝑡
= 𝐴 − 𝐵𝑁 
em que 𝐴 𝑒 𝐵 são constantes positivas. A função 𝑁(𝑡) descreve a concentração de droga na 
corrente sanguínea em relação ao tempo 𝑡. 
(𝑎) Encontre o valor de 𝑁 quando 𝑡 → ∞. 
(𝑏) Quando a concentração atinge metade desse valor limite? Suponha que 𝑁(0) = 0.