Exercícios- Problemas de EDO de 1° ordem

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Matemática
Departamento de Métodos Matemáticos
Lista 1 de Cálculo II - BCMT
1. Mostre que y = x − x−1 é uma solução da equação diferencial ordinária (edo)
xy′ + y = 2x.
2. (a) Para quais valores não nulos de k a função y = sen kt satisfaz a equação
diferencial y′′+9y = 0? (b) Para aqueles valores de k obtidos em (a), verifique que
todo membro da famı́lia de funções y = A sen kt + B cos kt é também uma solução.
3. (a) O que você pode dizer da solução da edo y′ = −y2 apenas olhando a edo?
(b) Verifique que todos os membros da famı́lia y = 1
x+C
são soluções da edo em (a).
(c) Você pode pensar em uma solução da edo em (a) que não seja membro da
famı́lia de funções em (b)?
(d) Encontre uma solução para o problema de valor inicial(pvi) formado pela edo
em (a) e pela condição inicial y(0) = 0, 5.
4. Uma população é modelada pela edo dP
dt
= 1, 2 P (1− P
4200
). Sem resolver a equação
determine:
(a) Para quais valores de P a população está aumentando?
(b) Para quais valores de P a população está diminuindo?
(c) Quais são as soluções de equiĺıbrio(aquelas em que P permanece constante)?
5. Resolva as edo:
(a) dy
dx
= y
x
, (b) dy
dx
= e
2x
4y3
, (c) (x2 + 1)y′ = xy, (d) y′ = y2 sen x
(e) (1 + tg y)y′ = x2 + 1, (f) du
dr
= 1+
√
r
1+
√
u
, (g) dy
dt
= te
t
y
√
1+y2
.
6. Ache a solução da edo que satisfaça a condição inicial dada (ou seja a solução do
pvi):
(a) dy
dx
= y cos x
1+y2
, y(0) = 1, (b) x cos x = (2y + e3y)y′, y(0) = 0. (c) xy′ + y = y2,
y(1) = −1.
7. Determine uma equação da curva que passa pelo ponto (1, 1) e cuja inclinação em
(x, y) é y
2
x3
.
8. Experiências qúımicas mostram que a reação H2+Br2 → 2HBr pode ser modelada
pela edo dx
dt
= k(a− x)(b− x)1/2, onde x = HBr e a e b são concentrações iniciais
de hidrogênio (H) e bromo (Br).
(a) Determine x como função de t no caso onde a = b. Use o fato de que x(0) = 0.
(b) Se a > b, determine t como função de x.
Sugestão: ao efetuar a integração, substitua u =
√
b− x.
9. Uma esfera com raio de 1 metro está a uma temperatura de 15oC. Ela está dentro
de uma esfera concêntrica, com raio de 2 metros e temperatura de 25oC. A tem-
peratura T (r) a uma distância r do centro comum das duas esferas satisfaz a edo
d2T
dr2
+ 2
r
dT
dr
= 0. Se fixarmos S = dT
dr
, então S satisfaz uma edo de primeira ordem.
Encontre uma expressão para a temperatura T (r) entre as duas esferas.
10. Uma solução de glicose é administrada por via intravenosa na corrente sangúınea
a uma taxa constante r. À medida que a glicose é adicionada, ela é convertida em
outras substâncias e removida da corrente sangúınea a uma taxa que é proporcional
à cncentração naquele instante. Então, um modelo para a concentração C = C(t)
da solução de glicose na corrente sangúınea é dC
dt
= r−kC, onde k é uma constante
positiva.
(a) Suponha que a concentração no tempo t = 0 é C0. Determine a concentração
em um tempo qualquer t, resolvendo o pvi.
(b) Assumindo que C0 < r/k, calcule limt→∞ C(t) e interprete o resultado.
11. Um tanque contém 1000 litros de água salgada com 15 kg de sal dissolvido. A água
pura entra no tanque a uma taxa de 10L/min. A solução é mantida bem misturada
e sai do tanque na mesma taxa. Quanto sal permanece no tanque (a) depois de t
minutos e (b) depois de 20 minutos?
12. Um tanque contém 1000 litros de água pura. Água salgada com 0, 05 kg de sal por
litro de água entra no tanque a uma taxa de 5 L/min. Água salgada com 0, 04 kg
de sal por litro de água entra no tanque a uma taxa de 10 L/min. A solução é
mantida bem misturada e sai do tanque a uma taxa de 15 L/min. Quanto sal está
no tanque (a) depois de t minutos e (b) depois de 1 hora?
13. Um objeto de massa m está se movendo horizontalmente através de um meio que
resiste ao movimento (viscoso) com uma força que é uma função da velocidade, isto
é md
2s
dt2
= mdv
dt
= f(v), onde v(t) é a velocidade e s(t) é a posição do objeto no
instante t. Por exemplo, pense num barco movendo-se na superf́ıcie de um lago.
Sejam v(0) = v0 e s(0) = s0.
(a) Suponha que a força de resistência seja proporcional à velocidade, isto é, f(v) =
−kv, k > 0 (este modelo é apropriado para valores pequenos de v). Determine v e
s em um instante t. Qual a distância total que o objeto percorre a partir do tempo
t = 0?
(b) Suponha agora que a força de resistência seja proporcional ao quadrado da
velocidade, isto é, f(v) = −kv2, k > 0. Determine v e s em um instante t. Qual a
distância total que o objeto percorre a partir do tempo t = 0?
14. Uma população de protozoários se desenvolve com uma taxa de crescimento relativo
constante de 0, 7944 por membro por dia (isto é, a taxa de crescimento da população
é proporcional à população existente, com constante de proporcionalidade igual a
0, 7944) . No dia zero, a população consiste em dois membros. Calcule o tamanho
da população depois de 6 dias.
15. Uma cultura de bactérias começa com 500 bactérias e cresce a uma taxa propor-
cional ao seu tamanho. Depois de 3 horas existem 8000 bactérias.
(a) Encontre uma expressão para o número de bactérias depois de t horas.
(b) Calcule o número de bactérias depois de 4horas.
(c) Estipule a taxa de crescimento depois de 4 horas.
(d) Quando esta população alcançará 30000?
16. Uma cultura de bactérias cresce com uma taxa de crescimento relativo constante.
A contagem era 600 depois de duas horas e 75000 depois de oito horas.
(a) Qual a população inicial da cultura?
(b) Encontre uma expressão para a população depois de t horas.
(c) Ache o número de células após 5 horas.
(d) Encontre a taxa de crescimento após 5 horas.
(e) Quando a população será de 200000?
17. Experimentos mostram que, se a reação qúımica N2O5 → 2NO2+ 12O2 for realizada
a 45oC, a taxa de reação do pentóxido de nitrogênio é proporcional à sua concen-
tração, isto é, d[N2O5]
dt
= −0, 0005[N2O5].
(a) Encontre uma expressão para a concentração de [N2O5] depois de t segundos se
a concentração inicial for C.
(b) Quanto tempo de reação levará para reduzir a concentração de N2O5 para 90
por cento de seu valor original?
18. A meia vida do Césio-137 é de 30 anos (isto é, a perda de massa de substância
radioativa à metade do valor anterior leva 30 anos para ocorrer). Suponha que
tenhamos uma amostra de 100mg.
(a) Ache a massa que restará após t anos.
(b) Quanta massa a amostra terá após 100 anos?
(c) Depois de quanto tempo teremos apenas 1 mg da amostra?
19. Os cientistas podem determinar a idade de um objeto antigo por um método
chamado datação de carbono-14. O bombardeamento da atmosfera superior por
raios cósmicos converte o nitrogênio em um isótopo radioativo de carbono, 14C,
com uma meia-vida de cerca de 5730 anos. A vegetação absorve o dióxido de
carbono pela atmosfera e os animais assimilam através das cadeias alimentares.
Quando uma planta ou animal morre, ele pára de repor seu carbono, e a quanti-
dade do isótopo C-14 diminui através do decaimento radioativo. Portanto o ńıvel
de radioatividade também deve decair exponencialmente. Um pedaço de tecido foi
descoberto tendo cerca de 74 por cento de C-14 radioativo em relação às plantas
terrestres nos dias de hoje. Estime a idade do pedaço de tecido.
20. Um peru assado é retirado do forno quando sua temperatura alcança 185oF e é
colocado em uma mesa onde a temperatura é de 75oF .
(a) Se a temperatura do peru for de 150oF depois de meia hora, qual será a tem-
peratura dele depois de 45 minutos?
(b) Quando terá o peru resfriado a uma temperatura de 100oF?
21. Quando uma bebida gelada é retirada de um refrigerador, sua temperatura é de
5 graus Celsius. Depois de 25 minutos em um ambiente a 20 graus Celsius, sua
temperatura aumenta para 10 graus Celsius.
(a) Qual a temperatura da bebida após 50 minutos? (b) Quando sua temperaturaserá de 15 graus Celsius?
22. Considere uma população P = P (t) com taxas de natalidade e mortalidade relati-
vas constantes positivas α e β, respectivamente, e uma taxa de migração constante
positiva m. Assuma que α > β. Então a taxa de variação da população em um
tempo t é igual à diferença entre as duas quantidades seguintes: a primeira quan-
tidade é igual à taxa de natalidade multiplicada pela população existente menos
a taxa de mortalidade também multiplicada pela população existente; a segunda
quantidade é a taxa de migração.
(a) Encontre a solução da edo que satisfaz a condição inicial P (0) = P0
(b) Qual condição sobre m levará a uma expansão exponencial da população?
(c) Qual condição sobre m levará a uma população constante? E ao decĺınio da
população?
(d) Em 1847, a população da Irlanda era de cerca de 8 milhões e diferença entre
as taxas relativas de natalidade e mortalidade era 1,6 por cento da população. Por
causa da fome da batata nas décadas de 1840 e 1850, cerca de 210000 habitantes
por ano emigraram da Irlanda. A população estava crescendo ou diminuindo nesta
época?
23. Resolva as edo abaixo:
(a) y′ + 2y = 2ex, (b) y′ = x + 5y, (c) xy′ − 2y = x2, (d) x2y′ + 2xy = cos2 x,
(e) xy′ + y =
√
x, (f) 1 + xy = xy′.
24. Resolva os pvi abaixo:
(a) y′ = x + y, y(0) = 2; (b) dv
dt
− 2tv = 3t2et2 , v(0) = 5, (c) xy′ = y + x2 sen x,
y(π) = 0.
25. Uma edo de Bernoulli (James Bernoulli- 1654 a 1705) é da forma dy
dx
+ P (x)y =
Q(x)yn. Observe que se n = 0 ou n = 1, a edo é linear.
(a) Para outros valores de n, mostre que a substituição u = y1−n transforma a edo
de Bernoulli na equação linear du
dx
+ (1− n)P (x)u = (1− n)Q(x).
(b) Use o método do item (a) para resolver a edo y′ + 2
x
y = y
3
x2
.
26. Seja P (t) o ńıvel de desempenho de alguém aprendendo uma habilidade como
uma função do tempo de treinamento t. O gráfico de P é chamado curva de
aprendizagem. Um modelo razoável para a aprendizagem é dado pela edo linear
dP
dt
= k(M − P (t)), onde k é uma constante de proporcionalidade positiva e M ,
também constante positiva, é o ńıvel máximo de aprendizagem da pessoa. Resolva
a edo.
27. Um tanque contém 100 litros de água. Uma solução com uma concentração de sal
de 0,4 kg/L é adicionada a uma taxa de 5L/min. A solução é mantida misturada
e é retirada do tanque a uma taxa de 3L/min. Se y(t) for a quantidade de sal, em
kg, depois de t minutos, mostre que y satisfaz a edo dy
dt
= 2 − 3y
100+2t
, resolva esta
edo e calcule a concentração depois de 20 minutos.