Prova1 - Professor Ivan - Cálculo3

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UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLO´GICA DE PARANA´
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
1ra PROVA
Prof. Dr. Iva´n Gonza´les
23 de setembro de 2014
ALUNO :
OBS:Escolher uma u´nica pergunta entre (4) e
(5). Escolher uma u´nica pergunta entre (6) e (7).
A pergunta (8) e´ opcional.
PERGUNTAS:
1.) [2 ptos] Mostre que um campo de forc¸a cons-
tante realiza um trabalho nulo sobre uma
part´ıcula que da´ uma u´nica volta completa uni-
formemente na circunfereˆncia x2 + y2 = 1 no
sentido anti-hora´rio.
2.) [2 ptos] Considere o campo vetorial F (x, y) =
x3+2
x−1 ~i+
y
(y−2)3~j e sejam γ1, γ2, γ3 e γ4 os cami-
nhos exibidos na figura ao lado. Sabendo que∮
γ3+γ4
F · d~r = 10, calcule ∮
γ1+γ2
F · d~r.
3.) [2 ptos] A forc¸a gravitacional F atuando numa
part´ıcula de massa m, pro´xima da superf´ıcie
da terra, e´ dada por F (~x) = −mg~x. Mos-
tre que o trabalho W realizado pela forc¸a F
sobre a part´ıcula, quando e´sta se move verti-
calmente de uma altura H a uma altura h, e´
W = mg(H − h).
4.) [2 ptos] Calcule a integral∫
C
−y
x2 + y2
dx+
x
x2 + y2
dy,
quando:
a. C e´ o c´ırculo x2 + y2 = 1.
b. C e´ a elipse x2 + y
2
4 = 1.
5.) [2 ptos]Considere o campo definido em R2 −
{(0, 0)} por
F (x, y) = (
y
x2 + 4y2
,− x
x2 + 4y2
).
Calcule a integral de linha de F ao longo da
circunfereˆncia de raio 1 centrada na origem e
percorrida no sentido anti-hora´rio. [Sug: Voceˆ
pode mudar a ciircunfereˆncia para integral em
uma elipse?. Isto ajudar´ıa a calcular a integral
em sentido direto, por que´?.]
6.) [2 ptos] a) Se C e´ o segmento de reta ligando o
ponto (x1, y1) ao ponto (x2, y2), mostre que∫
C
xdy − ydx = x1y2 − x2y1.
b) Se os ve´rtices de um pol´ıgono na ordem an-
tihora´ria sa˜o (x1, y1), (x2, y2), · · · (xn, yn), mos-
tre que a a´rea do pol´ıgono e´ 12 [(x1y2 − x2y1) +
(x2y3−x3y2)+· · ·+(xn−1yn−xnyn−1)+(xny1−
x1yn)]. c) Determine o a´rea do penta´gono com
ve´rtices (0, 0), (2, 1), (1, 3), (0, 2) e (−1, 1).
7.) [2 ptos] Calcule I =
∫
C
(ex
3
+y2)dx+(x+y5)dy
onde C e´ a curva que vai do ponto (1, 1) ao
ponto (1, 0) a trave´s das retas y = x e y = 0.
8.) [1 pto] Calcule
∮
f(x)dx + g(y)dy sobre qual-
quer curva C, onde f e g sa˜o func¸o˜es dife-
rencia´veis.
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