Parametrização de curvas, campos vetoriais e integral de linha

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CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TECNOLOGIA 
MAT0361 – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 
PERÍODO 2017-2 – PROFA. ADRIANA MIORELLI ADAMI 
 
Este texto é um material complementar para a última etapa da disciplina. Vários tópicos neste texto 
precisam ser estudados com a consulta ao livro-texto: 
 
A noção de curvas parametrizadas bem como a noção de campo vetorial é necessária para um novo 
tipo de integral a ser estudado: a integral de linha de campos vetoriais. Começaremos então pelo conceito de 
parametrização de curvas. 
 
 
1. PARAMETRIZAÇÃO DE CURVAS NO PLANO E NO ESPAÇO 
 
Até agora descrevemos as curvas planas dando y como uma função de x ou fornecendo uma relação 
entre x e y que define y implicitamente como uma função de x. Veremos agora uma forma diferente de descrever 
curvas no plano e no espaço tridimensional. Muitas vezes, uma curva pode representar o movimento de uma 
partícula no plano ou no espaço. Nesse caso, é necessário representar as coordenadas da curva em função 
de um parâmetro. Considere, por exemplo, a equação que descreve a trajetória de uma bola de basquete desde 
seu arremesso até a cesta, conforme Figura 1. É possível mostrar que a trajetória da bola pode ser descrita 
pelas seguintes equações paramétricas: 
�
𝑥𝑥 = 𝑥𝑥0 + 𝑣𝑣𝑥𝑥𝑡𝑡
𝑦𝑦 = 𝑦𝑦0 + 𝑣𝑣𝑦𝑦𝑡𝑡 −
𝑔𝑔𝑡𝑡2
2
 
onde (𝑥𝑥0,𝑦𝑦0) são as coordenadas do ponto onde a bola é arremessada, vx e vy são as componentes da 
velocidade inicial na direção horizontal e vertical, respectivamente, g é a aceleração da gravidade, e t é o tempo 
transcorrido a partir do momento do arremesso 1 . Essa representação é chamada de representação 
paramétrica da curva, que também pode ser chamada de caminho. Quando t varia, o ponto (x, y) = (x(t), y(t)) 
(ou o ponto (x, y, z) = (x(t), y(t), z(t)) no espaço) varia, e traça a curva C que chamamos curva parametrizada. 
 
1 Para mais detalhes sobre a dedução das equações paramétricas, consultar o livro Aprendendo Cálculo de Várias 
Variáveis, de Waldecir Bianchini, UFRJ, 2014. 
Parametrização de 
curvas
Campos Vetoriais -
seção 15.1
Integral de Linha -
seções 15.2 e 15.3
Parametrização 
de curvas
2 
 
A variável t é denominada parâmetro, e não representa o tempo necessariamente (poderíamos usar outra letra 
para o parâmetro). Porém, em muitas aplicações das curvas parametrizadas, t denota o tempo. A maneira como 
t varia indica o sentido do percurso da curva. 
 
Figura 1: Trajetória de uma bola de basquete. (Ref.: Aprendendo Cálculo de Várias Variáveis, de Waldecir 
Bianchini, UFRJ, 2014.) 
De forma geral: 
 Uma curva no plano com equações paramétricas 
 �
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝑓𝑓(𝑡𝑡)
𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑔𝑔(𝑡𝑡)
𝑎𝑎 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝑏𝑏
 tem ponto inicial (f(a), g(a)) e ponto final (f(b), g(b)). 
 Uma curva no espaço tridimensional com equações paramétricas 
�
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝑓𝑓(𝑡𝑡)
𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑔𝑔(𝑡𝑡)
𝑧𝑧(𝑡𝑡) = ℎ(𝑡𝑡)
𝑎𝑎 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝑏𝑏
 tem ponto inicial (f(a), g(a), h(a)) e ponto final (f(b), g(b), h(b)). 
 
Exemplo 1.1 Desenhe as curvas dadas pelas parametrizações. A maneira como t varia indica o sentido do 
percurso da curva. Desenhe “flechas” na curva para indicar o sentido no qual o caminho é percorrido: 
(a) C1 = {(1 + t, -t + 1); -1 ≤ t ≤ 1} 
(b) C2 = {(cos(t),–sen(t)); 0 ≤ t ≤ π} 
(c) C3 = {(t2, t + 1); -1 ≤ t ≤ 2} 
(d) C4 = {(3cos(t), 2sen(t)); 0 ≤ t ≤ 2 π} 
C1 é o trecho do gráfico x = -y + 2, de (0, 2) até (2, 0). C2 é o trecho do gráfico de uma circunferência centrada 
na origem e de raio 1, de (1, 0) até (-1,0). C3 é o trecho do gráfico da função x = (y – 1)2 de (1, 0) a (4, 3). C4 
é uma elipse com semieixos menor e maior medindo 3 e 2 unidades, respectivamente, orientada no sentido 
anti-horário. 
 
3 
 
Exemplo 1.2 A cicloide (no plano) e as hélices (no espaço tridimensional) são exemplos interessantes de curvas 
parametrizadas. 
 
2. REGRAS DE PARAMETRIZAÇÃO 
 
A parametrização de uma curva não é única, ou seja, existem várias conjuntos de equações que podem 
representar uma curva parametrizada. Nesta seção veremos regras de parametrização úteis no processo de 
parametrização de algumas curvas no plano e no espaço. As regras que utilizaremos facilitam a definição 
de algumas parametrizações simples, e estão listadas na tabela 1. 
Exemplo 2.1 Escreva as equações paramétricas do caminho C representado na figura a seguir, o qual consiste 
de um arco de circunferência e de dois segmentos de reta no espaço tridimensional: 
 
Figura 2: Caminho C do Exemplo 2.2. 
 
Exemplo 2.2 Escreva um conjunto de equações paramétricas para o caminho fechado (caminho em que os 
pontos inicial e final coincidem) que é a fronteira da região no plano limitada pelos gráficos de y = x e 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥, 
percorrido no sentido anti-horário: 
 
4 
 
Segmento de Reta 𝑨𝑨𝑨𝑨 no 
Plano 
Segmento de Reta 𝑨𝑨𝑨𝑨 
no Espaço 
Circunferências Elipses Caso Geral 
�
𝐱𝐱 = 𝐱𝐱𝐨𝐨 + (𝐱𝐱𝟏𝟏 − 𝐱𝐱𝟎𝟎)𝐭𝐭
𝐲𝐲 = 𝐲𝐲𝐨𝐨 + (𝐲𝐲𝟏𝟏 − 𝐲𝐲𝟎𝟎)𝐭𝐭
𝟎𝟎 ≤ 𝐭𝐭 ≤ 𝟏𝟏
 
onde 
A(x₀,y₀) e B(x₁,y₁) são dois pontos 
de uma reta cujo vetor direção 
é dado por 
 𝑨𝑨𝑨𝑨 �������⃗ = 𝑨𝑨 − 𝑨𝑨 
 = < 𝐱𝐱𝟏𝟏 − 𝐱𝐱𝟎𝟎, 𝐲𝐲𝟏𝟏 − 𝐲𝐲𝟎𝟎 > 
�
𝐱𝐱 = 𝐱𝐱𝐨𝐨 + (𝐱𝐱𝟏𝟏 − 𝐱𝐱𝟎𝟎)𝐭𝐭
𝐲𝐲 = 𝐲𝐲𝐨𝐨 + (𝐲𝐲𝟏𝟏 − 𝐲𝐲𝟎𝟎 )𝐭𝐭
𝐳𝐳 = 𝐳𝐳𝐨𝐨 + ( 𝐳𝐳𝟏𝟏 − 𝐳𝐳𝟎𝟎)𝐭𝐭
𝟎𝟎 ≤ 𝒕𝒕 ≤ 𝟏𝟏
 
onde 
A(x₀,y₀,z₀) e B(x₁,y₁,z₁) são dois 
pontos de uma reta cujo vetor 
direção é dado por 
 𝐴𝐴𝐴𝐴 ������⃗ = 𝐴𝐴 − 𝐴𝐴 
 =< x1 − x0, y1 − y0 , z1 − z0 >. 
 
�
𝐱𝐱 = 𝐱𝐱𝐨𝐨 + 𝐫𝐫 𝐜𝐜𝐨𝐨𝐜𝐜(𝐭𝐭)
𝐲𝐲 = 𝐲𝐲𝐨𝐨 + 𝐫𝐫 𝐜𝐜𝐬𝐬𝐬𝐬(𝐭𝐭)
𝟎𝟎 ≤ 𝐭𝐭 ≤ 𝟐𝟐𝟐𝟐
 
onde 
r é o raio e (x₀,y₀) são as 
coordenadas do centro 
de uma circunferência 
orientada no sentido 
anti-horário. 
 
 
�
𝐱𝐱 = 𝐱𝐱𝐨𝐨 + 𝐚𝐚 𝐜𝐜𝐨𝐨𝐜𝐜(𝐭𝐭)
𝐲𝐲 = 𝐲𝐲𝐨𝐨 + 𝐛𝐛 𝐜𝐜𝐬𝐬𝐬𝐬(𝐭𝐭)
𝟎𝟎 ≤ 𝐭𝐭 ≤ 𝟐𝟐𝟐𝟐
 
onde 
(x₀,y₀) são as 
coordenadas do 
centro de uma elipse 
orientada no sentido 
anti-horário com 
semieixos maior e 
menor medindo a e b 
unidades sobre os 
eixos x e y, 
respectivamente. 
Uma vez conhecida a lei ou 
função que relaciona as 
variáveis x e y, é possível 
parametrizar uma curva 
no plano fazendo: 
�
𝐱𝐱 = 𝐭𝐭
𝐲𝐲 = 𝐟𝐟(𝐭𝐭)
𝐭𝐭 ∈ ℝ
 
ou 
�
𝐲𝐲 = 𝐭𝐭
𝐱𝐱 = 𝐠𝐠(𝐭𝐭)
𝐭𝐭 ∈ ℝ
 
 
Ao ajustar o intervalo de 
variação do parâmetro t 
de acordo com a 
variação de x (ou de y no 
segundo caso), é 
possível parametrizar 
uma parte da curva. 
Importante: 
O conjunto de equações 
paramétricas 
�
𝐱𝐱 = 𝐭𝐭
𝐲𝐲 = 𝐦𝐦𝐭𝐭 + 𝐛𝐛
𝐭𝐭 ∈ ℝ
. 
parametriza a reta no plano que 
passa pelos pontos A e B. 
Importante: 
O conjunto de equações 
paramétricas 
�
𝐱𝐱 = 𝐱𝐱𝐨𝐨 + (𝐱𝐱𝟏𝟏 − 𝐱𝐱𝟎𝟎)𝐭𝐭
𝐲𝐲 = 𝐲𝐲𝐨𝐨 + (𝐲𝐲𝟏𝟏 − 𝐲𝐲𝟎𝟎 )𝐭𝐭
𝐳𝐳 = 𝐳𝐳𝐨𝐨 + ( 𝐳𝐳𝟏𝟏 − 𝐳𝐳𝟎𝟎)𝐭𝐭
𝐭𝐭 ∈ ℝ
 
parametriza a reta no espaço que 
passa pelos pontos A e B. 
Importante: 
Ao ajustar o intervalo de 
variação do parâmetro t, é 
possível ajustar a 
orientação da curva e 
também ajustar para incluir 
apenas um arco da 
circunferência. 
Importante: 
Ao ajustar o intervalo de 
variação do parâmetro t, 
é possível ajustar a 
orientação da curva e 
também ajustar para 
incluir apenas uma parte 
da elipse. 
Tabela 1 
5 
 
 
 
1. Desenhe a curva cuja parametrização é dada por C = {(1 - t, 2t); 1 ≤ t ≤ 2}. Especifique o ponto inicial, o 
ponto final e a direção do caminho: 
2. Parametrize os caminhos que constituem a fronteira de um triângulo de vértices (1, 1) (2, 2) e (3, 2), percorrido 
no sentido anti-horário. Considere a fronteira como o caminho C obtido da união dos caminhos C1, C2 e C3, que 
são os caminhos que definem os lados de um triângulo: 
3. Escreva uma parametrização para cada um dos caminhos no plano descritos a seguir: 
a) Curva fechada constituída de um arco da circunferência 2 2 16,x y+ = que une os pontos(0, -4) a (4, 0), e 
de um segmento de reta que liga esses pontos, percorrido no sentido anti-horário: 
b) Curva fechada definida pela elipse centrada na origem com semieixos 1 (em x) e 2 (em y), respectivamente, 
no sentido anti-horário: 
4. Duas partículas percorrem curvas representadas respectivamente pelas equações x = cos(t), y = sen(t) e 
x = cos(3t), y = sen(3t), 0 ≤ t ≤ 2π. Qual a diferença e qual a semelhança entre os movimentos dessas 
partículas em cada tempo t ? 
5. Desenhe a curva no espaço definida pelas parametrizações a seguir. A maneira como t varia indica o sentido 
do percurso da curva. Desenhe “flechas” na curva para indicar o sentido no qual o caminho é percorrido: 
a) x = 3cos(t), y = 3sen(t), z = 2, 0 ≤ t ≤ 2π 
b) x = 3cos(t), y = sen(t), z = 0, 0 ≤ t ≤ π 
c) x = 0, y = 1 + t, z = t - 2, 0 ≤ t ≤ 1 
• Em Inglês: https://www.khanacademy.org/math/precalculus/parametric-
equations/parametric/v/parametric-equations-1 
• Em Português:
• Vídeo aula com prof. Felipe Acker (UFRJ): 
https://www.youtube.com/watch?v=fEohpu_dxNc
Vídeos
• Impressão 3D: impressão de curvas e superfícies parametrizadas
• http://www.thingiverse.com/thing:946787
• Game Design
• http://www.dreamincode.net/forums/topic/166013-putting-math-
into-the-context-of-game-programming-part-ii-2d-gravity/
• Criação de filmes animados
• https://www.khanacademy.org/partner-
content/pixar/rendering/rendering-2/a/rendering-lesson-brief
• https://www.khanacademy.org/partner-
content/pixar/animate/ball/v/intro-animation
Aplicações
• Seções 1 e 2Exercícios de Fixação
6 
 
6. Parametrize os seguintes caminhos: 
 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
Exercício 1. 
Segmento de reta que une os pontos (0, 2) a (-1, 4). 
Exercício 2. O caminho que constitui a fronteira do triângulo é C = C1 U C2 U C3. 
C1 = {(1 + 2t, 1 + t); 0 ≤ t ≤ 1}, C2 = {(3 - t, 2); 0 ≤ t ≤ 1}, C3 = {(2 - t, 2 - t); 0 ≤ t ≤ 1}. 
Exercício 3. 
a) C1: (4, 0) à (0, -4), C1 = {(4 - 4t, -4t); 0 ≤ t ≤ 1} 
C2: Temos a quarta parte da circunferência de centro (0, 0) e raio 4, e como o sentido é anti-horário, -π/2 ≤ t ≤ 
0 ou 3π/2 ≤ t ≤ 2π. C2 = {(4cos(t), 4sen(t)); -π/2 ≤ t ≤ 0} 
b) C = {(cos(t), 2sen(t)); 0 ≤ t ≤ 2π} 
Exercício 4. 
As duas trajetórias são circulares, porém, a primeira partícula percorre sua trajetória em um tempo igual ao 
triplo do tempo necessário para que a segunda partícula percorra sua trajetória. 
Exercício 5. 
a) A curva está no plano z = 2 e é o caminho definido pela circunferência de centro (0, 0) e raio 3, percorrida 
no sentido anti-horário. 
b) Elipse no plano xy (z = 0) com centro na origem, semieixo em x medindo 3 e em y medindo 1. Como 0 ≤ t ≤ 
π, a curva é a parte da elipse entre os pontos (3, 0, 0) e (-3, 0, 0). 
c) Curva no plano yz (x = 0) definida pelo segmento de reta que liga o ponto (0, 1, -2) ao ponto (0, 2, -
1). 
Exercício 6. 
a) C = C1 U C2 U C3 
C1: (0, 0) à (1,1), C1 = {(t, t); 0 ≤ t ≤ 1}; C2: (1,1) à (2,0), C2 = {(1 + t, 1 - t); 0 ≤ t ≤ 1}; 
7 
 
C3: (2, 0) à (0, 0), C3 = {(2 - 2t,0); 0 ≤ t ≤ 1} 
b) C = C1 U C2 
C1: (-5, 0) à (5,0), C1 = {(-5 + 10t, 0); 0 ≤ t ≤ 1}; C2: (5,0) à (-5,0), C2 = {(5cos(t), 5sen(t)); 0 ≤ t ≤ π} 
c) C = C1 U C2 U C3 
C1: (0, 0, 0) à (1,0,0), C1 = {(t, 0, 0); 0 ≤ t ≤ 1}; C2: (1,0, 0) à (1, 1,0), C2 = {(1, t, 0); 0 ≤ t ≤ 1}; 
C3: (1, 1, 0) à (1, 1, 1), C3 = {(1, 1, t); 0 ≤ t ≤ 1} 
d) C = C1 U C2 U C3 
C1: (0, 0, 0) à (1,1,0), C1 = {(t, t, 0); 0 ≤ t ≤ 1}; C2: (1,1, 0) à (1, 1,1), C2 = {(1, 1, t); 0 ≤ t ≤ 1}; 
C3: (1, 1, 1) à (0, 0, 0), C3 = {(1- t, 1- t, 1- t); 0 ≤ t ≤ 1} 
 
 
Nesta seção estudaremos funções cujas imagens são vetores, e são denominadas de campos vetoriais. 
O nome deriva do tipo de gráficos dessas funções, os quais são formados por vetores, e cuja configuração 
forma linhas de fluxos. Dessa forma, essas funções podem representar campos de velocidades de fluídos, de 
ventos, de correntes oceânicas, e os campos gravitacional e magnético da Terra, dentre outros (vide Figura 3). 
Vamos aprender como representar matematicamente e como esboçar os campos vetoriais partindo da 
expressão matemática das funções que os representam. 
 
Figura 3: Exemplos de campos vetoriais bidimensionais. 
 
Campos Vetoriais 
(seção 15.1, pág. 1084)
8 
 
3. DEFINIÇÃO DE CAMPOS VETORIAIS BIDIMENSIONAIS E TRIDIMENSIONAIS 
 
Um campo vetorial definido numa região do plano é uma função que associa a cada ponto (x, y) um vetor 
do tipo 
F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j. 
Analogamente, um campo vetorial definido numa região do espaço é uma função que a cada ponto (x, y, 
z) associa um vetor do tipo 
F(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k. 
Um campo vetorial pode ser representado geometricamente esboçando-se para cada ponto o vetor que 
lhe é associado, com origem nesse ponto e tamanho igual ao módulo desse vetor, conforme ilustrado na Figura 
4. 
 
Figura 4: Representação de campos vetoriais no plano (letra a) e no espaço (letra b). Ref.: Calculus: 
Concepts and Contexts, J. Stewart. Cengage Learning, 4ª Edição, 2010. 
Exemplo 3.1: Considere o campo vetorial bidimensional 𝐅𝐅(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = −𝑦𝑦𝐢𝐢 + 𝑥𝑥𝐣𝐣. Esboce este campo desenhando 
alguns vetores representativos: 
 
Figura 5: Representação do campo vetorial bidimensional F(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = −𝑦𝑦i + 𝑥𝑥j através de alguns vetores 
representativos. Ref.: Calculus: Concepts and Contexts, J. Stewart. Cengage Learning, 4ª Edição, 2010. 
9 
 
Exemplo 3.2: Considere o campo vetorial no espaço F(x, y, z) = zk. Para cada ponto (x, y, z) do espaço associa-
se o vetor zk. Este campo está representado na Figura 6 e, neste caso, pode-se constatar que a magnitude de 
cada vetor aumenta com a distância em relação ao plano xy. Os vetores apontando para cima estão acima do 
plano xy, e os que estão abaixo do plano xy apontam para baixo. 
 
Figura 6: Campo vetorial F(x, y, z) = zk. Ref.: Calculus: Concepts and Contexts, J. Stewart. Cengage Learning, 4ª 
Edição, 2010. 
EXEMPLO 3.3: A lei de Coulomb envolve a descrição matemática de um campo vetorial (campo de força 
eletrostática). Veja o Exemplo 1 na página 1087 para mais detalhes. 
EXEMPLO 3.4: lei da Gravitação Universal de Newton (STEWART, VOL. 2, 2013) 
 
10 
 
4. CAMPOS VETORIAIS IMPORTANTES: O GRADIENTE E O ROTACIONAL 
 
Gradiente (Seção 13.6, página 963) 
 
Uma classe importante de campos vetoriais surge do processo de calcular gradientes (você já estudou 
esse conceito no início do semestre). Dada uma função escalar f de três variáveis f (que também pode ser 
denominada campo escalar), o gradiente de f é definido por um campo vetorial que a cada ponto associa um 
vetor cujas coordenadas são suas derivadas parciais: 
grad f (𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = ∇𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑥𝑥,𝑦𝑦,𝑧𝑧)
𝜕𝜕𝑥𝑥
𝒊𝒊 + 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑥𝑥,𝑦𝑦,𝑧𝑧)
𝜕𝜕𝑦𝑦
𝒋𝒋 + 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑥𝑥,𝑦𝑦,𝑧𝑧)
𝜕𝜕𝑧𝑧
𝒌𝒌. 
Se f for um campo escalar e F = 𝜵𝜵f, então f será chamada de função potencial de F e F de campo 
gradiente de f. 
Rotacional (página 1088) 
 
Se F(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k for um campo vetorial tridimensional, definimos um 
novo campo vetorial no espaço tridimensional, rot F, que a cada ponto associa um vetor útil na determinação 
das propriedades de rotação do campo vetorial F naquele ponto. O rotacional é um produto vetorial (ver no 
livro-texto, pág. 1090), e pode ser expresso na forma 
 
11 
 
 
Figura 7: Vetor rot F num ponto P(x,y,z). (Stewart, 2007) 
EXEMPLO 4.1: represente geometricamente e calcule o rotacional do campo F(x, y) = xj. 
5. CAMPOS VETORIAIS CONSERVATIVOS 
 
Muitos dos campos vetoriais fundamentais da natureza são conservativos: campos elétricos, magnéticos e 
gravitacionais são exemplos de campos vetoriais conservativos. O termo “conservativo” vem da clássica lei 
física de conservação de energia. Esta lei estabelece que a soma das energias cinética e potencialde uma 
partícula que se move em um campo de força conservativo é constante, ou seja, a energia total da partícula é 
conservada. 
O Teorema 15.3.3, nas páginas 1116 e 1119 do livro-texto, define um teste de campo conservativo que 
diz o seguinte: 
 Se 𝑃𝑃(𝑥𝑥,𝑦𝑦) e 𝑄𝑄(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) forem duas funções contínuas em alguma região aberta conexa D, e se o campo 
F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j for conservativo em D, então 
 
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦
= 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥
 em cada ponto de D. 
 Reciprocamente, se D for simplesmente conexa e a igualdade 
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦
= 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥
 valer em cada ponto de D, 
então F é conservativo. 
 Podemos estender para campos vetoriais do espaço tridimensional: 
Se F(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k for conservativo, então 
 
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦
= 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥
, 
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑧𝑧
= 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥
 e 
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑧𝑧
= 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦
 
12 
 
Uma vez estabelecido que um campo vetorial é conservativo, é possível obter a função potencial f através 
de uma “integração parcial”. Veja como proceder no seguinte exemplo. 
Exemplo 5.1: exercício de compreensão 3, página 1120 do livro-texto. 
 
 
1. Exercícios do livro-texto – página 1092: 1, 2, 5, 15, 17. 
2. Verifique se os campos vetoriais a seguir são conservativos e, quando for o caso, encontre sua função 
potencial. Para conferir se a função f encontrada em cada caso está correta, calcule o gradiente ∇f, uma 
vez que que F = ∇f: 
a) �⃗�𝐹(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 𝑦𝑦2𝑒𝑒𝑥𝑥𝑦𝑦𝚤𝚤 + 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑦𝑦(1 + 𝑥𝑥𝑦𝑦)𝚥𝚥 
b) �⃗�𝐹(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = (2𝑥𝑥𝑦𝑦 − 3𝑥𝑥2)𝚤𝚤 + 𝑥𝑥2𝚥𝚥 
c) �⃗�𝐹(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 2𝑦𝑦𝑒𝑒𝑥𝑥𝑦𝑦𝚤𝚤 + (𝑧𝑧𝑒𝑒𝑦𝑦𝑧𝑧 + 2𝑥𝑥𝑒𝑒𝑥𝑥𝑦𝑦)𝚥𝚥 + 𝑦𝑦𝑒𝑒𝑦𝑦𝑧𝑧𝑘𝑘�⃗ 
d) �⃗�𝐹(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = (1 + 𝑥𝑥)𝚤𝚤 + (2 + 𝑦𝑦)𝚥𝚥 + (3 − 𝑧𝑧2)𝑘𝑘�⃗ 
e) �⃗�𝐹(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = −𝚤𝚤 + 2𝑧𝑧3𝚥𝚥 + 6𝑦𝑦𝑧𝑧2𝑘𝑘�⃗ 
RESPOSTAS 
a) �⃗�𝐹(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 𝑦𝑦2𝑒𝑒𝑥𝑥𝑦𝑦𝚤𝚤 + 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑦𝑦(1 + 𝑥𝑥𝑦𝑦)𝚥𝚥 
 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦
= 2𝑦𝑦𝑒𝑒𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑥𝑥𝑦𝑦2𝑒𝑒𝑥𝑥𝑦𝑦 = 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥
⟹ �⃗�𝐹 é conservativo 
 f(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑦𝑦𝑒𝑒𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝐾𝐾 
 
b) �⃗�𝐹(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = (2𝑥𝑥𝑦𝑦 − 3𝑥𝑥2)𝚤𝚤 + 𝑥𝑥2𝚥𝚥 
• Em Inglês:
• https://www.khanacademy.org/math/multivariable-
calculus/thinking-about-multivariable-function/ways-to-
represent-multivariable-functions/a/vector-fields 
• Em Português:
•Conservação de energia mecânica 
• https://www.youtube.com/watch?v=609P01YMXdg
• Vídeo-aula com monitor 
https://www.youtube.com/watch?v=Syg-EY1RbT4
• Vídeo-aula com Prof. Claudio Possani (USP)
• https://www.youtube.com/watch?v=4PBrXiVYMY4
Vídeos
• Sobre o gradiente e o rotacional
•https://www.youtube.com/watch?v=ynzRyIL2atU
•https://www.youtube.com/watch?v=vvzTEbp9lrc
Aplicações
• Seções 3 a 5Exercícios de Fixação
13 
 
 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦
= 2𝑥𝑥 = 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥
⟹ �⃗�𝐹 é conservativo 
 f(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 𝑥𝑥2𝑦𝑦 − 𝑥𝑥3 + 𝐾𝐾 
 
c) �⃗�𝐹(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 2𝑦𝑦𝑒𝑒𝑥𝑥𝑦𝑦𝚤𝚤+ (𝑧𝑧𝑒𝑒𝑦𝑦𝑧𝑧 + 2𝑥𝑥𝑒𝑒𝑥𝑥𝑦𝑦)𝚥𝚥 + 𝑦𝑦𝑒𝑒𝑦𝑦𝑧𝑧𝑘𝑘�⃗ 
 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦
= 2𝑒𝑒𝑥𝑥𝑦𝑦 + 2𝑥𝑥𝑦𝑦𝑒𝑒𝑥𝑥𝑦𝑦 = 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥
; 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑧𝑧
= 0 = 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥
; 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑧𝑧
= 𝑒𝑒𝑦𝑦𝑧𝑧 + 𝑦𝑦𝑧𝑧𝑒𝑒𝑦𝑦𝑧𝑧 = 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦
 ⟹ �⃗�𝐹 é conservativo 
𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 2𝑒𝑒𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑒𝑒𝑦𝑦𝑧𝑧 + 𝐾𝐾 
 
d) �⃗�𝐹(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = (1 + 𝑥𝑥)𝚤𝚤 + (2 + 𝑦𝑦)𝚥𝚥 + (3 − 𝑧𝑧2)𝑘𝑘�⃗ 
 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦
= 0 = 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥
; 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑧𝑧
= 0 = 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥
; 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑧𝑧
= 0 = 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦
 ⟹ �⃗�𝐹 é conservativo 
 f(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥
2
2
+ 2𝑦𝑦 + 𝑦𝑦
2
2
+ 3𝑧𝑧 − 𝑧𝑧
3
3
+ 𝐾𝐾 
 
e) �⃗�𝐹(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = −𝚤𝚤 + 2𝑧𝑧3𝚥𝚥 + 6𝑦𝑦𝑧𝑧2𝑘𝑘�⃗ 
 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦
= 0 = 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥
; 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑧𝑧
= 0 = 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥
; 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑧𝑧
= 6𝑧𝑧2 = 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦
 ⟹ �⃗�𝐹 é conservativo 
𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = −𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦𝑧𝑧3 + 𝐾𝐾 
 
 
 
 
Nesta seção estudaremos o conceito de integral de linha (ou integral curvilínea). Esse tipo de integral 
tem várias aplicações na Engenharia, como, por exemplo, no cálculo de trabalho de campos vetoriais, na 
resolução de problemas envolvendo escoamento de líquidos, e no cálculo de circulação que é utilizado para 
medir a intensidade de redemoinhos numa corrente de um fluído. 
Imagine que você esteja remando em um rio com uma forte correnteza. Em alguns momentos você 
estará remando contra a correnteza e em outros poderá se mover a favor dela. No final, você poderá saber se, 
no total, a correnteza o ajudou ou o atrapalhou ao longo do percurso. A integral de linha que estudaremos 
mede o quanto uma curva em um campo vetorial é em geral, percorrida a favor do campo ou contra ele 
(Ref.: Hughes-Hallett et al., Cálculo a Uma e a Várias Variáveis, Volume 2, Editora LTC, 2011). 
6. TRABALHO COMO A INTEGRAL DE LINHA DE UM CAMPO VETORIAL AO 
LONGO DE UMA CURVA ORIENTADA 
 
Suponha que uma partícula se mova ao longo de um caminho no espaço bi ou tridimensional 
representado por uma curva parametrizada C, com ponto inicial A e ponto final B, e a partícula está sob o efeito 
de um campo de forças variável F. O trabalho realizado pelo campo de forças para deslocar uma partícula 
ao longo de C é dado por uma integral de linha. A integral de linha existe se F é contínua sobre C e se C admite 
parametrização dada por funções deriváveis. 
Integral de Linha 
(seção 15.2, pág. 1103)
14 
 
Para um deslocamento retilíneo de um ponto A a B e uma força constante F, o trabalho é dado por 
𝑤𝑤 = 𝐅𝐅 ∙ 𝐀𝐀𝐀𝐀. Por analogia, podemos subdividir o caminho C em segmentos, calcular o produto escalar entre a 
componente tangencial de F ao longo de cada segmento pelo comprimento do segmento, e então somar os 
resultados para todos os segmentos. Com essa intuição, este somatório se torna a integral de linha quando o 
número de segmentos se tornar infinito. 
O trabalho W realizado pelo campo vetorial bidimensional F para deslocar uma partícula ao longo de C 
pode ser calculado pela integral de linha do campo F ao longo de C é dada por 
 𝑊𝑊 = ∫ 𝐅𝐅 · d𝐫𝐫𝐶𝐶 = ∫ 𝐅𝐅�𝐫𝐫(𝐭𝐭)� · 𝐫𝐫
′(𝐭𝐭)dt𝑏𝑏𝑎𝑎 (1) 
onde 
F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j e r(t) é uma parametrização da curva C dada por 
r(t) = {(x(t), y(t)); a ≤ t ≤ b} = x(t)i + y(t)j , F(r(t)) = P(x(t), y(t))i + Q(x(t), y(t))j e 
dr = r´(t)dt = x´(t)dt i + y´(t)dt j. 
Exemplo 6.1: faça os exemplos 8 (pág. 1103) e 9 (pág. 1105) do livro-texto. 
Dois pontos interessantes a respeito da integral de linha: 
1) A integral de linha de F ao longo de C pode ser interpretada como o efeito acumulativo da 
magnitude do campo F ao longo de C, e também como o quanto F e C têm a mesma direção 
pois mede a extensão sobre a qual C está indo a favor ou contra C (Ref.: Hughes-Hallett et al., 
Cálculo a Uma e a Várias Variáveis, Volume 2, Editora LTC, 2011). 
2) Invertendo a orientação da curva C invertemos o sinal da integração, ou seja, 
� 𝐅𝐅 · d𝐑𝐑 = −� 𝐅𝐅 · d𝐑𝐑
𝐶𝐶−𝐶𝐶
 
7. INTEGRAIS DE LINHA QUE INDEPENDEM DO CAMINHO (SEÇÃO 15.3, PÁG. 
1111) 
 
Para campos vetoriais conservativos a integral de linha de F ao longo de uma curva depende somente 
dos pontos extremos da curva e não da própria curva. Essa afirmação é baseada no teorema fundamental de 
integrais de linha (teorema 15.3.1 da página 1112), que diz: se F é um campo gradiente e f é uma função 
potencial para F, de forma que F = ∇f então, nesse caso: 
 Se f é uma função de duas variáveis e C uma curva plana com ponto inicial A(x₁, y₁) e ponto final 
B(x₂, y₂) , o teorema fica 
15 
 
 ∫ 𝛁𝛁f · d𝐑𝐑 =𝐶𝐶 f(x2, y2) − f(x1, y1). (2) 
 
Se f é uma função de três variáveis, e C uma curva no espaço tridimensional ligando o ponto A(x₁, 
y₁, z₁) ao ponto B(x2, y2,z2) , então temos:
 
 ∫ 𝛁𝛁f · d𝐑𝐑 =𝐶𝐶 𝑓𝑓(x2, y2, z2) − f(x1, y1, z1). 
Ao calcular uma integral de linha é conveniente verificar se o campo é conservativo, conforme sugere o 
esquema da Figura 8. Se for, a integral pode ser calculada utilizando a função potencial do campo (Fórmula 
2). Isso na maioria das vezes é vantajoso pois requer cálculos mais simples do que calcular a integral de 
linha pela definição (Fórmula 1). 
 
Figura 7: Esquema de resolução de uma integral de linha de um campo vetorial. 
Exemplo 7.1: exercício 24 da pág. 1120. 
Dois pontos importantes a respeito das integrais de linha de campos conservativos: 
1) A interpretação é que ao calcular a integral de linha de um campo gradiente, estamos somando pequenas 
variações de um campo que é obtido como variação de uma função potencial. Assim, o que fazemos é 
obter a variação total desta função. A consequência é que a integral de linha de um campo conservativo 
não depende do caminho escolhido entre dois pontos, apenas dos pontos inicial e final. Daí a noção de 
conservação: o trabalho realizado está sendo passado a uma energia potencial, que, caso a partícula 
volte à posição de onde começou, será toda devolvida à partícula. 
16 
 
2) Segue do teorema fundamental de integrais de linha que a integral de linha de um campo conservativo, 
ao longo de um caminho fechado C (que começa e termina no mesmo ponto), é zero (pág. 1113 do livro-
texto). 
 
 
1) Mostre que a integral do campo F(x, y) = (x + y)i + yj ao longo da fronteira de uma circunferência de raio 1, 
percorrida no sentido anti-horário e no primeiro quadrante, é -π/4: 
2) Calcule a integral de linha do campo F(x, y) = x2 i + xy j ao longo do arco da circunferência de centro na 
origem e raio 1, no primeiro quadrante e no sentido anti-horário. Interprete o valor obtido relacionando a posição 
dos vetores do campo com os vetores do caminho. Use argumentos da teoria para justificar: 
3) Se F é um campo vetorial que representa o campo de velocidades de um fluído em movimento e C é uma 
curva fechada, então a integral de linha de F ao longo de C denotada por ∫ 𝐅𝐅⋅d𝐑𝐑𝐶𝐶 representa a tendência do 
fluído circular em torno de C e é chamada de "circulação de F ao redor de C". 
a) Se F é o campo de velocidades de um fluído dado por F(x, y) = -y i + x j, mostre que a circulação de F ao 
redor de uma circunferência de raio 2 e centro na origem, no sentido anti-horário, é igual a 8π: 
b) Calcule a circulação do campo v(x, y) = cos(y) i - xsen(y) j ao redor do triângulo de vértices (0,1),(0,5) e 
(2,3): 
4) Encontre o trabalho que o campo F(x, y, z) = z i + y j - x k realiza ao deslocar uma partícula ao longo do 
segmento de reta no espaço que liga (0,1,0) a (2,3,1) nesse sentido: 
• Em Inglês:
• https://pt.khanacademy.org/math/multivariable-
calculus/integrating-multivariable-functions/line-integrals-
vectors/v/line-integrals-and-vector-fields
• Em Português:
• https://www.youtube.com/watch?v=BZItyzKGmi4
• https://www.youtube.com/watch?v=9JJhZaoAHBE
Vídeos
• Lei de Ampère: relaciona um campo magnético B a uma corrente 
estacionária I que circula por uma curva Fechada C através de uma 
integral de linha
Aplicação
• Seções 6 e 7Exercícios de Fixação
17 
 
5) Encontre o trabalho que o campo F(x, y, z) = 2x i - 3 j + z k realiza ao deslocar uma partícula ao longo da 
hélice circular cuja parametrização é dada por r(t) = 2cos(t) i + 2sen(t) j + t k para 0 ≤ t ≤ 2π: 
6) Seja C o caminho constituído pela fronteira do triângulo no espaço que liga os pontos (1,2,0), (0,0,2) e (0,0,0), 
percorrido nesse sentido. Desenhe esse caminho e encontre o trabalho que o campo F(x, y, z) = 0,2z i - x k 
realiza ao deslocar uma partícula ao longo de C: 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
1) r(t) = {(cos(t), sen(t)), 0 ≤ t ≤ π/2}. A integral solicitada é dada por 
� < cos(𝑡𝑡) + 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠(𝑡𝑡), 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠(𝑡𝑡) >·< −𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠(𝑡𝑡), cos(𝑡𝑡) >𝑑𝑑𝑡𝑡 = � −𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠2
𝜋𝜋
2
0
𝜋𝜋
2
0
(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡 = −
𝜋𝜋
4
 
2) �⃗�𝐅(𝐱𝐱, 𝐲𝐲) = 𝐱𝐱𝟐𝟐�⃗�𝐢 + 𝐱𝐱𝐲𝐲�⃗�𝐣 𝐂𝐂: {(𝐜𝐜𝐨𝐨𝐜𝐜𝐭𝐭, 𝐜𝐜𝐬𝐬𝐬𝐬𝐭𝐭); 𝟎𝟎 ≤ 𝐭𝐭 ≤ 𝟐𝟐/𝟐𝟐} 
∫ < 𝐜𝐜𝐨𝐨𝐜𝐜𝟐𝟐𝐭𝐭, 𝐜𝐜𝐨𝐨𝐜𝐜𝐭𝐭𝐜𝐜𝐬𝐬𝐬𝐬𝐭𝐭 >∙
𝟐𝟐
𝟐𝟐
𝟎𝟎 < −𝐜𝐜𝐬𝐬𝐬𝐬𝐭𝐭, 𝐜𝐜𝐨𝐨𝐜𝐜𝐭𝐭 > 𝐝𝐝𝐭𝐭 = 𝟎𝟎. 
O vetor campo é perpendicular ao vetor posição e, por isso, o trabalho é igual a zero. 
3) a) 𝑭𝑭��⃗ (𝒙𝒙,𝒚𝒚) = −𝒚𝒚𝒊𝒊 + 𝒙𝒙𝒋𝒋 𝒙𝒙(𝒕𝒕) = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝒕𝒕; 𝒚𝒚(𝒕𝒕) = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝒕𝒕 para 𝟎𝟎 ≤ 𝒕𝒕 ≤ 𝟐𝟐𝟐𝟐 
 𝑪𝑪 = {(𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝒕𝒕,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝒕𝒕);𝟎𝟎 ≤ 𝒕𝒕 ≤ 𝟐𝟐𝟐𝟐} 
∫ 𝑭𝑭��⃗ ∙𝑪𝑪 𝑪𝑪
′𝒅𝒅𝒕𝒕 = ∫ < −2𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝒕𝒕,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝒕𝒕 >∙𝟐𝟐𝟐𝟐𝟎𝟎 < −2𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝒕𝒕,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝒕𝒕 > 𝑑𝑑𝑡𝑡 = ∫ �𝟒𝟒𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟐𝟐𝒕𝒕 + 𝟒𝟒𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝒕𝒕�𝟐𝟐𝟐𝟐𝟎𝟎 𝒅𝒅𝒕𝒕 = ∫ 𝟒𝟒
𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟎𝟎 𝒅𝒅𝒕𝒕 = 𝟖𝟖𝟐𝟐. 
b) O campo é conservativo e o caminho é fechado e, portanto, 𝑾𝑾 = 𝟎𝟎. 
4) �⃗�𝐅(𝐱𝐱, 𝐲𝐲, 𝐳𝐳) = 𝐳𝐳�⃗�𝐢 + 𝐲𝐲�⃗�𝐣 − 𝐱𝐱�⃗�𝐤, 𝐂𝐂 : (𝟎𝟎,𝟏𝟏,𝟎𝟎) → (𝟐𝟐,𝟑𝟑,𝟏𝟏) 
〈𝐱𝐱𝟏𝟏 − 𝐱𝐱𝟎𝟎, 𝐲𝐲𝟏𝟏 − 𝐲𝐲𝟎𝟎, 𝐳𝐳𝟏𝟏 − 𝐳𝐳𝟎𝟎〉 = 〈𝟐𝟐,𝟐𝟐,𝟏𝟏〉 𝐱𝐱(𝐭𝐭) = 𝟐𝟐𝐭𝐭; 𝐲𝐲(𝐭𝐭) = 𝟏𝟏 + 𝟐𝟐𝐭𝐭; 𝐳𝐳(𝐭𝐭) = 𝐭𝐭 para 𝟎𝟎 ≤ 𝐭𝐭 ≤ 𝟏𝟏 
𝐂𝐂 = {(𝟐𝟐𝐭𝐭,𝟏𝟏 + 𝟐𝟐𝐭𝐭, 𝐭𝐭);𝟎𝟎 ≤ 𝐭𝐭 ≤ 𝟏𝟏} ∫ �⃗�𝐅 ∙𝐂𝐂 𝐝𝐝𝐂𝐂�����⃗ = ∫ < 𝑡𝑡,𝟏𝟏 + 𝟐𝟐𝐭𝐭,−𝟐𝟐𝐭𝐭 >∙
𝟏𝟏
𝟎𝟎 < 2,𝟐𝟐,𝟏𝟏 > 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝟒𝟒. 
5) �⃗�𝐅(𝐱𝐱, 𝐲𝐲, 𝐳𝐳) = 𝟐𝟐𝐱𝐱�⃗�𝐢 − 𝟑𝟑�⃗�𝐣 + 𝐳𝐳�⃗�𝐤 �⃗�𝐫(𝐭𝐭) = 𝟐𝟐𝐜𝐜𝐨𝐨𝐜𝐜𝐭𝐭�⃗�𝐢+ 𝟐𝟐𝐜𝐜𝐬𝐬𝐬𝐬𝐭𝐭�⃗�𝐣+ 𝐭𝐭�⃗�𝐤, 𝟎𝟎 ≤ 𝐭𝐭 ≤ 𝟐𝟐𝟐𝟐 
𝐖𝐖 = ∫ < 4𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑡𝑡,−𝟑𝟑, 𝐭𝐭 >∙𝟐𝟐𝟐𝟐𝟎𝟎 < −2𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠𝑡𝑡,𝟐𝟐𝐜𝐜𝐨𝐨𝐜𝐜𝐭𝐭,𝟏𝟏 > 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟐𝟐. 
6) 𝑭𝑭��⃗ (𝒙𝒙,𝒚𝒚,𝒛𝒛) = 𝟎𝟎,𝟐𝟐𝒛𝒛𝒊𝒊 − 𝒙𝒙𝒌𝒌��⃗ (não é conservativo) 
𝑪𝑪: (𝟏𝟏,𝟐𝟐,𝟎𝟎) → (𝟎𝟎,𝟎𝟎,𝟐𝟐) → (𝟎𝟎,𝟎𝟎,𝟎𝟎) vértices de um triângulo 
𝑪𝑪𝟏𝟏 = {(𝟏𝟏 − 𝒕𝒕,𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝒕𝒕,𝟐𝟐𝒕𝒕);𝟎𝟎 ≤ 𝒕𝒕 ≤ 𝟏𝟏} 
� 𝐅𝐅 · d𝐫𝐫
𝐶𝐶1
= � < 0,4𝒕𝒕;𝟎𝟎;−𝟏𝟏 + 𝒕𝒕 >∙
𝟏𝟏
𝟎𝟎
< −1,−2,2 > 𝑑𝑑𝑡𝑡 = � (𝟏𝟏,𝟔𝟔𝒕𝒕 − 𝟐𝟐)
𝟏𝟏
𝟎𝟎
𝒅𝒅𝒕𝒕 = �𝟎𝟎,𝟖𝟖𝒕𝒕𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝒕𝒕�
𝟎𝟎
𝟏𝟏
= −𝟏𝟏,𝟐𝟐 
𝑪𝑪𝟐𝟐 = {(𝟎𝟎,𝟎𝟎,𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝒕𝒕);𝟎𝟎 ≤ 𝒕𝒕 ≤ 𝟏𝟏} ; ∫ 𝐅𝐅 · d𝐫𝐫𝐶𝐶2 = ∫ < 0,4 − 0,4𝒕𝒕;𝟎𝟎;𝟎𝟎 >∙
𝟏𝟏
𝟎𝟎 < 0,0,−2 > 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 0 
𝑪𝑪𝟑𝟑 = {(𝒕𝒕,𝟐𝟐𝒕𝒕,𝟎𝟎);𝟎𝟎 ≤ 𝒕𝒕 ≤ 𝟏𝟏}; � 𝐅𝐅 · d𝐫𝐫
𝐶𝐶3
= � < 0,0,0 >∙
𝟏𝟏
𝟎𝟎
< 1,2,0 > 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 0 
𝑾𝑾 = � 𝐅𝐅 · d𝐫𝐫
𝐶𝐶1
+ � 𝐅𝐅 · d𝐫𝐫
𝐶𝐶2
+ � 𝐅𝐅 · d𝐫𝐫
𝐶𝐶3
= −𝟏𝟏,𝟐𝟐 + 𝟎𝟎 + 𝟎𝟎 = −𝟏𝟏,𝟐𝟐 
	CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TECNOLOGIA
	MAT0361 – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
	PERÍODO 2017-2 – PROFA. ADRIANA MIORELLI ADAMI
	1. PARAMETRIZAÇÃO DE CURVAS NO PLANO E NO ESPAÇO
	2. REGRAS DE PARAMETRIZAÇÃO
	3. DEFINIÇÃO DE CAMPOS VETORIAIS BIDIMENSIONAIS E TRIDIMENSIONAIS
	4. CAMPOS VETORIAIS IMPORTANTES: O GRADIENTE E O ROTACIONAL
	Gradiente (Seção 13.6, página 963)
	Rotacional (página 1088)
	5. CAMPOS VETORIAIS CONSERVATIVOS
	6. TRABALHO COMO A INTEGRAL DE LINHA DE UM CAMPO VETORIAL AO LONGO DE UMA CURVA ORIENTADA
	7. INTEGRAIS DE LINHA QUE INDEPENDEM DO CAMINHO (SEÇÃO 15.3, PÁG. 1111)