Prova3C - pROFESSOR IVAN - CÁLCULO3

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UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLO´GICA DO PARANA´
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
3ra PROVA
Prof. Iva´n Gonza´les
24 de novembro de 2014
ALUNO :
PERGUNTAS:
1.) [1.5 ptos] Dado um nu´mero natural q ∈ N, provar a igualdade∫ 1
0
1
1 + xq
dx =
∞∑
n=0
(−1)n
qn+ 1
e obtenha o valor da soma das se´ries correspondentes aos valores de q = 1, 2, e 3.
2.) [3 ptos] Estude a convergeˆncia oou divergeˆncia das se´ries:
a. ∞∑
n=1
log(1 +
1
n
).
b.* ∞∑
n=1
(
1
2
−
√
1
2
)(
1
2
− 3
√
1
2
) · · · (1
2
− n
√
1
2
)
3.) [2 ptos] Mostre que
pi = 2
√
3
(
1− 1
3× 3 +
1
5× 32 −
1
7× 33 +
1
9× 34 − · · ·
)
=
∞∑
n=0
(−1)n
(2n+ 1)× 3n .
[Dica: Use a representac¸a˜o em se´rie de poteˆncia da func¸a˜o f(x) = 11+x2 , logro integre e calcule o
valor da constante da integral sabendo que arctg( 1√
3
) = pi6 ].
4.) [2 ptos] Encontre o raio e intervalo de convergeˆncia da se´rie de poteˆncias:
∞∑
n=0
2n
n
(x− 8)n
.
5.) [1.5 ptos] Mostre que a se´rie de poteˆncia f(x) =
∞∑
n=0
xn
(n!)2
satisfaz a equac¸a˜o diferencial
xy′′ + y′ − y = 0.
6.) [1 ptos] A se´rie converge ou diverge? :
∞∑
n=1
(−1)n−1 n− 1
n2 + n
.
1