Conjuntos Numéricos

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SUMÁRIO 
Conjuntos numéricos...............................................................................................................02 
Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão..............................................................................06 
Critérios de Divisibilidade.........................................................................................................11 
MMC e MDC..............................................................................................................................16 
Sistema de medidas...................................................................................................................22 
Cálculo Algébrico......................................................................................................................25 
Funções do 1º e do 2º grau......................................................................................................30 
Equações do 1º e do 2º grau....................................................................................................41 
Triângulo Retângulo: Teorema de Pitágoras............................................................................50 
Teorema de Tales.....................................................................................................................55 
Geometria Plana......................................................................................................................58 
Noções de Geometria Espacial................................................................................................62 
Matemática financeira............................................................................................................67 
Estatística................................................................................................................................77 
Razão e proporção..................................................................................................................81 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CONJUNTOS NUMÉRICOS 
Os conjuntos numéricos reúnem diversos conjuntos cujos elementos são números. Eles são 
formados pelos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. O ramo da matemática 
que estuda os conjuntos numéricos é a Teoria dos conjuntos. 
Confira abaixo as características de cada um deles tais como conceito, símbolo e subconjuntos. 
Conjunto dos Números Naturais (N) 
O conjunto dos números naturais é representado por N. Ele reúne os números que usamos para 
contar (incluindo o zero) e é infinito. 
Subconjuntos dos Números Naturais 
 N* = {1, 2, 3, 4, 5..., n, ...} ou N* = N – {0}: conjuntos dos números naturais não-nulos, ou seja, 
sem o zero. 
 Np = {0, 2, 4, 6, 8..., 2n, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais pares. 
 Ni = {1, 3, 5, 7, 9..., 2n+1, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais ímpares. 
 P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}: conjunto dos números naturais primos. 
Conjunto dos Números Inteiros (Z) 
O conjunto dos números inteiros é representado por Z. Reúne todos os elementos dos números 
naturais (N) e seus opostos. Assim, conclui-se que N é um subconjunto de Z (N ⊂ Z): 
Subconjuntos dos Números Inteiros 
 Z* = {..., –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, ...} ou Z* = Z – {0}: conjuntos dos números inteiros não-nulos, ou 
seja, sem o zero. 
 Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números inteiros e não-negativos. Note que Z+ = N. 
 Z*
+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números inteiros positivos e sem o zero. 
 Z – = {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0}: conjunto dos números inteiros não-positivos. 
 Z*
– = {..., –5, –4, –3, –2, –1}: conjunto dos números inteiros negativos e sem o zero. 
Conjunto dos Números Racionais (Q) 
O conjunto dos números racionais é representado por Q. Reúne todos os números que podem ser 
escritos na forma p/q, sendo p e q números inteiros e q≠0. 
https://www.todamateria.com.br/numeros-naturais/
https://www.todamateria.com.br/numeros-inteiros/
https://www.todamateria.com.br/numeros-racionais/
 
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Q = {0, ±1, ±1/2, ±1/3, ..., ±2, ±2/3, ±2/5, ..., ±3, ±3/2, ±3/4, ...} 
Note que todo número inteiro é também número racional. Assim, Z é um subconjunto de Q. 
Importante ressaltar que as dízimas periódicas são números racionais. Elas são números decimais 
que se repetem após a vírgula, por exemplo: 1,4444444444... Embora possua infinitas casas 
decimais, pode ser escrito como a fração 13/9. 
Subconjuntos dos Números Racionais 
 Q* = subconjunto dos números racionais não-nulos, formado pelos números racionais sem o 
zero. 
 Q+ = subconjunto dos números racionais não-negativos, formado pelos números racionais 
positivos e o zero. 
 Q*
+ = subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos números racionais positivos, 
sem o zero. 
 Q– = subconjunto dos números racionais não-positivos, formado pelos números racionais 
negativos e o zero. 
 Q*– = subconjunto dos números racionais negativos, formado números racionais negativos, sem 
o zero. 
Conjunto dos Números Irracionais (I) 
O conjunto dos números irracionais é representado por I. Reúne os números decimais não exatos 
com uma representação infinita e não periódica, por exemplo: 3,141592... ou 1,203040... 
Conjunto dos Números Reais (R) 
O conjunto dos números reais é representado por R. Esse conjunto é formado pelos números 
racionais (Q) e irracionais (I). Assim, temos que R = Q ∪ I. Além disso, N, Z, Q e I são subconjuntos 
de R. 
Mas, observe que se um número real é racional, ele não pode ser também irracional. Da mesma 
maneira, se ele é irracional, não é racional. 
Subconjuntos dos Números Reais 
 R*= {x ∈ R│x ≠ 0}: conjunto dos números reais não-nulos. 
 R+ = {x ∈ R│x ≥ 0}: conjunto dos números reais não-negativos. 
 R*
+ = {x ∈ R│x > 0}: conjunto dos números reais positivos. 
 R– = {x ∈ R│x ≤ 0}: conjunto dos números reais não-positivos. 
 R*
– = {x ∈ R│x 0} 
c) {x ∈ R│x2 = 1} 
d) {x ∈ Q│x2Por sua vez, esses objetos são conhecidos como "sólidos geométricos" ou "figuras 
geométricas espaciais". Conheça melhor alguns deles: 
 prisma 
 cubo 
 paralelepípedo 
 pirâmide 
 cone 
 cilindro 
 esfera 
Dessa forma, a geometria espacial é capaz de determinar, por meio de cálculos matemáticos, o 
volume destes mesmos objetos, ou seja, o espaço ocupado por eles. 
Contudo, o estudo das estruturas das figuras espaciais e suas inter-relações é determinado por 
alguns conceitos básicos, a saber: 
 Ponto: conceito fundamental a todos os subsequentes, uma vez que todos sejam, em última 
análise, formados por inúmeros pontos. Por sua vez, os pontos são infinitos e não possuem 
dimensão mensurável (adimensional). Portanto, sua única propriedade garantida é sua 
localização. 
 Reta: composta por pontos, é infinita nos dois lados e determina a distância mais curta entre 
dois pontos determinados. 
 Linha: possui algumas semelhanças com a reta, pois é igualmente infinita para cada lado, 
contudo, têm a propriedade de formar curvas e nós sobre si mesma. 
 Plano: é outra estrutura infinita que se estende em todas as direções. 
Figuras Geométricas Espaciais 
Segue abaixo algumas das figuras geométricas espaciais mais conhecidas: 
Cubo 
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https://www.todamateria.com.br/geometria-plana/
https://www.todamateria.com.br/distancia-entre-dois-pontos/
https://www.todamateria.com.br/prisma/
https://www.todamateria.com.br/cubo/
https://www.todamateria.com.br/paralelepipedo/
https://www.todamateria.com.br/piramide/
https://www.todamateria.com.br/cone/
https://www.todamateria.com.br/cilindro/
https://www.todamateria.com.br/a-esfera-na-geometria-espacial/
 
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O cubo é um hexaedro regular composto de 6 faces quadrangulares, 12 arestas e 8 vértices sendo: 
Área lateral: 4a2 
Área total: 6a2 
Volume: a.a.a = a3 
Dodecaedro 
 
O Dodecaedro é um poliedro regular composto de 12 faces pentagonais, 30 arestas e 20 vértices 
sendo: 
Área Total: 3√25+10√5a2 
Volume: 1/4 (15+7√5) a3 
Tetraedro 
 
O Tetraedro é um poliedro regular composto de 4 faces triangulares, 6 arestas e 4 vértices sendo: 
 
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Área total: 4a2√3/4 
Volume: 1/3 Ab.h 
Octaedro 
 
O Octaedro é um poliedro regular de 8 faces formada por triângulos equiláteros, 12 arestas e 6 
vértices sendo: 
Área total: 2a2√3 
Volume: 1/3 a3√2 
Icosaedro 
 
O Icosaedro é um poliedro convexo composto de 20 faces triangulares, 30 arestas e 12 vértices 
sendo: 
Área total: 5√3a2 
Volume: 5/12 (3+√5) a3 
Prisma 
 
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O Prisma é um poliedro composto de duas faces paralelas que formam a base, que por sua vez, 
podem ser triangular, quadrangular, pentagonal, hexagonal. 
Além das faces o prima é composto de altura, lados, vértices e arestas unidos por paralelogramos. 
De acordo com sua inclinação, os prismas podem ser retos, aqueles em que a aresta e a base 
fazem um ângulo de 90º ou os oblíquos compostos de ângulos diferentes de 90º. 
Área da Face: a.h 
Área Lateral: 6.a.h 
Área da base: 3.a3√3/2 
Volume: Ab.h 
Onde: 
Ab: Área da base 
h: altura 
Pirâmide 
 
A pirâmide é um poliedro composto por uma base (triangular, pentagonal, quadrada, retangular, 
paralelogramo), um vértice (vértice da pirâmide) que une todas as faces laterais triangulares. 
Sua altura corresponde a distância entre o vértice e sua base. Quanto à sua inclinação podem ser 
classificadas em retas (ângulo de 90º) ou oblíquas (ângulos diferentes de 90º). 
Área total: Al + Ab 
Volume: 1/3 Ab.h 
 
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Onde: 
Al: Área lateral 
Ab: Área da base 
h: altura 
Curiosidades 
 A palavra "geometria" vem do grego e corresponde a união dos termos "geo" de terra e "metria" 
de medida, que significa "medir terra." 
 Os cálculos mais comuns em Geometria espacial são para determinar o comprimentos de curvas, 
áreas de superfícies e volumes de regiões sólidas. 
 Outras figuras geométricas espaciais: cilindro, cone, esfera. 
 Os "Sólidos Platônicos" são poliedros convexos conhecidos desde a antiguidade clássica. Os cinco 
"sólidos platônicos" são: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro, icosaedro. 
 
 
 
 
PORCENTAGEM 
A porcentagem representa uma razão cujo denominador é 100, ou seja,. 
O termo por cento é abreviado usando o símbolo %, que significa dividir por 100 e, por 
isso, essa razão também é chamada de razão centesimal ou percentual. 
Saber calcular porcentagem é importante para resolver problemas matemáticos, 
principalmente na matemática financeira para calcular descontos, juros, lucro, e assim por 
diante. 
Como calcular porcentagem de um valor? 
Para saber o percentual de um valor basta multiplicar a razão centesimal correspondente à 
porcentagem pela quantidade total. 
Exemplo: para descobrir quanto é 20% de 200, realizamos a seguinte operação: 
 
Generalizando, podemos criar uma fórmula para conta de porcentagem: 
 
 
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Se preferir, você pode fazer o cálculo de porcentagem da seguinte forma: 
1º passo: multiplicar o percentual pelo valor. 
 
2º passo: dividir o resultado anterior por 100. 
 
Exercício: Em uma determinada fruta cuja massa é 60 g, o teor de água é 45% e o resto é 
polpa. Calcule: quantos gramas há de polpa de fruta? 
1º passo: multiplicar o teor de água pela massa de fruta. 
 
2º passo: dividir o resultado anterior por 100. 
 
A fruta tem 27 g de água. 
3º passo: calcular a massa de polpa. 
 
A polpa de fruta tem massa de 33 g 
 
 
 
 
 
JUROS SIMPLES 
Juros simples é um acréscimo calculado sobre o valor inicial de uma aplicação financeira ou de 
uma compra feita a crédito, por exemplo. 
O valor inicial de uma dívida, empréstimo ou investimento é chamado de capital. A esse valor é 
aplicada uma correção, chamada de taxa de juros, que é expressa em porcentagem. 
 
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Os juros são calculados considerando o período de tempo em que o capital ficou aplicado ou 
emprestado. 
Exemplo 
Um cliente de uma loja pretende comprar uma televisão, que custa 1000 reais à vista, em 5 
parcelas iguais. Sabendo que a loja cobra uma taxa de juros de 6% ao mês nas compras a prazo, 
qual o valor de cada parcela e o valor total que o cliente irá pagar? 
Quando compramos algo parcelado, os juros determinam o valor final que iremos pagar. Assim, se 
compramos uma televisão a prazo iremos pagar um valor corrigido pela taxa cobrada. 
Ao parcelamos esse valor em cinco meses, se não houvesse juros, pagaríamos 200 reais por mês 
(1000 divididos por 5). Mas foi acrescido 6 % a esse valor, então temos: 
 
 
Desta forma, teremos um acréscimo de R$ 12 ao mês, ou seja, cada prestação será de R$ 212,00. 
Isso significa que, no final, pagaremos R$ 60,00 a mais do valor inicial. 
Logo, o valor total da televisão a prazo é de R$1060,00. 
Fórmula: como calcular o juros simples? 
A fórmula para calcular os juros simples é expressa por: 
J = C . i . t 
Onde, 
J: juros 
C: capital 
i: taxa de juros. Para substituir na fórmula, a taxa deverá estar escrita na forma de número 
decimal. Para isso, basta dividir o valor dado por 100. 
t: tempo. A taxa de juros e o tempo devem se referir à mesma unidade de tempo. 
Podemos ainda calcular o montante, que é o valor total recebido ou devido, ao final do período de 
tempo. Esse valor é a soma dos juros com valor inicial (capital). 
Sua fórmula será: 
M = C + J → M = C + C . i . t 
Da equação acima, temos, portanto, a expressão: 
M = C . (1 + i . t) 
 
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Exemplo 1 
Quanto rendeu a quantia de R$ 1200,00, aplicado a juros simples, com a taxa de 2% ao mês, no 
final de 1 ano e 3 meses? 
Sendo: 
C = 1200 
i = 2% ao mês = 0,02 
t = 1 ano e 3 meses = 15 meses (tem que transformar em meses para ficar na mesma unidade de 
tempo da taxa de juros. 
J = C . i . t = 1200 . 0,02 . 15 = 360 
Assim, o rendimento no final do período será de R$ 360,00. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO RESOLVIDOS 
 
Exercício 1 
Lúcia emprestou 500 reais para sua amiga Márcia mediante uma taxa de 4% ao mês, que por sua 
vez,se comprometeu em pagar a dívida num período de 3 meses. Calcule o valor que Márcia no 
final pagará para a Lúcia. 
Ver Resposta 
Primeiro temos que transformar a taxa de juros para número decimal, dividindo o valor dado por 
100. Depois vamos calcular o valor da taxa de juros sobre o capital (principal) durante o período de 
1 mês: 
Logo: 
J = 0,04. 500 = 20 
Portanto, o valor dos juros em 1 mês será de R$20,00. 
Se a Márcia ficou de pagar sua dívida em 3 meses, basta calcular o valor dos juros referente a 1 
mês pelo período, ou seja R$ 20,00 . 3 meses = R$ 60,00. No total, ela pagará um valor de R$ 
560,00. 
 
Outra maneira de calcular o valor total que Márcia pagará a amiga é aplicando a fórmula do 
montante (soma dos juros ao valor principal): 
Logo, 
 
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M = C . (1 + i . t) 
M = 500 . (1 + 0,04 . 3) 
M = 500 . 1,12 
M = R$ 560,00 
 
Exercício 2 
(Enem-2011) Um jovem investidor precisa escolher qual investimento lhe trará maior retorno 
financeiro em um aplicação de R$ 500,00. Para isso, pesquisa o rendimento e o imposto a ser pago 
em dois investimentos: poupança e CDB (certificado de depósito bancário). As informações 
obtidas estão resumidas no quadro: 
 Rendimento Mensal (%) IR (imposto de renda) 
Poupança 0,560 isento 
CDB 0,876 4% (sobre o ganho) 
Para o jovem investidor, ao final de um mês, a aplicação mais vantajosa é: 
a) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 502,80. 
b) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 500,56. 
c) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,38. 
d) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,21. 
e) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 500,87. 
Ver Resposta 
Resposta correta: d) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,21. 
Para sabermos qual das alternativas é mais vantajosa para o jovem investidor, devemos calcular o 
rendimento que ele terá em ambos os casos: 
Poupança: 
Aplicação: R$ 500,00 
Rendimento Mensal (%): 0,56 
Isento de Imposto de Renda 
Logo, 
Primeiro dividir a taxa por 100, para transformar em número decimal, depois aplicar ao capital: 
0,0056 * 500 = 2,8 
Portanto, o ganho na poupança será de 2,8 + 500 = R$502,80 
CDB (certificado de depósito bancário) 
Aplicação: R$500 
 
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Rendimento Mensal (%): 0,876 
Imposto de Renda: 4% sobre o ganho 
Logo, 
Transformando a taxa para para decimal encontramos 0,00876, aplicando ao capital: 
0,00876 * 500= 4,38 
Portanto, o ganho no CDB será de 4,38 + 500 = R$504,38 
No entanto, não devemos esquecer de aplicar a taxa do imposto de renda (IR) sobre o valor 
encontrado: 
4% de 4,38 
0,04 * 4,38= 0,1752 
Para encontrarmos o valor final, subtraímos esse valor no ganho acima: 
4,38 - 0,1752 = 4,2048 
Portanto, o saldo final do CDB será de R$504,2048 que é aproximadamente R$ 504,21 
Alternativa d: o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,21 
 
 
 
 
JUROS COMPOSTOS 
Os Juros Compostos são calculados levando em conta a atualização do capital, ou seja, o juro 
incide não apenas no valor inicial, mas também sobre os juros acumulados (juros sobre juros). 
Esse tipo de juros, chamado também de “capitalização acumulada”, é muito utilizado nas 
transações comerciais e financeiras (sejam dívidas, empréstimos ou investimentos). 
Exemplo 
Uma aplicação de R$10.000, no regime de juros compostos, é feita por 3 meses a juros de 10% ao 
mês. Qual o valor que será resgatado ao final do período? 
Mês Juros Valor 
1 10% de 10000 = 1000 10000 + 1000 = 11000 
 
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Mês Juros Valor 
2 10% de 11000 = 1100 11000 + 1100 = 12100 
3 10% de 12100 = 1210 12100 + 1210 = 13310 
Note que o juro é calculado usando o valor já corrigido do mês anterior. Assim, ao final do período 
será resgatado o valor de R$13.310,00. 
Para compreendermos melhor, é necessário conhecer alguns conceitos utilizados em matemática 
financeira. São eles: 
 Capital: valor inicial de uma dívida, empréstimo ou investimento. 
 Juros: valor obtido quando aplicamos a taxa sobre o capital. 
 Taxa de Juros: expressa em porcentagem (%) no período aplicado, que pode ser dia, mês, 
bimestre, trimestre ou ano. 
 Montante: o capital acrescido dos juros, ou seja, Montante = Capital + Juros. 
Fórmula: Como Calcular os Juros Compostos? 
Para calcular os juros compostos, utiliza-se a expressão: 
M = C (1+i)t 
Onde, 
M: montante 
C: capital 
i: taxa fixa 
t: período de tempo 
Para substituir na fórmula, a taxa deverá estar escrita na forma de número decimal. Para isso, 
basta dividir o valor dado por 100. Além disso, a taxa de juros e o tempo devem se referir à mesma 
unidade de tempo. 
Se pretendemos calcular somente os juros, aplicamos a seguinte fórmula: 
J = M - C 
Exemplos 
Para entender melhor o cálculo, vejamos abaixo exemplos sobre a aplicação dos juros compostos. 
1) Se um capital de R$500 é aplicado durante 4 meses no sistema de juros compostos sob uma 
taxa mensal fixa que produz um montante de R$800, qual será o valor da taxa mensal de juros? 
Sendo: 
https://www.todamateria.com.br/matematica-financeira-conceitos-formulas/
https://www.todamateria.com.br/matematica-financeira-conceitos-formulas/
 
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C = 500 
M = 800 
t = 4 
Aplicando na fórmula, temos: 
 
Uma vez que a taxa de juros é apresentada na forma de porcentagem, devemos multiplicar o valor 
encontrado por 100. Assim, o valor da taxa mensal de juros será de 12,5 % ao mês. 
2) Quanto receberá de juros, no fim de um semestre, uma pessoa que investiu, a juros compostos, 
a quantia de R$5.000,00, à taxa de 1% ao mês? 
Sendo: 
C = 5000 
i = 1% ao mês (0,01) 
t = 1 semestre = 6 meses 
Substituindo, temos: 
M = 5000 (1 + 0,01)6 
M = 5000 (1,01)6 
M = 5000 . 1,061520150601 
M = 5307,60 
Para encontrar o valor dos juros devemos diminuir do montante o valor do capital, assim: 
J = 5307,60 - 5000 = 307,60 
O juro recebido será de R$ 307,60. 
3) Qual deve ser o tempo para que a quantia de R$20 000,00 gere o montante de R$ 21 648,64, 
quando aplicado à taxa de 2% ao mês, no sistema de juros compostos? 
Sendo: 
C = 20000 
M = 21648,64 
i = 2% ao mês (0,02) 
 
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Substituindo: 
 
O tempo deverá ser de 4 meses. 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO RESOLVIDOS 
1. Anita resolve aplicar R$300 num investimento que rende 2% ao mês no regime de juros 
compostos. Nesse caso, calcule o valor que ela terá de investimento ao final de três meses. 
RESPOSTA 
Ao aplicar a fórmula dos juros compostos teremos: 
Mn= C (1+i)t 
M3 = 300.(1+0,02)3 
M3 = 300.1,023 
M3 = 300.1,061208 
M3 = 318,3624 
Lembre-se que no sistema de juros compostos o valor de rendimento será aplicado ao montante 
acrescido por cada mês. Sendo assim: 
1°mês: 300+0,02.300 = R$306 
2°mês: 306+0,02.306 = R$312,12 
3° mês: 312,12+0,02.312,12 = R$318,36 
Ao final do terceiro mês Anita terá aproximadamente R$318,36. 
 
2. 
Considere que uma pessoa decida investir uma determinada quantia e que sejam apresentadas 
três possibilidades de investimento, com rentabilidades líquidas garantidas pelo período de um 
ano, conforme descritas: 
Investimento A: 3% ao mês 
Investimento B: 36% ao ano 
Investimento C: 18% ao semestre 
 
76 
 
As rentabilidades, para esses investimentos, incidem sobre o valor do período anterior. O quadro 
fornece algumas aproximações para a análise das rentabilidades: 
n 1,03n 
3 1,093 
6 1,194 
9 1,305 
12 1,426 
Para escolher o investimento com maior rentabilidade anual, essa pessoa deverá: 
A) escolher qualquer um dos investimentos A, B ou C, pois as suas rentabilidades anuais são iguais 
a 36%. 
B) escolher os investimentos A ou C, pois suas rentabilidades anuais são iguais a 39%. 
C) escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade anual é maior que as rentabilidades anuais 
dos investimentos B e C. 
D) escolher o investimento B, pois sua rentabilidade de 36% é maior que as rentabilidades de 3% 
do investimento A e de 18% do investimento C. 
E) escolher o investimento C, pois sua rentabilidade de 39% ao ano é maior que a rentabilidade de 
36% ao ano dos investimentos A e B. 
RESPOSTA 
Para encontrara melhor forma de investimento, devemos calcular cada um dos investimentos no 
período de uma ano (12 meses): 
Investimento A: 3% ao mês 
1 ano = 12 meses 
Rendimento de 12 meses = (1 + 0,03)12 − 1 = 1,0312 − 1 = 1,426 – 1 = 0,426 (aproximação 
fornecida na tabela) 
Logo, o investimento de 12 meses (1 ano) será de 42,6%. 
Investimento B: 36% ao ano 
Nesse caso, já está dada a resposta, ou seja, o investimento no período de 12 meses (1 ano) será 
de 36%. 
Investimento C: 18% ao semestre 
1 ano = 2 semestres 
Rendimento nos 2 semestres = (1 + 0,18)2 − 1 = 1,182 − 1 = 1,3924 – 1 = 0,3924 
Ou seja, o investimento no período de 12 meses (1 ano) será de 39,24% 
 
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Logo, ao analisarmos os valores obtidos concluímos que a pessoa deverá: “escolher o investimento 
A, pois a sua rentabilidade anual é maior que as rentabilidades anuais dos investimentos B e C”. 
Alternativa C: escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade anual é maior que as 
rentabilidades anuais dos investimentos B e C. 
 
 
 
ESTATÍSTICA 
A Média Aritmética de um conjunto de dados é obtida somando todos os valores e dividindo o 
valor encontrado pelo número de dados desse conjunto. 
É muito utilizada em estatística como uma medida de tendência central. 
Pode ser simples, onde todos os valores possuem a mesma importância, ou ponderada, quando 
considera pesos diferentes aos dados. 
Média Aritmética Simples 
Esse tipo de média funciona de forma mais adequada quando os valores são relativamente 
uniformes. 
Por ser sensível aos dados, nem sempre fornece os resultados mais adequados. 
Isso porque todos os dados possuem a mesma importância (peso). 
Fórmula 
 
Onde, 
Ms: média aritmética simples 
x1, x2, x3,...,xn: valores dos dados 
n: número de dados 
Exemplo: 
Sabendo que as notas de um aluno foram: 8,2; 7,8; 10,0; 9,5; 6,7, qual a média que ele obteve no 
curso? 
 
78 
 
 
Média Aritmética Ponderada 
A média aritmética ponderada é calculada multiplicando cada valor do conjunto de dados pelo seu 
peso. 
Depois, encontra-se a soma desses valores que será dividida pela soma dos pesos. 
Fórmula 
 
Onde, 
Mp: Média aritmética ponderada 
p1, p2,..., pn: pesos 
x1, x2,...,xn: valores dos dados 
Exemplo: 
Considerando as notas e os respectivos pesos de cada uma delas, indique qual a média que o 
aluno obteve no curso. 
Disciplina Nota Peso 
Biologia 8,2 3 
Filosofia 10,0 2 
Física 9,5 4 
Geografia 7,8 2 
História 10,0 2 
Língua Portuguesa 9,5 3 
Matemática 6,7 4 
 
79 
 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO RESOLVIDOS 
1- Um investidor deseja comprar duas das empresas listadas na tabela. Para tal, ele calcula a 
média da receita bruta anual dos últimos três anos (de 2009 até 2011) e escolhe as duas 
empresas de maior média anual. 
As empresas que este investidor escolhe comprar são: 
a) Balas W e Pizzaria Y. 
b) Chocolates X e Tecelagem Z. 
c) Pizzaria Y e Alfinetes V. 
d) Pizzaria Y e Chocolates X. 
e) Tecelagem Z e Alfinetes V. 
RESPOSTA 
Média de Alfinetes V = (200 + 220 + 240) / 3 = 220 
Média de Balas W = (200 + 230 + 200) / 3 = 210 
Média de Chocolates X = (250 + 210 + 215) / 3 = 225 
Média de Pizzaria Y = (230 + 230 + 230) / 3 = 230 
Média de P Tecelagem Z = (160 + 210 + 245) / 3 = 205 
As duas empresas que apresentam as maiores médias da receita bruta anual são Pizzaria Y e 
Chocolates X, com 230 e 225 respectivamente. 
Alternativa d: Pizzaria Y e Chocolates X. 
 
2. Ao final de uma competição de ciências em uma escola, restaram apenas três candidatos. 
De acordo com as regras, o vencedor será o candidato que obtiver a maior média ponderada entre 
as notas das provas finais de química e física, considerando, respectivamente, os pesos 4 e 6 para 
elas. As notas são sempre números inteiros. 
Por questões médicas, o candidato II ainda não fez a prova final de química. No dia em que sua 
avaliação for aplicada, as notas dos outros dois candidatos, em ambas as disciplinas, já terão sido 
divulgadas. 
O quadro apresenta as notas obtidas pelos finalistas nas provas finais. 
 
80 
 
Candidato Química Física 
I 20 23 
II x 25 
III 21 18 
A menor nota que o candidato II deverá obter na prova final de química para vencer a competição 
é: 
a) 18 
b) 19 
c) 22 
d) 25 
e) 26 
RESPOSTA 
Candidato I 
Média Ponderada (MP) = (20 * 4 + 23 * 6) / 10 
MP = (80 + 138) / 10 
MP = 22 
Candidato III 
Média Ponderada (MP) = (21 * 4 + 18 * 6) / 10 
MP = (84 + 108) / 10 
MP = 19 
Candidato II 
Média Ponderada (MP) = (x * 4 + 25 * 6) / 10 > 22 
MP = (x * 4 + 25 * 6) / 10 = 22 
4x + 150 = 220 
4x = 70 
x = 70 / 4 
X = 17,5 
Assim, como as notas são sempre números inteiros, a menor nota que o candidato II deverá obter 
na prova final de química para vencer a competição é 18. 
Alternativa a: 18. 
 
 
 
 
 
 
 
81 
 
 
 
RAZÃO E PROPRÇÃO 
Na matemática, a razão estabelece uma comparação entre duas grandezas, sendo o coeficiente 
entre dois números. 
Já a proporção é determinada pela igualdade entre duas razões, ou ainda, quando duas razões 
possuem o mesmo resultado. 
Note que a razão está relacionada com a operação da divisão. Vale lembrar que duas grandezas 
são proporcionais quando formam uma proporção. 
Ainda que não tenhamos consciência disso, utilizamos cotidianamente os conceitos de razão e 
proporção. Para preparar uma receita, por exemplo, utilizamos certas medidas proporcionais 
entre os ingredientes. 
Atenção! 
Para você encontrar a razão entre duas grandezas, as unidades de medida terão de ser as mesmas. 
Exemplos 
A partir das grandezas A e B temos: 
Razão: ou A : B, onde b≠0 
Proporção: , onde todos os coeficientes são ≠0 
Exemplo 1 
Qual a razão entre 40 e 20? 
 
Lembre-se que numa fração, o numerador é o número acima e o denominador, o de baixo. 
 
https://www.todamateria.com.br/unidades-de-medida/
https://www.todamateria.com.br/fracoes/
 
82 
 
Se o denominador for igual a 100, temos uma razão do tipo porcentagem, também chamada de 
razão centesimal. 
 
Além disso, nas razões, o coeficiente que está localizado acima é chamado de antecedente (A), 
enquanto o de baixo é chamado de consequente (B). 
 
Exemplo 2 
Qual o valor de x na proporção abaixo? 
 
3 . 12 = x 
x = 36 
Assim, quando temos três valores conhecidos, podemos descobrir o quarto, também chamado de 
“quarta proporcional”. 
Na proporção, os elementos são denominados de termos. A primeira fração é formada pelos 
primeiros termos (A/B), enquanto a segunda são os segundos termos (C/D). 
Nos problemas onde a resolução é feita através da regra de três, utilizamos o cálculo da proporção 
para encontrar o valor procurado. 
Veja também: Grandezas diretamente e inversamente proporcionais 
Propriedades da Proporção 
1. O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, por exemplo: 
 
Logo: 
A·D = B·C 
https://www.todamateria.com.br/porcentagem/
https://www.todamateria.com.br/regra-de-tres-simples-e-composta/
https://www.todamateria.com.br/grandezas-proporcionais-grandezas-diretamente-inversamente-proporcionais/
 
83 
 
Essa propriedade é denominada de multiplicação cruzada. 
2. É possível trocar os extremos e os meios de lugar, por exemplo: 
é equivalente 
Logo, 
D. A = C . B 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO RESOLVIDOS 
1. Calcule a razão entre os números: 
a) 120:20 
b) 345:15 
c) 121:11 
d) 2040:40 
RESPOSTA 
a) 6 
b) 23 
c) 11 
d) 51 
 
2. Qual das proporções abaixo são iguais à razão entre 4 e 6? 
a) 2 e 3 
b) 2 e 4 
c) 4 e 12 
d) 4 e 8 
RESPOSTA 
Alternativa a: 2 e 3que são utilizados para a resolução das equações. 
Basicamente têm-se a adição, a subtração, a divisão e a multiplicação, que, apesar de abrangerem 
um raciocínio simples, são de suma importância para realização de qualquer cálculo matemático, 
como por exemplo, na tabuada. As escolas já apresentam esses conteúdos nas séries iniciais e à 
medida que os alunos vão avançando compreendem os conceitos mais complexos. 
 
Adição 
 
Na adição existe o cálculo de adicionar números naturais a outros. Essa operação matemática 
também é conhecida popularmente como soma. O resultado final da adição é chamado de total ou 
soma e os números utilizados são as parcelas. O operador aritmético, ou seja, o sinal que indica o 
seu cálculo é o (+). Observe o exemplo: 
 
6 (parcela) + 2 (parcela) = 8 (soma ou total) 
 
As propriedades da adição são: 
 
 
- Elemento neutro: zero, ou seja, qualquer número somado a zero terá como resultado ele mesmo. 
Ex.: 6 + 0 = 6. 
- Comutatividade: a ordem de duas parcelas não altera o resultado final. Ex.: 8 + 2 = 10 e 2 + 8 = 10. 
- Associatividade: a ordem de mais de duas parcelas também não altera o resultado, mas é 
necessário considerar a regra do uso dos parênteses, que significa que deve-se iniciar a adição a 
partir do que está dentro deles. Ex.: 8 + (2 + 1) = 11 e (8 + 2) + 1 = 11. 
- Números negativos e positivos: os números positivos e negativos podem ser somados, mas 
existem algumas regras que devem ser consideradas. Quando os números possuem sinais diferentes 
(negativos e positivos) o resultado acompanhará o sinal do número maior. Ex.: (-3) + 4 = 1. Já no 
caso de dois números negativos, o resultado também será negativo. Ex.: (-8) + (-7) = - 1. 
 
 
 
Representação da operação matemática de adição (Foto: Pixabay). 
 
 
Subtração 
https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/tabuada
 
8 
 
 
 
A subtração abrange a redução de um número por outro. Os seus elementos são: minuendo, 
subtraendo e diferença ou resto. O (-) é o sinal utilizado na operação. Veja o exemplo: 
 
8 (minuendo) – 2 (subtraendo) = 6 (diferença ou resto) 
 
As propriedades da subtração são: 
 
 
- O resultado é alterado no caso de mudança na ordem de apresentação dos valores, e nesse caso 
a diferença terá o sinal trocado. Ex.: 8 - 2 = 6 é diferente de 2 - 8 = -6. 
- Não existe elemento neutro. 
 
 
Multiplicação 
 
A Multiplicação está intimamente relacionada à adição, pois pode-se dizer que ela é a soma de um 
número pela quantidade de vezes que deverá ser multiplicado. O símbolo mais conhecido é o (x), 
mas muitas pessoas utilizam o (*) ou (.) para representar essa operação. Os nomes dados aos seus 
elementos são fatores e produtos. Vejamos um exemplo: 
 
4 (fator) x 4 (fator) = 16 (produto) 
 
Observe que o exemplo também poderia ser representado: 4 + 4 + 4 + 4 = 16. 
 
As propriedades da Multiplicação são: 
 
 
- Comutatividade: a ordem dos fatores não altera o produto. Ex.: 4 x 2 = 8 e 2 x 4 = 8. 
- Associatividade: quando tem mais de dois fatores não importa a sua ordem, pois o resultado será 
o mesmo. Ex.: (3 x 5) x 2 = 30 ou 3 x (5 x 2) = 30 
- Distributividade: quando temos que multiplicar e somar devemos iniciar o cálculo pela 
multiplicação, mesmo que a soma esteja dentro de parênteses. Ex.: 2 x (3 + 3) = (2 x 3) + (2 x 3) = 6 
+ 6 = 12. 
- Elemento neutro: número 1, sendo que qualquer número multiplicado por ele resultará nele 
mesmo. 
 
Divisão 
 
 
Nessa operação é possível dividir dois números em partes iguais. Essa operação tem os seguintes 
elementos: dividendo, divisor, quociente e resto. O sinal utilizado é (÷), mas podemos ver também 
os sinais (/) ou (:). Observe o exemplo: 
 
31 (dividendo) ÷ 2 (divisor) = 15 (quociente) 1 (resto) 
 
 
9 
 
Ao dividir 31 por 2 não temos um resultado exato, sendo assim, temos o 15 como quociente e 1 de 
resto. 
 
As propriedades da divisão são as seguintes: 
 
 
- A ordem dos elementos altera o resultado final, pois não é comutativa. Ex.: 8 ÷ 2 = 4 é diferente 
de 2 ÷ 8 = 0,25. 
- Não é associativa; na divisão os parênteses devem ser resolvidos primeiro. Ex.: (6 ÷ 3) ÷ 3 = 3 ÷ 3 = 
1 é diferente de 6 ÷ (3 ÷ 3) = 6 ÷ 1 = 6. 
- Elemento neutro: número 1, ou seja, o valor dividido por ele terá como resultado ele mesmo. 
- Números positivos e negativos: os sinais interferem no resultado final, sendo assim, quando forem 
iguais ele fica positivo, mas quando forem diferentes ele ficará negativo. Ex.: +10 ÷ +5 = +2; -10 ÷ -5 
= +2; +10 ÷ -5 = -2. 
 
 
Vale destacar que essas são as operações matemáticas mais básicas. Apesar disso, elas são utilizadas 
na realização de diversas outras operações, como, por exemplo, soma de frações e subtração de 
frações. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO RESOLVIDOS 
Exercício 1 — Adição e Subtração 
Na fazenda Morro Alto são produzidas laranjas. Assim que começou o período da colheita, 
uma grande produção já foi contabilizada. A tabela abaixo mostra a produção nos três 
primeiros dias. 
 
a) Qual a produção total nos três primeiros dias? 
b) De quanto foi a queda na produção entre o dia de maior e menor produção? 
 
RESULTADO: 
 
https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/soma-de-fracoes
https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/subtracao-de-fracoes
https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/subtracao-de-fracoes
 
10 
 
a) 
O total da produção nos três dias foi de 10 379 laranjas. 
b) 1 140 laranjas. 
O dia de maior produção foi terça-feira, com 4 127 laranjas e, o de menor produção foi 
quarta-feira, com 2 987 laranjas. A diferença é o resultado da subtração entre estes valores. 
 
Portanto, da terça-feira para quarta-feira houve uma queda na produção de 1 140 laranjas. 
 
Exercício 2 - Multiplicação 
Elisa está a procura de uma televisão para colocar em sua sala. Ela viu um anúncio de um 
modelo novo com as opções de pagamento à vista e a prazo. 
 
Quanto Elisa pagará a mais se optar pelo pagamento a prazo? 
 
11 
 
 
RESPOSTA: 
Resposta: Pagará a mais R$ 306,00. 
Estratégia: subtrair o total a prazo do preço à vista. 
Total a prazo 
Para o pagamento a prazo devemos multiplicar as parcelas para conhecer o total. 
 
Diferença entre os dois valores 
 
Portanto, optando pelo sistema a prazo, Elisa pagará R$ 306,00 a mais do que se optasse 
pelo sistema à vista. 
 
Exercício 3 — Fração 
Em uma gincana de férias, 75 crianças se inscreveram para participar das atividades de 
recreação. De modo a organizarem os jogos e atividades, eles verificaram a faixa etária dos 
inscritos e constataram que 2/5 das crianças têm mais de doze anos. Quantos participantes 
tem menos que 12 anos? 
 
RESPOSTA: 
Resposta: 45 crianças. 
Se 2/5 das crianças têm mais de 12 anos, 3/5 têm menos de 12 anos, pois 
 
Para calcular quanto é 3/5 de 75, fazemos 
 
Desta forma, 45 crianças têm menos de 12 anos. 
 
 
12 
 
 
 
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE 
Os critérios de divisibilidade nos ajudam a saber antecipadamente quando um número natural é 
divisível por um outro. 
Ser divisível significa que quando dividimos esses números, o resultado será um número natural e 
o resto será igual a zero. 
Vamos apresentar os critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10. 
Divisibilidade por 2 
Todo número cujo algarismo da unidade é par será divisível por 2, ou seja, os números terminados 
por 0, 2, 4, 6 e 8. 
Exemplo 
O número 438 é divisível por 2, pois termina em 8, que é um número par. 
Divisibilidade por 3 
Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismo é um número divisível por 3. 
Exemplo 
Verifique se os números 65283 e 91277 são divisíveis por 3. 
Solução 
Somando os algarismos dos números indicados, temos: 
6 + 5 + 2 + 8 + 3 = 24 
9 + 1 + 2 + 7 + 7 = 26 
Como 24 é um número divisível por 3 (8 . 3 = 24), então 65283 é divisível por 3. Já o número 26, 
não é divisível por 3, portanto, 91277 também não é divisível por 3. 
Divisibilidade por 4 
Para um número ser divisível por 4 é necessário que seusdois últimos algarismos sejam 00 ou 
divisíveis por 4. 
 
13 
 
Exemplo 
Qual das opções abaixo apresenta um números que não é divisível por 4? 
a) 35748 
b) 20500 
c) 97235 
d) 70832 
Solução 
Para responder a questão, vamos verificar os dois últimos algarismos de cada opção: 
a) Divisibilidade por 5 
48 é divisível por 4 (12 . 4 = 48). 
b) 00 é divisível por 4. 
c) 35 não é divisível por 4, pois não existe nenhum número natural que multiplicado por 4 seja 
igual a 35. 
d) 32 é divisível por 4 ( 8 . 4 = 32) 
Portanto, a resposta é a letra c. O número 97235 não é divisível por 4.S 
Um número será divisível por 5 quando o algarismo da unidade for igual a 0 ou 5. 
Exemplo 
Comprei um pacote com 378 canetas e quero guardá-las em 5 caixas, de forma que em cada caixa 
tenha o mesmo número de canetas e que não sobre nenhuma caneta. Isso será possível? 
Solução 
O algarismo da unidade do número 378 é diferente de 0 e 5, logo não será possível dividir as 
canetas em 5 partes iguais sem sobrar resto. 
Divisibilidade por 6 
Para um número ser divisível por 6 é necessário que seja ao mesmo tempo divisível por 2 e por 3. 
Exemplo 
Verifique se o número 43722 é divisível por 6. 
Solução 
O algarismo da unidade do número é par, logo ele é divisível por 2. Temos ainda que verificar se 
também é divisível por 3, para isso vamos somar todos os algarismos: 
 
14 
 
4 + 3 + 7 + 2 + 2 = 18 
Como o número é divisível por 2 e por 3, também será divisível por 6. 
Divisibilidade por 7 
Para saber se um número é divisível por 7 siga os seguintes passos: 
 Separe o algarismo da unidade do número 
 Multiplique esse algarismo por 2 
 Subtraia o valor encontrado do restante do número 
 Verifique se o resultado é divisível por 7. Se não souber se o número encontrado é divisível por 7, 
repita todo o procedimento com o último número encontrado. 
Exemplo 
Verifique se o número 3625 é divisível por 7. 
Solução 
Primeiro, vamos separar o algarismo da unidade, que é 5 e multiplicá-lo por 2. O resultado 
encontrado é 10. O número sem a unidade é 362, subtraindo 10, temos: 362 - 10 = 352. 
Contudo, não sabemos se esse número é divisível por 7, então faremos novamente o processo, 
conforme indicado abaixo: 
35 - 2.2 = 35 - 4 = 31 
Como 31 não é divisível por 7, o número 3625 também não é divisível por 7. 
Divisibilidade por 8 
Um número será divisível por 8 quando os seus três últimos algarismos formem um número 
divisível por 8. Esse critério é mais útil para números com muitos algarismos. 
Exemplo 
O resto da divisão do número 389 823 129 432 por 8 é igual a zero? 
Solução 
Se o número for divisível por 8 o resto da divisão será igual a zero, então vamos verificar se é 
divisível. 
O número formado pelos seus 3 últimos algarismos é 432 e este número é divisível por 8, pois 54 . 
8 = 432. Portanto, o resto da divisão do número por 8, será igual a zero. 
Divisibilidade por 9 
 
15 
 
O critério de divisibilidade por 9 é muito parecido com o critério do 3. Para ser divisível por 9 é 
necessário que a soma dos algarismos que formam o número seja divisível por 9. 
Exemplo 
Verifique se o número 426 513 é divisível por 9. 
Solução 
Para verificar, basta somar os algarismos do número, ou seja: 
4 + 2 + 6 + 5 + 1 + 3 = 21 
Como 21 não é divisível por 9, então o número 426 513 também não será. 
Divisibilidade por 10 
Todo número que o algarismo da unidade é igual a zero é divisível por 10. 
Exemplo 
O resultado da expressão 76 + 2 . 7 é um número divisível por 10? 
Solução 
Resolvendo a expressão: 
76 + 2 . 7 = 76 + 14 = 90 
90 é divisível por 10, pois termina com 0. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO RESOLVIDOS 
1) Dentre os números apresentados abaixo, o único que não é divisível por 7 é: 
a) 546 
b) 133 
c) 267 
d) 875 
RESPOSTA 
Usando o critério para o 7, temos: 
a) 54 - 6 . 2 = 54 - 12 = 42 (divisível por 7) 
b) 13 - 3 . 2 = 13 - 6 = 7 (divisível por 7) 
 
16 
 
c) 26 - 7 . 2 = 26 - 14 = 12 (não é divisível por 7) 
d) 87 - 5 . 2 = 87 - 10 = 77 (divisível por 7) 
Alternativa: c) 267 
 
2) Analise as seguintes afirmações: 
I - O número 3 744 é divisível por 3 e por 4. 
II - O resultado da multiplicação de 762 por 5 é um número divisível por 10. 
III - Todo número par é divisível por 6. 
Assinale a alternativa correta 
a) Apenas a afirmação I é verdadeira. 
b) As alternativas I e III são falsas. 
c) Todas as afirmações são falsas. 
d) Todas as afirmações são verdadeiras. 
e) Apenas as alternativas I e II são verdadeiras. 
RESPOSTA 
Analisando cada afirmação: 
I - O número é divisível por 3: 3 + 7 + 4 + 4 = 18 e também é divisível por 4: 44 = 11 . 4. Afirmação 
verdadeira. 
II - Multiplicando 762 por 5 encontramos 3810 que é um número divisível por 10, pois acaba com 
0. Afirmação verdadeira. 
III - Por exemplo o número 16 é par e não é divisível por 6, logo nem todo número par é divisível 
por 6. Portanto, essa afirmação é falsa. 
Alternativa: e) Apenas as alternativas I e II são verdadeiras. 
 
3) Para que o número 3814b seja divisível por 4 e por 8 é necessário que b seja igual a: 
a) 0 
b) 2 
c) 4 
d) 6 
e) 8 
RESPOSTA 
Vamos substituir os valores indicados e usar os critérios de divisibilidade para encontrar o 
algarismo que torna o número divisível por 4 e por 8. 
Substituindo por zero, os dois últimos algarismos formarão o número 40 que é divisível por 4, mas 
o número 140 não é divisível por 8. 
 
17 
 
Por 2, teremos 42 que não é divisível por 4 e 142 e também não é por 8. Já quando substituímos 
por 4, temos 44 que é divisível por 4 e 144 e também é divisível por 8. 
Também não será 6, pois 46 não é divisível por 4 e 146 e nem por 8. Finalmente, substituindo por 
8, temos que o 48 é divisível por 4, mas o 148 não é por 8. 
Alternativa: c) 4 
 
 
 
 
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM E MÁXIMO DIVISOR 
COMUM 
O mínimo múltiplo comum (MMC ou M.M.C) e o máximo divisor comum (MDC ou M.D.C) podem 
ser calculados simultaneamente através da decomposição em fatores primos. 
Por meio da fatoração, o MMC de dois ou mais números é determinado pela multiplicação dos 
fatores. Já o MDC é obtido pela multiplicação dos números que os dividem ao mesmo tempo. 
1º passo: fatoração dos números 
A fatoração consiste na representação em números primos, chamados fatores. Por exemplo, 2 x 2 
é a forma fatorada de 4. 
A forma fatorada de um número é obtida seguindo a sequência: 
 Inicia-se com a divisão pelo menor número primo possível; 
 O quociente da divisão anterior também é dividido pelo menor número primo possível; 
 Repete-se a divisão até que o resultado seja o número 1. 
Exemplo: fatoração do número 40. 
 
Portanto, a forma fatorada do número 40 é 2 x 2 x 2 x 5, que é o mesmo que 23 x 5. 
 
18 
 
2º passo: cálculo do MMC 
A decomposição de dois números simultaneamente terá como resultado a forma fatorada do 
mínimo múltiplo comum entre eles. 
Exemplo: fatoração dos números 40 e 60. 
 
A multiplicação dos fatores primos 2 x 2 x 2 x 3 x 5 tem como forma fatorada 23 x 3 x 5. 
Portanto, o MMC de 40 e 60 é: 23 x 3 x 5 = 120. 
Vale lembrar que as divisões sempre serão feitas pelo menor número primo possível, mesmo que 
esse número divida apenas um dos componentes. 
Saiba mais sobre o Mínimo Múltiplo Comum. 
3º passo: cálculo do MDC 
O máximo divisor comum é encontrado quando multiplicamos os fatores que dividem 
simultaneamente os números fatorados. 
Na fatoração de 40 e 60, podemos perceber que o número 2 foi capaz de dividir duas vezes o 
quociente da divisão e o número 5 uma vez. 
 
Portanto, o MDC de 40 e 60 é: 22 x 5 = 20. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO RESOLVIDOS 
Exercício 1 
Determine simultaneamente o MMC e o MDC entre 10, 20 e 30. 
RESPOSTA 
Resposta correta: MMC = 60 e MDC = 10. 
1º passo: decomposição em fatores primos. 
Efetue a divisão pelos menores números primos possíveis. 
 
2º passo: cálculo do MMC. 
https://www.todamateria.com.br/mmc-minimo-multiplo-comum/
 
19 
 
Multiplique os fatores encontrados anteriormente.MMC: 2 x 2 x 3 x 5 = 22 x 3 x 5 = 60 
3º passo: cálculo do MDC. 
Multiplique os fatores que dividem os números ao mesmo tempo. 
 
MDC: 2 x 5 = 10 
 
Exercício 2 
Determine simultaneamente o MMC e o MDC entre15, 25 e 45. 
RESPOSTA 
Resposta correta: MMC = 225 e MDC = 5. 
1º passo: decomposição em fatores primos. 
Efetue a divisão pelos menores números primos possíveis. 
 
2º passo: cálculo do MMC. 
Multiplique os fatores encontrados anteriormente. 
MMC: 3 x 3 x 5 x 5 = 32 x 52 = 225 
3º passo: cálculo do MDC 
Multiplique os fatores que dividem os números ao mesmo tempo. 
 
MDC: 5 
 
 
RAZÃO E PROPRÇÃO 
Na matemática, a razão estabelece uma comparação entre duas grandezas, sendo o coeficiente 
entre dois números. 
 
20 
 
Já a proporção é determinada pela igualdade entre duas razões, ou ainda, quando duas razões 
possuem o mesmo resultado. 
Note que a razão está relacionada com a operação da divisão. Vale lembrar que duas grandezas 
são proporcionais quando formam uma proporção. 
Ainda que não tenhamos consciência disso, utilizamos cotidianamente os conceitos de razão e 
proporção. Para preparar uma receita, por exemplo, utilizamos certas medidas proporcionais 
entre os ingredientes. 
Atenção! 
Para você encontrar a razão entre duas grandezas, as unidades de medida terão de ser as mesmas. 
Exemplos 
A partir das grandezas A e B temos: 
Razão: ou A : B, onde b≠0 
Proporção: , onde todos os coeficientes são ≠0 
Exemplo 1 
Qual a razão entre 40 e 20? 
 
Lembre-se que numa fração, o numerador é o número acima e o denominador, o de baixo. 
 
Se o denominador for igual a 100, temos uma razão do tipo porcentagem, também chamada de 
razão centesimal. 
 
https://www.todamateria.com.br/unidades-de-medida/
https://www.todamateria.com.br/fracoes/
https://www.todamateria.com.br/porcentagem/
 
21 
 
Além disso, nas razões, o coeficiente que está localizado acima é chamado de antecedente (A), 
enquanto o de baixo é chamado de consequente (B). 
 
Exemplo 2 
Qual o valor de x na proporção abaixo? 
 
3 . 12 = x 
x = 36 
Assim, quando temos três valores conhecidos, podemos descobrir o quarto, também chamado de 
“quarta proporcional”. 
Na proporção, os elementos são denominados de termos. A primeira fração é formada pelos 
primeiros termos (A/B), enquanto a segunda são os segundos termos (C/D). 
Nos problemas onde a resolução é feita através da regra de três, utilizamos o cálculo da proporção 
para encontrar o valor procurado. 
Veja também: Grandezas diretamente e inversamente proporcionais 
Propriedades da Proporção 
1. O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, por exemplo: 
 
Logo: 
A·D = B·C 
Essa propriedade é denominada de multiplicação cruzada. 
2. É possível trocar os extremos e os meios de lugar, por exemplo: 
https://www.todamateria.com.br/regra-de-tres-simples-e-composta/
https://www.todamateria.com.br/grandezas-proporcionais-grandezas-diretamente-inversamente-proporcionais/
 
22 
 
é equivalente 
Logo, 
D. A = C . B 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO RESOLVIDOS 
1. Calcule a razão entre os números: 
a) 120:20 
b) 345:15 
c) 121:11 
d) 2040:40 
RESPOSTA 
a) 6 
b) 23 
c) 11 
d) 51 
 
2. Qual das proporções abaixo são iguais à razão entre 4 e 6? 
a) 2 e 3 
b) 2 e 4 
c) 4 e 12 
d) 4 e 8 
RESPOSTA 
Alternativa a: 2 e 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
SISTEMA DE MEDIDAS 
As unidades de medida são modelos estabelecidos para medir diferentes grandezas, tais 
como comprimento, capacidade, massa, tempo e volume. 
O Sistema Internacional de Unidades (SI) define a unidade padrão de cada grandeza. 
Baseado no sistema métrico decimal, o SI surgiu da necessidade de uniformizar as 
unidades que são utilizadas na maior parte dos países. 
Medidas de Comprimento 
Existem várias medidas de comprimento, como por exemplo a jarda, a polegada e o pé. 
No SI a unidade padrão de comprimento é o metro (m). Atualmente ele é definido como o 
comprimento da distância percorrida pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 
1/299.792.458 de um segundo. 
Os múltiplos e submúltiplos do metro são: quilômetro (km), hectômetro (hm), decâmetro 
(dam), decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm). 
Medidas de Capacidade 
A unidade de medida de capacidade mais utilizada é o litro (l). São ainda usadas o galão, o 
barril, o quarto, entre outras. 
Os múltiplos e submúltiplos do litro são: quilolitro (kl), hectolitro (hl), decalitro (dal), 
decilitro (dl), centilitro (cl), mililitro (ml). 
Medidas de Massa 
No Sistema Internacional de unidades a medida de massa é o quilograma (kg). Um cilindro 
de platina e irídio é usado como o padrão universal do quilograma. 
As unidades de massa são: quilograma (kg), hectograma (hg), decagrama (dag), grama (g), 
decigrama (dg), centigrama (cg) e miligrama (mg). 
São ainda exemplos de medidas de massa a arroba, a libra, a onça e a tonelada. Sendo 1 
tonelada equivalente a 1000 kg. 
Medidas de Volume 
 
24 
 
No SI a unidade de volume é o metro cúbico (m3). Os múltiplos e submúltiplos do m3 são: 
quilômetro cúbico (km3), hectômetro cúbico (hm3), decâmetro cúbico (dam3), decímetro 
cúbico (dm3), centímetro cúbico (cm3) e milímetro cúbico (mm3). 
Podemos transformar uma medida de capacidade em volume, pois os líquidos assumem a 
forma do recipiente que os contém. Para isso usamos a seguinte relação: 
1 l = 1 dm3 
Tabela de conversão de Medidas 
O mesmo método pode ser utilizado para calcular várias grandezas. 
Primeiro, vamos desenhar uma tabela e colocar no seu centro as unidades de medidas 
bases das grandezas que queremos converter, por exemplo: 
 Capacidade: litro (l) 
 Comprimento: metro (m) 
 Massa: grama (g) 
 Volume: metro cúbico (m3) 
Tudo o que estiver do lado direito da medida base são chamados submúltiplos. Os 
prefixos deci, centi e mili correspondem respectivamente à décima, centésima e milésima 
parte da unidade fundamental. 
Do lado esquerdo estão os múltiplos. Os prefixos deca, hecto e quilo correspondem 
respectivamente a dez, cem e mil vezes a unidade fundamental. 
Múltiplos 
Medida 
Base 
Submúltiplos 
quilo (k) hecto (h) deca (da) deci (d) centi (c) mili (m) 
quilolitro (kl) hectolitro (hl) 
decalitro 
(dal) 
litro (l) decilitro (dl) centilitro (cl) 
mililitro 
(ml) 
quilômetro 
(km) 
hectômetro 
(hm) 
decâmetro 
(dam) 
metro 
(m) 
decímetro 
(dm) 
centímetro 
(cm) 
milímetro 
(ml) 
quilograma 
(kg) 
hectograma 
(hg) 
decagrama 
(dag) 
grama 
(g) 
decigrama 
(dg) 
centigrama 
(cg) 
miligrama 
(mg) 
quilômetro 
cúbico (km3) 
hectômetro 
cúbico (hm3) 
decâmetro 
cúbico 
(dam3) 
metro 
cúbico 
(m3) 
decímetro 
cúbico 
(dm3) 
centímetro 
cúbico (cm3) 
milímetro 
cúbico 
(mm3) 
Exemplos 
 
25 
 
1) Quantos mililitros correspondem 35 litros? 
Para fazer a transformação pedida, vamos escrever o número na tabela das medidas de 
capacidade. Lembrando que a medida pode ser escrita como 35,0 litros . A virgula e o 
algarismo que está antes dela devem ficar na casa da unidade de medida dada, que neste 
caso é o litro. 
kl hl dal l dl cl ml 
 3 5, 0 
Depois completamos as demais caixas com zeros até chegar na unidade pedida. A vírgula 
ficará sempre atrás do algarismos que estiver na caixa da unidade pedida, que neste caso é 
o ml. 
kl hl dal l dl cl ml 
 3 5 0 0 0, 
Assim 35 litros correspondem a 35000 ml. 
2) Transforme 700 gramas em quilogramas. 
Lembrando que podemos escrever 700,0 g. Colocamos a vírgula e o 0 antes dela na 
unidade dada, neste caso g e os demais algarismos nas casas anteriores 
kg hg dag g dg cg mg 
 7 0 0, 0 
Depois completamos com zeros até chegar na casa da unidade pedida, que neste caso é o 
quilograma. A vírgula passa então para atrás do algarismo que está na casa do quilograma. 
kg hg dag g dg cg mg 
0, 7 0 0 
Então 700 g corresponde a 0,7 kg. 
3) Quantos metros cúbicos possui um paralelepípedo de 4500 centímetros cúbicos ? 
Nas transformaçõesde volume (m3), iremos proceder da mesma maneira dos exemplos 
anteriores. Contudo, devemos colocar 3 algarismos em cada casa. 
Escrevemos a medida como 4500,0 cm3. 
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 
 4 500, 0 
 
26 
 
Agora completamos com 3 algarismos cada casa até chegar a unidade pedida. 
Encontramos que 4500 cm3 correspondem a 0,0045 m3. 
E o Tempo? 
A unidade de medida base do tempo no SI é o segundo (s). Atualmente o segundo é 
definido como o tempo de duração de 9.192.631.770 vibrações da radiação emitida pela 
transição eletrônica entre os níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de césio 
133. 
Os múltiplos do segundo são o minuto, a hora e o dia. Essas medidas não são decimais, 
por isso usa-se as seguintes relações: 
1 minuto (min) = 60 segundos (s) 
1 hora = 3 600 segundos (s) 
60 minutos (min) = 1 hora (h) 
24 horas (h) = 1 dia (d) 
Os submúltiplos do segundo são: 
Décimo de segundo = 0,1 s ou 1/10 s 
Centésimo de segundo = 0,01 s ou 1/100 s 
Milésimo de segundo = 0,001 s ou 1/1000 s 
 
 
 
CÁLCULO ALGÉBRICO 
Expressões algébricas são expressões matemáticas que apresentam números, letras e operações. 
As expressões desse tipo são usadas com frequência em fórmulas e equações. 
As letras que aparecem em uma expressão algébrica são chamadas de variáveis e representam um 
valor desconhecido. 
Os números escritos na frente das letras são chamados de coeficientes e deverão ser multiplicados 
pelos valores atribuídos as letras. 
Exemplos 
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 
 000, 004 500 
 
27 
 
a) x + 5 
b) b2 – 4ac 
 
Cálculo de uma Expressão Algébrica 
O valor de uma expressão algébrica depende do valor que será atribuído às letras. 
Para calcular o valor de uma expressão algébrica devemos substituir os valores das letras e efetuar 
as operações indicadas. Lembrando que entre o coeficiente e a letras, a operação é de 
multiplicação. 
Exemplo 
O perímetro de um retângulo é calculado usando a fórmula: 
P = 2b + 2h 
Substituindo as letras com os valores indicados, encontre o perímetro dos seguintes retângulos 
 
Para saber mais sobre perímetro leia também Perímetro de figuras planas. 
Simplificação de Expressões Algébricas 
https://www.todamateria.com.br/perimetros-de-figuras-planas/
 
28 
 
Podemos escrever as expressões algébricas de forma mais simples somando seus termos 
semelhantes (mesma parte literal). 
Para simplificar iremos somar ou subtrair os coeficientes dos termos semelhantes e repetir a parte 
literal. 
Exemplos 
a) 3xy + 7xy4 - 6x3y + 2xy - 10xy4 = (3xy + 2xy) + (7xy4 - 10xy4) - 6x3y = 5xy - 3xy4 - 6x3y 
b) ab - 3cd + 2ab - ab + 3cd + 5ab = (ab + 2ab - ab + 5ab) + (- 3cd + 3cd) = 7ab 
Fatoração de Expressões Algébricas 
Fatorar significa escrever uma expressão como produto de termos. 
Transformar uma expressão algébrica em uma multiplicação de termos, frequentemente nos 
permite simplificar a expressão. 
Para fatorar uma expressão algébrica podemos usar os seguintes casos: 
Fator comum em evidência: ax + bx = x . (a + b) 
Agrupamento: ax + bx + ay + by = x . (a + b) + y . (a + b) = (x + y) . (a + b) 
Trinômio Quadrado Perfeito (Adição): a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 
Trinômio Quadrado Perfeito (Diferença): a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 
Diferença de dois quadrados: (a + b) . (a – b) = a2 – b2 
Cubo Perfeito (Soma): a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 
Cubo Perfeito (Diferença): a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3 
Para saber mais sobre fatoração, leia também: 
Monômios 
Quando uma expressão algébrica apresenta apenas multiplicações entre o coeficiente e as letras 
(parte literal), ela é chamada de monômio. 
Exemplos 
a) 3ab 
b) 10xy2z3 
c) bh (quando não aparece nenhum número no coeficiente, seu valor é igual a 1) 
Os monômios semelhantes são os que apresentam a mesma parte literal (mesmas letras com 
mesmos expoentes). 
 
29 
 
Os monômios 4xy e 30xy são semelhantes. Já os monômios 4xy e 30x2y3 não são semelhantes, pois 
as letras correspondentes não possuem o mesmo expoente. 
Polinômios 
Quando uma expressão algébrica possui somas e subtrações de monômios não semelhantes é 
chamada de polinômio. 
Exemplos 
a) 2xy + 3 x2y - xy3 
b) a + b 
c) 3abc + ab + ac + 5 bc 
Operações Algébricas 
Soma e subtração 
A soma ou a subtração algébrica é feita somando-se ou subtraindo-se os coeficientes dos termos 
semelhantes e repetindo a parte literal. 
Exemplo 
a) Somar (2x2 + 3xy + y2) com (7x2 - 5xy - y2) 
(2x2 + 3xy + y2) + (7x2 - 5xy - y2) = (2 + 7) x2 + (3 - 5) xy + (1 - 1) y2 = 9x2 - 2xy 
b) Subtrair (5ab - 3bc + a2) de (ab + 9bc - a3) 
É importante observar que o sinal de menos na frente dos parênteses inverte todos os sinais de 
dentro dos parênteses. 
(5ab - 3bc + a2) - (ab + 9bc - a3) = 5ab - 3bc + a2 - ab - 9bc + a3 = 
(5 - 1) ab + (- 3 - 9)bc + a2 + a3 = 4ab -12bc + a2 + a3 
Multiplicação 
A multiplicação algébrica é feita multiplicando-se termo a termo. 
Para multiplicar a parte literal, usamos a propriedade da potenciação para multiplicação de 
mesma base: "repete-se a base e soma-se os expoentes". 
Exemplo 
Multiplicar (3x2 + 4xy) com (2x + 3) 
(3x2 + 4xy) . (2x + 3) = 3x2 . 2x + 3x2 . 3 + 4xy . 2x + 4xy . 3 = 6x3 + 9x2 + 8x2y + 12xy 
Divisão de um polinômio por um monômio 
https://www.todamateria.com.br/potenciacao/
 
30 
 
A divisão de um polinômio por um monômio é feita dividindo os coeficientes do polinômio pelo 
coeficiente do monômio. Na parte literal, usa-se a propriedade da divisão de potência de mesma 
base (repete-se a base e subtrai os expoentes). 
Exemplo 
 
Para saber mais, leia também: 
Exercícios 
1) Sendo a = 4 e b = - 6, encontre o valor numérico das seguintes expressões algébricas: 
a) 3a + 5b 
b) a2 - b 
c) 10ab + 5a2 - 3b 
a) 3.4 + 5.(-6) = 12 - 30 = - 18 
b) 42 - (-6) = 16 + 6 = 22 
c) 10.4. (-6) + 5.(4)2 - 3.(-6) = - 240 +80 + 18 = - 240 + 98 = - 142 
 
 
 
 
FUNÇÃO DO 1º GRAU 
A função afim, também chamada de função do 1º grau, é uma função f : ℝ→ℝ, definida como f(x) 
= ax + b, sendo a e b números reais. As funções f(x) = x + 5, g(x) = 3√3x - 8 e h(x) = 1/2 x são 
exemplos de funções afim. 
Neste tipo de função, o número a é chamado de coeficiente de x e representa a taxa de 
crescimento ou taxa de variação da função. Já o número b é chamado de termo constante. 
Gráfico de uma Função do 1º grau 
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. Desta forma, 
para construirmos seu gráfico basta encontrarmos pontos que satisfaçam a função. 
 
31 
 
Exemplo 
Construa o gráfico da função f (x) = 2x + 3. 
Solução 
Para construir o gráfico desta função, vamos atribuir valores arbitrários para x, substituir na 
equação e calcular o valor correspondente para a f (x). 
Sendo assim, iremos calcular a função para os valores de x iguais a: - 2, - 1, 0, 1 e 2. Substituindo 
esses valores na função, temos: 
f (- 2) = 2. (- 2) + 3 = - 4 + 3 = - 1 
f (- 1) = 2 . (- 1) + 3 = - 2 + 3 = 1 
f (0) = 2 . 0 + 3 = 3 
f (1) = 2 . 1 + 3 = 5 
f (2) = 2 . 2 + 3 = 7 
Os pontos escolhidos e o gráfico da f (x) são apresentados na imagem abaixo: 
 
No exemplo, utilizamos vários pontos para construir o gráfico, entretanto, para definir uma reta 
bastam dois pontos. 
Para facilitar os cálculos podemos, por exemplo, escolher os pontos (0,y) e (x,0). Nestes pontos, a 
reta da função corta o eixo Ox e Oy respectivamente. 
 
32 
 
Coeficiente Linear e Angular 
Como o gráfico de uma função afim é uma reta, o coeficiente a de x é também chamado 
de coeficiente angular. Esse valor representa a inclinação da reta em relação ao eixo Ox. 
O termo constante b é chamado de coeficiente linear e representa o ponto onde a reta corta o 
eixo Oy. Pois sendo x = 0, temos: 
y = a.0 + b ⇒ y = b 
Quando uma função afim apresentar o coeficiente angular igual a zero (a = 0) a função será 
chamada de constante. Neste caso, o seu gráfico será uma reta paralela ao eixo Ox. 
Abaixo representamos o gráfico da função constante f (x) = 4:Ao passo que, quando b = 0 e a = 1 a função é chamada de função identidade. O gráfico da função 
f (x) = x (função identidade) é uma reta que passa pela origem (0,0). 
Além disso, essa reta é bissetriz do 1º e 3º quadrantes, ou seja, divide os quadrantes em dois 
ângulos iguais, conforme indicado na imagem abaixo: 
https://www.todamateria.com.br/calculo-do-coeficiente-angular/
 
33 
 
 
Temos ainda que, quando o coeficiente linear é igual a zero (b = 0), a função afim é chamada 
de função linear. Por exemplo as funções f (x) = 2x e g (x) = - 3x são funções lineares. 
O gráfico das funções lineares são retas inclinadas que passam pela origem (0,0). 
Representamos abaixo o gráfico da função linear f (x) = - 3x: 
https://www.todamateria.com.br/funcao-linear/
 
34 
 
 
Função Crescente e Decrescente 
Uma função é crescente quando ao atribuirmos valores cada vez maiores para x, o resultado da f 
(x) será também cada vez maior. 
Já a função decrescente é aquela que ao atribuirmos valores cada vez maiores para x, o resultado 
da f (x) será cada vez menor. 
Para identificar se uma função afim é crescente ou decrescente, basta verificar o valor do seu 
coeficiente angular. 
Se o coeficiente angular for positivo, ou seja, a é maior que zero, a função será crescente. Ao 
contrário, se a for negativo, a função será decrescente. 
Por exemplo, a função 2x - 4 é crescente, pois a = 2 (valor positivo). Entretanto, a função - 2x + - 4 
é decrescente visto que a = - 2 (negativo). Essas funções estão representadas nos gráficos abaixo: 
 
35 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO RESOLVIDOS 
Exercício 1 
Em uma determinada cidade, a tarifa cobrada pelos taxistas corresponde a uma parcela fixa 
chamada de bandeirada e uma parcela referente aos quilômetros rodados. Sabendo que uma 
pessoa pretende fazer uma viagem de 7 km em que o preço da bandeirada é igual a R$ 4,50 e o 
custo por quilômetro rodado é igual a R$ 2,75, determine: 
a) uma fórmula que expresse o valor da tarifa cobrada em função dos quilômetros rodados para 
essa cidade. 
b) quanto irá pagar a pessoa referida no enunciado. 
RESPOSTA 
a) De acordo com os dados, temos que b = 4,5, pois a bandeirada não depende da quantidade de 
quilômetros percorridos. 
Cada quilômetro rodado deverá ser multiplicado por 2,75. Sendo assim, esse valor será igual a taxa 
de variação, ou seja, a = 2,75. 
Considerando p (x) o preço da tarifa, podemos escrever a seguinte fórmula para expressar esse 
valor: 
p (x) = 2,75 x + 4,5 
b) Agora que já definimos a função, para calcular o valor da tarifa basta substituir 7 km no lugar do 
x. 
 
36 
 
p (7) = 2,75 . 7 + 4,5 = 19,25 + 4,5 = 23,75 
Portanto, a pessoa deverá pagar R$ 23,75 por uma viagem de 7 km. 
 
Exercício 2 
O dono de uma loja de moda praia teve uma despesa de R$ 950,00 na compra de um novo modelo 
de biquíni. Ele pretende vender cada peça deste biquíni por R$ 50,00. A partir de quantas peças 
vendidas ele passará a ter lucro? 
RESPOSTA 
Considerando x a quantidade de peças vendidas, o lucro do comerciante será dado pela seguinte 
função: 
f (x) = 50.x - 950 
Ao calcularmos f (x) = 0, iremos descobrir a quantidade de peças necessárias para que o 
comerciante não tenha nem lucro, nem prejuízo. 
50.x - 950 = 0 
50.x = 950 
x = 950 / 50 
x = 19 
Assim, se vender acima de 19 peças terá lucro, se vender menos que 19 peças terá prejuízo. 
 
 
 
 
FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU 
 
A função quadrática, também chamada de função polinomial de 2º grau, é uma função 
representada pela seguinte expressão: 
f(x) = ax2 + bx + c 
Onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. 
Exemplo: 
f(x) = 2x2 + 3x + 5, 
 
37 
 
sendo, 
a = 2 
b = 3 
c = 5 
Nesse caso, o polinômio da função quadrática é de grau 2, pois é o maior expoente da variável. 
Como resolver uma função quadrática? 
Confira abaixo o passo-a-passo por meio um exemplo de resolução da função quadrática: 
Exemplo 
Determine a, b e c na função quadrática dada por: f(x) = ax2 + bx + c, sendo: 
f (-1) = 8 
f (0) = 4 
f (2) = 2 
Primeiramente, vamos substituir o x pelos valores de cada função e assim teremos: 
f (-1) = 8 
a (-1)2 + b (–1) + c = 8 
a - b + c = 8 (equação I) 
f (0) = 4 
a . 02 + b . 0 + c = 4 
c = 4 (equação II) 
f (2) = 2 
a . 22 + b . 2 + c = 2 
4a + 2b + c = 2 (equação III) 
Pela segunda função f (0) = 4, já temos o valor de c = 4. 
Assim, vamos substituir o valor obtido para c nas equações I e III para determinar as outras 
incógnitas (a e b): 
(Equação I) 
a - b + 4 = 8 
a - b = 4 
a = b + 4 
Já que temos a equação de a pela Equação I, vamos substituir na III para determinar o valor de b: 
(Equação III) 
 
38 
 
4a + 2b + 4 = 2 
4a + 2b = - 2 
4 (b + 4) + 2b = - 2 
4b + 16 + 2b = - 2 
6b = - 18 
b = - 3 
Por fim, para encontrar o valor de a substituímos os valores de b e c que já foram encontrados. 
Logo: 
(Equação I) 
a - b + c = 8 
a - (- 3) + 4 = 8 
a = - 3 + 4 
a = 1 
Sendo assim, os coeficientes da função quadrática dada são: 
a = 1 
b = - 3 
c = 4 
Raízes da Função 
As raízes ou zeros da função do segundo grau representam aos valores de x tais que f(x) = 0. As 
raízes da função são determinadas pela resolução da equação de segundo grau: 
f(x) = ax2 +bx + c = 0 
Para resolver a equação do 2º grau podemos utilizar vários métodos, sendo um dos mais utilizados 
é aplicando a Fórmula de Bhaskara, ou seja: 
 
 
Exemplo 
Encontre os zeros da função f(x) = x2 – 5x + 6. 
Solução: 
Sendo 
a = 1 
b = – 5 
c = 6 
https://www.todamateria.com.br/formula-de-bhaskara/
 
39 
 
Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos: 
 
Portanto, as raízes são 2 e 3. 
Observe que a quantidade de raízes de uma função quadrática vai depender do valor obtido pela 
expressão: Δ = b2 – 4. ac, o qual é chamado de discriminante. 
Assim, 
 Se Δ > 0, a função terá duas raízes reais e distintas (x1 ≠ x2); 
 Se Δ , a função não terá uma raiz real; 
 Se Δ = 0, a função terá duas raízes reais e iguais (x1 = x2). 
Gráfico da função quadrática 
O gráfico das funções do 2º grau são curvas que recebem o nome de parábolas. Diferente 
das funções do 1º grau, onde conhecendo dois pontos é possível traçar o gráfico, nas funções 
quadráticas são necessários conhecer vários pontos. 
A curva de uma função quadrática corta o eixo x nas raízes ou zeros da função, em no máximo dois 
pontos dependendo do valor do discriminante (Δ). Assim, temos: 
 Se Δ > 0, o gráfico cortará o eixo x em dois pontos; 
 Se Δ 
 Se Δ = 0, a parábola tocará o eixo x em apenas um ponto. 
Existe ainda um outro ponto, chamado de vértice da parábola, que é o valor máximo ou mínimo 
da função. Este ponto é encontrado usando-se a seguinte fórmula: 
 
O vértice irá representar o ponto de valor máximo da função quando a parábola estiver voltada 
para baixo e o valor mínimo quando estiver para cima. 
É possível identificar a posição da concavidade da curva analisando apenas o sinal do coeficiente a. 
Se o coeficiente for positivo, a concavidade ficará voltada para cima e se for negativo ficará para 
baixo, ou seja: 
https://www.todamateria.com.br/funcao-afim/
https://www.todamateria.com.br/vertice-da-parabola/
 
40 
 
 
Assim, para fazer o esboço do gráfico de uma função do 2º grau, podemos analisar o valor do a, 
calcular os zeros da função, seu vértice e também o ponto em que a curva corta o eixo y, ou seja, 
quando x = 0. 
A partir dos pares ordenados dados (x, y), podemos construir a parábola num plano cartesiano, 
por meio da ligação entre os pontos encontrados. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇAO RESOLVIDOS 
1. (Vunesp-SP) Todos os possíveis valores de m que satisfazem a desigualdade 2x2 – 20x – 2m > 0, 
para todo x pertencente ao conjunto dos reais, são dados por: 
a) m > 10 
b) m > 25 
c) m > 30 
d) m e) m 
RESPOSTA 
Alternativa b) m > 25 
 
2. (UE-CE) O gráfico da função quadrática f(x) = ax2 + bx é uma parábola cujo vértice é o ponto (1, – 
2). O número de elementos do conjunto x = {(– 2, 12), (–1,6), (3,8), (4, 16)}que pertencem ao 
gráfico dessa função é: 
a) 1 
b) 2 
https://www.todamateria.com.br/plano-cartesiano/
 
41 
 
c) 3 
d) 4 
RESPOSTA 
Alternativa b) 2 
 
 
 
 
EQUAÇÃO DO 1º GRAU 
As equações de primeiro grau são sentenças matemáticas que estabelecem relações de igualdade 
entre termos conhecidos e desconhecidos, representadas sob a forma: 
ax+b = 0 
Donde a e b são números reais, sendo a um valor diferente de zero (a ≠ 0) e x representa o valor 
desconhecido. 
O valor desconhecido é chamado de incógnita que significa "termo a determinar". As equações do 
1º grau podem apresentar uma ou mais incógnitas. 
As incógnitas são expressas por uma letra qualquer, sendo que as mais utilizadas são x, y, z. Nas 
equações do primeiro grau, o expoente das incógnitas é sempre igual a 1. 
As igualdades 2.x = 4, 9x + 3 y = 2 e 5 = 20a + b são exemplos de equações do 1º grau. Já as 
equações 3x2+5x-3 =0, x3+5y= 9 não são deste tipo. 
O lado esquerdo de uma igualdade é chamado de 1º membro da equação e o lado direito é 
chamado de 2º membro. 
Como resolver uma equação de primeiro grau? 
O objetivo de resolver uma equação de primeiro grau é descobrir o valor desconhecido, ou seja, 
encontrar o valor da incógnita que torna a igualdade verdadeira. 
Para isso, deve-se isolar os elementos desconhecidos em um dos lados do sinal de igual e os 
valores constantes do outro lado. 
Contudo, é importante observar que a mudança de posição desses elementos deve ser feita de 
forma que a igualdade continue sendo verdadeira. 
Quando um termo da equação mudar de lado do sinal de igual, devemos inverter a operação. 
Assim, se tiver multiplicando, passará dividindo, se tiver somando, passará subtraindo e vice-versa. 
 
42 
 
Exemplo 
Qual o valor da incógnita x que torna a igualdade 8x - 3 = 5 verdadeira? 
Solução 
Para resolver a equação, devemos isolar o x. Para isso, vamos primeiro passar o 3 para o outro 
lado do sinal de igual. Como ele está subtraindo, passará somando. Assim: 
8x = 5 + 3 
8x = 8 
Agora podemos passar o 8, que está multiplicando o x, para o outro lado dividindo: 
x = 8/8 
x = 1 
Outra regra básica para o desenvolvimento das equações de primeiro grau determina o seguinte: 
Se a parte da variável ou a incógnita da equação for negativa, devemos multiplicar todos os 
membros da equação por –1. Por exemplo: 
– 9x = – 90 . (-1) 
9x = 90 
x = 10 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO RESOLVIDOS 
Exercício 1 
Ana nasceu 8 anos depois de sua irmã Natália. Em determinado momento da vida, Natália possuía 
o triplo da idade de Ana. Calcule a idade das duas nesse momento. 
Solução 
Para resolver esse tipo de problema, utiliza-se uma incógnita para estabelecer a relação de 
igualdade. 
Assim, denominemos a idade de Ana como o elemento x. Como Natália tem oito anos a mais que 
Ana, sua idade será igual a x+8. 
Por conseguinte, a idade de Ana vezes 3 será igual à idade de Natália: 3x = x + 8 
Estabelecida essas relações, ao passar o x para o outro lado da igualdade, tem-se: 
3x - x = 8 
2x = 8 
 
43 
 
x = 8/2 
x = 4 
Portanto, como x é a idade de Ana, naquele momento ela terá 4 anos. Enquanto isso, Natália 
terá 12 anos, o triplo da idade de Ana (8 anos a mais). 
 
Exercício 2 
Resolva as equações abaixo: 
a) x - 3 = 9 
x = 9 + 3 
x = 12 
b) 4x - 9 = 1 - 2x 
4x + 2x = 1 + 9 
6x = 10 
x = 10/6 
c) x + 5 = 20 - 4x 
x + 4x = 20 - 5 
5x = 15 
x = 15/5 
x = 3 
d) 9x - 4x + 10 = 7x - 30 
9x - 4x - 7x = - 10 - 30 
- 2x = - 40 (-1) multiplica-se todos os termos por -1 
2x = 40 
x = 40/2 
x = 20 
 
 
 
 
 
EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU 
A equação do segundo grau recebe esse nome porque é uma equação polinomial cujo termo de 
maior grau está elevado ao quadrado. Também chamada de equação quadrática, é representada 
por: 
 
44 
 
 
Numa equação do 2º grau, o x é a incógnita e representa um valor desconhecido. Já as 
letras a, b e c são chamadas coeficientes da equação. 
Os coeficientes são números reais e o coeficiente a tem que ser diferente de zero, pois do 
contrário passa a ser uma equação do 1º grau. 
 
Resolver uma equação de segundo grau, significa determinar os valores reais de x, que tornam a 
equação verdadeira. Esses valores são denominados raízes da equação. 
Uma equação do segundo grau possui no máximo duas raízes reais. 
Equações do 2º Grau Completas e Incompletas 
As equações do 2º grau completas são aquelas que apresentam todos os coeficientes, ou seja a, b 
e c são diferentes de zero (a, b, c ≠ 0). 
 
Por exemplo, a equação 5x2 + 2x + 2 = 0 é completa, pois todos os coeficientes são diferentes de 
zero (a = 5, b = 2 e c = 2). 
Uma equação do segundo grau é incompleta quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0. 
Exemplo 1 — equações do 2° grau incompletas 
 
 
 
Exemplo 2 
Determine os valores de x que tornam a equação 4x2 - 16 = 0 verdadeira. 
Solução: 
A equação dada é uma equação incompleta do 2º grau, com b = 0. Para equações deste tipo, 
podemos resolver, isolando o x. Assim: 
 
Note que a raiz quadrada de 4 pode ser 2 e - 2, pois esses dois números elevados ao quadrado 
resultam em 4. 
Assim, as raízes da equação 4x2 - 16 = 0 são x = - 2 e x = 2 
 
45 
 
Exemplo 3 
Encontre o valor do x para que a área do retângulo abaixo seja igual a 2. 
 
Solução: 
A área do retângulo é encontrada multiplicando-se a base pela altura. Assim, devemos multiplicar 
os valores dados e igualar a 2. 
(x - 2) . (x - 1) = 2 
Agora vamos multiplicar todos os termos: 
x . x - 1 . x - 2 . x - 2 . (- 1) = 2 
x2 - 1x - 2x + 2 = 2 
x2 - 3x + 2 - 2 = 0 
x2 - 3x = 0 
Após resolver as multiplicações e simplificações, encontramos uma equação incompleta do 
segundo grau, com c = 0. 
Esse tipo de equação pode ser resolvida através da fatoração, pois o x se repete em ambos os 
termos. Assim, iremos colocá-lo em evidência. 
x . (x - 3) = 0 
Para o produto ser igual a zero, ou x = 0 ou (x - 3) = 0. Contudo, substituindo x por zero, as 
medidas dos lados ficam negativas, portanto, esse valor não será resposta da questão. 
https://www.todamateria.com.br/fatoracao/
 
46 
 
Então, temos que o único resultado possível é (x - 3) = 0. Resolvendo essa equação: 
x - 3 = 0 
x = 3 
Desta forma, o valor do x para que a área do retângulo seja igual a 2 é x = 3. 
Fórmula de Bhaskara 
Quando uma equação do segundo grau é completa, usamos a Fórmula de Bhaskara para encontrar 
as raízes da equação. 
A fórmula é apresentada abaixo: 
 
Fórmula do Delta 
Na fórmula de Bhaskara, aparece a letra grega Δ (delta), chamada discriminante da equação, pois 
conforme o seu valor é possível saber qual o número de raízes (soluções) que a equação terá. 
Para determinar o delta usamos a seguinte fórmula: 
 
Passo a Passo 
Para resolver uma equação do 2º grau, usando a fórmula de Bhaskara, devemos seguir os 
seguintes passos: 
1º Passo: Identificar os coeficientes a, b e c. 
Nem sempre os termos da equação aparecem na mesma ordem, portanto, é importante saber 
identificar os coeficientes, independente da sequência em que estão. 
O coeficiente a é o número que está junto ao x2, o b é o número que acompanha o x e o c é o 
termo independente, ou seja, o número que aparece sem o x. 
2º Passo: Calcular o delta. 
Para calcular as raízes é necessário conhecer o valor do delta. Para isso, substituímos as letras na 
fórmula pelos valores dos coeficientes. 
Podemos, a partir do valor do delta, saber previamente o número de raízes que terá a equação do 
2º grau. Ou seja, se o valor de Δ for maior que zero (Δ > 0), a equação terá duas raízes reais e 
distintas. 
https://www.todamateria.com.br/formula-de-bhaskara/
 
47 
 
Se ao contrário, delta for menor que zero (Δou maior que zero, devemos substituir todas as letras pelos seus 
valores na fórmula de Bhaskara e calcular as raízes. 
Exemplo 4 
Determine as raízes da equação 2x2 - 3x - 5 = 0 
Solução: 
Para resolver, primeiro devemos identificar os coeficientes, assim temos: 
 
a = 2 
b = - 3 
c = - 5 
Agora, podemos encontrar o valor do delta. Devemos tomar cuidado com as regras de sinais e 
lembrar que primeiro devemos resolver a potenciação e a multiplicação e depois a soma e a 
subtração. 
Δ = (- 3)2 - 4 . (- 5) . 2 = 9 +40 = 49 
Como o valor encontrado é positivo, encontraremos dois valores distintos para as raízes. Assim, 
devemos resolver a fórmula de Bhaskara duas vezes. Temos então: 
 
 
Assim, as raízes da equação 2x2 - 3x - 5 = 0 são x = 5/2 e x = - 1. 
Sistema de Equações do 2º Grau 
Quando queremos encontrar valores de duas incógnitas diferentes que satisfaçam 
simultaneamente duas equações, temos um sistema de equações. 
As equações que formam o sistema podem ser do 1º grau e do 2º grau. Para resolver esse tipo de 
sistema podemos usar o método da substituição e o método da adição. 
Exemplo 5 
Resolva o sistema abaixo: 
https://www.todamateria.com.br/sistemas-de-equacoes/
 
48 
 
 
Solução: 
Para resolver o sistema, podemos utilizar o método da adição. Neste método, somamos os termos 
semelhantes da 1ª equação com os da 2ª equação. Assim, reduzimos o sistema para uma só 
equação. 
 
Podemos ainda simplificar todos os termos da equação por 3 e o resultado será a equação x2 - 2x - 
3 = 0. Resolvendo a equação, temos: 
Δ = 4 - 4 . 1 . (- 3) = 4 + 12 = 16 
 
 
Depois de encontrar os valores do x, não podemos esquecer que temos ainda de encontrar os 
valores de y que tornam o sistema verdadeiro. 
Para isso, basta substituir os valores encontrados para o x, em uma das equações. 
y1 - 6. 3 = 4 
y1 = 4 + 18 
y1 = 22 
y2 - 6 . (-1) = 4 
y2 + 6 = 4 
y2 = - 2 
Portanto, os valores que satisfazem ao sistema proposto são (3, 22) e (- 1, - 2) 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO RESOLVIDOS 
Questão 1 
Resolva a equação de segundo grau completa, utilizando a Fórmula de Bhaskara: 
2x2 + 7x + 5 = 0 
RESPOSTA 
É importante observar cada coeficiente da equação, portanto: 
 
49 
 
a = 2 
b = 7 
c = 5 
Através da fórmula do discriminante da equação, devemos encontrar o valor de Δ. 
Isso para depois encontrar as raízes da equação por meio da fórmula geral ou a fórmula de 
Bhaskara: 
 
Δ = 72 – 4 . 2 . 5 
Δ = 49 - 40 
Δ = 9 
Observe que se o valor de Δ é maior que zero (Δ > 0), a equação terá duas raízes reais e distintas. 
Assim, após encontrar o Δ, vamos substituí-lo na fórmula de Bhaskara: 
 
 
 
Logo, os valores das duas raízes reais é: x1 = - 1 e x2 = - 5/2 
 
Questão 2 
Resolva as equações incompletas do segundo grau: 
a) 5x2 – x = 0 
RESPOSTA 
Primeiramente, busca-se os coeficientes da equação: 
a= 5 
b= - 1 
c= 0 
Trata-se de uma equação incompleta onde c = 0. 
Para calculá-la podemos usar a fatoração, que neste caso é colocar o x em evidência. 
5x2 – x = 0 
x. (5x-1) = 0 
 
50 
 
Neste situação, o produto será igual a zero quando x = 0 ou quando 5x -1 = 0. Então vamos calcular 
o valor do x: 
 
 
Portanto, as raízes da equação são x1 = 0 e x2 = 1/5. 
 
 
 
 
TEOREMA DE PITÁGORAS 
O Teorema de Pitágoras relaciona o comprimento dos lados do triângulo retângulo. Essa figura 
geométrica é formada por um ângulo interno de 90°, chamado de ângulo reto. 
O enunciado desse teorema é: 
"A soma dos quadrados de seus catetos corresponde ao quadrado de sua hipotenusa." 
Fórmula do teorema de Pitágoras 
Segundo o enunciado do Teorema de Pitágoras, a fórmula é representada da seguinte maneira: 
a2 = b2 + c2 
Sendo, 
a: hipotenusa 
b: cateto 
c: cateto 
 
A hipotenusa é o maior lado de um triângulo retângulo e o lado oposto ao ângulo reto. Os outros 
dois lados são os catetos. O ângulo formado por esses dois lados tem medida igual a 90º (ângulo 
reto). 
 
51 
 
Identificamos ainda os catetos, de acordo com um ângulo de referência. Ou seja, o cateto poderá 
ser chamado de cateto adjacente ou cateto oposto. 
Quando o cateto está junto ao ângulo de referência, é chamado de adjacente, por outro lado, se 
está contrário a este ângulo, é chamado de oposto. 
 
Veja a seguir três exemplos de aplicações do teorema de Pitágoras para as relações métricas de 
um triângulo retângulo. 
Exemplo 1: calcular a medida da hipotenusa 
Se um triângulo retângulo apresenta 3 cm e 4 cm como medidas dos catetos, qual a hipotenusa 
desse triângulo? 
 
Portanto, os lados do triângulo retângulo são 3 cm, 4 cm e 5 cm. 
Exemplo 2: calcular a medida de um dos catetos 
Determine a medida de um cateto que faz parte de um triângulo retângulo, cuja hipotenusa é 20 
cm e o outro cateto mede 16 cm. 
 
Portanto, as medidas dos lados do triângulo retângulo são 12 cm, 16 cm e 20 cm. 
Exemplo 3: comprovar se um triângulo é retângulo 
Um triângulo apresenta os lados com medidas 5 cm, 12 cm e 13 cm. Como saber se é um triângulo 
retângulo? 
Para provar que um triângulo retângulo é verdadeiro as medidas dos seus lados devem obedecer 
ao Teorema de Pitágoras. 
 
52 
 
 
Como as medidas dadas satisfazem o teorema de Pitágoras, ou seja, o quadrado da hipotenusa é 
igual a soma do quadrado dos catetos, então podemos dizer que o triângulo é retângulo. 
Triângulo Pitagórico 
Quando as medidas dos lados de um triângulo retângulo são números inteiros positivos, o 
triângulo é chamado de triângulo pitagórico. 
Neste caso, os catetos e a hipotenusa são denominados de “terno pitagórico” ou “trio pitagórico”. 
Para verificar se três números formam um trio pitagórico, usamos a relação a2 = b2 + c2. 
O mais conhecido trio pitagórico é representado pelos números: 3, 4, 5. Sendo a hipotenusa igual 
a 5, o cateto maior igual a 4 e o cateto menor igual a 3. 
 
Observe que a área dos quadrados desenhados em cada lado do triângulo relacionam-se tal como 
o teorema de Pitágoras: a área do quadrado no lado maior corresponde à soma das áreas dos 
outros dois quadrados. 
É interessante notar que, os múltiplos desses números também formam um terno pitagórico. Por 
exemplo, se multiplicarmos por 3 o trio 3, 4 e 5, obtemos os números 9, 12 e 15 que também 
formam um terno pitagórico. 
Além do terno 3, 4 e 5, existe uma infinidade de outros ternos. Como exemplo, podemos citar: 
 5, 12 e 13 
 7, 24, 25 
 20, 21 e 29 
 12, 35 e 37 
https://www.todamateria.com.br/triangulo-retangulo/
 
53 
 
Quem foi Pitágoras? 
Segundo a história Pitágoras de Samos (570 a.C. - 495 a.C.) foi um filósofo e matemático grego que 
fundou a Escola Pitagórica, localizada no sul da Itália. Também chamada de Sociedade Pitagórica, 
incluía estudos de Matemática, Astronomia e Música. 
Embora as relações métricas do triângulo retângulo já fossem conhecidas pelos babilônicos, que 
viveram muito antes de Pitágoras, acredita-se que a primeira demonstração que esse teorema se 
aplicava a qualquer triângulo retângulo tenha sido feita por Pitágoras. 
O Teorema de Pitágoras é um dos teoremas mais conhecidos, importantes e utilizados na 
matemática. Ele é imprescindível na resolução de problemas da geometria analítica, geometria 
plana, geometria espacial e trigonometria. 
Além do teorema, outras importantes contribuições da Sociedade Pitagórica para a Matemática 
foram: 
 Descoberta dos números irracionais; 
 Propriedades dos números inteiros; 
 MMC e MDC. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO RESOLVIDOS 
Questão 1 
(PUC) A soma dos quadrados dos três lados de um triângulo retângulo é igual a 32. Quanto mede a 
hipotenusa do triângulo? 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
RESPOSTA 
Alternativa correta: b) 4. 
Pela informação do enunciado, sabemos que a2 + b2 + c2 = 32. Por outro lado, pelo teorema de 
Pitágoras temos que a2 = b2 + c2 . 
Substituindo o valor de b2+c2 por a2 na primeira expressão, encontramos: 
a2 + a2 =32 ⇒ 2 . a2 = 32 ⇒ a2 = 32/2 ⇒ a2 = 16 ⇒ a = √16 
a= 4 
 
Questão 2 
https://www.todamateria.com.br/pitagoras/54 
 
 
Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o 
comprimento total do corrimão é igual a: 
a) 1,9m 
b) 2,1m 
c) 2,0m 
d) 1,8m 
e) 2,2m 
RESPOSTA 
Alternativa correta: b) 2,1m. 
O comprimento total do corrimão será igual a soma dos dois trechos de comprimento igual a 30 
cm com o trecho que não conhecemos a medida. 
Observamos pela figura, que o trecho desconhecido representa a hipotenusa de um triângulo 
retângulo, cuja medida de um dos cateto é igual a 90 cm. 
Para encontrar a medida do outro cateto, devemos somar o comprimento dos 5 degraus. Sendo 
assim, temos que b = 5 . 24 = 120 cm. 
Para calcular a hipotenusa, vamos aplicar o teorema de Pitágoras para esse triângulo. 
a2 = 902 + 1202 ⇒ a2 = 8100 + 14 400 ⇒ a2 = 22 500 ⇒ a = √22 500 = 150 cm 
Note que poderíamos ter usado a ideia dos ternos pitagóricos para calcular a hipotenusa, visto que 
os catetos (90 e 120) são múltiplos do terno 3, 4 e 5 (multiplicando todos os termos por 30). 
Desta forma, a medida total do corrimão será: 
30 + 30 + 150 = 210 cm = 2,1 m 
 
 
 
55 
 
 
TEOREMA DE TALES 
O Teorema de Tales é uma teoria aplicada na Geometria e expressa pelo enunciado: 
"A intersecção de um feixe de retas paralelas por duas retas transversais forma segmentos 
proporcionais." 
 
Fórmula do teorema de Tales 
Para compreender melhor o teorema de tales, observe a figura abaixo: 
 
Na figura acima as retas transversais u e v interceptam as retas paralelas r, s e t. Os pontos 
pertencentes na reta u são: A, B e C; e na reta v, os pontos: D, E e F. Logo, de acordo com o 
Teorema de Tales: 
 
https://www.todamateria.com.br/retas-paralelas/
 
56 
 
Lê-se: AB está para BC, assim como DE está para EF. 
Exemplo: determine a medida de x indicada na imagem. 
 
Aplicando o teorema de Tales, temos: 
 
Teorema de Tales nos triângulos 
O teorema de Tales também é aplicado em situações que envolvem triângulos. Veja abaixo um 
exemplo em que se aplica o teorema: 
 
De acordo com a semelhança de triângulos podemos afirmar que: o triângulo ABC é semelhante 
ao triângulo AED. É representado da seguinte forma: 
Δ ABC ~ Δ AED 
Exemplo: determine a medida x indicada na imagem. 
https://www.todamateria.com.br/semelhanca-de-triangulos/
 
57 
 
 
Aplicando o teorema de Tales, temos: 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO RESOLVIDOS 
Questão 1 
 
RESPOSTA 
Resposta correta: x = 6,66 
 
 
Questão 2 
 
58 
 
 
RESPOSTA 
Resposta correta: x = 1,5 
 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
Cálculo de Áreas 
Conhecer sobre área é conhecer sobre o espaço que podemos preencher em regiões 
poligonais convexas – qualquer segmento de reta com extremidades na região só terá 
pontos pertencentes a esta. 
 
O cálculo de áreas tem muita aplicabilidade em diferentes momentos, seja em atividades 
puramente cognitivas, ou até mesmo trabalhistas. Um exemplo de profissional que faz 
uso dessa ferramenta para tornar possível o desempenho do seu trabalho é o pedreiro. 
É através do conhecimento de área que é possível estimar a quantidade de cerâmica 
necessária para pavimentar um determinado cômodo de uma casa, por exemplo. 
O quadrado 
O quadrado é uma figura geométrica plana regular em que todos os seus lados e ângulos 
são iguais. Veja um exemplo de quadrado na figura a seguir: 
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2012/07/poligono-convexo.jpg
 
59 
 
 
Para calcular a área de um quadrado basta que se multipliquem dois dos seus 
lados l entre si. 
 
Exemplo 1 
Para pavimentar a sala de sua casa D. Carmem comprou 26 m2 de piso. 
Sabendo que a sala tem o formato quadrangular e que um dos lados mede 5 m, diga se 
o piso comprado por D. Carmem será suficiente para pavimentar a sua sala. 
 A sala tem o formato quadrangular; 
 O seu lado mede 5 m; 
 A área do quadrado é A = l 2. 
Com base nos dados acima temos: 
 
Conclui-se então que o piso comprado por D. Carmem será suficiente para pavimentar 
sua sala e ainda sobrará 1 m2. 
Lembrete: a unidade de medida de área mais utilizada é o metro quadrado (m2), porém 
em alguns casos usa-se o km2, cm2, etc. 
O retângulo 
O retângulo é uma figura geométrica plana cujos lados opostos são paralelos e iguais e 
todos os ângulos medem 90º. Confiram o retângulo abaixo: 
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https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2012/07/area-quadrado.jpg
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Para calcular a área do retângulo, basta que se multipliquem seu comprimento c pela 
largura l. 
 
Exemplo 2 
Num campeonato de futebol a equipe organizadora do evento está providenciando o 
gramado que será plantado em toda área do campo. Para comprar as gramas, a equipe 
precisa saber a área do campo, pois a grama é vendida por metro quadrado. Sabendo 
que o campo tem 115 m de comprimento por 75 m de largura e ainda que o campo tem 
o formato retangular, ajude a equipe a solucionar o problema, diga quantos metros 
quadrados de área tem o campo de futebol? 
 
O triângulo 
O triângulo é uma figura geométrica plana formada por três lados e três ângulos. A soma 
dos seus ângulos internos é igual 180º. 
 
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Para calcular a área do triângulo multiplica-se a base b pela altura h e divide o resultado 
por 2 (metade da área do retângulo). 
 
 
Exemplo 3 
Encontre a área de um triângulo cuja base mede 8,2 cm e a altura 3,6 cm. 
 
O trapézio 
O trapézio é uma figura plana com um par de lados paralelos (bases) e um par de lados 
concorrentes. 
 
Para calcular a área do trapézio adiciona-se a base maior c à base menor a, ao resultado 
da soma multiplica-se a altura, e por fim, divide-se o resultado final por 2. 
https://www.infoescola.com/geometria-plana/trapezio/
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Exemplo 4 
Um fazendeiro quer saber a área de um lote de terra que acabara de comprar. O lote 
tem o formato de um trapézio. Sabendo que a frente mede 1020 m, o fundo, 815 m e a 
distância da frente ao fundo é de 510 m. Determine a área do lote. 
 
 
 
 
GEOMETRIA ESPACIAL 
A Geometria Espacial corresponde a área da matemática que se encarrega de estudar as figuras 
no espaço, ou seja, aquelas que possuem mais de duas dimensões. 
De modo geral, a Geometria Espacial pode ser definida como o estudo da geometria no espaço. 
Assim, tal qual a Geometria Plana, ela está pautada nos conceitos basilares e intuitivos que 
chamamos “conceitos primitivos” os quais possuem origem na Grécia Antiga e na Mesopotâmia 
(cerca de 1000 anos a.C.). 
Pitágoras e Platão associavam o estudo da Geometria Espacial ao estudo da Metafísica e da 
religião; contudo, foi Euclides a se consagrar com sua obra “Elementos”, onde sintetizou os 
conhecimentos acerca do tema até os seus dias. 
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Entretanto, os estudos de Geometria Espacial permaneceram estanques até o fim da Idade Média, 
quando Leonardo Fibonacci (1170-1240) escreve a “Practica Geometriae”. 
Séculos depois, Joannes Kepler (1571-1630) rotula o “Steometria” (stereo: volume/metria: 
medida) o cálculo de volume, em 1615. 
Para saber mais leia: 
 Formas Geométricas 
 Geometria Plana 
 Distância entre dois pontos 
Características da Geometria Espacial 
A Geometria Espacial estuda os objetos que possuem mais de uma dimensão e ocupam lugar no 
espaço.