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Aula de Matemática
Professor : Neilton Satel
02 de setembro 2014
Bom dia!
POLÍGONO vem do grego e quer dizer muitos (poly) e ângulos (gon). 
POLÍGONO é figura plana limitada por uma linha poligonal fechada, ou seja, os polígonos precisam ser figuras fechadas.
3
Polígonos
Definição
Chama-se polígono toda linha poligonal fechada simples juntamente com os pontos da região interna que essa linha determina.
As figuras a seguir são polígonos
As figuras a seguir não são polígonos
4
Um polígono se diz convexo quando o segmento de reta que une dois pontos quaisquer de sua região interna está sempre contido nela.
Polígonos convexos e polígonos côncavos
Polígonos convexos
Polígonos côncavos
Um polígono se diz côncavo quando existem dois pontos de sua região interna tais que o segmento de reta por eles determinado não está contido nela.
A
B
A
B
São polígonos convexos
São polígonos côncavos
Polígonos
5
Polígonos
Elementos de um polígono
No polígono ABCDE ao lado temos que:
A
B
C
D
E
 Os segmentos são os lados do polígono;
 Os pontos A, B, C, D, E são os vértices do polígono;
 Os segmentos são as diagonais do polígono;
 são os ângulos do polígono;
Nota:
Diagonal de um polígono é o segmento de reta que une dois vértices não consecutivos desse polígono.
6
Polígonos
Chama-se polígono regular a todo polígono que tem todos os lados congruentes e todos os ângulos congruentes (ângulos que possuem a mesma medida).
Polígonos regulares
A
B
C
D
E
 Num polígono regular destacamos:
 O centro
É o ponto que dista igualmente de todos os vértices do polígono. (Na figura ao lado é o ponto O.)
M
O
7
Nome dos polígonos
De acordo com o número de ângulos, o polígono recebe um nome especial.
Veja, no quadro abaixo, o nome de alguns polígonos:
Número de lados
Nome
Número de lados
Nome
3
Triângulo
9
Eneágono
4
Quadrilátero
10
Decágono
5
Pentágono
11
Undecágono
6
Hexágono
12
Dodecágono
7
Heptágono
15
Pentadecágono
8
Octógono
20
Icoságono
Polígonos
8
Polígonos
Soma das medidas dos ângulos internos:
Soma das medidas dos ângulos externos:
Ângulos internos de um polígono regular:
Ângulos externos de um polígono regular:
Número de diagonais de um polígono:
9
Triângulos ― classificação
	Quanto aos ângulos	Quanto aos lados
	Acutângulo: possui três ângulos agudos.
	Equilátero: três lados de mesma medida.
Obs.: os três ângulos internos têm medidas de 60º.
	Retângulo: possui dois ângulos agudos e um ângulo reto. Obs.: pode ser aplicado o teorema de Pitágoras:
hipotenusa2 = cateto2 + cateto2 	Isósceles: dois lados de mesma medida.
Obs.: os ângulos opostos aos lados congruentes também são de mesma medida.
	Obtusângulo: possui dois ângulos agudos e um obtuso.	Escaleno: três lados de medidas diferentes entre si.
10
Quadriláteros
		Quanto aos ângulos	Quanto às diagonais	Quanto aos lados	
	Paralelogramo	Ângulos opostos congruentes e ângulos adjacentes suplementares.	Encontram-se no seu ponto médio.	Lados opostos congruentes.	
	Retângulo	Quatro ângulos retos.	São congruentes.	Lados opostos congruentes.
	
	Losango	Ângulos opostos congruentes e ângulos adjacentes suplementares.	São perpendiculares entre si e estão contidas nas bissetrizes dos ângulos internos do losango.	Quatro lados congruentes.
	
	Quadrado	Quatro ângulos retos.	Encontram-se no seu ponto médio e são congruentes.	Quatro lados congruentes.
	
São polígonos de quatro lados em que a soma das medidas dos ângulos internos é 360º.
11
Quadriláteros
Os trapézios são quadriláteros que têm apenas um par de lados paralelos, chamados base maior e base menor.
Trapézio retângulo
É todo trapézio que tem dois ângulos retos. Nele, um dos lados que não é base é perpendicular às duas bases.
Trapézio isósceles
É todo trapézio que tem dois lados não paralelos congruentes.
12
Circunferência
Ângulos em uma circunferência
Ângulo central: É um ângulo que tem como vértice o centro da circunferência e seus lados passam por pontos pertencentes a ela. 
Ângulo inscrito: É um ângulo que tem como vértice um ponto da circunferência e cujos lados passam por dois outros pontos da circunferência, determinando nela duas cordas. 
Ângulo de segmento: É um ângulo que tem como vértice um ponto da circunferência, um lado secante à circunferência e outro tangente a ela. 
Se um ângulo central e um ângulo inscrito em uma circunferência tem o mesmo arco, então a medida do ângulo central é o dobro da medida do ângulo inscrito.
13
Circunferência
Relações métricas na circunferência
Cruzamento de duas cordas:
Dois segmentos secantes a partir de um mesmo ponto:
Segmento secante e segmento tangente a partir de um mesmo ponto:
14
Circunferência
Polígonos regulares inscritos na circunferência
Polígono regular é aquele que possui todos os lados (l) congruentes e todos os ângulos congruentes. 
Apótema (a) é um segmento com uma extremidade no centro da circunferência e outra no ponto médio de um dos lados do polígono. Ele também equivale ao raio da circunferência inscrita ao polígono.
Raio da circunferência circunscrita (r) é o segmento com uma extremidade no centro da circunferência e a outra na própria circunferência. 
15
Áreas: medidas de superfície
Área do quadrado, do retângulo e do paralelogramo
Quadrado
Retângulo
Paralelogramo
16
Áreas: medidas de superfície
Área do triângulo
Área do triângulo
Área do triângulo sendo conhecido os três lados
Área do triângulo equilátero
Área do triângulo com o auxílio da trigonometria
17
Áreas: medidas de superfície
Área do trapézio e do losango
Trapézio
Losango
18
Áreas: medidas de superfície
Área de polígonos regulares
 (l) lado do polígono
(a) apótema
(n) número de lados do polígono
(p) semiperímetro 
l
19
Áreas: medidas de superfície
Área do círculo e do setor circular
Círculo
Setor circular
l
20
Resolução de triângulos quaisquer
Resolução de triângulos retângulos
a = hipotenusa
b = cateto oposto ao ângulo a
c = cateto adjacente ao ângulo a
		30º	45º	60º
	sen			
	cos			
	tg			
21
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image9.gif
image10.wmf
,,,,
ABBCCDDEEA
image11.wmf
,,,,
ACADBDBECE
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ˆˆ
ˆˆˆ
ABC,BCD,CDE,DEA,EAB
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(
)
180º2
i
Sn
=-
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360º
e
S
=
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(
)
180º2
 ou 
i
ii
n
S
aa
nn
-
==
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360º
 ou 
e
ee
S
aa
nn
==
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(
)
3
2
nn
d
-
=
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×=×
PAPBPCPD
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(
)
×=
2
PAPBPT
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=
3
r
a
2
image32.wmf
=
4
r2
a
2
image33.wmf
=
6
r3
a
2
image34.wmf
=
3
r3
l
image35.wmf
=
4
r2
l
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=
6
r
l
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×
A=bh
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2
A=
l
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×
==××
bh1
Abh
22
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(
)
(
)
(
)
=×-×-×-
++
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Appapbpc
abc
p
2
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=×××
1
Aabsen
α
2
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×
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2
3
A
4
l
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(
)
+×
Bbh
A=
2
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×
Dd
A=
2
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=×
Apa
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.
×
=
n
p
2
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=×
2
A
πr
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a
×××
graus
setor
2
A
==
πr360
º2
πr
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=+
==
==
==
222
abc
cateto opostob
sen
α
hipotenusaa
cateto adjacentec
cos
α
hipotenusaa
cateto opostob
tg
α
cateto adjacentec
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1
2
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2
2
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3
2
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3
3
image70.wmf
3
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1
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