Lista 2 Divisibilidade

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SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE BRAGANÇA
Disciplina: Teoria dos Números - MT04087
Professora: Dra. Marly Anjos
Lista de Exerćıcios 2. Divisibilidade.
1. Sejam a, b, c ∈ Z e c ̸= 0. Mostre que:
(a) a | b e b | a se, e somente se |a| = |b|;
(b) ac | bc se, e somente se, a | b.
2. Com quantos zeros termina o número 100!?
3. Mostre por indução matemática que, para todo n ∈ N ∪ {0},
(a) 8 | 32n + 7
(b) 9 | 10n + 3.4n+2 + 5.
4. Para quais valores de a ∈ N
(a) a− 2 | a3 + 4?
(b) a+ 3 | a3 − 3?
5. Ache o quociente e o resto da divisão de (a) de 27 por 5. (b) de 38 por 7.
6. Mostre que, se a e b são ı́mpares, então a2 + b2 é diviśıvel por 2 mas não é
diviśıvel por 4.
7. Mostre que a e a+ 2b têm a mesma paridade.
8. Mostre que se a | b+ c e a | b, então a | c.
9. Quais os números que, quando divididos por 5, deixam resto igual
(a) à metade do quociente?
(b) ao dobro do quociente?
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10. Quais são os números que, quando divididos por 7, deixam resto igual a metade
do quociente.
11. Seja N um número natural. Mostre que a divisão de N 2 por 6 nunca deixa
resto 2.
12. Seja n um número natural. Mostre que um, e apenas um, número da terna n,
n+ 1, n+ 2 é diviśıvel por 3.
13. O resto da divisão do inteiro N por 20 é 8. Qual o resto da divisão de N por
5?
14. Na divisão de a por b o quociente é 7 e o resto o maior posśıvel. Sabendo que
a e b são inteiros positivos cuja soma é 116, determine o valor de a e b.
15. Sabendo que na divisão do inteiro a por 12 o resto é 7, calcule o resto da
divisão de cada um dos inteiros abaixo por 12:
(a) 3a
(b) 5a+ 7.
16. Mostre que se a é um inteiro, então a2 termina em um dos algarismos 0, 1, 4, 5, 6
ou 9.
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