08 - Exerccios_Frmula_da_Secante

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Exercícios
 Fórmula da Secante
Alberto B. Vieira Jr.
UFBA – Escola Politécnica
Depto. de Construção e Estruturas
ENG301
E
xe
rc
íc
io
s
Exercício 01
A
B
c c 40
1
0
0
P
Bronze
A = 40,0 cm2 ; 
rx = 2,887 cm ; 
ry = 1,155 cm 
Seção transversal: 
E = 103 GPa;
fy = 345 MPa
a) Determine a máxima tensão de compressão 
(sc) max (que ocorre na seção A, base da coluna), 
considerando os deslocamentos transversais que 
ocorrem na barra.
R
a
zã
o 
d
e 
ex
ce
n
tr
ic
i-
d
a
d
e 2,0 × 5,0 
 2,8872
E
sb
el
te
z
lx = (K=2) × 108
 2,887
e c =
 r2
Análise em torno de x: Existe excentricidade 
→ Fórmula da Secante !
20
= 1,200 
= 74,82
P= 500
(kN-m)
1
,0
8
(sc)max = P× 1 + e×c × sec l P . 
 A r2 2 E×A . 
= 500,0 
 40,0
1 + 1,20 × sec 74,82 
 2
 500,0_____
 10300.×.40,0
→ (sc)max = 69,24 kN/cm2 = 692,40 MPa
x
Exercício 01 (Cont.) b) Determine a máxima tensão de compressão (sc)SD
max 
(que ocorre na seção A, base da coluna), sem a consideração 
dos deslocamentos transversais que ocorrem na barra.
(sc)SD
max = _P_× + Mx × c . 
 A Ix . 
Mx = 500 × 2,0 = 1000,0 kNcm
Ix = 4,0 × 10,03 
 12
= 333,33 cm4
→ (sc)Sd
max = 
. 
500,0 
 40,0
+ 1000,0 × 5,0 
 333,33
12,5 15,0
= 27,5 kN/cm2 
= 275,0 MPa 
sc = 692,4 MPa
st = 442,2 MPa
sc = 275,0 MPa
st = 25,0 MPa
P/A = sc = 125,0 MPa
Considerando deslocamentos 
transversais (Fórmula da Secante)
500 kN
37,83 kNm
Flexão composta, sem considerar 
os deslocamentos transversais.
500 kN
10,00 kNm
0,0
0,5
1,0
1,5
l
(P/A)cr (Mpa)
Bronze
E= 103 GPa;
fy= 345 MPa
80
Exercício 01 (Cont.) c) Determine a carga crítica Pcr associada à flambagem ou 
ao escoamento.
Análise em torno de x: Existe excentricidade → Fórmula da Secante !
R
a
zã
o 
d
e 
ex
ce
n
tr
ic
i-
d
a
d
e
2,0 × 5,0 ≈ 1,2 
 2,8872
E
sb
el
te
z
lx = (K=2) × 108 = 74,82 ≈ 75 
 2,887
e c =
 r2
91,3
C
a
rg
a
 c
rí
ti
ca
(Pcr)x = 9,13 kN/cm2 × 40,0 cm2 → (Pcr)x ≈ 365 kN
75
ly = (K=0,7) × 108 = 65,45
 1,155
scr = p 2 × 10300 = 23,73 kN/cm2
 65,452
scr ≤ ( fy = 34,5 kN/cm2 ) 
T
en
sã
o 
cr
ít
ic
a
C
a
rg
a
 
cr
ít
ic
a Pcr = 23,73 kN/cm2 × 40,0 cm2
Análise em torno de y: Não existe 
excentricidade → Fórmula de Euler !
E
sb
el
te
z
→ (Pcr)y = 949,2 kN
Determinação da carga crítica considerando 
os dois eixos 
Pcr = min [ 365 , 949 ] 
→ Pcr = 365 kN
Exercício 01 (Cont.)
y
P
(kN-m)
Aço A572 – Gr.50 
A = 23,4 cm2 ; 
rx = 6,33 cm ; 
ry = 2,32 cm 
Seção transversal: 
E = 200 Gpa;
fy = 345 MPa
y
z
lx = (K=1) × 500 = 79,0
 6,33
Análise em torno de x: Existe excentricidade 
→ Fórmula da Secante !
C
a
rg
a
 c
rí
ti
ca
x
P
er
fi
l 
W
 1
5
0
×1
8
Exercício 02
y
P
1
5
3
102
4
2
(mm)
R
a
zã
o 
d
e 
ex
ce
n
tr
ic
i-
d
a
d
e e c =
 r2
4,2 × 7,65 ≈ 0,8 
 6,332
Determine a 
carga crítica Pcr
E
sb
el
te
z
D
et
er
m
in
a
çã
o 
d
e 
(P
/A
)
79
135
Pcr = 13,5 kN/cm2 × 23,4 cm2 → (Pcr)x = 316 kN
2
,5
2
,5
ly = (K=1) × 250 = 107,8
 2,32
scr = p 2 × 20000 = 16,99 kN/cm2
 107,82
scr ≤ ( fy = 34,5 kN/cm2 ) 
T
en
sã
o 
cr
ít
ic
a
C
a
rg
a
 
cr
ít
ic
a Pcr = 16,99 kN/cm2 × 23,4 cm2
y
P
1
5
3
102
4
2
(mm)
Análise em torno de y: Não existe 
excentricidade → Fórmula de Euler !
E
sb
el
te
z
→ (Pcr)y = 398 kN
y
2
,5
2
,5
P
(kN-m)
Aço A572 – Gr.50 
A = 23,4 cm2 ; 
rx = 6,33 cm ; 
ry = 2,32 cm 
Seção transversal: 
E = 200 Gpa;
fy = 345 MPa
y
z
P
er
fi
l 
W
 1
5
0
×1
8
Exercício 02 (Cont.)
Determine a 
carga crítica Pcr
2
,5
2
,5
Determinação da carga crítica considerando 
os dois eixos 
Pcr = min [ 316 , 398 ] 
→ Pcr = 316 kN
P
y
P
180
90
(mm)
C
a
ra
ct
er
ís
ti
ca
s 
ge
om
ét
ri
ca
s 
d
a
 
se
çã
o 
tr
a
n
sv
er
sa
l
A = p × 18,02 = 254 cm2
 4
Iy = p × 18,04 = 5153 cm4
 64
ry = 5153 = 4,50 cm
 254
Análise em torno de y: Existe excentricidade 
→ Fórmula da Secante !
R
a
zã
o 
d
e 
ex
ce
n
tr
ic
i-
d
a
d
e 2,8 × 9,0 ≈ 1,244 
 4,52
E
sb
el
te
z
ly = (K=2) × 158 = 70,2
 4,50
e c =
 r2
y
z
28
62
1
,5
8
K=2,0
Exercício 03
Madeira 
E = 12 Gpa;
fy = 40 MPa
Determine a carga crítica Pcr , e a carga 
admissível, Padm, considerando um 
Coeficiente de Segurança C.S. = 2,5
(kN-m)
y
Exercício 02 (Cont.)
Determinação da carga crítica
e c = 1,244
 r2
ly = 70,2
70
11,2
Pcr = 1,12 kN/cm2 × 254 cm2 → Pcr = 284,5 kN
A = 254 cm2
= (Pcr)y 
C.S.
Padm =
Pcr
2,5
284,5
= → Padm = 113,8 kN = (Padm)y 
C.S. = 2,5
Exercício 04
y
z
P
P
y
x
120
100 1010
C
a
ra
ct
er
ís
ti
ca
s 
ge
om
ét
ri
ca
s 
d
a
 
se
çã
o 
tr
a
n
sv
er
sa
l
A = p × (12,02 - 10,02) = 34,6 cm2
 4
Ix = p × (12,04 – 10,04) = 527 cm4
 64
rx = 527 = 3,90 cm
 34,6
Análise em torno de x: Existe excentricidade 
→ Fórmula da Secante !
R
a
zã
o 
d
e 
ex
ce
n
tr
ic
i-
d
a
d
e 1,52 × 6,0 ≈ 0,6 
 3,92
E
sb
el
te
z
lx = (K=1) × 350 = 89,7
 3,90
e c =
 r2
Determine a carga crítica Pcr
3,5
(kN-m)
15,2
Alumínio 
E = 70 Gpa;
fy = 150 MPa
K=1,0x
(mm)
Determinação da carga crítica
e c = 0,6
 r2
lx = 89,7
Pcr = 5,28 kN/cm2 × 34,6 cm2 → Pcr = 182,7 kN
90
52,8
Exercício 04 (Cont.)
(mm)
A = 34,6 cm2
= (Pcr)x