ESTRUTURAS DE CONCRETO

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ESTRUTURAS DE CONCRETO
PROF. ME. MARCUS VINÍCIUS PAULA DE LIMA
Presidente da Mantenedora
Ricardo Benedito Oliveira
Reitor: 
Dr. Roberto Cezar de Oliveira
Pró-Reitoria Acadêmica
Gisele Colombari Gomes
Diretora de Ensino
Prof.a Dra. Gisele Caroline
Novakowski
PRODUÇÃO DE MATERIAIS
Diagramação:
Alan Michel Bariani
Edson Dias Vieira
Thiago Bruno Peraro
Revisão Textual:
Camila Cristiane Moreschi
Danielly de Oliveira Nascimento
Fernando Sachetti Bomfim
Luana Luciano de Oliveira
Patrícia Garcia Costa
Produção Audiovisual:
Adriano Vieira Marques
Márcio Alexandre Júnior Lara
Osmar da Conceição Calisto
Gestão de Produção: 
Cristiane Alves© Direitos reservados à UNINGÁ - Reprodução Proibida. - Rodovia PR 317 (Av. Morangueira), n° 6114
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01
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ................................................................................................................................................................4
1 FUNDAMENTOS DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO ...............................................................................5
1.1 COMPOSIÇÃO E TIPOS DE CONCRETO ................................................................................................................5
1.2 PROPRIEDADES MECÂNICAS DO CONCRETO ....................................................................................................6
1.3 PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS AÇOS PARA ARMADURA ...........................................................................9
1.4 BASES PARA O CÁLCULO DAS SEÇÕES DE CONCRETO ARMADO................................................................... 10
1.5 ESTÁDIOS DE TENSÃO NO CONCRETO ............................................................................................................... 11
1.6 ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS: DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO ........................................................................... 12
CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................................................................................... 14
FUNDAMENTOS E CONCEITOS 
BÁSICOS DO CONCRETO ARMADO
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
ESTRUTURAS DE CONCRETO
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INTRODUÇÃO
Nesta disciplina, você terá a oportunidade de conhecer os fundamentos do concreto 
armado e de suas estruturas nas Unidades 1 e 2, especificando os elementos estruturais de vigas, 
lajes e pilares na Unidade 3 e de fundações na Unidade 4.
O concreto armado é utilizado em diversas construções, tais como edifícios, fundações, 
obras de saneamento, pavimentos de rodovias e aeroportos, obras portuárias, pontes, viadutos, 
dentre outras. A expressão “concreto armado” se refere a estruturas formadas por concreto, que 
possuem armações feitas com barras de aço em seu interior. Devido à sua solidez, esse sistema 
estrutural consegue suportar grandes estruturas com o uso de poucos pilares e vigas, sendo ideal 
para projetos com grandes vãos e arquitetura moderna. Dentre os inúmeros projetos icônicos 
feitos em concreto armado, estão o Burj Khalifa, a Hidrelétrica das Três Gargantas, a Ponte de 
Danyang-Kunshan e a Basílica de Nossa Senhora da Paz de Yamoussoukro.
Dentre suas principais vantagens, destacam-se: sua boa resistência à maioria das 
solicitações e aos agentes atmosféricos; a facilidade no uso, sendo possível sua utilização em 
vários formatos; as técnicas de execução são razoavelmente dominadas em todo o País; e o fato 
de apresentar durabilidade e resistência ao fogo, superiores em relação ao aço e madeira.
Dentre suas principais desvantagens, podemos citar o fato de os elementos serem maiores 
em relação ao aço, o fato de reformas e adaptações serem, muitas vezes, de difícil execução e de 
ser necessário um sistema de fôrmas e escoramento que precisa ficar no local até que o concreto 
atinja sua resistência.
Diante disso, esta unidade é dedicada à introdução ao estudo das estruturas de concreto 
armado. Inicialmente, explicam-se as características básicas e propriedades mecânicas do 
concreto e do aço. Em seguida, expõe-se o comportamento do concreto quando submetido a 
solicitações. Por fim, caracterizam-se os domínios de deformação no estado limite último.
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1 FUNDAMENTOS DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
1.1 Composição e Tipos de Concreto
O concreto é o material de construção civil mais usado no mundo, composto por agregados, 
cimento Portland e água, podendo também conter outros materiais, como adições minerais e 
aditivos químicos, que influenciam diretamente na melhoria da resistência do concreto.
De uma forma geral, os materiais que compõem o concreto podem ser utilizados para 
produzir pastas (mistura de água e cimento), argamassas (pasta misturada com agregado miúdo) 
e o concreto propriamente dito (composto pela argamassa e agregado graúdo), como mostra a 
Figura 1.
Figura 1 – Composição do concreto. Fonte: O autor.
A respeito dos tipos de concreto, podemos dividi-lo basicamente em duas classes: não 
estrutural/simples e estrutural. O concreto simples, também conhecido como concreto magro, 
é utilizado nas partes não estruturais do edifício, como pisos e proteção de superfícies. Já o 
concreto estrutural é aquele utilizado na estrutura de uma construção, como lajes, vigas e pilares, 
e necessita de uma maior resistência. Para isso, neste caso, usualmente utiliza-se a combinação do 
concreto simples com o aço, que tem como função resistir aos esforços de tração. Essa associação 
entre aço e concreto pode ocorrer de diversas maneiras, dentre as quais:
• Concreto armado: junção do concreto simples com barras de aço, denominadas 
armaduras passivas;
• Concreto protendido: associação do concreto simples com armaduras ativas, ou seja, 
barras de aço tracionadas previamente;
• Concreto com fibras: concreto simples com fibras metálicas ou poliméricas.
Vale ressaltar que o uso do concreto armado só foi possível graças à aderência por adesão 
existente entre o aço e o concreto, o que permite que as deformações na estrutura da região de 
contato entre esses materiais sejam semelhantes.
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1.2 Propriedades Mecânicas do Concreto
As propriedades mecânicas dos materiais definem o seu comportamento quando sujeitos 
a cargas externas e à sua capacidade de resistir ou transmitir esses esforços sem se fraturarem ou 
deformarem de forma excessiva. A principal propriedade mecânica do concreto é a resistência à 
compressão.
A resistência à compressão simples do concreto pode ser quantificada através de ensaios 
normalizados pela NBR 5738:2015 – Procedimentos para moldagem e cura de corpos de prova. 
O ensaio mais comum para medir a resistência à compressão simples do concreto é o Ensaio de 
Resistência à Compressão Axial, em que o corpo de prova de formato cilíndrico, após o tempo de 
cura de 28 dias, é submetido a um esforço controlado até sua fissuração ou ruptura.
Com os dados do ensaio, determina-se a classe de resistência do concreto através da 
Resistência Característica à Compressão do Concreto (fck), dada pela Equação 1.1.
 fck = fcm - 1,65 * s (1.1)
Em que:
 fck : resistência característica à compressão (MPa);
fcm : resistência média dos corpos de provas (MPa);
s : desvio padrão.
A NBR 8953:2015 (“Concreto para fins estruturais - Classificação pela massa específica, 
por grupos de resistência e consistência”) classifica o concreto em classes quanto à resistência à 
compressão: o concreto que apresentar uma resistência característica de 25 MPa é considerado 
como C25; o concreto de resistência 30 MPa como C30; e assim por diante. Além disso, as classes 
do concreto são divididas em dois grupos principais:
Grupo I: C10, C15, C20, C25, C30, C35, C40, C45 e C50;
Grupo II: C55, C60, C70 e C80.
A resistênciaàs armaduras negativas, a Norma não traz nenhuma recomendação sobre seu comprimento. No 
entanto, Bastos (2021) recomenda que seja calculado conforme a Equação 3.11.
Em que l : comprimento da armadura negativa; lx : maior entre os menores vãos das duas 
lajes; lb 
: comprimento de ancoragem; lganchos 
: comprimento dos ganchos.
1.5 Projeto de Vigas
Como vimos no item 1.4, as taxas de armadura máxima e mínima das lajes maciças são 
as mesmas para as vigas. Já o espaçamento entre as barras, tanto horizontal quanto vertical, deve 
ser o maior valor entre 20 mm, o diâmetro da barra e:
• Para o espaçamento horizontal: 1,2 vezes o diâmetro do maior agregado;
• Para o espaçamento vertical: 0,5 vezes o diâmetro do maior agregado.
Além disso, deve-se considerar um espaçamento entre a face interna do concreto e a 
armadura, denominada de cobrimento, que varia de acordo com a classe de agressividade 
ambiental. 
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A NBR 6118 (ABNT, 2014) recomenda ainda a utilização de armadura de pele, que são 
armaduras laterais dispostas na alma do elemento, caso a viga tenha uma altura superior a 60 cm. 
Essa armadura deve ter barras do tipo CA-50 ou CA-60, com espaçamento máximo entre elas de 
20 cm e área mínima por face de 0,10% * bw * h , para seções retangulares.
Para as armaduras longitudinais de tração, compressão e secundárias, o comprimento é 
definido pelo processo de decalagem, apresentando na Unidade 2. Caso a viga tenha armadura 
simples, devem-se utilizar porta-estribos, que são armaduras construtivas para suporte da 
armadura transversal.
Os estribos devem ter diâmetro igual ou superior a 5 mm, sem exceder a 1/10 da largura 
da alma da viga. Caso a barra seja lisa, seu diâmetro deve ser inferior a 12 mm. No caso de 
estribos compostos por telas soldadas, o diâmetro mínimo é de 4,2 mm, desde que sejam tomadas 
precauções contra a corrosão. Além disso, os estribos devem ser fechados por um ramo horizontal 
envolvendo as barras da armadura longitudinal de tração.
Em relação ao espaçamento longitudinal, o mínimo aceitável é aquele que possibilite a 
passagem do vibrador para um correto adensamento. Já o espaçamento máximo deve seguir as 
Equações 3.12 e 3.13.
Se Vd ≤ 0,67 VRd2 :
Se Vd > 0,67 VRd2 :
O espaçamento transversal deve seguir as Equações 3.14 e 3.15.
Se Vd ≤ 0,20 VRd2 :
Se Vd > 0,20 VRd2 :
Em relação à ancoragem, a NBR 6118 (ABNT, 2014) diz que as barras tracionadas podem 
ser ancoradas ao longo do comprimento retilíneo ou com grande raio de curvatura em sua 
extremidade, de acordo com as condições a seguir:
• Obrigatoriamente com gancho para barras lisas;
• Sem gancho nas que tenham alternância de solicitação, de tração e compressão;
• Com ou sem gancho nos demais casos, não sendo recomendado o gancho para barras de 
∅ > 32 mm ou para feixes de barras.
Para mais informações sobre o cobrimento mínimo, ler: 
ABNT - ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR-6118: Projeto de 
Estruturas de Concreto. Rio de Janeiro: ABNT, 2014. Tabela 7.2.
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Ao se fazer o detalhamento de uma viga, as barras longitudinais devem ser representadas 
no seu interior e evidenciadas externamente, demonstrando as diferentes camadas. Todas as 
barras devem apresentar a quantidade, numeração, diâmetro da barra e comprimento. Para os 
estribos, além dessas informações, deve-se indicar também o espaçamento.
1.6 Projeto de Pilares com Pequena e Média Esbeltez
Os pilares, por serem elementos verticais submetidos a forças axiais, sempre estão sujeitos 
a instabilidades devido à flambagem, que é o fenômeno de instabilidade de equilíbrio que pode 
provocar a ruptura do elemento com a compressão predominante, antes de se esgotar a sua 
capacidade resistente à compressão. Por esse motivo, o projeto dos pilares é considerado mais 
complexo do que o dimensionamento de vigas e lajes, por exemplo.
Os elementos sofrem flambagem quando a força de compressão solicitante é superior à 
carga crítica, que é caracterizada como a força máxima que se pode aplicar num dado elemento 
estrutural vertical sem que haja deslocamentos horizontais. Além disso, existem os efeitos de 
não linearidade geométrica, caracterizados pela interação entre os carregamentos atuantes nos 
elementos estruturais e os deslocamentos das estruturas, provocando o surgimento de esforços 
de momento fletor e normal.
Devemos considerar também que os elementos com valores de esbeltez mais elevados 
são mais sujeitos à flambagem. Dessa forma, a NBR 6118 (ABNT, 2014) prescreve que o índice 
de esbeltez dos pilares tem de ser igual ou inferior a 200, dispensando a verificação de efeitos de 
2ª ordem quando o índice de esbeltez é inferior ao valor limite (λ1). As Equações 3.16, 3.17, 3.18 
e 3.19 descrevem, respectivamente, o índice de esbeltez, o comprimento equivalente, o raio de 
giração e o valor limite para o índice de esbeltez.
Em que λ : índice de esbeltez; le : comprimento equivalente; i : raio de giração; l0 : distância 
entre as faces internas dos elementos estruturais que vinculam o pilar (vigas e lajes); h : altura 
da seção; l : distância entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar está vinculado; 
I
 
: momento de inércia na direção analisada; A : área da seção brutal de concreto; λ1 : valor 
limite para o índice de esbeltez; e1 : excentricidade de primeira ordem, dada pela razão entre o 
momento e a normal solicitante e1 = M / N; e αb : coeficiente definido pela função e solicitação do 
pilar, descrito nos casos a seguir.
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a. Para pilares sem cargas transversais:
Em que MA e MB são os momentos de 1ª ordem nos extremos do pilar, obtidos na análise 
de 1ª ordem no caso de estruturas de nós fixos e os momentos totais (1ª ordem + 2ª ordem global) 
no caso de estruturas de nós móveis. Deve ser adotado para MA o maior valor absoluto ao longo 
do pilar biapoiado e, para MB 
, o sinal positivo se tracionar a mesma face que MA, ou negativo 
em caso contrário.
b. Para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo da altura: αb = 1;
c. Para pilares em balanço
Em que MC é o momento de 1ª ordem no meio do pilar em balanço;
d. Para pilares biapoiados ou em balanço com momentos menores que o momento mínimo: 
αb = 1.
De acordo com o valor do índice de esbeltez calculado, os pilares podem ser classificados 
da seguinte forma:
• Pilares curtos ou pouco esbeltos: se λ ≤ 35;
• Pilares médios: se 35dos Estados Limites Últimos. Por outro lado, não há essa 
necessidade para os Estados Limites de Serviço, de acordo com a norma brasileira de projeto de 
estruturas de concreto.
Elliott (2017, p. 87) afirma que todos os edifícios, mesmo os pré-moldados construídos 
com as melhores técnicas de precisão, apresentarão imperfeições devido aos métodos construtivos, 
aos erros de execução ou mesmo aos efeitos naturais, sendo inevitáveis algumas das imperfeições. 
Conforme a NBR 6118 (ABNT, 2014), a imperfeição geométrica deve ser considerada através de 
uma inclinação de desaprumo, assim como ilustra a Figura 7.
Figura 7 – Desaprumo. Fonte: ABNT (2014).
Em que θa é fornecido pela Equação 3.23.
Em que n : número de pilares no pórtico, e θ1 é dado pela Equação 3.24.
Em que H
 
: altura total do edifício (m).
A Norma ainda prescreve o valor máximo de e, para estruturas reticuladas e 
imperfeições locais, .
Uma vez que já temos o valor do desaprumo, a Equação 3.25 transforma o efeito na força 
equivalente.
Em que FH : é a força horizontal que representa o efeito do desaprumo; FV : carga vertical 
total atuando no pavimento; θ : deslocamento do pavimento analisado, conforme Equação 3.23.
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Além dos efeitos de flambagem e desaprumo que ocorrem nos pilares, temos os efeitos de 
2ª ordem. Eles são definidos como sendo os momentos adicionais que surgem quando a estrutura 
deforma e continua com os esforços solicitantes, que acabam tendo uma maior excentricidade, 
surgindo, assim, momentos adicionais nas estruturas.
No dimensionamento de um pilar, é necessário o cálculo dos momentos totais, que são 
compostos pelos momentos de 1ª e 2ª ordens. Para o cálculo dos momentos de 1ª ordem, usa-
se a análise estrutural e, para o cálculo dos momentos de 2ª ordem, usam-se alguns modelos de 
cálculo, como Método Geral e Métodos Aproximados. Para pilares com λ ≤ 90, a Norma admite 
a utilização dos métodos aproximados.
Um dos métodos aproximados mais utilizados é o Método do Pilar-Padrão com Curvatura 
Aproximada, descrito pela Equação 3.26.
Em que M2d : momento de 2ª ordem; Nd : força normal de cálculo; 1/r
 
: raio de curvatura 
aproximado da seção crítica, descrito pela Equação 3.27.
Em que h é a altura da seção e v é a força normal adimensional, dada pela Equação 3.29;
Em que Ac : área da seção bruta de concreto; fcd 
: resistência à compressão de cálculo do concreto.
Após a determinação dos momentos de 1ª e 2ª ordens, é possível determinar a 
armadura necessária utilizando os métodos e ábacos descritos na Unidade 2. Para finalizar o 
dimensionamento do pilar, a NBR 6118 (ABNT, 2014) descreve as condições para a disposição 
construtiva das armaduras.
Para a armadura longitudinal, a Norma prescreve, para as áreas mínima e máxima, as 
Equações 3.29 e 3.30. Para os diâmetros mínimos e máximos da armadura, devem-se respeitar 
os limites de 10 mm e b/8, respectivamente, em que b
 
é a menor dimensão da seção de concreto. 
Por fim, o espaçamento entre as barras deve respeitar o valor mínimo descrito pela Equação 3.31 
e máximo pela Equação 3.32.
Em que Øl : é o diâmetro da barra longitudinal; dmax,ag : é o diâmetro máximo dos 
agregados. Para a armadura transversal (estribos), a Norma prescreve as seguintes recomendações.
Em que Ø : diâmetro do estribo; e: 24 para aços CA-25 e 12 para CA-50. Por fim, a Norma 
prescreve que, se houver mais de duas barras num trecho de comprimento 20Øl , devem-se 
utilizar ganchos para proteção contra a flambagem.
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Assista ao vídeo Cálculo de Pilar - Concreto Armado.
Disponível em:
https://youtu.be/oWrhWMXTPzY.
https://youtu.be/oWrhWMXTPzY
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Os conteúdos apresentados nesta unidade são fundamentais na elaboração de projetos de 
estruturas de concreto armado convencionais, compostas por lajes, vigas e pilares.
Ao longo da unidade, foram apresentadas as etapas de construção de um edifício em 
concreto armado, destacando-se as principais características de cada etapa e evidenciando-se a 
importância do correto dimensionamento e apresentação de projeto, mostrando a importância 
que o projetista estrutural tem durante toda a obra.
Posteriormente, foi apresentado o pré-dimensionamento de vigas e pilares e, na sequência, 
descreveu-se todo o processo de dimensionamento de lajes, como as espessuras mínimas exigidas 
pela NBR 6118 (ABNT, 2014), os tipos de vinculações, os ELU e o detalhamento das armaduras. 
Seguindo a sequência lógica da distribuição do carregamento em uma edificação, mostraram-se 
os principais elementos que devem ser considerados em um projeto de vigas, descrevendo as 
exigências da Norma, tais como diâmetros mínimos para armaduras longitudinais e transversais, 
limites para a área de armadura e espaçamentos.
Por fim, abordou-se o dimensionamento de pilares, evidenciando-se a importância do 
índice de esbeltez e da análise local dos efeitos de 2ª ordem para um correto dimensionamento, 
além das exigências da NBR 6118 (ABNT, 2014) referentes à disposição da armadura.
Com essas ferramentas e conceitos, objetivou-se fornecer a você uma visão ampla 
para a realização do dimensionamento dos elementos estruturais de um edifício em concreto 
armado, conforme a norma vigente no País, já que a capacidade do profissional de visualizar o 
dimensionamento de estruturas de concreto pode ser um diferencial no mercado de trabalho.
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SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ...............................................................................................................................................................49
1 PROJETO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO: FUNDAÇÕES ...................................................................................50
1.1 AÇÕES E SEGURANÇA EM ELEMENTOS DE FUNDAÇÕES ................................................................................50
1.2 DEFINIÇÃO DO ELEMENTO, OCORRÊNCIA E DETERMINAÇÃO DE ESFORÇOS SOLICITANTES................... 51
1.3 DIMENSIONAMENTO GEOMÉTRICO E ESTRUTURAL DE SAPATAS RÍGIDAS E FLEXÍVEIS SOB FORÇA CENTRADA . 54
1.3.1 DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA DE FLEXÃO .........................................................................................54
1.3.2 VERIFICAÇÃO DE SAPATA FLEXÍVEL À FORÇA CORTANTE ...........................................................................55
1.3.3 VERIFICAÇÃO À PUNÇÃO ..................................................................................................................................55
1.4 DIMENSIONAMENTO GEOMÉTRICO E ESTRUTURAL DE SAPATAS CORRIDAS E ASSOCIADAS .................56
1.5 DIMENSIONAMENTO DE ESTACAS .....................................................................................................................58
1.6 DIMENSIONAMENTO GEOMÉTRICO E ESTRUTURAL DE TUBULÕES A CÉU ABERTO E A AR COMPRIMIDO ... 59
CONSIDERAÇÕES FINAIS ...........................................................................................................................................60
PROJETO DE ESTRUTURAS
DE CONCRETO: FUNDAÇÕES
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
ESTRUTURAS DE CONCRETO
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INTRODUÇÃO
Para finalizar o estudo das estruturas de concreto, nesta unidade você irá conhecer os 
elementos de fundações e os métodos para o seu dimensionamento.
As fundações são elementos essenciais em um projeto, sendo responsáveis por transmitirem 
as cargas vindas dos pilares para o terreno. Elas são divididas em dois tipos: superficial e profunda. 
As fundações superficiais possuem profundidade de assentamento em relação ao terreno inferior 
a duas vezes a menor dimensão da fundação. Já as fundações profundassão aquelas que possuem 
uma profundidade superior ao dobro da sua menor direção em planta, e com, no mínimo, 3 
metros.
Como a fundação é o elo entre a superestrutura e o solo, é imprescindível um bom 
dimensionamento desse elemento, que consiste na determinação de suas dimensões e na 
quantidade necessária de armaduras. Para isso, devem-se analisar as ações que chegam nas 
fundações e os fatores de segurança que são considerados para a correta análise da capacidade 
da fundação. Além disso, outros fatores (como o tipo e a resistência do solo, a região em que será 
implantado o projeto, o custo de execução, a mão de obra qualificada e a capacidade executiva) 
são importantes para que se possa escolher qual tipo de fundação será mais eficiente e econômica.
A partir do conhecimento adquirido sobre os diferentes tipos de fundações, o objetivo 
desta unidade é que você consiga dimensionar o elemento de fundação escolhido. Assim, ao final 
do estudo de todas as unidades, após conhecer os elementos que fazem parte do concreto armado, 
você será capaz de analisar, dimensionar e detalhar todos os elementos da superestrutura (vigas, 
pilares e lajes) e da infraestrutura (fundação).
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1 PROJETO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO: FUNDAÇÕES
1.1 Ações e Segurança em Elementos de Fundações
Analisando os esforços incluídos nos projetos de fundações, segundo a NBR 6122 (ABNT, 
2019), eles devem estar considerados no nível do topo das fundações ou no nível da interface 
entre a superestrutura e a infraestrutura, sendo separados de acordo com o estado limite ao qual 
pertencem. Além das ações provenientes da superestrutura, devem-se considerar:
a. Ações decorrentes da água superficial e subterrânea;
b. Ações decorrentes do terreno: como o empuxo da terra;
c. Ações variáveis especiais: levam em conta o tipo e a finalidade da obra;
d. Peso próprio das fundações: em geral, pode-se considerar como sendo, no mínimo, 5% 
da carga vertical permanente.
Como visto para os outros elementos das estruturas de concreto armado, as fundações 
devem atender às seguranças exigidas pelo ELU e ELS. O estado limite último analisa se há 
colapso na estrutura, considerando os seguintes mecanismos:
• Perda da estabilidade global;
• Ruptura por insuficiência da resistência do terreno e/ou por deslizamento (no caso de 
fundações rasas);
• Arrancamento ou falta de resistência por tração;
• Ruptura estrutural devido aos movimentos da fundação e/ou por causa da compressão, 
flexão, tração ou cisalhamento, além dos efeitos de segunda ordem;
• Ruptura do terreno, decorrente dos carregamentos transversais.
Em contrapartida, o ELS se preocupa com a funcionalidade da obra, levando em conta os 
recalques excessivos, as grandes vibrações e os levantamentos excessivos, causados, por exemplo, 
pela expansão do solo.
Para as fundações rasas, a NBR 6122 (ABNT, 2019) recomenda dois métodos distintos 
para a verificação da segurança na compressão: empregar nas ações seus valores característicos e 
fator de segurança global ou utilizar os valores de cálculo, obtidos pela aplicação de coeficientes 
de ponderação.
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Os valores de segurança que devem ser adotados em cada um dos casos estão apresentados 
na Tabela 1.
Tabela 1 - Fatores de segurança globais mínimos.
Método Coeficientes de ponderação 
da resistência última Fator de segurança global
Semiempírico Valores propostos no próprio 
processo e, no mínimo, 2,15
Valores propostos no próprio 
processo e, no mínimo, 3,00
Analítico 2,15 3,00
Semiempírico ou analítico, 
acrescido de duas ou mais 
provas de carga
1,40 2,00
Fonte: NBR 6122 (2019).
Em relação às fundações profundas, deve-se adotar um fator de segurança global para 
a determinação da carga admissível de 2 e, para a força resistente de cálculo, de 1,4. Para o 
cálculo da resistência característica das estacas, recomenda-se o uso de métodos semiempíricos, 
com ensaios de campo. No entanto, podem-se utilizar provas de carga estáticas, executadas no 
projeto para a determinação dessa resistência. Nesses casos, o fator de segurança global é 1,4, e o 
coeficiente para ponderação dos valores característicos tem valor de 1,0.
No caso dos métodos dos valores admissíveis, a condição de segurança é apresentada na 
Equação 4.1.
Em que Padm 
: tensão admissível de sapatas e tubulões ou a carga admissível de estacas; 
Rk 
: forças ou tensões características de ruptura (últimas); FSg : fator de segurança global.
Já para o método dos valores de cálculo, têm-se as Equações 4.2 e 4.3.
Em que Rd : tensão resistente de cálculo para sapatas, tubulões ou estacas; Sd 
: solicitações 
de cálculo; γf : coeficiente de ponderação dos valores característicos das solicitações; γm: coeficiente 
de ponderação dos valores característicos das resistências.
1.2 Definição do Elemento, Ocorrência e Determinação de Esforços 
Solicitantes
Como dito anteriormente, há dois tipos de fundações: rasas, que correspondem às sapatas, 
e profundas, que são as estacas e os tubulões. Nas sapatas, as principais ações solicitantes são os 
esforços verticais, horizontais e os momentos, podendo ocorrer em uma ou mais direções. A 
reação do solo com a base do elemento depende da sua dimensão e do tipo de solo.
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As sapatas podem ser divididas em rígidas e flexíveis, sendo as mais utilizadas as sapatas 
rígidas, pois são menos deformáveis. Para uma sapata ser considerada rígida, ela deve atender à 
Equação 4.4.
Em que h
 
: altura da sapata; A
 
: dimensão da sapata em uma determinada direção; ap : 
dimensão do pilar na mesma direção.
As estacas, por sua vez, transferem os carregamentos para o solo, majoritariamente, por 
atrito lateral. Já os tubulões, apesar de também serem fundações profundas, transferem a maior 
parte do carregamento para o solo pela base, conforme mostrado na Figura 1.
Figura 1 - Transferência de carga de uma sapata (à esquerda), de uma estaca (ao meio) e de um tubulão (à direita). 
Fonte: O autor.
Quais os fatores levados em conta na escolha do tipo de fundação para a obra? 
Fatores como localização, dificuldade de acesso, tipo e camadas de solo, além de 
grandeza dos esforços solicitantes que chegam até a fundação são os principais.
Assista ao vídeo O Canal da Engenharia. Qual fundação escolher?.
Disponível em:
https://youtu.be/pHRGm_L2YrQ.
https://youtu.be/pHRGm_L2YrQ
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1.3 Dimensionamento Geométrico e Estrutural de Sapatas Rígidas e 
Flexíveis sob Força Centrada
O primeiro passo para o dimensionamento de sapatas é definir a sua geometria em função 
dos carregamentos solicitantes que chegam nela, das condições do solo e das recomendações 
normativas. Os parâmetros geométricos a serem calculados estão descritos na Figura 2, onde ap 
e bp são as dimensões do pilar.
Figura 2 - Dimensões em planta de uma sapata retangular. Fonte: Bastos (2019).
A área de contato entre a sapata e o solo pode ser definida pela Equação 4.5.
Em que Sgk 
: força permanente; Sqk : força variável; γmaj : coeficiente de majoração das 
forças permanentes; e σadm 
: tensão admissível do solo.
Bastos (2019) recomenda que os balanços nas duas direções da sapata sejam iguais, 
para obtenção de taxas de armaduras necessárias equivalentes. Dessa forma, igualando CA = 
CB, é possível chegar a uma expressão para as dimensões B e A, respectivamente, descritas pela 
Equações 4.6 e 4.7, adotando-se geralmente dimensões múltiplas de 5.
Para definir a altura da sapata, a NBR 6118 (ABNT, 2014) define critérios em função 
da classificação do elemento: sapata rígida ou flexível. A Figura 3 descreve alguns critérios 
geométricos, recomendando-se que o valor de h0 seja maior que h/3ou 15 cm.
Figura 3 - Corte vertical de uma sapata. Fonte: Bastos (2019).
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1.3.1 Dimensionamento da armadura de flexão
Para as sapatas rígidas, o método CEB-70, concebido pelo Comitê Euro-Internacional de 
Concreto, prescreve algumas recomendações e métodos para a determinação da armadura de flexão. 
Inicialmente, o método impõe a restrição descrita pela Equação 4.8 para as duas direções da sapata.
Nos casos em que CA,B é menor que h/2, a sapata deve ser considerada como viga ou 
placa e, nos casos em que for maior que 2h, é classificada como bloco de fundação.
Na sequência, calcula-se o momento fletor, considerando uma excentricidade inicial 
definida pelas Equações 4.9 e 4.10.
E os momentos pelas Equações 4.11 e 4.12.
Em que p
 
: é a pressão que o solo exerce na base da função, dada por .
Por fim, a área de armadura necessária de flexão é dada pela Equação 4.13.
Em que d é a altura útil, que tem que ser menor que 1,5CA ou 1,5CA, dependendo da 
direção analisada.
De acordo com a NBR 6118 (ABNT, 2014), a armadura de flexão tem de ser distribuída 
uniformemente ao longo da sapata, terminando em ganchos nas duas extremidades. Também 
é recomendado que o espaçamento entre a armadura seja entre 10 e 20 cm. Para o cálculo dos 
momentos fletores e cortantes para as sapatas flexíveis, Andrade (1989) descreve que podem ser 
realizados:
1. “independentes” segundo cada direção, desprezando o fato de que a sapata trabalha como 
laje armada em cruz;
2. segundo cada direção com um determinado quinhão de carga, determinados geométrica 
e empiricamente, repartindo-se a área da sapata em áreas de influência, que podem ser 
triangulares ou trapezoidais.
Nos casos em que a área de influência seja triangular, o momento fletor é dado pelas 
Equações 4.15 e 4.16, e a força cortante, pela Equação 4.17.
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1.3.2 Verificação de sapata flexível à força cortante
A verificação da força cortante é dispensada para as sapatas rígidas. Já para as flexíveis, 
a NBR 6118 (ABNT, 2014), no item 19.4, prescreve que, quando bw ≥ 5d, a força cortante nas 
sapatas tem de ser verificada para o ELU, sendo que, quando Vsd ≤ VRd1, dispensa-se a necessidade 
de armadura transversal, em que VRd1 é dado pela Equação 4.18;
Em que τRd : é a tensão resistente de cisalhamento, dada por 0,25fctd ; fctd : é a resistência 
de cálculo do concreto ao cisalhamento, dada por fctk,inf / γc ; ρ1 = As1 / bwd ≤ 0,02; As1 : é a área 
da armadura de tração que se estende até não menos que d + lb,nec além da seção considerada; 
k : 1 para elementos em que 50% da armadura longitudinal inferior não alcançam o apoio e k = 
1,6 – d ≥ 1 para os demais casos.
1.3.3 Verificação à punção
A punção é um tipo de ruína que ocorre quando forças concentradas, ou atuantes em 
pequenas áreas, são aplicadas diretamente nas superfícies, causando a sua perfuração e colapso 
da estrutura. A NBR 6118 (ABNT, 2014) prescreve que o fenômeno de punção nas sapatas pode 
ser analisado como em lajes de concreto. Essa análise consiste em verificar duas superfícies: a 
região compreendida pelo pilar e uma região afastada do pilar em 2d, como descrito na Figura 
4. A Norma descreve que, para a primeira região, deve ser verificada indiretamente a tensão de 
compressão diagonal do concreto e, para a segunda região, deve ser verificada a capacidade da 
ligação à punção, associada à resistência à tração diagonal.
Figura 4 - Superfícies críticas de punção. Fonte: NBR 6118 (2014).
A análise de punção prescrita pela Norma consiste apenas na verificação do ELU, ou seja, 
verificar se a tensão de cisalhamento solicitante é inferior à resistente, sendo necessário, em caso 
contrário, adotar armadura de punção no elemento analisado.
Quando as cargas verticais que chegam à sapata são muito elevadas, o projeto 
é mais direcionado pela força cortante do que pelo momento fletor. No entanto, 
também é essencial a verificação da sapata à punção, o que será apresentado no 
próximo item desta unidade.
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Além disso, a Norma ainda prevê que, para as sapatas rígidas, apenas a superfície C precisa 
ser verificada. Portanto, para essa região, no caso de carregamento centrado, Bastos (2019) define 
a Equação 4.19 para o cálculo da tensão de cisalhamento solicitante.
Em que FSd : é a força concentrada de cálculo; u
 
: é o perímetro do contorno crítico C’; 
d : é a altura útil média nas duas direções ao longo do contorno C’.
Para a verificação da região C, com e sem armadura de punção, analisa-se se a tensão 
resistente de compressão diagonal do concreto (τRd2), descrita pela Equação 4.20, é maior que a 
tensão solicitante. Portanto, o valor de u na Equação 4.19 é dado por 2 (ap + bp).
Em que αv = (1 – fck / 250), fck em MPa.
Para a verificação da região C’ em trechos sem armadura de punção, a verificação se dá 
τsd ≤ τRd1. Nesse caso, o valor de u da Equação 4.19 é dado por 2(ap + bp + 2πa*).
Em que ; ρx e ρy : são as taxas de armadura calculadas nas duas direções 
ortogonais; a*≤ 2d ; fcd2 = 0,6 (1 – fck / 250) fcd , com fck em MPa.
1.4 Dimensionamento Geométrico e Estrutural de Sapatas Corridas e 
Associadas
Nas sapatas, podem ocorrer excentricidades causadas por momentos fletores, forças 
horizontais nos pilares e pelas cargas verticais quando aplicadas fora do centro de gravidade 
da sapata. O dimensionamento para as sapatas com excentricidades segue a mesma analogia 
apresentada para sapatas sob carregamentos centrados.
Nos casos em que as excentricidades ocorrem em apenas uma direção, o ponto de 
aplicação da força pode estar localizado em três regiões distintas:
a. Dentro do núcleo central de inércia: acontece quando e A/6. Uma região da sapata é submetida à 
tração e deve ser desprezada, por isso, adota-se um novo diagrama triangular.
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As tensões máximas e mínimas e a representação gráfica de cada caso estão descritas na Figura 5.
Posição da Força Dentro do núcleo 
central de inércia
No limite do núcleo 
central
Fora do núcleo 
central
σmax
σmin
Representação
Fonte: Bastos (2019). Fonte: Bastos (2019).
Fonte: Bastos (2019).
Figura 5 - Tensões máximas e mínimas e representação gráfica para cada posição da força. Fonte: O autor.
Nos casos em que há excentricidades nas duas direções, quando eA = MA / N e eB = MB 
/ N, a tensão na base da sapata varia de acordo com eA / A + eB / B e é distribuída em formato 
trapezoidal. Nos casos em que esse valor seja maior que 1/6, Montoya (1973) sugere ábacos para a 
determinação das tensões mínimas e máximas. Para os demais casos, ou seja, quando o valor for 
menor ou igual a 1/6, as tensões são calculadas pelas Equações 4.22. Lembrando que a seção para 
o cálculo dos momentos é a mesma descrita pelas Equações 4.9 e 4.10 e que, para a dimensão sem 
excentricidade, deve-se usar uma tensão média.
Além disso, a excentricidade causa uma alteração no valor do cisalhamento solicitante, 
podendo ser calculado pela Equação 4.23.
Em que K
 
: coeficiente que representa a fração do momento fletor Msd que chega ao pilar 
por cisalhamento e que é dependente da relação C1/C2, conforme Tabela 2; C1: dimensão do pilar 
paralela à excentricidade; C2: dimensão do pilar perpendicular à excentricidade; Wp: para pilares 
retangulares, é dado pela Equação 4.24.
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Tabela 2 - Valores de K.
Relação C1/C2 0,50 1,00 2,00 3,00
Coeficiente K 0,45 0,60 0,70 0,80
Fonte: Bastos (2019).
1.5 Dimensionamento de Estacas
Como visto nesta unidade,as estacas são fundações do tipo profunda, que transferem os 
carregamentos para o solo por atrito lateral e resistência de ponta. Esses dois tipos de transferência são 
considerados para a determinação da capacidade de carga, conforme apresentado na Equação 4.25.
Em que K e α : fatores que dependem do tipo de solo; Np : índice de resistência à penetração 
na cota de apoio na ponta da estaca; Ap : área da ponta da estaca; F1 e F2 : fatores de correção que 
dependem do tipo da estaca; U : perímetro da estaca; NL : o índice de resistência à penetração 
média na camada de solo da espessura ΔL.
Vale destacar que, no ensaio à percussão, NL = Np = NSPT. Com o valor da capacidade de 
carga, é possível determinar o número de estacas necessário para suportar o carregamento que 
vem da superestrutura.
Além do número de estacas, devem-se calcular as armaduras longitudinais e transversais, 
que podem ser consideradas como elementos de pilares. No caso de compressão simples, a 
armadura longitudinal é calculada pela Equação 4.26.
Sendo ω = 1 + 6 / ϕestaca (cm) ≥ 1,1. Para grupos de estacas, adotar ω = 1; Ac 
: área da 
estaca.
Para casos de flexão composta normal e oblíqua, devem-se seguir os passos apresentados 
na Unidade 2. Já, se houver força horizontal, a estaca pode ser dimensionada como uma 
viga. Segundo a NBR 6122 (ABNT, 2019), a quantidade de armadura mínima é 0,4% Ac , já o 
comprimento útil mínimo varia em função do tipo de estaca.
Para mais informações sobre o comprimento útil mínimo nas estacas, ler: ABNT - 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6122: Projeto e execução 
de fundações. Rio de Janeiro: ABNT, 2019. Tabela 4.
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Por fim, a área mínima da armadura transversal e seu espaçamento são definidos pela 
Equação 4.27.
1.6 Dimensionamento Geométrico e Estrutural de Tubulões a Céu Aberto e a 
Ar Comprimido
Os tubulões são fundações do tipo profunda, que necessitam de um trabalho manual seja 
para realizar o alargamento de sua base, seja para a limpeza da escavação. Os mais usados em 
construções são executados a céu aberto.
Geralmente, os tubulões possuem uma base circular ou elíptica, assentada a uma 
profundidade maior ou igual a 3 m, além de um fuste cilíndrico de ligação com a superestrutura. 
Em relação à base, no geral ela não deve ultrapassar a altura de 1,8 m, com exceção dos tubulões 
a ar comprimido, que podem ter alturas da base de até 3 m, dependendo do tipo de maciço 
existente na região.
Já o diâmetro do fuste é calculado segundo a Equação 4.28. Vale destacar que o diâmetro 
mínimo é de 90 cm.
Em que P
 
: carga proveniente do pilar; γc : o coeficiente de minoração da resistência do 
concreto, sendo 1,5 para fustes com revestimento, 1,6 para fustes sem revestimento e 1,4 para 
tubulões encamisados.
Por fim, determina-se a altura do alargamento pela Equação 4.29.
Sendo Dbase : diâmetro da base; Dfuste : diâmetro do fuste; β
 
: inclinação, cujo valor 
mínimo é de 60º.
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Os conteúdos apresentados nesta unidade descrevem os diferentes tipos de fundações 
existentes e suas características, conhecimentos necessários para o dimensionamento desses 
elementos.
Para um correto dimensionamento, é necessário considerar as ações provenientes da 
superestrutura, as ações variáveis e as ações decorrentes da água e do terreno, aplicando um 
fator de segurança referente ao tipo de fundação escolhida. Além disso, a depender do tipo de 
fundação, a transferência do carregamento para o solo muda, afetando diretamente o cálculo da 
capacidade suportada pelo elemento.
Nesta unidade, foram apresentadas as sapatas, os tubulões e as estacas, sendo descritos 
os métodos normativos para a caracterização e dimensionamento de cada elemento, além do 
detalhamento da armadura. Com essas ferramentas e conceitos, objetivou-se fornecer a você uma 
visão ampla para a realização do dimensionamento dos elementos de fundação mais utilizados 
no País, podendo isso ser um diferencial para o profissional no mercado de trabalho.
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ENSINO A DISTÂNCIA
REFERÊNCIAS
ABNT - ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6122: Projeto e execução 
de fundações. Rio de Janeiro: ABNT, 2019.
ABNT - ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR-6118: Projeto de 
Estruturas de Concreto. Rio de Janeiro: ABNT, 2014. 
ALVA, G. M. S. Desenhos de formas estruturais em edifícios de concreto armado. Apostila. 
Santa Maria: UFSM, 2007.
AZEREDO, H. A. O Edifício Até Sua Cobertura. 2. ed. São Paulo: Edgard, 1997.
BASTOS, P. S. Notas de aula das Disciplinas de Concreto Armado I e II da Universidade 
Estadual Paulista. Bauru: [s. n.], 2020.
BASTOS, P. S. S. Sapatas de Fundação. Bauru: UNESP, 2019.
BEER, F. P.; JHONSTON JR., R.; DEWOLF, J. T. Resistência dos materiais. 3. ed. São Paulo: 
Makron Books, 1996.
PINHEIRO, L. M.; BARALDI, L. T.; POREM, M. E. Estruturas de concreto: ábacos para flexão 
oblíqua. São Carlos: USP, 2009.
VENTURINI, W. S.; RODRIGUES, R. O. Dimensionamento de peças retangulares de concreto 
armado solicitadas à flexão reta. São Carlos: USP, 1987.à compressão do concreto é uma propriedade influenciada por diversos 
fatores, como: características do cimento, do agregado, grau de hidratação do concreto, teor de 
ar incorporado e idade do concreto. O fator com maior influência na resistência à compressão é 
a relação água/cimento, isto é, a quantidade de água que é colocada em relação à quantidade de 
cimento, pois quanto menor for a relação, maior será a resistência e menor a trabalhabilidade do 
concreto.
Outra propriedade mecânica do concreto é a resistência à tração, que, em geral, apresenta 
valores aproximadamente 10 (dez) vezes menores que a resistência à compressão desse material, 
podendo ser quantificada através de ensaios normalizados pela NBR 5738:2015 – Procedimentos 
para moldagem e cura de corpos de prova. Dentre os ensaios listados pela norma, o mais utilizado 
é o Ensaio de Tração Axial, seguido pelos ensaios de Compressão Diametral e o de Flexão em 
Viga.
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O Ensaio de Tração Axial estima a resistência à tração da mesma maneira que o ensaio de 
compressão. Os ensaios de Compressão Diametral e Flexão possuem coeficientes de minoração 
conforme Equações 1.2 e 1.3, respectivamente.
 fct = 0,9 * fct,sp (1.2)
 fct = 0,7 * fct,f (1.3) 
Em que:
fct : resistência característica à tração (MPa);
fct,sp : resistência característica à tração, obtida através do ensaio de compressão diametral (MPa);
fct,f : resistência característica à tração, obtida através do ensaio de flexão pura (MPa).
Nos casos em que não há ensaios de tração, podem-se usar transformações a partir dos 
ensaios à compressão, conforme Equações 1.4, 1.5 e 1.6.
 fctm = 0,3 * fck
2/3 # (1.4) 
 fctk,inf = 0,7 * fctm # (1.5) 
 fctk,sup = 1,3 * fctm # (1.6)
Em que:
fctm : resistência característica média à tração (MPa);
fck : resistência característica à tração (MPa);
fct,inf : resistência característica à tração na fibra inferior (MPa);
fct,sup : resistência característica à tração na fibra superior (MPa).
Outra propriedade mecânica importante é o Módulo de Elasticidade ou Módulo de Young, 
que pode ser definido como sendo a relação entre a tensão aplicada e a deformação abaixo de um 
limite proporcional adotado. São três tipos: módulo tangencial inicial, módulo tangente e módulo 
secante. Na determinação dos esforços solicitantes para estruturas de concreto, usualmente se 
utiliza o Módulo de Elasticidade Secante (Ecs).
O que um engenheiro deve fazer se, durante a execução de uma obra, a resistência 
do concreto obtida através de ensaios não atingir a resistência prevista em projeto? 
A resposta depende do grau de criticidade. Nos casos menos críticos, ou seja, 
em que a resistência estiver pouco abaixo da prevista, poderá ser postergada a 
desforma de escoramento de forma que haja um ganho de resistência do concreto. 
Porém, em casos mais graves, poderá ser necessário refazer a concretagem ou, 
até mesmo, reforçá-la posteriormente.
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Na Figura 2, está descrita a curva tensão-deformação para cada módulo de elasticidade e, 
nas Equações 1.7 e 1.8, estão apresentadas, respectivamente, a equação para o cálculo do módulo 
de elasticidade tangencial e secante.
Figura 2 - Diferentes formas de obtenção do módulo de Young a partir da curva tensão-deformação.
Fonte: Almeida (2012).
 Eci = 5600 * fck1/2 # (1.7) 
 Ecs = 0,85 * Eci # (1.8)
Em que:
Eci : módulo de elasticidade tangencial (MPa);
Ecs : módulo de elasticidade secante (MPa);
fck : resistência característica à tração (MPa).
Além dos módulos de elasticidade, tem-se outra propriedade mecânica relacionada à 
deformação do material: o coeficiente de Poisson. Quando aplicamos tensão de tração no material, 
há alongamento na direção da força aplicada e encolhimento no movimento transversal/lateral. 
Assim, a deformação é produzida em ambas as direções. A relação entre a deformação produzida 
na direção transversal e a deformação produzida na direção da aplicação da tensão de tração é 
conhecida como coeficiente de Poisson. A NBR 6118:2014 define que, para o concreto, o valor do 
coeficiente de Poisson é de 0,2.
A última propriedade que iremos estudar é o peso específico, definido como o peso 
por unidade de volume. O concreto estrutural (forma mais comum para estruturas de concreto 
armado) possui um peso específico de 25 kN/m³, enquanto o concreto simples possui peso 
específico de 24 kN/m³.
Existem casos em que há a necessidade de se usarem concretos mais leves 
devido à sobrecarga na estrutura. Nesse caso, os agregados são substituídos por 
outros materiais, como: isopor, espumas celulares, poliestireno expansível, argila 
expandida, dentre outros. Essas variações possuem um peso específico entre 3 
kN/m³ e 18 kN/m³, dependendo do material.
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1.3 Propriedades Mecânicas dos Aços para Armadura
O aço é uma liga metálica constituída de ferro e carbono. Na construção civil, os aços 
para armadura possuem cerca de 0,18% a 0,25% de carbono. Suas principais funcionalidades são 
resistir à tração e ser dúctil, ou seja, capaz de sofrer deformação sem romper.
Pelo ensaio de tração, é possível determinar três propriedades do aço: resistência, limite 
elástico e alongamento na ruptura. A resistência é a máxima força de tração que a barra suporta, 
sem deformar permanentemente. Por sua vez, o limite elástico é a máxima tensão suportada sem 
o rompimento. E o alongamento na ruptura é o aumento do comprimento do corpo de prova 
correspondente à ruptura, apresentado em porcentagem.
A Figura 3 apresenta os diagramas para o aço, com e sem patamar de escoamento. 
Conforme descrito na ABNT NBR 6118:2014, o módulo de elasticidade (Es) é geralmente 
adotado como sendo 210 GPa.
Figura 3 - Diagrama de tensão-deformação no aço, com patamar e sem patamar de escoamento, respectivamente. 
Fonte: Araújo (2014).
A norma brasileira ABNT NBR 7480:2007 regulamenta o uso de aço em armaduras de 
concreto armado. Nela, são apresentadas características relevantes necessárias do aço, como 
diâmetro e área da seção, conforme exposto na Tabela 1.
O aço usado no concreto armado pode ser classificado em CA-25, CA-50 e CA-60. Os 
valores representam a tensão de escoamento característica (fyk) em kN/cm², ou seja, o aço CA-
25 possui tensão de escoamento característica de 25 kN/cm² ou 250 MPa, enquanto o aço CA-50 
possui fyk igual a 50 kN//cm², e o aço CA-60, igual a 60 kN/cm². Os aços mais utilizados são o 
CA-50, obtido por laminação à quente e que possui superfície rugosa, e o CA-60, que é obtido 
por trefilação fio a fio.
Assista ao vídeo Laboratório: Determinação da resistência à 
compressão do concreto (Aula 11), do Canal USP.
Disponível em:
https://www.youtube.com/watch?v=7aE40Dj2gqI.
https://www.youtube.com/watch?v=7aE40Dj2gqI
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Tabela 1 – Características das barras.
Diâmetro 
nominal1 (mm)
Massa e tolerância por unidade de 
comprimento Valores nominais
Barras
Massa 
nominal2 
(kg/m)
Máxima variação 
permitida para massa 
nominal
Área da 
seção (mm2)
Perímetro
(mm)
6,3 0,245 ± 7% 31,2 19,8
8,0 0,395 ± 7% 50,3 25,1
10,0 0,617 ± 6% 78,5 31,4
12,5 0,963 ± 6% 122,7 39,3
16,0 1,578 ± 5% 201,1 50,3
20,0 2,466 ± 5% 314,2 62,8
22,0 2,984 ± 4% 380,1 69,1
25,0 3,853 ± 4% 490,9 78,5
32,0 6,313 ± 4% 804,2 100,5
40,0 9,865 ± 4% 1256,6 125,7
1 Outros diâmetros nominais podem ser fornecidos a pedido do comprador, mantendo-se 
as faixas de tolerância dentro do diâmetro mais próximo.
2 A densidade linear de massa (em quilogramas por metro) é obtida pelo produto da área da 
seção nominal, em metros quadrados, por 7850 kg/m3.
Fonte: ABNT NBR 7480 (2017).
1.4 Bases para o Cálculo das Seções de Concreto Armado
Nesteitem, são feitas algumas considerações para o cálculo das seções de concreto armado, 
submetidas a solicitações normais. As solicitações normais podem ser consideradas como força 
normal e momento fletor em referência ao centro de gravidade da seção transversal do concreto, 
que dão origem a tensões normais nas peças.
No pré-dimensionamento da viga de concreto, devem-se determinar as ações aplicadas, a 
resistência e verificar a segurança. As ações são as representações das forças aplicadas na estrutura, 
que podem ser divididas em permanentes (como o peso próprio da estrutura) e acidentais (como 
o caso dos ventos e forças aplicadas em função do seu uso).
Já a resistência está relacionada às propriedades mecânicas dos materiais, obtidas 
experimentalmente, e ao formato geométrico da seção. Por fim, deve-se garantir a segurança, 
verificando que os valores de esforços solicitantes são inferiores aos esforços resistentes, de 
maneira a deixar uma “folga” de segurança.
Para o dimensionamento, adotam-se as seguintes hipóteses:
• A seção da peça é sempre plana, mesmo quando fletida;
• O concreto e o aço possuem uma aderência perfeita, ou seja, sem escorregamentos;
• A tensão do concreto é nula na região da seção transversal sujeita à deformação de alongamento.
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Para as vigas de concreto armado, a seção transversal mais usual é a retangular, conforme 
apresentado na Figura 4, em que h é a altura total da seção, d é a altura útil, b é a largura da seção, 
e As é a área de armadura tracionada.
Figura 4 – Esquema da seção transversal de uma viga de concreto armado. Fonte: O autor.
1.5 Estádios de Tensão no Concreto
Como vimos nesta unidade, o concreto armado é constituído pelo concreto simples, com 
a função de resistir aos esforços de compressão, e pelo aço, inserido no concreto com o intuito 
de absorver as forças de tração. Quando submetemos o concreto armado a um carregamento, até 
que ocorra a ruptura, ele passa por algumas fases. Essas fases são denominadas de estádios.
No Estádio I, o carregamento gera uma tensão de tração inferior à resistência de tração 
do concreto, dispensando a necessidade de armadura. O dimensionamento nesse estádio muitas 
vezes resulta em peças robustas, não viáveis economicamente.
No Estádio II, a tensão de tração é superior à resistência do concreto, sendo necessária a 
utilização de armadura para resistir a esse esforço. Quando se dimensiona uma peça de concreto 
nesse estádio, conseguem-se dimensionar peças mais viáveis, ou seja, com o uso da armadura 
simples (armadura apenas para resistir aos esforços de tração), é possível conseguir estruturas 
com dimensões menores do que no Estádio I.
No Estádio III, os esforços na peça beiram o limite da resistência do concreto e do aço, 
sendo necessário o uso de armadura dupla (quando a seção de concreto não é mais suficiente 
para resistir aos esforços de tração e compressão, são necessárias armaduras, ajudando a resistir 
a esses dois esforços) e de cisalhamento. Nesse estádio, consegue-se o melhor custo/benefício 
da estrutura, pois as dimensões são menores que nos outros 2 (dois) estádios, levando a uma 
estrutura mais leve para um mesmo carregamento.
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1.6 Estados Limites Últimos: Domínios de Deformação
Os domínios de deformações representam todas as distribuições possíveis específicas da 
seção transversal de uma peça de concreto armado, no instante em que ela atinge um estado de 
limite último (doravante, ELU).
No Domínio 1, o estado limite último é caracterizado pela deformação do aço εsd = 10‰, 
e a linha neutra está totalmente fora da seção, a qual está sujeita inteiramente à tensão de tração. 
Os casos de solicitação correspondentes para esse domínio são: tração axial e tração excêntrica 
com pequena excentricidade.
No Domínio 2, o estado limite último também é caracterizado pela deformação do aço 
εsd = 10‰, porém, a linha neutra corta a seção, assim, a seção fica sujeita a tensões de tração e 
compressão. Os casos de solicitação correspondentes para esse domínio são: tração ou compressão 
excêntricas com grande excentricidade ou flexão pura.
No Domínio 3, o estado limite último é caracterizado pela deformação do concreto εcd = 
3,5‰, e a linha neutra corta a seção, assim, a seção fica sujeita a tensões de tração e compressão. 
Nesse caso, a ruptura do concreto ocorrerá simultaneamente ao escoamento do aço, representando 
a melhor condição para o projeto, já que os dois materiais serão aproveitados ao máximo. Os 
casos de solicitação correspondentes para esse domínio são: tração ou compressão excêntricas 
com grande excentricidade ou flexão pura.
No Domínio 4, o estado limite último também é caracterizado pela deformação do 
concreto εcd = 3,5‰, e a linha neutra corta a seção, assim, a seção fica sujeita a tensões de tração 
e compressão. Como nessa situação a deformação da armadura é inferior à deformação εyd, 
a ruptura da peça ocorrerá de forma frágil, não avisada, pois o concreto romperá sem que a 
armadura tracionada possa provocar uma fissuração que sirva de advertência. O caso de solicitação 
correspondente para esse domínio é a compressão excêntrica com grande excentricidade.
No Domínio 4a, ou domínio de transição, o estado limite último também é caracterizado 
pela deformação do concreto εcd = 3,5‰, e a linha neutra ainda corta a seção transversal, porém, 
na região de cobrimento da armadura menos comprimida, dessa forma, as armaduras superior e 
inferior estão comprimidas.
No Domínio 5, o estado limite último é caracterizado pela deformação do concreto, 
variando entre εcd = 2,0‰ e 3,5‰. A linha neutra não corta a seção transversal, a qual está 
toda comprimida, e os casos de solicitação correspondentes para esse domínio são: compressão 
excêntrica de pequena excentricidade ou compressão axial.
Na Figura 5, estão representados todos os domínios de deformação do concreto armado. 
Figura 5 – Estado-limite último de uma seção. Fonte: ABNT (2003).
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Para mais informações sobre os domínios dos estados-limites 
últimos de deformação, ler: 
CARVALHO, R. C. Cálculo e Detalhamento de Estruturas Usuais 
de Concreto Armado: Segundo a NBR 6118:2014. São Carlos: 
EdUFSCAR, 2021.
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nesta unidade, foram analisadas algumas definições importantes para o dimensionamento 
de estruturas em concreto armado. No decorrer da unidade, descreveram-se a importância, a 
composição e os tipos de concreto mais utilizados hoje no Brasil, já que o sistema construtivo em 
concreto armado é o mais utilizado no País.
Na sequência, foram apresentadas as propriedades mecânicas do aço e do concreto e os 
ensaios mais utilizados no Brasil para a determinação da resistência à compressão e tração de 
corpos de provas. Foram explicadas, também, as bases de cálculo das seções de concreto armado 
segundo a NBR 6118:2014, que prevê todo o pré-dimensionamento e dimensionamento das 
peças de concreto. Em seguida, foram apresentados os estádios de tensões por que o concreto 
passa desde o instante em que alguma solicitação é aplicada até a ruptura da peça de concreto, 
conceito fundamental para o dimensionamento das estruturas de concreto.
Posteriormente, descreveram-se os estados limites últimos dos domínios de deformação 
do concreto prescritos pela NBR 6118:2014, sendo exposta a deformação excessiva do concreto ou 
do aço, a posição da linha neutra e os tipos de solicitações para cada domínio. A norma descreve 
as deformações plásticas excessivas, que, para o concreto, é εcd = 2,0‰ na compressão simples e 
εcd = 3,5‰ na flexão, enquanto, para o aço, εsd = 10‰. Esses conceitos são de suma importância 
parao dimensionamento das estruturas de concreto, dado que representam a situação mais 
crítica, quando a estrutura pode chegar no instante imediato antes da sua ruptura.
Pode-se concluir que o conjunto de conteúdos apresentados é de fundamental 
importância para a formação do(a) Engenheiro(a) Civil, já que o ramo das estruturas de concreto 
é amplamente aplicável, principalmente no Brasil, onde o principal sistema construtivo ainda é o 
concreto armado.
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02
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................................... 17
1 FUNDAMENTOS DE PROJETO E ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO ......................................................... 18
1.1 FLEXÃO .................................................................................................................................................................... 18
1.1.1 FLEXÃO NORMAL SIMPLES ............................................................................................................................... 18
1.1.2 FLEXÃO NORMAL COMPOSTA ..........................................................................................................................20
1.1.3 FLEXÃO NORMAL OBLÍQUA ...............................................................................................................................22
1.2 CISALHAMENTO ....................................................................................................................................................22
1.2.1 MODELO DE CÁLCULO I .....................................................................................................................................23
1.2.2 MODELO DE CÁLCULO II ...................................................................................................................................24
1.3 ANCORAGEM..........................................................................................................................................................25
1.3.1 ANCORAGEM POR ADERÊNCIA DAS BARRAS DE AÇO ...................................................................................25
FUNDAMENTOS DE PROJETO
E ESTRUTURAS DE CONCRETO
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
ESTRUTURAS DE CONCRETO
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
1.3.2 ANCORAGEM NOS APOIOS E FORA DELES (DECALAGEM) ...........................................................................25
1.4 ESTADO LIMITE DE SERVIÇO: VERIFICAÇÃO DE FLECHAS ..............................................................................26
1.4.1 FLECHAS IMEDIATAS .........................................................................................................................................27
1.4.2 FLUÊNCIA ............................................................................................................................................................28
1.5 ELS: VERIFICAÇÃO DE FORMAÇÃO DE FISSURAS .............................................................................................28
1.6 ELS: VERIFICAÇÃO DE ABERTURA DE FISSURAS ..............................................................................................28
CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................................................................................... 31
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INTRODUÇÃO
Dando continuidade ao estudo das estruturas de concreto, nesta unidade você irá conhecer 
os fundamentos de projeto e estruturas de concreto armado.
Para isso, é importante que esteja claro que o cálculo da armadura longitudinal necessária 
para resistir ao momento fletor é um dos pontos mais importantes no detalhamento das peças 
de concreto armado. Dessa forma, é fundamental o conhecimento dos diversos tipos de flexão 
que podem ocorrer nos elementos estruturais, além das equações para o dimensionamento da 
armadura à flexão.
Além da armadura longitudinal, os elementos de concreto armado precisam de armadura 
transversal, necessária para resistir ao cisalhamento que ocorre na peça devido aos esforços 
cortantes solicitantes. Essa armadura, comumente chamada de estribo, envolve a armadura 
longitudinal e é responsável por resistir às tensões nas fibras tracionadas da seção quando o 
elemento está submetido à flexão ou compressão/tração excêntricas.
Outro conceito importante que deve ser destacado é que, para transferir ao concreto as 
tensões existentes nas interrupções das barras, faz-se necessário ancorá-las, o que se resume a 
um comprimento adicional que deve ser considerado à barra, denominado comprimento de 
ancoragem.
Por fim, toda a estrutura de concreto deve ser verificada aos estados limites de serviço, 
de modo a garantir conforto ao usuário, além de durabilidade e boa utilização da estrutura. Ao 
longo desta unidade, são apresentados os conceitos que dizem respeito à flexão, cisalhamento e 
ancoragem, além dos três estados limites de serviço previstos pela NBR 6118:2014: verificação 
de flechas, formação de fissuras e abertura de fissuras. O objetivo é que, ao final da unidade, você 
esteja apto(a) a desenvolver cálculos manuais de dimensionamento das barras de aço (armadura 
transversal e longitudinal) para que resistam aos esforços solicitantes, além de verificar a estrutura 
quanto às flechas e abertura de fissuras.
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1 FUNDAMENTOS DE PROJETO E ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
1.1 Flexão
A flexão é um esforço causado devido à ação do momento fletor na peça, o que faz surgir 
tensões normais nas seções transversais desses elementos, que são perpendiculares à seção. Nesta 
unidade, vamos estudar os três tipos de flexão existentes: flexão normal simples, flexão composta 
normal e flexão oblíqua.
1.1.1 Flexão normal simples
Quando não existe um esforço normal atuando na seção, a flexão é denominada de flexão 
simples. A flexão normal simples ocorre quando o carregamento é perpendicular à linha neutra 
(doravante, LN) da seção transversal.
De maneira geral, nas vigas e nas lajes de concreto armado, considera-se a flexão 
normal simples para o dimensionamento das peças. Além disso, para o cálculo estrutural desses 
elementos, é necessário ter um bom conhecimento dos domínios de deformação, uma vez que as 
equações para a determinação da área de armadura das lajes e vigas são em função da deformação 
do concreto e do aço, e esses valores são descritos e distintos para cada domínio de deformação.
Segundo a ABNT NBR 6118:2014, as vigas de concreto armado que estão submetidas 
à flexão normal simples podem estar nos domínios 2, 3 ou 4. No entanto, deve-se dimensionar 
a peça nos domínios 2 ou 3 (lembrando que, como visto na Unidade 1, no domínio 3 é onde 
ocorre a melhor condição de projeto), uma vez que o domínio 4 representa uma zona de 
superdimensionamento, pois o concreto sofre uma ruptura por esmagamento, e o aço não escoa.
Para o dimensionamento dos elementos sujeitos à flexão normal simples, adotam-
se algumas hipóteses, como: seção transversal se mantém plana após deformação; aderência 
perfeita entre o aço e o concreto; no ELU despreza-se a resistência à tração do concreto; o ELU 
é caracterizado pelos domínios de deformação; tensão nas armaduras deve ser calculada pelo 
diagrama tensão-deformação, apresentado na Figura 1 (a seguir), sendo que a deformação 
máxima do aço deve ser 10‰. O valor característico de resistência ao escoamento (fyk) para os 
aços sem patamar de escoamento é o valor da tensão correspondente à deformação permanente 
de 0,2%. E a tensão no concreto é obtida pelo diagrama tensão-deformação, também mostrado 
na Figura 1, onde a resistência máxima à compressão do concreto (fcd) é calculada conforme a 
Equação 2.2.
Figura 1- Diagrama tensão-deformaçãodo aço (esquerda) e concreto (direita). Fonte: ABNT (2014).
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 (2.1)
Em que fyd : resistência de cálculo à compressão do aço (MPa); fy 
: resistência característica 
à compressão do aço (MPa); γs: coeficiente de ponderação da resistência do aço ao escoamento, 
cujo valor é 1,15 para combinações normais.
 (2.2)
Sendo fcd 
: resistência de cálculo à compressão do concreto (MPa); fck : resistência 
característica à compressão do concreto (MPa); γc : coeficiente de ponderação da resistência do 
concreto ao escoamento, cujo valor é 1,4 para combinações normais.
Como a maioria das vigas de concreto armado é de seção retangular, serão apresentadas 
a seguir as equações relativas a essas seções.
Figura 2 – Equilíbrio de forças na seção transversal de uma viga. Fonte: O autor.
Em que h : altura da viga; d
 
: altura útil da viga; bw 
: largura da seção; x
 
: profundidade 
da linha neutra; Rcc : força resistente do concreto; Rst 
: força resistente do aço; MRd : momento 
resistente; Msd 
: momento solicitante.
Simplificando as Equações 2.4 e 2.5, tem-se:
A posição da linha neutra (βx) pode ser obtida por semelhança de triângulos (ver Figura 
2, anteriormente), resultando na Equação 2.7.
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Segundo a ABNT 6118:2014, βx deve ter valor igual a 0,45 para concretos do Grupo I, 
proporcionando um adequado comportamento dúctil aos elementos. Caso βx seja superior a 
0,45, deve-se usar armadura dupla, aumentar a resistência do concreto ou a seção transversal ou, 
ainda, reduzir o momento solicitante.
Logo, tem-se o seguinte roteiro de cálculo:
Em seguida, calcula-se a deformação na armadura superior:
Em que ε’s : deformação na armadura superior; d’ : distância da fibra mais comprimida do 
concreto ao C.G. da armadura superior; Es : módulo de elasticidade do aço.
Por fim, determina-se a área necessária da armadura superior (A’s) e da armadura inferior 
(As) pelas Equações 2.9 e 2.10.
1.1.2 Flexão normal composta
Quando há esforço normal atuando na seção juntamente com momento fletor, o elemento 
de concreto é submetido à flexão composta normal. O caso ideal ocorre quando o carregamento é 
aplicado no centro de gravidade da seção, no entanto, podem ocorrer excentricidades decorrentes 
das imperfeições geométricas e/ou dificuldades construtivas.
Como dito anteriormente, a seção comumente utilizada é retangular. Nesse caso, 
considerando a armadura distribuída em duas faces opostas, podem ocorrer os seguintes casos 
de flexão composta normal:
• Flexo-tração com pequena excentricidade: ambas as armaduras estão tracionadas, e não 
há contribuição do concreto. Encontra-se nos domínios 1 e 2a’;
• Flexo-tração e flexo-compressão com grande excentricidade: a armadura inferior está 
tracionada, e a superior está comprimida. Abrange os domínios 2, 3 e 4. Ocorre geralmente 
nas vigas, lajes e pilares;
• Flexo-compressão com pequena excentricidade: as duas armaduras estão comprimidas. 
Encontra-se nos domínios 4a e 5. Ocorre nos pilares.
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O dimensionamento de estruturas sujeitas à flexão composta normal pode ser feito 
utilizando-se ábacos. Para isso, utilizam-se os esforços adimensionais µ e ν, calculados conforme 
as Equações 2.11 e 2.12.
Em que μ
 
: momento adimensional; Msd : momento solicitante de cálculo; h
 
: dimensão 
da seção na direção considerada; Ac 
: área da seção transversal; fcd : resistência de cálculo à 
compressão do concreto.
Sendo v
 
: cortante adimensional; Nd 
: força normal de cálculo.
Venturini e Rodrigues (1987) definiram alguns ábacos, considerando diferentes 
configurações, tipo de aço e relação d’/h. A Figura 3 apresenta um exemplo desse ábaco, com 
uma armadura bilateral simétrica, aço CA-50 e relação d’/h de 0,25.
Figura 3 – Exemplo do ábaco para o dimensionamento à flexão normal composta.
Fonte: Venturini e Rodrigues (1987).
Utilizando o ábaco, determina-se a taxa de armadura (ω). Com isso, calcula-se a área de 
armadura necessária pela Equação 2.13.
Em que As 
: área de armadura; ω
 
: taxa de armadura; Ac 
: área da seção transversal; fcd : 
resistência de cálculo à compressão do concreto; fyd : resistência de cálculo à compressão do aço.
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1.1.3 Flexão normal oblíqua
Quando o elemento estrutural está submetido à solicitação do esforço normal juntamente 
com dois momentos fletores atuantes nos dois eixos principais de inércia, dizemos que se trata de 
uma flexão composta oblíqua.
De forma semelhante à flexão composta normal, no dimensionamento da flexão composta 
oblíqua também há ábacos que facilitam os cálculos. Para utilizar esses ábacos, faz-se uso dos 
esforços adimensionais ν, μx e μy, calculados pelas mesmas Equações 2.11 e 2.12.
O ábaco também é muito semelhante, fazendo que, com a configuração, o tipo de aço e as 
relações d’x/hx e dy’/hy = 0,150, seja possível obter a taxa mecânica (ω) e, com isso, calcular a área 
de armadura necessária, utilizando a Equação 2.13, apresentada anteriormente. 
1.2 Cisalhamento
O cisalhamento é causado por esforços cortantes, provenientes dos carregamentos 
solicitantes exercidos no elemento de concreto. Na Figura 4, estão descritas, respectivamente, a 
armação de uma viga biapoiada submetida a esforço cortante, o caminho das tensões principais 
de tração e compressão e o estado de ruptura da viga imediatamente antes de sua ruptura.
Figura 4 - Armações, tensões principais e estado de ruptura de uma viga submetida a esforço solicitante cortante. 
Fonte: Bastos (2020).
Para o dimensionamento no ELU, a NBR 6118:2014 prescreve as Equações 2.14 e 2.15.
Em que Vsd : esforço cortante solicitante de cálculo (kN); VRd2 
: esforço cortante resistente 
de cálculo (kN); VRd3 
: esforço cortante resistente de cálculo, referente à contribuição do concreto 
e da armadura transversal (kN); Vc : parcela de cortante resistente pelo concreto (mecanismos 
complementares) (kN); Vsw : parcela de cortante resistente pela armadura transversal (kN);
As principais referências normativas do mundo utilizam o modelo para o cálculo de vigas 
à flexão simples chamado Modelo de Treliça. A partir desse modelo, a NBR 6118:2014 prevê dois 
modelos de cálculo para o dimensionamento de vigas ao cisalhamento: o modelo de cálculo I e o 
modelo de cálculo II.
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1.2.1 Modelo de cálculo I
O modelo de cálculo I admite o modelo de treliça clássico, em que o valor da inclinação 
das bielas comprimidas é de θ = 45º. Além disso, o modelo admite que o valor da parcela Vc 
seja 
constante, independentemente de Vsd. Esse modelo é o mais utilizado em projetos estruturais 
hoje.
Primeiramente, faz-se a verificação quanto à compressão diagonal do concreto, que, para 
o modelo de cálculo I, é dada pela Equação 2.16.
Em que VRd2 
: esforço cortante solicitante de cálculo (kN); av2 : dado pela Equação 2.17; 
fcd, fck 
: resistência de cálculo e característica à compressão do concreto, respectivamente (kN/
cm²); bw : largura da base da seção (cm); d
 
: altura útil da viga (cm).
Posteriormente, é feita a determinação da armadura transversal usando as Equações 2.18, 
a 2.21.
Em que VRd3 
: esforço cortante resistente de cálculo, referente à contribuição do concreto 
e da armadura transversal (kN); Vc : parcela de cortante resistente pelo concreto (mecanismos 
complementares) (kN); Vsw 
: parcela de cortante resistente pela armadura transversal (kN); 
bw : largura da base da seção (cm); d
 
: altura útil da viga (cm); fctd : resistência de cálculo ao 
cisalhamento do concreto (kN); fwctk,inf 
: resistência característica à tração inferior doconcreto 
(kN); Asw : área de armadura transversal (cm²); s
 
: espaçamento entre a armadura transversal 
(cm); fywd 
: tensão da armadura transversal passiva, fixada em 43,50 kN/cm².
Ritter, em 1899, idealizou um modelo de cálculo segundo o qual uma viga de 
concreto armado, após fissurada, trabalharia como uma treliça formada por barras 
comprimidas de concreto e barras tracionadas de aço. Já Mörsch, em 1909, 
confirmou experimentalmente que uma viga de concreto armado, submetida à 
flexão simples e em adiantado estado de fissuração, apresenta comportamento 
estrutural equivalente ao de um modelo resistente representado por uma treliça 
plana de banzos paralelos.
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1.2.2 Modelo de cálculo II
O modelo de cálculo II admite uma variação livre do ângulo de inclinação das bielas 
comprimidas entre 30º e 45º. Além disso, admite-se que a parcela complementar Vc sofra redução 
com o aumento de Vsd.
Para a verificação quanto à compressão diagonal do concreto, o modelo II utiliza a 
Equação 2.24.
Em que VRd2 : esforço cortante solicitante de cálculo (kN); av2 : dado pela Equação 2.17; 
fcd , fck : resistência de cálculo e característica à compressão do concreto, respectivamente (kN/
cm²); bw : largura da base da seção (cm); d
 
: altura útil da viga (cm); θ : ângulo de inclinação das 
bielas comprimidas (º); a
 
: direção da armadura transversal (º).
Para o cálculo da armadura no Modelo de Cálculo II, tem-se a Equação 2.27.
Em que Vsw : parcela de cortante resistente pela armadura transversal (kN); d
 
: altura 
útil da viga (cm); Asw 
: área de armadura transversal (cm²); s
 
: espaçamento entre a armadura 
transversal (cm); fywd : tensão da armadura transversal passiva, fixada em 43,50 kN/cm²; θ : 
ângulo de inclinação das bielas comprimidas (º); a
 
: direção da armadura transversal (º).
Nesse modelo de cálculo, a parcela resistente pelo concreto sofre redução em função do 
Vsd. Essa redução é descrita pelas Equações 2.26 a 2.28.
Vc = 0 para elementos tracionados com a linha neutra fora da seção (2.26)
Vc = Vc1 para flexão simples e flexo-tração com a linha neutra na seção (2.27)
 
para flexo-compressão (2.28)
Em que Vc1 é dado pelas Equações 2.29 e 2.30.
Vc1 = Vc0 quando VSd ≤ Vc0 (2.29)
Vc1 = 0 quando VSd ≤ VRd2 (2.30)
Dessa forma, Vc0 é dado pelas Equações 2.31 e 2.32.
Em que Vc 
: cortante resistente pelo concreto (mecanismos complementares) (kN); M0 
: 
momento que anula a tensão normal de compressão na borda da seção; MSd,máx: momento fletor 
de cálculo máximo no trecho em análise; fctk,inf: resistência característica inferior à tração do 
concreto.
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1.3 Ancoragem
Ao definir os pontos de interrupção das barras, há a necessidade de transferir para o 
concreto as tensões a que elas estão submetidas. Essa transferência é denominada ancoragem.
As principais formas de ancoragem, que serão apresentadas a seguir, são: ancoragem por 
aderência e ancoragem nos apoios e fora deles.
1.3.1 Ancoragem por aderência das barras de aço
Para o cálculo da ancoragem por aderência das barras de aço, deve-se, inicialmente, 
calcular a resistência de aderência entre o aço e o concreto pela Equação 2.33.
Em que η1 : parâmetro que considera a rugosidade da barra de aço, sendo 1,0 para barras 
lisas, 1,4 para barras entalhadas e 2,25 para barras nervuradas; η2 : 1,0 para boa aderência e 0,7 
para má aderência; η3 
: 1,0 para diâmetros menores que 32 mm e 
 
para diâmetros iguais ou 
maiores que 32 mm; fctd : resistência de cálculo do concreto ao cisalhamento (MPa).
O comprimento de ancoragem básico é calculado conforme a Equação 2.34.
Sendo ∅ : diâmetro da barra (mm); fyd : resistência máxima de escoamento do aço (MPa); 
fbd 
: tensão de aderência (MPa), calculada conforme a Equação 2.33.
Com isso, calcula-se o comprimento de ancoragem necessário
Em que lb : comprimento de ancoragem básico, calculado conforme a Equação 2.34; 
As,calc : área da armadura calculada; As,ef : área de armadura efetiva; lb,min 
: comprimento de 
ancoragem mínimo, correspondente ao maior valor entre 0,3 lb, 10∅ e 100 mm; a : 1,0 para 
barras sem ganchos, 0,7 para barras tracionadas com gancho, com cobrimento no plano normal 
ao do gancho ≥ 3∅, 0,7 quando houver barras transversais soldadas e 0,5 quando houver barras 
transversais soldadas e gancho com cobrimento no plano normal ao do ganho ≥ 3∅.
1.3.2 Ancoragem nos apoios e fora deles (decalagem)
Uma vez que o dimensionamento da quantidade de barras é feito considerando o caso de 
flexão normal simples, é necessário deslocar o diagrama de momentos fletores para considerar 
que o momento fletor é variável. O cálculo do comprimento de decalagem (a1) varia conforme o 
modelo de cálculo adotado na armadura transversal. Vale destacar que, para ambos os modelos, 
consideraram-se estribos verticais, ou seja, α = 90º.
Modelo I:
Sendo d
 
: altura útil da seção; Vsd,máx 
: força cortante de cálculo na seção mais solicitada 
(kN); Vc 
: força cortante absorvida por mecanismos adicionais aos de treliça (kN).
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Modelo II:
Em que d
 
: altura útil da seção.
A NBR 6118 diz que os esforços de tração junto aos apoios de vigas simples ou contínuas 
devem ser resistidos por armaduras longitudinais, que satisfaçam a mais severa das condições 
apresentadas a seguir:
a) no caso de ocorrência de momentos positivos, as armaduras obtidas através 
do dimensionamento da seção;
b) em apoios extremos, para garantir a ancoragem da diagonal de compressão, 
armaduras capazes de resistir a uma força de tração RSd = al / d * Vd + Nd, onde 
Vd é a força de cortante no apoio e Nd é a fora de tração eventualmente existente;
c) em apoios extremos e intermediários, por prolongamento de uma parte da 
armadura de tração do vão (As,vão), correspondente ao máximo momento 
positivo do tramo (Mvão), de modo que:
- As,apoio ≥ 1/3 As,vão se Mapoio for nulo ou negativo e de valor absoluto |Mapoio| 
≤ 0,5 * Mvão.
- As,apoio ≥ 1/4 As,vão se Mapoio for negativo e de valor absoluto |Mapoio| > 0,5 
* Mvão (ABNT, 2014).
1.4 Estado Limite de Serviço: Verificação de Flechas
Os Estados Limites de Serviço (doravante, ELS) são aqueles relacionados ao conforto do 
usuário e à durabilidade, aparência e boa utilização das estruturas, seja em relação aos usuários, 
seja em relação às máquinas e aos equipamentos suportados pelas estruturas. Para esse estado, 
são utilizados 3 (três) tipos de combinações: quase-permanente, frequente e rara, descritas pelas 
Equações 2.38, 2.39 e 2.40, respectivamente. 
Em que Fd,qperm : combinação permanente; Fd,fre : combinação frequente; Fd,rara 
: 
combinação rara; ψ1 
: fator de redução para combinações frequentes; ψ2j 
: fator de redução para 
combinações quase-permanentes; Fgik : forças permanentes (kN); Fq1k : forças variáveis (kN).
A NBR 6118:2014 prescreve que o ELS referente a deformações excessivas (ELS-DEF) 
seja sempre verificado em projetos estruturais. Esse estado verifica se as deformações atingirão os 
limites estabelecidos, sendo que, para a verificação, utiliza-se a combinação quase-permanente de 
serviço. Para elementos de concreto armado, como vigas e lajes, verificam-se as flechas excessivas 
(deformação perpendicular ao eixo do elemento). Essa flecha tem duas parcelas: a flecha imediata, 
referente ao deslocamento imediatamente após a aplicação dos carregamentos solicitantes; e as 
flechas de fluência, referentes à perda de rigidez dos elementos com a fissuração, que ocorre ao 
longo do tempo.
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1.4.1 Flechas imediatas
As flechas imediatas podem ser calculadas usando-se equações da mecânica das 
estruturas. Para vigas biapoiadas sobre um carregamentouniformemente distribuído, a flecha 
imediata é dada pela Equação 2.43. As equações de flechas imediatas para os demais casos podem 
ser encontradas no Anexo D de Beer, Jhonston e Dewolf (1996) - ver referência completa ao final 
desta apostila.
Em que y
 
: flecha imediata no meio do vão (m); P : carregamento uniformemente 
distribuído (kN/m); L
 
: comprimento do vão livre (m); E
 
: módulo de elasticidade do concreto 
(kN/m²); I
 
: momento de inércia da seção (m4).
Como já mencionado, quando o elemento de concreto fissura, ocorre uma redução na 
rigidez. Essa redução é dada pelas Equações 2.42 a 2.47.
Em que (EI)eq,t0 : módulo de elasticidade equivalente; Ecs 
: módulo de elasticidade secante 
do concreto; Mr 
: momento de fissuração, dado pela Equação 2.47; Ma : momento na seção crítica; 
Ic 
: momento de inércia da seção bruta de concreto; Iu : momento de inércia da seção bruta de 
concreto no Estádio II, dado pela Equação 2.44; b : comprimento da base da seção; x2 
: posição da 
linha neutra no estádio II; a : 1,2 para seções T ou duplo T, 1,3 para seções I ou T invertido e 1,5 
para seções retangulares; fctm 
: resistência média à tração na flexão do concreto; yt : distância do 
centro de gravidade da seção até a fibra mais tracionada.
Assista ao vídeo Estado Limite Último (ELU) e Estado Limite de 
Serviço (ELS) - Combinações.
Disponível em:
https://www.youtube.com/watch?v=kfHo2HUskBQ.
https://www.youtube.com/watch?v=kfHo2HUskBQ
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1.4.2 Fluência
A flecha adicional, decorrente das cargas de longa duração em função da fluência, pode 
ser calculada de maneira aproximada pelo produto da flecha imediata pelo fator af, dado pela 
NBR 6118, item 17.3.1.1.2, descrito pela Equação 2.48.
Em que ρ’ : taxa de armadura de compressão (armadura dupla); As’ : área da armadura 
de compressão; ξ : coeficiente dado em função dos tempos t e t0, descritos na Tabela 1; t
 
: tempo, 
em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida; t0 : idade, em meses, relativa à data de 
aplicação da carga de longa duração.
Tabela 1 - Valores de ξ.
Fonte: ABNT (2014).
Dessa forma, a flecha total é dada pela Equação 2.51.
Em que af : flecha total; ai : flecha imediata; af : fator previsto pela NBR 6118:2014, descrito 
pela Equação 2.48. Observação: os valores limites para as flechas são descritos pela Tabela 13.3 da 
NBR 6118 (ABNT, 2014).
1.5 ELS: Verificação de Formação de Fissuras
O estado limite de formação de fissuras corresponde ao momento de fissuração. Esse 
valor de Mr (Equação 2.47) é comparado com o momento fletor relativo à combinação rara de 
serviço (Equação 2.40). Quando Md,rara > Mr, ocorre fissuração; caso Md,rara ≤ Mr, não ocorre 
fissuração.
1.6 ELS: Verificação de Abertura de Fissuras
Os elementos de concreto armado, quando muito fissurados, sofrem uma redução de sua 
resistência, diminuindo sua durabilidade e deixando as armaduras expostas em casos em que as 
fissuras possuem aberturas excessivas, podendo, dessa forma, sofrer ação de agentes agressivos 
externos. A partir disso, a NBR 6118 (ABNT, 2014) prevê duas verificações dos ELS: formação de 
fissuras (ELS-F) e abertura de fissuras (ELS-W).
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A combinação para a verificação desse Estado Limite é a frequente de serviço, dada pela 
Equação 2.39. Inicialmente, calcula-se a abertura das fissuras, que é o menor valor entre w1 e w2, 
dados pelas expressões do item 17.3.3.2 da NBR 6118 (ABNT, 2014) e descritos pela Equação 
2.52.
Em que ∅i 
: diâmetro da armadura; σsi : tensão de tração no centro de gravidade da 
armadura considerada, calculada no Estádio II, dada pela Equação 2.53; ηi : 1,00 para barras 
lisas, 1,40 para barras dentadas e 2,25 para barras nervuradas; Esi : módulo de elasticidade da 
barra de aço; fctm : resistência média à tração na flexão; ρri : taxa de armadura em relação à área 
crítica, dada pela Equação 2.54; Asi : área de armadura da seção; Acri : área de envolvimento 
protegida pela barra ∅i; Mfreq : momento de combinação frequente; di : distância entre o centro 
de gravidade da barra considerada e a fibra mais comprimida da seção; yII : profundidade da 
linha neutra do estádio II (Equação 2.45); III : momento de inércia do estádio II (Equação 2.44); 
αe : relação entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto, que, para esse caso, pode ser 
tomado como igual a 15.
Por fim, verifica-se se o valor da abertura de fissuras está dentro dos limites estabelecidos 
pela Tabela 13.3 da NBR 6118 (ABNT, 2014).
Quadro 1 - Exigências de durabilidade relacionadas à fissuração. Fonte: ABNT (2014).
Figura 5 - Concreto de envolvimento da armadura. Fonte: ABNT (2014).
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Durante o dimensionamento de uma viga, o engenheiro encontrou que, na 
verificação de formação de fissuras, o momento solicitante era menor que o de 
fissuração. Nesse caso, ele deveria fazer a verificação do ELS de abertura de 
fissuras? 
Não, pois a viga não apresentará fissuração.
Para mais informações sobre os estados limites de serviço 
previstos pela NBR 6118 (ABNT, 2014), ler:
CARVALHO, R. C. Cálculo e Detalhamento de Estruturas Usuais 
de Concreto Armado: Segundo a NBR 6118:2014. São Carlos: 
EdUFSCAR, 2021.
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nesta unidade, foram apresentados alguns conceitos fundamentais para o 
dimensionamento das armaduras longitudinais e transversais das estruturas de concreto armado, 
estimando a quantidade de armadura longitudinal necessária e a distribuição adequada de 
armadura transversal, para que os estribos, juntamente com o concreto, resistam aos esforços de 
tensão, de cisalhamento e de torção oriundos dos carregamentos.
Apesar de inicialmente considerar a aderência perfeita entre o aço e o concreto, as 
armaduras devem apresentar uma ancoragem para que haja uma transferência das forças entre 
os materiais. Desse modo, após o dimensionamento das armaduras longitudinais e transversais, 
mostrou-se como calcular o comprimento de ancoragem necessário que deve ser aplicado.
Por fim, apresentaram-se os critérios necessários para que a estrutura atenda ao ELU, 
analisando a flecha e a abertura de fissuras, verificando se elas estão dentro dos limites apresentados 
na NBR 6118 (ABNT, 2014).
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03
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ...............................................................................................................................................................33
1 PROJETO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO: VIGAS, PILARES E LAJES ..............................................................34
1.1 ETAPAS DE CONSTRUÇÃO DE EDIFÍCIOS: ELEMENTOS E SISTEMAS ESTRUTURAIS ..................................34
1.2 CONCEPÇÃO DE ESTRUTURAS FORMADAS POR LAJES, VIGAS E PILARES ..................................................35
1.3 DIMENSÕES PRELIMINARES DAS SEÇÕES TRANSVERSAIS DE VIGAS E PILARES .....................................36
1.3.1 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE VIGAS ...............................................................................................................36
1.3.2 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE PILARES ..........................................................................................................37
1.4 PROJETO DE LAJES MACIÇAS ..............................................................................................................................38
1.5 PROJETO DE VIGAS ...............................................................................................................................................40
1.6 PROJETO DE PILARES COM PEQUENA E MÉDIA ESBELTEZ ............................................................................42
CONSIDERAÇÕESFINAIS ...........................................................................................................................................47
PROJETO DE ESTRUTURAS DE 
CONCRETO: VIGAS, PILARES E LAJES
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
ESTRUTURAS DE CONCRETO
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INTRODUÇÃO
Nesta unidade, você terá uma visão geral sobre o projeto de estruturas de concreto armado 
e seus elementos estruturais: vigas, pilares e lajes.
Para a realização de um bom projeto estrutural, com desempenho, segurança e economia, 
primeiramente deve-se realizar a concepção estrutural, com o posicionamento dos elementos 
e o pré-dimensionamento, determinando as dimensões iniciais dos elementos, minimizando 
cálculos repetitivos e reduzindo o tempo de projeto. Com isso, definem-se as cargas, faz-se a 
análise estrutural e o dimensionamento, finalizando com o detalhamento da estrutura.
Logo, é fundamental entender o caminho que as ações fazem durante toda a estrutura, 
uma vez que, após a execução, os elementos estruturais formam uma estrutura monolítica. Dessa 
forma, no caso de estruturas convencionais de concreto armado, as lajes suportam todas as forças 
verticais vindas do pavimento (ações permanentes e variáveis). Por meio das reações de apoio, 
as ações da laje passam para as vigas que, além de resistirem a essas ações, devem suportar o seu 
peso próprio, as cargas das paredes e as reações de apoio de outras vigas. A partir da viga, os 
esforços são direcionados para os pilares, que os descarregam para as fundações, cujo objetivo é 
distribuir as cargas para o solo, que absorve o carregamento. 
A partir desse conhecimento sobre o caminho das ações nas estruturas convencionais de 
concreto armado, o objetivo desta unidade é que você saiba realizar todo o dimensionamento dos 
elementos estruturais (vigas, pilares e lajes), desde o pré-dimensionamento até o detalhamento 
da estrutura, para que, por fim, aprenda, na Unidade 4, como dimensionar as estruturas de 
fundações.
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1 PROJETO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO: VIGAS, PILARES E LAJES
1.1 Etapas de Construção de Edifícios: Elementos e Sistemas Estruturais
No Brasil, o principal sistema estrutural empregado nas construções é o concreto armado, 
o que se deve a alguns fatores, tais como: há não necessidade de mão de obra muito qualificada 
para a execução; os materiais para confecção (cimento, água, agregado e armadura) podem ser 
encontrados em lojas de construção e distribuidores na maior parte do País com facilidade; e o 
preço.
Os sistemas estruturais em concreto armado são comumente divididos em dois grandes 
grupos: infraestrutura e superestrutura. O primeiro se refere à parte inicial de um projeto, 
correspondente à estrutura de fundação, responsável por transmitir todos os esforços do edifício 
para o solo. As fundações também são divididas em dois grupos, as diretas (bloco, sapata e 
tubulão) e indiretas (estacas).
A superestrutura corresponde à parte que transmite os esforços para a fundação, ou 
seja, os pilares, vigas e lajes dos pavimentos. As lajes são elementos planos e horizontais que 
recebem diretamente as cargas do pavimento, transmitindo-as para as vigas que, por sua vez, 
são elementos lineares onde predominam os esforços de momento fletor. Na sequência, a viga 
transmite o carregamento para os pilares, elementos lineares verticais que transmitem as cargas 
para a fundação.
A primeira etapa de uma obra é a locação, que pode ser definida como a precisa marcação 
em obra dos elementos de fundação conforme o projeto. O processo de marcação é feito com 
auxílio de um topógrafo, e a execução é feita por um auxiliar de obra (usualmente, utilizam-
se tábuas de madeira ao redor da obra, onde são colocadas linhas em pontos estratégicos para 
realizar a marcação das fundações, conforme Figura 1).
Figura 1 - Gabarito de uma obra. Fonte: Azeredo (1997).
A próxima etapa corresponde à montagem de formas dos elementos estruturais (fundação, 
pilares, vigas e lajes). Esse processo consiste, basicamente, na montagem de formas, escoramento, 
cimbramentos e andaimes. Nessa etapa, é de suma importância seguir o projeto estrutural e os 
critérios rigorosos exigidos pela NBR 6118 (ABNT, 2014) para que as formas sejam executadas de 
modo que suportem o peso da estrutura, além de garantirem as dimensões de todos os elementos 
previstos em projeto. 
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Após a montagem das formas, é executada a montagem das armaduras, que podem ser 
feitas em obra ou compradas prontas para uso. A montagem é feita por mão de obra especializada 
e, na grande maioria das obras, existe uma equipe responsável.
Após a montagem das formas e a disposição correta das armaduras, é realizada a 
concretagem, que consiste no lançamento, adensamento e nivelamento do concreto. Por fim, 
após o tempo de cura (tempo para o concreto atingir a resistência determinada pelo projetista), é 
realizada a desforma, que consiste na retirada das formas dos elementos estruturais.
1.2 Concepção de Estruturas Formadas por Lajes, Vigas e Pilares
A concepção estrutural consiste na escolha adequada do sistema estrutural em função da 
finalidade e a capacidade técnica da edificação, além do lançamento dos elementos estruturais a 
fim de se obter uma estrutura eficiente, estável e econômica.
Inicialmente, faz-se o posicionamento dos pilares de tal forma a não ter interferência 
com o modelo arquitetônico, isto é, lançando-os usualmente no encontro ou no eixo das paredes 
e, normalmente, com espessura de modo a não ficarem evidentes no edifício, compatibilizando 
com a arquitetura. É recomendado ainda que a distância entre os eixos dos pilares seja entre 4 
e 6 metros quando possível e, ainda, posicionar os pilares de tal forma a ficarem alinhados para 
que se formem pórticos rígidos com função de resistir às ações horizontais. Por fim, evita-se 
posicionar os pilares em passagens de algum tipo de instalação, rota de fuga e esquadrias.
Posteriormente, são lançadas as vigas, que ligam os pilares e recebem diretamente as 
cargas das alvenarias. Cabe destacar que nem sempre é necessário ter uma viga embaixo da 
alvenaria, podendo a laje ser dimensionada para resistir ao peso da parede e distribuí-lo até as 
vigas próximas.
Por que o processo de desforma deve ocorrer no tempo determinado pelo 
projetista?
Devido a processos químicos entre a água e o cimento, a resistência do concreto 
aumenta com o passar do tempo, ocorrendo de forma significativa nos primeiros 
28 dias e diminuindo a taxa de crescimento após esse período.
Devido a esse ganho significativo de resistência nos primeiros dias após a 
construção, o processo de desforma tem de ocorrer no período correto, pois os 
elementos estruturais precisam ter resistência necessária para suportar o peso 
próprio da estrutura e as solicitações de construção para que não haja fissuras, 
rupturas e, até mesmo, o colapso da estrutura.
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Por fim, são lançadas as lajes, definidas por regiões do pavimento divididas pelas vigas, 
como mostra a Figura 2.
Figura 2 - Lançamento de pilares, vigas e lajes. Fonte: Alva (2007).
1.3 Dimensões Preliminares das Seções Transversais de Vigas e Pilares
Devido ao peso próprio da estrutura, para a verificação da resistência necessária dos 
elementos, faz-se necessário ter as dimensões das seções. No entanto, as dimensões das seções 
são calculadas a partir da resistência necessária para a peça.
Dessa forma, para eliminar esse ciclo de dependência, inicialmente se faz a determinação 
das dimensões preliminares das seções em função dos vãos e solicitações para que seja possível 
calcular a resistência do elemento. Esse processo é denominado de pré-dimensionamento.1.3.1 Pré-dimensionamento de vigas
A espessura das vigas usualmente é adotada como a largura da alvenaria para que ela 
não fique visível. Porém, o item 13.2.2 da NBR 6118 (ABNT, 2014) prescreve limites para essa 
espessura, os quais, para vigas, é de 12 cm e, para vigas-parede, de 15 cm. Há casos excepcionais 
em que se permite um mínimo de 10 cm, porém, as condições do item 13.2.2 da referida Norma 
têm de ser seguidas.
Para a altura da seção da viga, seguem-se critérios econômicos definidos através de 
inúmeros ensaios em laboratórios. Esses critérios estabelecem relações com o vão da viga e sua 
função na estrutura, conforme descrito a seguir.
• H entre 1/13 e 1/11 do vão livre nos casos de vãos internos;
• H entre 1/11 e 1/9 do vão livre nos casos de vãos externos;
• Nos casos de vigas contínuas com alturas diferentes para cada tramo, pode-se tomar 
como indicativo o valor de H de 1/10 do maior vão livre.
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1.3.2 Pré-dimensionamento de pilares
Segundo a NBR 6118 (ABNT, 2014), os pilares devem possuir seção transversal com 
dimensões maiores que 19 cm. No entanto, a norma permite o uso de dimensões entre 14 cm e 
19 cm em casos especiais, desde que se multipliquem os esforços solicitantes de cálculo por um 
coeficiente adicional γn, apresentado na Tabela 13.1 da referida Norma. Vale destacar que, em 
qualquer caso, a área da seção transversal do pilar não deve ser inferior a 360 cm².
Para o pré-dimensionamento dos pilares, primeiramente deve-se estimar o carregamento 
solicitante no elemento, seja por experiência do engenheiro, seja pelo uso das áreas de influência, 
que divide a área total do pavimento em áreas de influência de cada pilar. Quando não se conhece 
a carga, 10 kN/m² é um valor usual utilizado por projetistas para edifícios residenciais.
Em seguida, posicionam-se os pilares na estrutura, dividindo as distâncias entre eixos e 
observando se elas obedecem aos valores apresentados na Figura 3. A partir disso, multiplicando 
a carga do pavimento pela área de influência de cada pilar, tem-se a força normal estimada que 
um lance de pilar recebe, a qual, somada às forças advindas dos pavimentos superiores, resulta no 
valor da força normal total naquele pilar (Nd).
A área de influência (Ac) dos pilares para edifícios onde a ação do vento não é significativa 
é calculada conforme as Equações 3.1 e 3.2.
Para pilares intermediários:
Para pilares de extremidade e de canto:
Figura 3 - Processo simplificado para determinação da área de influência dos pilares. Fonte: Bastos (2020).
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1.4 Projeto de Lajes Maciças
As lajes são elementos planos que fazem a interface entre os pavimentos da estrutura, 
recebendo o carregamento aplicado no pavimento, como a circulação de pessoas e equipamentos. 
Existem diversos tipos de lajes, podendo-se citar as lajes pré-moldadas (formadas por vigotas 
treliçadas + bloco, podendo ser de lajota cerâmica ou EPS, e cobertas por concreto), as lajes 
maciças (concreto + armaduras + instalações embutidas) e as lajes nervuradas (lajes que possuem 
volumes salientes em sua superfície inferior). Nesta unidade, abordaremos o projeto das lajes 
maciças.
Analisando as armaduras, as lajes maciças podem ter armaduras em uma ou duas direções, 
dependendo da relação entre as suas dimensões.
Armadura em uma direção:
Armadura em duas direções:
Em que ly: comprimento do maior vão; lx: comprimento do menor vão.
Já quando se consideram os apoios, as lajes são classificadas conforme seus vínculos: 
engastada, simplesmente apoiada e bordo livre, conforme apresentado na Figura 4.
Figura 4 – Representação das lajes conforme as configurações de apoio. Fonte: O autor.
Tanto a borda de simples apoio quanto a borda livre ocorrem quando a laje não 
possui mais continuidades. A diferença entre as duas é que, na de simples apoio, 
a laje está apoiada em uma parede ou viga, enquanto a livre não possui nenhuma 
continuidade. Já a borda engastada é caracterizada pelo apoio de lajes em balanço 
ou pelos apoios de vigas em lajes com continuidade.
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O primeiro passo necessário para o dimensionamento das lajes é estimar sua altura útil 
pela Equação 3.5.
Sendo n: número de bordas engastadas da laje; l*: menor valor entre lx e 0,7 ly (m).
Vale destacar que, segundo a NBR 6118 (ABNT, 2014), as lajes devem possuir as seguintes 
espessuras mínimas:
• 7 cm para coberturas não em balanço;
• 8 cm para lajes de piso não em balanço;
• 10 cm para lajes em balanço;
• 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN;
• 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN;
• 15 cm para lajes com proteção apoiadas em vigas, com mínimo de l/42 para lajes de piso 
biapoiadas e l/50 para lajes de piso contínuas;
• 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes cogumelos, fora do capitel.
Definida a espessura, determina-se a altura da laje utilizando a Equação 3.6.
Em que d: altura útil da viga; ∅l: diâmetro da armadura longitudinal; c: cobrimento da 
armadura.
No geral, o dimensionamento das vigas é feito individualmente. Por isso, as lajes contínuas 
apresentam uma descontinuidade de momentos fletores, que deve ser compatibilizada conforme 
a Equação 3.7.
Em que M1 e M2 são os momentos fletores negativos nas duas lajes.
Segundo a NBR 6118 (ABNT, 2014), a armadura transversal em lajes maciças pode ser 
dispensada quando:
Sendo Vsd: força solicitante de cálculo para o cisalhamento; VRd1: força resistente de 
projeto para o cisalhamento, dado pela Equação 3.9.
Em que τRd = 0,25 fctd (tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento); fctd = 
fctk,inf / γc ; ρl = Asl / bwd ≤ 0,02 ; k = 1 para elementos onde 50% da armadura longitudinal inferior 
não alcançam o apoio e k = 1,6 – d ≥ 1 para os demais casos; Asl 
: área da armadura de tração que 
se estende até não menos que d + lb,nec 
, além da seção considerada (ver Figura 5).
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Figura 5 – Comprimento de ancoragem necessário. Fonte: ABNT (2014).
Caso seja necessário o uso de armaduras transversais, elas devem seguir os critérios 
apresentados no item 17.4.2 da NBR 6118 (ABNT, 2014). Além disso, a resistência máxima dos 
estribos deve ser de 250 MPa para lajes com espessura até 15 cm e de 435 MPa para lajes com 
espessura maior que 35 cm. Valores intermediários de espessura podem ser obtidos através da 
interpolação linear. Para as armaduras longitudinais (tanto para lajes quanto para vigas), a NBR 
6118 (ABNT, 2014) define que a armadura deve ser dimensionada para um momento mínimo, 
calculado pela Equação 3.10 ou com o auxílio da Tabela 17.3 da Norma. No entanto, deve-se 
respeitar uma taxa mínima absoluta de 0,15% da área da seção, e a soma das armaduras de tração 
e de compressão não deve ultrapassar 4%.
Em que W0 : módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto, relativo à fibra 
mais tracionada; fctk,sup 
: resistência característica superior do concreto à tração.
O diâmetro máximo das barras para a armadura longitudinal deve ser igual a h / 8. Já com 
relação ao espaçamento entre as barras, a NBR 6118 (ABNT, 2014) recomenda que o espaçamento 
máximo seja o menor valor entre 2h e 20 cm e, para o espaçamento mínimo, podem-se utilizar os 
mesmos valores definidos para as vigas, que serão apresentados no item 1.5.
Caso não haja armadura transversal, recomenda-se que toda a armadura positiva seja 
levada até os apoios, sem seu escalonamento, e que seja prolongada no mínimo 4 cm além do 
eixo teórico do apoio. Já a armadura secundária de flexão deve ser igual ou superior a 20% da 
armadura principal, com um espaçamento máximo entre barras de 33 cm. Por fim, em relação