Exercicios RESMAT 2

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Uniderp – Engenharia Civil Resistência dos Materiais Exame – Modelo 
18/06/2017 1 profwillian.com 
1) A treliça é feita de três elementos acoplados por pinos tendo as áreas das 
seções transversais: AAB = 9,7 cm
2, ABC = 5,2 cm
2 e AAC = 3,9 cm
2. 
Determinar a máxima carga P se a tensão normal admissível (tanto a tração 
quanto a compressão) é igual à 6,9 MPa. 
 
Solução: 
Para encontrar os esforços nas barras AB, BC e AC faremos o equilíbrio dos nós B e C 
 
AAB=9,7 cm
2 
ABC=5,2 cm
2 
A
A
C
=
3
,9
 c
m
2
 
 
 
FBC 
FAB 
 
FBC 
FAC 
HC 
HA 
VA 
 
 
8,0
2
6,1
cos
6,0
2
2,1
sen
26,12,1L
2
2
26,1
6,1
cos
2
2
26,1
6,1
sen
26,16,16,1L
22
BC
22
AB






 
Embora não sejam necessários os valores das reações de apoio: HC, VA e HA (como 
visto adiante) , os cálculos são bem simples: 
P0,571
8,2
6,1P
H08,2H6,1P0M CC)A(z 


 
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PV0PV0F
P0,571H0HH0F
AAy
AACx



 
Por equilíbrio do nó B temos: 
 
B 
P FBC 
FAB 
 
 
 
 
)2(
cos
cos
FF
0cosFcosF0F
)1(PsenFsenF
0senFsenFP0F
BCAB
BCABx
BCAB
BCABy








 
 
de (2) em (1) temos que: 
 
4,1
P
6,08,0
P
F
PsencosFPsenFcosF
PsenFsen
cos
cos
F
BC
BCBCBC
BCBC














 

P714,0FBC 
 
 
de (2): 
2
2
8,0
4,1
P
cos
cos
FF BCAB 





 

P0,808FAB 
 
Por equilíbrio do nó C temos: 
 
C 
FBC 
FAC 
 HC 
 
P0,429F
6,0
4,1
P
F
senFF
0senFF0F
AC
AC
BCAC
BCACy






 
Adotando cm e kN. 
adm = 6,9 MPa = 0,69 kN/cm2 
 
Assim, as tensões normais nos elementos da treliça são 
kN27,6P
cm
kN
0,69
cm9,3
P90,42
A
F
kN02,5P
cm
kN
0,69
cm2,5
P714,0
A
F
kN28,8P
cm
kN
69,0
cm7,9
P808,0
A
F
22adm
AC
AC
AC
22adm
BC
BC
BC
22adm
AB
AB
AB





 
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Resposta: A máxima carga que a treliça pode 
suportar é de P = 5,02 kN. 
 
 
 
 
 
 
2) Supondo que o eixo maciço AB, ao qual está acoplado o volante da 
válvula, seja feito de latão C83400 (G=37 GPa), determinar o menor 
diâmetro do volante de modo que o ângulo de torção não exceda 0,5º e a 
tensão de cisalhamento não exceda 40 MPa quando F=25N 
 
Solução: 
Cálculo do torque em A: 
mm.N7500)mm150mm150(N25)mm150mm150(FT 
 
 
• Usando a tensão de cisalhamento: 
mm85,9
40
750016
d
T16
d
d
T16
32
d
.2
Td
33
adm
34adm











 
 
 
• Usando o ângulo de torção: 
mm7,13
180
5,037000
150750032
d
G
LT32
d
32
d
G
TL
GJ
TL
4
4
adm
4adm










 
 
 
Resposta: Para as condições impostas, o menor 
diâmetro do volante deve ser igual 13,7 mm. 
 
 
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3) Um ensaio de tração foi executado em um corpo-de-prova com um 
diâmetro original de 18 mm e um comprimento nominal de 100 mm. Os 
resultados do ensaio até a ruptura estão listados na tabela abaixo. Determine 
o módulo de elasticidade, E, a tensão de escoamento, esc, a tensão de 
ruptura, rup, o módulo de resiliência, ur e o módulo de tenacidade, ut. 
Carga (kN) (mm) 
0 0 
102 0,18 
102 0,28 
102 0,64 
146 1,2 
190 8,4 
175 12 
Solução: 
A coluna da carga (1 kN = 1000 N) deve ser dividida pela área da seção transversal do corpo-de-prova: 
2
2
mm4,46952
4
)mm18(
A 


 
A coluna do alongamento  deve 
ser dividida pelo comprimento 
nominal do corpo-de-prova: 
Li = 100 mm
 
 
Assim temos uma nova tabela: 
 (mm/mm)  (MPa) 
0 0 
0,0018 400,8 
0,0028 400,8 
0,0064 400,8 
0,0120 573,7 
0,0840 746,7 
0,1200 687,7 
 
 
Módulo de Elasticidade E: 
GPa7,222MPa222686
0018,0
MPa8,400
E 
 
Módulo de Resiliência ur: 
kPa8,360MPa36075,0
2
MPa8,4000018,0
u r 


 
Utilizando-se a regra dos trapézios (soma de trapézios sob a curva tensão x deformação) temos o Módulo 
de Tenacidade: ut = 78,2862 MPa 
 
Resposta: 
Módulo de Elasticidade = 223 GPa Tensão de Escoamento = 401 MPa 
Módulo de Resiliência = 361 kPa Tensão Última (Resistência) = 747 MPa 
Módulo de Tenacidade = 78,3 MPa Tensão de Ruptura = 688 MPa 
 
0
200
400
600
800
0,0000 0,0200 0,0400 0,0600 0,0800 0,1000 0,1200 0,1400
(MPa)
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4) Achar a máxima carga P (em kN) que a conexão de parafusos de aço de 
3/8 pol de diâmetro, representada pela figura abaixo pode suportar, sabendo 
que a tensão admissível ao cisalhamento do aço é adm= 69 MPa. 
 
 
Solução: 
 
P P 
P P 
Vista em planta 
Vista lateral 
Parafusos Parafusos 
2 áreas cisalhadas 
para cada parafuso 
 
Veja a placa da esquerda e vamos analisá-la. Usando a definição de tensão de cisalhamento média, vamos 
calcular a tensão atuante na conexão, fazendo com que essa não seja maior que adm. Note que cada parafuso 
tende a ser cisalhado em duas seções, ou seja, para cada parafuso temos A = 2 AT, e como temos três 
parafusos, o total de áreas cisalhadas é 3(2 AT). 
 
kN4,29P
N9,29499mm4,25375,05,1
mm
N
69d5,1P
4
d
23
P
A3
V
2
2
2
adm
adm2








 


 
 
 
Resposta: A máxima carga P na conexão das placas 
deve ser menor que 29,4 kN. 
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5) O conjunto consiste de uma haste CB de aço A-36 (ES=200 GPa) e de 
uma haste BA de alumínio 6061-T6 (EA=68,9 GPa), cada uma com diâmetro 
de 30 mm. Se a haste está sujeita a uma carga axial P1 = 80 kN em A e 
P2 = 50 kN na conexão B, determinar o deslocamento de B, B, e da 
extremidade A, A. Considere os comprimento L1=800 mm e L2=400 mm. 
Desprezar o tamanho das conexões em B e C e supor que sejam rígidas. 
 
L2 L1 
 
 
Solução: 
Dados: 
Ealumínio = E1 = 68,9 GPa = 70000 N/mm2 
Eaço = E2 = 200 GPa = 200000 N/mm2 
 
d = 30 mm 
L1 = 800 mm 
L2 = 400 mm 
N1 = P1 = 80 kN 
N2 = P1 – P2 = 80 – 50 = 30 kN 
 
 
mm398982,1
AE
LN
AE
LN
mm084883,0
AE
LN
AE
LN
mm8583,706
4
mm30
4
d
AA
A
22
22
11
11
A
B
22
22
B
n
1i ii
ii
2
22
21










 
 
Resposta: Os deslocamentos em B e A são: 0,0849 
mm e 1,40 mm, respectivamente.