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Cálculo 1 Cap.VII
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31/03/2016 Cálculo 1 Cap.VII. Limites no Infinito, Limites Infinitos, Assíntotas Horizontais e Verticais http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap07_Calc1.html 1/23 Cálculo I 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 Cap.VII. Limites no Infinito , Limites Infinitos Assíntotas Horizontais e Verticais VII1. Limites no Infinito VII2. Limites Infinitos VII3. Assíntotas Horizontais e Verticais VII1. Limites no Infinito ( ) Introdução Definição de Limites no Infinito Observação 71 Exemplo 71 Introdução : ( ) Vamos estudar o comportamento de uma função para | x | " muito grande " : Vamos observar o gráfico da f no intervalo [ 1 , 100 ] : O gráfico ao lado sugere que o valor da função fica cada vez mais próximo de 0 quando x , isto é , voltar para o início desta seção voltar para o início Agora , vamos observar o gráfico da f no intervalo [ –100 , –1 ] : 31/03/2016 Cálculo 1 Cap.VII. Limites no Infinito, Limites Infinitos, Assíntotas Horizontais e Verticais http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap07_Calc1.html 2/23 O gráfico ao lado sugere que o valor da função fica cada vez mais próximo de 0 quando x , isto é , voltar para o início desta seção voltar para o início Definição 7.1 : ( Limites no Infinito ) : ( ) ( I ) Seja f uma função definida em todo número de um intervalo aberto I = ( c , ) . A função f tem limite L quando x tende para , que denotamos por , se para todo número positivo podemos encontrar um número positivo N , tal que f ( x ) ( L – , L + ) sempre que x > N . Isto é , ( II ) Seja f uma função definida em todo ponto de um intervalo aberto I = ( , c ) . A função f tem limite L quando x tende para , que denotamos por , se para todo número positivo podemos encontrar um número positivo N , tal que f ( x ) ( L – , L + ) sempre que x < – N . Isto é , voltar para o início desta seção voltar para o início Observação 71 : ( ) ( i ) As propriedades de limite continuam válidas quando x e quando x ; e temos para todo n IN* ( ii ) Para todo n IN* e c IR , temos 31/03/2016 Cálculo 1 Cap.VII. Limites no Infinito, Limites Infinitos, Assíntotas Horizontais e Verticais http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap07_Calc1.html 3/23 (demonstração) voltar para o início desta seção voltar para o início Exemplo 7.1 : ( ) Para cada uma das funções definidas abaixo , calcule o limite da função quando x e quando x . (a) (sol.) (b) (sol.) (c) (sol.) (d) (sol.) (e) (sol.) (f) (sol.) Solução : (a) voltar para o enunciado deste exemplo voltar para o início desta seção voltar para o início 31/03/2016 Cálculo 1 Cap.VII. Limites no Infinito, Limites Infinitos, Assíntotas Horizontais e Verticais http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap07_Calc1.html 4/23 (b) voltar para o enunciado deste exemplo voltar para o início desta seção voltar para o início (c) 31/03/2016 Cálculo 1 Cap.VII. Limites no Infinito, Limites Infinitos, Assíntotas Horizontais e Verticais http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap07_Calc1.html 5/23 voltar para o enunciado deste exemplo voltar para o início desta seção voltar para o início (d) voltar para o enunciado deste exemplo voltar para o início desta seção voltar para o início (e) 31/03/2016 Cálculo 1 Cap.VII. Limites no Infinito, Limites Infinitos, Assíntotas Horizontais e Verticais http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap07_Calc1.html 6/23 voltar para o enunciado deste exemplo voltar para o início desta seção voltar para o início (f) voltar para o enunciado deste exemplo 31/03/2016 Cálculo 1 Cap.VII. Limites no Infinito, Limites Infinitos, Assíntotas Horizontais e Verticais http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap07_Calc1.html 7/23 voltar para o início desta seção voltar para o início VII2. Limites Infinitos ( ) Introdução Definição de Limites Infinitos Observação 72 Observação 73 Exemplo 72 Observação 74 Exemplo 73 Introdução : ( ) Vamos estudar o comportamento de funções tais que | f ( x ) | é " muito grande " quando x está próximo de 0 . Vamos observar o gráfico da f numa vizinhança de 0 : O gráfico ao lado sugere que o valor da função fica cada vez maior quando quando x 0 , isto é , voltar para o início desta seção voltar para o início 31/03/2016 Cálculo 1 Cap.VII. Limites no Infinito, Limites Infinitos, Assíntotas Horizontais e Verticais http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap07_Calc1.html 8/23 Vamos observar o gráfico da f numa vizinhança de 0 : O gráfico ao lado sugere que o valor da função fica cada vez menor quando quando x 0 , isto é , voltar para o início desta seção voltar para o início Definição 7.2 : ( Limites Infinitos ) : ( ) ( I ) Seja f uma função definida em todo número de um intervalo aberto contendo a , exceto possivelmente em a . A função f tem " limite " quando x tende para a , que denotamos por , se para todo número positivo N podemos encontrar um número positivo tal que f ( x ) > N sempre que x ( a – , a ) ( a , a + ) . Isto é , ( II ) Seja f uma função definida em todo número de um intervalo aberto contendo a , exceto possivelmente em a . 31/03/2016 Cálculo 1 Cap.VII. Limites no Infinito, Limites Infinitos, Assíntotas Horizontais e Verticais http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap07_Calc1.html 9/23 A função f tem " limite " quando x tende para a , que denotamos por , se para todo número positivo N podemos encontrar um número positivo tal que f ( x ) < – N sempre que x ( a – , a )< ( a , a + ) . Isto é , voltar para o início desta seção voltar para o início Observação 72 : ( ) ( i ) Note que , pela definição acima , é equivalente à ( ii ) As definições de limite laterais infinitos são análogas . ( iii ) Apesar de escrevermos ou , estes limites NÃO existem . voltar para o início desta seção voltar para o início Observação 73 : ( ) (demonstração) voltar para o início desta seção voltar para o início Exemplo 7.2 : ( ) Para cada uma das funções e valores de a definidos abaixo , calcule o limite da função quando x a – e quando x a + . 31/03/2016 Cálculo 1 Cap.VII. Limites no Infinito, Limites Infinitos, AssíntotasHorizontais e Verticais http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap07_Calc1.html 10/23 (a) (sol.) (i) a = – 1 (sol.) (ii) a = 1 (sol.) (iii) a = 2 (sol.) (b) (sol.) (i) a = – 1 (sol.) (ii) a = 1 (sol.) (c) (sol.) (i) a = – 2 (sol.) (ii) a = 2 (sol.) Solução : Vamos resolver estes limites usando a Observação 7.3 . Quando o denominador for um polinômio , devemos fatorar o polinômio , para saber se está se aproximando de 0 por valores maiores ou menores que 0 , quando x se aproxima de a . (a) (i) a = – 1 (sol.) (ii) a = 1 (sol.) (iii) a = 2 (sol.) (i) a = – 1 voltar para o início desta solução voltar para o enunciado deste exemplo (ii) a = 1 voltar para o início desta solução voltar para o enunciado deste exemplo 31/03/2016 Cálculo 1 Cap.VII. Limites no Infinito, Limites Infinitos, Assíntotas Horizontais e Verticais http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap07_Calc1.html 11/23 (iii) a = 2 voltar para o início desta solução voltar para o enunciado deste exemplo voltar para o início desta seção voltar para o início (b) (i) a = – 1 (sol.) (ii) a = 1 (sol.) (i) a = – 1 voltar para o início desta solução voltar para o enunciado deste exemplo (ii) a = 1 31/03/2016 Cálculo 1 Cap.VII. Limites no Infinito, Limites Infinitos, Assíntotas Horizontais e Verticais http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap07_Calc1.html 12/23 voltar para o início desta solução voltar para o enunciado deste exemplo voltar para o início desta seção voltar para o início (c) (i) a = – 2 (sol.) (ii) a = 2 (sol.) (i) a = – 2 voltar para o início desta solução voltar para o enunciado deste exemplo (ii) a = 2 voltar para o início desta solução voltar para o enunciado deste exemplo voltar para o início desta seção voltar para o início Observação 74 : ( ) 31/03/2016 Cálculo 1 Cap.VII. Limites no Infinito, Limites Infinitos, Assíntotas Horizontais e Verticais http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap07_Calc1.html 13/23 (demonstração) Em muitos casos não é possível determinar de imediato o limite , quando isto acontece nós dizemos que temos uma indeterminação ( isto é , precisamos fazer alguns cálculos para determinar o limite ) . “ veja alguns tipos de indeterminações ” Exemplo 7.3 : ( ) Calcule os seguintes limites : (a) (solução) (b) (solução) (c) (solução) (d) (solução) 31/03/2016 Cálculo 1 Cap.VII. Limites no Infinito, Limites Infinitos, Assíntotas Horizontais e Verticais http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap07_Calc1.html 14/23 Solução : (a) voltar para o enunciado deste exemplo voltar para o início desta seção voltar para o início (b) voltar para o enunciado deste exemplo voltar para o início desta seção voltar para o início 31/03/2016 Cálculo 1 Cap.VII. Limites no Infinito, Limites Infinitos, Assíntotas Horizontais e Verticais http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap07_Calc1.html 15/23 (c) voltar para o enunciado deste exemplo voltar para o início desta seção voltar para o início (d) 31/03/2016 Cálculo 1 Cap.VII. Limites no Infinito, Limites Infinitos, Assíntotas Horizontais e Verticais http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap07_Calc1.html 16/23 voltar para o enunciado deste exemplo voltar para o início desta seção voltar para o início VII3. Assíntotas Horizontais e Verticais ( ) Assíntotas Definição de Assíntota Horizontal Definição de Assíntota Vertical Exemplo 74 Assíntotas ( ) voltar para o início desta seção voltar para o início Definição 7.3 : ( Assíntota Horizontal ) : ( ) A reta y = b é uma assíntota horizontal ao gráfico da função f se 31/03/2016 Cálculo 1 Cap.VII. Limites no Infinito, Limites Infinitos, Assíntotas Horizontais e Verticais http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap07_Calc1.html 17/23 voltar para o início desta seção voltar para o início Definição 7.4 : ( Assíntota Vertical ) : ( ) A reta x = a é uma assíntota vertical ao gráfico da função f se pelo menos uma das afimações abaixo for verdadeira : voltar para o início desta seção voltar para o início Exemplo 7.4 : ( ) Encontre as assíntotas horizontais e verticais ao gráfico de cada uma das seguintes funções : (a) (solução) (b) (solução) (c) (solução) (d) (solução) (e) (solução) (f) (solução) Solução : 31/03/2016 Cálculo 1 Cap.VII. Limites no Infinito, Limites Infinitos, Assíntotas Horizontais e Verticais http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap07_Calc1.html 18/23 (a) Assíntotas Horizontais : y = 0 31/03/2016 Cálculo 1 Cap.VII. Limites no Infinito, Limites Infinitos, Assíntotas Horizontais e Verticais http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap07_Calc1.html 19/23 Assíntotas Verticais : x = 0 , x = – 1 e x = 2 ( veja o gráfico dessa função ) voltar para o enunciado deste exemplo voltar para o início desta seção voltar para o início (b) 31/03/2016 Cálculo 1 Cap.VII. Limites no Infinito, Limites Infinitos, Assíntotas Horizontais e Verticais http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap07_Calc1.html 20/23 Assíntotas Horizontais : y = 1 Assíntotas Verticais : x = – 3 ( veja o gráfico dessa função ) voltar para o enunciado deste exemplo voltar para o início desta seção voltar para o início (c) Assíntotas Horizontais : não existe 31/03/2016 Cálculo 1 Cap.VII. Limites no Infinito, Limites Infinitos, Assíntotas Horizontais e Verticais http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap07_Calc1.html 21/23 Assíntotas Verticais : x = 3 ( veja o gráfico dessa função ) voltar para o enunciado deste exemplo voltar para o início desta seção voltar para o início (d) Assíntotas Horizontais : y = – 3 e y = 3 31/03/2016 Cálculo 1 Cap.VII. Limites no Infinito, Limites Infinitos, Assíntotas Horizontais e Verticais http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap07_Calc1.html 22/23 Assíntotas Verticais : x = – 2 e x = 2 ( veja o gráfico dessa função ) voltar para o enunciado deste exemplo voltar para o início desta seção voltar para o início (e) Assíntotas Horizontais : não existe Assíntotas Verticais : x = 1 ( veja o gráfico dessa função ) voltar para o enunciado deste exemplo voltar para o início desta seção 31/03/2016 Cálculo 1 Cap.VII. Limites no Infinito, Limites Infinitos, Assíntotas Horizontais e Verticais http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap07_Calc1.html 23/23voltar para o início (f) Assíntotas Horizontais : y = 3 e y = – 3 Assíntotas Verticais : não existe ( veja o gráfico dessa função ) voltar para o enunciado deste exemplo voltar para o início desta seção voltar para o início capítulo anterior índice próximo capítulo
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