PROCESSOS ESTOCÁSTICOS 2014 2

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PROCESSOS ESTOCÁSTICOS
André Alves Gandolpho 
Professor DSc.
Petrópolis, agosto de 2014
 
Introdução
Ementa do Curso:
Revisão dos Conceitos Básicos de Estatística e Probabilidade;
Cadeias de Markov;
Processos de Poisson;
Teoria das Filas;
Programação Dinâmica;
Árvores de Decisão.
Tipo de Avaliação: 
Datas das Avaliações:PP ⇒ 27 de setembro de 2014
 PF ⇒ 29 de novembro de 2014
2a Chamada: 06 de dezembro de 2014
( )
3
2PFPPMédia +=
 
Introdução
Bibliografia:
1) Hillier, F., Lieberman, G.; (2013), 9a Ed. - Introdução à Pesquisa 
Operacional - Editora Bookman.
2) Winston, Wayne L. (1994), Operations Research - Applications and 
Algorithms, Third Edition, Duxbury Press.
 
Revisão dos Conceitos Básicos 
de Estatística
Definições Básicas:
Fenômeno Estatístico: é qualquer evento que se pretenda analisar, cujo estudo seja 
possível da aplicação do método estatístico;
Exemplo: A natalidade na Grande Vitória.
Dado Estatístico: é um dado numérico e é considerado a matéria-prima sobre a qual 
iremos aplicar os métodos estatísticos;
População: Conj. total de elem.s portadores de, pelo menos, 1 característica comum;
Amostra: é uma parcela representativa da população que é examinada com o 
propósito de tirarmos conclusões sobre a essa população;
Parâmetros: São valores singulares que existem na população e que servem para 
caracterizá-la. Para definirmos um parâmetro devemos examinar toda a população. 
Exemplo: Os alunos deste curso têm em média 1,70 metros de estatura.
Estimativa: é um valor aproximado do parâmetro e é calculado com o uso da 
amostra.
 
Revisão dos Conceitos Básicos 
de Estatística
Definições Básicas:
Variável: É, convencionalmente, o conj. de resultados possíveis de um fenômeno.
 Qualitativa: Quando seu valores são expressos por atributos: sexo, cor da pele,etc.
 Quantitativa: Quando os dados são de caráter nitidamente quantitativo, e o conjunto dos 
resultados possui uma estrutura numérica, trata-se portanto da estatística de variável.
Variáveis Quantitativas:
 Discreta Ou Descontínua: Seus valores são expressos geralmente através de números 
inteiros não negativos. Resulta normalmente de contagens. Exemplo: Nº de alunos 
presentes às aulas de Qualidade no 1º semestre: mar = 40, abr = 30, mai = 35, jun = 36.
 Contínua: Resulta normalmente de uma mensuração, e a escala numérica de seus 
possíveis valores corresponde ao conjunto ℜ dos números Reais, ou seja, podem 
assumir, teoricamente, qualquer valor
Tabela primitiva ou dados brutos: É uma tabela ou relação de elementos que não 
foram numericamente organizados. 
Exemplo : 45, 41, 42, 41, 42 43, 44, 41 ,50, 46, 50, 46, 60, 54, 52, 58, 57,58, 60, 51
Distribuição de Freqüência: É um tipo de tabela que condensa uma coleção de 
dados conforme as freqüências (repetições de seus valores).
 
Revisão dos Conceitos Básicos 
de Estatística
Medidas de Posição ou Médias:
São as estatísticas que representam uma série de dados orientando-nos quanto à 
posição da distribuição em relação ao eixo horizontal do gráfico da curva de 
freqüência.
Média Aritmética: onde: xi são os valores da variável;
n = número de dados;
Moda (Mo): É o dado que mais se repete ou que possui a maior freqüência.
Exemplo: Determinar a moda de idade de uma classe de alunos em que a pesquisa 
tenha revelado as seguintes idades:
18, 18, 19, 20, 21, 21, 22, 23, 23, 23, 24, 25, 26.
Como a moda é o valor que mais ocorre na pesquisa, então a moda da série de idades é 
23 anos.
n
x
=x
n
=i
i∑
1
 
Revisão dos Conceitos Básicos 
de Estatística
Medidas de Posição ou Médias:
Mediana (Me): É o elemento que está exatamente no centro das informações 
ordenadas. Para se obter o elemento mediana de uma série deveremos seguir os 
seguintes passos:
a) Se N for ímpar a mediana é o termo de ordem .
b) Se N for par é a média aritmética dos termos de ordem : e 
Exemplos: Determinar a mediana das seguintes séries:
a) Série que é composta dos seguintes elementos: 56, 58 , 62, 65 e 90.
Solução: N = 5 (ímpar), . Então Me = 62.
b) Nº de erros por folha, cometidos por digitadores:
12, 12, 13, 13, 15, 16, 18,20.
Solução: N = 8(par), então
Assim, a Mediana é: 
2
1+
=
NP
21
NP = 1
22
+=
NP
ordenada série da elemento 3
2
15
2
1 0
=
+
=
+
=
NP
elemento 51
2
8 e elemento 4
2
8 0
2
0
1 =+=== PP
14
2
28
2
1513
==
+
=Me
 
Revisão dos Conceitos Básicos 
de Estatística
Medidas de Posição ou Médias:
Desvio Padrão: O desvio padrão baseia-se nos desvios em torno da média 
aritmética e a sua fórmula básica pode ser traduzida como:
Exemplo:
Calcular o desvio padrão da população representada por: {- 4, -3, -2, 3, 5}
N
)x(x
=σ
n
=i
i∑ −
1
2
Sabemos que N = 5 e (62,8/5) = 12,56
Assim, o desvio padrão (σ) = 3,54
 
Revisão dos Conceitos Básicos 
de Estatística
Medidas de Posição ou Médias:
Variância: É uma medida que tem pouca utilidade como estatística descritiva, 
porém é extremamente importante na inferência estatística e em combinações 
de amostras.
 
Revisão dos Conceitos Básicos 
de Estatística
Função de Distribuição de Probabilidade:
Para cada variável aleatória, associa-se uma função distribuição cumulativa 
(fdc).
A função de distribuição FX (x) de uma variável aleatória X é definida como:
F(x) = P [X ≤ x] ∀ x ∈ ℜ.
A função distribuição FX (x) satisfaz as seguintes propriedades:
• 0 ≤ F(X) ≤ 1, para todo X;
• F(X) é não decrescente, isto é, se x ≤ y então: FX(x) ≤ FX(y);
• 1F(x)lim e 0F(x)lim ==
∞→− ∞→ xx
 
Revisão dos Conceitos Básicos 
de Probabilidade
Objetivo: descrever e analisar comportamento incerto
Noção Básica: aleatoriedade
Condição para aleatoriedade: se um experimento é repetido n vezes, 
conhecimento de qualquer seqüência de saídas não permite prever a próxima 
saída com certeza.
Espaço Amostral S: conjunto de todas as possíveis saídas de um 
experimento aleatório
– Pode ser finito ou infinito;
– Espaço amostral finito: discreto (contável);
– Espaço amostral infinito: discreto ou contínuo.
Exemplo:
Para o experimento "lançar uma moeda duas vezes e anotar o par de faces de 
cima" temos o seguinte espaço amostral: S = {(K,K), (K,C), (C,K), (C,C)}.
 
Revisão dos Conceitos Básicos 
de Probabilidade
Atribuindo Probabilidades a Eventos:
Um dos aspectos mais difíceis da construção de modelos probabilísticos.
Duas abordagens
1) Baseada em Freqüência:
P(ocorrência) = n / N
Onde: n = # de vezes que saída ocorreu
N = # de experimentos
2) Baseada em Axiomas
Mede a freqüência da saída sobre todos os experimentos.
 
Revisão dos Conceitos Básicos 
de Probabilidade
Atribuindo Probabilidades a Eventos: Continuação
Exemplo:
1)Suponha um baralho de cartas padrão. Calcule a probabilidade de pegar uma 
carta preta.
Solução:
O Baralho padrão possui 52 cartas, sendo 26 pretas e 26 vermelhas. Assim, 
temos que a probabilidade de retirarmos aleatoriamente uma carta preta do 
baralho preto é:
P(preto) = 2
1
52
26
=
 
Revisão dos Conceitos Básicos 
de Probabilidade
Axiomas de Probabilidades:
Seja: S o espaço amostral de um experimento aleatório.
P(A) = probabilidade associada ao evento A.
A função de probabilidade P() deve satisfazer os seguintes axiomas:
P(A) ≥ 0, para qualquer evento A
P(S) = 1
P(A∪B) = P(A) + P(B), desde que A ∩ B = ∅
Se A1, A2, A3, ... são mutuamente exclusivos,
Conseqüências dos Axiomas:
P(∅) = 0
Se A ⊆ B , então P(A) ≤ P(B)
 
Para S discreto:
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
 
P [Ui=1
∞
An]=∑i=1
∞
P ( An )
)(1)( APAP −=
)(1)( BAPBAP ∩−=∪Revisão dos Conceitos Básicos 
de Probabilidade
Axiomas de Probabilidades:
Exemplo: 
Consideremos o lançamento de um dado equilibrado. 
Determine a probabilidade de cada evento abaixo:
1. A: sair o número 5
2. B: sair um número maior que 4
3. C: sair um primo
4. D: sair um número maior que 7
 
Revisão dos Conceitos Básicos 
de Probabilidade
Axiomas de Probabilidades:
Exemplo: SOLUÇÂO
O espaço amostral é = {1,2,3,4,5,6}. Como o dado é 
equilibrado, todos os resultados são equiprováveis e adotamos 
a distribuição de probabilidades uniforme. Assim, a 
probabilidade de cada evento elementar é 1/6.
Temos, então:
1. P(A) = P({5}) = 1/6
2. P(B) = P({5,6}) = P({5}) + P({6}) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
3. P(C) = P({2,3,5}) = P({2})+P({3})+P({5}) = 1/6 + 1/6 + 
1/6 = 3/6 = ½
4. P(D) = P(∅) = 0
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