Aula 1

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Zero de função
Josuel Kruppa Rogenski
jkrogenski@ufu.br
Instituto de Matemática e Estat́ıstica
Universidade Federal de Uberlândia
Notas de aula baseadas no material dos Professores Alessandro
Santana e Rafael Figueiredo
Zero de função - Exemplo
[Mortimer, 2005] A equação de estado de Dieterici é
Pea/VmRT (Vm − b) = RT ,
em que P é a pressão, T é a temperatura, Vm é o volume molar e R é
a constante dos gases. As constantes a e b do modelo dependem do
gás. Para o dióxido de carbono, por exemplo, a = 0.468Pam6mol−2
e b = 4.63× 10−5m3mol−1. Encontre o volume molar (m3mol−1)
do dióxido de carbono se T = 298.15K e P = 104atm = 1.01325×
106Pa. Considere R = 8.31J mol−1 K−1.
Zero de função - Exemplo
[Adaptado de Chapra, 2017] A velocidade de um objeto em queda
livre (inicialmente em repouso) pode ser modelada através da equação
v(t) =
√
g m
cd
tanh
(√
g cd
m
t
)
,
em que g = 9, 81m.s−2, m é a massa do objeto, t é a variável
tempo e cd é o coeficiente de arrasto.
Sabendo-se que, ao pular de bungee jump, o risco de lesão cervical
aumenta significativamente se a velocidade exceder 36m.s−1 após
4 s em queda livre, qual a restrição de massa deve ser adotada para
garantir integridade f́ısica do esportista? Considere coeficiente de
arrasto igual a 0, 25 kg .m−1.
Zero de função - Exemplo
Para o problema em questão, devemos encontrar o valor de m tal
que
36 =
√
9, 81m
0, 25
tanh
(√
9, 81.0, 25
m
4
)
.
Ou seja, devemos encontrar uma raiz de f (m) = 0, sendo
f (m) =
√
9, 81m
0, 25
tanh
(√
9, 81.0, 25
m
4
)
− 36 = 0.
Zero de função - Objetivo
Considera-se o problema de se resolver numericamente equações
da forma f (x) = 0.
(Aplicação: Lembrem-se que resolver problemas de máximo e ḿınimo
envolve a identificação de pontos cŕıticos [f ′(xc) = 0].)
Por que utilizamos métodos numéricos? Na dificuldade (ou impos-
sibilidade) de encontrarmos uma solução exata para o problema,
buscamos uma solução aproximada (no geral, tão boa quanto qui-
sermos).
Zero de função – Processo de busca de ráızes
Processo de busca de ráızes:
identificação e isolamento de raiz:
• A existência de raiz pode ser atestada visualmente através do uso de
softwares de geração de gráficos (Geogebra, GNU Octave, etc.).
• aplicação do teorema do valor intermediário.
refinamento da solução:
• diversos métodos podem ser aplicados de forma que, ao partirmos de uma
solução aproximada dada, gerarmos uma sequência numérica xk que
identifique a solução com a precisão desejada.
Zero de função – Identificação e isolamento de raiz
O objetivo é encontrar um intervalo (pequeno o suficiente) e que
contenha uma única raiz. Qualquer ponto pertencente a esse in-
tervalo pode ser considerado como aproximação para a raiz isolada
desejada.
No geral, o uso de ferramentas computacionais de visualização au-
xilia na identificação de ráızes.
Teorema do valor intermediário: Seja a função f cont́ınua em um
intervalo [a, b]. Se f (a)f (b) 0.
Zero de função – Identificação e isolamento de raiz
Situação 1:
A escolha do intervalo [a, b] tendo f (a)f (b) > 0 não garante ex-
istência de ráızes. Nesse caso, a função possui duas ráızes.
Zero de função – Identificação e isolamento de raiz
Situação 2:
A escolha do intervalo [a, b] tendo f (a)f (b) > 0 não garante ex-
istência de ráızes. Nesse caso, a função não possui ráızes.
Zero de função – Identificação e isolamento de raiz
Situação 3:
A escolha do intervalo [a, b] tendo f (a)f (b) > 0 não garante ex-
istência de ráızes. Nesse caso, a função tangencia o eixo das abcis-
sas, sendo o ponto em questão raiz da função. Nessas situações, a
raiz possui multiplicidade par.
Zero de função – Identificação e isolamento de raiz
Exemplo: Sendo f : R → R. Determine as ráızes da função f (x) =
ex .
A função é positiva para todo x ∈ R.
Zero de função – Identificação e isolamento de raiz
Outro modo de isolar ráızes de uma função consiste em reescre-
ver a equação f (x) = 0 em uma forma equivalente g(x) = h(x).
Definidas as funções g e h, um ponto de interseção entre essas
curvas é solução da equação original f (x) = 0.
Exemplo: Sendo f : R → R. Determine as ráızes da função f (x) =
(x + 1)2e(x
2−2) − 1 = 0.
Zero de função – Identificação e isolamento de raiz
Reescrevemos a função como
(x + 1)2 = e2−x2 ,
de forma que uma raiz x̄ de f é também ponto de intersecção entre
as curvas g(x) = (x + 1)2 e h(x) = e2−x2 . A função possui duas
ráızes, isoladas nos intervalos [−2,−1] e [0, 1].
Exerćıcios
1. Sendo f : [0, 2π] → R. Argumente sobre as ráızes da função
f (x) = cos x e verifique as hipóteses do teorema do valor inter-
mediário.
2. Dadas as funções x3+3x−1 e x2−sin (x), pesquise a existência
de ráızes e isole-as em intervalos.
3. Argumente a respeito da existência e unicidade de zeros da
função f (x) = xex − 1.
4. Isole em intervalos as ráızes de f (x) = e−2x − ln(x2 − 1).