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Noções lógicas
Agora vamos definir o que são proposições simples e compostos e como
realizamos a junção entre elas.
Podemos utilizar a Lógica no dia-a-dia?
Sim, pois a expressão falada é o perfil do pensamento.
A representação desta palavra escrita é a justamente o que indagamos.
Exemplo:
Pedro gosta de churrasco.
Noções de lógica
A finalidade fundamental de toda programação é estabelecer um algoritmo.
O que é Algoritmo?
Algoritmo visa estabelecer uma sequência de ligações que tendem abranger um objetivo.
(Ordem do Pensamento, portanto, Lógica).
Vocês devem notar este nome muito curioso, mas é muito banal em nosso dia-a-dia, como, por
exemplo, uma receita de lasanha.
Nela está descrita uma série de elementos necessários, um conjunto de diversos passos e ou
ações que necessitaremos seguir para que se alcance o determinado tipo de lasanha (objetivo bem
definido).
O principal objetivo da lógica é constituir uma linguagem formal.
Proposições lógicas
São somente frases declarativas (com sujeito, predicado definidos e verbos), frases com sujeito
oculto não são proposições.
Exemplos de proposições lógicas válidas:
O Brasil é um país do continente americano.
A lua é um satélite da terra.
Pedro examina o trabalha.
Duas retas de um plano são paralelas ou incidentes.
Se Pedro estuda, então tem êxito na escola.
Pedro irá ao cinema se e somente se conseguir dinheiro.
Agora, vejamos uma sentença inválida como proposição:
Três mais quatro.
Neste caso verificamos que existe o sujeito e não temos o predicado.
Aonde você vai?
Neste caso podemos verificar a existência da sentença interrogativa, não consideramos uma
proposição.
Os jovens praticam esportes. O sujeito não está claramente especificado e a sentença não pode
ser classificada em V (1) ou F (0).
Serei campeão. (eu sujeito oculto) sentença aberta, não se sabe quem é o sujeito, não é válida
como uma proposição lógica.
Podemos verificar que existem proposições simples ou compostas.
Proposição simples não contém outra proposição como integrante.
Proposição composta é formada por duas ou mais proposições relacionadas pelos conectivos
lógicos.
Notação: P(p, q, r,...) indicamos as proposição composta com letras maiúsculas “(P) de
proposição composta” e é formada pelas proposições simples p, q, r, ...
Obs. lembramos que estas letras representam as proposições simples e podem ser qualquer
letra do nosso alfabeto e no nosso caso as mais utilizadas são p, q, r, ...
Exemplos de proposição simples:
p: São Paulo fica na América do Norte.
q: O número 9 é quadrado perfeito.
Exemplos proposições compostas:
P: 5 - 2 = 3 e 2 ≠ 1
Q: 1 + 2 = 3 ou 2 ≠ 1
R: Se 5 - 2 = 3, então 2 ≠ 1
Conceitos Preliminares.
Notação: P(p, q, r,...) indica que a proposição composta P é formada pelas proposições simples
p, q, r, ...
Princípios fundamentais da lógica.
Princípio da não contradição é quando uma proposição nunca assume simultaneamente o valor
lógico "0" e “1”.
Princípios do terceiro excluído é quando toda proposição ou é só “0” ou é “1”, nunca ocorrendo
um terceiro caso.
De acordo com esses princípios, podemos afirmar que toda proposição admite um e um só dos
valores 1 ou 0.
Chamam-se conectivos lógicos palavras ou expressões que se unem para formar novas
proposições, a partir de proposições dadas.
Apresentamos abaixo algumas proposições compostas com diferentes conectivos.
P: O número quatro é quadrado perfeito e o número três é ímpar.
Q: O triângulo ABC é retângulo ou isóscele.
R: Se João estuda, então sabe a matéria.
Valor lógico da proposição
Notação:O valor lógico de uma proposição simples indicamos por V(p) e composta indicamos
por V(P) (letra maiúscula).
Exemplo:
p: Um triângulo tem 3 lados. V(p) = 1
q: Santa Catarina é um pais. V(p) = 0
“Lê-se valor lógico de p é igual a 1 (verdadeiro) e valor lógico de q é igual a 0 (falso).
Operadores lógicos
Conectivo de Negação
Seja p uma proposição sua negação é denotada p’ (lê-se não p).
Quando escrevemos p’, também poderemos encontrar as seguintes representações 
Exemplo:
Seja a proposição:
p: João é mecânico.
p’: João não é mecânico.
O valor lógico da negação de uma proposição é definido pela tabela:
 p p'
 0 1
 1 0
Conectivo de Conjunção
Conjunção de duas proposições p e q é uma proposição verdadeira quando V(p) = V(q) = 1, e
falsa nos demais casos, isto é, só é verdadeira quando ambas as componentes forem verdadeiras.
Chamamos este conectivo conjunção, denotaremos p • q e lê-se “p e q”.
Obs.: Quando escrevemos p •Â q, também poderemos encontrar a representação p ^ q.
O valor lógico da conjunção de duas proposições é definido pela tabela:
 p q p .q 
 0 0 0
 0 1 0
 1 0 0
 1 1 1
Exemplos:
Seja a proposição:
p: João é mecânico.
q: João é funileiro.
p . q = João é mecânico e funileiro.
q . p = João é funileiro e mecânico.
p’ . q = João não é mecânico e funileiro.
q’ . p = João não é funileiro e mecânico.
Obs. Neste caso para exemplificar esta operação podemos pensar em um jogo de dados.
Quando jogamos 2 dados e queremos ganhar algum prêmio só será possível se sair os dois
números requisitados.
Vejamos;
Para ganharmos ao lançar dois dados queremos que saia os números 3 e 6.
Olhem a primeira linha da tabela onde temos 0 e 0. Não saiu o 3 e 6, logo não ganhamos.
Na segunda linha da tabela onde temos 0 e 1. Não saiu o 3 e saiu o 6, logo não ganhamos.
Na terceira linha da tabela onde temos 1 e 0. Saiu o 3 e não 6, logo não ganhamos.
Na quarta linha da tabela onde temos 1 e 1. Saiu o 3 e saiu 6, logo ganhamos.
Entenderam?
Então se as proposições p e q forem representadas em forma de conjuntos, por meio de
diagrama, a conjunção corresponderá a intersecção do conjunto p com o conjunto q.
Veja como ficará:
Conectivo de Disjunção
A disjunção de duas proposições p e q é uma proposição falsa quando V(p) = V(q) = 0 e
verdadeira nos demais casos, ou seja, quando pelo menos uma das componentes é verdadeira.
Chamamos este conectivo disjunção ou soma lógica, denotaremos de p e q por p + q, e se lê “p
ou q”.
Obs. Quando escrevemos p + q, também poderemos encontrar a representação p v q.
O valor lógico da disjunção de duas proposições é definido pela tabela:
 p q p+ q
 0 0 0
 0 1 1
 1 0 1
 1 1 1
Exemplo:
Seja a proposição:
p: João é mecânico.
q: João é funileiro.
p + q = João é mecânico ou funileiro.
q + p = João é funileiro ou mecânico.
p’ + q = João não é mecânico ou funileiro.
q’ + p = João não é funileiro ou mecânico.
Agora, neste caso para exemplificar esta operação podemos pensar novamente em um jogo de
dados.
Quando jogamos 2 dados e queremos ganhar algum prêmio só será possível se sair um ou o
outro número requisitado.
Vejamos, para ganharmos queremos que ao lançar os dois dados saia o número 3 ou o número
6.
Na primeira linha da tabela onde temos 0 e 0. Não saiu o 3 nem 6, logo não ganhamos.
Na segunda linha da tabela onde temos 0 e 1. Não saiu o 3 e saiu o 6, logo ganhamos.
Na terceira linha da tabela onde temos 1 e 0. Saiu o 3 e não 6, logo ganhamos.
Na quarta linha da tabela onde temos 1 e 1. Saiu o 3 e saiu 6, logo ganhamos.
Entenderam?
Se as proposições p e q forem representadas por conjuntos por meio de diagrama, a disjunção
corresponderá a união do conjunto p e q.
 
Agora que já vimos várias definições vamos aplica-las desenvolvendo alguns exercícios.
 Continuaremos as aplicações dos conceitos abordados até este momento na resolução de
exercícios propostos.
No fim destes exercícios caso ainda restarem duvidas procurem soluciona-las nos fóruns ou nas
aulas presenciais que teremos.
O Objetivo será agora continuar a apresentar as operações lógicas
Conectivo Condicional
O condicional de duas proposições p e q é uma proposição falsa quando V(p) = 1 e V(q) = 0,
sendo verdadeiros nos demaiscasos. Representa-se o condicional de p e q, por p → q e lê-se “se p
então q”.
O valor lógico da condicional de duas proposições é definido pela tabela:
 p q p → q
 0 0 1
 0 1 1
 1 0 0
 1 1 1
É utilizado sempre que tivermos duas proposições p e q onde q é consequência de p.
Exemplo:
Exemplo:
Seja a proposição:
p: João é mecânico.
q: João é funileiro.
p → q = Se João é mecânico então é funileiro.
q → p = Se João é funileiro então é mecânico.
p’ → q = Se João não é mecânico então é funileiro.
q’ → p = Se João não é funileiro então é mecânico.
Nesta operação existe muita dificuldade em entender o funcionamento.
Para facilitar nosso entendimento vamos trabalhar com a seguinte sentença.
Se nasci em Fortaleza, então sou cearense.
Cada um pode adaptar essa frase acima à sua realidade: troque Fortaleza pelo nome da sua
cidade natal, e troque cearense pelo nome que se dá a quem nasce no seu Estado.
Por exemplo: Se nasci em Belém, então sou paraense.
Se nasci em Niterói, então sou fluminense.
E assim por diante.
Pronto?
Agora, qual é a única maneira de essa proposição estar incorreta?
Ora, só há um jeito de essa frase ser falsa: se a primeira parte for verdadeira, e a segunda for
falsa.
Ou seja, se é verdade que eu nasci em Fortaleza, então necessariamente é verdade que eu sou
cearense.Se alguém disser que é verdadeiro que eu nasci em Fortaleza, e que é falso que eu sou
cearense, então este conjunto estará todo falso.
Percebam que o fato de eu ter nascido em Fortaleza é condição suficiente (basta isso!) para
que se torne um resultado necessário para que eu seja cearense.
Atentem para estas palavras: suficiente e necessário.
Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a
proposição condicional "Se p então q" corresponderá à inclusão do conjunto p no conjunto q (p está
contido em q):
 
Conectivo Bicondicional
O bicondicional de duas proposições p e q é uma proposição verdadeira quando V(p) = V(q) e
falsa quando V(p) ≠ V(q).
Denotaremos o bicondicional de p e q por p ↔ q e lê-se “p se e somente se q”.
O valor lógico da bicondicional de duas proposições é definido pela tabela:
 p q p ↔ q
 0 0 1
 0 1 0
 1 0 0
 1 1 1
Sejam p e q duas proposições.
Se p é condição para q, e q é condição para p temos o bicondicional, denotado por p ↔ q. (lê-se
p se e somente se q).
Exemplo:
p: se eu estudar
q: tirarei boas notas:
p ↔ q Se eu estudar se e somente se tirarei boas notas.
q ↔ p: Tirarei boas notas se e somente se eu estudar.
Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a
proposição bicondicional "p se e somente se q" corresponderá à igualdade dos conjuntos p e q.
 
O Objetivo agora será continuar a desenvolver as aplicações e memorização do conteúdo
anterior.
Vamos desenvolver os exercícios para memorizar bem o conteúdo.
Desenvolvam os exercícios para que possam memorizar o conteúdo abordado.
Referências
BIBLIOGRAFIA BÁSICA:
Daghlian, J. Lógica e álgebra de Boole. 2ª d. São Paulo: Paz e Terra, 1988. 167 p.
Alencar Filho, E. de. Iniciação à lógica matemática. 18ª d. São Paulo: Nobel, 2008. 203 p.
Souza, J.N. de. Lógica para ciência da computação: fundamentos de linguagem, semântica e
sistemas de dedução. Rio de Janeiro: Elsevier, 2002. 309 p.
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR:
Costa, N.C.A. Ensaios sobre os fundamentos da Lógica. 2ª d. São Paulo: Paz e Terra, 1999. 255
p.
Rosen, K.H. Matemática discreta e suas aplicações. 6ª d. São Paulo: McGraw- Hill, 2009. 1008 p.