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Noções lógicas Agora vamos definir o que são proposições simples e compostos e como realizamos a junção entre elas. Podemos utilizar a Lógica no dia-a-dia? Sim, pois a expressão falada é o perfil do pensamento. A representação desta palavra escrita é a justamente o que indagamos. Exemplo: Pedro gosta de churrasco. Noções de lógica A finalidade fundamental de toda programação é estabelecer um algoritmo. O que é Algoritmo? Algoritmo visa estabelecer uma sequência de ligações que tendem abranger um objetivo. (Ordem do Pensamento, portanto, Lógica). Vocês devem notar este nome muito curioso, mas é muito banal em nosso dia-a-dia, como, por exemplo, uma receita de lasanha. Nela está descrita uma série de elementos necessários, um conjunto de diversos passos e ou ações que necessitaremos seguir para que se alcance o determinado tipo de lasanha (objetivo bem definido). O principal objetivo da lógica é constituir uma linguagem formal. Proposições lógicas São somente frases declarativas (com sujeito, predicado definidos e verbos), frases com sujeito oculto não são proposições. Exemplos de proposições lógicas válidas: O Brasil é um país do continente americano. A lua é um satélite da terra. Pedro examina o trabalha. Duas retas de um plano são paralelas ou incidentes. Se Pedro estuda, então tem êxito na escola. Pedro irá ao cinema se e somente se conseguir dinheiro. Agora, vejamos uma sentença inválida como proposição: Três mais quatro. Neste caso verificamos que existe o sujeito e não temos o predicado. Aonde você vai? Neste caso podemos verificar a existência da sentença interrogativa, não consideramos uma proposição. Os jovens praticam esportes. O sujeito não está claramente especificado e a sentença não pode ser classificada em V (1) ou F (0). Serei campeão. (eu sujeito oculto) sentença aberta, não se sabe quem é o sujeito, não é válida como uma proposição lógica. Podemos verificar que existem proposições simples ou compostas. Proposição simples não contém outra proposição como integrante. Proposição composta é formada por duas ou mais proposições relacionadas pelos conectivos lógicos. Notação: P(p, q, r,...) indicamos as proposição composta com letras maiúsculas “(P) de proposição composta” e é formada pelas proposições simples p, q, r, ... Obs. lembramos que estas letras representam as proposições simples e podem ser qualquer letra do nosso alfabeto e no nosso caso as mais utilizadas são p, q, r, ... Exemplos de proposição simples: p: São Paulo fica na América do Norte. q: O número 9 é quadrado perfeito. Exemplos proposições compostas: P: 5 - 2 = 3 e 2 ≠ 1 Q: 1 + 2 = 3 ou 2 ≠ 1 R: Se 5 - 2 = 3, então 2 ≠ 1 Conceitos Preliminares. Notação: P(p, q, r,...) indica que a proposição composta P é formada pelas proposições simples p, q, r, ... Princípios fundamentais da lógica. Princípio da não contradição é quando uma proposição nunca assume simultaneamente o valor lógico "0" e “1”. Princípios do terceiro excluído é quando toda proposição ou é só “0” ou é “1”, nunca ocorrendo um terceiro caso. De acordo com esses princípios, podemos afirmar que toda proposição admite um e um só dos valores 1 ou 0. Chamam-se conectivos lógicos palavras ou expressões que se unem para formar novas proposições, a partir de proposições dadas. Apresentamos abaixo algumas proposições compostas com diferentes conectivos. P: O número quatro é quadrado perfeito e o número três é ímpar. Q: O triângulo ABC é retângulo ou isóscele. R: Se João estuda, então sabe a matéria. Valor lógico da proposição Notação:O valor lógico de uma proposição simples indicamos por V(p) e composta indicamos por V(P) (letra maiúscula). Exemplo: p: Um triângulo tem 3 lados. V(p) = 1 q: Santa Catarina é um pais. V(p) = 0 “Lê-se valor lógico de p é igual a 1 (verdadeiro) e valor lógico de q é igual a 0 (falso). Operadores lógicos Conectivo de Negação Seja p uma proposição sua negação é denotada p’ (lê-se não p). Quando escrevemos p’, também poderemos encontrar as seguintes representações Exemplo: Seja a proposição: p: João é mecânico. p’: João não é mecânico. O valor lógico da negação de uma proposição é definido pela tabela: p p' 0 1 1 0 Conectivo de Conjunção Conjunção de duas proposições p e q é uma proposição verdadeira quando V(p) = V(q) = 1, e falsa nos demais casos, isto é, só é verdadeira quando ambas as componentes forem verdadeiras. Chamamos este conectivo conjunção, denotaremos p • q e lê-se “p e q”. Obs.: Quando escrevemos p •Â q, também poderemos encontrar a representação p ^ q. O valor lógico da conjunção de duas proposições é definido pela tabela: p q p .q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Exemplos: Seja a proposição: p: João é mecânico. q: João é funileiro. p . q = João é mecânico e funileiro. q . p = João é funileiro e mecânico. p’ . q = João não é mecânico e funileiro. q’ . p = João não é funileiro e mecânico. Obs. Neste caso para exemplificar esta operação podemos pensar em um jogo de dados. Quando jogamos 2 dados e queremos ganhar algum prêmio só será possível se sair os dois números requisitados. Vejamos; Para ganharmos ao lançar dois dados queremos que saia os números 3 e 6. Olhem a primeira linha da tabela onde temos 0 e 0. Não saiu o 3 e 6, logo não ganhamos. Na segunda linha da tabela onde temos 0 e 1. Não saiu o 3 e saiu o 6, logo não ganhamos. Na terceira linha da tabela onde temos 1 e 0. Saiu o 3 e não 6, logo não ganhamos. Na quarta linha da tabela onde temos 1 e 1. Saiu o 3 e saiu 6, logo ganhamos. Entenderam? Então se as proposições p e q forem representadas em forma de conjuntos, por meio de diagrama, a conjunção corresponderá a intersecção do conjunto p com o conjunto q. Veja como ficará: Conectivo de Disjunção A disjunção de duas proposições p e q é uma proposição falsa quando V(p) = V(q) = 0 e verdadeira nos demais casos, ou seja, quando pelo menos uma das componentes é verdadeira. Chamamos este conectivo disjunção ou soma lógica, denotaremos de p e q por p + q, e se lê “p ou q”. Obs. Quando escrevemos p + q, também poderemos encontrar a representação p v q. O valor lógico da disjunção de duas proposições é definido pela tabela: p q p+ q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Exemplo: Seja a proposição: p: João é mecânico. q: João é funileiro. p + q = João é mecânico ou funileiro. q + p = João é funileiro ou mecânico. p’ + q = João não é mecânico ou funileiro. q’ + p = João não é funileiro ou mecânico. Agora, neste caso para exemplificar esta operação podemos pensar novamente em um jogo de dados. Quando jogamos 2 dados e queremos ganhar algum prêmio só será possível se sair um ou o outro número requisitado. Vejamos, para ganharmos queremos que ao lançar os dois dados saia o número 3 ou o número 6. Na primeira linha da tabela onde temos 0 e 0. Não saiu o 3 nem 6, logo não ganhamos. Na segunda linha da tabela onde temos 0 e 1. Não saiu o 3 e saiu o 6, logo ganhamos. Na terceira linha da tabela onde temos 1 e 0. Saiu o 3 e não 6, logo ganhamos. Na quarta linha da tabela onde temos 1 e 1. Saiu o 3 e saiu 6, logo ganhamos. Entenderam? Se as proposições p e q forem representadas por conjuntos por meio de diagrama, a disjunção corresponderá a união do conjunto p e q. Agora que já vimos várias definições vamos aplica-las desenvolvendo alguns exercícios. Continuaremos as aplicações dos conceitos abordados até este momento na resolução de exercícios propostos. No fim destes exercícios caso ainda restarem duvidas procurem soluciona-las nos fóruns ou nas aulas presenciais que teremos. O Objetivo será agora continuar a apresentar as operações lógicas Conectivo Condicional O condicional de duas proposições p e q é uma proposição falsa quando V(p) = 1 e V(q) = 0, sendo verdadeiros nos demaiscasos. Representa-se o condicional de p e q, por p → q e lê-se “se p então q”. O valor lógico da condicional de duas proposições é definido pela tabela: p q p → q 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 É utilizado sempre que tivermos duas proposições p e q onde q é consequência de p. Exemplo: Exemplo: Seja a proposição: p: João é mecânico. q: João é funileiro. p → q = Se João é mecânico então é funileiro. q → p = Se João é funileiro então é mecânico. p’ → q = Se João não é mecânico então é funileiro. q’ → p = Se João não é funileiro então é mecânico. Nesta operação existe muita dificuldade em entender o funcionamento. Para facilitar nosso entendimento vamos trabalhar com a seguinte sentença. Se nasci em Fortaleza, então sou cearense. Cada um pode adaptar essa frase acima à sua realidade: troque Fortaleza pelo nome da sua cidade natal, e troque cearense pelo nome que se dá a quem nasce no seu Estado. Por exemplo: Se nasci em Belém, então sou paraense. Se nasci em Niterói, então sou fluminense. E assim por diante. Pronto? Agora, qual é a única maneira de essa proposição estar incorreta? Ora, só há um jeito de essa frase ser falsa: se a primeira parte for verdadeira, e a segunda for falsa. Ou seja, se é verdade que eu nasci em Fortaleza, então necessariamente é verdade que eu sou cearense.Se alguém disser que é verdadeiro que eu nasci em Fortaleza, e que é falso que eu sou cearense, então este conjunto estará todo falso. Percebam que o fato de eu ter nascido em Fortaleza é condição suficiente (basta isso!) para que se torne um resultado necessário para que eu seja cearense. Atentem para estas palavras: suficiente e necessário. Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a proposição condicional "Se p então q" corresponderá à inclusão do conjunto p no conjunto q (p está contido em q): Conectivo Bicondicional O bicondicional de duas proposições p e q é uma proposição verdadeira quando V(p) = V(q) e falsa quando V(p) ≠ V(q). Denotaremos o bicondicional de p e q por p ↔ q e lê-se “p se e somente se q”. O valor lógico da bicondicional de duas proposições é definido pela tabela: p q p ↔ q 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Sejam p e q duas proposições. Se p é condição para q, e q é condição para p temos o bicondicional, denotado por p ↔ q. (lê-se p se e somente se q). Exemplo: p: se eu estudar q: tirarei boas notas: p ↔ q Se eu estudar se e somente se tirarei boas notas. q ↔ p: Tirarei boas notas se e somente se eu estudar. Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a proposição bicondicional "p se e somente se q" corresponderá à igualdade dos conjuntos p e q. O Objetivo agora será continuar a desenvolver as aplicações e memorização do conteúdo anterior. Vamos desenvolver os exercícios para memorizar bem o conteúdo. Desenvolvam os exercícios para que possam memorizar o conteúdo abordado. Referências BIBLIOGRAFIA BÁSICA: Daghlian, J. Lógica e álgebra de Boole. 2ª d. São Paulo: Paz e Terra, 1988. 167 p. Alencar Filho, E. de. Iniciação à lógica matemática. 18ª d. São Paulo: Nobel, 2008. 203 p. Souza, J.N. de. Lógica para ciência da computação: fundamentos de linguagem, semântica e sistemas de dedução. Rio de Janeiro: Elsevier, 2002. 309 p. BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR: Costa, N.C.A. Ensaios sobre os fundamentos da Lógica. 2ª d. São Paulo: Paz e Terra, 1999. 255 p. Rosen, K.H. Matemática discreta e suas aplicações. 6ª d. São Paulo: McGraw- Hill, 2009. 1008 p.
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