exercícios derivadas taxa de variação calculo I

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UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS 
Ciências Exatas e Tecnológicas 
 
Taxa de variação - Exercícios 
 
1) Sabemos que a área de um quadrado é função de seu lado.Determine: 
 
(a) a taxa de variação média da área de um quadrado em relação ao lado quando este varia 
de 2,5 a 3 m; R: 5,5 
(b) a taxa de variação da área em relação ao lado quando este mede 4m. R: 8 
(FLEMMING E GONÇALVES, 1992, p. 245) 
 
2) Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o 
número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo 
t
(medido em dias a partir do 
primeiro dia da epidemia) é, aproximadamente, dado por 
 
3
64)(
3
tttf 
. 
(a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo 
t
= 4 ? R: 48 pessoas/dia 
(b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo 
t
= 8 ? R: 0 (epidemia controlada) 
(c) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5º dia ? 43. 
(FLEMMING E GONÇALVES, 1992, p. 246) 
 
3) Analistas de produção verificaram que em uma montadora 
x
, o número de peças produzidas 
nas primeiras 
t
 horas diárias de trabalho é dado por 










84),1(200
40),(50
)(
2
tparat
tparatt
tf 
 
(a) Qual a razão de produção (em unidades por hora) após 3 horas de trabalho? E após 7 
horas? R: 350 peças/hora de trabalho; 200 peças/hora de trabalho 
(b) Quantas peças são produzidas na 8ª hora de trabalho? R: 200. 
(FLEMMING E GONÇALVES, 1992, p. 248) 
 
 
4) Um reservatório de água está sendo esvaziado para limpeza. A quantidade de água no 
reservatório, em litros, 
t
horas após o escoamento ter começado é dada por 
2)80(50 tV 
. 
Determinar: 
(a) A taxa de variação média do volume de água no reservatório durante as 10 primeiras 
horas de escoamento. R: -7500l/hora. 
(b) A taxa de variação do volume de água no reservatório após 8 horas de escoamento. 
R: -7200l/h. 
(c) A quantidade de água que sai do reservatório nas 5 primeiras horas de escoamento. R: 
38750l. 
 
 
5) Numa granja experimental, constatou-se que uma ave em desenvolvimento pesa em grama 








,9060;6044,24
600;)4(
2
1
20
)(
2
tt
tt
tW
 
onde 
t
é medido em dias. 
(a) Qual a razão de aumento do peso da ave quando 
t
= 50? R: 54 g/dia 
(b) Quanto a ave aumentará no 51º dia ? R: 54,5 g 
(c) Qual a razão de aumento do peso quando 
t
= 80 ? R: 24,4 g/dia 
(FLEMMING E GONÇALVES, 1992, p. 256) 
 
 
6) Uma piscina está sendo drenada para limpeza. Se o seu volume de água inicial era de 
90.000 litros e depois de um tempo de 
t
 horas este volume diminuiu 2500 t²litros, determinar: 
 
(a) tempo necessário para o esvaziamento da piscina; R: 6 horas 
(b) taxa média de escoamento no intervalo 
 5,2
; R: 17500 litros/hora 
(c) taxa de escoamento depois de 2 horas do início do processo. R: 10000 litros/hora 
(FLEMMING E GONÇALVES, 1992, p. 256) 
 
 
7) Numa pequena comunidade obteve-se uma estimativa que daqui a 
t
 anos a população 
será de 
1
5
20)(


t
tp
milhares. 
 
(a) Daqui a 18 meses, qual será a taxa de variação da população desta comunidade? 
R: 0,8 milhares de pessoas/ano. 
(b) Qual será a variação real sofrida durante o 18º mês? R: 0,068 milhares de pessoas. 
(FLEMMING E GONÇALVES, 1992, p. 257) 
 
 
8) Um tanque contém inicialmente 20 litros de água. Abre-se uma torneira e esta despeja 5 
litros de água por minuto dentro deste tanque. Qual o volume de água no tanque: 
a) após 13 minutos? R: 85 l 
b) após t minutos? 
c) Qual a taxa de variação do volume V em relação ao tempo t? R: 5litros/min 
 
 
 
9) Um corpo se move em movimento retilíneo segundo a lei S = 
2tt
2
1 3 
, onde S é a distância 
em metros e t o tempo em segundos. Determine sua velocidade e aceleração ao final de 2 
segundos. R: 4m/s e 6m/s². 
 
 
10) O caminho percorrido por uma partícula sobre uma reta é dado por: S = t3 – 6t2 + 9t + 4, 
onde S é medido em metros e o tempo em segundos. Determine a velocidade da partícula no 
momento em que a aceleração é nula. R: -3m/s. 
 
11) Um corpo se move em linha reta, de modo que sua posição no instante 
t
é dada por 
216)( tttf 
, 
80  t
, onde o tempo é dado em segundos e a distância em metros. 
 
(a) Achar a velocidade média durante os intervalos 
 1,3;3
, 
 01,3;3
 e 
 001,3;3
. R: 22,1 m/s; 
22,01m/s; 22,001 m/s 
(b) Determinar a velocidade do corpo num instante qualquer t. Achar a velocidade do corpo 
no instante 
t
= 3. R: 22m/s 
(c) Determinar a aceleração no instante 
t
. 
(FLEMMING E GONÇALVES, 1992, p. 255) 
 
 
12) A posição de uma partícula que se move no eixo dos 
x
 depende do tempo de acordo com a 
equação 
323 ttx 
, em que 
x
 vem expresso em metros e 
t
em segundos. 
 
(a) Qual é o seu deslocamento depois dos primeiros 4 segundos? R: -16m 
(b) Qual a velocidade da partícula ao terminar cada um dos 4 primeiros segundos? 
R: -24m/s. 
(c) Qual é a aceleração da partícula em cada um dos 4 primeiros segundos? R: -18m/s² 
(FLEMMING E GONÇALVES, 1992, p. 255)