CONJUNTOS NUMÉRICOS

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CONJUNTOS NUMÉRICOS – 1.ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO
Os conjuntos numéricos são agrupamentos matemáticos para classificar os números conforme suas características. Eles reúnem diversos conjuntos cujos elementos são números. 
O ramo da matemática que estuda os conjuntos numéricos é a Teoria dos Conjuntos. Eles surgiram e se desenvolveram conforme a necessidade humana, e sua história caminha com a história da Matemática. Esse conhecimento é necessário para entender, por exemplo, o domínio de funções, as possibilidades de valores que podem ser atribuídos a cada grandeza e muito mais. 
Os conjuntos numéricos são formados pelos números naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e complexos. Todos estes conjuntos numéricos são infinitos.
Obs.: O conjunto dos números complexos será visto no 2.° semestre.
1. Conjunto dos números naturais ()
É considerado o primeiro conjunto numérico estudado. Ele é formado pelos números que usamos para contar. Neste conjunto, há apenas números inteiros e não-negativos. Portanto, ele é denotado por , de forma que
Por muito tempo, o conjunto dos números naturais foi escrito sem a presença do zero. Atualmente, é mais comum escrevermos essa forma como (como é visto em múltiplos livros), em que o asterisco (*) indica a exclusão do zero. Então,
2. Conjunto dos números inteiros (
O conjunto dos números inteiros possui números negativos, o zero e os números positivos, não possuindo parte fracionária. Vale mencionar que ele é denotado por , de modo que
Pela sua definição, tem-se que . Isso pode ser mais bem observado pelo diagrama de Venn a seguir. 
Propriedades
Propriedade 1. Todo número natural é um número inteiro.
Propriedade 2. A soma, subtração e multiplicação entre números inteiros gera um número inteiro.
Subconjuntos importantes
Os subconjuntos a seguir são importantes porque eles excluem determinados tipos de elementos dentro do conjunto dos números inteiros através do uso de símbolos, entre os quais utiliza-se:
a) Asterisco (*), para indicar a ausência do zero; 
b) Positivo (+), para sinalizar a falta dos números negativos, e;
c) Negativo (-) para simbolizar a omissão dos números positivos. 
Exemplo 1. => conjunto dos números inteiros não-nulos.
Exemplo 2. => conjunto dos números inteiros não-negativos. Como o símbolo + indica a exclusão apenas dos números negativos, mantemos o zero.
Exemplo 3. => conjunto dos números inteiros positivos.
Exemplo 4. => conjunto dos números inteiros não-positivos.
Exemplo 5. => conjunto dos números inteiros negativos.
3. Conjunto dos números racionais ()
O conjunto dos números racionais é formado por todos os números que podem ser representados como uma fração. Ele é denotado por , de modo que
Pela sua definição, tem-se que . Essa característica pode ser vista de forma nítida por meio do Diagrama de Venn ao lado. 
Geralmente, no contexto das equações e inequações, consideramos este conjunto como igual ao conjunto universo.
Propriedades
Propriedade 1. (Definição) Todo número natural e/ou inteiro é racional.
Propriedade 2. (Definição) Todo número decimal exato e toda dízima periódica são racionais.
Propriedade 3. A realização das quatro operações básicas entre os números racionais, de modo que o divisor seja diferente de zero na divisão, retorna um número racional.
Subconjuntos importantes
Os subconjuntos a seguir são importantes, visto que eles excluem determinados tipos de elementos dentro do conjunto dos racionais através do uso dos símbolos asterisco (*), positivo (+) e negativo (-).
Exemplo 6. => conjunto dos números racionais não-nulos.
Exemplo 7. => conjunto dos números racionais não-negativos. Como o símbolo + indica a exclusão apenas dos números negativos, o zero é mantido.
Exemplo 8. => conjunto dos números racionais positivos.
Exemplo 9. => conjunto dos números racionais não-positivos.
Exemplo 10. => conjunto dos números racionais negativos.
4. Conjunto dos números irracionais (I)
O conjunto dos números irracionais é formado por números que não podem ser escritos sob a forma de fração, sendo números decimais infinitos e não periódicos. Uma notação possível para esse conjunto é I, tal que
de forma que corresponde ao conjunto dos números reais. Pela sua definição, este conjunto não contém números racionais, como pode ser visto na representação a seguir. 
Exemplos de irracionais conhecidos na matemática são , a razão áurea, Φ, sendo aproximadamente 1,618 e obtido por meio da razão
e a constante de Euler e, sendo aproximadamente 2,78 e obtido através da soma da série infinita
Saiba mais
Na Antiguidade, os gregos acreditavam que os números racionais poderiam ser usados para resolver qualquer problema de matemática. Entretanto, ainda durante esse período, foi provado que raízes não exatas não poderiam ser representadas em forma de fração, sendo irracionais. E como isso ocorreu? Veja a demonstração a seguir!1 cm
Prova. Vamos utilizar um quadrado de lado 1 cm. Tracemos
uma diagonal sobre ele; buscaremos pelo seu comprimento.
Pelo Teorema de Pitágoras, tem-se que
 => => . Suponha que 
seja racional, então , onde . Suponha também
que essa fração é irredutível. Elevando ao quadrado os dois 
membros da igualdade, obtemos , ou . 1 cm
1 cm
1 cm
Perceba que essa igualdade provoca que ambas as expressões representem um mesmo número par, isto é, a é par e, portanto, a = 2k, onde Substituindo essa igualdade na equação anterior, temos que . Ambas as expressões possuem 2 como fator comum, então . Pelo raciocínio análogo, note que a igualdade faz com que b também seja par; desta forma, deve existir um inteiro n tal que . Então . Entretanto, nesse caso, a fração seria redutível, contradizendo nossa suposição. Logo, é irracional.
5. Conjunto dos números reais ()
O conjunto dos números reais é formado pela união entre os números racionais e os irracionais, sendo representado por . Desta forma, . 
Através da imagem ao lado, pode-se verificar a propriedade a seguir.
Propriedade. (Definição) Todo número natural, inteiro, racional ou irracional é um número real.
Subconjuntos importantes
Os subconjuntos a seguir são importantes, porque eles excluem determinados tipos de elementos dentro do conjunto dos reais por meio do uso dos símbolos asterisco (*), positivo (+) e negativo (-).
Exemplo 6. => conjunto dos números reais não-nulos.
Exemplo 7. => conjunto dos números reais não-negativos. Como o símbolo + indica a exclusão apenas dos números negativos, o zero é mantido.
Exemplo 8. => conjunto dos números reais positivos.
Exemplo 9. => conjunto dos números reais não-positivos.
Exemplo 10. => conjunto dos números reais negativos.
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