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Exercício 1 : 
Considerando as forças de maré como ilustrado na figura. Mostre que a força 
de maré F ∝ 1/r3
r
R
Exercício 2
A partir dos dados do exemplo 2, determine a contribuição do Sol para para o 
momento angular orbital total do sistema Sol-Júpiter. Assuma por 
simplicidade que a excentricidade do Sol e = 0. Sugestão: primeiro encontre a 
distância do centro do Sol ao centro de massa do sistema.	
!
Calculemos então a distância do Sol ao centro de massa, que é a⊙ = μa/M⊙, 
substituindo os valores temos	
a⊙ = 1.897 x 1027 x 7.786 x 1011 / 1.989 x 1030 = 7.426 x 108 m	
a velocidade orbital do Sol calculamos da seguinte forma	
v⊙ = 2π a⊙ /PJ =(2 x 3.14 x 7.426 x 108) / (11.86 x 3.15 x 107) = 1.306 x 104 m s-1	
assumindo órbita circular temos que 	
!
L(órbita do Sol) = M⊙ a⊙ v⊙ = 1.840 x 1040 kg m2 s-1	
comparando ao momento angular total (1.927 x 1043 kg m2 s-1 ), vemos que o 
Sol contribui de maneira desprezível para o momento angular total.
Exercício 3
Estime a massa da nossa Galáxia sabendo que o Sol orbita o centro do sistema 
com um período de 250 milhões de anos. A distância média do Sol ao centro da 
Galáxia é cerca de 30000 anos-luz. Expressar a massa em unidades de massa 
do Sol.	
(G = 6.67 x 10-11 m3 kg-1 s-2, lembrar que 1 ano-luz é a distância que a luz 
percorre durante 1 ano, c = 300000 km/s)	
!
convertendo anos-luz em m, temos que a = 3.0 x 104 x 9.46 x 1015 = 2.8 x 1020 m	
T = 2.5 x 108 x 3.15 x 107 seg	
!
M = 4π2a3 / GT2 = 39.47 x 21.95 x 1060 / 6.67 x 10-11 x 61.93 x 1030 	
 = 2.097 x 1041 kg e como 1 M⊙ = 1.98 x 1030 kg então	
M(galáxia) = 1.06 x 1011 M⊙
A Lua de Marte, Fobos, possui um período de 460 minutos e um raio orbital 
médio de 9400 km. Qual é a massa de Marte ? expressar em unidades de 
massa da Terra. (M⊕ = 5.972 x 1024 kg)	
!
Aplicando a terceira lei de Kepler temos	
!
T = 460 min = 2.76 x 104 seg e a = 9.4 x 106 m	
!
M = 4π2a3 / GT2 = 39.47 x (9.4 x 106)2 / 6.67 x 10-11 x (2.76 x 104)2	
 = 39.47 x 830.5 x 1018 / 6.67 x 10-11 x 7.61 x 108 	
 = 6.46 x 1023 kg e em termos da massa da Terra = 0.108 M⊕
Exercício 4
Exercício 5
O asteróide Ícaro, descoberto em 1949, recebeu este nome por causa de sua 
órbita elíptica de grande excentricidade que o traz próximo ao Sol no periélio. 
Ícaro tem uma excentricidade de 0.83 e um período de 1.1 ano. (a) Determine o 
semi-eixo maior da órbita de Ícaro. (b) Determine as distâncias do periélio e do 
afélio da órbita de Ícaro.	
!
Aplicando a terceira lei de Kepler temos	
!
a3 = MGT2 / 4π2 = 1.99 x 1030 x 6.67 x 10-11 x (3.47 x 107)2	
 = 4.05 x 1033 => a = 1.594 x 1011 m	
!
rp = a (1-e) = 1.594 x 1011 x 0.17 = 2.7 x 1010 m	
!
ra = a (1+e) = 1.594 x 1011 x 1.83 = 2.9 x 1011 m