Derivadas e Integrais

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
GABARITO – AP2 – Métodos Determinísticos II – 1/2025
Código da disciplina EAD06077
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES 1 E 2.
Considere a função f (x) =p
x.
Questão 1: [2,0 pts] Use somente a definição de derivada para calcular a expressão de f ′(x).
Solução: A definição de derivada é dada por
f ′(x) = lim
h→0
f (x +h)− f (x)
h
.
Dessa forma,
f ′(x) = lim
h→0
f (x +h)− f (x)
h
= lim
h→0
p
x +h −p
x
h
= lim
h→0
p
x +h −p
x
h
· (
p
x +h +p
x)
(
p
x +h +p
x)
= lim
h→0
(
p
x +h −p
x)(
p
x +h +p
x)
h(
p
x +h +p
x)
= lim
h→0
(x +h)−x
h(
p
x +h +p
x)
= lim
h→0
h
h(
p
x +h +p
x)
= lim
h→0
1p
x +h +p
x
= 1p
x +p
x
= 1
2
p
x
.
Portanto, a derivada de f (x) =p
x é dada por f ′(x) = 1
2
p
x
.
Questão 2: [1,0 pto] Encontre o domínio de f ′(x).
Solução: Pelo que vimos na questão anterior, temos que f ′(x) = 1
2
p
x
. Logo, Dom( f ′)= (0,+∞) ou, equiva-
lentemente, Dom( f ′)= {x ∈R : x > 0}.
Questão 3: [1,0 pto] Considere f e g duas funções deriváveis. Se f (5) = 1, f ′(5) = 6, g (5) = −3 e g ′(5) = 2,
calcule o valor de
(
g
f
)′
(5).
Solução: Pela Regra do Quociente, temos que(
g
f
)′
(5) = g ′(5) f (5)− g (5) f ′(5)
[ f (5)]2 = 2 ·1− (−3 ·6)
12 = 2− (−18)
1
= 2+18 = 20.
Logo,
(
g
f
)′
(5) = 20.
Questão 4: [2,0 pts] Considere a função g :R→R definida por:
g (x) = 2+ (x −5)3.
Mostre que 5 é um número crítico de g , mas que g não tem extremo local em x = 5.
Solução: De fato, g é função polinomial e, portanto, é derivável para todo número real. Assim, seus núme-
ros críticos ocorrem apenas para valores de x tais que g ′(x) = 0.
Pela Regra da Cadeia, temos que g ′(x) = 3(x −5)2. Portanto,
g ′(x) = 0 ⇔ 3(x −5)2 = 0 ⇔ x = 5.
Assim, x = 5 é número crítico de g .
Para concluir que g não tem valor de extremo local em x = 5, basta observar que
g ′(x) = 3(x −5)2 ≥ 0, ∀x ∈R.
Daí, g ′(x) > 0 para todo x ̸= 5. Isso significa que g ′ não muda de sinal em qualquer vizinhança de x = 5,
donde g não pode ter um extremo local aí, o que encerra a demonstração.
Questão 5: [2,0 pts] Calcule a integral definida
∫ 2
1
e1/x
x2 d x.
Solução: Seja u = 1
x
. Então du = − 1
x2 d x. Quando x = 1, temos que u = 1; quando x = 2, segue que u = 1
2 .
Portanto, ∫ 2
1
e1/x
x2 d x =
∫ 1
2
− 1
x2 e1/x d x =
∫ 1
1/2
eudu = e1 −e1/2 = e −p
e.
Questão 6: [2,0 pts] Calcule a integral indefinida
∫
ln(2x +1)d x.
Solução: Considere w = 2x +1. Logo, d w = 2d x. Dessa forma, a integral do enunciado pode ser reescrita
como sendo
1
2
∫
ln(w)d w . Para calcular a integral
∫
ln(w)d w , utilizaremos a integração por partes. Assim,
sejam u = ln(w) e v = w . Então du = 1
w
d w e d v = d w . Portanto,
∫
ln(w)d w = w ln(w)−
∫
w · 1
w
d w = w ln(w)−
∫
d w = w ln(w)−w +C .
Logo, ∫
ln(2x +1)d x = 1
2
(2x +1)ln(2x +1)− 1
2
(2x +1)+C = 1
2
(2x +1)ln(2x +1)−x − 1
2
+C .
2