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d
Soluções Capítulo 4
1 - Mostre que a equação de onda ∂2Ψ/∂x2-(1/c2)(∂2Ψ/∂t2) = 0 é invariante sob 
transformação de Lorentz, mas não é invariante sob transformação de Galileo.
equação de onda 
a p l i c a n d o a s 
transformações de 
Lorentz ⎨
Aplicando a derivada 
d u a s v e z e s , a s 
c o m p o n e n t e s d a 
equação de onda são:
Assim temos que 
vemos que a equação de 
onda não altera sua forma
d
Soluções
2 - No referencial S, dois elétrons se aproximam um do outro, cada um com velocidade 
v = c/2. Qual a velocidade relativa dos dois elétrons ?	
!
A velocidade relativa dos dois elétrons é a velocidade de um dos elétrons no sistema de 
referencia onde o outro elétron está em repouso. Consideremos o sistema Sʹ que se 
move com velocidade c/2 na direção x-. Neste sistema um dos elétrons está em repouso 
e o outro está se movendo na direção x. A velocidade do elétron que se move no 
sistema Sʹ é então:
d
Soluções
3- Um píon é criado numa colisão de partículas com uma velocidade tal que γ = 100, 
e é observado viajar uma distância de 300m antes de decair espontaneamente. Por 
quanto tempo o píon existe em seu referencial de repouso ?
O tempo de vida no referencial onde o píon 
atravessa 300m é
O tempo de vida do píon no referencial em 
repouso, o tempo próprio é:
d
Soluções
4- No acelerador LEP no CERN, elétrons são acelerados a energias de cerca de 50 
GeV. Por quanto a velocidade dos elétrons desvia da velocidade da luz, c ?
A velocidade do elétron é:
o desvio da velocidade da luz pode ser medido 
como:
d
Soluções
5 - Uma partícula em repouso com massa M decai em duas partículas de massas 
iguais. Calcule a velocidade das duas partículas que são criadas após o decaimento. 
De uma resposta numérica para o caso de um méson rho (M = 770 MeV/c2) em dois 
píons carregados (m = 140 MeV/c2).
O fator γ é
A velocidade do píon é dada por
para o decaimento de um rho em dois píons
d
Soluções
6 - Mostre que a massa de uma partícula é inalterada por transformação de Lorentz.	
!Usamos aqui as transformações de velocidade dadas pelas equações 2.13,2.14 e 
2.15. Lembrando que nestas transformações embora o movimento seja somente na 
direção x, yʹ e zʹ não são alterados mas as velocidades nestas direções são porque a 
coordenada tʹ não é igual a t. Assim, as equações de transformação das velocidades, 
a equação da energia E = 𝛾mc2, além da equação do momentum p = 𝛾mv nos levam 
a 	
 Eʹ = 𝛾E - β𝛾pxc 	
 pxʹc = - β𝛾E + 𝛾pxc	
 pyʹc = pyc	
 pzʹc = pzc	
!
onde β = v/c e 𝛾 é o fator de Lorentz	
!A energia relativística da partícula ao quadrado será (mʹc2)2 é :
Soluções
7 -Um astronauta numa nave espacial viaja até α-Centaurus, que está a uma 
distância de 4 anos-luz medido a partir da Terra, a uma velocidade u/c = 0.8. a) 
Quanto tempo demora a viagem a α-Centaurus medido por um relógio na Terra ?; b) 
Quanto tempo demora a viagem a α-Centaurus medido pelo piloto da nave 
espacial ?	
!
Para este problema (1-u2/c2)1/2 = 0.6 e lembremos que quando as distâncias são 
dadas em anos-luz, então c = 1 anos-luz por ano. Sendo assim:	
!
a) neste caso os dois eventos são a nave saindo da Terra e a nave chegando em α-
Centaurus. Para um observador na Terra os eventos ocorrem em diferentes 
localizações, logo Δt_em movimento = (4 anos-luz)/(0.8c) = 5 anos	
!
b) O piloto da nave está em repouso relativo aos dois eventos e assim para o piloto	
Δt_repouso = Δt_em movimento x (1-u2/c2)1/2 = 5 x 0.6 = 3 anos.
Soluções
8 - Considere o intervalo no espaçotempo dado pela equação 	
 (Δs)2 = (cΔt)2 - (Δx)2 - (Δy)2 - (Δz)2 	
!
Se (Δs)2 <0 o intervalo é tipo espaço, qual o significado físico de (-(Δs)2 )1/2 ?	
!
!
!
!
!
O comprimento próprio de um objeto é obtido medindo a diferença nas posições de 
seus extremos em um dado tempo. Logo, Δt = 0 e neste caso o comprimento próprio 
será dado por (-(Δs)2 )1/2.
Soluções
	 1.	B e E simultaneamente, depois D, depois A, depois C. 	 
	 2.	E, depois D, depois B, depois A e C simultaneamente. 	 
	 3.	B, depois A, depois D, depois E, depois C. 	 
	 4.	B, depois D, depois E, depois A e C simultaneamente. 	 
9 - O diagrama espaçotempo mostra 5 estrelas que explodem 
como supernovas (SN) nos pontos A,B,C,D e E. Estas supernovas 
são observadas por astrônomos na Terra e também por cientistas 
a bordo de uma nave que move-se rapidamente. As linhas de 
Universo da Terra e da nave são mostradas na figura. Responda 
às seguintes perguntas:	
!
1 - em que ordem cronológica as 5 SNs ocorrem no sistema de 
referência da Terra ?	
2 - em que ordem cronológica as 5 SNs ocorrem no sistema de 
referência da nave	
3 - em que ordem cronológica os astrônomos na Terra vêm as 
SNs ?	
4 - em que ordem cronológica os cientistas na nave vêm as 
supernovas ?
Soluções
10- Como medido num sistema de referencia Sʹ, uma fonte de luz está em repouso e 
irradia em todas as direções igualmente. Em particular, metade da luz é emitida 
sobre um hemisfério (xʹ positivo). Nesta situação quão diferente será a forma do 
feixe de luz como visto do referencia S, o qual mede a fonte de luz viajando na 
direção de x positivo com uma velocidade relativística u ?	
!
!Notemos que um raio de luz perpendicular a x medido em Sʹ tem vxʹ = vzʹ= 0 e vyʹ = 
c
Como medido em S, o raio de luz não viaja perpendicular ao eixo-x. Para u/c próximo a 
1, o angulo θ será dado por sen θ = vy/c, onde