MECANICA DOS SOLOS E FUNDACOES - Unidade III

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MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
Unidade III
7 FUNDAÇÕES
As fundações são convencionalmente classificadas em dois grandes grupos: as superficiais (diretas, 
rasas) e as profundas.
Fundações superficiais são utilizadas quando as camadas de solo imediatamente abaixo da estrutura 
são capazes de suportar as cargas. Caso contrário, será necessário recorrer a camadas profundas mais 
resistentes, empregando-se as fundações profundas.
Ao se executar um projeto de engenharia civil, uma questão sempre presente é o solo sobre o qual 
a obra será assentada. Enquanto os diversos materiais comumente empregados na construção da obra 
têm suas características previamente especificadas em relação a sua resistência mecânica, o solo deve 
ser aceito tal como se apresenta.
Portanto, ao se elaborar um projeto de fundações é fundamental o conhecimento adequado do 
subsolo mediante a identificação das diversas camadas componentes do subsolo analisado, assim como 
a determinação das suas propriedades de engenharia. Para um projeto de fundações bem elaborado, de 
forma a poder prever o comportamento do subsolo sob o carregamento da obra, é necessário conhecer: 
os tipos de solos que ocorrem no subsolo, desde a superfície até a profundidade de interesse ao projeto; 
a disposição e espessura de cada camada que compõe o subsolo, bem como a orientação dos planos 
que as separam; as propriedades geotécnicas como resistência, deformabilidade, compressibilidade e 
eventualmente a permeabilidade dos diferentes tipos de solos encontrados; e informações sobre o nível 
de água em lençol freático e eventualmente em lençóis artesianos.
Os procedimentos mais comuns, todos já estudados anteriormente, para se obter as informações 
necessárias ao projeto são:
• Realização de sondagens de simples reconhecimento, sondagem à percussão, ensaios de cone 
CPT, de palheta (vane test), pressiométrico e de carregamento em placa de prova de carga.
• Execução de amostragens no campo, de grande importância para realizações dos ensaios de 
laboratório, podendo ser obtidas amostras deformada e indeformada.
• Realização de ensaios de laboratório realizados com amostras deformadas, tais como ensaios de 
caracterização como granulometria, LL e LP, peso específico dos grãos, os quais possibilitam a 
classificação dos solos encontrados.
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Unidade III
• Aplicação de ensaios de laboratório realizados com amostras indeformadas para a determinação 
dos índices físicos. Com a determinação do teor de umidade e do peso específico natural, os 
demais índices físicos podem ser calculados a partir das relações já apresentadas anteriormente.
• Realização dos ensaios para determinação das propriedades dos solos de interesse direto ao 
projeto de fundações, que são a resistência e a compressibilidade.
7.1 Fundações superficiais
Conforme a norma NBR 6122/2010 da ABNT (ABNT, 2010), as fundações superficiais, também 
chamadas rasas ou diretas, são elementos de fundação em que a carga é transmitida ao terreno 
predominante pelas pressões distribuídas sob a base da própria fundação.
Além disso, a norma define que quando a fundação rasa for realizada próxima à divisa entre terrenos 
vizinhos, a profundidade do elemento não pode ser menor do que 1,5 m, salvo se for assentada sobre rocha.
As fundações superficiais são tipicamente projetadas com pequenas escavações realizadas no solo, 
não sendo necessários grandes equipamentos para sua execução. São tipos de fundações superficiais as 
sapatas, entre as quais as sapatas isoladas e associadas, vigas de fundação e sapatas corridas, além dos 
blocos e os Radiers.
A seguir, serão apresentados os tipos de fundações superficiais a serem executadas após a investigação 
do subsolo e classificação dos solos, que nos possibilitam encontrar os parâmetros técnicos para a 
execução do projeto de fundação.
7.2 Tipos de fundações superficiais
Segundo a norma NBR 6122 da ABNT (ABNT, 2010), são consideradas fundações superficiais aquelas 
em que a distância D entre a cota de apoio do ponto mais profundo da fundação e a cota da superfície 
final do terreno é, no máximo, igual a duas vezes a menor dimensão B em planta do elemento de 
fundação, tal como ilustrado na figura a seguir.
D ≤ 2B: fundação superficial
D> 2B: fundação profunda
Figura 56 – Relação para distinguir fundações rasas e profundas
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7.2.1 Alicerce
É um elemento de fundação constituído de alvenaria, de execução bastante simples. É utilizado 
em construções de, no máximo, dois andares, com sistema estrutural do tipo “paredes portantes”, em 
regiões onde o subsolo próximo à superfície apresenta características de resistência e deformabilidade 
adequadas (figura a seguir).
Impermeável
10 cm
20 cm
Figura 57 – Fundação tipo alicerce
A largura das valas abertas no terreno varia conforme o alicerce empregado. Quando as paredes são 
de um tijolo, o alicerce será de um tijolo e meio (30 cm) e a largura da vala é de 45 cm. Paredes de meio 
tijolo usam alicerces de um tijolo (20 cm) e demandam largura mínima de vala de 35 cm. A profundidade 
será a necessária para que se encontre terreno firme, nunca inferior a 40 cm.
Abertas as valas, realiza-se o apiloamento do seu fundo, sobre o qual é aplicada uma camada de 
concreto sem armadura, com traço econômico e de espessura média de 10 cm.
Também deve ser executada uma boa impermeabilização, evitando a ascensão de água nas paredes 
por capilaridade.
No caso de terrenos arenosos e alagados, substitui-se o maciço de alvenaria de tijolos de barro por 
de blocos de pedra.
7.2.2 Bloco simples
É um elemento de fundação superficial de concreto, dimensionado tal que as tensões de tração 
produzidas nele possam ser resistidas pelo concreto sem a necessidade de armadura. Normalmente, 
têm a forma de (a) tronco de cone, (b) tronco de pirâmide ou (c) tronco de pirâmide com suas faces em 
degraus verticais, como apresentado na figura a seguir.
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(a) (b) (c)
Figura 58 – Fundação em blocos simples
Para que o bloco dispense armação, o ângulo α deve obedecer à seguinte equação:
tc
tg 
1
α σ= +
α σ
Em que σ é a tensão no terreno e σ tc a tensão admissível de tração no concreto. O ângulo 
α determinado, em radianos, é o valor mínimo para a ocorrência de valor de tração suportável 
pelo concreto.
Os blocos são mais econômicos que as sapatas, que serão vistas a seguir, para cargas pequenas, 
quando então o consumo de concreto é pequeno e justifica a eliminação da armação.
7.2.3 Sapata
É um elemento de fundação de concreto armado, com altura menor que o bloco, e que utiliza 
armadura para resistir às tensões de tração. A sapata é usualmente de base quadrada, retangular ou 
trapezoidal e pode ser classificada em:
• Simples ou isolada: é a sapata que dá suporte a um único pilar, como observa-se na figura a seguir.
Perspectiva Perspectiva
Viga de rigidez
Sapata isolada
Sapata associada
Figura 59 – Sapata isolada
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• Associada: quando ocorre a superposição das áreas necessárias para a fundação em sapatas isoladas, 
entre pilares próximos, tenta-se associá-los por uma única sapata, denominada sapata associada e, 
neste caso, os pilares são ligados por uma viga de rigidez. Caso ocorra a associação de mais de dois 
pilares, estes não devem ter seus centros em planta em um mesmo alinhamento.
• Corrida (ou viga de fundação ou baldrame): é a sapata comum a três ou mais pilares, cujos centros 
em planta estejam em um mesmo alinhamento ou ainda para carga distribuída linearmente.• Alavancada: a carga aplicada pelo pilar a essa sapata não passa pelo centro de gravidade de sua 
base, como visto na figura a seguir. É o caso de fundações em divisas de terreno. Recorre-se então 
a uma viga de equilíbrio, ou viga alavanca, para corrigir a excentricidade existente.
Figura 60 – Sapata alavancada
7.2.4 Radier
Radier é a sapata associada que abrange todos os pilares ou carregamentos distribuídos da edificação, 
tal como ocorre em fundações de tanques, silos e similares (figura a seguir). É um tipo de fundação 
relativamente caro, por isso é executado com pouca frequência.
Figura 61 – Radier
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7.3 Fundações profundas
De acordo com a norma brasileira NBR 6122/1996, define-se como fundação profunda aquela que 
transmite a carga ao terreno pela base, denominada resistência de ponta, por sua superfície lateral, 
chamada de resistência de fuste, ou por uma combinação das duas, e que está assentada em profundidade 
superior ao dobro de sua menor dimensão em planta, e no mínimo a 3 m, salvo justificativa em contrário.
Na figura a seguir, podemos observar, por meio de um esquema, o comportamento da fundação profunda.
Nível do 
terreno
h > 2B
B
P
Rt
RP
P = RL + RP
RP : Resistência de ponta
RL : Resistência de fuste
Es
ta
ca
Figura 62 – Comportamento da fundação profunda
As fundações profundas são geralmente utilizadas quando os solos superficiais não apresentam 
capacidade de suportar cargas elevadas em relação ao projeto de carga estabelecido, ou estão sujeitos 
a processos erosivos ou, ainda, quando existe possibilidade da realização de escavação futura nas 
proximidades da obra.
Segundo as definições da NBR 6122, as fundações profundas podem ser classificadas em estacas, 
tubulões e caixões, descritas na sequência:
• Estacas: são elementos de fundação profunda executados com o auxílio de ferramentas, ou 
equipamentos, sem que haja descida de operário em qualquer fase de execução, que pode ser por 
cravação à percussão, prensagem, vibração, ou por simples escavação, constituídos de madeira, 
aço ou concreto.
• Tubulões: elementos cilíndricos de fundação profunda que, em pelo menos em sua fase final, 
ocorre descida de operário, podendo ser executado a céu aberto ou sob ar comprimido, e ter ou 
não a base alargada.
• Caixões: elementos de fundações com forma prismática, concretado na superfície do terreno e 
instalado por escavação interna, podendo-se usar, ou não, na sua instalação, o ar comprimido, 
e ter, ou não, a sua base alargada.
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7.3.1 Estacas
O dimensionamento da estaca baseia-se na consideração da resistência de sua ponta e a contribuição 
do atrito lateral solo-fuste.
τ
τ
τ
τ
σp
P
Figura 63 – Esquema de estaca com respectivas forças atuantes
Pr = Al . τ + Ap . σp
Pr
P
CS
=
Em que Pr é a carga de ruptura; P é a carga de trabalho; CS é o coeficiente de segurança; τ é o atrito 
lateral; σp é a resistência de ponta; Al é a área lateral do fuste e Ap é a área transversal da ponta.
Conforme já descrito anteriormente, a estaca é um elemento estrutural alongado que, colocado no 
solo por cravação, perfuração ou outro meio, tem a finalidade de disseminar cargas ao subsolo, seja 
pela resistência sob sua extremidade inferior, transmitindo a resistência pela ponta, seja pela resistência 
ao longo de sua superfície lateral, gerando um atrito lateral, ou ainda pela combinação das duas, que 
devem ser maior que a carga que chega do pilar que estará apoiado na fundação a este elemento.
São normalmente empregadas em grupos, solidarizadas por meio de um bloco de apoio que recebe o 
pilar. Na maioria dos casos práticos, as estacas são instaladas verticalmente e trabalham em compressão. 
No entanto, elas podem ser inclinadas (cerca de 15 a 20° com a vertical) e solicitadas à tração.
Alguns tipos de estacas podem ser observados na figura a seguir, as quais serão pormenorizadas 
em seguida.
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(a) (c) (e)(b) (d) (f)
Figura 64 – Alguns tipos de estacas: (a) raiz, (b) metálica, (c) pré-moldada de concreto vibrado, 
(d) pré-moldada de concreto centrifugado, (e) barrete, (f) tipo Franki e tipo Strauss
7.3.2 Estacas pré‑moldadas
Estaca fabricada em local diferente do local de utilização. São fornecidas prontas em todo o seu 
comprimento ou em partes a serem emendadas.
Os exemplos são as estacas de madeira, metálica e pré-moldada de concreto armado.
7.3.3 Estaca moldadas in loco
A concretagem da estaca se dá no seu local de utilização final. Existem muitos tipos de estacas 
moldadas in loco, cada qual diferindo da outra em algum detalhe. Os dois aspectos fundamentais 
de diferenciação são o emprego ou não de tubo de revestimento, que funciona como proteção 
do furo e, no primeiro caso, se o tubo é ou não perdido, ou seja, deixado no terreno para fazer 
parte da estaca.
Os exemplos são: broca, Strauss, Franki, estaca injetada, estaca raiz, microestaca, barrete, estacão e outras.
 Observação
Nas estacas moldadas in loco, os dois aspectos fundamentais 
de diferenciação são o emprego ou não de tubo e se o tubo é perdido 
ou reaproveitado.
Estacas tipo broca
Tipo de estaca profunda, executada por perfuração com trado e posterior concretagem in loco, 
normalmente com diâmetro variando entre 15 e 25 cm e comprimento de até 6 m. Elas são normalmente 
empregadas para pequenas cargas, pelas limitações que envolvem o seu processo de execução.
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As estacas tipo broca apresentam como vantagem o fato de não provocar vibrações durante a sua 
confecção, evitando, dessa forma, danos estruturais nas vizinhas, além de poderem servir como cortinas 
de contenção para construção de subsolos, quando executadas de forma justapostas. Entretanto, as 
principais desvantagens referem-se às limitações de execução abaixo do nível d’água, principalmente em 
solos arenosos, e também em argilas moles saturadas, pois podem ocorrer possíveis estrangulamentos 
no fuste da estaca.
Estaca tipo Strauss
Executada por perfuração mediante piteira, com uso parcial ou total de revestimento recuperável 
e posterior concretagem in loco. A execução necessita de um equipamento constituído de um tripé 
de madeira ou de aço, um guincho acoplado a um motor, que pode ser a combustão ou elétrico, 
uma sonda de percussão munida de válvula em sua extremidade inferior para a retirada de terra, um 
soquete com aproximadamente 300 kg, tubulação de aço com elementos de 2 a 3 m de comprimento 
e rosqueáveis entre si, um guincho manual para retirada da tubulação, além de roldanas, cabos de 
aço e ferramentas apropriadas.
Estaca tipo Franki
Executada mediante cravação de um tubo de ponta fechada no terreno, por meio da bucha, e 
execução de uma base alargada, que é obtida introduzindo-se no terreno uma dada quantidade 
de material granular por meio de golpes de um pilão. A estaca do tipo Franki foi introduzida 
como fundação no começo do século XX por Edgard Frankignoul, na Bélgica, sendo empregada 
pela primeira vez no Brasil em 1935, na Casa Publicadora Baptista no Rio de Janeiro (HACHICH 
et al., 1998).
Estacas injetadas
Tipo de fundação profunda, executada mediante de injeção sob pressão de produto aglutinante, que 
pode ser calda de cimento ou argamassa de cimento e areia, com o objetivo de garantir a integridade 
do fuste ou aumentar a resistência por atrito lateral e de ponta, ou de ambas. A injeção do produto 
aglutinante pode ser feita durante ou após a instalação da estaca. Segundo Hachich et al. (1998), as estacas 
injetadas diferem das demais por poderem ser executadas com maiores inclinações (0º a 90º), apresentarem 
resistênciade fuste bastante superior, se comparada aos demais tipos com mesmos diâmetros, e ainda 
resistir a esforços de compressão e tração, desde que convenientemente armadas, com mais eficiência, 
porque resistem à carga de trabalho praticamente apenas por atrito lateral. De suas aplicações podemos 
citar: estabilização de encostas, reforço de fundações, execução de fundações em terrenos com blocos de 
rocha ou antigas fundações, execução de fundações em alto-mar, offshore e outras.
Estacas raiz
São aquelas em que se aplicam injeções de ar comprimido, a baixas pressões, inferiores a 5 MPa, 
imediatamente após a moldagem do fuste e no topo do mesmo, simultaneamente com a remoção 
do revestimento.
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Unidade III
Microestacas
As injeções são realizadas por meio de válvulas tipo manchete, instaladas nas escavações 
previamente realizadas.
 Observação
Cabe lembrar que as estacas injetadas diferem das demais por poderem 
ser executadas com maiores inclinações (0º a 90º).
7.3.4 Procedimento de instalação e efeito provocado no solo
Estaca de deslocamento: é a estaca introduzida no terreno mediante algum processo que não 
promova a retirada do solo. Promovem o deslocamento e a compressão de solo ao seu redor.
Exemplos: estaca pré-moldada de concreto armado, estaca metálica, estaca de madeira, estaca 
Franki e outras.
Estaca escavada: é a estaca executada in situ, mediante perfuração do terreno por um processo 
qualquer, com remoção do material, realizadas com ou sem revestimento, com ou sem a utilização de 
fluido estabilizante.
Exemplo: estaca tipo broca, estaca Strauss, estaca barrete, estacão, estaca de hélice contínua, estaca 
injetada e outras.
 Saiba mais
Para conhecer mais sobre procedimentos executivos para estacas de 
deslocamento e cravadas, consulte os anexos da norma ABNT a seguir:
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6122: projeto e 
execução de fundações. Rio de Janeiro, 2010.
7.3.5 Tubulão
O tubulão é elemento de fundação profunda, de grande porte e seção circular, em geral com um 
alargamento em sua extremidade inferior, destinado a transmitir as cargas da estrutura a uma camada 
de solo de alta resistência que se encontra a grande profundidade.
O trecho cilíndrico do tubulão é chamado de fuste e sua extremidade inferior de base, sendo que o 
diâmetro do fuste varia normalmente entre 0,7 a 2 m e o da base entre 1 até 6 m.
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O dimensionamento de um tubulão consiste, basicamente, na determinação da área de base da 
mesma maneira que foi mostrado para as sapatas. Portanto, não se considera a contribuição do atrito 
lateral no contato entre o solo e o fuste, como é feito nas estacas.
O tubulão pode ser feito a céu aberto ou sob ar comprimido. Pelo menos na etapa final de escavação 
do tubulão há a descida de operário.
7.3.6 Tubulão tipo pocinho ou a céu aberto
A escavação do fuste e da base é realizada à pressão atmosférica e a céu aberto. O fuste pode ser 
revestido, caso haja instabilização das paredes da escavação. Esse revestimento pode ser em concreto 
pré-moldado, camisa metálica ou madeira (ver figura a seguir).
Na ocorrência de lençol freático, havendo o acúmulo de água na região da escavação, procede-se à 
remoção da água com bombeamento de fundo da escavação, devendo sempre a escavação prosseguir 
abaixo deste nível com a utilização de revestimento.
(a) (b) (c)
Figura 65 – Tubulões (a) a céu aberto: sem revestimento, (b) com revestimento de concreto e (c) com revestimento de aço
7.3.7 Tubulão pneumático ou a ar comprimido
Quando ocorre dificuldade na manutenção do nível de água rebaixado por bombeamento no 
fundo da escavação, deve-se utilizar uma campânula de aço encaixada no revestimento do tubulão 
em superfície, a qual isola o ambiente de escavação da pressão atmosférica. Dessa maneira, com a 
injeção de ar comprimido internamente à campânula, aumenta-se a pressão interna de ar, equilibrando 
a coluna de água durante o processo de escavação abaixo do nível de água local.
Os operários que trabalham na escavação ficam pressurizados, tornando este tipo de fundação mais 
demorado e perigoso na fase construtiva, principalmente se for necessário equilibrar altas colunas de água.
Na figura a seguir, podemos observar um tubulão pneumático por meio de um esquema construtivo.
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Unidade III
“Cachimbo” de 
concretagem
“Cachimbo” para 
colocar armação
“Cachimbo” de 
saída de terra
Porta para entrada 
dos operários
Figura 66 – Tubulão pneumático
 Saiba mais
Para saber mais sobre fundações, uma sugestão de leitura é o livro:
HACHICH, W. et al. Fundações: teoria e prática. São Paulo: Pini, 1996.
Outra sugestão é consultar a norma da:
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6122: projeto e 
execução de fundações. Rio de Janeiro, 1996.
8 DIMENSIONAMENTO DE SAPATAS
O dimensionamento de uma fundação superficial consiste basicamente no cálculo da área de 
apoio da fundação no solo, ou seja, dividindo-se a carga vertical máxima a que o pilar se submeterá 
pela tensão admissível do solo na profundidade em que a fundação deve se apoiar, como ilustrado 
pela figura a seguir.
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a
P
b
A = a . b
adm
P
A ≥
σ
Figura 67 – Ilustração do cálculo básico de fundação
Como já visto, as sapatas são elementos de fundação superficial em concreto armado, com altura 
reduzida em relação às dimensões da base e, por isso, trabalham a flexão. Quanto à forma, são usualmente 
de base quadrada, retangular ou trapezoidal.
Em seguida, será discutido como determinar as dimensões a e b (figura na sequência) em planta 
dos vários tipos de sapatas de fundação. Para isso, considera-se que seja conhecida a tensão admissível, 
ou taxa de trabalho do solo, σadm, além das cargas P da estrutura, as dimensões a’ e b’ e a locação dos 
pilares. As alturas h1 e h2 são decorrentes do dimensionamento estrutural da sapata.
(a) Perspectiva
(b) Planta
(c) Corte
Figura 68 – Formas de sapatas
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Unidade III
8.1 Verificação do edifício como um todo
As seguintes verificações iniciais são recomendáveis para a realização do projeto de fundações 
superficiais de um edifício antes de se executar o dimensionamento propriamente dito.
8.1.1 Verificação da ordem de grandeza do carregamento
Esta verificação é feita calculando-se a tensão média p na área projetada Ap do edifício, ou na área 
do Radier hipotético, a partir do somatório de cargas Pi.
Dividindo-se a tensão p pelo número n de andares, deve-se chegar a uma tensão de aproximadamente 
12 kN/m2, valor válido para edifícios normais de concreto armado residenciais ou de escritórios.
Seja:
p
P
p
A
∑=
Tem-se:
2p 12kN / m
n
≅
Se o valor obtido for muito diferente do esperado, deve-se consultar a memória de cálculo da 
estrutura para verificar se existe alguma condição especial de carregamento no edifício.
8.1.2 Verificação da viabilidade do emprego de fundação direta
Para que o projeto de fundações em sapatas seja econômico, a relação entre a área total das sapatas, 
denominada As, e a área projetada Ap não deve ser superior à faixa entre 65 e 70%.
Tem-se:
∑Pi = As . σadm = Ap . P
Então:
s
p adm
A P
0,65 a 0,70
A
= ≤
σ
Portanto, a condição anterior estará satisfeita se
σadm ≥ 1,5
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Exemplo de aplicação
1) Pretende-se construir um edifício com 28 andares com Ap = 280 m² com fundação em sapatas 
em solo com sadm = 365 kN/m².
Essa tensão admissível é adequada?Solução:
p ≅ 12 n = 12 x 28 = 336 kN/m²
σadm ≥ 1,5 x 336 = 504 kN/m²
Como 504 > 365, a tensão admissível de 365 kN/m² não é adequada.
2) Pretende-se construir um edifício com 24 andares com Ap = 240 m² com fundação em sapatas 
em solo com σadm = 365kN/m². Essa tensão admissível é adequada?
Solução:
p ≅ 12 n = 12 x 24 = 288 kN/m²
σadm ≥ 1,5 x 288 = 432 kN/m²
Portanto, a tensão admissível de 365 kN/m² não é adequada.
Pretende-se construir um edifício com 10 andares com Ap = 280 m² com fundação em sapatas em 
solo com σadm = 365 kN/m². Essa tensão admissível é adequada?
Solução:
p ≅12 n = 10 x 28 = 280 kN/m²
σadm ≥ 1,5 x 280 = 420 kN/m²
Portanto, a tensão admissível de 365 kN/m² não é adequada.
3) Pretende-se construir um edifício com 10 andares com Ap = 240 m² com fundação em sapatas 
em solo com σadm = 365 kN/m². Essa tensão admissível é adequada?
Solução:
p ≅ 12 n = 10 x 24 = 240 kN/m²
122
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 -
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12
/1
8
Unidade III
σadm ≥ 1,5 x 240 = 360 kN/m²
Portanto, a tensão admissível de 365 kN/m² é adequada. 
8.1.3 Verificação da tendência de adernamento do edifício
Esta verificação consiste em se determinar se o centro de cargas do edifício coincide aproximadamente 
com o centro de gravidade da área projetada em planta. Caso isso não ocorra, podem ocorrer recalques 
não uniformes que resultem em uma tendência ao adernamento, ou seja, inclinação do edifício.
Essa condição assume gravidade principalmente no caso de edifícios altos e estreitos com relação 
(altura/lado menor da base) superior a 4 ou 5.
As coordenadas do centro de carga do edifício são dadas por:
( )
cc
Pi Xi
X
Pi
∑ ⋅
=
∑
( )
cc
Pi Yi
Y 
Pi
∑ ⋅
=
∑
CC
Y
x
CG
Figura 69 – Determinação da coincidência entre centro de gravidade (CG) e centro de carga (CC)
8.2 Dimensionamento de sapatas para pilares isolados
A solução mais simples é a de uma sapata isolada. A área A de uma sapata isolada quadrada ou 
retangular, com dimensões a e b, para um pilar com carga P, pode ser calculada como:
adm
P
A a b= ⋅ =
σ
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 -
 D
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am
aç
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: J
ef
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on
 -
 0
6/
12
/1
8
MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
Observe que na expressão anterior foi desprezado o peso próprio da sapata, que, em geral, é pouco 
significativo, correspondendo à faixa entre 5 e 10% de P.
Conhecida a área A, a escolha do par de valores a e b deve ser feita obedecendo às seguintes 
recomendações:
a) o centro de gravidade da sapata deve coincidir com o centro de carga do pilar;
b) devido a problemas de ruptura do solo, a sapata não deve ter nenhuma dimensão menor do que 
80 cm, sendo que no caso de sapata corrida, a menor dimensão será de no mínimo 60 cm;
c) sempre que possível, a relação entre os lados a e b deve ser, no máximo, igual a 2,5;
d) para facilitar a execução, as dimensões finais devem ser múltiplas de 5 cm;
e) sempre que possível, os valores a e b devem ser escolhidos de modo que os balanços da sapata 
(abas) em relação às faces do pilar sejam iguais nas duas direções (figura a seguir), o que resulta 
num dimensionamento econômico, pois implica momentos fletores aproximadamente iguais nas 
duas abas em relação à mesa da sapata.
a
a’
bb’
X X
X
X
Figura 70 – Dimensionamento de sapatas e respectivas abas
Da prescrição (e) tem-se que:
2x + a’ = a → a - a’ = 2x
2x + b’ = b → b - b’ = 2x 
∴a - a’ = b - b’
∴a - b = a’ - b’ 
124
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/1
8
Unidade III
Exemplo de aplicação
1) Dimensionar uma sapata para um pilar quadrado de 50 cm x 50 cm e carga de 1860 kN, sendo a 
taxa de trabalho do solo igual a 310 kN/m².
Solução:
2
adm
P 1860
A 6 m
310
= = =
σ
a - b = a’ - b’ = 0,50 - 0,50 = 0
∴a = b → sapata quadrada
a2 = 6 → a = 2,44 m
Arredondando, tem-se: a = b = 2,45 m.
2,5
2,
5
50
50
2,5
2,
5
24
5 
cm
245 cm
Figura 71 – Sapata resultante
2) Dimensionar uma sapata para um pilar quadrado de 40 cm x 40 cm e carga de 1650 kN, sendo a 
taxa de trabalho do solo igual a 320 kN/m².
Solução:
2
adm
P 1650
A 5,16 m
320
= = =
σ
a - b = a’ - b’ = 0,40 - 0,40 = 0 
∴a = b → sapata quadrada 
a2 = 5,16 → a = 2,27 m 
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6/
12
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8
MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
Arredondando, tem-se: a = b = 2,30 m.
2,5
2,
5
40
40
2,5
2,
5
23
0 
cm
230 cm
Figura 72 – Sapata resultante
3) Dimensionar uma sapata para um pilar quadrado de 30 cm x 30 cm e carga de 1585 kN, sendo a 
taxa de trabalho do solo igual a 270 kN/m².
Solução:
2
adm
P 1585
A 5,87 m
270
= = =
σ
a - b = a’ - b’ = 0,30 - 0,30 = 0 
∴a = b → sapata quadrada 
a2 = 5,87 → a = 2,42 m 
Arredondando, tem-se: a = b = 2,45 m.
2,5
2,
5
30
30
2,5
2,
5
24
5 
cm
245 cm
Figura 73 – Sapata resultante
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8
Unidade III
4) Dimensionar uma sapata para um pilar quadrado de 30 cm x 30 cm e carga de 1585 kN, sendo a 
taxa de trabalho do solo igual a 365 kN/m².
Solução:
2
adm
P 1585
A 4,34 m
365
= = =
σ
a - b = a’ - b’ = 0,30 - 0,30 = 0 
∴a = b → sapata quadrada 
a2 = 4,34 → a = 2,08 m 
Arredondando, tem-se: a = b = 2,10 m.
2,5
2,
5
30
30
2,5
2,
5
21
0 
cm
210 cm
Figura 74 – Sapata resultante
5) Dimensionar uma sapata para um pilar de seção retangular de 120 cm x 50 cm com carga de 
3.200 kN para uma tensão admissível de 320 kN/m².
Solução:
2
adm
P 3200
A 10 m
320
= = =
σ
a - b = a’ - b’ = 1,20 - 0,50 = 0,70
∴a = 0,7 + b → sapata retangular
a . b = 10 → (0,7 + b) . b = 10
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MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
b2 = 0,7 . b - 10 = 0
Resolvendo a equação, tem-se:
( )0,7 6,36
b b 2,83 m
2
− ±
= → =
a = 0,7 + b = 0,7 + 2,83 → a = 3,53 m
Arredondando os valores de a e b:
b = 2,85 m
a = 3,55 m
2,
5
2,5
12
0
28
5 
cm
355 cm
50
2,
5
2,5
Figura 75 – Sapata resultante
6) Dimensionar uma sapata para um pilar de seção retangular de 110 cm x 35 cm com carga de 
3120 kN para uma tensão admissível de 325 kN/m².
Solução:
2
adm
P 3120
A 9,6 m
325
= = =
σ
a - b = a’ - b’ = 1,10 - 0,35 = 0,75
∴a = 0,75 + b → sapata retangular 
a . b = 9,6 → (0,75 + b) . b = 9,6
b2 = 0,75 . b - 9,6 = 0 
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8
Unidade III
Resolvendo a equação, tem-se:
( )0,75 6,24
b b 2,74 m
2
− ±
= → =
a = 0,75 + b = 0,75 + 2,74 → a = 3,49 m
Arredondando os valores de a e b:
b = 2,75 m
a = 3,50 m
2,
5
2,5
11
0
27
5 
cm
350 cm
35
2,
5
2,5
Figura 76 – Sapata resultante
 
Para o caso de um pilar de seção transversal em forma de L, há necessidade de substituir o pilar 
real por outro fictício, de forma retangular, circunscrito a ele, e que tenha o seu centro de gravidade 
coincidente com o centro de carga do pilar real.
A determinação do centro de carga (CC) do pilar, que deverá coincidir com o centro de gravidade 
(CG), é dada por:
CG CG
Ai Xi Ai Yi
X Y 
Ai Ai
∑ ⋅ ∑ ⋅= =
∑ ∑
O mesmo tipo de solução é utilizada para pilares em forma de U, Z, etc.
Exemplo de aplicação
1) Projetar uma sapata para o pilar indicado a seguir, com carga de 3500 kN e taxa de trabalho 
(tensão admissível) no solo de 350 kN/m².
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8
MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
30 cm
125 cm
x
Y
40 70
Figura 77 – Dimensões do pilar
Solução:
Este é o caso de um pilar de seção transversal em forma de L. O mesmo tipo de solução a seguir 
apresentada é utilizada para pilares em forma de U, Z, etc.
Este caso recai na necessidade de se substituir o pilar real por outro fictício, de forma retangular, circunscrito 
a ele, e que tenha o seu centro de gravidade coincidente com o centrode carga do pilar real.
Cálculo do centro de carga (CC) do pilar, que, neste caso, coincide com o centro de gravidade (CG):
CG CG
Ai Xi Ai Yi
X Y 
Ai Ai
∑ ⋅ ∑ ⋅= =
∑ ∑
Tomando os eixos coordenados nas faces externas do pilar, tem-se:
CG
40 155 20 70 30 20 166.000
X 20 cm
40 155 30 70 8.300
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅= = ≅
⋅ + ⋅
CG
40 155 77,5 70 30 15 512.000
Y 62 cm
40 155 30 70 8.300
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅= = ≅
⋅ + ⋅
O retângulo circunscrito ao pilar e que possui o mesmo CG terá os lados:
a’ = 2 . (155 - 62) = 2 . 93 = 186 cm
b’ = 2 . (120 - 20) = 2 . 90 = 180 cm
3500
A a b 10 m²
350
= ⋅ = =
130
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12
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8
Unidade III
a - b = a’ - b’ = 1,86 - 1,80 = 0,06
∴a = 0,06 + b → sapata retangular 
a . b = 10 → (0,06 + b) . b = 10 
b2 = 0,06 . b - 10 = 0 
Resolvendo a equação, tem-se:
( )0,06 6,33
b b 3,14 m
2
− ±
= → =
a = 0,06 + b = 0,06 + 3,14 → a = 3,20 m 
Arredondando os valores de a e b:
b = 3,15 m
a = 3,20 m
20 2,5
32
0 
cm
315 cm
C.C. = C.G.
62
2,5
90 90
93
93
Figura 78 – Sapata resultante
2) Projetar uma sapata para o pilar indicado a seguir, com carga de 3200 kN e taxa de trabalho no 
solo de 320 kN/m².
131
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 -
 0
6/
12
/1
8
MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
20 cm
110 cm
x
Y
30 60
Figura 79 – Dimensões do pilar em L
Solução:
Este é o caso de um pilar de seção transversal em forma de L. O mesmo tipo de solução a seguir 
apresentada é utilizada também para pilares em forma de U, Z etc.
Este caso recai no exemplo anterior ao se substituir o pilar real por outro fictício, de forma retangular, 
circunscrito a ele, e que tenha o seu centro de gravidade coincidente com o centro de carga do pilar real.
Determinação do centro de carga (CC) do pilar, que, neste caso, coincide com o centro de gravidade (CG):
CG CG
AiXi Ai Yi
X Y 
Ai Ai
∑ ∑= =
∑ ∑
Tomando os eixos coordenados nas faces externas do pilar, tem-se:
CG
30 130 20 60 20 15 96.000
X 19 cm
30 130 20 60 5.100
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ == = ≅
⋅ + ⋅
CG
30 130 65 60 20 10 265.500
Y 53 cm
30 130 20 60 5.100
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅= = ≅
⋅ + ⋅
O retângulo circunscrito ao pilar e que possui o mesmo CG terá os lados:
a’ = 2 . (130 - 53) = 2 . 77 = 154 cm
b’ = 2 . (90 - 19) = 2 . 71 = 142 cm
132
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 -
 0
6/
12
/1
8
Unidade III
3200
A a b 10 m²
320
= ⋅ = =
a - b = a’ - b’ = 1,54 - 1,42 = 0,12
∴a = 0,12 + b → sapata retangular 
a . b = 10 → (0,12 + b) . b = 10 
b2 + 0,12 . b - 10 = 0 
Resolvendo a equação tem-se:
( )0,12 6,33
b b 3,11 m
2
− ±
= → =
a = 0,12 + b = 0,12 + 3,11 → a = 3,253 m 
Arredondando, tem-se:
b = 3,15 m
a = 3,25 m
19 2,5
32
5 
cm
315 cm
C.C. = C.G.
53
2,5
71 71
77
77
Figura 80 – Sapata resultante
3) Projetar uma sapata para os pilares justapostos a seguir, para taxa de trabalho do solo de 310 kN/m². 
As cargas dos pilares A, B e C são, respectivamente, 410 kN, 610 kN e 810 kN.
133
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 -
 D
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 -
 0
6/
12
/1
8
MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
A
B
C
45
15 30
20 cm
45 cm
20 cm
Figura 81 – Dimensões dos pilares justapostos
Solução:
Neste caso, o centro de carga (CC) não coincide com o centro de gravidade. As expressões para o 
cálculo do centro de carga são:
CG CG
Ai Xi Ai Yi
X Y 
Ai Ai
∑ ⋅ ∑ ⋅= =
∑ ∑
CC
410 22,5 610 7,5 810 22,5
X 17,5 18 cm
410 610 810
⋅ + ⋅ + ⋅= = ≅
+ +
CC
410 10 610 42,5 810 75,0 
Y 49,6 50cm
1830
⋅ + ⋅ + ⋅= = ≅
O retângulo circunscrito ao pilar e que possui o mesmo CG terá os lados:
a’ = 2 . 50 = 100 cm
b’ = 2 . (45 - 18) = 2 . 27 = 54 cm
410 610 810
A 5,90 m²
310
+ += =
a - b = a’ - b’ = 1,00 - 0,54 = 0,46
∴a = 0,46 + b → sapata retangular 
134
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Unidade III
a . b = 5,90 → (0,46 + b) . b = 5,90
b2 = 0,46 . b - 5,90 = 0 
Resolvendo a equação tem-se:
b = 2,20 m
a = 0,46 + b = 0,46 + 2,20 → a = 2,66 m
Arredondando, tem-se:
a = 2,70 m
b = 2,20 m
50
50
2,5
18 2,5
C.C.
27 27
27
0 
cm
220 cm
Figura 82 – Sapata resultante
4) Projetar uma sapata para os pilares justapostos a seguir, para taxa de trabalho do solo de 295 kN/m². 
As cargas dos pilares A, B e C são, respectivamente, iguais a 390 kN, 590 kN e 790 kN.
135
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MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
A
B
C
35
10 25
10 cm
35 cm
10 cm
Figura 83 – Dimensões dos pilares justapostos
Solução:
Neste caso, o centro de carga não coincide com o centro de gravidade. As expressões para o cálculo 
do centro de carga são:
CG CG
Ai Xi Ai Yi
X Y 
Ai Ai
∑ ⋅ ∑ ⋅= =
∑ ∑
CC
390 17,5 590 5 790 17,5
X 13,3 14 cm
390 590 790
⋅ + ⋅ + ⋅= = ≅
+ +
CC
390 5 590 27,5 790 50 
Y 32,6 33cm
390 590 790
⋅ + ⋅ + ⋅= = ≅
+ +
O retângulo circunscrito ao pilar dado e que tem o mesmo CC terá os lados:
a’ = 2 . 33 = 66 cm
b’ = 2 . (35 - 14) = 2 . 21 = 42 cm
390 590 790
A 6,0 m²
295
+ += =
a - b = a’ - b’ = 0,66 - 0,42 = 0,24
∴a = 0,24 + b → sapata retangular 
a . b = 6,0 → (0,24 + b) . b = 6,0
136
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Unidade III
b2 = 0,24 . b - 6,0 = 0 
Resolvendo a equação tem-se:
b = 2,33 m
a = 0,24 + b = 0,24 + 2,33 → a = 2,57 m
Arredondando, tem-se:
a = 2,60 m
b = 2,35 m
33
33
2,5
14 2,5
C.C.
21 21
26
0 
cm
235 cm
Figura 84 – Sapata resultante
 
8.3 Dimensionamento de sapatas para pilares próximos
Quando a proximidade de pilares adjacentes inviabiliza a adoção de sapatas isoladas devido 
à superposição das áreas, deve-se projetar uma única sapata, chamada de sapata associada, sendo 
necessária a introdução de uma viga de interligação dos pilares (viga de rigidez) para que a sapata 
trabalhe sob tensão constante. A área de uma sapata associada é dada por:
137
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 0
6/
12
/1
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MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
i
adm
P
A
∑=
σ
Conhecida a área A, a escolha do par de valores a e b deve ser feita obedecendo às seguintes 
prescrições:
a) O centro de gravidade das sapatas deve coincidir com o centro de carga dos pilares, sendo suas 
coordenadas dadas por:
CG CG
Pi Xi Pi Yi
X Y 
Pi Pi
∑ ⋅ ∑ ⋅= =
∑ ∑
b) As dimensões econômicas da sapata associada dependem não só dos balanços, mas também da 
viga de rigidez e é difícil prescrever regras. No caso específico de sapatas com dois pilares de cargas 
iguais, tem-se uma condição econômica quando os momentos positivos e negativos na viga de rigidez 
são iguais. Para tanto, deve-se tomar a distância entre os eixos dos pilares iguais a 3a/5.
c) No caso de sapata associando dois pilares, um dos lados deve ser paralelo ao eixo da viga 
de rigidez, enquanto o outro lado, sempre que possível, deve ser perpendicular, evitando-se a 
torção na viga.
Exemplo de aplicação
1) Projetar sapatas para os pilares P1 e P2, sendo a taxa de trabalho do solo de 320 kN/m² para os 
seguintes casos:
P1 = P2 = 1650 kN;
P1 = 1520 kN e P2 = 1750 kN.
P1 (25x100)
P2 (25x100)
185 cm
11
0 
cm
Figura 85 – Dimensões dos pilares
138
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12
/1
8
Unidade III
Solução: Caso (a)
Inicialmente, é necessário verificar a possibilidade de projetar sapatas isoladas.
1650
A 5,16 m²
320
= =
a - b = a’ - b’ = 1 - 0,25 = 0,75
a . b = 5,16 → (0,75 + b) . b = 5,16
b2 = 0,75 . b - 5,16 = 0 
→ b = 1,93 m
a = 0,75 + b = 0,75 + 1,93 → a = 2,68 m 
Arredondando:
a = 2,70 m
b = 1,95 m
270 cm
270 cm
19
5 
cm
19
5 
cm
Figura 86 – Superposição das sapatas resultantes
Observa-se pela figura que ocorre superposição de áreas.
Mesmo que não fosse considerada a prescriçãoa – b = a’ – b’, não seria possível projetar sapatas 
isoladas. É necessário que se projete uma sapata associada.
Como P1 = P2, o centro de carga estará equidistante de P1 e P2.
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MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
22 1650A 10,31 m
320
⋅= =
Neste caso, consegue-se uma sapata com viga de rigidez econômica fazendo-se com que a distância 
entre os eixos dos pilares seja igual a 3a/5.
Tem-se, então:
2 23 a 1,85 1,10 2,15m
5
= + =
∴ a = 3,59 m
10,31
b 2,87 m
3,59
= =
Arredondando:
a = 3,60 m
b = 2,90 m.
C.C.
V.R.107
,5
290 cm
360
 cm
107
,5
Figura 87 – Sapata associada resultante
Solução: Caso (b)
21520 1750A 10,22m
320
+= =
140
Re
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 0
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8
Unidade III
É necessário calcular o CC dos pilares:
cc
1750 0 1520 185
X 86,00 cm
1750 1520
⋅ + ⋅= =
+
Deve-se observar que não é necessário calcular Ycc, uma vez que o CC deve estar na reta que une 
os centros dos pilares.
Neste caso, a obtenção da sapata mais econômica torna-se difícil. Adota-se, então, para a/2, a 
distância do centro de carga à face externa do pilar mais afastado, medida sobre o eixo da viga de 
rigidez, acrescida de um valor arbitrário a critério do projetista.
Neste exercício, será adotado a/2 = 2,5 m, portanto, a = 5,0 m
10,22
b 2,04 m
5
= =
Arredondando:
a = 5,00 m
b = 2,10 m
C.C.
V.R.86
210 cm
500
 cm
Figura 88 – Sapata associada resultante
2) Projetar sapatas para os pilares P1 e P2, sendo a taxa de trabalho do solo de 360 kN/m² para os 
seguintes casos:
141
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MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
P1 = P2 = 1520 kN;
P1 = 1600 kN e P2 = 1800 kN.
P1 (20x70)
P2 (20x70)
160 cm
90
 c
m
Figura 89 – Dimensões e posições dos pilares P1 e P2
Solução: Caso (a)
Inicialmente, é necessário verificar a possibilidade de projetar sapatas isoladas.
1520
A 4,22 m²
360
= =
a - b = a’ - b’ = 0,70 - 0,20 = 0,50
a . b = 4,22 → (0,50 + b) . b = 4,22
b2 + 0,50 . b - 4,22 = 0
→ b = 1,82 m
a = 0,50 + b = 0,50 + 1,82 → a = 2,32 m
Arredondando:
a = 2,35 m
b = 1,85 m
142
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Unidade III
235 cm
235 cm
18
5 
cm
18
5 
cm
Figura 90 – Superposição das sapatas resultantes
Observa-se pela figura que ocorre superposição de áreas. Mesmo que não fosse considerada a prescrição 
a – b = a’ – b’, não seria possível projetar sapatas isoladas. É necessário que se projete uma sapata associada.
Como P1 = P2, o centro de carga estará equidistante de P1 e P2.
2 1520
A 8,44 m²
360
⋅= =
Neste caso, consegue-se uma sapata com viga de rigidez econômica fazendo-se com que a distância 
entre os eixos dos pilares seja igual a 3a/5.
Tem-se, então:
2 23 a 1,60 0,90 1,84m
5
= + =
∴ a = 3,07 m
8,44
b 2,75 m
3,04
= =
Arredondando:
a = 3,10 m
b = 2,75 m.
143
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MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
C.C.
V.R.92
275 cm
310
 cm
92
Figura 91 – Sapata associada resultante
Solução: Caso (b)
21600 1800A 9,44m
360
+= =
É necessário calcular o CC dos pilares:
cc
1800 0 600 160
X 75,30 cm
1800 1500
⋅ + ⋅= =
+
Deve-se observar que não é necessário calcular Ycc, uma vez que o CC deve estar na reta que une 
os centros dos pilares.
Neste caso, a obtenção da sapata mais econômica torna-se difícil. Adota-se, então, para a/2, a 
distância do centro de carga à face externa do pilar mais afastado, medida sobre o eixo da viga de 
rigidez, acrescida de um valor arbitrário a critério do projetista.
Neste exercício, será adotado a/2 = 1,5 m, portanto, a = 3,0 m.
9,44
b 3,15 m
3
= =
Arredondando:
a = 3,00 m
b = 3,15 m
144
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Unidade III
C.C.
V.R.75,
30
315
300
Figura 92 – Sapata associada resultante 
8.4 Dimensionamento para pilares de divisa
8.4.1 Dimensionamento de sapata alavancada
No caso de pilares junto aos limites do lote, tais como divisas e alinhamento da rua, ou próximos a 
obstáculos, por vezes não é possível fazer com que o centro de gravidade da sapata coincida com o centro 
de carga do pilar, sendo então necessário o emprego de uma viga de equilíbrio ou viga alavanca, ligada a 
outro pilar, para absorver o momento gerado pela excentricidade da sapata, conforme a figura seguinte.
Viga alavanca
L
L
b
P1 P2
P1 P2
R1 R2
R1 R2
Figura 93 – Sapata alavancada e seu esquema estrutural
145
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MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
8.4.1.1 Dimensionamento da sapata de divisa
A área da sapata de divisa é dimensionada para o esforço R1. Sejam e e L as componentes na direção 
perpendicular à divisa respectivamente da excentricidade e da distância entre os CC dos pilares. Fazendo 
o momento em relação ao CC do pilar P2 igual a zero, determina-se o valor de R1:
P1 . L = R1 . (L - e)
( )1 1
L
R P
L e
→ = ⋅
−
E assim pode-se determinar a área A:
1
adm
R
A a b= ⋅ =
σ
Note que R1 é função da excentricidade e esta, por sua vez, é função da dimensão b da sapata:
b b'
e
2
−=
Portanto, para o cálculo das dimensões da sapata, é necessário conhecer R1, que depende das 
dimensões da sapata. O problema é resolvido por meio de processo iterativo, considerando ainda a 
recomendação de se tomar a/b = 2,5.
Utilizando essa relação, obedece-se ao critério a/b ≤ 2,5, e minimiza-se a excentricidade, pois quanto 
menor b, menor e.
São os seguintes os passos do processo iterativo:
a) adota-se R1=1,2 P1 (em geral, R1 é cerca de 20% maior do que P1);
b) calcula-se A = R1/sadm;
c) impondo a/b = 2,5, calculam-se os valores de a e b;
d) com o valor de b, calcula-se a excentricidade e;
e) calcula-se R1’=P1{L/(L-e)};
f) compara-se o valor de R1’ com R1: se |R1’-R1| ≤ 10 kN, toma-se para R1 o valor R1’ e está encerrado o 
cálculo iterativo; caso contrário, calcula-se nova área (passo b) com R1’ e prossegue-se o cálculo iterativo;
146
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Unidade III
g) as dimensões a e b são aproximadas para múltiplos de 5 cm;
h) calculam-se os valores de e de R1 correspondentes às dimensões a e b definitivas.
Algumas observações importantes:
Nas expressões, não é necessário utilizar os valores reais da distância entre os CC dos pilares e da 
excentricidade, basta trabalhar somente com as suas componentes na direção perpendicular à divisa.
O CG da sapata é o ponto da reta passando pelos CC dos pilares que está a uma distância e, marcada 
na direção perpendicular à divisa, do CC do pilar P1.
Determinada a posição do CG, marcam-se as dimensões a e b, respectivamente nas direções 
paralela e perpendicular à divisa. Embora a dimensão b seja marcada perpendicularmente à divisa, 
as faces da sapata devem ser paralelas à reta que une os dois pilares, para minimizar os esforços 
torcionais na viga alavanca.
Frequentemente, sapatas de divisas estão associadas a escavações profundas junto as 
construções vizinhas. Nestes casos, pode ser preferível uma sapata mais próxima de um quadrado 
que uma retangular com a/b=2,5. O projeto sacrificaria a viga alavanca, na busca de uma solução 
mais exequível.
8.4.1.2 Dimensionamento da sapata interna
Uma vez dimensionada a sapata de divisa, procede-se ao dimensionamento da sapata interna, que é 
essencialmente semelhante ao de uma sapata isolada, com a ressalva indicada a seguir.
Do esquema estrutural apresentado na figura anterior, verifica-se que o pilar a viga alavanca tende 
a levantar o pilar P2, reduzindo a carga aplicada ao solo de um valor equivalente a ∆P = R1 - P1.
Na prática, esse alívio na carga do pilar não é adotado integralmente, sendo comum a adoção de 
apenas a metade do alívio.Assim a sapata interna será dimensionada para:
2 2
P
R P
2
∆= −
A redução no valor do alívio é atribuída ao fato de a viga alavanca não ser rígida, caso das alavancas 
longas, além das cargas de projeto incorporarem sobrecargas que nem sempre atuam integralmente, o 
que causaria um alívio hipotético superestimado.
No caso da alavanca não ser ligada a um pilar interno, mas sim a um contrapeso ou a um elemento 
trabalhando a tração, como uma estaca ou tubulão, o alívio é aplicado integralmente, a favor da segurança.
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MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
Exemplo de aplicação
1) Projetar sapatas para os pilares P1 e P2, sendo a tensão admissível do solo igual a 250 kN/m2.
20 20
50 40
P1 = 1250 kN
500
(medidas em cm)
Di
vi
sa
P1 = 1500 kN
Figura 94 – Posição e dimensão dos pilares P1 e P2
Solução:
Dimensionamento da sapata de divisa:
R1 = 1,2 . P1 → R1 = 1,2 . 1250
→ R1 = 1500 kN
1
adm
R 1500
A A
250
= → =
σ
→ A = 6 m2
a . b = 6 (1)
a
2,5
b
=
 (2)
De (1) e (2), tem-se:
2,5 . b2 = 6 ∴ b = 1,55 m
6
a a 3,87 m
1,55
= → =
b b' 1,55 0,2
e e 0,68 m
2 2
− −= = → =
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Unidade III
( ) ( )
'
1 1
L 5
R P 1250
L e 5 0,68
= ⋅ = ⋅
− −
R '1 = 1446,8 kN
Fazendo a verificação se o processo iterativo está concluído:
R '1 - R1 = |1446,8 - 1500| = 53,2 kN 
Como 53,2 kN > 10 kN, é necessário um segundo ciclo de iteração.
'
1
adm
R 1446
A A
250
= → =
σ
→ A = 5,79 m2 
a . b = 5,79 (1)
a
2,5
b
=
 (2)
De (1) e (2), tem-se:
2,5 . b2 = 5,79 ∴ b = 1,52 m 
5,79
a a 3,8 m
1,52
= → =
b b' 1,52 0,2
e e 0,66 m
2 2
− −= = → =
( ) ( )
''
1 1
L 5
R P 1250
L e 5 0,66
= ⋅ = ⋅
− −
R"1 = 1440 kN 
Fazendo a verificação se o processo iterativo está concluído:
R"1 - R
'
1 = |1440 - 1446,8| = 6,8 kN 
149
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MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
Como 6,8 kN < 10 kN, encerra-se o ciclo de iterações.
Arredondando:
a = 3,8 m
b = 1,55 m
Determinação dos valores finais de e e de R1:
1,55 0,2
e e 0,68 m
2
−= → =
( )1 1
5
R 1250 R 1447 kN
5 0,68
= ⋅ → =
−
Dimensionamento da sapata interna:
∆P = R1 - P1 = 1447 - 1250 = 197 kN
2 2 2
P 197
R P 1500 R 1401 kN
2 2
∆= − = − → =
1401
A A 5,6 m²
250
= → =
a . b = 5,6
a - b = a’ - b’ = 0,20
b2 + 0,20 . b - 5,6 = 0
→ b = 1,57 m
a = 0,20 + b = 0,20 + 1,57 → a = 1,77 m
Arredondando:
a = 1,80 m
b = 1,60 m
150
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Unidade III
CG
e=64 cm
V.E.
155 cm
160 cm
30
0 
cm
18
0 
cm
Figura 95 – Sapata de divisa e sapata interna resultantes
2) Projetar sapatas para os pilares P1 e P2, sendo a tensão admissível do solo igual a 300 kN/m2.
20 20
50 40
P1 = 1000 kN
600
(medidas em cm)
Di
vi
sa
P1 = 1500 kN
Figura 96 – Posição e dimensão dos pilares P1 e P2
Solução:
Dimensionamento da sapata de divisa:
R1 = 1,2 . P1 → R1 - P1 = 1,2 . 1000
→ R1 = 1200 kN
1
adm
R 1200
A A
300
= → =
σ
→ A = 4 m2 
a . b = 4 (1)
a
2,5
b
=
 (2)
De (1) e (2), tem-se:
151
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MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
2,5 . b2 = 4 ∴ b = 1,26 m 
4
a a 3,17 m
1,26
= → =
b b' 1,26 0,2
e e 0,53 m
2 2
− −= = → =
( ) ( )
'
1 1
L 6
R P 1000
L e 6 0,53
= ⋅ = ⋅
− −
R '1 = 1097 kN 
Fazendo a verificação se o processo iterativo está concluído:
R '1 - R1 = |1097 - 1000| = 97 kN 
Como 97 kN> 10 kN, é necessário um segundo ciclo de iteração.
'
1
adm
R 1097
A A
300
= → =
σ
→ A = 3,66 m2 
a . b = 3,66 (1)
a
2,5
b
=
 (2)
De (1) e (2), tem-se:
2,5 . b2 = 3,66 ∴ b = 1,20 m 
3,66
a a 3,05 m
1,20
= → =
b b' 1,20 0,2
e e 0,50 m
2 2
− −= = → =
( ) ( )
''
1 1
L 6
R P 1000
L e 6 0,50
= ⋅ = ⋅
− −
152
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Unidade III
R"1 = 1091 kN 
Fazendo a verificação se o processo iterativo está concluído:
R"1 - R
'
1 = |1091 - 1097| = 6 kN 
Como 6 kN <10 kN, encerra-se o ciclo de iterações.
Arredondando:
a = 3,10 m
b = 1,20 m
Determinação dos valores finais de e e de R1:
1,20 0,2
e e 0,50 m
2
−= → =
( )1 1
6
R 1000 R 1091 kN
6 0,50
= ⋅ → =
−
Dimensionamento da sapata interna:
∆P = R1 - P1 = 1091 - 1000 = 91 kN 
2 2 2
P 91
R P 1500 R 1454,5 kN
2 2
∆= − = − → =
1454,5
A A 4,85 m²
300
= → =
a . b = 4,85
a - b = a’ - b’ = 0,20
b2 + 0,20 . b - 4,85 = 0
→ b = 2,10 m
a = 0,20 + b = 0,20 + 2,10 → a = 2,30 m
Arredondando:
153
Re
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MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
a = 2,30 m
b = 2,10 m
CG
e=50 cm
V.E.
120 cm
210 cm
31
0 
cm
23
0 
cm
Figura 97 – Sapata de divisa e sapata interna resultantes 
8.4.2 Dimensionamento de sapata associada
Quando o pilar P2 interno estiver próximo ao pilar de divisa P1, recorre-se à solução de sapata associada.
Há duas possibilidades: P1 ≤ P2 e P1> P2, com soluções de sapata em forma de paralelogramo e de 
sapata em forma de trapézio, respectivamente.
A seguir, apresenta-se o dimensionamento para as duas situações.
Caso (a): P1 ≤ P2
VR
CC
P2
P1
a/2
b
Figura 98 – Sapata em forma de paralelogramo
154
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Unidade III
Como P1 < P2, o CC dos pilares está mais próximo de P2. Uma vez que a sapata não pode avançar 
além da face externa do pilar P1, o valor de a/2 está definido, conforme indicado na figura anterior, 
sendo os valores de a e b determinados a partir dele.
Exemplo de aplicação
1) Projetar sapatas para os pilares P1 e P2, sendo a tensão admissível do solo igual a 300 kN/m2.
20
25
60
25
220
P1 = 2000 kN
500
(medidas em cm)
Di
vi
sa
P2 = 1500 kN
Figura 99 – Posição e dimensões dos pilares P1 e P2
Solução:
Dimensionamento da sapata de divisa:
R1 = 1,2 . P1 = 1,2 . 2000 
→ R1 = 2400 kN
2400
A 8 m²
300
= =
a . b = 8
a
2,5
b
=
2,5 . b2 = 8 → b = 1,80 m 
( ) ( )b b' 1,80 0,2
e 0,8 m
2 2
− −
= = =
155
Re
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MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
( ) ( )
'
1 1
L 5
R P 2000 2381 kN
L e 5 0,8
= ⋅ = ⋅ =
− −
R '1 - R1 = |2381 - 2400| = 19 kN > 10 kN 
Necessário um segundo ciclo iterativo:
'
1
adm
R 2381
A 7,94 m²
300
= = =
σ
a . b = 7,94
a
2,5
b
=
2,5 . b2 = 7,94 → b = 1,78 m 
( ) ( )b b' 1,78 0,2
e 0,79 m
2 2
− −
= = =
( ) ( )
''
1 1
L 5
R P 2000 2375 kN
L e 5 0,79
= ⋅ = ⋅ =
− −
R '1 - R1 = |2375 - 2381| = 6 kN < 10 kN 
Processo iterativo encerrado.
Arredondando:
a = 4,5 m
b = 1,8 m
Valores finais de e e de R1:
( ) ( )b b' 1,80 0,2
e 0,8 m
2 2
− −
= = =
( ) ( )1 1
L 5
R P 2000 2381 kN
L e 5 0,8
= ⋅ = ⋅ =
− −
156
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8
Unidade III
Dimensionamento da sapata interna:
∆P = R1 - P1 = 2381 - 2000 = 381 kN
2 2 2
P 381
R P 1500 R 1309 kN
2 2
∆= − = − → =
1309
A A 4,36 m²
300
= → =
a . b = 4,36
a - b = a’ - b’ = 0
→ a = b
a2 = 4,36
→ a = b = 2,09 m
Arredondando:
a = 2,10 m
b = 2,10 m
V.E.
CG
58 cm
210 cm
210 cm
180 cm
48
0 
cm
Figura 100 – Sapata associada resultante
157
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8
MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
2) Projetar sapatas para os pilares P1 e P2, sendo a tensão admissível do solo igual a 300 kN/m2.
20
30
50
30
220
P1 = 1250 kN
500
(medidas em cm)
Di
vi
sa
P1 = 1000 kN
Figura 101 – Dados para o cálculo da sapata
Solução:
Dimensionamento da sapata de divisa:
R1 = 1,2 P1
R1 = 1,2 x 1250 = 1500 kN
A = R1/ σadm →γ A = 1500/ 250 = 6 m2
a.b = 6 a/b = 2,5
2,5 b2 = 6 b = 1,55 m
a = 6 /1,55 a= 3,87 m
e = (b-b’)/2 = (1,55-0,2)/2e = 0,68 m
R1’ =P1L/(L-e) =1250x5 / (5-0,68)
R1’= 1446,8 kN
R1’-R1 = 1446,8-1250 = 196kN
196 > 10 kN implica um segundo ciclo iterativo.
A = R1’/ σadm
158
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8
Unidade III
A = 1446,8 / 250 = 5,79 m2
a.b = 5,79 a/b = 2,5
2,5b2 = 5,79 b=1,52 m
a = 5,79 / 1,52= 3,8 m
e= (b-b’)/2 = (1,52-0,20) / 2 = 0,66 m
R1’’ =P1L/(L -e ) =1250x5 / (5-0,66) = 1440 kN
R1’’-R1’= 1446,8-1440 = 6,8 kN
6,8 < 10 kN 
Processo iterativo encerrado.
Valores finais de e e de R1:
e = (1,55-0,20) / 2 → e= 0,68
R1 = 1250x5 / (5-0,68) →γ R1 =1447 kN
Arredondando:
a = 3,8 m b = 1,55 m
Dimensionamento da sapata interna
∆P = R1 – P1 = 1447- 1250 = 197 kN
R2 = P2 – (∆P/2) = 1000- 99 = 901 kN
A = 901 / 300 = 3 m2
a – b = a’- b’ = 0
→ a = b =1,73 m
Dimensões definitivas:
a = 1,75 m
b = 1,75 m
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MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
V.E.
CG
58 cm
175 cm
175 cm
155 cm
38
0 
cm
Figura 102 – Sapatas resultantes
 
Note que na situação do exemplo anterior não é possível projetar uma sapata associada em forma 
de paralelogramo, pois, desse modo, ela obrigatoriamente ultrapassaria a linha de divisa.
Utiliza-se então a sapata com formato de trapézio. As dimensões a, b e h do trapézio são escolhidas 
de tal maneira que o seu CG coincida com o CC dos pilares.
CC
VR
P2
P1
a
b
Z
h
Figura 103 – Sapata em forma de trapézio
A posição do CG de um trapézio pode ser determinada pela seguinte expressão:
z 1 a 2b
h 3 a b
+ = ⋅  + 
160
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Unidade III
Observe que o valor mínimo para a relação z/h é 1/3, que ocorre quando b = 0, condição em que o 
trapézio se transforma em um triângulo.
A área do trapézio é dada pela expressão:
1 2
adm
a b P P
A h
2
 + + = ⋅ =     σ 
Tem-se, portanto, duas equações e três incógnitas (h, a, b), uma vez que z é conhecido. 
Qualquer solução que atenda as duas expressões simultaneamente é válida, desde que:
• A dimensão b do trapézio seja no mínimo igual a 80 cm. Como já tratado anteriormente, de 
acordo com a norma brasileira, sapatas não devem ter nenhuma dimensão menor do que 
esse valor.
• A dimensão h seja, no mínimo, igual à distância entre as faces mais afastadas dos dois pilares, 
medida na direção perpendicular à divisa, e no máximo igual a 3z.
Para resolver o problema, tem-se o seguinte procedimento:
a) Determina-se o valor de z, como distância do CC à face externa do pilar P1.
b) Impõe-se um valor de h, que deverá ser menor do que 3z e no mínimo igual à distância entre as 
faces mais afastadas dos dois pilares, medida na direção perpendicular à divisa.
c) Calcula-se a área do trapézio.
d) Tem-se então duas equações e duas incógnitas (a e b). Assim se obtêm a e b.
Da 2a equação:
( ) 2 Aa b
h
⋅+ =
Substituindo o valor de (a+b) na primeira equação, determina-se b:
( )a b bz 1
 
h 3 a b
+ +
=
+
e) O lado b deve ser maior ou igual a 0,8 m. Se b < 0,8m, diminui-se o valor de h e calcula-se novamente.
161
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MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
Exemplo de aplicação
1) Projetar fundação em sapatas para os pilares P1 e P2, sendo a taxa de trabalho do solo igual a 
300 kN/m2.
100
20
20
80
120
300
P2 = 1800 kN
P1 = 1500 kN
(medidas em cm)
Di
vi
sa
Figura 104 – Posição e dimensões dos pilares P1 e P2
Solução:
1 2
adm
P P 1500 1800
A 11 m²
300
+ += = =
σ
Cálculo do CC dos pilares:
i i
i
P X 1500 0,50 1800 3,00
1,86 m
P 1500 1800
∑ ⋅ ⋅ + ⋅= =
∑ +
Portanto:
a = 2 . 1,86 = 3,72 m
11
b 2,96 m
3,72
= =
Arredondando os valores, tem-se:
a = 3,75 m
b = 3,00 m
162
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Unidade III
P1
P2
375 cm
30
0 
cm
CG
V.R.
187 cm
Figura 105 – Sapata associada resultante
2) Projetar fundação em sapatas para os pilares P1 e P2, sendo a taxa de trabalho do solo igual a 
300 kN/m2.
80
20
20
75
100
200
P2 = 2500 kN
P1 = 2000 kN
(medidas em cm)
Di
vi
sa
Figura 106 – Posição e dimensões dos pilares P1 e P2
Solução:
1 2
adm
P P 2000 2500
A 15 m²
300
+ += = =
σ
Cálculo do CC dos pilares:
i i
i
P X 2000 0,40 2500 2,50
1,57 m
P 2000 2500
∑ ⋅ ⋅ + ⋅= =
∑ +
163
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MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
Portanto:
a = 2 . 1,57 = 3,14 m
15
b 4,77 m
3,14
= =
Arredondando os valores, tem-se:
a = 3,15 m
b = 4,80 m
P1
P2
480 cm
31
5 
cm
CG
V.R.
157 cm
Figura 107 – Sapata associada resultante
3) Projetar fundação em sapatas para os pilares P1 e P2, sendo a taxa de trabalho do solo igual 300 kN/m2.
20
40
90 40
P1 = 1700 kN
250
(medidas em cm)
Di
vi
sa
P2 = 1500 kN
Figura 108 – Posição e dimensões dos pilares P1 e P2
Solução:
Cálculo do centro de carga dos pilares:
164
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Unidade III
i i
i
P X 1700 0,10 1500 2,50
1,23 m
P 1700 1500
∑ ⋅ ⋅ + ⋅= =
∑ +
O valor de h deve estar entre 2,7 m (distância entre as faces mais afastadas dos pilares) e 3,7 m (3z).
Será adotado h = 3 m.
A área do trapézio é:
1 2
adm
P P 1700 1500
A 10,7 m²
300
+ += = =
σ
Portanto:
( ) 2 A 2 10,7a b 7,13 m
h 3,00
⋅ ⋅+ = = =
Substituindo (a+b) na outra expressão, tem-se:
( )
( ) ( )
a b bz 1 1,23 1 7,13 b
 
h 3 a b 3 3 7,13
   + + += → =   +   
Resolvendo a equação, obtém-se b = 1,64 m.
O valor é aceitável, pois b ≥ 0,8 m.
a + b = 7,13 → a = 7,13 - 1,64
a = 5,49 m
Portanto as dimensões da sapata são:
a = 5,50 m
b = 1,65 m
h = 3,0 m
165
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MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
300 cm
123 cm
V.R.
16
5 
cm
55
0 
cm
CG
Figura 109 – Sapata associada resultante
4) Projetar fundação em sapatas para os pilares P1 e P2, sendo a taxa de trabalho do solo igual 300 kN/m2.
30
40
80 50
P1 = 2000 kN
235
(medidas em cm)
Di
vi
sa
P2 = 1500 kN
Figura 110 – Posição e dimensões dos pilares P1 e P2
Solução:
Cálculo do centro de carga dos pilares:
i i
CC
i
P X 2000 0,15 1500 2,35
X z 1,09 m
P 2000 1500
∑ ⋅ ⋅ + ⋅= = = =
∑ +
O valor de h deve estar entre 2,55 m (distância entre as faces mais afastadas dos pilares) e 3,27 m (3z).
Será adotado h = 3,2 m.
A área do trapézio é:
1 2
adm
P P 2000 1500
A 11 m²
320
+ += = =
σ
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Unidade III
Portanto:
( ) 2 A 2 11a b 6,9 m
h 3,20
⋅ ⋅+ = = =
Substituindo (a+b) na outra expressão, tem-se:
( )
( ) ( )
a b bz 1 1,09 1 6,9 b
 
h 3 a b 3 3 6,9
   + + += → =   +   
Resolvendo a equação, obtém-se b = 0,62 m.
O valor não é aceitável, pois b deve ser igual ou superior a 0,8 m.
Será adotado h = 2,6 m.
A área do trapézio é:
A = (2000+1500) / 300 = 11,67 m2
Portanto:
( ) 2xA 2x11,67a b 8,98 m
h 2,60
+ = = =
Substituindo (a+b) na outra expressão, tem-se:
( )
( )
( )
( )
a b b 8,98 bz 1 1,09 1
 
h 3 a b 3 3 8,98
   + + +
= = =   +    
Resolvendo a equação, obtém-se b = 0,81 m.
Valor aceitável, b ≥ 0,8 m.
a = 8,98 – 0,81 = 8,17
Portanto, as dimensões da sapata são:
a = 8,17
b = 0,81 m
h = 2,6 m
167
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MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
260 cm
109 cm
V.R.
81
 c
m
81
7 
cm
CG
Figura 111 – Sapata associada resultante
 
8.5 Dimensionamento para pilares próximos às duas divisas
A solução, neste caso, é também por sapata alavancada.
b’
a’
a
(a * a’)/2
(b * b’)/2
CG
Viga alavancada
b
e
e
P1
R1
P2
R2
L
e
α
α
Figura 112 – Sapata alavancada para pilares próximos às duas divisas
A área da sapatade divisa é dimensionada para o esforço R1. Sejam e e L a excentricidade e a 
distância entre os CC dos pilares.
168
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Unidade III
Fazendo o momento em relação ao CC do pilar P2 igual a zero, determina-se o valor de R1:
( )1 1
L
R P
L e
= ⋅
−
E, assim, pode-se determinar a área A:
1
adm
R
A a b= ⋅ =
σ
No caso de sapata de uma divisa, a e b podiam assumir quaisquer valores. Para resolver o problema, 
era imposto o critério a/b = 2,5.
No caso de sapata de duas divisas, não se pode impor esse critério, pois, para que o CG da sapata 
coincida com o CC dos pilares, como se pode deduzir do triângulo mostrado no canto superior direito 
da figura anterior, deve ser obedecida a seguinte relação:
b - b’ = tan . α(a - a’)
Isso significa que existe uma única sapata de área A com o CG coincidindo com o CC dos pilares.
A relação entre a excentricidade e as dimensões da sapata também pode ser obtida do triângulo 
mostrado na figura anterior:
b b'
e
2sin
−=
α
Portanto, para o cálculo das dimensões da sapata, é necessário conhecer R1, que, por sua vez, 
depende das dimensões. Neste caso, o problema também é resolvido por meio de processo iterativo.
São os seguintes os passos do processo iterativo:
a) da geometria do problema, calcula-se o ângulo α;
b) adota-se R1=1,3 P1 (em geral, para sapata de duas divisas, R1 é cerca de 30% maior do que P1,);
c) calcula-se A = R1/σadm;
d) com a área conhecida e com a relação b - b’ = tan . α(a - a’), calculam-se os valores de a e b;
e) calcula-se 
b b'
e
2sin
−=
α
169
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MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
f) calcula-se ( )
'
1 1
L
R P
L e
= ⋅
−
g) compara-se o valor de R1’ com R1; se |R1’-R1|γ≤ 10 kN, toma-se para R1 o valor R1’ e está encerrado 
o cálculo iterativo; caso contrário, calcula-se nova área (passo b) com R1’ e prossegue-se o 
cálculo iterativo;
h) as dimensões a e b são aproximadas para múltiplos de 5 cm;
i) calculam-se os valores de e de R1 correspondentes às dimensões a e b definitivas.
Seguem algumas observações importantes
Neste caso, diferentemente do visto para sapata de uma divisa, é necessário utilizar nas expressões 
os valores reais da excentricidade e da distância entre os CC dos pilares.
Para uso das expressões anteriores, a dimensão b deve ser a definida no triângulo mostrado na 
figura, ou seja, (b-b’)/2 deve corresponder ao lado oposto ao ângulo α.
Uma vez dimensionada a sapata de divisa, procede-se ao dimensionamento da sapata interna, que 
é exatamente igual ao apresentado no caso de sapata de uma divisa.
Exemplo de aplicação
1) Dimensionar sapatas para os pilares P1 e P2, sendo a tensão admissível do solo igual a 360 kN/m².
320 cm
41
0 
cm
P1 = 1120 kN
P2 = 1390 kN
25
25
65
60
Figura 113 – Posição e dimensões dos pilares P1 e P2
170
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 0
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8
Unidade III
Solução:
Dimensionamento da sapata de duas divisas:
3,2
tan 0,78
4,1
α = =
→ α = 37,97º
2 2L 3,2 4,1 5,2= + =
R1 = 1,3 . P1 = 1,3 . 1120 = 1456 kN
1
adm
R 1456
A a b A 4,05 m²
360
= ⋅ = = → =
σ
( )
( )
( )
( )
b b' b 0,25
tan
a a' a 0,60
− −
α = =
− −
Sistema de equações:
a . b = 4,05 m2
( )
( )
b 0,25
0,78
a 0,60
−
=
−
Isolando o valor de (a) da primeira equação e substituindo na segunda tem-se:
4,05
a
b
=
( )b 0,25
0,78
4,05
0,60
b
−
=
   −    
3,159
0,468 b 0,25
b
→ − = −
→ b2 + 0,218b - 3,16 =0
171
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MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
∴b = 1,67 m
4,05 4,05
a
b 1,67
= =
∴a = 2,43 m 
b b' 1,67 0,25
e e 1,15 m
2sin 2sin37,97
− −= = → =
α °
( ) ( )
'
1 1
L 5,2
R P 1120 1438 kN
L e 5,2 1,15
= ⋅ = ⋅ =
− −
R '1 - R1 = |1438 - 1456| = 18 kN < 10 kN 
Necessário um segundo ciclo iterativo.
1438
A a b 3,99 m²
360
=′′ = ⋅ =
3,99
a
b
′ =′
( )b 0,25
0,78
3,99
0,60
b
−
=
   −    
3,1122
0,468 b 0,25
b
→ − = −
→ b2 + 0,218b - 3,1122 = 0
∴b” = 1,66 m 
3,99 3,99
a''
b 1,66
= =
∴a” = 2,40 m 
172
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Unidade III
b'' b' 1,66 0,25
e'' e 1,13 m
2sin 2sin37,97
− −= = → =
α °
( ) ( )
''
1 1
L 5,2
R P 1120 1430 kN
L e 5,2 1,13
= ⋅ = ⋅ =
− −
R"1 - R1 = |1438 - 1430| = 8 kN < 10 kN 
Processo iterativo encerrado.
Arredondando:
a = 2,40 m
b = 1,70 m
Valores finais de e e R1:
( )b b' 1,60 0,25
e e 1,18 m
2sin 2sin37,97
− −= = → =
α °
′′
′′
( ) ( )
''' '''
1 1 1
L 5,2
R P 1120 R 1449 kN
L e''' 5,2 1,18
= ⋅ = ⋅ → =
− −
Dimensionamento da sapata interna:
∆P = R1 - P1 = 1449 - 1120 = 329 kN 
2 2 2
P 329
R P 1390 R 1225,5 kN
2 2
∆= − = − → =
1225,5
A A 3,4 m²
360
= → =
a . b = 3,4
a - b = a’ - b’ = 0,40
b2 + 0,40 . b - 3,4 = 0 
173
Re
vi
sã
o:
 F
ab
ríc
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 0
6/
12
/1
8
MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
→ b2 = 1,65 m
a = 0,40 + b = 0,40 + 1,65 → a = 2,05 m
V.E.
CG
16
5 
cm
24
0 
cm
170 cm
e = 118
205 cm
Figura 114 – Sapata alavancada resultante
2) Dimensionar sapatas para os pilares P1 e P2, sendo a tensão admissível do solo igual a 320 kN/m².
350 cm
45
0 
cm
P1 = 990 kN
P2 = 1420 kN
20
25
60
60
Figura 115 – Posição e dimensões dos pilares P1 e P2
174
Re
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o:
 F
ab
ríc
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 0
6/
12
/1
8
Unidade III
Solução:
Dimensionamento da sapata de duas divisas:
3,5
tan 0,778
4,5
α = =
→ α = 37,87º 
2 2L 3,5 4,5 5,7= + =
R1 = 1,3 . P1 = 1,3 . 990 = 1287 kN 
1
adm
R 1287
A a b A 4,02 m²
320
= ⋅ = = → =
σ
( )
( )
( )
( )
b b' b 0,20
tan
a a' a 0,60
− −
α = =
− −
Sistema de equações:
a . b = 4,02 m2 
( )
( )
b 0,20
0,778
a 0,60
−
=
−
Isolando o valor de (a) da primeira equação e substituindo na segunda tem-se:
4,02
a
b
=
( )b 0,20
0,778
4,02
0,60
b
−
=
   −    
3,1356
0,468 b 0,20
b
→ − = −
→ b2 + 0,218b - 3,1356 = 0 
175
Re
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o:
 F
ab
ríc
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 0
6/
12
/1
8
MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
∴b = 1,64 m 
4,02 4,02
a
b 1,64
= =
∴a = 2,45 m 
b b' 1,64 0,20
e e 0,93 m
2sin 2sin37,87
− −= = → =
α °
( ) ( )
'
1 1
L 5,7
R P 990 1183 kN
L e 5,7 0,93
= ⋅ = ⋅ =
− −
R '1 - R1 = |1183 - 1287| = 104 kN > 10 kN 
Necessário um segundo ciclo iterativo.
1183
A a b 3,70 m²
320
=′ = ⋅ =
3,70
a
b
′ =′
( )b 0,20
0,778
3,70
0,60
b
−
=
   −    
2,886
0,468 b 0,20
b
→ − = −
→ b2 + 0,268b - 2,886 = 0 
∴b” = 1,57 m 
3,70 3,70
a''
b 1,57
= =
∴a” = 2,36 m 
176
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ríc
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ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
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6/
12
/1
8
Unidade III
b'' b' 1,57 0,20
e'' e 1,12 m
2sin 2sin37,87
− −= = → =
α °
( ) ( )
''
1 1
L 5,7
R P 990 1232 kN
L e 5,7 1,12
= ⋅ = ⋅ =
− −
R"1 - R
'
1 = |1232 - 1183| = 39 kN < 10 kN 
Necessário um terceiro ciclo iterativo.
1232
A a b 3,85 m²
320
=′′ = ⋅ =
3,85
a
b
′′ =′
( )b 0,20
0,778
3,85
0,60
b
−
=
   −    
2,99
0,47 b 0,20
b
→ − = −
→ b2 + 0,27b - 2,99 = 0 
∴b” = 1,60 m 
3,85 3,85
a'''
b 1,60
= =
∴a” = 2,41 m 
b'' b' 1,60 0,20
e'' e 1,14 m
2sin 2sin37,87
− −= = → =
α °
( ) ( )
'''
1 1
L 5,7
R P 990 1237,5 kN
L e 5,7 1,14
= ⋅ = ⋅ =
− −
177
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12
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8
MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
R"1 - R
'
1 = |1237,5 - 1232| = 5,5 kN < 10 kN 
Processo iterativo encerrado.
Arredondando:
a = 2,45 m
b = 1,60 m
Valores finais de e e R1:
( )'''' b b' 1,60 0,20e e 1,14 m
2sin 2sin37,87
− −= = → =
α
′′′
°
( ) ( )
'''' ''''
1 1 1
L 5,7
R P 990 R 1237,5 kN
L e 5,7 1,14
= ⋅ = ⋅ →
′′′
=
− −
Dimensionamento da sapata interna:
∆P = R1 - P1 = 1237,5 - 990 = 247,5 kN
2 2 2
P 247,5
R P 1420 R 1296,5 kN
2 2
∆= − = − → =
1296,5A A 4,05 m²
320
= → =
a . b = 4,05
a - b = a’ - b’ = 0,35
b2 + 0,35 . b - 4,05 = 0
→ b2 = 1,85 m
a = 0,35 + b = 0,35 + 1,85 → a = 2,20 m 
178
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8
Unidade III
V.E.
CG
185 cm
24
5 
cm
160 cm
e = 114
220 cm
Figura 116 – Sapata alavancada resultante
 
8.6 Dimensionamento para pilares com carga vertical e momento
Frequentemente, em casos práticos, além da carga vertical, atua um momento na fundação. Esse 
momento pode ser causado por cargas aplicadas excentricamente ao eixo da sapata, por efeito de 
pórtico em estruturas hiperestáticas, por cargas horizontais aplicadas à estrutura, como empuxo 
de terra em muros de arrimo, vento, frenagem e outros.
Na figura a seguir é apresentado o caso de uma sapata submetida a uma carga P e a um 
momento M. Observe-se que o efeito do momento M pode ser substituído pelo deslocamento da 
carga P para uma distância e (= excentricidade) do centro da sapata, tal que Pe = M.
P
M
P
e
Figura 117 – Efeito do momento
179
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8
MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
Neste caso, as tensões no terreno não serão uniformes, variando ao longo da base da sapata.
PP
PePe
y
α = P/A α = Pey/J α = P/a + Pey/J
Figura 118 – Variação das tensões ao longo da base da sapata
Como se conclui da figura anterior, o valor da tensão na base da sapata vale:
P P e
y
A J
⋅σ = ± ⋅
Em que J é momento de inércia da seção transversal em relação à linha neutra e y é a distância 
considerada da linha neutra.
Para seção retangular, tem-se:
3b a
J
12
⋅=
Sendo α a dimensão da sapata na direção em que ocorre a excentricidade e. Os valores σmax e σmin 
ocorrem para y = a/2. Para esse valor de y tem-se:
3 2
P e P e a 6 P e
y
J 2b a b a
12
⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ = ⋅ =
⋅ ⋅
Sendo W = ba2/6 o módulo de resistência da seção da base da sapata, tem-se:
max
min 2
P P e P 6 P e
A W a b b a
⋅ ⋅ ⋅σ = ± = ±
⋅ ⋅
Note-se que, para e > a/6 (carga P fora do núcleo central), resulta σmin < 0. Esta situação de tensões 
de tração ocorrerá no contato sapata-solo. Como o solo não resiste à tração, não se considera a área 
tracionada no cálculo.
180
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ef
fe
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8
Unidade III
O procedimento recomendado para dimensionamento da sapata é o seguinte:
a) Calcula-se a excentricidade e = M/P.
b) Faz-se com que a carga P esteja dentro do núcleo central: a > 6e. Adota-se um valor de a que 
satisfaça essa expressão.
c) Impõe-se a condição:
σmax ≤ σadm
E assim determina-se b através da expressão:
adm2
P 6 P e
a b b a
⋅ ⋅+ = σ
⋅ ⋅
 Observação
Neste tipo de sapata não há necessidade de correlacionar seus lados 
com os lados do pilar, nem há obrigatoriedade de se manter a relação 
a/b ≤ 2,5.
Exemplo de aplicação
1) Calcular as dimensões de uma sapata para o pilar indicado a seguir, sendo a tensão admissível do 
terreno igual a 320 kN/m².
30
70
P = 2120 kN
M = 425 kN
Figura 119 – Dimensões e carregamentos do pilar
Solução:
M 425
e 0,2 m
P 2120
= = =
Assim, qualquer valor de a superior a 6e = 1,20 m satisfaz.
Será aqui adotado a = 2,5 m.
181
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8
MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
adm2
P 6 P e
a b b a
⋅ ⋅+ = σ
⋅ ⋅
2120 6 2120 0,2
320
2,5 b b 6,25
⋅ ⋅→ + =
⋅ ⋅
5300 2544
320
6,25 b
+→ =
⋅
→ b = 3,92 m
Dimensões finais:
a = 2,00 m
b = 3,95 m
200 cm
395 cm
Figura 120 – Sapata resultante
2) Calcular as dimensões de uma sapata para o pilar a seguir indicado, sendo a tensão admissível do 
terreno igual a 340 kN/m².
35
60
P = 2250 kN
M = 410 kN
Figura 121 – Dimensões e carregamentos do pilar
182
Re
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8
Unidade III
Solução:
M 410
e 0,18 m
P 2250
= = =
Assim, qualquer valor de a superior a 6e = 1,10 m satisfaz.
Será aqui adotado a = 4 m.
adm2
P 6 P e
a b b a
⋅ ⋅+ = σ
⋅ ⋅
2250 6 2250 0,18
340
4 b b 16
⋅ ⋅→ + =
⋅ ⋅
9000 2430
340
16 b
+→ =
⋅
→ b = 2,23 m 
Dimensões finais:
a = 4,00 m
b =2,25 m
225 cm
400 cm
Figura 122 – Sapata resultante
 
No caso mais geral, com excentricidade dupla, o momento resultante deve ser decomposto em 
relação aos dois eixos e seus efeitos somados.
183
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8
MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
Y
X
b
a
ey
ex
P
Figura 123 – Decomposição dos momentos – excentricidade dupla
Definem-se:
Mx = P . ey My = P . ex
 
2
x
ab
W
6
=
 
2
y
ba
W
6
=
A expressão para as tensões máxima e mínima fica sendo:
y ymax x x
min 2 2
x y
P e 6 P eP P e P 6 P e
A W W ab ab ba
⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅σ = ± ± = ± ±
Para que não ocorra tração em nenhum ponto do contato sapata-solo, deve-se ter:
 
x
a
e
6
≤
 
y
b
e
6
≤
Impõe-se também a condição:
σmax ≤ σadm
ou seja:
y x
adm2 2
6 P eP 6 P e
ab ab ba
⋅ ⋅ ⋅ ⋅± ± ≤ σ
A norma brasileira NBR 6122 permite que se adote o seguinte procedimento para cálculo de sapatas 
com carga vertical e momento:
184
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Unidade III
a) Determina-se a área efetiva da fundação, que é a área resultante da carga P sem momento.
ef
adm
P
A =
σ
b) De Aef resultam aef e bef.
c) As dimensões reais a e b da sapata são obtidas pelas expressões:
 
ef
x
aa
e
2 2
= +
 
ef
y
bb
e
2 2
= +
As figuras a seguir ilustram os resultados para excentricidade simples e excentricidade dupla.
Y
X
b
a
ey
ex
P
Figura 124 – Resultado para excentricidade simples
Y
X
b
a
ey
ex
P
Figura 125 – Resultado para excentricidade dupla
8.7 Disposições construtivas
A norma NBR-6122 apresenta as seguintes disposições construtivas.
185
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MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
Profundidade mínima
A base da sapata deve ser assente a uma profundidade tal que garanta que o solo de apoio não 
seja influenciado pelos agentes atmosféricos e fluxos d’água. Nas divisas com terrenos vizinhos, tal 
profundidade não deve ser menor que 1,5 m.
Lastro
Deve-se executar previamente a execução da fundação uma camada de concreto simples de 
regularização de, no mínimo, 5 cm de espessura ocupando toda a área da cava da fundação.
Fundações em cotas diferentes
No caso de fundações próximas, porém situadas em cotas diferentes, a reta de maior declive que 
passa pelos seus bordos deve fazer com a vertical um ângulo α, como mostrado na figura a seguir, com 
os seguintes valores:
Solos pouco resistentes: α ≥ 60°
Solos resistentes: α ≥ 45°
Rochas: α ≥ 30°
Figura 126 – Reta de maior declive
8.8 Fórmulas teóricas para compreensão do fenômeno de ruptura de 
uma fundação
Vários estudos teóricos foram desenvolvidos com base na teoria da plasticidade, permitindo calcular 
a capacidade de carga dos solos. Dentre eles destaca-se o proposto por Terzaghi (1943). Para utilização 
dessas teorias é necessário saber os valores da resistência ao cisalhamento (c, φ) do solo em estudo. Para 
areias, o parâmetro básico é o ângulo de atrito φ’, determinado em ensaios de resistência drenados, uma 
186
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8
Unidade III
vez que o valor de coesão é zero. Já para as argilas, a hipótese de cálculo é mais pessimista, admitindo-se 
carregamento rápido e, portanto, o parâmetro de interesse é o valor da coesão não drenada c.
A seguir, são apresentadas as fórmulas didáticas propostas por ele, fáceis de deduzir e que facilitam 
a compreensão do fenômeno de ruptura de uma fundação.
8.8.1 Método didático de Terzaghi
a) Sapata circular apoiada à superfície
Este método se baseia em modelos de sapatas, nas quais foram medidas as deformações do solo 
abaixo delas. Para uma sapata de diâmetro B = 2R, foi observadoque as maiores deformações laterais 
ocorriam até uma profundidade aproximadamente igual a 2R. Como mostrado na figura a seguir, o 
cilindro (a), abaixo da sapata, expande-se lateralmente, provocando deformações laterais apreciáveis 
também na região anelar (b) de solo confinante, de espessura igual a 2R, inclusive decorrendo um 
empolamento da superfície do solo adjacente à sapata.
2 R
(b) (a)
σ1a
σ1bσ3a
σ3b
(b)
2 
R
B = 2 R 2 R
Figura 127 – Sapata circular apoiada à superfície – diâmetro B = 2R
Terzaghi observou também que a deformação lateral no centro de (a) era o dobro da deformação 
lateral no centro de (b). Com base nessa constatação e admitindo o comportamento do solo como 
elástico linear, ele formulou a hipótese fundamental do método didático aplicado às sapatas circulares: 
a tensão horizontal no centro da região (a) é o dobro da tensão horizontal no centro da região (b).
No centro do cilindro (a) e no centro do anel (b), as tensões principais atuam nos planos vertical e 
horizontal, tal que:
σ3a = 2 σ1b
Sendo γ o peso específico do solo, resulta que:
σ1a = σr + γR
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MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
σ3b = γR
Para solo com comportamento puramente coesivo (s=c), deduz-se dos círculos de Mohr (Figura 
124) que:
σ1a = σ3a + 2c
σ1b = σ3b + 2c
σ3b σ3aσ1b σ1a σ
C
s
Figura 128 – Círculos de Mohr para solo com comportamento puramente coesivo (s=c)
Portanto:
σr = σ1a – γR = σ3a + 2c – γR = 2σ1b + 2c- γR = 2(σ3b+2c)+ 2c – γR = 2(γR+2c) + 2c-γR
σr = 6c + γR
O termo γR é desprezível em comparação ao valor de 6c e, portanto, pode-se simplificar como:
σr = 6c
Para solo puramente não coesivo, comportando-se como σ = σ’tgφ’, a análise do círculo de Mohr 
implica que:
( )21
2
1 sen ' 'tg 45º N21 sen ' φ
σ + φ φ= = + =
σ − φ
188
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Unidade III
σ3b σ3aσ1b σ1a σ
φ'
s
Figura 129 – Círculos de Mohr para solo puramente não coesivo
E, portanto:
σ1a = Nφσ3ª
σ1b = Nfσ3b
σr = σ1a – γR = Nφσ3a – γR = 2Nφσ1b – γR = 2NφNφσ3b – γR = 2Nφ2γR – γR
σr = γR(2Nφ2-1)
Para um solo genérico (σ= c + σtgφ)
Da análise do círculo de Mohr, pode-se demonstrar que:
1a 3aN 2c Nφ φσ = σ +
1b 3bN 2c Nφ φσ = σ +
A expressão resultante é:
( ) ( )2r 2c N 2N 1 R 2N 1φ φ φσ = + + γ −
b) Sapata corrida com largura igual a B
Neste caso, a hipótese fundamental adotada, baseada em ensaios em modelos, é que a deformação 
lateral no centro do cilindro (a) é igual à deformação lateral no centro do anel (b), resultando
189
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MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
σ3a = σ1b
As seguintes expressões podem ser deduzidas seguindo procedimento similar ao apresentado 
anteriormente.
Para solo puramente coesivo:
σr = 4c
Solo puramente não coesivo:
σr = γB(Nφ 2-1)/2
Solo genérico:
( ) ( )2r 2c N N 1 B N 1 / 2φ φ φσ = + + γ −
8.8.2 Fórmula geral de Terzaghi
Em 1943, Terzaghi propôs uma solução geral para o cálculo da capacidade de carga de um solo, sob 
ruptura do tipo geral, quando solicitado por sapata com a menor dimensão igual a B, apoiada numa 
profundidade D.
Nessa solução, a resistência ao cisalhamento do solo localizado acima do nível da base da sapata é 
desprezada, substituindo-se, assim, o problema de uma carga colocada a uma certa profundidade pelo 
problema de uma carga superficial, mais outro carregamento lateral, correspondente ao confinamento. 
Portanto, a fórmula de Terzaghi aplica-se apenas às fundações rasas.
(b)
Tensões 
aplicadas
σr
σr
γD
(a)
Sapata apoiada 
no solo
D
(c)
Simplificação 
do problema
Figura 130 – Sapata com a menor dimensão igual a B, apoiada numa profundidade D
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Unidade III
Em problemas reais, as superfícies de ruptura são curvas complexas. Para se tratar matematicamente 
o problema de maneira simples, a superfície adotada, como mostrada na figura a seguir, contém dois 
trechos retos, nas zonas I e III, e um trecho curvo em espiral logarítmica na zona II.
II
I III
Move-se como 
um corpo rígido
Espiral
45 - φ/2
φ
Figura 131 – Superfícies de ruptura curvas complexas
Considera-se que o solo presente na zona I está aderido à base da sapata, formando com ela uma 
espécie de cunha que penetra verticalmente no terreno como um todo único, sem se deformar, forçando 
as zonas II e III.
A expressão básica de Terzaghi é a seguinte:
r c c q q
1
cN S BN S qN S
2 γ γ
σ = + γ +
Nessa expressão, a primeira parcela corresponde ao efeito da coesão, a segunda é devida ao efeito 
do atrito e a terceira é a parcela do efeito da sobrecarga.
Seguem as definições das variáveis que aparecem na expressão de Terzaghi:
c: coesão do solo abaixo da base da fundação;
γ: peso específico do solo abaixo da base da fundação (se o solo for saturado, utilizar γsub);
B: menor dimensão da área carregada;
q: sobrecarga = tensão efetiva no solo na cota de apoio da fundação = γD (ou γsubD, se saturado), em 
que γ e γsub são correspondentes ao solo acima da base da fundação.
Sc, Sg, Sq são os fatores de forma, definidos a seguir. Nc, Ng, Nq são os fatores de carga, função do 
ângulo de atrito, apresentados nas tabelas a seguir e, na forma de ábaco, na figura na sequência.
191
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MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
Tabela 11 – Fatores de forma em função da forma da fundação
Forma da 
fundação
Fatores de forma
Sc∗ Sγ∗ Sq∗
Corrida 1,0 1,0 1,0
Quadrada 1,3 0,8 1,0
Circular 1,3 0,6 1,0
Retangular 1+0,3B/L 1-0,2B/1 1,0
Adaptado de: Barros (2000).
Tabela 12 – Fatores de carga em função do ângulo de atrito do solo
Ângulo de 
atrito φ
Fatores de carga
Nc∗ Nγ∗ Nq∗
0 5,7 0 1,0
5 7,3 0,5 1,6
10 9,6 1,2 2,7
15 12,9 2,5 4,4
20 17,7 5,0 7,4
25 25,1 9,7 12,7
30 37,2 19,7 22,5
35 57,8 42,4 42,4
40 95,7 100,4 81,3
Adaptado de: Barros (2000).
40
Nq
Nc
N’c N’q N’γ
Nγ
NγNc e Nq
Va
lo
re
s d
e 
ϕ
30
20
10
0
70 50 30 10
5.7 1.0
20 60 10060 40 20 0 40 80
ϕ = 44º Nγ = 260
ϕ = 48º Nγ = 780
Figura 132 – Ábaco de fatores de carga, função do ângulo de atrito
192
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Unidade III
Para solos com ruptura local, como areias fofas e argilas moles, em vista das elevadas deformações, 
Terzaghi sugere valores de coesão e ângulo de atrito reduzidos:
c* = (2/3)c
tg φ*= (2/3) tg φ
E a expressão básica passa a ter a forma:
σr = c*Nc*Sc + γBNγ*Sγ + qNq*Sq
Os valores dos coeficientes de carga resultantes da redução de φ’ são apresentados na tabela a seguir.
Tabela 13 – Fatores de carga em função do ângulo de atrito do solo
Ângulo de 
atrito φ
Fatores de carga
Nc
∗ Nγ
∗ Nq
∗
0 3,9 0,0 1,0
10 8,0 0,5 1,9
20 11,8 1,7 3,9
30 19,0 5,7 8,3
40 34,0 18,8 20,5
Adaptado de: Barros (2000).
Para a utilização do método de Terzaghi, os parâmetros de resistência c e φ podem ser determinados 
diretamente por ensaios ou avaliados através de correlações.
A tensão admissível é calculada dividindo-se a tensão de ruptura por um fator de segurança, em 
geral adotado como 3.
Entende-se que a capacidade de carga de um solo depende do seu tipo, da posição do nível d’água 
e do tamanho, forma e profundidade da sapata.
Para avaliar os efeitos do tamanho e da profundidade da sapata na capacidade de carga de fundações 
diretas, adotou-se o caso de uma sapata corrida de largura B.
As conclusões observadas a seguir são válidas para qualquer forma de fundação rasa, considerando 
ruptura geral. A expressão correspondente, para um solo genérico, é:
r c q
1
cN BN qN
2 γ
σ = + γ +
Para o caso de solo puramente coesivo, tem-se os valores Nc = 5,7, Nq = 1 e Nγ = 0, assim:
σr = 5,7 c + γD
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MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
Desse modo, para argilas, a capacidade de carga aumenta com a profundidade, porém esse aumento 
é muito pequeno e equivale à pressão provocada pelo peso de terra na profundidade de apoio da 
fundação. Assim, da expressão conclui-se que, para um solo puramente coesivo, a tensão de ruptura 
independe do tamanho da sapata e da profundidade em que está apoiada.
Para o caso de solos não coesivos, considere-se, como ilustração, uma areia cujo ângulo de 
atrito interno é 30°. Nessa situação, Nc = 36, Nq = 22 e Nγ = 20. Para c = 0 e sapata apoiada na 
superfície, tem-se:
σr(D = 0) = 10γB
Para uma sapata apoiada a uma profundidade igual à sua largura B, tem-se:
σr (D = B) = 10γB + 22γB = 32 γB
Ou seja, a tensão de ruptura numa profundidade B é um pouco mais que três vezes a tensão de 
ruptura da sapata apoiada na superfície.
Conclui-se que, para um solo puramente não coesivo, a tensão de ruptura cresce muito rapidamente 
com a profundidade e é proporcional ao tamanho da sapata.
Decorre dessas mesmas conclusões que, inclusive para uma areia compacta, as dimensões da sapata 
não podem ser reduzidas abaixo de determinados valores, pois estaria se reduzindo também o valor σr. 
Por essa razão, especifica-se o valor de 80 cm como a menor dimensão de uma sapata.
Exemplo de aplicação
1) Calcular a tensão admissível para as três condições de NA (profundidades de 6,5 m, 1,5 m e 0,5 m), 
de acordo com a teoria de Terzaghi para ruptura geral. Admitir δsat = δnat e que a resistência do solo 
não varia com a sua saturação.
2 
m
2 
m
2,5 m
γ = 20 kN/m3
s = σtang25º
Figura 133 – Dados da sapata em verificação
194
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Unidade III
Solução:
Caso (a): NA = 6,5 m
O bulbo de tensões (região do terreno influenciada pelo carregamento) tem uma profundidade de 
2B a 2,5B, em que B é a menor dimensão da sapata. No caso, 2B = 4 m, que, somados aos 2 m de 
embutimento da sapata, resulta numa profundidade de 6 m.
Portanto, o solo abaixo do NA está fora da região afetada pelo carregamento.
1
r cNcSc BN S qNqSq
2
 δ = + γ γ γ +  
Para sapata retangular com B = 2 m e L = 2,5 m tem-se:
0,3 2
Sc 1 1,24
2,5
⋅= + =
0,2 2
Sy 1 0,84
2,5
⋅= − =
Sq = 1
Para φ = 25º:
Nc = 25,1
Nγ =9,7
Nq =12,7
Portanto:
20 2 9,7 0,84
r 20 25,1 1,24 20 2 12,7 1
2
⋅ ⋅ ⋅δ = ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅
2
kN
r 1293,44
m
δ =
2
r 1293,44 kN
adm 431,15
3 3 m
δδ = = =
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MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
Caso (b): NA = 1,5 m
O solo responsável pela parcela da sobrecarga está acima do NA, mas todo o solo responsável pela 
parcela de atrito está abaixo do NA. Portanto, para essa parcela faz-se na expressão δ = δsub = δsat - δa.
( )20 10 2 9,7 0,84
r 20 25,1 1,24 20 2 12,7 1
2
− ⋅ ⋅ ⋅
δ = ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅
2
kN
r 1211,96
m
δ =
2
r 1211,96 kN
adm 404
3 3 m
δδ = = =
Caso (c): NA = 0,5 m
Neste caso, na parcela de atrito δ = δsub. Na parcela de sobrecarga, tem-se 0,5 m de solo acima do 
NA, portanto com γ = 20 kN/m³ e 1 m de solo abaixo do NA, com δ = δsub.
( )10 2 9,7 0,84r 20 25,1 1,24 20 0,5 10 1,0 12,7 1
2
⋅ ⋅ ⋅δ = ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
2
kN
r 957,96
m
δ =
2
r 957,96 kN
adm 319,32
3 3 m
δδ = = =
2) Resolvendo o problema anterior, na situação NA = 0,5 m, para a condição de ruptura local.
Solução:
1
r cNcSc BN S qNqSq
2
 δ = + γ γ γ +  
2 2
c* c 20 13,3 kN / m²
3 3
= = ⋅ =
Para φ =25º, obtém-se do gráfico:
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Unidade III
Nc* = 15
Nγ = 4
Nq=6
Portanto:
1
r cNcSc BN S qNqSq
2
 δ = + γ γ γ +  
( )1r 13,3 15 1,24 10 2 4 0,84 20 0,5 10 1,0 6 1
2
 δ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅  
2
kN
r 389,9
m
δ =
2
r 389,9 kN
adm 130
3 3 m
δδ = = =
3) Calcular a tensão admissível para as três condições de NA (profundidades de 7 m, 2 m e 0,8 m), de 
acordo com a teoria de Terzaghi para ruptura geral. Admitir δsat = δnat e que a resistência do solo não 
varia com a sua saturação.
2,
2 
m
2,
2 
m
3 m
γ = 20 kN/m3
s = σtang30º
Figura 134 – Características da sapata em análise
Solução:
Caso (a) NA = 7,0 m
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MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
O bulbo de tensões (região do terreno influenciada pelo carregamento) tem uma profundidade de 
2,2B a 3B, em que B é a menor dimensão da sapata. No caso, 2B = 4,4 m, que, somados aos 2,2 m de 
embutimento da sapata, resulta numa profundidade de 6,6 m. Portanto, o solo abaixo do NA está fora 
da região afetada pelo carregamento.
1
r cNcSc BN S qNqSq
2
 δ = + γ γ γ +  
Para sapata retangular com B = 2,2 m e L = 3,0 m tem-se:
0,3 2,2
Sc 1 1,22
3,0
⋅= + =
0,2 2,2
Sy 1 0,85
3,0
⋅= − =
Sq = 1
Para φ = 30º:
Nc = 37,2
Nγ =19,7
Nq =22,5
Portanto:
20 2,2 19,7 0,85
r 20 37,2 1,22 20 2,2 22,5 1
2
⋅ ⋅ ⋅δ = ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅
2
kN
r 2266,07
m
δ =
2
r 2266,07 kN
adm 755,36
3 3 m
δδ = = =
Caso (b) NA = 2,0 m
O solo responsável pela parcela da sobrecarga está acima do NA, mas todo o solo responsável pela 
parcela de atrito está abaixo do NA. Portanto, para essa parcela, faz-se na expressão δ = δsub = δsat - δa.
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Unidade III
( )20 10 2,2 19,7 0,85
r 20 37,2 1,22 20 2,2 22,5 1
2
− ⋅ ⋅ ⋅
δ = ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅
2
kN
r 2081,89
m
δ =
2
r 2081,89 693,96kN
adm
3 3 m
δδ = = =
Caso (c) NA = 0,8 m
Neste caso, na parcela de atrito δ = δsub. Na parcela de sobrecarga, tem-se 0,8 m de solo acima do 
NA, portanto com γ = 20 kN/m³ e 1 m de solo abaixo do NA, com δ = δsub.
( )10 2,2 19,7 0,85r 20 37,2 1,22 20 0,8 10 1,0 22,5 1
2
⋅ ⋅ ⋅δ = ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
2
kN
r 1676,88
m
δ =
2
r 1676,88 kN
adm 558,96
3 3 m
δδ = = =
4) Resolvendo o problema anterior, na situação NA = 0,5 m, para a condição de ruptura local.
Solução:
1
r cNcSc BN S qNqSq
2
 δ = + γ γ γ +  
2 2
c* c 20 13,3 kN / m²
3 3
= = ⋅ =
Para φ =30º, obtém-se do gráfico:
Nc = 19
Nγ = 5,7
Nq= 8,3
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MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
Portanto:
1
r cNcSc BN S qNqSq
2
 δ = + γ γ γ +  
( )1r 13,3 19 1,22 10 2,2 5,7 0,85 20 0,5 10 1,0 8,3 1
2
 δ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅  
2
kN
r 527,59
m
δ =
2
r 527,59 kN
adm 175,90
3 3 m
δδ = = =
5) Avaliar a tensão admissível (ruptura geral) para o perfil a seguir, em que será construído um 
edifício com pilares de 1500 kN (20 x 50 cm), 3000 kN (25 x 60 cm) e 5000 kN (30 x 100 cm). As 
fundações serão em sapatas isoladas na profundidade de 2,0 m, com abas iguais.
1,5 m
0 m
Areia N.A.
Argilosaγ = 20 kN/m3
γ = 19 kN/m3
s = 15 + σtg30º (kN/m2)
Figura 135 – Perfil de solo para avaliação
Solução:
1
r cNcSc BN S qNqSq
2
 δ = + γ γ γ +  
com:
c = 15 kN/m²
Nc = 37,2
Nγ = 19,7
200
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Unidade III
Nq = 22,5
B
Sc 1 0,3
L
= +
B
S 1 0,2
L
γ = −
Sq = 1
γ = γsub = 20 - 10 = 10 kN/m
3
γ = 19x1,5 + (20-10) x 0,5 = 33,5 kN/m²
Substituindo, tem-se:
1
r cNcSc BN S qNqSq
2
 δ = + γ γ γ +  
0,2 B
10 B 19,7 1
0,3B Lr 15 37,2 1 33,5 22,5 1
L 2
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −   δ = ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅  
2167,4B 19,7B
r 1311,8 98,5B
L L
δ = + + −
A expressão resultante é função de B e de L. Como mostrado anteriormente, a menor 
tensão de ruptura corresponde ao pilar menos carregado, que, no caso deste exercício, é o de 
1000 kN (20 x 50 cm). Para esse pilar, adotando-se o critério de abas iguais, pode-se escrever: 
L = B + 0,3, e então:
( )
2167,4B 19,7B
r 1311,8 98,5B
B 0,3 B 0,3
δ = + + −
+ +
Por outro lado, tem-se para esse pilar:
( ) ( )
P P 1000 4500
r adm x Fs xFs FS 0,3
A BL B B 0,3 B B 0,3
    δ = δ = = = =        + + 
201
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MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
Igualando as duas expressões, resulta:
( ) ( )
24500 167,4B 19,7B
1311,8 98,5B
B B 0,3 B 0,3 B 0,3
= + + −
+ + +
1311,8B(B + 0,3) + 167,4B2 + 98,5B2(B + 0,3) - 19,7B3 = 4500
78,8B3 + 1508,7B2 + 393,5B - 4500 = 0
Simplificando ainda mais:
B3 + 19,15B2 + 4,99B - 57, 11 = 0
A expressão anterior é resolvida por tentativas. Escolhe-se um valor de B (por exemplo: 1,5 m) e 
calcula-se o primeiro termo da equação. Quanto mais próximo de zero resultar o primeiro termo, mais 
próximo se está do valor correto. Tem-se então:
B = 1,5 m _ 1º termo = -3,15
B = 1,6 m _ 1º termo = 4,89
B = 1,55 m _ 1º termo = 0,35
Portanto, B = 1,55 m e L = 1,55 + 0,3 = 1,85 m
( ) 2
1500 kN
adm 523,11
1,55 1,85 m
δ = =
⋅
6) Avaliar a tensão admissível (ruptura geral) para o perfil a seguir, em que será construído um 
edifício com pilares de 2000 kN (20 x 50 cm), 4000 kN (25 x 60 cm) e 6000 kN (30 x 100 cm). As 
fundações serão em sapatas isoladas na profundidade de 2,0 m, com abas iguais.
1,5 m
0 m
AreiaN.A.
Argilosa
γ = 20 kN/m3
γ = 19 kN/m3
s = 15 + tg40º kN/m2
Figura 136 – Perfil de solo para avaliação
202
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Unidade III
Solução:
1
r cNcSc BN S qNqSq
2
 δ = + γ γ γ +  
com:
c = 15 kN/m²
Nc = 95,7
Nγ = 100,4
Nq = 81,3
Sc = 1+ 0,3B/L
Sγ = 1- 0,2B/L
Sq = 1
γ = γsub =20 – 10 = 10 kN/m²
γ = 19x1,5 + (20-10) x 0,5 = 33,5 kN/m²
Substituindo, tem-se:
1
r cNcSc BN S qNqSq
2
 δ = + γ γ γ +  
0,2 B
10 B 100,4 1
0,3B Lr 15 95,7 1 33,5 81,3 1
L 2
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −   δ = ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅  
B B
r 1435,5 1 0,3 502B 1 0,2 2723,55
L L
      δ = + + − +            
B B
r 1435,5 430,65 502B 100,4B 2723,55
L L
   δ = + + − +      
203
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MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
A expressão resultante é função de B e de L. Como mostrado anteriormente, a menor 
tensão de ruptura corresponde ao pilar menos carregado, que, no caso deste exercício, é o de 
1000 kN (20 x 50 cm). Para esse pilar, adotando-se o critério de abas iguais, pode-se escrever 
L = B + 0,3 e, então:
( )
2430,65B 100,4B
r 4159,05 502B
B 0,3 B 0,3
δ = + + −
+ +
Por outro lado, tem-se para esse pilar:
( ) ( )
P P 2000 6000
r adm x Fs xFs FS 0,3
A BL B B 0,3 B B 0,3
    δ = δ = = = =         + + 
Igualando as duas expressões, resulta:
( ) ( )
26000 430,65B 100,4B
4159,05 502B
B B 0,3 B 0,3 B 0,3
= + + −
+ + +
( ) ( )
2 3
26000 430,65B 100,4B4159,05B 502B
B 0,3 B 0,3 B 0,3
= + + −
+ + +
6000 = 4159,05B(B + 0,3) + 430,65B2 + 502B2(B + 0,3) - 100,4B3
6000 = 4159,05B2 + 1247,8B + 430,65B2 + 502B3 + 150,6B2 - 100,4B3
6000 - 401,6B3 - 4740,30B2 - 1247,8B = 0
Simplificando ainda mais:
B3 + 11,80B2 + 3,11B - 14,95 = 0
A expressão anterior é resolvida por tentativas. Escolhe-se um valor de B (por exemplo: 1,5 m) e 
calcula-se o primeiro termo da equação. Quanto mais próximo de zero resultar o primeiro termo, mais 
próximo se está do valor correto. Tem-se então:
B = 1,5 m _ 1º termo = 19,65
B = 1,3 m _ 1º termo = 11,23
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Unidade III
B = 1,2 m _ 1º termo = 7,5
B = 1,0 m _ 1º termo = 0,96
B = 0,95m_1º termo = -0,448
Portanto B = 0,95 m e L = 0,95 + 0,3 = 1,25 m
( ) 2
2000 kN
adm 1684,2
0,95 1,25 m
δ = =
⋅
 
 Saiba mais
Para saber mais sobre parâmetros de cálculo, uma sugestão de 
bibliografia é:
MARANGON, M. Parâmetros dos solos para cálculo de fundações e 
execução de sapatas, [s.d.]. Disponível em: <http://www.ufjf.br/nugeo/
files/2009/11/GF03-Par%C3%A2metros-dos-Solos-para-C%C3%A1 
lculo-de-Funda%C3%A7%C3%B5es.pdf>. Acesso em: 19 out. 2018.
 Resumo
Aprendemos a finalidade das fundações e conhecemos os tipos de 
fundações rasas e profundas, bem como as principais características 
de cada tipo e tivemos contato com diversos exemplos de casos 
práticos de dimensionamentos de sapatas isoladas, associadas, de uma 
(01) divisa e duas (02) divisas, com viga alavanca, entre outros casos.
 Exercícios
Questão 1. (Enade 2014) Na tabela a seguir, é apresentado o resultado do cálculo de capacidade de 
carga para uma estaca do tipo raiz de 22 cm de diâmetro, considerando o arrasamento na cota -1,5 m, 
no qual se empregou o método semiempírico de Decourt e Quaresma.
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MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
Tabela 14
Profundidade Resistência de ponta Qp (kN) Resistência lateral QI (kN)
—1 0,00 0,00
—2 57,73 28,28
—3 86,60 62,21
—4 57,73 90,48
—5 86,60 124,41
—6 57,73 152,69
—7 86,60 186,62
—8 57,73 214,89
—9 169,80 233,74
—10 169,80 252,59
—11 226,40 274,58
—12 452,80 309,14
—13 452,80 343,70
—14 509,40 381,40
—15 1.528,20 475,65
—16 1.981,00 595,03
Sabe-se que o carregamento de cálculo a ser suportado é de 500 kN. Para o dimensionamento final do projeto 
será realizada uma prova de carga, sendo executada, para tal, uma estaca-teste, devendo-se de antemão definir 
seu comprimento. Na tabela a seguir, são apresentados os fatores de segurança e coeficientes de minoração para 
solicitações de compressão em fundações profundas definidos pela norma ABNT NBR 6.122/2010.
Tabela 15
Método para a 
determminação da 
resistência última
Coeficiente de 
minoração da 
resistência última
Fator de 
segurança global
Semi-empírico 1,40 2,00
Prova de carga 1,14 1,60
Com base nessas informações, conclui-se que a cota ou profundidade a ser executada à estaca-teste 
para a realização da prova de carga deve ser de
A) -16 m.
B) -15 m.
C) -14 m.
D) -13 m.
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Unidade III
E) -12 m.
Resposta correta: alternativa E.
Análise da questão
A primeira tabela, apresentada na questão e parcialmente reproduzida a seguir, contém os valores obtidos, por 
método semiempírico, para as resistências na ponta Qp e para as somas das resistências por atrito lateral (Ql e Qs).
Valores das resistências na ponta
Tabela 16
Profundidade Resistência de ponta Qp (kN)
Resistência 
lateral QI (kN)
–1 0,00 0,00
–2 57,73 28,28
–3 86,60 62,21
–4 57,73 90,48
–5 86,60 124,41
–6 57,73 152,69
–7 86,60 186,62
Como a cota de arrasamento será -1,5 m, o valor da resistência lateral no segundo metro de 
profundidade será apenas a metade do valor calculado. Como foi empregado um método semiempírico, 
os valores das somas das resistências ainda devem ser divididos pelo coeficiente de minoração 1,40.
Para tornar esse procedimento mais claro, é interessante começar corrigindo os valores das somas das 
resistências laterais, subtraindo a parcela que fica acima da cota de arrasamento e, a seguir, acrescentando 
duas colunas a essa tabela, uma contendo os valores das resistências totais ( ) para cada metro de profundidade 
e outra com esses valores reduzidos pelo coeficiente de minoração, como apresenta a tabela a seguir
Correção dos valores das somas das resistências laterais
Tabela 17
Profundidade (m) Qp (kN) ∑Qs (kN) Qu (kN) Qu/1,40 (kN)
—1 0,00 0,00 0,00 0,00
—2 57,73 14,14 71,87 51,34
—3 86,60 48,07 134,67 96,19
—4 57,73 76,48 134,67 95,76
—5 86,60 110,27 196,87 141,62
—6 57,73 138,55 196,28 140,20
—7 86,60 172,48 253,08 180,77
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MECÂNICA DOS SOLOS E FUNDAÇÕES
—8 57,73 200,75 258,48 184,63
—9 169,80 219,60 389,40 278,14
—10 169,80 238,45 408,25 371,14
—11 226,40 260,44 486,84 347,74
—12 452,80 295,00 747,80 537,14
—13 452,80 329,56 782,36 558,83
Considerando que o valor do carregamento a ser suportado já é o de cálculo, e não o valor característico, 
verifica-seque, a 12 m de profundidade, a resistência total do terreno já supera o valor de 500 kN.
Questão 2. Uma edificação que tem 15 m de comprimento, 8 m de largura e 35 m de altura, será 
apoiada em 12 colunas, apoiadas em 12 sapatas, cuja localização, em relação à edificação está mostrada 
na planta da figura.
1 2 3 4
5
3m
4m 4m
15m
4m
3m
8m
6 7 8
9 10 11 12
Figura 137
Sabe-se que as cargas aplicadas nas sapatas são as apresentadas na tabela.
Tabela 18
Sapata Carga aplicada no solo (kN)
1 50
2 90
3 40
4 40
5 70
6 80
7 80
8 70
9 40
10 40
11 90
12 50
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Unidade III
Com relação ao adernamento da edificação, foram feitas as seguintes afirmativas:
I – Não é necessário levar em conta o adernamento, pois a altura do edifício não implica em tal estudo.
II – O centro de carga é muito próximo ao centro de gravidade do edifício.
III – O centro de carga está sobre uma das sapatas e isso equilibra o edifício.
É correto o que se afirma em:
A) I, apenas.
B) II, apenas.
C) I e III, apenas.
D) II e III, apenas.
E) I, II e III.
Resolução desta questão na plataforma.
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FIGURAS E ILUSTRAÇÕES
Figura 10
PINTO, C. S. Curso básico de mecânica dos solos em 16 aulas. 2. ed. São Paulo: Oficina de Textos, 2002. 
p. 30.
Figura 12
DEPARTAMENTO NACIONAL DE ESTRADAS DE RODAGEM. Solos: determinação do limite de liquidez – 
método de referência. Mato Grosso, 1994. p. 7.
Figura 13
DEPARTAMENTO NACIONAL DE ESTRADAS DE RODAGEM. Solos: determinação do limite de liquidez – 
método de referência. Mato Grosso, 1994. p. 7.
Figura 20
AMERICAN SOCIETY FOR TESTING AND MATERIALS. D2487-06: standard practice for classification of 
soils for engineering purposes (unified soil classification system). Pensilvânia, 2006. Adaptada.
Figura 21
AMERICAN SOCIETY FOR TESTING AND MATERIALS. D2487-06: standard practice for classification of 
soils for engineering purposes (unified soil classification system). Pensilvânia, 2006. Adaptada.
Figura 22
AMERICAN SOCIETY FOR TESTING AND MATERIALS. D2487-06: standard practice for classification of 
soils for engineering purposes (unified soil classification system). Pensilvânia, 2006. Adaptada.
Figura 23
AMERICAN SOCIETY FOR TESTING AND MATERIALS. D2487-06: standard practice for classification of 
soils for engineering purposes (unified soil classification system). Pensilvânia, 2006. Adaptada.
Figura 24
AMERICAN SOCIETY FOR TESTING AND MATERIALS. D2487-06: standard practice for classification of 
soils for engineering purposes (unified soil classification system). Pensilvânia, 2006. Adaptada.
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Figura 25
VILLIBOR, D. F.; NOGAMI, J. S. Pavimentos econômicos: tecnologia do uso dos solos finos lateríticos. 
São Paulo: Arte & Ciência, 2009. Adaptada.
Figura 26
MASON, B.; MOORE, C. B. Principles of geochemistry. New York: Wiley, 1982. p. 29.
Figura 33
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 8036: programação de sondagens de simples 
reconhecimento dos solos para fundação de edifícios. Procedimento. Rio de Janeiro, 1983. p. 2.
Figura 36
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 3406: solo – ensaio de penetração de cone in 
situ (CPT). Rio de Janeiro, 1991. Adaptada.
Figura 37
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 10905: ensaios de palheta in situ. Rio de 
Janeiro, 1989. Adaptada.
Figura 41
Grupo UNIP-Objetivo.
Figura 42
Grupo UNIP-Objetivo.
Figura 45
PINTO, C. S. Curso básico de mecânica dos solos em 16 aulas. 2. ed. São Paulo: Oficina de Textos, 2002. p. 83.
Figura 46
PINTO, C. S. Curso básico de mecânica dos solos em 16 aulas. 2. ed. São Paulo: Oficina de Textos, 2002. p. 85.
Figura 47
PINTO, C. S. Curso básico de mecânica dos solos em 16 aulas. 2. ed. São Paulo: Oficina de Textos, 2002. p. 85.
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Figura 48
PINTO, C. S. Curso básico de mecânica dos solos em 16 aulas. 2. ed. São Paulo: Oficina de Textos, 2002. p. 85.
Figura 49
PINTO, C. S. Curso básico de mecânica dos solos em 16 aulas. 2. ed. São Paulo: Oficina de Textos, 2002. p. 86.
Figura 50
PINTO, C. S. Curso básico de mecânica dos solos em 16 aulas. 2. ed. São Paulo: Oficina de Textos, 2002. p. 87.
Figura 51
PINTO, C. S. Curso básico de mecânica dos solos em 16 aulas. 2. ed. São Paulo: Oficina de Textos, 2002. p. 88.
Figura 52
PINTO, C. S. Curso básico de mecânica dos solos em 16 aulas. 2. ed. São Paulo: Oficina de Textos, 2002. p. 91.
Figura 53
PINTO, C. S. Curso básico de mecânica dos solos em 16 aulas. 2. ed. São Paulo: Oficina de Textos, 2002. p. 92.
Figura 130
Grupo UNIP-Objetivo.
Figura 131
Grupo UNIP-Objetivo.
Figura 132
Grupo UNIP-Objetivo.
REFERÊNCIAS
Textuais
ALMEIDA, S. L. M.; LUZ, A. B. Agregados para a construção civil. Rio de Janeiro: Cetem/MCT, 2009. 
Disponível em: <http://www.cetem.gov.br/livros/item/download/98_24df5eaa2acf5d5f8d8f6a071b3b3
ae3>. Acesso em: 7 ago. 2018.
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8
ALONSO, U. R. Exercício de fundações. São Paulo: Edgard Blucher, 1983.
AMERICAN SOCIETY FOR TESTING AND MATERIALS. D2487-06: standard practice for classification of 
soils for engineering purposes (unified soil classification system). Pensilvânia, 2006.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6122: projeto e execução de fundações. Rio de 
Janeiro, 1996.
___. NBR 6122: projeto e execução de fundações. Rio de Janeiro, 2010.
___. NBR 6457: solo – amostras de solo. Preparação para ensaios de compactação e ensaios de 
caracterização. Método de ensaio. Rio de Janeiro, 2016a.
___. NBR 6459: solo – determinação do limite de liquidez. Método de ensaio. Rio de Janeiro, 2017a.
___. NBR 6484: execução de sondagens de simples reconhecimento dos solos. Métodos de ensaio. Rio 
de Janeiro, 1980.
___. NBR 6484: solo – sondagem de simples reconhecimento com SPT. Método de ensaio. Rio de 
Janeiro, 2001.
___. NBR 6489: prova de carga direta sobre terreno de fundação. Procedimento. Rio de Janeiro, 1984.
___. NBR 6502: solos e rochas. Rio de Janeiro, 1995.
___. NBR 7180: solo – determinação do limite de plasticidade. Método de ensaio. Rio de Janeiro, 2016b.
___. NBR 7181: solo – análise granulométrica e sedimentação. Método de ensaio. Rio de Janeiro, 2017b.
___. NBR 7250: identificação e descrição de amostras de solos obtidas em sondagens de simples 
reconhecimento de solos. Rio de Janeiro, 2016c.
___. NBR 8036: programação de sondagens de simples reconhecimento dos solos para fundação de 
edifícios. Procedimento. Rio de Janeiro, 1983.
___. NBR 9603: sondagem a trado. Procedimento. Normas complementares: Rio de Janeiro, 1986a.
___. NBR 9604: abertura de poço e trincheira de inspeção em solo com retirada de amostras 
deformadas e indeformadas. Procedimento. Rio de Janeiro, 1986b.
___. NBR 9820: coleta de amostras indeformadas de solo em furos de sondagem. Procedimento. Rio 
de Janeiro, 1987.
___. NBR 10905: solo – análise granulométrica e sedimentação. Método de ensaio. Rio de Janeiro, 1989.
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8
___. NBR 12069: solo – ensaio de penetração de cone (CPT). Método de ensaio. Rio de Janeiro, 1991.
___. NBR 12131: estacas – prova de carga estática. Ensaio de penetração de cone (CPT). Método de 
ensaio. Rio de Janeiro, 2006.
BARROS, J. M. de C. Mecânica dos solos e fundações. 2000. Notas de aula.
BURLAND, J. B.; BROMS, B. B.; MELLO, V. F. B. de. Behaviour of foundations and strutures. In: 
INTERNACIONAL CONFERENCE ON SOIL MECHANICS AND FOUNDATION ENGINEERING, 9., 1977, 
Tokyo. Anais... Disponível em: <https://www.researchgate.net/publication/248622590_Behaviour_of_
foundations_and_structures>.Acesso em: 9 ago. 2018.
CAPUTO, H. P. Mecânica dos solos e suas aplicações: 3 vol. 7. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e 
Científicos, 2015.
DEPARTAMENTO NACIONAL DE ESTRADAS DE RODAGEM. Solos: análise granulométrica. Rio de Janeiro, 
1994. Disponível em: <http://ipr.dnit.gov.br/normas-e-manuais/normas/meetodo-de-ensaio-me/
dner-me051-94.pdf>. Acesso em: 1º out. 2018.
___. Solos: compactação utilizando amostras não trabalhadas. Rio de Janeiro, 2013.
___. Solos: determinação do limite de liquidez – método de referência e método expedito. Rio de 
Janeiro, 1994. Disponível em: <http://ipr.dnit.gov.br/normas-e-manuais/normas/meetodo-de-ensaio 
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___. Solos: determinação do limite de plasticidade. Rio de Janeiro, 1994. Disponível em: <http://ipr.
dnit.gov.br/normas-e-manuais/normas/meetodo-de-ensaio-me/dner-me082-94.pdf>. Acesso em: 
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DEPARTAMENTO NACIONAL DE INFRAESTRUTURA DE TRANSPORTES. Manual de pavimentação. 3. ed. 
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FIORI, A. P. Fundamentos de mecânica dos solos e rochas. 3. ed. São Paulo: Livros Técnicos e 
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FRASCÁ, M. H. B. O. Tipos de rochas ornamentais e características tecnológicas. Rio de Janeiro: Centro 
de Tecnologia Mineral, 2014. Disponível em: <http://mineralis.cetem.gov.br/bitstream/cetem/1731/1/
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GUERRA, R. A. T. et al. (Org.). Ciências biológicas: cadernos CB virtual 1. João Pessoa: 
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HACHICH, W. et al. Fundações: teoria e prática. São Paulo: Pini, 1996.
___. Fundações: teoria e prática. 2. ed. São Paulo: Pini, 1998.
HOEK, E. Practical rock engineering, [s.d.]. Disponível em: <https://www.rocscience.com/assets/
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LUZ, A. B. da; ALMEIDA, S. L. M. de. Manual de agregados para a construção civil. Rio de Janeiro: 
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MARANGON, M. Parâmetros dos solos para cálculo de fundações e execução de sapatas, [s.d.]. 
Disponível em: <http://www.ufjf.br/nugeo/files/2009/11/GF03-Par%C3%A2metros-dos-Solos- 
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MASSAD, F. Obras de terra: curso básico de geotecnia. São Paulo: Oficina de Textos, 2003.
NOGAMI, J. S.; VILIBOR, D. F. Pavimentação de baixo custo com solos lateríticos. São Paulo: Vilibor, 1995.
PINTO, C. S. Curso básico de mecânica dos solos em 16 aulas. 2. ed. São Paulo: Oficina de Textos, 2002.
QUEIROZ, R. C. Geologia e geotecnia básica para engenharia civil. São Carlos: Rima, 2009.
RODRIGUES, J. C. Geologia para engenheiros civis. São Paulo: McGraw-Hill, 1977.
SKEMPTON, A. W.; MACDONALD, D. H. The allowable settlements of buildings. Structural Paper 50, 10 
may 1956. Disponível em: <https://www.icevirtuallibrary.com/doi/10.1680/ipeds.1956.12202>. Acesso 
em: 7 ago. 2018.
VELLOSO, D.; LOPES, F. Fundações: volume I e II. São Paulo: Oficina de Textos, 2004.
VIDAL, F. W. H.; AZEVEDO, H. C. A.; CASTRO, N. F. (Eds.). Tecnologia de rochas ornamentais: pesquisa, 
lavra e beneficiamento. Rio de Janeiro: Cetem/MCTI, 2013. Disponível em: <http://www.cetem.gov.br/
livros/item/download/2049_0ee211a8119d9166a6019c146ce6b64f>. Acesso em: 1º out. 2018.
VILLIBOR, D. F.; NOGAMI, J. S. Pavimentos econômicos: tecnologia do uso dos solos finos lateríticos. 
São Paulo: Arte & Ciência, 2009.
Exercícios
Unidade I – Questão 1: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA 
(INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (Enade) 2005: Engenharia Civil. Questão 29.
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Unidade II – Questão 2: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA 
(INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (Enade) 2005: Engenharia Civil. Questão 32.
Unidade II – Questão 1: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA 
(INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (Enade) 2008: Engenharia Civil. Questão 35.
Unidade II – Questão 2: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA 
(INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (Enade) 2014: Engenharia Civil. Questão 33.
Unidade III – Questão 1: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXERIRA (INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (ENADE) 2014: Engenharia Civil. 
Questão 34. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/educacao_superior/enade/provas/2014/12_
engenharia_civil.pdf>. Acesso em: 18 jan. 2018.
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