Derivadas e Regras de Diferenciação

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Jeremias Stein Rodriguês
Colaboração: Luiz Arthur Dornelles júnior
Jeremias.stein@ifsc.edu.br
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA 
E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA
CAMPUS FLORIANÓPOLIS
Cálculo A
DERIVADA
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO:
A derivada de uma função y=f(x) é a função denotada por f’(x), tal 
que seu valor em qualquer x∈ IR é dado por:
Notações:
 
)(
 x"a relação em f(x) de derivada" :se-lê )(
 x"a relação emy de derivada" :se-lê 
 xde linha f )('
linhay '
dx
xdf
xfD
dx
dy
xf
y
x 



DERIVADA
EXEMPLOS:
1) Seja f(x)=x2. Calcule f’(x), f’(2) e interprete seu resultado.
2) Seja f(x)=2x2+3.
a) Calcule f’(x);
b) Calcule f’(2) e determine a reta tangente e a reta normal.
3) Calcule a derivada para cada função abaixo, no ponto indicado, 
usando a definição:
  
a) f (x) = 5x2 + 6x -1, no ponto x = 2
b) f (x) = x, no ponto x = 4
c) f (x) = x, no ponto x = 0
DERIVADA
EXEMPLOS:
4) No instante t =0 um corpo inicia movimento em linha reta. 
Sua posição no instante t é dada por s(t)=16t-t2. Determine:
a) a velocidade média do corpo no intervalo [2,4];
b) a velocidade do corpo no instante t =2;
c) a aceleração do corpo no instante t =2. 
5) Calcule a derivada para a função 
  
f (x) =
1
x +1
DERIVADA
DIFERENCIABILIDADE:
y
x
a
f(x)
b
g(x)
y
x
h(x)
c
y
x
DIFERENCIABILIDADE E
CONTINUIDADE:
Se uma função f(x) é 
diferenciável em x=a, então 
ela é contínua em a
DERIVADA
DERIVADAS LATERAIS:
Derivada lateral à direita: 
Derivada lateral à esquerda: 
* Se os limites existirem
A função é derivável em um ponto se os limites existem e são 
iguais (derivada a direita e a esquerda são iguais)
f '+(x) = lim
Dx®0+
f (x+ Dx)- f (x)
Dx
f '-(x) = lim
Dx®0-
f (x+ Dx)- f (x)
Dx
DERIVADA
DERIVADAS LATERAIS:
EXEMPLO: 6) Seja f a função definida por 
Encontre e comente.
f (x) =
3x-1, se x 0 e a  1 
Exemplo: 13) Determine a derivada das funções:
  
a) f (x) = ex2
b) f (x) = 5x2
c) f (x) = x2ex
d)g(t) = (et + 2)3 / 2
e)g(x) = 32x2 +3x-1
REGRAS: LOGARÍTMICAS
Regras de derivação para funções logarítmicas: 
sendo a>0 e a  1 
Exemplo: 14) Determine a derivada das funções:
  
a) f (x) = x ln x
b)g(x) = log
3
(x2 + 4)
c)y = log
2
(3x2 + 7x -1)
d)y = ln
ex
x+1
æ 
è 
ç 
ç 
ö 
ø 
÷ 
÷ 
  
y = Ln(u) Þ y'=
1
u
.u'
  
y = Loga (u) =
Logae
u
.u'
REGRAS: TRIGONOMÉTRICAS
Regras de derivação para funções trigonométricas: 
Exemplo: 15) Determine a derivada das funções:
a)y = cos4x
b) f (x) = sen3x
c)g(x) = sen(x2 )
d)y = cos
1
x
æ
è
ç
ö
ø
÷
e) f (x) = 3tg x + cotg43x
f )y = cosec 
x+1
x-1
æ
è
ç
ö
ø
÷
g) f (x) = arc sen (x+1)
h)g(x) = arc tg 3x
i)g(x) = arc cosec 4x
j )y = sen h(x3 + 3)
k)y = sech(2x)
l )y = arg tgh (sen 3x)
Derivadas de ordem superior
Derivada segunda de f
Definição: Seja f uma função derivável. Se f ’ também for 
derivável, então a sua derivada é chamada derivada segunda de f 
e é representada por f’’(x).
Exemplo: 16) Determine a derivada segunda das funções abaixo:
  
a) f (x) = 3x2 + 8x +1
b) f (x) = tg x
c) f (x) = x2 +1
Derivadas de ordem superior
f’(x) é a primeira derivada de f(x)
f’’(x) é a derivada de f’(x), ou seja, 
f’’(x) é a segunda derivada de f(x)
Cada derivada em que resulta uma função 
derivável, podemos calcular as derivadas 
sucessivamente, sempre que existirem.
Derivadas de ordem superior
Notações:
 
  
▹ y,, y,,, y,,,, yiv ,..., yn
▹ f ,(x), f ,,(x), f ,,,(x), f iv (x),..., f n (x)
▹
dy
dx
, 
d2y
dx2
, 
d3y
dx3
, 
d4 y
dx4
, ... , 
dny
dxn
 
Derivadas de ordem superior
Derivada de ordem n de f
Exemplo: 17) Determine a derivada solicitada para cada função 
abaixo:
OBS.: As derivadas de ordem superior, também são 
chamadas de derivadas sucessivas. 
a) f (x) = 3x5 +8x2 f (4) =
b) f (x) = ex2 /2 y(4) =
c) f (x) = sen x y(731) =
Derivação implícita
Função na forma implícita:
A função y=f(x) é definida pela equação F(x,y)=0 se, ao 
substituirmos y por f(x) na equação, que se transforma numa 
identidade.
Exemplo 18:
a)x2 +
1
2
y-1= 0
b)x2 + y2 = 4
Þ y= 2(1- x2 )
Þ y= ± 4 - x2
Derivação implícita
Derivada de uma função na forma implícita:
Nem sempre podemos encontrar a função na forma explícita, ou 
ainda, há casos em que existem infinitas formas explícitas de uma 
função. Veja abaixo:
Exemplos: 19) Determinar y’ das funções definidas 
implicitamente:
  
a)xy2 + 2y3 = x - 2y
b)x2 + y2 = 9
c)x2 + y2 = y cos x
  
y3 + x2y- ln xy = 0
Função na forma Paramétrica
Sejam: 
x = x(t)
y = y(t)
ì
í
î
 t Î [t0, t1]
Duas funções da mesma variável real t, t∈[a,b]. A cada valor de t
correspondem dois valores x e y.
Estas equações são chamadas de Equações Paramétricas da Curva e t é 
chamado de Parâmetro.
Se é possível determinar a inversa de x=x(t), ou seja, t=t(x), então 
podemos escrever y=y[t(x)].
Derivação na forma paramétrica
Exemplos:
20) Definir a função y(x) para a equação paramétrica
21) Mostrar que as equações paramétricas abaixo representam uma 
circunferência de raio a:
x = acost
y = a sen t
ì
í
î
 t Î [0, 2p ]
x = 2t +1
y= 4t + 3
ì
í
î
Derivação na forma paramétrica
OBS. 01:
A equação, no caso da circunferência, x=x(t), não é inversível, mas 
podemos obter uma ou mais funções y=y(x), restringindo o 
domínio.
x = acost
y = a sen t
ì
í
î
 t Î [0,p ] Þ y = a2 - x2
x = acost
y = a sen t
ì
í
î
 t Î [p, 2p ] Þ y= - a2 - x2
Derivação na forma paramétrica
OBS. 02:
As equações paramétricas abaixo representam uma circunferência com 
centro na origem
As equações paramétricas abaixo representam uma circunferência com 
centro no ponto (x0,y0).
x = acost
y = a sen t
ì
í
î
 t Î [0, 2p ]
x = x0 + acost
y = y0 + a sen t
ì
í
î
 t Î [0, 2p ]
Derivação na forma paramétrica
OBS. 03:
As equações paramétricas abaixo
representam uma elipse com centro
na origem
As equações paramétricas abaixo representam uma elipse com centro no 
ponto (x0,y0).
x = x0 + acost
y = y0 + b sen t
ì
í
î
 t Î [0, 2p ]
Derivação na forma paramétrica
x = acost
y = b sen t
ì
í
î
t Î [0, 2p ] e a > 0, b> 0 a ¹ b
Derivada de uma função na Forma Paramétrica
Seja y uma função de x definida pelas equações paramétricas: 
x = x(t)
y = y(t)
ì
í
î
 t Î [a,b]
y = y(t) e x = x(t) a inversa de x é t = t(x)
sendo assim, y = y t(x)[ ]
Pela regra da cadeia:
dy
dx
= y'(t).t '(x) como t '(x) =
1
x '(t)
 temos
dy
dx
=
y'(t)
x '(t)
Derivação na forma paramétrica
Exemplos:
22) Calcular a derivada da função y(x) definida na forma
paramétrica pelas equações:
23) No item d) do exemplo anterior, determine a equação da reta 
tangente a circunferência no ponto 
dy
dx
a)
x = 2t +1
y = 4t + 3
ì
í
î
 b)
x = 3t -1
y = 9t2 - 6t
ì
í
ï
îï
 c)
x = 4cos3 t
y = 4 sen3t
ì
í
ï
îï
 t Î [0, p
2
]
d)
x = 2cost
y = 2 sen t
ì
í
î
 t Î [0,p ]
P( 2, 2)
Derivação na forma paramétrica
Taxa de variação
Taxa média de variação:
Taxa instantânea de variação:
Taxa de variação
APLICAÇÕES
Exemplos:
24) No instante t =0 um corpo inicia movimento em 
linha reta. Sua posição no instante t é dada por
s(t)=6t-t2. Determine:
a) a velocidade média do corpo no intervalo [1,4];
b) a velocidade do corpo no instante t =2;
c) a aceleração média do corpo no intervalo [0,3];
d) a aceleração do corpo no instante t =4. 
Taxa de variação
APLICAÇÕES
Exemplos:
25) Uma câmara de refriamento tem sua temperatua de 
resfriamento após t horas, em graus centígrados, dada por:
a) Qual a velocidade de redução de sua temperatura após duas 
horas?
b) Qual a velocidade de redução de sua temperatura na segunda 
hora
c) Qual a aceleração na segunda hora?
  
T (t) = 30 - 5t +
4
t +1
, 0 £ t £ 5
Taxa de variação
APLICAÇÕES
Exemplos:
26) Seja para a equação do 
movimento de uma partícula. Considerar S medido em centímetros e t
em segundos. 
a) Determinar a velocidade instante t.
b) Determinar a aceleração instante t.
c) Em que momento a velocidade se anula?
d) Em que momento a aceleração se anula?
e) Qual o significado dos resultados com relação ao movimento do 
corpo?
  
S(t) = -t3 + 3t2 + 24t
  
t Î [0,6]
Ponto Crítico
Ponto Crítico:
Ponto 
Crítico
Um ponto crítico de uma função f 
é qualquer ponto x no domínio de f 
tal que f’(x)=0 ou f’(x) não exista.
Obs.: Nem sempre f’(x)=0 indica que em x a função tenha um extremo 
relativo ou, caso f’(x) não exista, não quer dizer que não seja um extremo 
relativo.
Ponto Crítico:
Ponto Crítico
A derivada e o ponto crítico de uma função
Exemplos: 27) Determine os pontos críticos das seguintes 
funções, se existirem:
a) f (x) =
x4
4
-
5x3
3
+ 3x2
b) f (x) = sen 2x
c) f (x) = (x2 - 4)2/3
d)y =
x
x2 - 2
e) f (x) =
-x2 + 4, se x £ 3
5
3
x-10, se x > 3
ì
í
ï
î
ï
Ponto Crítico
Crescimento e decrescimento
Exemplo:
f'(c1)>0 – função é crescente 
em x=c1;
f'(c2)=0 – função muda de 
crescente para decrescente em 
x=c2 (ponto crítico);
f'(c3)0 – função é 
decrescente em x=c3; 
A derivada e o crescimento e decrescimento de 
uma função
Crescimento e decrescimento
A derivada e o crescimento e decrescimento de 
uma função
ROTEIRO:
Determinar os valores de x para os quais a f’(x)=0 ou não existe, 
determinando os intervalos abertos usando os extremos calculados 
(pontos críticos);
Escolher um ponto c, qualquer, pertencente aos intervalos calculados 
em 1, e determinar a f’(c):
Se f’(c)>0, a função é crescente neste intervalo;
Se f’(c)0
f '(c)=0
f’(x)>0 f’(x)0
Extremos relativos:
Como encontrar os extremos relativos?
Para mínimo relativo (local):
y
x
0
ba c
f '(x)0
f '(c)=0
Máximos e mínimos
Teste da derivada primeira para extremos 
relativos :
ROTEIRO:
Determinar os pontos críticos de f: f’(x)=0 ou não existe;
Determinar o sinal de f’(x) à esquerda e à direita de cada ponto 
crítico. Teremos três possibilidades:
Se a derivada passa de f’(x)>0 (à esquerda de x=c) para f’(x)0 (à 
direita de x=c), então f(c) é mínimo relativo; 
Se f’(x) não muda de sinal, nem para xc, então 
f(c) não é um extremo relativo. 
Critério da derivada primeira
Análise de funções
Exemplo: 28) Analisar o crescimento e decrescimento e determine os 
máximos e mínimos relativos, se existirem, das funções:
a) f (x) =
x4
4
-
5x3
3
+ 3x2
b) f (x) = (x2 - 4)2/3
c)y =
x
x2 - 2
d) f (x) =
-(x- 2)(x+ 2), x £ 3
5
3
x-10, x > 3
ì
í
ï
î
ï
Máximos e mínimos
y
x
y
x
y
x
Interpretação gráfica da segunda derivada:
1) Da primeira derivada:
y
x
y
x
y
x
f(x)
y
x
0
y
x
0
y
x
0
y
x
0
x
0
y
x
0
Máximos e mínimos
Interpretação gráfica da segunda derivada:
2) Da segunda derivada:
f’(x)
Concavidade de uma função
Concavidade? Concavidade?
Compare as funções abaixo: 
Máximos e mínimos
Teste da segunda derivada para extremos 
relativos :
ROTEIRO:
1. Calcular a primeira e a segunda derivada de f(x)
2. Determinar os pontos críticos de f: f’(x)=0 ou não existe.
3. Calcular f’’(c) para cada um dos pontos (c) encontrados no item 
anterior:
Se f’’(x)0, a função f(x) tem um mínimo relativo em c;
Se f’’(x)=0, não se pode afirmar nada – c pode ser um ponto de 
inflexão ou um extremo relativo, usar o teste da primeira derivada . 
Máximos e mínimos
Teste da derivada segunda para extremos 
relativos :
Exemplo: 29) Encontre os máximos e mínimos relativos das funções 
usando o critério da derivada segunda:
a) f (x) =
x4
4
-
5x3
3
+ 3x2
b) f (x) = x3 - 3x2 - 24x+ 32
Concavidade de umafunção
Conclusão (concavidade): 
Definição 01: f(x) tem a concavidade voltada para cima em (a,b) 
se f’(x) é crescente em (a,b);
Definição 02: f(x) tem a concavidade voltada para baixo em (a,b) 
se f’(x) é decrescente em (a,b). 
Proposição 03: Seja y=f(x) uma função contínua em [a,b] e 
derivável até segunda ordem em (a,b):
a) Se f’’(x)>0 para todo x∈(a,b) então f é côncava para cima em 
(a,b);
b) Se f’’(x)0, f(x) tem concavidade voltada para cima no intervalo;
Se f’’(c)