Integração de Funções Trigonométricas

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CÁLCULO VETORIAL, 
DIFERENCIAL E INTEGRAL
Lourena Cruz
Lourena Cruz
 Integral
Conteúdo da Aula 
 Integração de Potências de funções 
trigonométricas ;
 
Integração por Substituição 
Trigonométrica;
Para integrar funções 
trigonométricas que envolvem 
potências de expoente inteiro de
 
consideremos 2 situações 
distintas.
As integrais  
n nsen (u) du e cos (u) du
/ cossenx e ou x
(A) O expoente é natural ímpar. 
Neste caso usamos a relação 
trigonométrica 
2 2
sen x+cos x = 1
para transformar o integrando, 
“quebrando” a integral em outras 
facilmente solúveis.
n
B) O expoente é natural par. 
Neste caso usamos uma das 
relações: 
n
( )2
1 - cos 2x
sen x =
2
( )2
1+ cos 2x
cos x =
2
ou
Exemplo:
( )i 
3
sen 2x dx
2 2
sen x+cos x = 1
As integrais 
m nsen (u) cos (u)du
(A) Um dos expoentes é natural ímpar 
não negativo. Neste caso usamos a 
relação
( )12 2
sen x+ cos x = 1
(B) Os dois expoentes são naturais 
pares. Para este caso, usamos uma 
das relações:
( )2
1 - cos 2x
sen x =
2
( )2
1+ cos 2x
cos x =
2
ou
Exemplo:
x
2 3
(i) sen xcos dx
Observe que nesta integral um 
dos expoentes é ímpar.
Utilizamos então a relação para 
preparar o integrando como 
segue: 
( )1
2 3
sen x cos x =  2 2
sen x cos x cosx
( )2 2= sen x 1 - sen x cosx
2 4
= sen xcosx - sen xcosx

2 3
sen x cos x dx ( )
2 4
= sen xcosx - sen xcosx dx
Daí, temos que:
Exemplo 2:
Calcular 
6 2sen x cos x dx
Neste caso, utilizamos as relações 
para preparar o integrando, como 
segue 
( )2
1 - cos 2x
sen x =
2
( )2
1+ cos 2x
cos x =
2

6 2sen x cos x dx
6 2
sen x cos x ( ) 
3
2 2
= sen x cos x
   
   
   
3
1 - cos2x 1+ cos2x
=
2 2
   
   
  
2 3
1 - 3cos2x+ 3cos 2x - cos 2x 1+ cos2x
=
8 2
   
   
  
2 3
1 - 3cos2x+ 3cos 2x - cos 2x 1+ cos2x
=
8 2
3 4
1 cos2x cos 2x cos 2x
= - + -
16 8 8 16
Daí, calculando a integral, temos:

6 2sen x cos x dx
 
 
 
3 4
1 cos2x cos 2x cos 2x
= - + - dx
16 8 8 16
   
3 41 1 1 1
= dx - cos2xdx+ cos 2xdx - cos 2xdx
16 8 8 16
Devemos calcular, agora, 
separadamente, as 3 últimas 
integrais anteriores:
Para calcular , fazemos 
 , de onde temos e então:
 cos2x dx
u = 2x
du = 2dx
 cos2x dx
sen 2x
=
2
Para calcular , preparamos 
o integrando usando a relação (1), 
obtendo: 

3cos 2x dx

3
cos 2xdx
3
sen2x sen 2x
= -
2 6
Para calcular , utilizamos a 
relação (5), obtendo então:

4cos 2x dx

4cos 2x dx 3x sen4x sen8x
= + +
4 8 16
Finalmente, substituindo estes 
resultados no cálculo da nossa 
integral temos: 
6 2
sen x cos x dx =
   
3 41 1 1 1
= dx - cos2xdx+ cos 2xdx - cos 2xdx
16 8 8 16
 
 
 
1 3x sen4x sen8x
- + +
16 4 8 16
 
   
 
3
x 1 sen 2x 1 sen 2x sen 2x
= - + -
16 8 2 8 2 6
3
x sen 2x sen 2x sen 2x 3x
= - + - -
16 16 16 48 64
sen4x sen8x
- -
128 256
3
x sen 2x sen4x sen8x
= - - - + C
64 48 128 256
Referências
FLEMING, Diva M. & GONÇALVES, 
Mirian B., Cálculo A – 5ªedição. 
Makron Books – São Paulo, 1992
LEITHOLD, Louis., O Cálculo com 
Geometria Analítica, vol. 2 – Ed. 
Harbra – São Paulo, 1990
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