Mapa Mental de Matemática

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MAPA MENTAL — MATEMÁTICA PARA CONCURSOS
Operações • conjuntos • frações • MMC/MDC • matrizes • determinantes • sistemas • complexos • lógica • polinômios
1. OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS + CONJUNTOS
ADIÇÃO • SUBTRAÇÃO • MULTIPLICAÇÃO •
DIVISÃO
• Adição: parcelas → soma. Atenção ao valor posicional e aos
sinais.
• Subtração: minuendo − subtraendo = diferença.
• Multiplicação: fatores → produto; pode ser vista como adição de
parcelas iguais.
• Divisão: dividendo ÷ divisor = quociente, podendo existir resto.
• Ordem de resolução: parênteses → potências/raízes →
multiplicação/divisão → adição/subtração.
NÚMEROS NATURAIS E RACIONAIS
• Naturais (N): 0, 1, 2, 3... conforme a convenção adotada.
• Racionais (Q): números que podem ser escritos como fração de
inteiros, com denominador diferente de zero.
• Incluem: inteiros, frações, decimais exatos e dízimas
periódicas.
• Sinais: na multiplicação/divisão, sinais iguais → positivo;
diferentes → negativo.
TEORIA DOS CONJUNTOS
• Conjunto: coleção de elementos. Símbolos: ∈ (pertence), ∉
(não pertence).
• Subconjunto: A ⊂ B quando todo elemento de A pertence a B.
• União: A ∪ B → elementos de A ou B.
• Interseção: A ∩ B → elementos comuns.
• Diferença: A − B → elementos de A que não pertencem a B.
• Conjunto vazio: ∅.
DIAGRAMAS E CONTAGEM
• Cardinalidade: n(A) indica o número de elementos.
• Inclusão-exclusão: n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B).
• Pegadinha: ∅ é subconjunto de qualquer conjunto; não
confundir ∅ com {∅}.
2. FRAÇÕES • MMC • MDC
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES
• Adição/subtração: mesmo denominador → opere numeradores;
denominadores diferentes → use denominador comum.
• Multiplicação: numerador × numerador e denominador ×
denominador.
• Divisão: multiplica-se pela fração inversa do segundo número.
• Simplificação: divida numerador e denominador pelo mesmo
fator comum.
MMC — MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
• É o menor múltiplo positivo comum aos números.
• Uso: principalmente para colocar frações em denominador
comum.
• Fatoração: na forma fatorada, use a maior potência de cada
primo.
• Exemplo de ideia: MMC(6,8) considera 2³ e 3 → 24.
MDC — MÁXIMO DIVISOR COMUM
• É o maior divisor positivo comum aos números.
• Fatoração: use apenas os primos comuns, com a menor
potência.
• Uso: simplificação de frações e problemas de divisão em partes
iguais.
• Relação: para a,b positivos, MDC(a,b)·MMC(a,b)=a·b.
PEGADINHAS
• MMC: pensa em múltiplos → menor comum.
• MDC: pensa em divisores → maior comum.
• Frações: nunca some denominadores diretamente em uma
soma comum.
• Sinal: simplifique ao final ou durante o cálculo, sem alterar o
valor da fração.
3. MATRIZES E DETERMINANTES
MATRIZES
• Ordem: m × n = número de linhas × número de colunas.
• Elemento: aᵢⱼ → linha i, coluna j.
• Igualdade: mesma ordem e elementos correspondentes iguais.
• Soma/subtração: somente matrizes de mesma ordem.
• Multiplicação: A(m×n)·B(n×p) resulta em C(m×p).
TIPOS IMPORTANTES
• Quadrada: mesmo número de linhas e colunas.
• Diagonal: elementos fora da diagonal principal são zero.
• Identidade: diagonal principal com 1 e demais elementos 0.
• Transposta: troca linhas por colunas.
• Nula: todos os elementos são zero.
DETERMINANTE 2×2
• Para uma matriz 2×2: produto da diagonal principal menos
produto da diagonal secundária.
• Se det(A)=0: a matriz é singular e não possui inversa.
• Propriedades: trocar duas linhas muda o sinal do determinante;
multiplicar uma linha por k multiplica o determinante por k.
DETERMINANTE 3×3
• Regra de Sarrus: recurso específico para matrizes 3×3.
• Alternativa geral: expansão por cofatores.
• Pegadinha: Sarrus não se aplica diretamente a matrizes 4×4 ou
maiores.
• Interpretação: o determinante também aparece na resolução
de sistemas e na inversibilidade.
4. SISTEMAS LINEARES
CLASSIFICAÇÃO
• SPD: sistema possível e determinado → uma única solução.
• SPI: sistema possível e indeterminado → infinitas soluções.
• SI: sistema impossível → nenhuma solução.
• Em 2 equações/2 incógnitas: interpretação geométrica por
retas ajuda a visualizar.
MÉTODOS
• Substituição: isole uma incógnita e substitua na outra equação.
• Adição/eliminação: combine equações para eliminar uma
incógnita.
• Escalonamento: transforme o sistema em forma mais simples.
• Cramer: útil em sistemas quadrados quando o determinante
principal é diferente de zero.
CRAMER
• Se D ≠ 0: há solução única.
• Incógnitas: x = Dₓ/D, y = Dᵧ/D etc.
• Se D = 0: a regra de Cramer não determina diretamente uma
solução; analise o sistema.
DICA DE PROVA
• 1. Organize as incógnitas.
• 2. Confira sinais e coeficientes.
• 3. Resolva.
• 4. Substitua o resultado nas equações originais para conferir.
• 5. Classifique: uma, nenhuma ou infinitas soluções.
5. NÚMEROS COMPLEXOS
FORMA BÁSICA
• Forma algébrica: z = a + bi, com a,b reais e i² = −1.
• Parte real: Re(z)=a. Parte imaginária: Im(z)=b.
• Conjugado: z̄ = a − bi.
• Módulo: |z| = √(a²+b²).
OPERAÇÕES
• Adição/subtração: opere partes reais e imaginárias
separadamente.
• Multiplicação: distribua e use i² = −1.
• Divisão: multiplique numerador e denominador pelo conjugado
do denominador.
• Potências de i: repetem ciclo de 4: i, −1, −i, 1.
INTERPRETAÇÃO
• Real: parte imaginária zero.
• Imaginário puro: parte real zero.
• Plano complexo: a+bi pode ser representado pelo ponto (a,b).
• Pegadinha: i não é um número real; i² = −1.
6. POLINÔMIOS
CONCEITOS
• Polinômio: expressão formada por soma de termos com
potências inteiras não negativas da variável.
• Grau: maior expoente da variável com coeficiente não nulo.
• Monômio: um termo; binômio: dois; trinômio: três.
• Coeficiente: número que multiplica a parte literal.
OPERAÇÕES E PRODUTOS NOTÁVEIS
• Somar/subtrair: reduza termos semelhantes.
• Multiplicar: propriedade distributiva.
• Quadrado da soma: (a+b)² = a²+2ab+b².
• Quadrado da diferença: (a−b)² = a²−2ab+b².
• Diferença de quadrados: a²−b²=(a−b)(a+b).
FATORAÇÃO
• Fator comum: coloque o fator repetido em evidência.
• Diferença de quadrados: reconheça a²−b².
• Trinômio: procure fatores que produzam os coeficientes
adequados.
• Teorema do fator: se P(a)=0, então (x−a) é fator de P(x).
RAÍZES
• Raiz de P: valor de x que torna P(x)=0.
• Divisão por fator: se (x−a) é fator, a é raiz.
• Em questões: teste valores simples quando os coeficientes
sugerirem raízes inteiras.
7. RACIOCÍNIO LÓGICO
PROPOSIÇÕES
• Proposição: frase declarativa que pode ser classificada como
verdadeira ou falsa.
• Não são proposições: perguntas, ordens e frases sem valor
lógico definido.
• Negação: inverte o valor lógico da proposição.
CONECTIVOS
• Conjunção (p ∧ q): verdadeira somente quando ambas são
verdadeiras.
• Disjunção (p ∨ q): verdadeira quando pelo menos uma é
verdadeira.
• Condicional (p → q): falsa somente quando p é verdadeira e q é
falsa.
• Bicondicional (p ↔ q): verdadeira quando p e q têm o mesmo
valor lógico.
EQUIVALÊNCIAS IMPORTANTES
• Condicional: p → q equivale a ¬p ∨ q.
• Contrapositiva: p → q equivale a ¬q → ¬p.
• De Morgan: ¬(p ∧ q) equivale a ¬p ∨ ¬q; ¬(p ∨ q) equivale a
¬p ∧ ¬q.
ARGUMENTAÇÃO E SEQUÊNCIAS
• Dedução: conclusão decorre logicamente das premissas.
• Analise padrões: diferenças, razões, alternâncias e posições.
• Questões de lógica: transforme o texto em informações
organizadas, tabela, diagrama ou proposições quando
necessário.
8. REVISÃO EXPRESSA — PEGADINHAS DE CONCURSO
1. Ordem das operações: parênteses → potências/raízes → multiplicação/divisão → adição/subtração.
2. MMC trabalha com múltiplos; MDC, com divisores.
3. Fração só pode ser simplificada multiplicando/dividindo numerador e denominador pelo mesmo número não nulo.
4. Produto de matrizes exige compatibilidade: número de colunas da primeira = número de linhas da segunda.
5. Determinante zero indica matriz singular.
6. Em sistemas: SPD = 1 solução; SPI = infinitas; SI = nenhuma.
7. Em complexos, i² = −1 e as potências de i se repetem em ciclo de 4.
8. Em polinômios, termos semelhantes têm a mesma parte literal e os mesmos expoentes.
9. Na condicional p → q, o único caso falso é p verdadeira e q falsa.
10. Na lógica,traduza o enunciado antes de tentar resolver: muitas questões ficam simples com tabela ou diagrama.
MACETE FINAL: leia o comando, organize os dados, escolha a propriedade/fórmula adequada, faça o cálculo e confira o resultado no
enunciado.