6- Resposta Temporal SSO [SLIDES]

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10/05/2023
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ENGENHARIA MECATRÔNICA 
Teoria de Controle
RESPOSTA TEMPORAL
SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM - SSO 
Parte 6
Teoria de Controle - Profº Ademir 
REPRESENTAÇÃO SSOs ATRAVÉS DBs
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Malha Aberta
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REPRESENTAÇÃO SSOs ATRAVÉS DIAGRAMA DE BLOCOS
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É comum plotar as curvas de resposta de sistemas aplicando a entrada R(s)
sinais conhecidos. Os mais comuns são:
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Sistemas de 2a Ordem (SSO)
São aqueles cuja função de transferência possui dois pólos.
Considere o diagrama de bloco de um sistema de segunda ordem descrito a seguir:
Neste caso a função de transferência de malha fechada é dada por:
A forma generalizada para a resposta de um sistema de segunda ordem é:
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Sistemas de 2a Ordem (SSO)
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PARÂMETROS DE UM SSO
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PARÂMETROS DE UM SSO
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Resumo da classificação dos sistemas de segunda ordem e a localização de seus 
polos
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PARÂMETROS DE UM SSO
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Respostas ao degrau desses sistemas 
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Casos de resposta de SSO em função do coeficiente de amortecimento
PARÂMETROS DE UM SSO
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PARÂMETROS DE UM SSO
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Exemplo: Encontre o valor do coeficiente de amortecimento e da
frequência natural da seguinte função de transferência:
então temos,
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Considerando-se um degrau unitário aplicado a um sistema de segunda ordem 
típico temos:
Aplicando-se a transformada inversa de Laplace, obtemos:
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CURVA DE RESPOSTA A UM DEGRAU UNITÁRIO 
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Aplicando-se a transformada inversa de Laplace, obtemos:
Aplicando-se um impulso δ(s) = 1 em um sistema de segunda ordem típico temos,
o que simplesmente é a derivada da resposta de um sistema de segunda ordem a 
entrada degrau.
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CURVA DE RESPOSTA A UM IMPULSO UNITÁRIO 
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Sistemas de 2a Ordem (SSO)
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ÍNDICES DE DESEMPENHO
e a magnitude da resposta em Tp é dada por:
 Tempo de Subida (Tr): é o tempo que a resposta leva para
ir de 10% a 90% do valor de regime da resposta.
 Tempo de Subida (Tp): é o tempo onde a resposta atinge o máximo valor. 
O tempo de pico, Tp pode ser obtido por:
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ÍNDICES DE DESEMPENHO
 Porcentagem de Overshoot (P.O.): a ultrapassagem percentual, P.0., é 
dada pela seguinte expressão,
Sendo
MP = valor máximo da resposta,
Fv = valor de regime permanente.
Ou ainda
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ÍNDICES DE DESEMPENHO
 Tempo de Estabelecimento ou Tempo Acomodação (Te ou Ts): é o
tempo que a resposta leva para atingir o regime. Considera-se regime
quando a resposta atingir uma faixa em torno do valor de regime. Nos
cálculos consideraremos que regime será quando a amplitude da resposta
estiver a ±2% do valor de regime. Neste caso
A resposta transitória pode ser descrita por dois fatores:
1 Rapidez da resposta, a qual pode ser projetada pela escolha adequada 
do tempo de pico e o tempo de subida.
2 Proximidade da resposta com a resposta desejada, a qual pode ser 
atingida projetando-se um sistema de controle com uma porcentagem de 
overshoot e tempo de estabelecimento adequado.
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PARÂMETROS DE UM SSO
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Resposta no Domínio do Tempo ( Pólos, Zeros )
A resposta de saída de um sistema é a somatória de duas
respostas: a resposta forçada e a resposta natural.
Diversas técnicas, como a solução de equações
diferenciais ou a aplicação da Transformada de Laplace
permitem calcular a resposta de saída dos sistemas,
porém tais técnicas são trabalhosas e consomem muito
tempo.
A análise dos pólos e zeros e de sua relação com a
resposta forçada e a resposta natural simplifica e torna
mais rápida a determinação do comportamento da
resposta de saída do sistema sobre análise.
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Pólos de uma Função de Transferência
 valores da variável, s, da Transformada de Laplace que fazem com que a função de transferência se 
tome infinita.
 quaisquer raízes do denominador da função de transferência que sejam comuns às raízes do 
numerador.
Pólos: valores de s que satisfazem à equação b(s) = 0 (representaremos graficamente por um X)
Zeros de uma Função de Transferência
 valores da variável, s, da Transformada de Laplace que fazem com que a função de transferência se 
torne igual a zero.
 quaisquer raízes do numerador da função de transferência que sejam comuns às raízes do 
denominador.
Zeros: valores de s que satisfazem à equação a(s) = 0 (representaremos graficamente por um 0)
Resposta no Domínio do Tempo ( Pólos, Zeros )
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Resposta no Domínio do Tempo ( Pólos, Zeros )
O estudo da Resposta temporal, nos permitirá a partir de uma
função no domínio da frequência visualizar sua resposta no
domínio do tempo, sem cálculos matemáticos complexos.
Sistemas de controle independentes da sua ordem (número de
raízes da equação característica), obedecem sempre seu(s)
pólo(s) dominante(s), de forma que podemos sempre
considerar que um sistema possui 1 ou 2 pólos dominantes.
Quando as raízes de um sistema se apresentam complexase
conjugadas, teremos dois polos dominantes e quando o
sistema apresentar uma raiz real, naturalmente este será o pólo
dominante.
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Resposta no Domínio do Tempo ( Pólos, Zeros )
Consideramos o polo dominante sempre aquele que no
plano s se apresentar mais a direita de todos, veja
exemplo que segue.
Observe que zeros não interferem no conceito de polos
dominantes, pois estes não levam os sistemas a perda de
estabilidade, tema que abordaremos mais adiante.
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Respostas de um 
sistema quando 
deslocamos os pólos 
dominantes sobre o 
plano complexo s.
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Admitindo um sistema que apresenta 3 pólos e um zero, mostrado na equação.
Se o termo (s + P1) e o termo (s + z), forem coincidentes, um anulará o outro,
resultando em uma equação de um sistema de segunda ordem.
Cancelamento de Pólos e Zeros e seus efeitos
Ainda se o zero e o pólo não estiverem exatamente na mesma posição, mas
muito próximos, a transformada inversa de Laplace mostra que o resíduo do
decaimento exponencial é muito menor que a amplitude da resposta de 2ª
ordem, e pode ser desconsiderado.
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Cancelamento de Pólos e Zeros
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Cancelamento de Pólos e Zeros
Quando afastamos o pólo do zero, sua amplitude se torna relevante, não
podendo ser desconsiderado.
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Pólos – Resposta Forçada e Resposta Natural 
Exemplo: Determinação das respostas natural e forçada usando pólos.
34Teoria de Controle - Profº Ademir 
Resposta no Domínio do Tempo ( Pólos, Zeros )
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Exemplo: Determinação Pólos complexos conjugados
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1) Determine os pólos e zeros dos sistemas, plote-os num diagrama de pólos e
zeros, (representação números plano complexo =>( ) , e classifique-os .
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EXERCÍCIOS (PARA ENTREGAR)
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EXERCÍCIOS
RESOLUÇÃO
e
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EXERCÍCIO EXTRA 
(PARA ENTREGAR)