ESTRADAS E AEROPORTOS Aula 06

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CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
DISCIPLINA: ESTRADAS E AEROPORTOS 
AULA - 06 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PERFIL LONGITUDINAL 
1 - Introdução 
O perfil longitudinal, ou simplesmente perfil, é o corte do terreno e da 
estrada projetada por uma superfície vertical que contém o eixo da planta. 
Deve ser escolhido de tal forma que permita aos veículos que percorram a 
estrada com uma razoável uniformidade de operação. 
A escolha do perfil ideal está intimamente ligada ao custo da estrada, 
especialmente ao custo da terraplenagem. Condições geológicas e geotécnica das 
áreas atravessadas pela estrada terão grande influência na escolha do perfil, pois, 
tanto na execução dos cortes como dos aterros, condições desfavoráveis do solo 
natural podem exigir a execução de serviços especiais de alto custo, como 
escavações em rocha, obras especiais de drenagem, estabilização de taludes e 
outros. 
Entretanto, a existência de variações acentuadas na topografia da região 
atravessada obriga, muitas vezes, a execução de trechos de perfil com características 
técnicas bem diferentes. 
Neste caso, o greide da estrada é composto por uma sequência de 
rampas, concordadas entre si por curvas verticais. O projetista deve, sempre que 
possível, usar rampas suaves e curvas verticais de raios grandes, de forma a permitir 
que os veículos possam percorrer a estrada com velocidade uniforme. 
Em termos mais práticos, o perfil de uma estrada é um gráfico cartesiano 
no qual representamos, na abscissa, o estaqueamento do eixo e, na ordenadas, as 
cotas do terreno e do projeto, além de outros elementos que completam as 
informações necessárias à construção da estrada. 
A Figura 01 apresenta um exemplo de perfil longitudinal. 
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Figura 01 – Exemplo de perfil longitudinal 
 
2 - Rampas 
2.1 - Comportamento dos Veículos nas Rampas 
- Veículos de passageiros: conseguem vencer rampas de 4% a 5% com perda de 
velocidade muito pequena. Em rampas de até 3%, o comportamento desses veículos 
é praticamente o mesmo que nos trechos em nível. 
- Caminhões: a perda de velocidade em rampas é bem maior do que a dos veículos 
de passageiros. 
Nas rampas ascendentes, a velocidade desenvolvida por um caminhão 
depende de vários fatores: inclinação e comprimento da rampa, peso e potência do 
caminhão, velocidade de entrada na rampa, habilidade e vontade do motorista. 
O tempo de percurso dos caminhões em uma determinada rampa cresce à 
medida que cresce a relação peso/potência. Assim, veículos com a mesma relação 
peso/potência têm aproximadamente o mesmo comportamento nas rampas. 
Caminhões médios conseguem manter velocidades da ordem de 25 km/h 
em rampas de até 7% e caminhões pesados, apenas velocidades da ordem de 15 km/ 
h, nessas rampas. 
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2.2 - Controle de Rampas para Projetos 
- Inclinações Máxima e Mínima das Rampas 
Com base no comportamento dos veículos nas rampas, podemos obter 
elementos para a determinação das inclinações máximas admissíveis. 
Rampas máximas com até 3% permitem o movimento de veículos de 
passageiros sem restrições, afetam muito pouco a velocidade dos caminhões leves e 
médios e são indicadas para estradas com alta velocidade de projeto. 
Rampas máximas com até 6% têm pouca influência no movimento dos 
veículos de passageiros, mas afetam bastante o movimento de caminhões, 
especialmente caminhões pesados, e são aconselháveis para estradas com baixa 
velocidade de projeto. 
Rampas com inclinação superior a 7% só devem ser utilizadas em 
estradas secundárias, com baixo volume de tráfego, em que a perda de velocidade 
dos caminhões não provoque constantes congestionamentos, ou em estradas 
destinadas ao tráfego exclusivo de veículos de passageiros. Nessas estradas, em 
regiões de topografia acidentada, têm sido utilizadas rampas de até 12%. 
Quando a topografia do terreno for desfavorável; poderão ser adotados 
valores maiores que os indicados para as rampas máximas, de forma a dar maior 
liberdade ao projetista, evitando, assim, pesados movimentos de terra, cortes e aterros 
excessivamente altos, ou mesmo evitar a construção de viadutos e túneis, que 
encarecerão a construção da estrada. A Tabela 01 apresenta os valores das 
inclinações máximas para rampas recomendados pelas Normas para Projeto de 
Estradas de Rodagem do DNER. 
Tabela 01 – Inclinação máxima das rampas pelo DNER (%)
 
Nos trechos onde a água de chuva não pode ser retirada no sentido 
transversal à pista, por exemplo, em cortes extensos ou em pistas com guias laterais, 
o perfil deverá garantir condições mínimas para o escoamento no sentido longitudinal. 
Nesses casos, é aconselhável o uso de rampas com inclinação não inferior a 0,5% em 
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estradas com pavimento de alta qualidade e 1% em estradas com pavimento de média 
e baixa qualidade. 
Quando a topografia da região atravessada for favorável e as condições 
locais permitirem, poderão ser usados trechos em nível (rampa com inclinação 0%), 
desde que haja condições para a perfeita drenagem da pista. 
2.3 – Curvas Verticais de Concordância 
As curvas verticais de concordância têm por objetivo concordar dois 
alinhamentos do greide, visando suavizar os efeitos decorrentes da passagem brusca 
de um segmento para outro. As rampas projetadas e devem ser escolhidas de forma a 
atender às condições de segurança, boa aparência e visibilidade, e permitir a 
drenagem adequada da estrada. 
Problemas de drenagem devem ser cuidadosamente analisados em cada 
caso específico, especialmente nas curvas côncavas compreendidas entre uma rampa 
descendente e uma ascendente. 
Diversas curvas poderiam ser empregadas, com resultados bastante 
semelhantes, sob ponto de vista técnico, podendo ser: 
- Parábola do 2º Grau; 
- Curva Circular; 
- Elipse; 
- Parábola Cúbica; 
As curvas utilizadas para concordância vertical podem ser circunferências 
ou parábolas. A parábola simples de eixo vertical é a mais utilizada por proporcionar 
boa aparência à curva e boa concordância entre as tangentes, e possibilitar fácil 
cálculo de suas cotas. 
Como a configuração de um segmento destas curvas de grandes raios é 
muito semelhante, a escolha deve ser calcada na aplicação prática, com análise das 
equações envolvidas e necessidade de tabelas especiais, onde se busca a 
simplicidade de cálculo agregada a sua aplicabilidade. 
A curva de concordância que melhor se adapta as necessidades práticas 
de projeto é a Parábola do 2° grau. 
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2.4 – Estudo da Parábola do 2º Grau 
2.4.1 – Pontos e elementos da Parábola 
Percorrendo-se o greide no sentido crescente do estaqueamento, pode-se 
definir alguns pontos e elementos da parábola, como se apresentam: 
 
Figura 02 – Pontos e elementos da parábola 
 
- PCV - Ponto de Curva Vertical: ponto de contato onde termina o primeiro trecho de 
inclinação constante e começa a curva vertical. 
- PIV - Ponto de Interseção Vertical: ponto de encontro do prolongamento dos trechos 
retos; também pode ser designado como ponto de mudança de greide (PMG). 
- PTV - Ponto de Tangência Vertical: ponto de contato onde termina a curva vertical e 
começa o segundo trecho de inclinação constante. 
- L - Corda Máxima da Parábola: distância entre o PCV e o PTV, projetada 
ortogonalmente sobre a referência horizontal, correspondendo ao comprimento da 
curva vertical. 
- Eixos X,Y - Sistema oblíquo de eixos coordenados. 
- x - Abscissa: abscissa de um ponto qualquer da curva, sempre expressa em número 
de estacas. 
- y - Ordenada: ordenada de um ponto qualquer da curva,correspondendo à distância, 
paralela ao eixo Y, entre o eixo X e o ponto da curva. 
- R - Raio: raio da curva parabólica no eixo. 
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- f - Ordenada máxima: distância vertical entre o PIV e a curva, também chamada de 
"flecha máxima". 
- i1 - Primeira Inclinação: inclinação do primeiro trecho de inclinação constante a ser 
concordado através da curva vertical; é expressa em porcentagem, sendo considerada 
positiva quando for rampa e negativa quando for contra-rampa; 
- i2 - Segunda Inclinação: inclinação do segundo trecho de inclinação constante, 
também expresso em porcentagem positiva ou negativa; 
g = ∆i - Diferença de Inclinações: diferença algébrica entre as inclinações do primeiro e 
segundo trecho de inclinação constante. 
2.4.2 - CÁLCULO DA PARÁBOLA 
A) DETERMINAÇÃO DAS INCLINAÇÕES (i) 
É possível obter as inclinações (i) para cada trecho em tangente da curva 
vertical em função de suas cotas e estacas. A seguir é apresentada a formulação para 
este cálculo: 
𝑖 =
𝐶𝑜𝑡𝑎( ) − 𝐶𝑜𝑡𝑎( )
20 × 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎( ) − 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎( )
× 100 
Sendo 20 o valor em metros de cada estaca e i em (%) 
A nomenclatura (n+1) significa a cota ou estacada no ponto a vante e a 
nomenclatura (n) significa a cota ou estaca no ponto a ré. 
B) DIFERENÇA DAS INCLINAÇÕES 
É a diferença algébrica entre i1 e i2, portanto considerando os respectivos 
sinais, sendo i1 o primeiro trecho de inclinação constante no sentido crescente do 
estaqueamento e i2 o segundo trecho de inclinação constante. 
𝑔 = ∆ = 𝑖 − 𝑖 
A análise do valor de g nos permite definir o tipo de curva que iremos 
calcular, do seguinte modo: 
• g < 0 - a curva será côncava (concavidade voltada para baixo - depressão) 
• g > 0 - a curva será convexa (concavidade voltada para cima -lombada). 
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C) CORDA MÁXIMA (L) 
A corda máxima pode ser pré-estabelecida ou arbitrada em conformidade 
com as demais condições estabelecidas para curva como a ordenada máxima e/ou o 
raio. 
Para tanto, o valor final de L deve verificar as equações abaixo, as quais 
exprimem a relação existente entre o comprimento da curva (L), o raio da curva (R), a 
flecha máxima (f) e também a diferença de inclinações (g). 
𝐿 =
8 × 𝑓
𝑔
 
 
𝐿 = 𝑅 × |𝑔| 
Sendo L em (m) 
Se possível, é interessante e muito prático o ajuste do comprimento da 
curva de forma a projetar os pontos principais da curva recaindo em estacas inteiras; 
assim, usualmente o valor de L é arredondado a maior para múltiplo do dobro do 
estaqueamento. 
O comprimento da corda máxima esta diretamente ligado a distância de 
visibilidade de parada. Seu valor mínimo é expresso pela fórmula. 
𝐿 = 100 × 𝑔 × 𝑘 
Como este mínimo valor do comprimento da curva vertical é resultante da 
análise da concavidade da curva e da distância de visibilidade de parada, o parâmetro 
k é definido da seguinte forma: 
- CURVA CONVEXA - este critério considera que um motorista, com seu campo de 
visão situado a 1,10m acima da pista, enxergue um objeto com 0,15m de altura em 
repouso sobre a pista. O valor mínimo da corda é definido pela expressão: 
𝑘 =
𝐷
412
 
Sendo Dp a distancia de visibilidade de parada (m). 
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- CURVA CÔNCAVA - durante o dia, ou pistas com iluminação artificial, de modo geral 
não ocorrem problemas de visibilidade; nas pistas não iluminadas aplica-se o critério 
de visibilidade noturna, ou seja, a pista deve ser iluminada em extensão igual a 
distância de visibilidade de parada pela luz do farol do veículo, colocado a 0,61 m 
acima do plano da pista. A fórmula aplicável é a seguinte: 
𝑘 =
𝐷
(122 + 3,5 × 𝐷 )
 
Sendo Dp a distancia de visibilidade de parada (m). 
Obs.: As Normas Técnicas limitam em 40,00m o mínimo valor do comprimento da 
curva vertical parabólica (L), independente do critério a ser adotado. 
D) RAIO (R) 
Da mesma forma que L, o raio pode ser pré-estabelecido, arbitrado ou ser 
resultante da definição dos outros elementos da curva, respeitadas as expressões 
vistas, onde isolado o valor de R teremos a mesma expressão da forma: 
𝑅 =
𝐿
𝑔
 
Sendo R em (m) 
E) ORDENADA MÁXIMA (f) 
Também pode ser pré-estabelecida, arbitrada ou ser resultante da definição dos outros 
elementos da curva, respeitadas as expressões vistas, onde isolado o valor de e 
teremos a mesma expressão da forma: 
𝑓 =
𝑔 × 𝐿
8
 
Sendo f em (m) 
F) CÁLCULO DAS COTAS (m) E ESTACAS DO PCV E PTV 
Para o cálculo das estacas e cotas, PCV e PTV, são utilizadas as 
seguintes formulações: 
- Estaca(PCV) = 𝐸(𝑃𝐼𝑉) − 
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- Estaca(PTV) = 𝐸(𝑃𝐼𝑉) + 
- Cota(PCV) = 𝐶𝑜𝑡𝑎(𝑃𝐼𝑉) −
×
 sendo cota em (m) 
- Cota(PTV) = 𝐶𝑜𝑡𝑎(𝑃𝐼𝑉) +
×
 sendo cota em (m) 
G) EXPRESSÃO DA PARÁBOLA 
A expressão genérica que define uma parábola do segundo grau é: 
𝑦 = 𝑍 × 𝑥 
onde a constante Z é oriunda da seguinte relação 
𝑍 =
4 × 𝑓
𝐿
 
Desta forma, podemos expressar a parábola pela fórmula: 
𝑦 =
4 × 𝑓 × 𝑥
𝐿
 
Para aplicação destas expressões, é importante observar que os valores 
de x e L podem ser expressos em metros ou em estacas. 
H) PONTO MAIS ALTO OU MAIS BAIXO DA PARÁBOLA 
A determinação do ponto mais alto ou baixo da curva, seja convexa ou 
côncava respectivamente, é de grande interesse na fase do projeto de drenagem e na 
fase de construção da obra para a implantação de coletores, saídas de água e outros 
dispositivos, bem como orientação para delimitação das sarjetas. 
A distância d dada pela expressão abaixo, corresponde a distância do PCV 
até o ponto mais alto ou baixo em questão. 
𝑑 =
𝑖 × 𝐿
𝑔
 
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Observa-se que o ponto mais alto ou baixo estará sempre do lado da curva 
correspondente a rampa de menor valor absoluto. Somente quando as rampas tiverem 
o mesmo valor absoluto é que estes pontos estarão no eixo central da curva. 
Exercício: Calcular os elementos notáveis (estacas e cotas do PCV e PTV) da curva 
vertical abaixo. Considere o raio da curva vertical (R) = 4000m e a distância de 
visibilidade de parada (Dp) igual a 112m. 
 
- Cálculo do comprimento da curva: 
𝑔 = ∆ = 𝑖 − 𝑖 = 1% - (-3%) = 4% g > 0 = curva convexa 
𝐿 = 𝑅 × 𝑔 = 4.000 x 0,04 = 160m 
- Verificação do comprimento mínimo da curva: 
como a curva é convexa, a fórmula de k será: 
𝑘 = = = 30,44m 
𝐿 = 100 × 𝑔 × 𝑘 = 100 x 0,04 x 30,44 = 121,76m L > Lmin OK! 
- Cálculo da Flecha Máxima: 
𝑓 =
× = 
, 
 = 0,80m 
- Cálculo das Estacas: 
- Estaca(PCV) = 𝐸(𝑃𝐼𝑉) − = 1480 - = 1400m ou seja estaca 70. 
- Estaca(PTV) = 𝐸(𝑃𝐼𝑉) + = 1480 + = 1560m ou seja estaca 78. 
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- Cálculo das Cotas: 
- Cota(PCV) = 𝐶𝑜𝑡𝑎(𝑃𝐼𝑉) −
×
 = 670 - 
, ×
 = 669,20m 
- Cota(PCT) = 𝐶𝑜𝑡𝑎(𝑃𝐼𝑉) +
×
 = 670 + 
, ×
 = 667,60m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1 - Calcular os elementos notáveis (estacas e cotas do PCV e PTV) da curva vertical 
abaixo. Considere a ordenada máxima (f) = 1,20m e a distância de visibilidade (Dp) = 
124m. Fazer a verificação do Lmin e o tipo de curva. Resposta: Est(PCV) = 74 + 0,00m; 
Est(PTV) = 94 + 0,00m; Cota(PCV) = 667,60m; Cota(PTV) = 677,20m 
 
 
2 – Sendo conhecidos os dados constantes no croqui abaixo, calcular as cotas dos 
PIV’s e a rampa desconhecida. Resposta: PIV1 = 761,65m; PIV2 = 727,18m; PIV3 = 
773,05m; i = 5,21% 
 
3 – Dado o trecho de perfil da figura abaixo, calcular as cotas do greide (perfil de 
referência da estaca 103 até a estaca109. Apresentar os resultados em forma de 
tabela. 
 
 
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REFERÊNCIAS BIBLIIOGRÁFICAS 
FILHO, G. P. Estradas de Rodagem: Projeto Geométrico. São Carlos. Editora G. 
Pontes Filho, 1998. 
FRAENKEL, B. Engenharia Rodoviária. Editora Guanabara II, Rio de Janeiro, 1990. 
LEE, S. H. Projeto Geométrico de Estradas. Universidade Federal de Santa 
Catarina. Programa Especial de Treinamento Engenharia Civil, 2000. 
PEREIRA, D. M; et al. Projeto Geométrico de Rodovias, Universidade Federal do 
Paraná. Setor de Tecnologia – Departamento de transportes, 2010. 
PIMENTA, C. R. T.; OLIVEIRA, M. P. Projeto Geométrico de Rodovias, São Carlos, 
Editora Rima, 2º edição. 2016.