Adensamento da Rede Geodésica

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FACULDADE DE CIÊNCIAS 
Departamento de Matemática e Informática 
 
 
Maputo, abril de 2022 
Tema: Proposta de Adensamento da rede Geodésica para Projectos de 
Construção e Manutenção de Infraestruturas Viárias na Região da Cidade de 
Maputo 
Licenciatura em Ciêncieas de Informação Geográfica 
 
Unidade Curricular: Geodesia Espacial 
 
 
Docentes: 
 Professor Doutor. António Assane 
Lic. Mário Azarias Chelengo 
Discentes: 
 Cardoso Elias Bahule 
 Ivan Belchior Sarmento Bule 
 Pedro Samuel Mbata 
 Sebastião Chambal 
 
 
Resumo 
As redes geodésicas basicamente se resumem na realização do referencial geodésico de uma região, a 
partir de pontos materializados no terreno. As redes geodésicas são importantes em atividades como 
monitoramento das mudanças climáticas, geodinâmica, obras de engenharia, cadastro de imóveis urbanos 
e monitoramento de estruturas. Além disso, não se descarta a utilidade de uma rede geodésica em um 
cenário menor como em uma universidade. Tais redes podem ser usadas tanto no suporte da implantação 
de obras de infraestrutura na universidade, como no ensino e pesquisa. 
Este trabalho tem pretende apresentar a metodologia a ser adotada no adensamento de uma rede geodésica 
com GNSS na Cidade de Maputo, a qual é composta por 8 marcos de concreto construídos conforme o 
padrão estabelecido pelo IBGE e implantados em locais onde o impacto devido ao trânsito de veículos fosse 
minimizado. Pretende-se usar os receptores GNSS Timble R750 e Leica GS18 para execução do levantamento 
geodésico em campo. Os dados serão processados no software Topcon Tools conforme o método de 
posicionamento relativo estático, no qual utilizar-se-á a estação MP da RGM como estação de referência. Os 
dados obtidos após o processamento serão avaliados em etapa de pré-análise e ajustados com o MMQ pelo 
método paramétrico. 
 
 
Índice 
Resumo ............................................................................................................... Erro! Marcador não definido. 
1. Introdução ................................................................................................. Erro! Marcador não definido. 
2. Objectivos .................................................................................................. Erro! Marcador não definido. 
3. Revisão da Literatura ................................................................................ Erro! Marcador não definido. 
3.1. Sistema de posicionamento por satélite ........................................ Erro! Marcador não definido. 
3.2. Ionosfera ............................................................................................ Erro! Marcador não definido. 
3.2.1. Estrutura da Ionosfera................................................................. Erro! Marcador não definido. 
3.2.2. Efeitos da Ionosfera nos sinais de satelite ................................ Erro! Marcador não definido. 
3.3. Sistema Global de posicionamento (GPS) ........................................ Erro! Marcador não definido. 
3.3.1. Segmento espacial ........................................................................ Erro! Marcador não definido. 
3.3.2. O segmento dos usuários ............................................................ Erro! Marcador não definido. 
3.3.3. Determinação da posição do receptor GPS ............................. Erro! Marcador não definido. 
3.3.4. Determinação da posição de um satélite .................................. Erro! Marcador não definido. 
3.3.5. Determinação da distância de um satélite ao receptor............ Erro! Marcador não definido. 
3.3.6. Fontes de Erros do sistema de navegação por satélite ........... Erro! Marcador não definido. 
3.4. O Sistema BeiDou ou BDS (BeiDou Navigation Satellite System)Erro! Marcador não 
definido. 
3.4.1. Segmento Espacial Beidou .......................................................... Erro! Marcador não definido. 
Segmento Terrestre....................................................................................... Erro! Marcador não definido. 
3.4.2. Sistema de referência BeiDou .................................................... Erro! Marcador não definido. 
Sinal Beidou ................................................................................................... Erro! Marcador não definido. 
3.4.3. Características do Sinal ................................................................ Erro! Marcador não definido. 
Coerência do Sinal ............................................................................................ Erro! Marcador não definido. 
Índice de precisão do intervalo do usuário (URAI) ................................. Erro! Marcador não definido. 
4. Conclusão .................................................................................................. Erro! Marcador não definido. 
5. Referencias Bibliograficas ........................................................................ Erro! Marcador não definido. 
 
 
 
 
 
 
1 Introdução 
As redes geodésicas basicamente se resumem na realização do referencial geodésico de uma região, a 
partir de pontos materializados, e estes, possuem entre si certa relação de precisão e apresentam alta 
confiabilidade (MARINI, 2002). 
Segundo Klein (2014), o projeto de uma rede geodésica perpassa essencialmente por etapas como a de 
planejamento da rede, a coleta dos dados ou observações em campo, o ajustamento das observações para 
se obter a melhor solução para as incógnitas envolvidas, neste caso, as coordenadas tridimensionais das 
estações implantadas que compõem a rede, e enfim, a etapa de controle de qualidade que visa detectar e 
identificar possíveis erros inerentes às observações. 
Uma rede geodésica pode ser empregada para diversas finalidades, como para o referencial geodésico para o 
cadastro de municípios (NBR 14.166); monitoramento de estruturas (FAZAN, 2010); locação de obras de 
engenharia (PINTO, 2010); na implantação e manutenção de diversos serviços de infraestrutura (IBGE, 
1983). 
Geralmente as redes geodésicas são concebidas em dimensão geométrica proporcional à dimensão de 
municípios ou à extensas regiões, no entanto, não se descarta a utilidade da rede de pequenas proporções, ou 
com menor área de abrangência, tendo-se em vista, por exemplo, atender demandas em um território restrito. 
Palavras-chave: Rede Geodésica, Ajustamento, GNSS. 
 
 
1.1 Objectivos 
 
1.2 Ojectivos Gerais 
➢ Apresentar a proposta de adensamento da rede geodésica da região da cidade de Maputo 
1.3 Específicos 
• 
 
 
 
2 Revisão da Literatura 
2.1 Sistema NAVSTAR/GPS 
A evolução da era espacial e de seus métodos de posicionamento permitiu o atual sistema Navigation 
System Time And Ranging (NAVSTAR) & Global Positioning System (GPS). Sua manutenção e 
desenvolvimento vêm sendo mantidos pelo Departamento de Defesa dos EUA (DoD). 
De geração para geração ocorreram melhorias no sistema aumentando a cobertura de dados de 
geolocalização, melhorando a performance da navegação marítima, em centros de cidades e lugares 
que atualmente sofrem com fraca recepção. 
O sistema NAVSTAR/GPS está fundamentado em três segmentos que são: 
• Segmento espacial – satélites; 
• Segmento de controle – estações terrestres de rastreamento; 
• Segmento de usuários 
 
2.1.1 Segmento espacial 
Segundo Monico (2000), normalmente os satélites são identificados quanto ao número seqüencial do 
lançamento, isto é, Space Vehicle Numer (SVN), quanto ao Pseudo-Random-Noise (PRN), quanto 
ao Space Vehicle Identification (SVID) e quanto ao número da posição orbital. 
Segundo o mesmo autor, no desenvolvimento dos projetos dos satélites, criou-se uma classificação 
por blocos conforme a seguir: 
Bloco I – satélites de desenvolvimento e pesquisa, verdadeiros protótipos. Foram construídose 
lançados 11 satélites (SVN1 a SVN11) e respectiva desativação ocorreu no fim de 1995. 
Bloco II – satélites operacionais, com objetivo de constituir a configuração mínima de 24 satélites. 
Foram construídos e lançados 09 satélites. 
Bloco IIA (Advanced) – satélites operacionais, com objetivo de constituir a configuração mínima de 
24 satélites (Figura 2.1). Foram construídos e lançados 19 satélites (SVN22 a SVN40). 
 
2.1.1.1 Planos orbitais 
Segundo Monico (2000) apoud Innocente (2007), O segmento espacial foi definido para garantir a 
maior cobertura terrestre possível e para isso constituíram-se seis planos orbitais denominados 
 
 
pelas letras A, B, C, D, E e F, podendo conter, em cada um, de 05 a 12 satélites devidamente 
posicionados. A separação longitudinal entre os planos orbitais é de 60º e são inclinados 55º em 
relação ao equador. O período orbital dos satélites é de aproximadamente 12 horas siderais, 
implicando na repetição de posição, a cada dia, 4 minutos antes que o do dia anterior (Monico, 
2000). 
 
Planos orbitais e locação dos satélites em abril de 2006. 
Fonte: (LOUDEN, 2006). 
 
2.1.1.2 Sinais GPS 
Os sinais GPS compõem um conjunto de informações transportadas por duas ondas portadoras. Essas 
portadoras, denominadas de L1 e L2, são geradas a partir da freqüência de 10,23 MHz, produzida pelos 
relógios atômicos instalados nos satélites e, através da técnica de separação Múltiplo Acesso por Divisão 
em Códigos (CDMA), geram-se as freqüências de 1575,42 MHz para L1 e 1227,60 MHz para L2, 
correspondendo, respectivamente aos comprimentos de onda de 19,05 cm e 24,45 cm (GEMAEL et 
al.,2004). 
A portadora L1, é modulada por dois tipos de códigos falsamente aleatórios (pseudorandom noise 
code), sendo um com 1,023 MHz chamado de código C/A (Coarse Acquisition – fácil aquisição) ou 
como Standard Positioning Service (SPS), e outro com 10,23 MHz chamado de código P – Precise 
(GEMAEL et al., 2004). 
 
 
A portadora L2, só possui o código P, também chamado de código Y ou Precise Positioning Service 
(PPS), sendo usado exclusivamente pelas forças armadas norte-americanas e por usuários autorizados 
(GEMAEL et al., 2004). 
Nessas portadoras também são transportadas as mensagens de navegação na razão de 50 bits por segundo 
(bps), tendo duração de 30 segundos. Com a modernização do sistema GPS, nos satélites do Bloco IIR 
M temos o acréscimo do novo sinal L2C e o código militar M 
2.1.2 Segmento de controle 
Segundo (Innocente, 2007) Com o objetivo de operacionalizar todo o sistema GPS foi criada uma rede 
de estações terrestres espalhadas por diversos países (Figura 2.8). Sua função principal é monitorar e 
controlar os satélites, o sistema de tempo GPS, as efemérides e as mensagens de navegação. 
Para realização dessas tarefas foram implementadas 5 estações de monitoramento sendo que a Master 
Control Station (MCS) está localizada em Falcon Air Force Base, Colorado Springs, Colorado, EUA. As 
estações de monitoramento são equipadas com receptores de dupla freqüência com múltiplos-canais, 
com relógios atômicos e aparelhos para coleta de dados meteorológicos do local, objetivando o 
rastreamento contínuo dos satélites GPS e posterior envio para a Estação Principal de Controle 
(SEGANTINE, 2005). 
Essas estações estão localizadas no Hawai, Colorado Springs, Ilha Ascenção, Diego Garcia e Kwajalein, 
sendo estas três últimas munidas de antenas parabólicas visando transmissão de mensagens de navegação 
e comandos aos satélites. 
A Estação Principal de Controle cria as mensagens de navegação visando adequar o Serviço de 
Posicionamento Padrão e Serviço de Posicionamento Preciso, calculando as efemérides precisas através 
dos rastreios efetuados nas estações da Argentina, Austrália, Bahrain, Equador e Inglaterra, que são 
administradas pela Defense Mapping Agency (DMA) (GEMAEL et al., 2004). 
 
 
 
Segmento de Controle. Fonte: (KIM, 2006) 
 
2.1.3 Segmento de usuários 
Todos os receptores operados por civis ou militares, situados na superfície terrestre, no ar, nos navios e 
em satélites integram o segmento de usuários. Os receptores a serem utilizados devem ser apropriados 
para os objetivos dos trabalhos tanto em navegação, como em geodésia ou outra atividade qualquer 
(MONICO, 2000). 
2.2 Métodos de posicionamento GPS 
Quando se trabalha com a determinação da posição de pontos na superfície terrestre utiliza-se um 
referencial específico. A determinação desse posicionamento pode ser classificada em absoluto e relativo. 
Essa classificação pode ser complementada levando-se em conta se o objeto a ser posicionado estiver 
parado ou em movimento. Quando está parado (repouso), o posicionamento é estático. Quando está em 
movimento, o posicionamento é cinemático. 
 
 
 
Exemplos de métodos de medição. Fonte: (Wolf e Ghilani, 2002). 
O posicionamento é absoluto quando as coordenadas estão associadas diretamente ao geocentro. 
Também é chamado de posicionamento por ponto. Quando, nesse processo, se utilizam efemérides 
transmitidas, a posição do ponto é determinada no sistema de referência do GPS, isto é, o WGS 84. O 
posicionamento é relativo quando as coordenadas são determinadas com relação a um referencial 
materializado por um ou mais vértices com coordenadas conhecidas (MONICO, 2000). 
A denominação posicionamento em tempo real é quando a estimativa da posição da estação de interesse 
ocorre praticamente no mesmo instante em que as observações são coletadas. A denominação 
posicionamento pós-processado é quando as posições dos pontos em que dados foram coletados são 
estimadas num processamento posterior à coleta (Mônico, 2000). 
Surgiram várias denominações e métodos intermediários entre o posicionamento relativo 
estático e cinemático. 
Conforme Seeber (1993) a subdivisão dos métodos rápidos de posicionamento relativo via 
GPS são: 
• método estático rápido; 
• método semicinemático; e 
• método cinemático. 
O método estático rápido tem essa denominação devido ao fato de desligar o receptor 
 
 
durante o deslocamento de uma estação para outra. 
O método semicinemático tem essa denominação devido ao fato de se manter o receptor em sintonia 
com os satélites durante o deslocamento, mesmo sem estar armazenando as observações. Quando o 
receptor é deslocado coletando os dados permitindo o cálculo estimado das coordenadas da rota, tem-se 
o que se denomina de método cinemático. As observáveis envolvem erros e os mesmos devem ser 
tratados adequadamente. 
Conforme MONICO (2000) as fontes e erros inerentes ao GPS são: 
• Erros relacionados com os satélites 
➢ Erros orbitais 
➢ Erros nos relógios 
➢ Relatividade 
➢ Atraso entre as duas portadoras no hardware do satélite 
 
• Erros relacionados com a propagação do sinal 
➢ Refração troposférica 
➢ Refração ionosférica 
➢ Multicaminhamento ou sinais refletidos (Multipath) 
➢ Perdas de ciclos 
➢ Rotação da Terra 
 
• Erros relacionados com o receptor e a antena 
➢ Erro do relógio 
➢ Erros entre os canais (interchannel biases) 
➢ Centro de fase da antena 
 
 
 
 
• Erros relacionados com a estação 
➢ Erro nas coordenadas 
➢ Multicaminhamentos 
➢ Maré terrestres 
➢ Movimento do Pólo 
➢ Carga dos oceanos 
➢ Pressão da atmosfera 
O centro de fase de uma antena é o ponto que corresponde à medição da fase. Este ponto, em geral, não 
coincide com o centro geométrico da antena (Figura 2.11). A diferença entre o centro de fase e o centro 
geométrico da antena varia conforme a intensidade e direção dos sinais e tem comportamento diferente 
para cada portadora. Esse problema é contornado por alguns fabricantes, colocando uma bússola no 
refletor da antena, visando que os operadores orientem todas as antenas numa mesma posição, 
procurando eliminar o erro devido à falta de centragem dos centros de fase. 
 
2.2.1 Posicionamento por ponto (Absoluto) 
Neste método utiliza-se apenas um receptor e é muito empregadoem navegação de baixa precisão e em 
levantamentos expeditos (Figura 2.13). Houve melhora significativa na qualidade da coordenada do ponto 
determinado a partir de 2 de maio de 2000, quando aconteceu a desativação da disponibilidade seletiva 
(Selective Availability – SA). Este método não atende aos requisitos de precisão inerentes ao 
posicionamento geodésico. O posicionamento instantâneo de um ponto (tempo real) é realizado usando 
a pseudodistância originada do código C/A presente na portadora L1. O método de posicionamento por 
ponto é dividido em três segmentos apresentados a seguir: 
 
2.2.1.1 Posicionamento por ponto convencional 
Nessa técnica de posicionamento, as coordenadas da estação serão influenciadas pelos erros nas 
coordenadas e correções dos relógios dos satélites, e dos atrasos causados pela ionosfera e troposfera 
(Tabela 2.1). 
Do posicionamento por ponto leva-se para a diluição da precisão (Dilution of Precision) – DOP, já que 
essa diluição é obtida a partir do conceito deste método (MONICO, 2000). 
 
 
O DOP é utilizado em navegação e no planejamento de observações GPS, ajudando na indicação da 
precisão dos resultados que serão obtidos. 
O fator DOP é um escalar que descreve o efeito da distribuição geométrica dos satélites no espaço sobre 
a precisão obtida na solução de navegação (SEGANTINE, 2005). 
• precisão da observação de pseudodistância, expressa pelo erro equivalente do usuário (UERE: 
User Equivalent Range Error), que é associado ao desvio padrão da observação 
(σr); e 
• configuração geométrica dos satélites, obtida pelos DOPs.Conforme MONICO (2000) depende 
de A seguir apresenta-se os tipos de definições para o fator DOP: 
• σH = HDOP σr para posicionamento horizontal; 
• σV = VDOP σr para posicionamento vertical; 
• σP = PDOP σr para posicionamento tridimensional; e 
• σT = TDOP σr para determinação de tempo. 
O fator DOP quando combinado em relação ao posicionamento tridimensional e o tempo 
passa a ser denominado de Geometric Dilution of Precision (GDOP). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometria dos satélites 
Fonte: (Wolf e Ghilani, 2002). 
 
 
2.2.1.2 Posicionamento por ponto preciso 
Trata-se do mesmo método de posicionamento por ponto convencional, porém não utilizando as 
efemérides e correções dos relógios dos satélites enviados na mensagem de navegação. 
Os usuários deverão usar as efemérides e as correções dos relógios dos satélites calculadas pela Estação 
Principal de Controle (MCS) ou de outra entidade (GSD – Geodetic Survey Division). 
 
2.2.1.3 Posicionamento por ponto de alta precisão 
Neste método é usado somente receptores de dupla freqüência utilizando-se pseudodistância e fase da 
onda portadora nas duas portadoras. No processamento aplicam-se as efemérides precisas e as 
correções para os relógios dos satélites (MONICO, 2000). 
2.2.2 Posicionamento relativo 
Atualmente, com as estações de monitoramento contínuo que são compostas de receptores rastreando 
continuamente os satélites visíveis e tendo os seus dados disponibilizados para os usuários, é possível a 
realização de operações de campo com um ou mais receptores para determinar as coordenadas dos 
pontos desejáveis. A utilização de dois ou mais receptores favorece a produtividade e o planejamento das 
ocupações, proporcionando melhores soluções. 
No posicionamento relativo é fundamental que os receptores envolvidos rastreiem simultaneamente 
todos os satélites visíveis, podendo ser dividido nos seguintes métodos de posicionamento: estático, 
estático rápido, semicinemático e cinemático (MONICO, 2000). 
 
2.2.2.1 Posicionamento relativo estático 
É um método tradicional e mais usado em posicionamento geodésico, em que o receptor da estação base 
e os outros receptores ficam estacionados durante o período de rastreio conforme ilustra a figura abaixo. 
O tempo de rastreio é determinado em função do tipo de receptor, da precisão almejada e o espaçamento 
entre os pontos a serem determinados. 
Conhecendo-se as coordenadas da estação base e efetuada a combinação de todos os dados rastreados 
teremos a melhor determinação das coordenadas dos pontos medidos. As coordenadas dos pontos 
medidos são calculadas a partir da estação base e as direções criadas, unindo essa estação e os pontos, 
são denominadas de vetores ou, linhas bases ou ainda, bases (SEGANTINE, 2005). 
 
 
 
Método Estático. Fonte: (Rocha, 2000). 
 
2.2.2.2 Posicionamento relativo estático rápido 
O posicionamento relativo estático rápido é uma variação do método estático podendo ser usado 
receptores de simples (L1) ou dupla freqüência (L1 e L2). Trata-se da ocupação dos pontos de interesse 
por curtos períodos, não ultrapassando 20 minutos, permitindo o aumento da produtividade 
 
Método Rápido Estático. Fonte: (Rocha, 2000). 
Nas operações de campo fixa-se um receptor num ponto a ser adotado como referência e outro receptor 
(rover) desloca-se para os pontos a serem medidos, ficando de 5 a 20 minutos coletando dados e o fato 
de termos observações simultâneas, nos proporcionará várias linhas bases. Nos deslocamentos é 
permitido desligar o receptor móvel. 
 
2.2.2.3 Posicionamento relativo semicinemático 
É um método que requer a alteração da geometria do satélite. Coleta-se dados numa mesma estação por 
períodos curtos e separados por um intervalo de tempo suficiente para mudar a geometria dos satélites. 
 
 
Deve-se efetuar planejamento detalhado quanto aos pontos que se quer determinar, escolhendo o trajeto 
a ser percorrido e a identificação de obstáculos que possam propiciar a perda de sintonia com satélites, 
já que, esse método requer o rastreamento contínuo dos mesmos satélites 
 
Posicionamento relativo semicinemático. Fonte: (Rocha, 2000). 
 
2.2.2.4 Posicionamento relativo cinemático 
Do mesmo modo que o método semicinemático, toma-se um ponto como estação de referência, desde 
que suas coordenadas sejam conhecidas, e com a utilização de outros receptores percorremos 
continuamente as feições dos detalhes e pontos a serem levantados (Figura 2.20). 
Neste método deve-se tomar precauções quanto ao planejamento do trabalho, dando prioridade para 
áreas livre de obstáculos que possam causar perda de sintonia com os satélites. Os dados coletados podem 
ser processados após o término das operações de campo ou serem processados em tempo real. No caso 
do processamento em tempo real, este método, é denominado de Real Time Kinematic (RTK), onde os 
receptores dispõem de um enlace de rádio, possibilitando a transmissão e recepção de observações e 
correções da estação base (Figura 2.21). 
As correções são baseadas no conhecimento da posição da estação de referência, na posição dos satélites 
e no comportamento do relógio dos satélites e corrigidas do erro do relógio 
da estação base (Mônico, 2000). O enlace de rádio, o atraso no processamento dos dados e a perda de 
ciclos são fatores que limitam e prejudicam a precisão do posicionamento e, para minimizar esses fatores 
os programas estão sendo, constantemente implementados, visando que o receptor móvel detecte e 
corrija essas ocorrências em tempo real. 
 
2.3 Variação temporal da gravidade 
A ação combinada da Lua, do Sol e de outros astros faz com que a força da gravidade sofra variações 
temporais, em magnitude e em direção, de forma direta ou indireta (Figura 3.2). O efeito direto é oriundo 
 
 
da atração que cada astro exerce e o efeito indireto é conseqüência da deformação elástica induzida na 
Terra (MIRANDA; LUIS; COSTA; SANTOS, 2004), sendo esses efeitos a geratriz do que se denomina 
maré terrestre. 
 
Figura 3.2: Sistema Terra - Lua. Fonte: (MIRANDA, COSTA e SANTOS, 2004). 
 
2.3.1 Anomalias gravimétricas 
O campo gravitacional da Terra descrito por expressões matemáticas pressupõem a falsa homogeneidade 
de sua formação, isto é, partem do princípio de que é homogênea ou verticalmente estratificada. 
 
Tabela 1: Densidade de alguns materiaisgeológicos. Fonte: (TELFORD, 1990). 
 
 
Conforme LOBIANCO (2005), a anomalia de gravidade (Δg) é a diferença entre a gravidade observada 
(gobs), com correção gravimétrica (Cg) para reduzi-la ao geóide, e a gravidade teórica ou normal (γ), 
obtida conforme fórmula padrão a seguir: 
 
Essas anomalias produzem variações locais do campo gravitacional da Terra e podem ser obtidas através 
de observações gravimétricas. Para melhor interpretar as variações de 
densidades, apontadas pelas medições do campo gravitacional, é necessário aplicar correções nos valores 
mensurados quanto à influência da altitude, da latitude e da morfologia do terreno. 
Conforme o tipo de correção aplicada ao valor observado, obtém-se o tipo de anomalia de gravidade. 
 
2.3.2 Anomalia ar-livre 
A correção ar-livre considera a variação da gravidade entre a superfície de observação e a superfície do 
geóide, utilizando a altitude do ponto (Hp) e desconsiderando a massa entre elas. É positiva acima do 
geóide e negativa abaixo (LOBIANCO, 2005). 
 
2.4 Rede Geodésica 
Os levantamentos topográficos são, em geral, apoiados num conjunto de pontos de coordenadas 
geodésicas conhecidas - cuja determinação pertence à Geodesia materializados por sinais estáveis, 
facilmente visíveis, e que se chamam vértices geodésicos. Tal conjunto é representado graficamente por 
uma malha triangular, designada por rede geodésica, em associação com o método utilizado na 
determinação das coordenadas dos vértices: a triangulação geodésica. 
A triangulação geodésica consiste na medição dos ângulos horizontais dos triângulos da malha e na 
propagação das coordenadas astronómicas (ou naturais) do ponto astronómico fundamental. 
Resumidamente podemos dizer que no ponto astronómico fundamental se mede um azimute e uma base 
- lado de um dos triângulos - a partir das extremidades dessa base são medidos os ângulos dos triângulos. 
No termo das operações de triangulação teremos pontos onde as coordenadas geodésicas são distintas 
das coordenadas astronómicas. Além disso às observações angulares estão associados erros que poderão 
ser controlados por imposição de condições em diversos pontos da rede onde são determinadas as 
coordenadas astronómicas e medidas novas bases. 
 
 
Os pontos onde é possível re-orientar a triangulação são designados por pontos de Laplace. A re-
orientação da rede é efectuada recorrendo à equação de Laplace que proporciona o azimute geodésico 
em combinação com as latitudes e longitudes astronómicas e geodésicas. 
As redes geodésicas podem ser classificadas em três ordens: Primeira ordem, ou rede primordial quando 
a distância entre os vértices se situa entre 30 e 60 Km, em condições excepcionais até 100 ou 200 Km 
que é o alcance máximo dos instrumentos de medida. 
Como as malhas assim obtidas são demasiadamente grandes, retalha-se a rede com novos vértices, 
afastados entre si e dos primeiros por distâncias da ordem dos 20 a 30 Km, e que formam com aqueles a 
rede geodésica de segunda ordem. 
As malhas desta rede são ainda demasiadamente grandes para se utilizarem os métodos topográficos e, 
portanto, introduzem-se novos vértices apoiados nos anteriores formando malhas cujos vértices estão 
distanciados de 5 a 10 Km. A rede assim obtida, rede geodésica de terceira ordem, é constituída por 
malhas onde se podem já aplicar os métodos topográficos. 
A construção e manutenção das três primeiras ordens de vértices da rede geodésica é da responsabilidade 
exclusiva do Instituto Geográfico Nacional (em que foi integrado o antigo IPCC). O adensamento da 
rede geodésica, por vezes designado por rede de quarta ordem é efectuado por diversas entidades sendo 
em geral escolhidos pontos notáveis de edifícios ou outro tipo de construções com características de 
dominância na paisagem. 
A escolha destes vértices é evidentemente condicionada pela sua intervisibilidade e, por isso mesmo, 
antes de se iniciarem os trabalhos necessários ao cálculo de qualquer triangulação, deve fazer-se um 
projecto da mesma e realizar-se, em seguida, o reconhecimento do terreno, operação importante pois 
dela depende em grande parte a rapidez e facilidade da sua execução e a precisão dos resultados obtidos. 
 
2.4.1 Etapas do Projecto de Rede Geodésica 
As etapas essenciais para o projeto de uma rede geodésica segundo Klein (2014), consistem nos 
seguintes itens: 
1 - Planejamento da rede: É a etapa inicial do projeto, na qual se adquire as informações mais relevantes 
para a concepção da rede geodésica, como, as normas que norteam a execução do levantamento com 
GNSS conforme a finalidade específica. No Brasil o IBGE no ano de 2017 disponibilizou o documento 
referente às especificações e normas para levantamentos geodésicos associados ao Sistema Geodésico 
Brasileiro que deve ser consultado nesta etapa. O reconhecimento do terreno e das estações vinculadas 
 
 
ao SGB próximas ao local de trabalho para o apoio geodésico, bem como o uso de imagens da região 
por meio de fotos aéreas, do Google Earth, entre outros, fazem parte também desta etapa. 
 
2 - Implantação dos marcos geodésicos no terreno: É a etapa de materialização da rede, conforme o 
tipo de marco adequado para finalidade a qual a rede se destina, para fins de monitoramento de 
estruturas, por exemplo, os marcos geralmente são construídos com dispositivo de centragem forçada. 
Para orientar o projetista da rede, o documento do IBGE referente à padronização de marcos 
geodésicos do ano de 2008 pode ser consultado. 
3 - Coleta de dados (observações em campo): Consiste na utilização de um método de posicionamento 
com GNSS, neste caso, o posicionamento relativo estático é o mais recomendado. 
4 - Ajustamento das observações: Para estimar as coordenadas de cada marco e suas respectivas 
precisões. 
5 - Controle de qualidade: Refere-se a etapa de detecção e identificação de possíveis erros associado ao 
processo do ajustamento. 
6 - Divulgação dos resultados: Os resultados obtidos, ou seja, as coordenadas finais de cada vértice da 
rede devem ser divulgadas aos principais interessados que utilizarão estes dados conforme suas 
necessidades. A monografia, documento que contém as informações posicionais de um marco são um 
meio de divulgação. 
 
2.5 Ajustamento das Observações de Redes GNSS 
Na geodésia como em outras ciências a coleta de observações ou medidas por meio de equipamentos, 
métodos e técnicas são imprescindíveis. Nesta perspectiva os erros relacionados a cada observação 
sempre se fazem presentes, segundo Gemael et al. (2015), os erros de medida estão inevitavelmente 
presentes nas observações feita pelo homem, logo, se tem a incerteza como propriedade inerente das 
observações. Estes erros são classificados em erros aleatórios, sistemáticos e grosseiros, conforme 
Monico (2008). 
Erros aleatórios: são aqueles inevitáveis no processo de medidas, acidentais ou randômicos, não estão 
associados a uma causa conhecida e em geral representam pequenas discrepâncias entre o valor observado 
e o valor esperado. 
 
 
▪ Erros sistemáticos: Ao contrário dos erros aleatórios, esta classe de erro, apresenta causa 
conhecida, que podem ser atribuídas, por exemplo, às condições ambientais e à imperfeição do 
equipamento. São passíveis de serem corrigidos ou atenuados. 
▪ Erros grosseiros: Atribuídos à falha humana ou eletrônica no equipamento, podem se verificar, 
por exemplo, nas anotações das medidas. 
Estes erros impedem que as observações realizadas acerca da mesma grandeza (como por exemplo uma 
distância ou um ângulo) assumam um valor único, ou seja, que o valor obtido a cada observação se repita 
ao longo do processo de medidas, na prática ocorre o contrário, a cada uma ou mais observações feitas 
valores diferentes são encontrados. 
Deste modo, para que dentre de um conjunto com variabilidade de medidas, seja possível estimar aquela 
que melhor represente o valor real da grandeza incógnita,o ajustamento de observações pelo método 
dos mínimos quadrados (MMQ) apresenta-se como um meio matemático de alcançar uma solução 
aproximada da real grandeza mensurada. 
 
2.5.1 Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) 
O MMQ concebido por Gauss e Legendre consiste num método de ajustamento no qual a inconsistência 
do sistema de equações formado pelos valores de observações (𝑙𝑖) e da grandeza incógnita (𝑥) (Equação 
3), é “quebrado” ou solucionado com a introdução no sistema do resíduo (𝑣𝑖) para cada medida (Equação 
4). 
 
Assim, tem-se que os resíduos (𝑣𝑖) introduzidos tornam o sistema de equações possível, porém com infinitas 
soluções, o MMQ considera que a melhor solução de 𝑥 a ser tomada é aquela que proporciona o valor mínimo 
para soma dos quadrados dos resíduos (Equação 5) (GEMAEL et al., 2015). 
 
 
Tendo-se os dados de entrada, o sistema de equações gerado a partir das observações deve ser montado, 
como por simples exemplo, o caso de uma rede formada por três estações A, B e C, na qual A representa a 
estação de referência com coordenadas conhecidas. 
Como as observações são indiretas utiliza-se o método paramétrico para o ajustamento pelo MMQ, 
assim, as incógnitas envolvidas no processo, neste caso, as coordenadas de B e C são relacionadas a cada 
equação gerada a partir das observações (Equação 8). 
Conhecendo-se as equações de observação, soluciona-se a matriz das derivadas parciais (matriz A) com 
dimensão n x u (n = número de observações e u = número de parâmetros incógnitos). 
A construção da matriz peso pode ser feita a seguir, atribuindo diferentes pesos, quando conveniente, às 
observações. 
As observações podem não apresentar o mesmo nível de confiança, para equipará-las são atribuídos 
pesos (𝑃) aos resíduos (GEMAEL, 2015). A equação 7 representa o caso geral, no qual a matriz 𝑃 (matriz 
dos pesos) é adicionada: 
Para o caso em que se empregou o método de posicionamento relativo com o GNSS para concepção de 
uma rede geodésica, obter-se-á após a etapa de processamento dos dados GNSS, as componentes ΔX, 
ΔY e ΔZ de cada linha de base envolvida no processamento. Estas formam o vetor 𝐿𝐵, vetor das 
observações que junto à Matriz Variância Covariância (MVC) de 𝐿𝐵, descrita por 𝛴𝐿𝑏 e ao vetor dos 
parâmetros aproximados (𝑋0) compõem os dados de entrada necessários para o ajustamento 
(MATSUOKA, 2016). 
 
 
3 Material e Metodologia 
 
Fonte: Autores (2022) 
 
3.1 Material 
• 2 receptores GNSS Timble R750; 
• 2 receptores GNSS Leica GS18 
• 2 Tripés 
• 2 Bastões 
• 8 Marcos de concreto com o padrão do IBGE; 
• 8 Chapas metálicas para serem fixadas aos marcos; 
• Software de processamento Topcon Tools para o ajustamento das observações; 
 
 
 
 
 
 
Receptore GNSS Timble R750 
 
 
 
Receptor Leica GS18 
 
 
 
3.2 Fluxograma metodológica 
 
Planeamento da Rede 
Geodésica 
Inicio 
Implantação dos 
marcos no terreno 
Planeamento de 
levantamento com 
GNSS 
Execução de 
Levantamento em 
campo 
Dados GNSS 
Processamento das linhas 
de base no software 
Topcon tools 
Pré - analise 
Ajustamento da 
rede pelo MMQ-
método 
Paramétrico 
1. Comparação dos resultados para uma mesma linha de base 
obtidos em secções diferentes 
2. Avaliação de erro de fechamento de rede 
Teste global de 
ajustamento 
Elaborar as 
monografias com as 
informações de cada 
marco da rede 
Remover a 
observação 
identificada 
Aceite 
Não aceite 
 
 
4 Resultados 
4.1 Planeamento de Adensamento da Rede Geodésica da Região da Cidade de Maputo 
A etapa de planejamento da RGCM consistiu em três fases. Na primeira foi feita a aquisição de 
informações sobre o terreno de trabalho. Também, como citado anteriormente, apurou-se a existência 
de marcos geodésicos, e a localização dos mesmos no terreno, com o intuito de melhor organizar a 
disposição dos marcos propostos em campo. Ao todo foram doze marcos reconhecidos, dez implantados 
como corpos de prova e dois marcos utilizados como bases no levantamento geodésico da Cidade de 
Maputo. 
Definiu-se, por meio da folha obtida em formato fisico e por imagem do Google Earth, os locais 
apropriados para receberem possivelmente um dos marcos construídos para a RGCM. A escolha destes 
locais também se baseou na preferência por áreas sobre as quais o impacto causado pelo tráfego de 
automóveis fosse quase inexistente, ou seja, locais por onde não houvesse a possibilidade do tráfego de 
veículos, neste sentido as denominadas “ilhas” ou pequenos espaços vazios protegidos. 
O modelo dos marcos utilizados neste trabalho obedece ao padrão estabelecido pelo, conforme o 
documento referente à padronização de marcos geodésicos, concebido pelo Instituto em 2008. O padrão 
proposto pelo IBGE recomenda quanto ao formato e dimensões dos marcos, que estes estejam de acordo 
com os itens a seguir, segundo IBGE (2008): 
• formato de tronco de pirâmide; 
• base quadrangular de 30 cm de lado; 
• topo quadrangular de 18 cm de lado; 
• altura 40 cm. 
 
Fonte: IBGE (2017). 
 
 
 
4.2 Execução do levantamento com GNSS 
São propostas 8 estacoes a serem adensados na rede geodésica, nomeadamente: A, B, C, D, E, F, G e 
H. 
A Figura abaixo apresenta o esboço das linhas de base planeadas. Em amarelo foram traçadas as linhas 
de base formadas a partir da estação Principal ou de referência e em vermelho aquelas formadas a cada 
dois marcos da rede. A Figura 13 apresenta o esboço das linhas de base planeadas. Em amarelo foram 
traçadas as linhas de base formadas a partir da estação MP e em vermelho aquelas formadas a cada dois 
marcos da rede. 
 
Fonte: Autores (2022). 
De acordo com o documento referente às especificações e normas para levantamentos geodésicos no 
Brasil associados ao SGB, concebido pelo IBGE em 2017, recomenda-se que para a implantação de redes 
geodésicas de alta precisão, deve ser observado o número mínimo de ocupação dos vértices igual a 3, ou 
seja, em 3 sessões diferentes. 
Neste sentido foi estabelecido realizar a execução do levantamento duas vezes ou em dois dias diferentes, 
realizando em cada qual, a ocupação com o GNSS por 30 minutos a cada dois os marcos da rede (sessões 
de rastreio), até ser concluído, a partir das linhas de base formadas, o fechamento da rede. 
As configurações de ambos receptores em campo serão as seguintes: 
 Taxa de coleta de 15 segundos; 
 
 
 Máscara de elevação de 10º; 
 Duração de cada sessão de rastreio igual a 30 minutos. 
Ressalta-se será considerada diferentes alturas da antena na reocupação das estações em sessões 
diferentes, bem como a troca de receptores neste caso, visando possibilitar a identificação de possíveis 
erros de centragem e de medida da altura da antena. Contudo, cada marco será ocupado quatro vezes, 
duas vezes no primeiro dia de levantamento e duas vezes no segundo dia. A Tabela 2, apresentada na 
seção, servirá como base para a ocupação de estacão em cada sessão de rastreio. 
 
Dias Sessões de rastreio realizadas Equipamento 
09/09/2022 2 Timble R750 
10/09/2022 2 Leica GS18 
 
 
 
 
 
Tabela 2: Execução do levantamento geodésico em campo a ser executado com dois receptores Timble R750 – 1º 
dia. 
Sessao Estacoes 
ocupadas 
Tempo 
de 
rastreio 
Linhas de bases formadas Linhas de base 
independentes 
1 M1- M2 30 min MP – M1, MP – M2 e M1 – M2 MP – M1 e M1 – M2 
2 M2 – M3 30 min MP – M2, MP – M3 e M2 – M3 MP – M2 e M2 – M3 
3 M3 – M4 30 min MP – M3, MP – M4 e M3 – M4 MP – M3 e M3 – M4 
4 M4 – M5 30 min MP – M4, MP – M5 e M4 – M5 MP – M4 e M4 – M5 
5 M5 – M6 30 min MP – M5, MP – M6 e M5 – M6 MP – M5 e M5 – M6 
6 M6 – M7 30 min MP – M6, MP – M7 e M6 – M7 MP – M6 e M6 – M7 
7 M7 – M8 30 min MP – M7, MP – M8 e M7 – M8 MP – M7 e M7 – M8 
8 M8 – M9 30 min MP – M8, MP – M9 e M8 – M9 MP – M8 e M8 – M9 
 
Tabela 3: Execução do levantamento geodésico em campo a ser executado com dois receptores Leica – 2º dia. 
SessaoEstacoes 
ocupadas 
Tempo de 
rastreio 
Linhas de bases formadas Linhas de base 
independentes 
 
 
1 M1- M2 30 min MP – M1, MP – M2 e M1 – M2 MP – M1 e M1 – M2 
2 M2 – M3 30 min MP – M2, MP – M3 e M2 – M3 MP – M2 e M2 – M3 
3 M3 – M4 30 min MP – M3, MP – M4 e M3 – M4 MP – M3 e M3 – M4 
4 M4 – M5 30 min MP – M4, MP – M5 e M4 – M5 MP – M4 e M4 – M5 
5 M5 – M6 30 min MP – M5, MP – M6 e M5 – M6 MP – M5 e M5 – M6 
6 M6 – M7 30 min MP – M6, MP – M7 e M6 – M7 MP – M6 e M6 – M7 
7 M7 – M8 30 min MP – M7, MP – M8 e M7 – M8 MP – M7 e M7 – M8 
8 M8 – M9 30 min MP – M8, MP – M9 e M8 – M9 MP – M8 e M8 – M9 
9 M9 – M10 30 min MP – M9, MP – M10 e M9 – M10 MP – M9 e M9 – M10 
10 M10 – M1 30 min MP – M10, MP – M1 e M10 – M1 MP – M10 e M10 – M1 
 
4.3 Etapa de pré-análise da rede concebida 
A etapa de pré-análise consistiu nas seguintes avaliações: 
• Avaliação do erro de fechamento da figura geométrica compreendida pelos marcos da RGCA. 
Cálculo erro conhecendo-se a resultante das somas de cada componente ΔX, ΔY e ΔZ das linhas 
de base que compõem a figura geométrica fechada na rede. 
• Comparação dos resultados para uma mesma linha de base obtidos em duas sessões de 
observações diferentes. 
 
4.4 Processamento dos Dados 
O processamento dos dados será realizado no software Topcon Tools. Uma etapa importante a ser 
considerada no processamento dos dados GNSS visando obter precisão centimétrica é a informação do 
modelo da antena do fabricante. Quando o mesmo diverge entre o próprio do equipamento e o 
informado no software de processamento pode ocasionar a introdução de um erro grosseiro de ordem 
centimétrica/deciméttrica no resultado do processamento. 
 
5 Conclusões 
 
 
 
6 Referencias Bibliografias 
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Doutorado em Sensoriamento Remoto. Programa de Pós-Graduação em Sensoriamento Remoto da 
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Mestrado em Ciências Cartográficas. Faculdade de Ciência e Tecnologia, UNESP, Presidente Prudente, 
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MATSUOKA, M. T. Ajustamento de Observações. Notas de Aula do Curso de Graduação em 
Engenharia de Agrimensura e Cartográfica da Universidade Federal de Uberlândia (UFU) – Campus 
Monte Carmelo, 2016. 
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Resistentes a Múltiplos Outiliers. Boletim de Ciências Geodésicas, v 18, nº1, Curitiba, 2012. 
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Uberlândia. Trabalho de Conclusão de Curso – Universidade Federal de Uberlândia, Monte Carmelo, 
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MONICO, J. F. G. Posicionamento pelo GNSS: Descrição, fundamentos e aplicações. 2. ed. São Paulo: 
UNESP, 2008. 
 
 
7 Anexos 
Orçamento do Projecto