Livro Ciências Exatas e Tecnologias

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LIVRO 
CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
 
1 
 
 
 
Acompanhando as necessidades de um mundo cada vez mais complexo, 
exigente e necessitado de aprendizagem contínua, a Universidade Salgado de 
Oliveira (UNIVERSO) apresenta a UNIVERSO EAD, que reúne os diferentes segmentos 
do ensino a distância na universidade. Nosso programa foi desenvolvido segundo as 
diretrizes do MEC e baseado em experiências do gênero bem-sucedidas 
mundialmente. 
São inúmeras as vantagens de se estudar a distância e somente por meio dessa 
modalidade de ensino são sanadas as dificuldades de tempo e espaço presentes nos 
dias de hoje. O aluno tem a possibilidade de administrar seu próprio tempo e 
gerenciar seu estudo de acordo com sua disponibilidade, tornando-se responsável 
pela própria aprendizagem. 
O ensino a distância complementa os estudos presenciais à medida que permite 
que alunos e professores, fisicamente distanciados, possam estar a todo o momento, 
ligados por ferramentas de interação presentes na Internet através de nossa 
plataforma. 
Além disso, nosso material didático foi desenvolvido por professores 
especializados nessa modalidade de ensino, em que a clareza e objetividade são 
fundamentais para a perfeita compreensão dos conteúdos. 
A UNIVERSO tem uma história de sucesso no que diz respeito à educação a 
distância. Nossa experiência nos remete ao final da década de 80, com o bem-
sucedido projeto Novo Saber. Hoje, oferece uma estrutura em constante processo de 
atualização, ampliando as possibilidades de acesso a cursos de atualização, 
graduação ou pós-graduação. 
Reafirmando seu compromisso com a excelência no ensino e compartilhando 
as novas tendências em educação, a UNIVERSO convida seu alunado a conhecer o 
programa e usufruir das vantagens que o estudar a distância proporciona. 
 
Seja bem-vindo à UNIVERSO EAD! 
Professora Jaina dos Santos Mello Ferreira 
Reitora. 
PALAVRA DA REITORIA 
 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
 
2 
 
SUMÁRIO 
Palavra da Reitoria ..................................................................... 1 
SUMÁRIO .................................................................................. 2 
PARTE 1 – MATEMÁTICA BÁSICA ............................................. 3 
AULA 1 REGRA DE TRÊS .............................................................. 3 
AULA 2 CONJUNTOS NUMÉRICOS ................................................. 7 
AULA 3 INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES MATEMÁTICAS ....................... 15 
AULA 4 TIPOS DE FUNÇÕES ....................................................... 20 
AULA 5 OPERAÇÕES COM FUNÇÕES............................................ 29 
AULA 6 PORCENTAGEM ............................................................. 32 
AULA 7 JUROS ......................................................................... 39 
PARTE 2 – ESTATÍSTICA APLICADA ....................................... 43 
AULA 1 ELEMENTOS DA ESTATÍSTICA DESCRITIVA ...................... 43 
AULA 2 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA ............................................. 50 
AULA 3 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL ................................. 54 
AULA 4 MEDIDAS DE DISPERSÃO ............................................... 59 
AULA 5 NOÇÕES DE AMOSTRAGEM ............................................. 67 
AULA 6 FUNDAMENTOS DE PROBABILIDADE ................................ 74 
AULA 7 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO .......................................... 80 
BIBLIOGRAFIA ......................................................................... 83 
 
 
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LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 1 – MATEMÁTICA BÁSICA 
AULA 1: REGRA DE TRÊS 
3 
 
PARTE 1 – MATEMÁTICA BÁSICA 
AULA 1 REGRA DE TRÊS 
 
A Regra de Três é um método que utilizamos para encontrar valores 
desconhecidos quando estamos trabalhando com grandezas direta ou inversamente 
proporcionais. Esse método de resolução tem bastante aplicação não só na 
matemática, como na física, química e em situações do dia a dia. 
Deve-se identificar grandezas que se relacionam de forma direta e grandezas 
que se relacionam de forma inversa. 
 Grandezas diretamente proporcionais: à medida que uma dessas 
grandezas aumenta, a outra também aumenta e na mesma proporção. Por 
exemplo: a relação preço e peso na compra de uma determinada verdura. 
Quanto menor a quantidade, menor o preço, e quanto maior a quantidade, 
maior o preço. 
 Grandezas inversamente proporcionais: à medida que uma dessas 
grandezas aumenta, a outra grandeza diminui na mesma proporção. Por 
exemplo: a relação entre velocidade e tempo. Quanto maior a velocidade para 
percorrer-se determinado percurso, menor será o tempo. 
 
 
Para solucionar situações utilizando a regra de três, é fundamental que exista 
a proporcionalidade. Além disso, é de grande importância a identificação da relação 
entre as grandezas. Para resolver uma questão é recomendável adotar os seguintes 
passos: 
 1º Passo: Identificar as grandezas e construção da tabela. 
 2º Passo: Analisar se as grandezas são diretamente ou inversamente 
proporcionais. 
 3º Passo: Aplicar o método de resolução correto para cada um dos casos, e, 
por fim, resolver a equação. 
O que é a Regra de Três? 
Como resolver uma Regra de Três? 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 1 – MATEMÁTICA BÁSICA 
AULA 1: REGRA DE TRÊS 
4 
 
 
Um planejamento para o plantio foi feito, e nele 3 pessoas trabalhavam no 
plantio e plantavam, por dia, 5 m². Devido à necessidade de um plantio mais 
eficiente, mais 4 pessoas, todas com o mesmo desempenho, comprometeram-se a 
participar da causa, sendo assim, qual será a quantidade de m² reflorestada por dia? 
 
1º Passo – Identificar as grandezas e construção da tabela 
Temos que as grandezas são as pessoas trabalhando no plantio (“Pessoas”) e 
a área de plantio (“m2”). Com isso, as colunas da tabela são Pessoas e m2. 
Temos que 3 Pessoas plantam 5 m2 (Linha 1). E 7 (3 + 4) Pessoas plantam x 
m2 (Linha 2). O “x” é o valor que queremos descobrir. 
 
 
2º Passo – Analisar se as grandezas são diretamente ou inversamente 
proporcionais 
Agora é fundamental a comparação entre as duas grandezas. 
À medida que eu aumento o número de pessoas, a quantidade de m² 
reflorestada por dia aumenta na mesma proporção. Logo, essas grandezas são 
diretamente proporcionais. 
 
 
Grandezas diretamente proporcionais 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 1 – MATEMÁTICA BÁSICA 
AULA 1: REGRA DE TRÊS 
5 
 
3º Passo – Aplicar o método de resolução correto para cada um dos 
casos, e, por fim, resolver a equação 
Quando as grandezas são diretamente proporcionais, basta multiplicar os 
valores da tabela de forma cruzada, gerando a equação. 
3
7
=
5
x
 
3x = 5 ∙ 7 
3x = 35 
x =
35
3
 
x ≈ 11,67 
Ou seja, a quantidade reflorestada por dia será de 11,67 m2. 
 
 
Para a confecção das provas de um concurso, uma gráfica dispunha de 15 
impressoras, que demorariam 18 horas para imprimir todas as provas. No preparo 
para o início do trabalho, foi diagnosticado que só havia 10 impressoras funcionando. 
Qual é o tempo, em horas, que será gasto para a confecção de todas as provas do 
concurso? 
 
1º Passo – Identificar as grandezas e construção da tabela 
As grandezas são o número de impressoras (“Impressoras”) e o tempo para 
imprimir as provas (“Horas”). Com isso, as colunas são Impressoras e Horas. 
Temos que 15 impressoras levam 18 horas para imprimir (Linha 1). E 10 
impressoras levam x horas para imprimir (Linha 2). 
 
Grandezas inversamente proporcionais 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 1 – MATEMÁTICA BÁSICA 
AULA 1: REGRA DE TRÊS 
6 
 
2º Passo – Analisar se as grandezas são diretamente ou inversamente 
proporcionaisforma, o desvio padrão será: 
s = √s2 = √5,32 = 2,3 
Portanto, o desvio padrão dos manequins é 2,3. Temos então que os manequins 
tem um valor médio de 38,1 com um desvio padrão de 2,3. 
 
 
O desvio padrão tem algumas limitações. Um desvio padrão de 5 unidades, por 
exemplo, pode ser considerado pequeno para uma série de valores cujo valor médio 
é 500, porém, se a média for igual a 15, essa relação muda completamente. Por isso, 
é necessário se ter uma medida do desvio em relação à média. 
O Coeficiente de Variação é uma medida de dispersão relativa, ou seja, é 
adimensional, sendo a relação entre o desvio padrão e uma medida de tendência 
central. 
 
 
 
 
 
 
Coeficiente de Variação de Pearson 
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PARTE 2 – ESTATÍSTICA APLICADA 
AULA 4: MEDIDAS DE DISPERSÃO 
65 
 
O coeficiente de variação de Pearson é a razão entre o desvio padrão e a média 
aritmética dos dados: 
CVP =
s
X̅
 
Logo, para calcular o coeficiente de variação de Pearson é preciso adotar os 
seguintes passos: 
1. Calcular a média; 
2. Calcular a variância; 
3. Calcular o desvio padrão; 
4. Calcular o coeficiente de variação de Pearson. 
 
Considere o exemplo: A tabela a seguir apresenta os pesos e as alturas de um 
grupo de jovens atletas de uma escola de ensino fundamental: 
 
Determine o coeficiente de variação de Pearson para ambas as medidas. 
O coeficiente de variação de Pearson para as estaturas e para os pesos são 
dados por: 
CVP(est) =
s
X̅
=
5
185
= 0,027 = 2,7% 
CVP(pesos) =
s
X̅
=
2
68
= 0,029 = 2,9% 
Temos que o coeficiente de variação de Pearson para as estaturas foi de 2,7% 
e para os pesos foi de 2,9%. 
 
Apesar de o desvio padrão das estaturas ser maior do que o dos pesos, o peso 
possui maior coeficiente de variação de Pearson, portanto ele possui maior 
variabilidade. 
Dessa forma, o coeficiente de variação de Pearson é mais confiável quando 
comparamos a variabilidade de diferentes medidas. 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 2 – ESTATÍSTICA APLICADA 
AULA 4: MEDIDAS DE DISPERSÃO 
66 
 
Considere novamente o exemplo: Calcule o coeficiente de variação de Pearson 
do seguinte conjunto de valores: 
{148, 170, 155, 131} 
Nós já calculamos a média, seguida da variância, e do desvio padrão. A média 
é igual a 151 e o desvio padrão 14. Dessa forma, o coeficiente de variação de Pearson 
é igual a: 
CVP =
s
X̅
=
14
151
= 0,093 = 9,3% 
Portanto, o coeficiente de variação de Pearson desses dados é 0,093 ou 9,3%. 
 
Considere novamente o exemplo: A tabela a seguir apresenta a série estatística 
dos manequins vendidos em uma loja: 
 
Qual é o coeficiente de variação de Pearson? 
Nós já calculamos a média, seguida da variância, e do desvio padrão. A média 
é igual a 38,1 e o desvio padrão 2,3. Dessa forma, o coeficiente de variação de 
Pearson é igual a: 
CVP =
s
X̅
=
2,3
38,1
= 0,06 = 6% 
Portanto, o coeficiente de variação de Pearson desses dados é 0,06 ou 6%. 
 
 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 2 – ESTATÍSTICA APLICADA 
AULA 5: NOÇÕES DE AMOSTRAGEM 
67 
 
AULA 5 NOÇÕES DE AMOSTRAGEM 
 
Nem sempre a realização de um censo é possível, ou seja, obter informações 
referentes a todos os elementos de uma população torna-se, muitas vezes, 
praticamente impossível. Limitações de tempo e custo justificam o uso de técnicas 
amostrais. 
A amostra é uma parcela representativa da população que é examinada com o 
propósito de tirarmos conclusões sobre a mesma. É um subconjunto finito de uma 
população. 
 
Existem dois tipos principais de amostragem: 
 Amostragem probabilística: Esse método garante que cada elemento da 
população tenha a mesma chance de ser selecionado como elemento da 
amostra. Assim, podemos garantir cientificamente a aplicação das técnicas 
estatísticas de inferências. Somente com base em amostragens probabilísticas 
é que se podem realizar inferências ou induções sobre a população a partir do 
conhecimento da amostra. 
 Amostragem não probabilística: São técnicas de amostragens em que há 
uma escolha deliberada dos elementos da amostra. Depende dos critérios e 
julgamento do pesquisador. Não é possível generalizar os resultados das 
pesquisas para a população, pois as amostras não-probabilísticas não 
garantem a representatividade da população. 
 
O que é Amostragem? 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 2 – ESTATÍSTICA APLICADA 
AULA 5: NOÇÕES DE AMOSTRAGEM 
68 
 
 
A amostragem probabilística é dividida em quatro técnicas principais: 
 Amostragem aleatória simples. 
 Amostragem estratificada. 
 Amostragem sistemática. 
 Amostragem por conglomerados (ou por agrupamentos). 
 
Amostragem aleatória simples: 
A amostragem aleatória simples, também chamada de amostragem 
casual, é o processo de amostragem mais utilizado. Ela equivale a um sorteio 
lotérico. 
A amostragem aleatória simples se baseia no princípio de que todos os 
membros da população tem a mesma probabilidade de serem incluídos na amostra. 
Exemplo: Sortear aleatoriamente 10 pessoas de um grupo de 100 pessoas. 
Ela pode ser realizada da seguinte forma: numera-se a população de 1 a n e 
sorteiam-se, a seguir, por meio de um dispositivo aleatório qualquer, x números 
dessa sequência, que corresponderão aos elementos pertencentes à amostra. 
 
 
 
 
Técnicas de Amostragem Probabilística 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 2 – ESTATÍSTICA APLICADA 
AULA 5: NOÇÕES DE AMOSTRAGEM 
69 
 
Amostragem estratificada: 
Quando a população se divide em estratos (subgrupos da população) é 
imprescindível que o sorteio dos elementos da amostra leve em consideração tais 
estratos. Os estratos podem ser definidos de acordo com gênero, idade, renda etc. 
A amostragem estratificada consiste na divisão da população em estratos, 
seguida da realização da amostragem aleatória simples em cada estrato. 
Por exemplo, dividir a população em dois estrados (homens e mulheres) e 
sortear aleatoriamente 50 pessoas de cada um desses dois estratos (subgrupos). 
A amostragem estratificada pode ainda ser dividida em dois tipos: 
 Amostragem estratificada uniforme: o número de elementos sorteados em 
cada estrato (subgrupo) é igual. 
 Amostragem estratificada proporcional: o número de elementos sorteados 
em cada estrato (subgrupo) é proporcional ao número de elementos da 
amostra. 
 
Considere o exemplo: Um hospital tem ao todo 200 pacientes internados, sendo 
120 mulheres e 80 homens. Deseja-se obter uma amostra de 10% desses pacientes. 
Determine o número de homens e mulheres dessa amostra a partir da amostragem 
estratificada uniforme e proporcional. 
Temos que a amostra terá ao todo 200·0,1 = 20 pessoas. 
Note que temos dois estratos (homens e mulheres). 
Sendo assim, no caso da amostragem estratificada uniforme, dividiremos essa 
amostra igualmente entre os dois estratos. Assim, cada estrato terá 20/2 = 10 
pessoas. Ou seja, a amostra terá 10 homens e 10 mulheres. Na prática, pode ser 
feito um sorteio (amostragem aleatória simples) com os 80 homens para selecionar 
10 homens, e com as 120 mulheres para selecionar 10 mulheres. 
Para a amostragem estratificada proporcional, a amostra de mulheres deverá 
conter 120·0,1 = 12 mulheres, enquanto a amostra de homens será de 80·0,1 = 8 
homens. Nesse caso, a proporção dos estratos da população foi mantida. Em seguida, 
assim como no caso anterior, pode ser feito o sorteio (amostragem aleatória simples) 
com os 80 homens para selecionar 8 homens, e com as 120 mulheres para selecionar 
12 mulheres. 
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PARTE 2 – ESTATÍSTICA APLICADA 
AULA 5: NOÇÕES DE AMOSTRAGEM 
70 
 
Amostragem sistemática: 
Quando os elementos da população já se acham ordenados, não há 
necessidade de sorteio. Os elementos são selecionados de forma periódica. A 
amostragem sistemática consiste na seleção dos elementos da amostra de forma 
periódica.Por exemplo: Imagine um prédio com 200 apartamentos dos quais desejamos 
obter uma amostra formada por 20 apartamentos para uma pesquisa de opinião. 
Primeiro calculamos 200/20 = 10. Assim, escolhemos por sorteio casual um número 
de 01 a 10, o qual indicaria o primeiro elemento sorteado para a amostra; os demais 
elementos seriam, periodicamente, considerados de 10 em 10. Suponha que o 
número sorteado fosse 6, a amostra seria: 6º apartamento, 16º apartamento, 26º 
apartamento etc. 
 
Amostragem por conglomerado (ou agrupamentos): 
Algumas populações não permitem ou dificultam extremamente a identificação 
de seus elementos. Não obstante, pode ser relativamente fácil identificar alguns 
subgrupos da população. Agrupamentos típicos são quarteirões, famílias, 
organizações, agências, edifícios etc. 
A amostragem por conglomerados, também chamada de amostragem por 
agrupamentos, consiste na divisão da população em conglomerados (grupos) e 
seleção aleatória de alguns conglomerados, incluindo todos os elementos dentro 
desses conglomerados na amostra. 
Por exemplo: imagine que queremos realizar uma pesquisa com os alunos de 
escola pública da cidade. No lugar de sortear aleatoriamente os alunos da cidade, 
podemos realizar o sorteio de algumas escolas e daí fazer a pesquisa com todos os 
alunos das escolas sorteadas. 
 
 
 
 
 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 2 – ESTATÍSTICA APLICADA 
AULA 5: NOÇÕES DE AMOSTRAGEM 
71 
 
 
A amostragem não probabilística é dividida em três técnicas principais: 
 Amostragem acidental (ou por conveniência). 
 Amostragem intencional. 
 Amostragem por cotas. 
 
Amostragem acidental (ou por conveniência): 
A amostragem acidental, também chamada de amostragem por 
conveniência, trata-se de uma amostra formada por elementos que vão aparecendo 
“acidentalmente” até completar o número de elementos da amostra. 
Ela é geralmente utilizada em pesquisas de opinião, em que os entrevistados 
são escolhidos conforme forem chegando ao local. Por exemplo, pesquisas de opinião 
em praças públicas, ruas de grandes cidades. 
 
Amostragem intencional: 
Na amostragem intencional o grupo de elementos que irão compor a 
amostra são escolhidos intencionalmente a partir de certo critério de seleção. Nesse 
caso, o investigador se dirige intencionalmente a grupos de elementos dos quais se 
deseja saber a opinião. 
Por exemplo: aplicar um questionário aos líderes de uma comunidade, ou aos 
representantes de turma. 
Considere o exemplo: Numa pesquisa sobre preferência por determinado 
cosmético, o pesquisador se dirige a um grande salão de beleza e entrevista as 
pessoas que ali se encontram. 
 
 
 
 
 
Técnicas de Amostragem não Probabilística 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 2 – ESTATÍSTICA APLICADA 
AULA 5: NOÇÕES DE AMOSTRAGEM 
72 
 
Amostragem por cotas: 
A amostragem por cotas é um dos métodos de amostragem mais 
comumente usados em levantamentos de mercado e em prévias eleitorais. Ele 
abrange três etapas: 
1. Classificar a população, ou seja, verificar o que é relevante para a característica 
a ser estudada. 
2. Determinar a proporção da população para cada característica com base no 
que se conhece sobre a população. 
3. O pesquisador fixa cotas para cada entrevistador de modo que a amostra total 
observada contenha a proporção da população determinada na fase anterior. 
 
Ela é semelhante à amostragem estratificada proporcional, porém aqui não 
conhecemos a quantidade exata de cada subgrupo. Além disso, como não existe um 
cadastro da população não é possível realizar o sorteio (amostragem aleatória 
simples), sendo os entrevistados escolhidos de forma acidental. 
Ainda assim, existe informação suficiente sobre o perfil da população, 
permitindo que ela seja dividida em subgrupos (aqui chamados de “classes”, que é a 
primeira etapa). 
 
 
Uma fórmula bastante utilizada para calcular o tamanho da amostra, isto é, o 
número de elementos da amostra é a seguinte: 
n = (
Z ∙ s
d
)
2
 
Em que Z é o nível de confiança: 95% -> 1,96; 99% -> 2,58; s é o desvio 
padrão da população e d é o erro amostral (ou margem de erro). 
 
 
 
 
Cálculo para o dimensionamento da amostra 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 2 – ESTATÍSTICA APLICADA 
AULA 5: NOÇÕES DE AMOSTRAGEM 
73 
 
Considere o exemplo: Um pesquisador deve dimensionar uma amostra de uma 
população cujo desvio padrão do parâmetro a ser medido é igual a 1,2. Qual deve 
ser o tamanho da amostra para um nível de confiança de 95% e erro amostral de 
5%? 
Temos que Z = 1,96 (95%), s = 1,2 e d = 5/100 = 0,05. Assim: 
n = (
Z ∙ s
d
)
2
= (
1,96 ∙ 1,2
0,05
)
2
= 2212,76 ≅ 2213 
Portanto, a amostra deverá conter 2213 elementos. 
 
 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 2 – ESTATÍSTICA APLICADA 
AULA 6: FUNDAMENTOS DE PROBABILIDADE 
74 
 
AULA 6 FUNDAMENTOS DE PROBABILIDADE 
 
Antes de definirmos probabilidade, é preciso conhecer dois conceitos básicos 
de probabilidade: o de espaço amostral e o de evento. 
 
Espaço Amostral: 
O espaço amostral é o conjunto contendo todos os resultados possíveis de um 
experimento. 
Exemplo: no lançamento de um dado contendo 6 faces, o espaço amostral é 
dado por S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
Exemplo: no lançamento de uma moeda, o espaço amostral consiste nos 
seguintes resultados S = {Cara, Coroa}. 
Exemplo: no lançamento de duas moedas, o espaço amostral possui os 
seguintes resultados S = {Cara e Cara, Cara e Coroa, Coroa e Cara, Coroa e Coroa}. 
 
Evento: 
O evento é um subconjunto do espaço amostral (subconjunto de S). 
Exemplo: no lançamento de um dado de 6 faces, ocorrer um número par. Nesse 
caso, A = {2, 4, 6}. 
Exemplo: no lançamento de duas moedas, ocorrer cara em pelo menos um dos 
dois lançamentos. Nesse caso, A = {Cara e Cara, Cara e Coroa, Coroa e Cara}. 
 
 
 
 
 
 
Conceitos básicos de probabilidade 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 2 – ESTATÍSTICA APLICADA 
AULA 6: FUNDAMENTOS DE PROBABILIDADE 
75 
 
 
A probabilidade é uma medida numérica que expressa a chance de um evento 
acontecer. Ela fornece uma maneira quantitativa de avaliar a incerteza associada a 
diferentes resultados em um experimento, processo ou fenômeno aleatório. 
A probabilidade é expressa como um número entre 0 e 1, em que 0 indica 
impossibilidade absoluta do evento ocorrer, 1 indica certeza absoluta do evento 
ocorrer, e valores entre 0 e 1 indicam graus intermediários de probabilidade. 
Se o espaço amostral é finito e equiprovável (ou seja, cada elemento do espaço 
amostral tem a mesma probabilidade de acontecer), então a probabilidade é dada 
por: 
P =
Número de elementos do evento A
Número de elementos do espaço amostral S
 
Ou, em outras palavras: 
P =
Número de casos favoráveis
Número de casos possíveis
 
 
Considere o exemplo: No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de o 
resultado ser um número par? 
Note que o espaço amostral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} contém 6 elementos, 
enquanto o evento “ser um número par” A = {2, 4, 6} contém 3 elementos. Assim: 
P =
Número de elementos do evento A
Número de elementos do espaço amostral S
=
3
6
= 0,5 = 50% 
Ou seja, a probabilidade de ser um número par é 0,5 ou 50%. 
 
 
 
 
 
O que é probabilidade? 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 2 – ESTATÍSTICA APLICADA 
AULA 6: FUNDAMENTOS DE PROBABILIDADE 
76 
 
Considere o exemplo: No posto de saúde de uma cidadezinha do interior, 
15.800 crianças foram atendidas no último ano. A tabela abaixo relaciona a idade 
das crianças atendidas. 
 
Escolhendo-se aleatoriamente uma criança atendida nesse posto de saúde, 
determine: 
a) A probabilidade de ela ter menos de 1 ano. 
Analisando a tabela, temos que o número de crianças com menos de 1 ano é 
igual a 2800, de um total de 15800. Assim, a probabilidade será: 
P =
Número de casos favoráveis
Número de casos possíveis=
2800
15800
= 0,177 = 17,7% 
Logo, a probabilidade de a criança ter menos de 1 ano é 0,177 ou 17,7%. 
 
b) A probabilidade de ela ter entre 1 ano e 4 anos. 
Analisando a tabela, temos que o número de crianças entre 1 ano e 4 anos é 
igual a 7000, de um total de 15800. Assim, a probabilidade será: 
P =
Número de casos favoráveis
Número de casos possíveis
=
7000
15800
= 0,443 = 44,3% 
Logo, a probabilidade de a criança ter entre 1 ano e 4 anos é 0,443 ou 44,3%. 
 
c) A probabilidade de ela ter mais de 4 anos. 
Analisando a tabela, temos que o número de crianças com mais de 4 anos é 
igual a 6000, de um total de 15800. Assim, a probabilidade será: 
P =
Número de casos favoráveis
Número de casos possíveis
=
6000
15800
= 0,38 = 38% 
Logo, a probabilidade de a criança ter mais de 4 anos é 0,38 ou 38%. 
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PARTE 2 – ESTATÍSTICA APLICADA 
AULA 6: FUNDAMENTOS DE PROBABILIDADE 
77 
 
 
As duas principais operações envolvendo eventos são a união e a interseção: 
 União (“ou”): Contém todos os elementos dos dois subconjuntos (eventos). 
 Interseção (“e”): Contém os elementos comuns aos dois subconjuntos 
(eventos). 
 
Considere o exemplo: Uma companhia de seguros analisou a frequência com 
que 3.000 segurados (1.500 homens e 1.500 mulheres) usaram o hospital no último 
ano. Os resultados são apresentados na tabela: 
 
Nesse caso, determine: 
a) A probabilidade de o segurado ser homem. 
Note que são ao todo 1500 homens de um total de 3000 segurados. Assim: 
P =
Número de casos favoráveis
Número de casos possíveis
=
1500
3000
= 0,5 = 50% 
Logo, a probabilidade de o segurado ser homem é 0,5 ou 50%. 
 
b) A probabilidade de uma pessoa segurada usar o hospital. 
Note que o número de pessoas que usaram o hospital foi 250 + 320 = 570 de 
um total de 3000 segurados. Assim: 
P =
Número de casos favoráveis
Número de casos possíveis
=
570
3000
= 0,19 = 19% 
Logo, a probabilidade de o segurado usar o hospital é 0,19 ou 19%. 
 
 
Operações entre eventos 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 2 – ESTATÍSTICA APLICADA 
AULA 6: FUNDAMENTOS DE PROBABILIDADE 
78 
 
c) A probabilidade de uma mulher segurada não usar o hospital. 
Isso é o mesmo que calcular a probabilidade de: “ser mulher E não usar o 
hospital”. Analisando a tabela, observamos que a interseção entre esses dois eventos 
é o valor 1180, de um total de 3000 segurados. Assim: 
P =
Número de casos favoráveis
Número de casos possíveis
=
1180
3000
= 0,393 = 39,3% 
Logo, a probabilidade de uma mulher segurada não usar o hospital é 0,393 ou 
39,3%. 
 
d) A probabilidade de uma pessoa segurada ser homem ou usar o hospital. 
Para obter o número de pessoas que sejam “homens OU usaram o hospital”, é 
preciso fazer a união entre esses dois eventos. Analisando a tabela, observamos que 
a união entre esses eventos resulta em 250 + 1250 + 320 = 1820, de um total de 
3000 segurados. Assim: 
P =
Número de casos favoráveis
Número de casos possíveis
=
1820
3000
= 0,607 = 60,7% 
Logo, a probabilidade de uma pessoa segurada ser homem ou usar o hospital 
é 0,607 ou 60,7%. 
 
 
Existem eventos que são ditos “dependentes”. Nesse caso, a ocorrência de um 
evento afeta a probabilidade de ocorrência do outro evento. 
 
Considere o exemplo: Uma caixa contém 14 bolas, sendo 6 azuis e 8 
vermelhas. Retirando-se sucessivamente e sem reposição duas dessas bolas, 
determine: 
a) A probabilidade de que as duas sejam azuis. 
Isso equivale a probabilidade de “a primeira bola azul E a segunda bola azul”. 
P =
6
14
∙
5
13
=
6 ∙ 5
14 ∙ 13
=
30
182
= 0,165 = 16,5% 
Eventos dependentes 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 2 – ESTATÍSTICA APLICADA 
AULA 6: FUNDAMENTOS DE PROBABILIDADE 
79 
 
b) A probabilidade de que as duas sejam vermelhas. 
Isso equivale a probabilidade de “a primeira bola vermelha E a segunda bola 
vermelha”. 
P =
8
14
∙
7
13
=
8 ∙ 7
14 ∙ 13
=
56
182
= 0,308 = 30,8% 
 
 
Existem eventos que são ditos “independentes”. Nesse caso, a ocorrência de 
um evento NÃO afeta a probabilidade de ocorrência do outro evento. 
Considere dois eventos (A e B) que são independentes. Nesse caso, a 
probabilidade de acontecerem os dois eventos (A e B) é dada por: 
P(A ∩ B) = P(A) ∙ P(B) 
E a probabilidade de acontecer ao menos um dos dois eventos (A ou B) é dada 
por: 
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) 
 
Considere o exemplo: A chance que o time A tem de ganhar uma partida de 
futebol é 0,6. A chance que time B tem de ganhar uma partida de futebol é 0,2. 
Considere que a chance de cada um ganhar é independente. Nesse caso: 
a) Qual é a probabilidade de o time A e o time B ganharem a partida de futebol? 
Nesse caso, devemos calcular a interseção (“e”): 
P(A ∩ B) = P(A) ∙ P(B) = 0,6 ∙ 0,2 = 0,12 = 12% 
Logo, a probabilidade de os dois times ganharem é 0,12 ou 12%. 
 
b) Qual é a probabilidade de o time A ou o time B ganharem a partida de 
futebol? 
Nesse caso, devemos calcular a união (“ou”): 
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0,6 + 0,2 − 0,12 = 0,68 = 68% 
Logo, a probabilidade de ao menos um dos times ganharem é 0,68 ou 68%. 
Eventos independentes 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 2 – ESTATÍSTICA APLICADA 
AULA 7: CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 
80 
 
AULA 7 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 
 
A correlação é usada para estudar o grau de associação (relação) entre duas 
variáveis. Por exemplo, estudar a relação entre o peso e a altura. 
Ela é representada graficamente através de um gráfico de dispersão, que 
mostra o comportamento entre as duas variáveis (isto é, se estão relacionadas). Se 
X cresce, Y também cresce? A relação é linear? 
 
Para medir o grau de relação entre as duas variáveis, utilizamos o Coeficiente 
de Correlação Simples (também chamado de Coeficiente de Correlação): 
r =
∑ xy −
(∑ x) ∙ (∑ y)
n
√[∑ x2 −
(∑ x)2
n ] ∙ [∑ y2 −
(∑ y)2
n ]
 
 
Considere o exemplo: Dados ∑ x = 27, ∑ y = 32, ∑ x2 = 139, ∑ y2 = 218, ∑ xy = 
170 e n = 6, determine o coeficiente de correlação. 
r =
∑ xy −
(∑ x) ∙ (∑ y)
n
√[∑ x2 −
(∑ x)2
n ] ∙ [∑ y2 −
(∑ y)2
n ]
=
170 −
27 ∙ 32
6
√[139 −
272
6 ] ∙ [218 −
322
6 ]
= 
=
26
√17,5 ∙ 47,33
=
26
√828,275
=
26
28,78
= 0,903 
Logo, o coeficiente de correlação é igual a 0,903. 
Correlação 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 2 – ESTATÍSTICA APLICADA 
AULA 7: CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 
81 
 
Intervalo de variação da correlação: 
O que significa r = 0,903? Significa que existe uma forte relação positiva entre 
as variáveis X e Y, ou seja, quando X cresce Y também cresce. 
Os valores de r estão compreendidos em um intervalo que varia de -1 a +1. 
 
 
 
A regressão é usada para examinar o comportamento de uma variável em 
relação à outra. Nesse caso, temos uma variável dependente (y) que sofrerá 
influência da variável independente (x). 
De forma geral, a regressão buscará a equação que melhor expresse a variação 
de y em função de x. A regressão linear é um caso particular bastante útil, no qual a 
equação é linear e, portanto, o gráfico é uma reta. 
Considere a seguinte equação linear: 
y = a + bx 
Em que ‘b’ é o coeficiente angular (inclinação da reta) e ‘a’ é o coeficiente linear 
(intercepto de y). 
Devemos encontrar a reta que minimiza o “erro quadrático médio” (ou seja, a 
reta que minimiza a distância entre a reta e os pontos). Para isso, podemos utilizar 
o “método dos mínimos quadrados”. 
 
 
Regressão 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 2 – ESTATÍSTICA APLICADA 
AULA 7: CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 
82 
 
Pelo método dos mínimos quadrados, temos: 
x̅ =
∑ x
n
 y̅ =
∑ y
n
 
Sxy = ∑ xy −
(∑ x) ∙ (∑ y)
n
 Sxx = ∑ x2 −
(∑ x)2
n
 
Assim, os coeficientes podem ser calculados através de: 
b =
Sxy
Sxx
 
a = y̅ − b ∙ x̅ 
 
Considere o exemplo: Dados ∑ x = 38, ∑ y = 698, ∑ x2 = 150, ∑ y2 = 50236, 
∑ xy = 2739 e n =10. Determine a equação da reta para o conjunto de dados 
apresentados. 
x̅ =
∑ x
n
=
38
10
= 3,8 y̅ =
∑ y
n
=
698
10
= 69,8 
Sxy = ∑ xy −
(∑ x) ∙ (∑ y)
n
= 2739 −
38 ∙ 698
10
= 86,6 
Sxx = ∑ x2 −
(∑ x)2
n
= 150 −
382
10
= 5,6 
Dessa forma: 
b =
Sxy
Sxx
=
86,6
5,6
= 15,464 
a = y̅ − b ∙ x̅ = 69,8 − 15,464 ∙ 3,8 = 11,037 
Resultando em: 
y = a + bx → y = 11,037 + 15,464x 
 
 
CURSOS DE ENGENHARIA 
LIVRO DE INTRODUÇÃO À ENGENHARIA 
BIBLIOGRAFIA 
83 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
AUGUSTO, Adriana Santos. Estatística Aplicada. 2a Edição. Niterói/RJ: UNIVERSO. 
2011. 
 
BECKER, João Luiz. Estatística Básica: Transformando Dados em Informação. Grupo 
A – Selo Bookman. 2015. 
 
OLIVEIRA, Edney Dantas. Matemática Básica. Niterói/RJ: UNIVERSO. 2013. 
 
SCHMIDT, Adriana Claudia. Matemática Financeira. Grupo A – Selo Bookman. 2019. 
 
SILVEIRA, Márcia Castiglio. Matemática Empresarial. Porto Alegre: Imprensa Livre. 
2009.Analisando-se as duas grandezas, é notório que se a quantidade de impressoras 
diminuir, o tempo para fazer as impressões será aumentado. Logo, essas grandezas 
são inversamente proporcionais. 
 
 
3º Passo – Aplicar o método de resolução correto para cada um dos 
casos, e, por fim, resolver a equação 
Quando as grandezas são inversamente proporcionais, é necessário inverter-
se a fração (trocar numerador e denominador) de uma das frações, para, 
posteriormente, multiplicar-se cruzado. 
Invertendo-se a primeira fração: 
10
15
=
18
x
 
10x = 18 ∙ 15 
10x = 270 
x =
270
10
 
x = 27 
Logo, o tempo gasto para a confecção de todas as provas do concurso será de 
27 horas. 
 
 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 1 – MATEMÁTICA BÁSICA 
AULA 2: CONJUNTOS NUMÉRICOS 
7 
 
AULA 2 CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
Um conjunto é qualquer coleção de elementos classificados a partir de certa 
característica semelhante. 
Considere P o conjunto dos números pares: 
P = {0,2,4,6,8,10,...} 
Considere E o conjunto das estações do ano: 
E = {Primavera, Verão, Outono, Inverno} 
Um conjunto numérico é uma coleção de números com características 
semelhantes. Note que P é um conjunto numérico, pois os seus elementos são 
números. 
 
 
Um conjunto numérico pode ser representado tanto na forma “enumerada” 
quanto na forma de “diagrama”. 
Considere que o conjunto A seja enumerado da seguinte forma: 
A = {1,3,7,8} 
Esse mesmo conjunto A pode ser representado pelo seguinte diagrama: 
 
Esse diagrama é conhecido como diagrama de Venn. 
 
O que são Conjuntos Numéricos? 
Representação dos Conjuntos Numéricos 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 1 – MATEMÁTICA BÁSICA 
AULA 2: CONJUNTOS NUMÉRICOS 
8 
 
 
Existem diversos símbolos e definições relacionadas aos conjuntos numéricos. 
 Relação de pertinência: ∈ pertence e ∉ não pertence. 
Considere novamente A = {1,3,7,8} 
 
Podemos afirmar que 3 ∈ A (lê-se 3 pertence a A). 
E que 2 ∉ A (lê-se 2 não pertence a A). 
 Relação de inclusão: Se todos os elementos de um conjunto A também 
pertencerem a um conjunto B, dizemos que A está contido em B ou, ainda, que 
A é subconjunto de B. ⊂ está contido e ⊄ não está contido. 
Considere agora um conjunto B, dado por B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} 
Note que todos os elementos de A também são pertencentes a B. Logo, 
podemos afirmar que A ⊂ B (lê-se A está contido em B). 
 
 Conjunto Universo: É o conjunto que tem todos os elementos com os quais 
se deseja trabalhar. O universo é representado pela letra U. 
 Conjunto Vazio: É o conjunto que não possui elementos. Se C for um conjunto 
vazio, então C = {} ou C = ∅. 
Símbolos e Definições dos Conjuntos Numéricos 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 1 – MATEMÁTICA BÁSICA 
AULA 2: CONJUNTOS NUMÉRICOS 
9 
 
 
Existem três importantes operações entre os conjuntos: a união, a interseção 
e a diferença de conjuntos. O complementar de um conjunto é uma operação especial 
de diferença. 
 União de conjuntos: A união de dois conjuntos A e B é o conjunto A ∪ B (lê-
se A união B, ou ainda “A ou B”), formado por todos os elementos de ambos 
os conjuntos. 
Seja A = {2,4,6,8,10} e B = {1,2,3,4,5,6}, a união entre ambos será: 
A ∪ B = {1,2,3,4,5,6,8,10} 
A representação da união no diagrama de Venn é: 
 
 Interseção de conjuntos: A interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto 
A ∩ B (lê-se A interseção B, ou ainda “A e B”), formado pelos elementos que 
pertencem a ambos os conjuntos ao mesmo tempo. 
Seja A = {2,4,6,8,10} e B = {1,2,3,4,5,6}, a interseção entre ambos será: 
A ∩ B = {2,4,6} 
A representação da interseção no diagrama de Venn é: 
 
Operações entre Conjuntos Numéricos 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 1 – MATEMÁTICA BÁSICA 
AULA 2: CONJUNTOS NUMÉRICOS 
10 
 
 Diferença de conjuntos: A diferença de dois conjuntos A e B é o conjunto 
dado por A – B (lê-se A menos B), formado pelos elementos que pertencem a 
A que não pertencem a B, ou seja, pelos elementos exclusivos de A. 
Seja A = {2,4,6,8,10} e B = {1,2,3,4,5,6}, a diferença entre ambos será: 
A – B = {8,10} 
A representação da diferença A – B no diagrama de Venn é: 
 
 Complementar de conjuntos: O conjunto complementar de A é o conjunto 
AC ou A̅ (lê-se A complementar, ou complementar de A, ou ainda A barra) que 
consiste na diferença entre o Universo e o conjunto A, ou seja, AC = U – A. 
Seja U = {0,2,4,6,8} e A = {2,4}, o conjunto complementar de A será: 
AC = U – A = {0,6,8} 
A representação do complementar de A no diagrama de Venn é: 
 
 
 
 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 1 – MATEMÁTICA BÁSICA 
AULA 2: CONJUNTOS NUMÉRICOS 
11 
 
 
Existem ao todo 5 conjuntos tipos de conjuntos numéricos, que são: os 
números Naturais (N), os números Inteiros (Z), os números Racionais (Q), os 
números Irracionais (I) e os números Reais (R). 
 Conjunto dos Números Naturais (N): Nasceu da simples necessidade de se 
fazer contagens, por isso, seus elementos são apenas números inteiros e não 
negativos. 
N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...} 
 Conjunto dos Números Inteiros (Z): Surgiu com a necessidade de se 
realizar a operação de subtração, incluindo assim os números inteiros 
negativos. 
Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} 
Note que N ⊂ Z, isto é, N está contido em Z. 
 Conjunto dos Números Racionais (Q): Com a necessidade de descrever 
partes de algo inteiro, surgiram as frações. Assim, os números racionais são 
aqueles que podem ser escritos na forma de fração. 
Os números que podem ser escritos na forma de fração são: 
1- Números inteiros (Z): 4/2 = 2; -20/5 = -4. 
2- Decimais finitos: 10/4 = 2,5; -2/5 = -0,4. 
3- Decimais infinitos que sejam dízimas periódicas: 1/3 = 0,3333... 
Note que Z ⊂ Q, isto é, Z está contido em Q. 
 Conjunto dos Números Irracionais (I): É composto por todos os números 
que não são possíveis de se descrever como uma fração. Portanto, são números 
irracionais todos aqueles que não pertencem ao conjunto dos números 
racionais. Ou seja, Q ∩ I = ∅. 
1- Decimais infinitos (não sejam dízimas periódicas): é o caso das raízes 
quadradas de números que não são quadrados perfeitos: √2 = 1,414213... 
2- Constantes provenientes de razões especiais: π = 3,1415926... 
 
Tipos de Conjuntos Numéricos 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 1 – MATEMÁTICA BÁSICA 
AULA 2: CONJUNTOS NUMÉRICOS 
12 
 
 Conjunto dos Números Reais (R): É formado pela união do conjunto dos 
números racionais com o conjunto dos números irracionais. 
R = Q ∪ I 
A representação pelo diagrama de Venn é: 
 
Assim, todo número que é irracional é real, assim como os racionais, inteiros e 
naturais. 
 
 
Em muitos problemas envolvendo conjuntos numéricos, não estamos 
interessados em quais são os elementos pertencentes a cada conjunto, mas sim na 
quantidade de elementos em cada conjunto. 
Considere o seguinte exemplo: Em uma pesquisa com 350 pessoas constatou-
se que 250 pessoas gostam do produto A, 150 pessoas gostam do produto B e 100 
pessoas gostam de ambos os produtos. 
Temos que: 
U = 350 (Universo, contendo todas as pessoas) 
A = 250 (“250 pessoas gostam do produto A”) 
B = 150 (“150 pessoas gostam do produto B”) 
A ∩ B = 100 (“100 pessoas gostam de ambos os produtos”) 
Quantidades em Conjuntos Numéricos 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 1 – MATEMÁTICA BÁSICA 
AULA 2: CONJUNTOS NUMÉRICOS 
13 
 
Nesse tipo de problema, sempre começamos pela interseção. 
 
Em seguida, subtraímos pelas quantidades de A e de B. Isto é: 
 
Por fim, subtraímos essas quantidades do Universo: 
 
 
 
 
 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 1 – MATEMÁTICA BÁSICA 
AULA 2: CONJUNTOS NUMÉRICOS 
14 
 
O diagrama de Venn resultante é: 
 
A partir da análise deste diagrama, podemos responder uma série de 
perguntas. 
Quantas pessoas gostam somente do produto A? 
150 pessoas. 
Quantas pessoas gostam somente do produtoB? 
50 pessoas. 
Quantas pessoas não gostam de nenhum dos 2 produtos? 
50 pessoas. 
Quantas pessoas não gostam do produto A? 
50 + 50 = 100 
Ou 
AC = U – A = 350 – 250 = 100 
Quantas pessoas não gostam do produto B? 
150 + 50 = 200 
Ou 
BC = U – B = 350 – 150 = 200 
Quantas pessoas gostam do produto A ou do produto B? 
A ∪ B = 150 + 100 + 50 = 300 
 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 1 – MATEMÁTICA BÁSICA 
AULA 3: INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES MATEMÁTICAS 
15 
 
AULA 3 INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES MATEMÁTICAS 
 
Em várias situações do cotidiano, percebemos que há uma relação entre 
grandezas: 
 Ao abastecer um veículo: o valor a ser pago depende (é função da) quantidade 
de combustível. 
 Na conta de luz: o valor a ser pago na conta de luz depende (é função da) 
quantidade de energia elétrica consumida. 
Essas relações entre grandezas podem ser descritas através de funções 
matemáticas. 
A função matemática, ou simplesmente função, expressa a relação 
matemática entre os elementos de dois conjuntos. Um conjunto é chamado de 
Domínio (D) que contém a variável independente (x) e o outro é chamado de Imagem 
(Im) que contém a variável dependente (f(x) ou y). 
 
Nos nossos exemplos, o valor a ser pago é a variável dependente, enquanto a 
quantidade de combustível e a quantidade de energia consumida são variáveis 
independentes. 
 
 
 
 
 
 
O que são Funções Matemáticas? 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 1 – MATEMÁTICA BÁSICA 
AULA 3: INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES MATEMÁTICAS 
16 
 
 
Considere o exemplo do valor pago em função da quantidade de litros usada 
para abastecer o carro. Vamos representar esse valor pago pela letra y (variável 
dependente) e a quantidade de litros pela letra x (variável independente). Suponha 
que o preço do litro da gasolina seja de R$ 6,00. 
Nesse caso, a representação algébrica dessa função será: 
y = 6x 
A partir dessa equação, podemos calcular o valor final a ser pago (y) em função 
da quantidade de litros de gasolina (x). 
x (litros) y (R$) 
0 y = 6·0 = 0 
1 y = 6·1 = 6 
2 y = 6·2 = 12 
3 y = 6·3 = 18 
4 y = 6·4 = 24 
5 y = 6·5 = 30 
6 y = 6·6 = 36 
 
Considere o seguinte exemplo: Uma indústria de brinquedos possui um custo 
fixo mensal de produção equivalente a R$ 20.000,00 mais R$ 8,00 reais por 
brinquedo produzido. Determine a forma algébrica dessa função e também o valor 
do custo na produção de 500 brinquedos. 
Vamos considerar “c” o custo total e “b” a quantidade de brinquedos 
produzidos. Assim, a forma algébrica da função será dada por: 
c = 20000 + 8b 
O custo de se produzir 500 brinquedos é: 
c = 20000 + 8·500 = 20000 + 4000 = 24000 
Portanto, o custo para produzir 500 brinquedos é de R$ 24.000,00. 
Representação algébrica de funções 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 1 – MATEMÁTICA BÁSICA 
AULA 3: INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES MATEMÁTICAS 
17 
 
 
A representação gráfica de funções é muito importante, pois fornece uma 
visualização mais clara do comportamento da função. O gráfico permite a observação 
de padrões e comportamentos, tais como crescimento e decrescimento, identificação 
de raízes e de pontos máximos e mínimos. 
Ao analisar o gráfico do lucro de uma empresa em função do tempo, por 
exemplo, podemos identificar os períodos de crescimento e decrescimento do lucro, 
além de seu ponto máximo (maior lucro) e mínimo (menor lucro). 
Considere a seguinte função na forma algébrica: 
y = 2x – 4 
Podemos obter o valor de y para diferentes valores de x: 
x y 
0 y = 2·0 – 4 = – 4 
1 y = 2·1 – 4 = – 2 
2 y = 2·2 – 4 = 0 
3 y = 2·3 – 4 = 2 
4 y = 2·4 – 4 = 4 
 
Cada um desses pares de valores estão formando os seguintes pares 
ordenados: (0,-4); (1,-2); (2,0); (3,2); (4,4). 
Os pares ordenados são comumente utilizados na representação de pontos 
em um plano cartesiano. No plano cartesiano, o eixo horizontal é conhecido como 
eixo x, e o eixo vertical é conhecido como eixo y. Assim, um ponto (x,y) representa 
a coordenada de um ponto onde "x" é a coordenada no eixo x e "y" é a coordenada 
no eixo y. 
 
 
 
Representação gráfica de funções 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 1 – MATEMÁTICA BÁSICA 
AULA 3: INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES MATEMÁTICAS 
18 
 
Observe de vermelho o gráfico da função 2x – 4 e de azul cada um dos pontos 
(pares ordenados) calculados. 
 
Note que cada um dos pares ordenados estão sobre o gráfico da função. Isso 
ocorre pois eles fazem parte da função (eles são pontos da função). 
Verifique se o ponto (5,6) faz parte da função y = 2x – 4. 
Para (5,6) ser um ponto de y = 2x – 4 é preciso que quando x = 5 -> y = 6. 
Vamos verificar substituindo x = 5 na função: 
y = 2·5 – 4 = 10 – 4 = 6 
Note que y = 6, portanto (5,6) é um ponto da função y = 2x – 4. 
Verifique se o ponto (7,8) faz parte da função y = 2x – 4. 
Para (7,8) ser um ponto de y = 2x – 4 é preciso que quando x = 7 -> y = 8. 
Vamos verificar substituindo x = 7 na função: 
y = 2·7 – 4 = 14 – 4 = 10 
Note que y = 10, que é diferente de y = 8, portanto (7,8) não é um ponto da 
função y = 2x – 4. 
 
 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 1 – MATEMÁTICA BÁSICA 
AULA 3: INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES MATEMÁTICAS 
19 
 
 
A análise do gráfico da função permite identificar os intervalos de crescimento 
e decrescimento, as raízes (zeros da função) e os pontos de máximo e de mínimo. 
 Crescente: Uma função é considerada crescente em um intervalo se, à medida 
que você move da esquerda para a direita nesse intervalo, os valores da função 
aumentam. 
 Decrescente: Uma função é considerada decrescente em um intervalo se, à 
medida que você move da esquerda para a direita nesse intervalo, os valores 
da função diminuem. 
 Máximo: O ponto onde a função atinge o seu maior valor. 
 Mínimo: O ponto onde a função atinge o seu menor valor. 
 Raízes: As raízes (ou zeros) são os valores de x nos quais a função é nula (os 
valores de x que fazem y = 0). Graficamente, são os valores de x nos quais a 
função cruza o eixo x. 
Considere o gráfico da função y = 4 + 2x – 2x2: 
 
Intervalo de Crescimento: x = (-∞, 0,5] 
Intervalo de Decrescimento: x = [0,5, +∞) 
Ponto de Máximo: (0,5, 4,5) 
Raízes: x = -1 e x = 2 
Análise de gráficos de funções 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 1 – MATEMÁTICA BÁSICA 
AULA 4: TIPOS DE FUNÇÕES 
20 
 
AULA 4 TIPOS DE FUNÇÕES 
 
Alguns dos principais tipos de funções são: funções polinomiais, funções 
exponenciais, funções trigonométricas. 
 Funções Polinomiais: São formadas por termos onde a variável é elevada a 
uma potência inteira. O grau da função polinomial é igual ao valor da maior 
potência da variável. 
y = x + 3 -> Função de 1o Grau 
y = x2 – 3x + 4 -> Função de 2o Grau 
y = x5 – 5x8 + 2x -> Função de 8o Grau 
 Funções Exponenciais: Têm a forma de uma base elevada à potência da 
variável. Ou seja, a variável está na potência (expoente) de uma base. 
y = 50·2x 
y = 3x 
 Funções Trigonométricas: A variável está dentro de um seno, cosseno ou 
tangente, ou qualquer outra função trigonométrica. 
y = 10·sen(3x) 
y = cos(x – 2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Classificação das Funções 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 1 – MATEMÁTICA BÁSICA 
AULA 4: TIPOS DE FUNÇÕES 
21 
 
 
Uma Função Polinomial de 1o Grau, ou simplesmente Função de 1o Grau, 
tem a seguinte forma algébrica: 
y = ax + b 
Em que ‘a’ é uma constante diferente de zero (a ≠ 0), denominada coeficiente 
angular. E b é uma constante que pode ou não ser igual a zero, chamada de termo 
independente. 
O gráfico da Função de 1o Grau é sempre uma reta. 
 
Observe que se ‘a’ for negativo (a 0), a função é crescente. 
Além disso, a raiz (zero) da função de 1o grau, é calculada a partir da seguinte 
fórmula: 
x = −
b
a
 
Considere a seguinte função de 1o grau: 
y = 2x – 4 
Essa função é crescente ou decrescente?O valor de a = 2, que é um número positivo, portanto a função é crescente. 
Qual é a raiz dessa função? 
Sabendo que a = 2 e b = – 4, temos que a raiz é: 
x = −
b
a
= −
−4
2
= −(−2) = 2 
Função Polinomial de 1o Grau 
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PARTE 1 – MATEMÁTICA BÁSICA 
AULA 4: TIPOS DE FUNÇÕES 
22 
 
Observe o gráfico da função y = 2x – 4: 
 
Note que ela é uma função crescente e que a sua raiz (ponto onde ela cruza o 
eixo x) é igual a 2, como foram calculados. 
 
 
Uma Função Constante tem a seguinte forma algébrica: 
y = k 
Em que ‘k’ é uma constante que pode ou não ser igual a zero. Note que a 
função constante não depende da variável independente (não depende de x). 
O gráfico da Função da Função Constante não varia com y. 
 
Função Constante 
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PARTE 1 – MATEMÁTICA BÁSICA 
AULA 4: TIPOS DE FUNÇÕES 
23 
 
Por exemplo, considere a função a seguir: 
y = 4 
Note que ela é uma função constante. O seu gráfico é dado por: 
 
Para qualquer que seja o valor de x, a função é sempre igual a 4. 
 
 
Uma Função Polinomial de 2o Grau, ou simplesmente Função de 2o Grau, 
ou ainda Função Quadrática, tem a seguinte forma algébrica: 
y = ax2 + bx + c 
Em que ‘a’ é uma constante diferente de zero (a ≠ 0), e ‘b’ e ‘c’ são constantes 
que podem ou não ser iguais a zero. 
O gráfico da Função de 2o Grau é sempre uma parábola. 
 
Função Polinomial de 2o Grau 
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PARTE 1 – MATEMÁTICA BÁSICA 
AULA 4: TIPOS DE FUNÇÕES 
24 
 
Observe que se ‘a’ for negativo (a 0), a parábola tem a concavidade para cima. 
O ponto V é conhecido como vértice da parábola e é dado por V = (xv, yv). 
Note que se ‘a’ for negativo (a 0), o vértice é um ponto de mínimo da função. 
Além disso, temos que se ‘a’ for negativo (a 0), a função é decrescente no intervalo de x = (-∞, xv] e 
crescente no intervalo de x = [xv, +∞). 
De forma resumida, a análise do sinal de ‘a’ indica que: 
 Se ‘a’ for negativo: A parábola tem concavidade para baixo. O vértice é um 
ponto de máximo. A função é crescente no intervalo de x = (-∞, xv] e 
decrescente no intervalo de x = [xv, +∞) 
 Se ‘a’ for positivo: A parábola tem concavidade para cima. O vértice é um 
ponto de mínimo. A função é decrescente no intervalo de x = (-∞, xv] e 
crescente no intervalo de x = [xv, +∞). 
 
Calculando as raízes da função de 2o Grau: 
Dada a forma algébrica da função de 2o grau: 
y = ax2 + bx + c 
Devemos calcular o valor de delta: 
∆ = b2 − 4ac 
Seguido dos valores de x (raízes da equação de 2o grau): 
x =
−b ± √∆
2a
 
Essa fórmula é conhecida como equação quadrática e fornece a solução da 
equação de 2o grau. 
 
 
 
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PARTE 1 – MATEMÁTICA BÁSICA 
AULA 4: TIPOS DE FUNÇÕES 
25 
 
Calculando o vértice da função de 2o Grau: 
Dada a forma algébrica da função de 2o grau: 
y = ax2 + bx + c 
O vértice é um ponto V = (xv, yv). 
A coordenada x do vértice é dada por: 
xv =
−b
2a
 
A coordenada y do vértice é dada por: 
yv =
−∆
4a
 
 
Considere a seguinte função de 2o grau: 
y = x2 – 2x – 8 
Faça a análise completa dessa função. 
Note que a = 1, portanto ‘a’ é positivo. Com isso, sabemos que ela tem a 
concavidade para cima e que o vértice é um ponto de mínimo. 
As raízes dessa função podem ser calculadas da seguinte forma: 
Temos que a = 1, b = – 2 e c = – 8. Assim, delta é igual a: 
∆ = b2 − 4ac = (−2)2 − 4 ∙ 1 ∙ (−8) = 4 + 32 = 36 
Com isso, as raízes são: 
x =
−b ± √∆
2a
=
−(−2) ± √36
2 ∙ 1
=
2 ± 6
2
 
x1 =
2 + 6
2
=
8
2
= 4 
x2 =
2 − 6
2
=
−4
2
= −2 
Logo, as raízes são x = -2 e x = 4. 
 
 
 
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PARTE 1 – MATEMÁTICA BÁSICA 
AULA 4: TIPOS DE FUNÇÕES 
26 
 
Podemos ainda calcular as coordenadas do vértice: 
xv =
−b
2a
=
−(−2)
2 ∙ 1
=
2
2
= 1 
yv =
−∆
4a
=
−36
4 ∙ 1
=
−36
4
= −9 
Portanto, o vértice, que é o ponto mínimo, é o ponto (1, -9). 
Além disso, temos que essa função é decrescente no intervalo de x = (-∞, 1] 
e crescente no intervalo de x = [1, +∞). 
Observe o gráfico dessa função de 2o grau e compare com os resultados 
encontrados. 
 
 
 
 
 
 
 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 1 – MATEMÁTICA BÁSICA 
AULA 4: TIPOS DE FUNÇÕES 
27 
 
 
Uma Função Exponencial tem a seguinte forma algébrica: 
y = k·ax 
Em que ‘k’ é uma constante diferente de zero (k ≠ 0) e ‘a’ é uma constante 
positiva (a > 0) e diferente de 1 (a ≠ 1). 
O gráfico da Função da Função exponencial tem a seguinte forma: 
 
Quando a > 1 (a = 2 no gráfico da esquerda), a função é crescente. E quando 
‘a’ está no intervalo 0 1), a função é crescente. Portanto a evolução do 
número de bactérias é crescente. 
Para calcular o número de bactérias no início do experimento, temos que fazer 
x = 0 na função: 
y = 100·20 = 100·1 = 100 
Logo, o número de bactérias no início do experimento é 100. 
Para calcular o número de bactérias na 6a semana, temos que fazer x = 6 na 
função: 
y = 100·26 = 100·64 = 6400 
Logo, o número de bactérias na 6a semana é igual a 6400. 
 
 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 1 – MATEMÁTICA BÁSICA 
AULA 5: OPERAÇÕES COM FUNÇÕES 
29 
 
AULA 5 OPERAÇÕES COM FUNÇÕES 
 
Considere uma função y= f(x). A função inversa de y = f(x), representada 
por y-1 = f-1(y) = x, é uma operação matemática que inverte o domínio e a imagem 
da função original (ou seja, o domínio passa a ser a imagem e vice-versa). 
 
Observe que na função original y = f(x) o conjunto A é o domínio (x é o termo 
independente) e B é a imagem (y é o termo dependente). Por outro lado, na função 
inversa x = f-1(y) o conjunto B passa a ser o domínio (y é o termo independente) e 
A passa a ser imagem (x é o termo dependente). 
Isso significa que, para se obter a função inversa, basta trocar as variáveis x e 
y. 
Considere a seguinte função: 
y = 2x + 3 
Obtenha a sua função inversa. 
Temos que trocar as variáveis x e y, ou seja: 
x = 2y + 3 
Agora, precisamos isolar o y: 
2y + 3 = x 
2y = x – 3 
𝑦−1 =
x − 3
2
 
Função Inversa 
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PARTE 1 – MATEMÁTICA BÁSICA 
AULA 5: OPERAÇÕES COM FUNÇÕES 
30 
 
 
A função composta, também conhecida como composição de funções, é uma 
operação matemática que envolve a substituição da variável independente de uma 
função por outra função. 
Considere duas funções f(x) e g(x). A função g(f(x)) é uma função composta, 
na qual o termo independente de g(x) foi substituído pela função f(x). 
 
Note que o conjunto A é o domínio da função f(x) = y, no qual a imagem é 
dada pelo conjunto B. Porém, olhando para os conjuntos B e C, temos que B que é 
igual a y = f(x) passa a ser o domínio de g(x), em que a imagem é dadapelo conjunto 
C. 
É importante observar que podemos também calcular as seguintes funções 
compostas: f(g(x)), f(f(x)), g(g(x))... 
Considere as seguintes funções: 
f(x) = 2x + 3 g(x) = 5x 
Determine as seguintes funções compostas g(f(x)) e f(g(x)). 
Para calcular g(f(x)), temos que colocar a função f(x) no lugar do x da função 
g(x). Assim: 
g(f(x)) = 5 f(x) = 5 (2x + 3) = 10x + 15 
Para calcular f(g(x)), temos que colocar a função g(x) no lugar do x da função 
f(x). Assim: 
f(g(x)) = 2 g(x) + 3 = 2·5x + 3 = 10x + 3 
 
 
 
Função Composta 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 1 – MATEMÁTICA BÁSICA 
AULA 5: OPERAÇÕES COM FUNÇÕES 
31 
 
Considere o seguinte exemplo: O custo de produção de uma empresa é dado 
por C = 10P + 5000, em que P é o custo por produto. Sabe-se que o custo do produto 
dessa empresa é expresso por P = 25m + 50, em que m é o custo da matéria-prima. 
Nessas condições, obtenha a função do custo de produção em função do custo da 
matéria-prima. 
Note que, para obter C em função de m precisamos substituir o P = 25m + 50 
na função de C, ou seja: 
C = 10P + 5000 = 10 (25m + 50) + 5000 = 250m + 500 + 5000 = 250m +5500 
Logo, o custo de produção em função do custo da matéria-prima é expresso 
pela seguinte função C = 250m +5500. 
 
Considere as seguintes funções: 
f(x) = 3x – 2 g(x) = x2 + 1 
Determine as seguintes funções compostas g(f(x)) e f(g(x)). 
Para calcular g(f(x)), temos que colocar a função f(x) no lugar do x da função 
g(x). Assim: 
g(f(x)) = f(x)2 + 1 = (3x – 2)2 + 1 = 9x2 – 6x + 4 + 1 = 9x2 – 12x + 5 
Para calcular f(g(x)), temos que colocar a função g(x) no lugar do x da função 
f(x). Assim: 
f(g(x)) = 3 g(x) – 2 = 3 (x2 + 1) – 2 = 3x2 + 3 – 2 = 3x2 + 1 
 
 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 1 – MATEMÁTICA BÁSICA 
AULA 6: PORCENTAGEM 
32 
 
AULA 6 PORCENTAGEM 
 
A porcentagem é uma medida usada para expressar uma proporção ou uma 
relação entre uma parte e um todo, em termos percentuais. 
Algumas situações comuns em que a porcentagem é usada incluem: 
 Crescimento e Decréscimo: Em estudos demográficos ou econômicos, o 
crescimento ou decréscimo percentual é frequentemente utilizado para 
expressar mudanças em populações, taxas de produção, entre outros. 
 Taxas de Juros: Em finanças, as taxas de juros em empréstimos ou 
investimentos são frequentemente expressas em termos percentuais. 
 Probabilidades: Em estatísticas e probabilidade, as chances de eventos são 
frequentemente expressas em porcentagens. 
 
 
O termo "porcentagem" deriva de "por cento", que significa "por cada cento". 
Ela é representada pelo símbolo "%". 
A expressão p%, que se lê “p por cento”, é chamada taxa percentual. Por 
exemplo, 30% (trinta por cento), 25% (25 por cento) e 12,5% (doze e meio por 
cento) são taxas percentuais, pois são representadas através do símbolo da 
porcentagem. 
Note que % significa por cento (ou “por cem”), isto é, divido por 100. Logo: 
30% =
30
100
= 0,3 
25% =
25
100
= 0,25 
12,5% =
12,5
100
= 0,125 
Os valores 0,3, 0,25 e 0,125 são conhecidos como taxas unitárias, e foram 
obtidos ao transformar a porcentagem na sua forma decimal. 
O que é Porcentagem? 
Porcentagem x Decimal 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 1 – MATEMÁTICA BÁSICA 
AULA 6: PORCENTAGEM 
33 
 
Portanto, temos uma forma percentual (30%, 25% e 12,5%) e uma forma 
decimal (0,3, 0,25 e 0,125). 
Para converter um número da forma percentual (p%) para a forma decimal 
(d), devemos dividi-lo por 100: 
d =
p
100
 
E para converter um número da forma decimal (d) para a forma percentual 
(p%) basta multiplica-lo por 100: 
p% = d ∙ 100 
Converta os seguintes números para a forma decimal: 
10% =
10
100
= 0,1 
2% =
2
100
= 0,02 
95,75% =
95,75
100
= 0,9575 
Converta os seguintes números para a forma percentual: 0,1, 0,02 e 0,9575. 
0,1 ∙ 100 = 10% 
0,02 ∙ 100 = 2% 
0,9575 ∙ 100 = 95,75% 
Note que voltamos para os valores percentuais do enunciado do exercício 
anterior. 
 
 
 
 
 
 
 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 1 – MATEMÁTICA BÁSICA 
AULA 6: PORCENTAGEM 
34 
 
 
Em muitas situações, queremos calcular a porcentagem de um valor. 
Por exemplo: calcule 15% de 800. 
Existem diversas maneiras de fazer esse cálculo. Vamos começar usando a 
Regra de Três que nós já conhecemos. 
100% 800 
15% x 
Dessa forma, temos que: 
100
15
=
800
x
 
Que resulta em: 
x = 800 ∙
15
100
 
Ou seja, para calcular 15% de 800, basta multiplicar 800 por 15/100 (ou por 
0,15 na forma decimal). 
x = 800 ∙
15
100
= 800 ∙ 0,15 = 120 
 
Por exemplo: calcule 30% de 1500. 
1500 ∙
30
100
= 1500 ∙ 0,3 = 450 
 
Por exemplo: calcule 10% de 350. 
350 ∙
10
100
= 350 ∙ 0,1 = 35 
 
 
 
Cálculo da porcentagem de um valor 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 1 – MATEMÁTICA BÁSICA 
AULA 6: PORCENTAGEM 
35 
 
 
Em algumas situações, queremos calcular o valor final após um aumento 
percentual do valor inicial. 
Por exemplo: Um produto com preço R$ 600,00 sofreu um acréscimo de 18%. 
Calcule o seu novo preço. 
Para isso podemos calcular qual foi o valor do acréscimo: 
600 ∙
18
100
= 600 ∙ 0,18 = 108 
Em seguida, somamos esse valor ao valor inicial: 
600 + 108 = 708 
Logo, o novo preço do produto é R$ 708,00. 
Outra forma de fazer esse cálculo é considerando o fator de correção: 
f = 1 +
p
100
 
Nesse caso, temos o seguinte fator de correção: 
f = 1 +
18
100
= 1 + 0,18 = 1,18 
Como o fator de correção é maior do que 1, ele está representado um acréscimo 
percentual de 0,18 (18%). Com isso: 
600 ∙ 1,18 = 708 
Que é o mesmo preço calculado. 
 
Usar o fator de correção é importante para os cálculos envolvendo juros, que 
são típicos da matemática financeira. 
 
 
 
 
 
Cálculo do acréscimo percentual 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 1 – MATEMÁTICA BÁSICA 
AULA 6: PORCENTAGEM 
36 
 
Considere outro exemplo: Um curso possui 300 alunos e é esperado um 
aumento de 20% para o próximo semestre. Qual é o número esperado de alunos? 
Solução 1: 
300 ∙
20
100
= 300 ∙ 0,2 = 60 
300 + 60 = 360 
Solução 2: 
f = 1 +
2
100
= 1 + 0,2 = 1,2 
300 ∙ 1,2 = 360 
 
 
Em algumas situações, queremos calcular o valor final após um desconto 
percentual do valor inicial. 
Por exemplo: Um produto com preço R$ 600,00 sofreu um desconto de 18%. 
Calcule o seu novo preço. 
Para isso podemos calcular qual foi o valor a ser reduzido: 
600 ∙
18
100
= 600 ∙ 0,18 = 108 
Em seguida, subtraímos esse valor do valor inicial: 
600 − 108 = 492 
Logo, o novo preço do produto é R$ 492,00. 
Outra forma de fazer esse cálculo é considerando o fator de correção: 
f = 1 −
p
100
 
Nesse caso, temos o seguinte fator de correção: 
f = 1 −
18
100
= 1 − 0,18 = 0,82 
Como o fator de correção é menor do que 1, ele está representado um desconto 
percentual de 0,18 (18%). 
Cálculo do desconto percentual 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 1 – MATEMÁTICA BÁSICA 
AULA 6: PORCENTAGEM 
37 
 
Com isso: 
600 ∙ 0,82 = 492 
Que é o mesmo preço calculado. 
 
Considere outro exemplo: Um curso possui 300 alunos e é esperado uma 
redução de 20% para o próximo semestre. Qual é o número esperado de alunos? 
Solução 1: 
300 ∙
20
100
= 300 ∙ 0,2 = 60 
300 − 60 = 240 
Solução 2: 
f = 1 −
2
100
= 1 − 0,2 = 0,8 
300 ∙ 0,8 = 240 
 
 
Por fim, tem casos em que queremos calcular o percentual (quantos por cento) 
um valor representa de uma valor total. 
Considere ‘v’ o valor parcial e ‘t’ o valor total, temos que a porcentagem na 
forma decimal (d) e na forma percentual (p%) são: 
d =
v
t
 
p% = d ∙ 100 
p% =
v
t
∙ 100 
 
 
 
 
Cálculo da porcentagem 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 1 – MATEMÁTICA BÁSICA 
AULA 6: PORCENTAGEM 
38 
 
Por exemplo: 182 corresponde a quanto por cento de 650? 
Na forma decimal: 
d =
v
t
=
182
650
= 0,28 
Na formapercentual: 
p% = d ∙ 100 = 0,28 ∙ 100 = 28% 
Ou, calculando-se diretamente: 
p% =
v
t
∙ 100 =
182
650
∙ 100 = 0,28 ∙ 100 = 28% 
 
 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 1 – MATEMÁTICA BÁSICA 
AULA 7: JUROS 
39 
 
AULA 7 JUROS 
 
Os Juros referem-se ao custo do dinheiro ao longo do tempo. Eles são uma 
compensação que uma pessoa, empresa ou governo paga pelo uso de dinheiro 
emprestado. Quando você empresta dinheiro ou toma empréstimo, os juros 
representam o pagamento adicional que deve ser feito além do valor principal. 
São três fatores que influenciam no valor dos juros: 
 Taxa de juros: quanto maior a taxa de juros, maior o valor dos juros. 
 Tempo: quanto mais tempo durar a dívida (do empréstimo ou do valor 
emprestado), maior será o valor dos juros. 
 Valor presente: quanto maior for o valor presente (também chamado de valor 
inicial ou principal), maior será o valor dos juros. 
Alguns cuidados que devemos ter ao tomar empréstimos, financiamentos ou 
optar por pagamentos parcelados: 
 Se pagarmos um valor de entrada, os juros devem ser menores: os juros 
são calculados sobre a dívida. Se o valor de um produto for R$ 2.000,00, então 
os juros serão calculados sobre R$ 2.000,00. Mas se pagarmos uma entrada 
de R$ 1.500,00, então os juros devem ser calculados em cima de R$ 500,00 
(que é a dívida, ou seja, o valor presente). 
 Só pague parcelas duplicadas se você receber algum desconto: é muito 
comum a prática de se pagar de 2 em 2, ou de 3 em 3 parcelas para abater a 
dívida mais rápido. Entretanto, essa prática só é vantajosa se você receber 
algum desconto pela antecipação da parcela. Lembre-se que se você estiver 
pagando a parcela antecipadamente, o tempo da dívida será menor, e portanto 
os juros devem ser menores. 
 Se abatermos parte da dívida, o valor das parcelas deve ser 
recalculado: se você fizer um abatimento do valor da dívida, as parcelas 
restantes devem ser recalculadas com base no novo saldo devedor. O 
abatimento da dívida reduz o valor presente, o que, por sua vez, reduz os juros. 
 
 
O que são juros? 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 1 – MATEMÁTICA BÁSICA 
AULA 7: JUROS 
40 
 
 
No regime de juros simples, não há capitalização dos juros no final de cada 
período, só no final do prazo. Isso quer dizer que os juros simples são calculados 
unicamente sobre o valor presente (VP), também denominado valor inicial ou 
principal. 
O montante de juros (J), ou simplesmente juros, de um valor presente (PV) 
durante um período (t) a uma taxa de juros (r), é calculado como: 
J = VP·t·r 
Além disso, o valor futuro (VF), também é denominado valor final ou montante, 
pode ser calculado através de: 
VF = VP + J 
VF = VP·(1 + t·r) 
 
Considere o exemplo: Calcule os juros simples e o montante (valor futuro) de 
um capital (valor presente) de R$ 10.000,00 aplicados por 5 meses, a uma taxa de 
juros de 5% ao mês, no regime de juros simples. 
Temos que VP = 10000, t = 5 meses e r = 5/100 = 0,05. Assim: 
J = VP·t·r = 10000·5·0,05 = 2500 
Logo, os juros são de R$ 2.500,00. O valor final pode ser obtido através de: 
VF = VP + J = 10000 + 2500 = 12500 
Ou através de: 
VF = VP (1 + t·r) = 10000·(1 + 5·0,05) = 10000·(1 + 0,25) = 10000·1,25 = 12500 
Que resulta em um montante (valor final) de R$ 12.500,00. 
Observe que a taxa de juros no período de 5 meses foi de 5·5% = 25%. Isso 
significa que a taxa de juros semestral será de: 6·5% = 30% por semestre; a taxa 
de juros anual será de 12·5% = 60% ao ano; e que a taxa de juros diária será de 
5%/30 = 0,17% ao dia. 
 
 
Juros Simples 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 1 – MATEMÁTICA BÁSICA 
AULA 7: JUROS 
41 
 
Em alguns casos, o tempo pode ser a incógnita a ser calculada. Isolando t na 
fórmula do valor final, temos: 
t =
VF
VP − 1
r
 
 
Considere o exemplo: João fez um empréstimo de R$ 3.000,00 reais, no regime 
de juros simples, e só vai pagá-lo quando o montante chegar a R$ 3.600,00. Sabendo 
que a taxa de juros é de 4% ao mês, em qual mês João deverá pagar o seu 
empréstimo? 
Temos que VP = 3000, VF = 3600 e r = 4/100 = 0,04. Assim: 
t =
VF
VP − 1
r
=
3600
3000 − 1
0,04
=
1,2 − 1
0,04
=
0,2
0,04
= 5 
Logo, João só irá pagar o seu empréstimo no mês 5. 
 
Em alguns casos, a taxa de juros pode ser a incógnita a ser calculada. Isolando 
r na fórmula do valor final, temos: 
r =
VF
VP − 1
t
 
 
Considere o exemplo: Um capital de R$ 500,00 produziu em 1 semestre um 
montante de R$ 590,00. Qual a taxa de juros simples mensal aplicada? 
Temos que VP = 590, VF = 500 e t = 6 meses. Assim: 
r =
VF
VP − 1
t
=
590
500
− 1
6
=
1,18 − 1
6
=
0,18
6
= 0,03 
Logo, a taxa de juros simples é de 0,03·100% = 3% ao mês. 
 
 
 
 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 1 – MATEMÁTICA BÁSICA 
AULA 7: JUROS 
42 
 
 
No regime de juros compostos há capitalização dos juros no final de cada 
período. Isso quer dizer que os juros compostos são calculados, em cada período, 
sobre o montante do período anterior. 
O valor futuro (VF), também é denominado valor final ou montante, pode ser 
calculado através de: 
VF = VP·(1 + r)t 
 
Considere novamente o exemplo: Calcule o montante (valor futuro) de um 
capital (valor presente) de R$ 10.000,00 aplicados por 5 meses, a uma taxa de juros 
de 5% ao mês, no regime de juros compostos. 
Temos que VP = 10000, t = 5 meses e r = 5/100 = 0,05. Assim: 
VF = VP (1 + r)t = 10000·(1 + 0,05)5 = 10000·(1,05)5 = 10000·1,276282 = 
12762,82 
Que resulta em um montante (valor final) de R$ 12.762,82. 
 
Note que o resultado encontrado no regime de juros compostos é maior do que 
o calculado para o regime de juros simples. Isso ocorre, pois nos juros compostos os 
juros são aplicados em cada período, como pode ser observado na tabela a seguir: 
Juros Simples Juros Compostos 
 
 
 
Juros Compostos 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 2 – ESTATÍSTICA APLICADA 
AULA 1: ELEMENTOS DA ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
43 
 
PARTE 2 – ESTATÍSTICA APLICADA 
AULA 1 ELEMENTOS DA ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
 
A Estatística é uma disciplina da matemática que envolve a coleta, análise, 
interpretação, apresentação e organização de dados. Ela é utilizada para extrair 
informações de conjuntos de dados, para entender padrões, fazer inferências sobre 
populações, tomada de decisão, além da realização de previsões. 
A estatística é bastante robusta, sendo amplamente aplicada em diversas 
áreas, tais como ciências sociais, ciências naturais, economia, medicina, engenharia, 
entre outras. Ela é usada em situações diversas, desde estudos científicos e 
pesquisas de mercado até análise financeira. 
Um conceito básico da estatística é o de População, também chamada de 
Universo Estatístico, a qual consiste no conjunto de elementos que possui ao 
menos uma característica comum observável. Exemplos – Alunos do ensino médio 
de uma cidade: a população são todos os alunos do ensino médio da cidade; Peças 
fabricadas ao longo do dia: a população são todas as peças fabricadas nesse dia. 
Nesse sentido, existem dois métodos de coleta de dados em estatística: 
 Censo: Envolve a coleta de dados de todos os elementos de uma população. 
o Objetivo: Obter informações detalhadas e precisas sobre toda a 
população. 
o Vantagem: Informações precisas, eliminando qualquer margem de erro. 
o Desvantagem: Em geral, são caros e demorados, especialmente em 
populações grandes. 
 Amostragem: Envolve a coleta de dados de apenas uma parte representativa 
da população, chamada amostra. 
o Objetivo: Inferir características da população com base nas 
características observadas na amostra. 
o Vantagem: É mais eficiente em termos de custo e tempo. 
o Desvantagem: Envolve a introdução de uma margem de erro estatística, 
uma vez que os resultados da amostra podem não representar 
precisamente a totalidade da população. 
O que é Estatística? 
LIVRO DECIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 2 – ESTATÍSTICA APLICADA 
AULA 1: ELEMENTOS DA ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
44 
 
 
A amostra é selecionada através de um processo de amostragem, para garantir 
que ela seja representativa da população (e daí os resultados encontrados para ela 
possam estimar o comportamento da população). 
A partir daí podemos dividir a estatística em duas grandes categorias: 
Estatística Descritiva e Estatística Inferencial. 
 Estatística Descritiva: Tem como objetivo descrever e resumir os principais 
aspectos de um conjunto de dados. Ela envolve a organização, resumo e 
apresentação dos dados de forma que seja fácil compreender as principais 
características (por meio de gráficos e tabelas) e medidas (como como médias, 
medianas, moda, desvios padrão). Sendo assim, ela é usada para simplificar e 
apresentar dados de maneira compreensível, tornando-os mais acessíveis para 
análise e interpretação. 
 Estatística Inferencial: Visa fazer inferências ou estimativas sobre uma 
população com base na análise de uma amostra representativa. Ela envolve a 
aplicação de probabilidades e modelos estatísticos em dados amostrais para 
tirar conclusões sobre a população. Ela é comumente usada em pesquisa 
científica, negócios e tomada de decisões. 
Resumindo, a estatística descritiva descreve e resume dados, enquanto a 
estatística inferencial faz inferências sobre uma população com base em uma amostra 
representativa. 
 
 
 
 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 2 – ESTATÍSTICA APLICADA 
AULA 1: ELEMENTOS DA ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
45 
 
Outro aspecto importante são as variáveis, que consistem em características 
ou propriedades que podem ser medidas, observadas ou manipuladas em um estudo. 
Elas são fundamentais na coleta e análise de dados estatísticos. As variáveis podem 
ser classificadas como: 
 Variáveis Qualitativas: representam categorias (não numérica). 
o Nominais: São variáveis que representam categorias ou rótulos sem uma 
ordem específica. Exemplos: cor dos olhos, gênero, tipo sanguíneo. 
o Ordinais: Representam categorias com uma ordem intrínseca, mas a 
distância entre os valores não é significativa. Exemplos: níveis de 
satisfação (baixo, médio, alto), classificação educacional (A, B, C). 
 Variáveis Quantitativas: representam valores (numérica). 
o Discretas: São variáveis que assumem valores inteiros e não podem ser 
subdivididas infinitamente. Exemplos: número de filhos em uma família, 
número de carros em um estacionamento. 
o Contínuas: Representam medidas que podem assumir qualquer valor 
dentro de um intervalo. Exemplos: altura, peso, temperatura. 
 
 
Uma série estatística, também conhecida como distribuição de frequência, 
é uma organização sistemática de dados em categorias, juntamente com as 
frequências correspondentes (número de observações) em cada categoria. Ela 
apresenta um conjunto de dados estatísticos em função do tempo, local ou espécie. 
 Série Temporal: É uma coleção de dados observados ou medidos 
sequencialmente ao longo do tempo. O tempo é a variável independente. 
 
Exemplos: Dados financeiros diários de uma ação, temperatura mensal ao 
longo de um ano, vendas mensais de um produto. 
Série Estatística 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 2 – ESTATÍSTICA APLICADA 
AULA 1: ELEMENTOS DA ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
46 
 
 Série Geográfica: É uma coleção de dados associados a diferentes 
localizações geográficas. A localização é a variável independente. 
 
Exemplos: População por estado em um país, precipitação anual por cidade, 
vendas por região. 
 Série Específica: é uma coleção de dados relacionados a uma característica 
específica de uma população. A espécie é a variável independente. 
 
Exemplos: Cursos mais escolhidos entre os jovens, consumo de energia por 
setor industrial, produtos mais vendidos em determinado ano. Em suma, se não for 
nem local e nem tempo, então é espécie. 
 Série Conjugada: apresentam duas ou mais séries em uma mesma tabela, 
havendo duas ordens de classificação: uma horizontal (linhas) e outra vertical 
(colunas). 
 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 2 – ESTATÍSTICA APLICADA 
AULA 1: ELEMENTOS DA ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
47 
 
 
A série estatística, também chamada de distribuição de frequências, é um tipo 
de tabela que condensa uma série de dados de acordo com a repetição de seus 
valores (frequências). 
 Dados Brutos ou Tabela Primitiva: Trata-se de uma relação de elementos 
ou tabela que não foram numericamente organizados. Ou seja, são os dados 
coletados sem nenhuma arrumação. 
 
Apenas olhando para os números, é difícil ter uma ideia do seu comportamento. 
Não sabemos, por exemplo, quem é o menor, quem é o maior, quais são os números 
que mais se repetem, etc. 
 Rol: É a relação obtida após a ordenação dos dados (crescente ou 
decrescente). 
 
A ordenação dos dados permite uma melhor visualização do seu 
comportamento. Percebemos, desta forma, os dados que mais se repetem, os que 
aparecem menos, quem é o menor deles e quem é o maior, etc. 
 Série Estatística ou Distribuição de Frequências: Trata-se de uma 
condensação dos dados, conforme as repetições de seu valores. A tabela 
resultante é conhecida como Tabela Primitiva. 
Dados Frequência 
21 3 
22 2 
23 1 
24 1 
25 1 
26 2 
30 2 
31 1 
32 1 
34 1 
37 1 
38 2 
40 2 
Total 20 
Construindo uma Série Estatística 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 2 – ESTATÍSTICA APLICADA 
AULA 1: ELEMENTOS DA ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
48 
 
No exemplo dado, ao invés de escrevermos o número 21 três vezes, 
escrevemos apenas uma e indicamos que ele se repete três vezes, ou seja, a 
frequência do número 21 é igual a três. 
A frequência apresentada na tabela é chamada de frequência simples, pois 
consiste na simples repetição de um valor. 
 Frequência simples relativa: É o número de observações de um valor ou de, 
em relação ao número total de observações. 
𝑓𝑟𝑖 =
𝑓𝑖
𝑛
 
Dados Frequência Frequência 
Relativa 
Frequência 
Relativa (%) 
21 3 0,15 15 
22 2 0,1 10 
23 1 0,05 5 
24 1 0,05 5 
25 1 0,05 5 
26 2 0,1 10 
30 2 0,1 10 
31 1 0,05 5 
32 1 0,05 5 
34 1 0,05 5 
37 1 0,05 5 
38 2 0,1 10 
40 2 0,1 10 
Total 20 1 100 
 Frequência acumulada: É a soma de todas as frequências simples até o valor 
atual (é a frequência simples atual somada com a acumulada anterior). 
Dados Frequência Frequência 
Relativa 
Frequência 
Relativa (%) 
Frequência 
Acumulada 
21 3 0,15 15 3 
22 2 0,1 10 5 
23 1 0,05 5 6 
24 1 0,05 5 7 
25 1 0,05 5 8 
26 2 0,1 10 10 
30 2 0,1 10 12 
31 1 0,05 5 13 
32 1 0,05 5 14 
34 1 0,05 5 15 
37 1 0,05 5 16 
38 2 0,1 10 18 
40 2 0,1 10 20 
Total 20 1 100 - 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 2 – ESTATÍSTICA APLICADA 
AULA 1: ELEMENTOS DA ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
49 
 
 Frequência acumulada relativa: É a frequência acumulada de um valor 
dividida pela frequência total. 
Dados Frequência Frequência 
Relativa 
Frequência 
Relativa (%) 
Frequência 
Acumulada 
Frequência 
Acumulada 
Relativa 
Frequência 
Acumulada 
Relativa (%) 
21 3 0,15 15 3 0,15 15 
22 2 0,1 10 5 0,25 25 
23 1 0,05 5 6 0,30 30 
24 1 0,05 5 7 0,35 35 
25 1 0,05 5 8 0,40 40 
26 2 0,1 10 10 0,50 50 
30 2 0,1 10 12 0,60 60 
31 1 0,05 5 13 0,65 65 
32 1 0,05 5 14 0,70 70 
34 1 0,05 5 15 0,75 75 
37 1 0,05 5 16 0,80 80 
38 2 0,1 10 18 0,9 90 
40 2 0,1 10 20 1 100 
Total 20 1 100 - - - 
 
 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 2 – ESTATÍSTICA APLICADA 
AULA 2: REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
50 
 
AULA 2 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
 
Os gráficos são ferramentas visuais para a apresentação e interpretação de 
dados estatísticos. Eles são uma representação visual que facilita a compreensão de 
padrões, tendências e relações entre os dados. 
A escolha do gráfico apropriado depende do tipo de dados, da mensagem que 
se deseja transmitire dos objetivos da análise. Cada tipo de gráfico destaca 
diferentes aspectos dos dados e pode ser utilizado para diferentes finalidades de 
comunicação. 
 
 
Conecta pontos de dados por linhas, sendo eficaz para mostrar tendências ao 
longo do tempo. 
 
São frequentemente usados para a representação de séries cronológicas com 
um grande número de períodos. Também são ideais quando há necessidade de se 
representarem várias séries em um mesmo gráfico. 
 
 
O que são Gráficos? 
Gráfico de linhas 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 2 – ESTATÍSTICA APLICADA 
AULA 2: REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
51 
 
 
Representa categorias discretas com barras retangulares, sendo a altura 
proporcional à frequência de cada categoria. As barras podem ser verticais ou 
horizontais. Esse tipo de gráfico é útil para destacar a diferença entre as categorias. 
 
 
Exemplo: O gráfico a seguir diz respeito aos resultados obtidos por uma turma 
de alunos de um curso preparatório específico para professor de educação básica. 
 
Calcule as frequências relativas percentuais. 
Temos que o total é 2 + 4 + 6 + 1 = 13. Assim: 
Ruim: 2/13 = 0,1538 = 15,38% 
Bom: 4/13 = 0,3077 = 30,77% 
Ótimo: 6/13 = 0,4615 = 46,15% 
Excelente: 1/13 = 0,077 = 7,7% 
Gráficos em barras 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 2 – ESTATÍSTICA APLICADA 
AULA 2: REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
52 
 
 
Divide um círculo em setores, onde cada setor representa uma categoria e o 
ângulo é proporcional à frequência. Eles são adequados para mostrar como cada 
parte contribui para o todo. 
 
Estes gráficos são construídos em uma circunferência. O total é representado 
pelos 360 graus de um círculo, que fica dividido em tantos setores quantas são as 
partes. Os setores são tais que seus ângulos são respectivamente proporcionais aos 
dados da série. 
 
 
Representa a distribuição de uma variável contínua em intervalos (barras 
adjacentes), com a altura das barras indicando a frequência. 
 
Gráficos em setores (pizza) 
Histograma 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 2 – ESTATÍSTICA APLICADA 
AULA 2: REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
53 
 
Observe que 5 funcionários recebem salário na faixa de 0 até 2000, 30 
funcionários na faixa de 2000 até 4000, 25 na faixa de 4000 até 6000... 
 
Considere o exemplo: Um pesquisador coletou dados sobre os níveis de glicose 
em um grupo de pacientes diabéticos ao longo de um mês. Os valores de glicose (em 
mg/dL) foram registrados diariamente. O pesquisador criou um histograma para 
representar visualmente a distribuição desses valores. 
 
Note que o eixo horizontal representa os intervalos enquanto o eixo vertical 
representa o número de pacientes. Nessas condições, responda: 
Qual é o intervalo com maior número de pacientes? 
O intervalo de 100 até 110. 
Quantos pacientes tem glicose entre 60 e 80? 
12 + 21 = 33 pacientes. 
 
 
LIVRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
PARTE 2 – ESTATÍSTICA APLICADA 
AULA 3: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
54 
 
AULA 3 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 
As Medidas de Tendência Central são denominadas dessa forma devido aos 
dados observados tenderem, em geral, a se agrupar em torno dos valores centrais. 
Elas representam o valor central ou típico de um conjunto de dados. 
As medidas de tendência central são essenciais para resumir e descrever a 
distribuição dos dados, oferecendo uma única medida que representa, de certa 
forma, a "posição central" dos valores. As três principais medidas de tendência 
central são média aritmética, moda e mediana. 
 
 
A média aritmética é a soma de todos os valores em um conjunto de dados 
dividida pelo número total de observações. 
X̅ =
x1 + x2 + x3 + ⋯ + xn
n
 
Uma característica da média aritmética é que ela é sensível a todos os valores, 
incluindo valores extremos. 
 
Considere o exemplo: Um aluno de determinada instituição de ensino tirou as 
seguintes notas em estatística: 7, 10 e 6. Sabendo-se que a nota final desse aluno é 
calculada através da média aritmética das três avaliações feitas no período, calcule 
a sua média final. 
A média final desse aluno é igual a: 
X̅ =
x1 + x2 + x3
n
=
7 + 10 + 6
3
=
23
3
= 7,7 
Logo, a sua média final foi 7,7. 
 
 
O que são medidas de tendência central? 
Média Aritmética 
CURSOS DE ENGENHARIA 
LIVRO DE INTRODUÇÃO À ENGENHARIA 
AULA 11: NOÇÕES DE FILOSOFIA 
55 
 
No caso de os dados estarem agrupados na forma de série estatística, a média 
aritmética é calculada através da média aritmética ponderada: 
X̅ =
f1 ∙ x1 + f2 ∙ x2 + f3 ∙ x3 + ⋯ + fn ∙ xn
𝑓1 + f2 + f3 + ⋯ + fn
 
 
Considere o exemplo: A tabela a seguir apresenta a distribuição relativa a 38 
crianças pacientes de uma clínica pediátrica com idades entre 0 e 4 anos. 
 
Calcule a idade média das crianças atendidas nessa clínica. 
A idade média é igual a: 
X̅ =
f1 ∙ x1 + f2 ∙ x2 + f3 ∙ x3 + f4 ∙ x4 + f5 ∙ x5
𝑓1 + f2 + f3 + f4 + f5
=
2 ∙ 0 + 6 ∙ 1 + 12 ∙ 2 + 14 ∙ 3 + 4 ∙ 4
38
= 
=
0 + 6 + 24 + 42 + 16
38
=
88
38
= 2,3 
A idade média das crianças atendidas nessa clínica é de 2,3 anos. 
 
 
A Moda é o valor que ocorre com mais frequência em um conjunto de dados, 
isto é, é aquele que mais se repete. 
Por exemplo: o produto mais vendido, a série de streaming mais assistida e o 
alimento mais pedido em uma lanchonete. 
A moda de uma série de dados é facilmente encontrada: é o valor que mais 
aparece. Uma distribuição pode ter nenhuma moda (amodal), uma moda (unimodal), 
duas modas (bimodal) ou mais modas (multimodal). 
 
Moda 
CURSOS DE ENGENHARIA 
LIVRO DE INTRODUÇÃO À ENGENHARIA 
AULA 11: NOÇÕES DE FILOSOFIA 
56 
 
Exemplos: 
Na série {6, 7, 9, 11, 11, 11, 12, 12} a moda é igual a 11. A distribuição é 
unimodal. 
A série {2, 5, 7, 11,12} não possui um número que apareça mais que os outros. 
A série é amodal. 
A série {2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9} apresenta duas modas: 4 e 7. A série 
é bimodal. 
 
Para dados agrupados em série estatística, a moda corresponde ao valor de 
maior frequência. 
Considere o exemplo: A tabela a seguir apresenta a série estatística dos 
manequins vendidos em uma loja: 
 
Qual é a moda? 
A moda nesse caso é 38, pois é o manequim com maior frequência. 
 
 
A mediana é o valor que divide um conjunto de dados ordenado ao meio, de 
tal forma a separá-los em dois subconjuntos contendo o mesmo número de 
elementos. 
Quando o número de elementos da série é ímpar, o elemento que contém a 
mediada é: 
e =
n + 1
2
 
Mediana 
CURSOS DE ENGENHARIA 
LIVRO DE INTRODUÇÃO À ENGENHARIA 
AULA 11: NOÇÕES DE FILOSOFIA 
57 
 
Considere o exemplo: Determine a mediana da seguinte série de valores não 
ordenados {7, 2, 8, 13, 11, 7, 15, 12, 1}. 
O primeiro passo é obter o rol, isto é, construir a série ordenada: 
{1, 2, 7, 7, 8, 11, 12, 13, 15} 
Como temos ao todo n = 9 valores, o elemento que contém a mediana é: 
e =
n + 1
2
=
9 + 1
2
=
10
2
= 5 
Ou seja, a mediana será o quinto valor da série ordenada, que é o número 8. 
Note que o número 8 divide a série em duas séries de mesmo comprimento (4 valores 
para esquerda e 4 valores para a direita). 
 
Quando o número de elementos da série for par, a mediana nunca coincidirá 
com um dos elementos da série. Neste caso, a mediana será sempre a média 
aritmética dos 2 elementos centrais da série. 
Os elementos centrais são obtidos como: 
e1 =
n
2
 e2 = e1 + 1 
Em seguida, é feita a média aritmética do dois valores. 
 
Considere o exemplo: Determine a mediana da seguinte série de valores não 
ordenados {1, 2, 0, 0, 2, 4, 4, 3, 6, 4, 5, 6}. 
O primeiro passo é obter o rol, isto é, construir a série ordenada: 
{0, 0, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 6} 
Como temos ao todo n = 12 valores, os elementos centrais são: 
e1 =
n
2
=
12
2
= 6 e2 = e1 + 1 = 6 + 1 = 7 
Ou seja, os elementos centrais são o sexto e o sétimo elemento, ou seja, os 
valores3 e 4. Fazendo a média aritmética desses valores centrais: 
3 + 4
2
=
7
2
= 3,5 
Logo, a mediana dessa série é 3,5. 
CURSOS DE ENGENHARIA 
LIVRO DE INTRODUÇÃO À ENGENHARIA 
AULA 11: NOÇÕES DE FILOSOFIA 
58 
 
Para dados agrupados em série estatística, o número de elementos é igual à 
soma das frequência. Dessa forma, o elemento central, que divide a série em duas, 
é obtido ao dividir a soma das frequências por 2. 
Podemos utilizar a frequência acumulada para determinar qual é o valor do 
elemento que está posicionado na metade da série e assim, obter a mediana. 
 
Considere o exemplo: A tabela a seguir apresenta a distribuição das avaliações 
(de 0 até 5) dadas pelos usuários de certo aplicativo. 
Avaliações Usuários 
0 2 
1 5 
2 8 
3 15 
4 5 
5 4 
Total 39 
 
Determine a mediana. 
O elemento desejado deve estar na posição 39/2 = 19,5. 
Obtendo agora a frequência acumulada: 
Dados Frequência Frequência Acumulada 
0 2 2 
1 5 7 
2 8 15 
3 15 30 
4 5 35 
5 4 39 
Total 39 - 
Como 19,5 está contido no intervalo entre 16 e 30, a mediana será o valor 3. 
 
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PARTE 2 – ESTATÍSTICA APLICADA 
AULA 4: MEDIDAS DE DISPERSÃO 
59 
 
AULA 4 MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 
Para analisarmos um fenômeno estatístico, não basta obtermos apenas 
medidas de posição ou gráficos estatísticos. Para uma análise mais profunda, 
devemos saber como esses dados estão distribuídos no todo. 
As medidas de dispersão, ou medidas de variabilidade, fornecem uma 
descrição de como os dados estão dispersos. Elas fornecem informações sobre a 
variabilidade dos dados, permitindo entender quão "espalhados" ou "concentrados" 
os valores estão em torno de uma medida central, como média, mediana ou moda. 
Por exemplo, observe as duas séries de dados a seguir: 
{20, 19, 21, 20, 20} e {20, 10, 30, 5, 35} 
Ambas possuem a mesma média de valor 20, porém é fácil perceber que o 
conjunto de valores são bastante diferentes: na série da esquerda, os valores estão 
muito mais concentrados em tordo da média (20), enquanto na série da direita os 
valores estão mais dispersos. 
As principais medidas de dispersão incluem a amplitude, a variância, o desvio 
padrão e o coeficiente de variação de Pearson. 
 
 
A amplitude é a diferença entre o maior valor e o menor valor de uma série 
de dados, ou seja, é a diferença entre os valores extremos de um conjunto de dados. 
A amplitude é a única medida de dispersão que não tem a média como ponto 
de referência. Ela é instável, pois só leva em consideração os valores extremos dos 
conjuntos de dados, descuidando do conjunto de valores intermediários, por isso é 
pouco utilizada. 
Uma de suas utilizações é quando queremos determinar a amplitude da 
temperatura em um dia, por exemplo, determinando a variação da temperatura 
(diferença entre a máxima e a mínima). 
O que são medidas de dispersão? 
Amplitude 
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60 
 
Considere o exemplo: Dada a série {2, 3, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 
21, 22, 23, 23, 23, 24, 25, 25, 27, 27, 48, 60 e 70}, calcule a amplitude. 
Observe que o maior valor da série é 70 e que o menor valor é 2. Portanto, a 
amplitude será: 
A = 70 – 2 = 68 
Assim, a amplitude dessa série de dados é 68. 
 
Considere o exemplo: A tabela a seguir apresenta a série estatística dos 
manequins vendidos em uma loja: 
 
Qual é a amplitude? 
Analisando a tabela temos que o maior valor da série é 44 e que o menor valor 
é 34. Portanto, a amplitude será: 
A = 44 – 34 = 10 
Assim, a amplitude dos manequins é 10. 
 
 
A variância mede o grau de variabilidade em torno da média. É a média 
aritmética dos quadrados dos desvios (cada valor menos a média). 
Diferente da amplitude que se deixa influenciar pelos extremos, a variância 
leva em consideração todos os valores da variável em estudo. 
 
 
Variância 
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61 
 
Para dados isolados, a variância é calculada como: 
s2 =
(x1 − X̅)2 + (x2 − X̅)2 + (x3 − X̅)2 + ⋯ + (xn − X̅)2
n
 
Para dados agrupados em séries estatísticas, a variância é calculada como: 
s2 =
(x1 − X̅)2 ∙ f1 + (x2 − X̅)2 ∙ f2 + (x3 − X̅)2 ∙ f3 + ⋯ + (xn − X̅)2 ∙ fn
n
 
 
Considere o exemplo: Calcule a variância do seguinte conjunto de valores: 
{148, 170, 155, 131} 
Em primeiro lugar devemos calcular a média: 
X̅ =
x1 + x2 + x3 + x4
4
=
148 + 170 + 155 + 131
4
=
604
4
= 151 
Em seguida, calculamos a variância: 
s2 =
(x1 − X̅)2 + (x2 − X̅)2 + (x3 − X̅)2 + (x4 − X̅)2
4
= 
=
(148 − 151)2 + (170 − 151)2 + (155 − 151)2 + (131 − 151)2
4
= 
=
(−3)2 + 192 + 42 + (−20)2
4
=
9 + 361 + 16 + 400
4
=
786
4
= 196,5 
Assim, a variância será igual a 196,5. 
 
Note que os valores -3, 19, 4 e -20 são os desvios em relação à média. Em 
seguida, calculamos a média aritmética dos quadrados dos desvios. 
Dessa forma, quanto maior forem os desvios, isto é, quanto maior for a 
diferença entre os valores e a média, maior será a variância. 
Observe que não importa se o desvio é negativo ou positivo. Como ele é 
elevado ao quadrado, a sua contribuição será sempre positiva. 
 
 
 
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Considere o exemplo: A tabela a seguir apresenta a série estatística dos 
manequins vendidos em uma loja: 
 
Qual é a variância? 
Em primeiro lugar devemos calcular a média: 
X̅ =
f1 ∙ x1 + f2 ∙ x2 + f3 ∙ x3 + f4 ∙ x4 + f5 ∙ x5 + f6 ∙ x6
𝑓1 + f2 + f3 + f4 + f5 + f6
= 
=
3 ∙ 34 + 9 ∙ 36 + 16 ∙ 38 + 6 ∙ 40 + 4 ∙ 42 + 1 ∙ 44
39
= 
=
102 + 324 + 608 + 240 + 168 + 44
39
=
1486
39
= 38,1 
Em seguida, calculamos a variância: 
s2 =
(x1 − X̅)2 ∙ f1 + (x2 − X̅)2 ∙ f2 + (x3 − X̅)2 ∙ f3 + (x4 − X̅)2 ∙ f4 + (x5 − X̅)2 ∙ f5 + (x6 − X̅)2 ∙ f6
n
= 
=
(34 − 38,1)2 ∙ 3 + (36 − 38,1)2 ∙ 9 + (38 − 38,1)2 ∙ 16 + (40 − 38,1)2 ∙ 6 + (42 − 38,1)2 ∙ 4 + (44 − 38,1)2 ∙ 1
39
= 
=
(−4,1)2 ∙ 3 + (−2,1)2 ∙ 9 + (−0,1)2 ∙ 16 + 1,92 ∙ 6 + 3,92 ∙ 4 + 5,92 ∙ 1
39
= 
=
16,81 ∙ 3 + 4,41 ∙ 9 + 0,01 ∙ 16 + 3,61 ∙ 6 + 15,21 ∙ 4 + 34,81 ∙ 1
39
= 
=
50,43 + 39,69 + 0,16 + 21,66 + 60,84 + 34,81
39
=
207,59
39
= 5,32 
Assim, a variância dos manequins é igual a 5,32. 
 
 
 
 
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O desvio padrão é a medida de dispersão mais empregada, pois leva em 
consideração a totalidade dos valores da variável em estudo e o seu resultado está 
na mesma unidade de medida da variável. 
A variância é uma medida do quadrado do mensurando. Por exemplo, se os 
dados estão em metros, então a variância estará em metro quadrado. 
Para que os dados de variabilidade tenham a mesma unidade de medida, 
precisamos calcular a raiz quadrada da variância. Essa medida de variabilidade é 
conhecida como desvio padrão. Note então que o desvio padrão terá a mesma 
unidade de medida dos dados analisados. 
O desvio padrão é calculado a partir da variância: 
s = √s2 
Logo, para calcular o desvio padrão é preciso adotar os seguintes passos: 
1. Calcular a média; 
2. Calcular a variância; 
3. Calcular o desvio padrão. 
 
Considere novamente o exemplo: Calcule o desvio padrão do seguinte conjunto 
de valores: 
{148, 170, 155, 131} 
Nós já calculamos a média, seguida da variância, que resultou em 196,5. Dessa 
forma, o desvio padrão será: 
s = √s2 = √196,5 = 14 
Portanto, o desvio padrão desses dados é 14. 
 
 
 
 
Desvio Padrão 
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Considere novamente o exemplo: A tabela a seguir apresenta a série estatística 
dos manequins vendidos em uma loja: 
 
Qual é o desvio padrão? 
Nós já calculamos a média, seguida da variância, que resultou em 5,32. Dessa