Lista 2 - Módulo 1 - Curso de Análise 1 (UnB) - Prof Celius

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ana´lise 1
Mo´dulo 1 Lista 2 1.o/2013
1) Fac¸a o que se pede nos itens a seguir, relativos ao uso do valor absoluto para descrever
subconjuntos da reta.
a) Descreva o conjunto A = {x ∈ R; a distaˆncia de x a 1 e´ menor ou igual a 4} usando o
valor absoluto.
b) Descreva o conjunto B = {x ∈ R; a distaˆncia de x a − 5 e´ menor do que 2} usando o
valor absoluto.
c) Em geral, dados r ∈ R e ǫ > 0, use o valor absoluto para descrever o conjunto
C = {x ∈ R; a distaˆncia de x a r e´ menor do que ǫ}.
d) Descreva o conjunto D = {x ∈ R; |3x+ 2| ≥ 4} sem usar o valor absoluto.
e) Descreva o conjunto E = {x ∈ R; |x− 2| < |x− 6|} sem usar o valor absoluto.
2) Na figura abaixo, o triaˆngulo ÂBC e´ retaˆngulo em C, e h e´ a altura desse triaˆngulo em
relac¸a˜o a` hipotenusa AB. Observe que os triaˆngulos ÂCD e B̂CD sa˜o tambe´m retaˆngulo
em D, e as medidas dos lados desses triaˆngulos esta˜o indicadas na figura.
A B
C
D
y x
h
b a
a) Use o fato de os triaˆngulos serem retaˆngulos para expressar h
em termos das medidas x e y.
b) Usando o item anterior e a desigualdade (x − y)2 ≥ 0, mostre
que h e´ menor ou igual a` metade da hipotenusa AB.
c) Conclua que a me´dia geome´trica
√
xy e´ menor ou igual a` media
aritme´tica desses dois nu´meros.
d) Determine condic¸o˜es para que as me´dias acima sejam iguais.
e) Interprete geometricamente a condic¸a˜o do item anterior.
3) Dada uma sequeˆncia (an) considere a sequeˆncia (Mn), em que Mn =
1
n
(a1+ a2+ · · ·+ an)
e´ a me´dia aritme´tica dos n primeiros termos de (an). Suponha agora que (an) convirja para
a, isto e´, que dado ǫ > 0, existe n0 ∈ N tal que |an − a| < ǫ para todo n > n0.
a) Justifique a afirmac¸a˜o de que a sequeˆncia (an − a) e´ limitada.
b) Expresse a diferenc¸a Mn − a em termos das diferenc¸as aj − a, com j = 1, 2, . . . , n.
c) Mostre que existe K > 0 tal que, se ǫ e n0 sa˜o os nu´meros indicados acima, enta˜o
|Mn − a| ≤ n0Kn + (n−n0)ǫn para todo n > n0.
d) Conclua que (Mn) tambe´m converge para a.
e) Verifique que, apesar da sequeˆncia an = 1+(−1)n na˜o convergir, a sequeˆncia das me´dia
(Mn) e´ convergente, e calcule o limn→∞Mn.
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4) O objetivo dessa questa˜o e´ mostrar que limn→∞(n!)
1
n =∞, isto e´, que dado M > 0, existe
n0 ∈ N tal que (n!) 1n > M para todo n > n0. Isso pode ser feito a partir das propriedades do
limite, da desigualdade de Bernoulli (1+ a)n ≥ 1+na, com a > 0 e n ∈ N, e da propriedade
arquimediana dos reais, isto e´, que se c > 0 e b ∈ R, existe n ∈ N tal que b < nc.
a) Use a definic¸a˜o e a propriedade arquimediana para mostrar
que limn→∞
1
1+na
= 0.
b) Notar que, se 0 < r < 1, enta˜o r = 1
1+a
para algum a > 0.
Use essa informac¸a˜o, o item anterior e o enunciado para
mostrar que limn→∞ r
n = 0.
c) Observe que, dado M > 0, M
n
n!
= M
1
M
2
· · · M
n
, onde M
n
pode
ser tornado pequeno. Use essa observac¸a˜o para obterK > 0
e 0 < r < 1 tais que M
n
n!
≤ Krn. Jacques Bernoulli(1654-1705)
d) Use os itens anteriores para concluir que existe n0 ∈ N tal que 0 < Mnn! < 1 ∀n > n0.
e) Conclua finalmente que limn→∞(n!)
1
n =∞.
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