Noções de Matemática - Volume 8

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MATEMATICA
z
Aref Antar Netc 
José Luiz Pereira Sampaic 
Nilton Laps 
Sidney Luiz Cavallantte
m
AOÇOES
DE
Jl.
VOLUME 8
Introdução ao Cálculo
Diferencial e Integral
E INTEGRAL
Noções de Matemática
VOLUME 8
INTRODUÇÃO AO 
CÁLCULO DIFERENCIAL
Aref Antar neto
José Luis Pereira Sampaio 
Nilton Lapa
Sídney Luiz Cavaílantte
148
84-2037
www.VestSeller.com.br
Capa:
Rafael Feitosa Parente
CIP - Brasil. Catalogação-na-Fonte.
Câmara Brasileira do Livro, SP
1. Análise matemática 2. Cálculo integral
3. Funções I. Antar Neto, Aref, 1949 - II. Série
-515 
-517.3 
-515.43
^Editora
17. CDD-517
18.
17.
18.
Introdução ao Cálculo Diferencial e integral I 
Aref Antar Neto.
(et al.) Fortaleza: Ed. Veslseller, 2010.
(Noções de matemática; v.8)
http://www.VestSeller.com.br
Índice
9Capitulo 1. Módulo de um número real 
.19Capitulo 2, Intervalos e vizinhanças, 
27Capítulo 3. Função 
..77Capítulo 4. Definição de limite de uma função 
Parte II 
Limites e Continuidade
Parte t
Conceitos Básicos sobre as Funções
2.1
2.2
2.3
2.4
4.1 — Idéia intuitiva de limite de uma função
4.2 — Definição formal de limite de uma função 
— Partes de Bi ‘ Intervalos ..........
— Vizinhança completa em R 
— Vizinhança reduzida em R 
— Vizinhanças do infinito 
 19
 21
 22
.23
1.1
1.2
1.3
1.4
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
— Definição de módulo de um número real 
— Interpretação geométrica .....
— Um resultado importante . 
— Propriedades do módulo
27
30
35
42
... 43
... 50
56
60
... 61
66
73
9
9
,...10
 ...11
...77
31
— Reiação e Função....................................................
— Função real ......................
— A Álgebra das funções
— Generalidades sobre funções elementares ..
— Algumas funções elementares
— Transformações no gráfico de uma função .....
— Outras funções elementares ..................
— A função exponencial..................... ......................
— Funções trigonomêtricas... ....................
3.10 — Função inversa . ........... .......................
Exercícios Suplementares .......................... .
97Capítulo 5. O conceito de função contínua
109Capítulo 6. Cálculo de limites
6.1
133Capitulo 7. limite e continuidade laterais
141Capítulo 8. Infinito
1488.4 — Limite de —— quando f(x) -♦ L*0 e g(x) -» 0
165Capitulo 9. Funções trigonométricas, exponenciais e logaritmicas
5.1 —Idéia intuitiva de continuidade
5.2 — Definição de função continua
7.1 — Exemplos iniciais.......................................
7.2 — Limites laterais...........................................
7.3 — Continuidade lateral...................................
7.4 — Função continua em um intervalo fechado
133
134
135
135
141
144
146
152
154
156
165
166
167
167
168
172
174
178
180
183
183
189
194
.97
98
—Substituição da função dada por uma função continua (Teorema 
da troca)...................................................................................109
6.2 —Propriedades dos limites............................................................111
6.3 — Propriedades das funções continuas......................................... 125
6.4 — Função composta......................................................................126
9.1 —Uma desigualdade importante...............................
9.2 — Continuidade da função seno.................................
9.3 — Continuidade das demais funções trigonométricas
9.4 — Teorema do confronto............................................
9.5 — Limite trigonométrico fundamental.........................
9.6 — Continuidade das funções exponenciais................
9.7 — Limites das funções exponenciais para................
9.8 — Continuidade das funções logaritmicas................
9.9 — Limites das funções logaritmicas para..................
9.10— Função de variável inteira......................................
9.11 — O número e..................................................... .......
9.12 — Logaritmo natural...................................................
Exercícios Suplementares.....................................
8.1 — Limites infinitos......................................
8.2 — Limites para x±co..............................
8.3 — Propriedades dos limites infinitos..........
_ . .. . f (x) ..............
A A I imifo Hca 1 L
W.~T ^11 I I ■ kV
g(x) ■
8.5 — Limites de polinômios para x -♦ +co......
8.6 — Limites da função racional para x -» +oo
8.7 — Limite de ^f(x) quando f(x) -» +oo......
201Capitulo 10. Derivados 
217Capítulo 11. Algumas regras de derivaçao 
243Capitulo 12. derivada de uma função composta
271Capítulo 13. Funções inversas e derivadas 
..,.279Capitulo 14 Algumas aplicações das derivadas
10.1 — Introdução .............................
10.2 —Reta tangente a uma curva ....... .......
10.3 — Reta tangente ao gráfica de uma função.
10.4 —Derivada de uma função em um ponto ....
10.5 —Continuidade e derivada . .
10 6—Função derivada ............ . ..........
10.7 —Notações ...............................................
14 1 —Regra de UHospital ...... .........
14.2 — Outras formas da regra de L Hospital
Parte III
Derivadas
...201
...201
...203
,...205
. .213
....215
216
..279
 ,286
.243
.243
.259
.260
,.261
,.262
.265
271
274
276
13.1 — Derivada de uma função inversa ...........
13.2 — Derivadas das funções trigonométrícas inversas. 
13.3 — Função potência de expoente racional
12.1 — Introdução .... ...................... .
12.2 — Regra da cadeia .
12.3 — Demonstração da regra da cadeia..,
12.4 — Função potência de expoente real 
12.5 — Derivada de f(x) = [g(x)]h<l°
12.6 — Derivação logaritirnica
12.7 — Derivação implícita
... 217
217
... 219
220
220
221
230
231
232
233
237
.237
240
240
... 241
11.1 — Função constante ....................... ....
11.2 — Função potência
11.3 —Função seno... .......... ........................
11.4 —Função cosseno
115 — Derivada de f(x) - k ■ g(x).............................................
116 — Derivada da soma.... .....................................................
11.7 — Derivada do produto
11.8 —Derivada do quociente..... ..............................................
11.9 — Função potência de expoente inteiro................. ..........
11.10 — Funções tangente, cotangente, secante ecossecante.
11.11 — Função exponencial......................................................
11.12 — Função logaritimo .................................................
11.13 —Tabela de derivadas................. ............... ....................
11.14 — Derivadas de um determinante.....................................
11.15— Derivadas sucessivas....................................................
a
, .299Capitulo 15. Variação das Funções . 
.339Capítulo 16. Noções de cálculo integral... 
357Capítulo 17, Técnicas de integração....
370
....375Capitulo 18. Noções de cálculo integral
Parte IV
Integração: noções básicas
..........375
376
379
330
382
3S5
336
357
357
359
...339
...339
...350
...353
18.1 — Definição 
16.2 —Teorema fundamental do cálculo..
18.3 — A integral definida e a área 
18.4 — A integral definida e a somatória...
18.5 — Aplicação à Geometria: volume ....
15.6 —Aplicação ã Física: trabalho.......... .
Exercicios Suplementares
16.1 “ Introdução
16.2 — O cálculo de áreas - Funções primitivas 
16.3 — A integrai indefinida
16.4 — Propriedades da integral indefinida..,
Exercícios de Vestibulares 
Respostas dos exercícios propostos
Respostas dos exercícios suplementares...
Respostas dos exercicios de vestibulares..
 389
.411
 .445
 .452
17.1 — Introdução ,...*........................ ........ . .................
17.2 — Técnica I: Integração por substituição
17.3 —Técnica II; Jf(ax + b)dx (a * 0)...............................................
17.4 —Técnica lll: Integração por partes. Integrais da forma
15.1 — Introdução. ..... ................................................ 299
15.2 —Teorema de Weierstrass 299
15 3 “Teorema de Fermat 3C1
15.4 —Teorema de Rolle ..................................................-303
15.5 Teorema de vaiar médio ......................3C4
15.6 — Derivadas e crescimento das funções 307
1 5.7 — Pesquisa de máximos e mínimos - Aplicação aos gráficos ..311
15.8 — Pesquisa de máximos e mínimos - Uso da derivada 321
15.9 — Máximos e mínimos: algumas aplicações 325
15.10—Demonstração da regra de L’Hospital .............................. 333
Exercicios Suplementares ........................................................336
outros casos de
289
293
297
14.3 — Aplicação da regra de LHospital
indeterminação........................ ..................
14.4 — Velocidade e aceleração..........................
14.5 —Taxa de variação .................
PARTE I
Módulo de um número realCapítulo 1 -
Capítulo 2 -
Capítulo 3 -
Intervalos e vizinhanças
Função
Capítulo
Módulo de um número real1
1.1 - DEFINIÇÃO DE MÓDULO DE UM NÚMERO REAL
lxl =
-X .
Vx,xeR:| xj > 0
Finalmente, para todo número real x, tem-se
]-x|=|x(
1.2 - INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
A(X) B(y)
x < y
y-x
Observe que para todo número real x tem-se B(y) A(x)
x > y
I x| = |x-0| x-y
9
Exemplos
a) O módulo do número real 5 é 5, isto é, | 5 | =5
b) O módulo do número real zero é zero, isto é, ] 0 | =0
c) O módulo do número real -5 é 5, isto é, | - 5 | = -(-5) = 5
Para todo número real x, o módulo ou valor absoluto de x, que se indica por | x |, 
é definido por
x, se x > 0 
-x, se x<0
Observe que, se x é positivo ou nulo, seu módulo é o próprio x; se x é negativo, o 
módulo é obtido trocando-se o sinal de x. Também note que, se x = 0, é indiferente 
dizer-se | x | = x ou | x | =
Da definição resulta que o número | x | é não-negativo e que a igualdade | x | = x 
dá-se quando, e somente quando, x= 0; então
Sobre um eixo, consideremos os pontos 
respectivamente. A Distância entre os pontos 
e y, é, por definição
d(x, y) = | x - y | ■
A noção de módulo acarreta naturalmente o conceito de distância.
A e B, de abscissas x e y, 
A e B, ou entre os números reais x
Exemplos
OB A
-4 -3 -2 -1
3 3
i ■
1.3 - UNI RESULTADO IMPORTANTE
x* = J(-3)2 = 79 = 3 * x
Propriedade
Para todo número x tem-se
Demonstração
SÊXÍ 0
e dai podemos escrever que
xs =
10
Na figura ao lado, o número real 3 está 
associado ao ponto A; o módulo de 3 ê 
a distância entre A e O O número real 
- 3 está associado an ponto R: o mó­
dulo de — 3 é a distância entre
O leilor deve estar atento para o erro que se comete quando se escreve 
essa igualdade é correta quando x é não-negativc e é falsa quando x é negativo; 
por exemplo, se x = - 3, tem-se
x, se
“X, se
2 3 4
Note inicialmente que x1 = (— x)1 e, então, x e —x são raizes quadradas de x1 e se 
xí 0,o número x é a raiz quadrada não-negativa de xs e se x £ 0, o número - x é 
a raiz quadrada não-negativa de x2
Como 7xz é 3 raiz quadrada não-negativa de x2, tem-se
Um número real x, não-negativo, admite uma única raiz quadrada não-negativa, 
que se indica por <X.
Por exemplo, o número S possui duas raízes quadradas: 3 e -3; número 3 é a 
raiz quadrada não-negativa de 9 e escrevemos
7ã = 3
Vxz = x, se x £ 0 
7x7 = - x,
2 x = x;
Essa igualdade significa que o módulo de x é a distância de x ao número zero, ou, 
que é a distância do ponto A, de abscissa x, à origem de O.
x-°l-lxl
xêOJ 11
0 1
-
1.4-PROPRIEDADES DO MÓDULO
Propriedade 1
Para todo número real x, tem-se
Demonstração
Se x £ 0 tem-se
- X £ X á X
e, coma | x | = x, podemos escrever
-|x|£x£|x|
Se x £ 0 tem-se
x < x < - x
e, como | x | = - x. podemos escrever
-|x|íxí[x|
□ que completa a demonstração.
Propriedade 2
Sexey sao números reais, tem-se
W=lx|W
Demonstração
|x-y|-V(x-y)’ = Jx! y!
X
y
11
.Is
|y
Uma consequência imediata da Propriedade 2 é que, sendo x e y reais e y 0 , 
tem-se
X 
y
x
De fato, fazendo — = af temos 
y
■| y I-l a[-| y I [a-y I = ~y =lxl
donde resulta a tese.
Propriedade 3
Se x e a sáo números reais e a > 0, tem-se
Demonstração
1“ parte
2J parte
a. conclui-se que
a a
0-a
Propriedade 4
Se x e a sao números reais e a > 0, tem-se
Demonstração
a
Como | x | = a o (x = a ou x = - a), 
podemos escrever | x| £ a & -a S xí a.
Veja o exercício 1.15- 
12
Hipótese: | x | < a 
Tese — a < x < a
Hipótese -a < x < a 
Tese: |x|< a
| x| <ac-a < x< a
Inicialmente, sexí 0 tem-se | x j = x. E, como por hipótese x < 
| x | < a.
Se, agora, xí 0, tem-se | x | = - x, E, como por hipótese x > - a, conclui-se que 
- x < a e daí | x | < a.
Observe que a Propriedade 3 
estabeiece que | x j < a se e somente se 
x estiver a uma distância menor do que 
a, do número zero.
Inicialmente, consideremos xiO; então | x | = x e, da hipótese, podemos concluir 
que x < a. Como a > 0, tem-se - a < x e daí - a < x < a.
Agora, se x s 0, temos | x | = - x e, da hipótese — x < a; então, x > — a, Como a > , 
a > x, tem-se - a < x < a, o que completa a demonstração.
|x|>a<=>(x«-aoux>a)
t i ... I 1 I 1E claro, também, que; —; = p-?.
I x | x
Propriedade 5 - DESIGUALDADE TRIANGULAR
Quaisquer que sejam cs números reais xey, tem-se
fx+y|£|x|+|y]
Demonstração
A Propriedade 1 permite-nos escrever
Somando membro a membro as desigualdades acima, temos
-(I x| + |y |)í x + y<(|x| + |y |)
e, daí, usando a Propriedade 3, temos a tese
Ix + y|s|x| + |yj
Exercidos resolvidos
1,1) Resolva a equaçao na incógnita x: | x - 3 | =4.
Solução
S - { 7; - 1}
4 4
i ■
T T T
70 3
1,2) Resolva a inequação na incógnita x: | x — 3 | < 4.
Solução
A Propriedade 3 permite-nos escrever
-4 < x-3 <4
e, da i
- 1 < x < 7
13
-jx|íxí|x|
-|y^y£|yj
Hã dois números reais cujo módulo é 4: 4 e - 4. Então, x-3 = 4oux — 3 = - 4. 
Resolvendo as equações acima temos x = 7oux = — 1.
Então
Observe que as soluçoes da equação são tocos os x que estão à distância 4 do 
número 3
Então
S = {x
7-1 0 3
1.3) Se x — 3, simplifique a expressão
Solução
Podemos escrever sucessivamenie
Segue-se que
y = 3- x+(-3-x) = -2x
Finalmente. y = - 2x.
1.4) Sejam os números reais a e b, se a í b, definem-se
mín {a; b) =
14
Observe que as scluçoes da inequaçâo são todos os x cujas distâncias ao número 
3 são menores do que 4
máx {a: b} = b 
min {ai b) = a
V = J(3-x)2 +J(3 + x)’ 
y = | 3-x| + | 3 + x|
y = /9-6x + xJ + ^9 + 6x + X*
Como x < “ 3, temos 3 — x > 0 e então ]3-x| = 3“X;e3 + x<0e então 
|3 + X| = — (3 + X) = -3-x
Assim, máx {— 1; 3} — 3, máx { 3; 3} = 3, min {- 4; -1} = -4 e min {3; 3} - 3. 
Verifique que
e IR | - 1 < x < 7}
a + b+|b - a| 
máx {a; b) "------- --------
a + b-lb-a|
" :2
Solução
Sé b > a, temos máx {a; b] = b, min {a; b} -a e | b-a | = b-a; então
Se bí a, temos máx {a; b) = a, min{a: b}= b e | b - a | = - (b - a) = a - b; então
1.5) se x e y são números reais, demonstre que
Solução
a) Observe que podemos escrever
|5(_y| = |)(+{_y)|
Então, a desigualdade triangular dá-nos
I x-y l = | x + (- y)t s | x | I-y I
E. como | - y | = | y |, vem a tese
I*-YI * I*l*lV I
b) Observe que podemos escrever
|x|-|(x-y) + y|
Então, a desigualdade triangular dá-nos
|x|-|(x-y) + yl£|x —y| + |y]
Daí, | x | £ | x-yl + lyl.e, finaliriente a tese
MHy|<
15
a) |x-y|í|x|*|y[
b) |x|-]y|£|x-y| 
c> I I x[-| y || < | x-y 1
a + b +1b
2“ 2
a + b-|b-a| a + b-(b-a)
2 ” 2
-a| a + b + fb-a)
x-y|
a 4 b + (a - b)
2
-a] a +b-(a-b)
2
a + b + |b — a |
2 
a-í-b-|b
2
2b
— = b s máx {a; b}
2a , . , ,— - a - min {a; b}
2a r— = a = máx {a; b]
2b
- — b = min {a; b}
c) A propriedade anterior permite-nos escrever
e dai
(1J
Então, (1) e (b) dao-nos
-|x-y|£|x|-|y|<|x-y|
e, da Propriedade 3
11 x l-1 y 11f I x-y |
1,6) Demonstre que, se | x — xc |
Solução
Aplicando a desigualdade triangular, temos
1.7) Determine o menor valor de M, M 0, para que se tenha
Para todo x, tal que 2íxí7,
Solução
2 <x<7 - | x p 2 =■
1
Como para x = 2 tem se a
x
- áM' não seria satisfeita para todo x, tal que 2 £ x < 7. Logo,desigualdade
16
1
x
j
x
|y|-|x[<|x-yf
| x|-|y||x-y|
2
2 ’
1
” 2’
K< —
2
|(x+y)_(x0+y0)|<s
|y|-|x]<|y-x
í- = M 
2
M = — ê o menor valor.
2
£ £I (X + y) - (x0 + y0) I = I (X - XQ) + (y - yQ)| s | X - x01 + I y - y01 < - + - c
e |y-yaíentão
dado qualquer outroM', 0 < M* <
1
X
Solução
Coito a < b < c, tem-se
Exercícios Propostos
1.10} Determine x para que se tenha v'x? - 5x - 6 = xJ - 5x + 6.
= 1
17
x
d(a, b) = | a - b | = — (a — b) = b - a, pais b > a, por hipótese 
d(a, c) = I a - c ] = - (a - c) = c ~ a. pois c > a, por hipótese
1.12) Resolva as equações na incógnita x:
a) | x - 3 1 = 3
b) |x-4|-|x + 2| = 0
c) | x — 1 1 ■ I x + 2 I = 4 
dl I 6X-7 I I 3 + 2x| 
e) | 9x | - 11 ~ X
1.14) Verifique que. quaisquer que sejam os números reais x e y, distintos e não 
nulos, tem-se
2) c — b > c - a > 0 
| c-b|>|c —a| 
d(b, c) > d(a, c)
1) c — a > b — a > 0 
| c- a | > | b- a | 
d(a. c) > d(a, b)
>y t 
xy x-y
y
y
c) x = k5 d)x = -k2
1.11) Considere a expressão Y=
Quais são as diferentes formas que ela pode assumir, segundo os valores 
de x?
1.13) Resolva as inequaçoes na incógnita x:
a) |2x-3|<l
b) [ 2x-4 | i 8
c) jx + 3 | < [x-8 j
1,8) Mostre que se a, b e c são números reais tais que a<b<c, então 
d(a, b)<d(a, c) eque d(b,c)<d(a, c).
1.9) Determine ] x | se:
a) x = 4 b) x = 42 - V3
1.15) Se x e a sao números reais e a
X > a)
a)
t» ]x"|-|x|'
| a, + a; + a3 + an | £ | a, |
1.1B) Demonstre que se |x-xn|
2
1.19) Verifique que | x | = máx {x; - x}.
1 20) Use a desigualdade triangular para determinar um valor de IV tal que
para todo x tal que - 2 < x < 3
49 | a-b |.
18
1.17) Use o método da indução matemática (volume 2 desta coleção) para 
demonstrar que, ai, aj, as an n e N* tem-se
1.21) Seja f a função de 3 em 3 tal que f(x) = 4x3-x - 1.
Calcule em função de a e b, a / b, o quociente
£
2
f(a)-fíb) 
a-b
| x3 - 2x +11 £ M
+1 I
e |y-y0! < 4 então
> 0, demonstre que:
□ eduza que, se | a | < 2 e | b | < 2, tem-se | f(a) - f(b) | <
+ | a31 + ... + | a„ j
|(x-y)-(xc -yD)| £C
|x|>ao(x<-a ou
1.16] Se x e y sae números reais, demonstre que: 
-! ~■com y -0 
y| |y|
I" , n e N*
Capítulo
Intervalos e vizinhanças2
2.1 - PARTES DE R: INTERVALOS
[a; b]
ba
[a;b[
Por exemplo
a
19
-e- 
b
Por exemplo: [2; 6] = {x e R | 2 £ x £ 6}.
Observe que o intervalo fechado [2; 6] não é o conjunto {2; 6}; por definição, os 
elementos do intervalo [2; 6] são todos os números reais "entre" 2 e 6, incluídos 
também 2 e 6, enquanto que {2; 6} possui somente dois elementos: 2 e 6.
Geometricamente, o intervalo fechado 
de origem a e de extremidade b é 
representado pelo diagrama
2o) Em R, chama-se intervalo semi-aberto à direita de origem a e de 
extremidade b à parte de R constituída dos elementos x, tais que a £ x < b; para 
representa-lo usamos a notação
Geometricamente, esse intervalo [a; b[ 
é representado pelo diagrama
Sejam a e b números reais tais que a < b.
1o) Em R, chama-se intervalo fechado de origem a e de extremidade b á parte 
de R constituída dos elementos x, tais que a £ x < b; para representá-lo usamos a 
notação
[2; 4[ = {x e R | 2 £ x < 4}.
|a b]
Por exemplo
] - 1; 1] = { X É i?. H 1 < X < 1}
]a: b(
] 0; 4 [ iu { ü; 4} = [ Ü; 4]
ba
a]
20
3o) em chama-se intervala semi-aberto à esquerda de erigem 
extremidade b à parte de R constituída dos elementos x, tais que a < x < b; para 
representá-lo usamos a notação
Por exemplo: ]□; 4[ = { x e R | 0 < X < 4}.
Observe que o intervalo ]0; 4[ e □ conjunto {0; 4} não possuem qualquer elemento 
comum e que
Geometricamente, o intervalo ]a: b[ 
ê representado pelo diagrama
Geometricamente, o intervala ]a; b] 
é representado pela diagrama
5o) seja a um número real.
Em R, o conjunto dos elementos x tais que xí a chama-se intervalo fechado 
ilimitado à esquerda e de extremidade a; para representá-lo usamos a notação:
-3 
b
]-«i
4o] Em R, chama-se intervalo aberto de origem a e de extremidade b à parte de 
R constituída dos elementos x, tais que a < x < b; para representá-lo usamos a 
notação
O conjunta dos elementos x, tais que x < a, chama-se intervalo aberto ilimitado ã 
esquerda e de extremidade a; para representá-lo usamos a notação:
a e de
] - « ; a [
Geometricamente, os intervalos acima são representados respectiva mente par
]-;a]
a
]-~;a[ *■
a
[a;+“]
a
]a;+-]
] — <k ; + w [
2.2 - VIZINHANÇA COMPLETA FM R
Seja x0 um número real.
Em R, chama-se vizinhança completa de «o a um intervalo aberto l. tal que Xo e I,
Uma vizinhança completa de x0 ê indicada por V (x0).
Por intervalo abertoo
4 5
21
1
2
Analogamente, o conjunto dos elementos x, tais que x > a, chama-se intervalo 
fechado ilimitado à direita e de origem a. para representã-lci. usamos a notação:
E. o conjunto dos elementos x, tais que x > a. chama-se intervalo aberto ilimitado 
ã direita e de origem a: para representá-lo. usamos a notação:
[ a; + c*
a
Enfim, consideramos R como um intervalo aberto ilimitado nos dois sentidos, 
indicados por
exemplo.
1 r
— ; 5|_ ê uma vizinhança completa 
do número 4, pois 4 e I
Observe que sendo a < b, o intervalo ]a: b[ é uma vizinhança completa do xc se e 
somente se x0 <= ]a; b[, isto é, a < Xo < b.
] a; + «[
x0-S xo
XQ-fi<X<X0 + â
ou
-S<X-*O<Ò
□u ainda
| x - xo | < S
ou também
d ( x; xo) < 5
a
x0 - 6
V(x0; Ô) c V(xq)
31
2.3 - VIZINHANÇA REDUZIDA EM 51
V-(Xo) = V(xQ) - {x0}
denomina-se vizinhança reduzida do x0.
22
x0 + 6
b
■E—
Indica-se por V(xD; Ô)
Observe que sexe V(Xq S) temos
Seja xo em número real.
Se V(Xn), em R. é uma vizinhança completa de xD, a parte de 12
----- -—4------ 
Xo Xo + Ô
4
-n-
2
Note que para construirmos uma tal vizinhança simétrica basta tomarmos
5 < min { xo - a; b- xo}.
Por exemplo, seja a vizinhança completa V(3J = ]1; 4[ dc número 3. Se tornarmos 
8 £ min {3-1 4- 3) = min {2; 1) = 1, 
toda vizinhança si-métríca V(3; 6) é tal 
que V(3; 5) c V(3); para 5=1. temos a 
vizinhança V(3; 1). V<3; i>
Em 12. chama-se vizinhança completa 
simétrica de Xo de raio 8, 8 e 12’ , ao 
intervalo aberto ]xo — 8; Xo +
É importante observar que se 
V(x0) = ]a;b[ é uma vizinhança com­
pleta de xo, há uma vizinhança com­
pleta simétrica de x0, V(Xo; ò) tal que
V4 (Xo ; = (Xo , B) - {x0}
denomina-se vizinhança reduzida de x0 de raio B.
V (xc , B) temos
Xo - rt < x < Xo + íi e X? Xo
2.4-VIZINHANÇAS DO INFINITO
K, chama-se vizinhança à esquerda do
V(- «)
V(*) C.[a; b]
ba
V (-)
23
ou
ou ainda
ou também
Se a e b são números reais tais que a < b, o complementar em _t, do intervalo 
fechado [a, b] denomina-se vizinhança do infinito; indica-se com V(as)
“Ó<x-Xo<Be x^xo 
0 < I x - xn | < ê> 
0 < d(x; xD) < ó
a
Observe que para obtermos V*(xc) 'retiramos" o ponto x0 da vizinhança completa 
V(Xú).
Analogamente, se V*(xD; h) é uma vizinhança completa simétrica de x0 , a parte de 
R
Observe que se x e
•□o; - a[. a e R, chama-se vizinhança ã
Todo intervalo de tipo ]a; + «[, a s 
infinito; indica-se por V( + jq).
Analoqicarnente, todo intervalo do tipo j— 
direita do infinito; indica-se por V ( - «).
V (+<»}
Exercícios Resolvidos
2.1) Sendo A ~ [2; 5) e B = ]3; 7[, determine:
d) CfiAa)AuB b)AnB c) A - B
Solução
0 1 8 92 3 4 5 6 7
> >
* ’ ■
4-
44
2.2) Resolva as inequações
a) | x-2 | à 1 b) | x-xD | < S, S > 0
utilizando na resposta a notaçao para intervalos.
Solução
b) A Propriedade 3 permite-nos escrever
- 6 < x - xc < 6
e dai
Xq-B<X<Xo+5
então
S = l xD - fi; x0 + S[
24
a) A B = [2: 7[ = (x e R | 2 í x < 7}
b) AnB = ]3; 5] = (x 6 K | 3
C} A - B = [2; 3] = {x e Lí | 2 É x í 3}
d) C,A = ] - w; 2[ u ] 5; + «( = {x e K | x < 2 ou x > 5}
<■
ê
a) A Propriedade 4 do capitulo 1 permite-nos escrever 
x-2s-1oux-2>1
A
B
AU B
AP B
A- 9
CAUIR
< x £ 5}
e dai
x < 1 ou x£ 3
3 = ] —ao ; 1]u [3; + co[
Solução
ri < min
Em particular, para fi = 1 a vizinhança é V(2; 1).
2
V(2: n
Solução
Qualquer ponto a, 1 < a
1
-6
Solução
25
7
i
A observação do item 2.2 permite-nos escrever que o raio ri da vizinhança 
desejada satisfaz a condição
Sejam V(xc, 61) e V(xo; 5?) duas vizinhanças completas simétricas de xo, com 
raios 5i e fo, respectiva mente; então:
V{x0; íi) = Jxo-riu xo + 
V(xo; Ô;)= ]x0 - rij; xo +
2.5) Seja x0 um número real Prove que a interseção de duas vizinhanças comple­
tas simétricas de xa, em R. s também uma vizinhança completa simétrica 
de xo.
1 
-a-
3 
■+
: 2
a + S
t 
õ
V(0; fi) 
í 0
< 2, possui vizinhança contida em S
; a 
a - â
Assim, por exemplo, se a = 1,99, uma vizinhança de a contida em S é:
V(1.99; 0,005) = J1.985; 1,995(
Há outras vizinhanças possíveis: basta escolher um raio fi < 0.01.
Como mostra a figura, o número zero não possui vizinhança contida em S; além 
disso, os números 1 e 2 náo possuem vizinhança contida em S,
V(a: ô) 
r*—*1
2.4) Seja S = {xéü|x = Cou1 £ x < 2 }: quais pontos de S possuem ao menos 
uma vizinhança completa simétrica contida em S?
r 31
min 11;— = 1
2.3) Seja v(2) = 1 ; uma vizinhança completa do número 2. Determine uma 
vizinhança completa simétrica do número 2, V(2: ri), tal que V(2: ri) c V(2)
2-1; —-2>»
2 I
Se Ô = min {81; Sj}, tem-se
V(xC1 Si) mV(x0; S?) = 5)
Exercícios Propostos
2,6) Se A = [ - 3.1 [, B = ( - 1; 2[ e C =
b) (A - B) u C c) (A B) - C d) B nCa) AnB nC
b) < a
utilizando na resposta a notaçao para inlervaíos.
uma vizinhança completa do número zero, Determine a
26
V(x0; fii) n V(x0; j>?) = ]xQ - Si; x0 i- ôi [ m ] x0 - 82; x5 + 82 l = )xo - õ, x0 + 8[
Daí, podemos concluir que V(xo, 81) n V(ko; 82) é uma vizinhança completa 
simétrica de Xo com raio 8.
2.8) Resolva as inequações
a) [*J“1 1< —2
1
1 + x1
2.9) Seja V(0) = ~;2
vizinhança completa simétrica do número zero, V(0; 8) de maror raio, tal que V 
(0; 8) c V(0).
2.10) Seja A-{xeR*|-1 íxí 1). Quais pontos de A possuem ao menos uma 
vizinhança completa contida em A? Há algum ponto que não pertence a A 
que possui uma vizinhança reduzida contida em A?
1 o-5F d ♦ |-2j“ , determine:
J '1.
2.7) Determine:
a) ] 1; 3[m[2: 5]
b) ) 1, 3[ [2; 5]
c) ] 1; 3[^{1; 3}
d) ]1;3[u{1;3} 
e}]-«; 10(w{10} 
f)([1;2]m[2; 3]) x {a; b}
Capítulo
Função3
3.1 - RELAÇÃO E FUNÇÃO
Par ordenado
(a; b) = (c; d) o [a = c e b = d]
Produto cartesiano
A ■ B = {(x, y) | x e A e y e B}
Nota: Se A = 0 ou B = 0, completa-se a definição com
Exemplo
Dados os conjuntos A = {2, 4, 6} e B = {1, 5}, temos
A x B = {(2; 1), (2; 5). (4; 1), (4; 5), (6; 1). (6; 5)}
Relação
27
Sejam os conjuntos A e B. Uma relação R, de A em B, é qualquer subconjunto 
de Ax B.
Dados os números a e b, podemos formar com eles um par ordenado, indicado 
por (a; b).
A noçãc de par ordenado é um conceito primitivo. Em um par ordenado, a ordem é 
essencial. Assim, o par (1; 3) é distinto do par (3; 1). Além disso
Recordemos, de forma resumida, o conceito de relação entre dois conjuntos, 
assunto tratado com detalhes no volume 1 desta coleção.
Consideremos dois conjuntos não vazios A e B. O conjunto de todos os pares 
ordenados (x, y) com x e Aey é B, chama-se produto cartesiano de A por B e se 
indica Ax B
A x B = 0
Exemplo
Correspondência entre dois conjuntos
Exemplos
A B—- 1
B
-
28
2a correspondência
(relação R2)
1a correspondência
(relação Rí)
-7
9 >
1 —2 —Y
3<L_
4-Z_
1 "x
2- —
3— }
4 "V
1
------ -3
- 5
7
e R3
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 3, 5, 7. 9}, podemos definir várias 
correspondências entre eles. Usando diagramas de flechas, temos, por exemplo
Uma relação de A em B estabelece uma correspondência entre dois conjuntos, 
significando isto que aos elementos de A ficam associados elementos de B, por 
meio da relação.
As relações podem ser representadas por diagramas de flechas, onde as flechas 
ligam os elementos que compõem cada par ordenado. As relações R,. R2 
do exemplo anterior apresentam os seguintes diagramas de flechas:
/ 3
r~5
Consideremos os conjuntos do exemplo anterior. Os subconjuntos de A > B 
Ri={(2; 1), (2;5), (6; 1)}
Eb = {(2; 5), (6;5))
Ka = {(4; 1)}
= 0
R5 = A x B
são relações de A em B.
B
A
- 1
>
■>
9
Conceito de função
Definição
(x; y) e f
y= f(x)} |
29
3° correspondência
(relação ü?j)
1 -
2
3-
4
Sejam A e B conjuntos diferentes do conjunto vazio, cujos elementos são 
números.
Uma função f, de A em B, é uma correspondência que associa a cada elemento 
de A um único elemento em B.
De uma forma mais precisa, função é um tipo especial de relação, de acordo com a 
definição seguinte.
O conjunto A denomina-se domínio de f e pode ser indicado com a notação D(f). 
Quando uma função tem domínio A, diz-se que ela está definida em A.
O conjunto B denomina-se contradomínio de f e pode ser indicado com a notação 
CD(f).
Se x é um elemento qualquer de A, então o único y de B associado axé 
denominado imagem de x pela função f ou valor da função f em x e será 
indicado com a notação f(x), (lê-se "f de x")
y = f(x)
O conjunto de todos os elementos de B que são imagem de algum elemento de A 
denomina-se conjunto-imagem de f, e pode ser indicado com a notação l(f)
--- ------------ ------- ----------------- *---------------------------------------------------------------- --- - ---------- --- —t—
Sejam os conjuntos A e B, não vazios e seja f uma relação de A em B. Diz-se que 
f é uma função de A em B se, e somente se, para todo x, em A, existir em 
correspondência um e um só y em B, tal que
------- 3
5
-------7
l(f) = {y e B [ 3x, x e A e
Na 2a correspondência há elementos de A que correspondem a mais de um 
elemento de B. De fato, ao elemento 1 e A estão associados 1 e 3 em B. 
Também, a partir de 3 e A, obtemos 5 e 7 em B.
Na 3a correspondência, isto não acontece, mas, por outro lado, temos um 
elemento, 4 e A, que não possui correspondente em B.
Na 1a correspondência, todos os elementos de A possuem correspondente único 
em B. Esse tipo de correspondência dá origem ao conceito de função, que 
recordaremos a seguir.
1 -
2-
3
Kn c cd(í)
3.2-FUNÇÃO REAL
f(3)=32 =9
30
é uma função real.
Observe que a imagem de qualquer elemento x do domínio R é obtida elevando-se 
ao quadrado o número x; assim, se quisermos a imagem do número 3
D(f) = A = {1. 2. 3} 
CD(f) = B = {0. 1.2, 3} 
l(f) = {0; 1}
Em nosso trabalho, têm interesse as funções nas quais os elementos do domínio e 
do contradominio são números reais. Uma tal função denomina-se função real de 
variável real ou simplesmente função real.
Por exemplo, a função f de R em R, para a qual
f(x) = x2
Exemplo
Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3) e a função f, de A em B, definida 
pelo "diagrama de flechas" abaixo
No exemplo acima temos: f(1) = 0, f(2) = 1, f(3) = 1.
Observe também que:
De uma outra forma, para obtermos a imagem do número 3, f(3), na fórmula 
f(x) = x2, substituímos a letra x pelo número 3 e efetuamos as operações indicadas. 
Vimos que, para se definir uma função f, dão-se dois conjuntos, o seu domínio e o 
seu contradominio e, ainda, uma lei (uma fórmula, uma sentença) que descreve 
como se "associa" a cada elemento do domínio um único elemento no 
contradominio.
Na prática, entretanto, tratando-se de função real, é comum omitir-se o domínio e o 
contradominio, dando-se somente a "fórmula" que estabelece a correspondência 
entre x e f(x). Quando isto acontecer, está convencionado o seguinte
1o) o contradominio da função f é CD(f) = R
2o) o domínio da função f, D(f), é o subconjunto de R, constituído por todos os 
valores de x para os quais as operações indicadas na "fórmula" são possíveis, 
gerando como resultado um número real.
Exemplos
1 °) A função f definida pela fórmula
f(x) = X —1
D(f) = [1; + «[
e
CD(f) = R
2o) Para a função definida por
o domínio é constituído pelos números reais x tais que x - 1 0, isto é
D(f) = R-{1}
e
CD(f) = R
Gráfico de uma função real
y (r)
l(0
G
f(x) fx; f(x))
x x
A
,y
i(f) ÍG
7T
xD(f)
31
tem para domínio o subconjunto de R, constituído por todos os valores de x para 
os quais x - 1 i 0, isto é, x a 1; então
1°) Toda reta (r), vertical, que passa por um ponto 
de A = D(f), encontra o gráfico G em um único 
ponto, o que nos dá um critério para decidirmos se 
uma figura do plano cartesiano pode ser gráfico de 
uma função.
2o) Quando se conhece o gráfico Gde uma função 
f, o seu domínio pode ser obtido projetando-se G 
sobre Ox, na direção Oy; o conjunto-imagem de f 
pode ser obtido projetando-se G sobre Oy, na 
direção Ox.
Seja f uma função real, de A em B Fixado um 
sistema de coordenadas ortogonais xOy, o 
conjunto G da totalidade dos pontos (x; f(x)), com x 
em A, ê o gráfico de f.
Observe o seguinte:
Exercícios Resolvidos
3,1) Seja a função f, de iít, em R, para a qual
f{x) = - 2
g(x) =
Determine: g(0), g(2), g(3) e g(2t)
2, tem para imaqem g(x) = 2; entãoE para todo x real, tal que x
g(3) = 2
Para o cálculo de g(2t), devermos fazer duas hipóteses.
1a) Se 2t £ 2, tem-se
g(2t) = (2t) + 2 2t + 2
2a) Se 2t > 2, tem-se
9(20 = 2
Então, se t £ 1, tem-se g(2t) = 2t + 2 e. se t > 1, tem-se g[2t) = 2,
3-3) Dê o dominio da função f definida pela 'fórmula"
32
Solução
Temos, então
3,2) Seja a função g, de R em R para a qual
x + 2, se x £ 2
2, se x > 2
Solução
Observe que todo x real, tal que x £ 2, tem para imagem g{x) = x + 2, então
g(0) = (0) * 2 - 2
g(2) = (2) + 2 = 4
Calcule f(0). f(2) e com a * 0 e fff(a)]
Yl-x
f(0) = (O)2 -2=0-2=-2
f(2) = (2)2 - 2 = 4- 2 = 2
fp)=p)’.2.±_2.k^ 
taj VaJ a az
f[f(a)J = [f(a)]2 - 2 = (a2 - 2)2 - 2 = a* -4a2 + 2
Solução
Para que as operações indicadas na "fórmula” possíveis devemos ter
A inequação da condição (2) é satisfeita para — 1 £ x < 1 ; então
D(f) = [-1 ; 1[
2 3
Solução
c) Queremos determinar x, x
Exercícios Propostos
3.5) Seja a função f, de K em R, para a qual
F(x) = 3x2 + 2
Determine:
d)f(- 73 )a)f(-2) b) f(4) c) f(0) e) f(t)
33
>
X
-2
D(f)
Kf)
x tal que f(x) = 0
x tal que f(x) > 0
AY
■ 2
l(f) = [ - 2; 2]
e D(f), tal que sua imagem seja zero; devemos 
procurar os pontos onde o gráfico “encontra" o eixo Ox: a abscissa x desse 
ponto é tal que a imagem de x é zero, isto é, f(x) = 0. No exemplo acima 
encontramos x = 1.
3.4) Seja a função f definida pelo gráfico abaixo 
Determine:
a)
b)
c)
d)
d) Queremos determinar x, x e D(f), tal que sua imagem seja positiva; devemos 
procurar os pontos para as quais o gráfico "está em cima" do eixo Ox: as abscissas 
x desses pontos são tais que f(x) > 0. No exemplo acima, - 1 < x < 1 responde à 
questão proposta.
(1) 1 - x # 0, isto é, x t 1
(2) — *0' ' 1-x
a) Para projeto domínio de f projetamos o gráfico de f sobre Ox, na direção Oy; então
D(f) = [- 1; 3]
b) Para determinarmos conjunto-imagem de f projetamos o gráfico de f sobre 
Oy, na direção Ox; então
3.6) Seja a função g, de R e R, para a qual
g(x) =
Determine.
f)g(t2)e) g(2.9)b)g(-l) c) g(3) d) g(3,1)a)g(2)
3.7) Determine os domínios de cada uma das funções definidas por
c) f(x) =a) f(x)
b)f(x) = V(x + 2)(x-2) x-2x + 2d) f(x) =
3.8) Determine os domínios de cada uma das funções definidas por:
a) f(x) = I x I c) f(x) =
b) f(x) = d) f(x) =
3.9) Para a função f definida por
determine:
b) l(f)a) D(f)
3.10) O domínio da função real definida por
é D(f) = ] - » ; 2). Determine m.
se x * - 3
f(x) =
Determine m para que f(x) = g(x) para todo x.
34
[l-|x]
VX + 2
7x^2
1___
7ixi-x
1
Vi x i+x
3.11) Sejam as funções f e g definidas respectivamente por: 
g(x) = x-3
x2 -9
x + 3 '
m, se x = - 3
f(x) = x + m
—, se x > 3
< x
12x, se x<3
f(x)= Aí - 7-(x2-1)2 
x + 1
3.12) Considere a função f definida pelo gráfico abaixo.
1 2x-y3-2-1 4 5
-1
-2
Determine
e) x tal que f(x) > 0
3.3 A ÁLGEBRA DAS FUNÇÕES
Definição
Exemplo
A função f, de R em R, definida por
f(x) =1
e a função g, de R em R, definida por
g(x) =
são iguais.
Definições
contra-domínio fórmula que a definenome da função notaçao domínio
Rsoma
R
R
f Rquociente
g
35
As funções f, de A em B, e g, de C em D são iguais se, e somente se, A = C. B = D 
e f(x) = g(x) para todo x em A.
Sejam f e g funções reais.
A tabela abaixo define quatro novas funções, obtidas a partir de f e de g
a) D(f)
b) l(f)
c) x tal que f(x) = 0
d) x tal que f(x) = 3
diferença 
produto
D(f) D(g) 
D(f)^D(g) 
D(f) D(g) 
D(f) n D(g) 
Com g(x) * 0
(f + g)(x) = f(x) + g(x) 
(f-g)(x) = f(x)-g(x) 
(f-g)(x) = f(x) ■ g(x)
f+ g 
f-g 
f ■ g
l.gj g(x)
X n—, se x * 0 
x
1, se x = 1
f(x)
g(x)
Exemplo
Sejam as funções feg definidas respectivamente por
x
D(f)nD(g)D
Então
Definição
= gjf(xj]
O domínio de g^f ê
Adotaremos CD(gnf) = CD(g).
36
f
9
f(x) = Vl-Xs 
g(x) = Vx
Vi -xJ 
Vx
= {x|xe
A função — tem domínio 
g
Dadas as funções feg, g»f é uma função que se diz composta de g 
com f, definida par
e são definidas,
(f + g)(x) = Vl-x2 +Vx 
(f-g)(x)^1-x2
(f g)(x) = 7l"^r. Ví
e g(x)*Oj
Então, D(f) = I-1 ; 1 ], D(g) = [0 ; + 
Dai, as funções f + g, f - g i 
respectivamente por.
■«[ e D(f)nD(g) = [0; 1], 
e f g têm dominio [0; 1],
D(guf) = MxED(flef(x)eD(g)}
DÍ-U]C; 1 ]
gj
Exemplo
e
e
E, dai
D(gjf) = (x e X | x a 25 } = [25; + « [
Temos também
(g>f)(x) = = v/f(x)-5 = JVx -5
(g4)(x) = g[f(x)]
(f g)M = f[g(x)]
a
a) Determine D(f) e D[g).
b) Determine os domínios das funções f + g, f - g, f g e — .
c) Oè as "fórmulas" que definem cada uma dessas funções,
37
3.13) Sejam as funções feg definidas respectivamente, por 
f(x) = Vx^2 
g(x) = V5-x
C domínio da funçáo fé D(f) = [0; + «s [ e □ domínio da função g é 
D(g) = [5; + oa [. Então
Dadas as funções gef, pode-se pensar em duas funções compostas, gsf e fog, 
para as quais se tem, respectivamente
Sejam as funções feg definidas por:
f(x) = 7x_ 
g(x) = Jx-5
Observações
Não se deve confundir a notação gof com a notaçào g4; note também que a grafia 
qof está uãs avessas’1: a primeira função que se aplica é f e a segunda é g.
D(g □ f) = {x e R | I x e D(f) í 
 (g >f) ={x e IR | I x a 0 '
Note que pode ocorrer g°f = bg, mas, de um modo geral, g^f f-g. isto é, 
composição de funções não é uma operação comu(ativa.
Exercidos resolvidos
;f(x) e D(g) }
f
g
Solução
x e D(f) n D(g) e g(x) # 0
= (2. 5[Então, D
Para as funções g-f e f>gb determine
b) a "fórmula" que define cada uma delas.a) o domínio
Sotuçao
Note qlie D(f) = fx e 3? | x S 0} = [0; + eo[ e D(g) = R = ] - w; +<c[-
D(g f) = {xe R | x > 0} = (0. *«( Satisfeita para
Todo x
e
e
A inequaçao x3 £ 0 é satisfeita para x > 0, e dai
D(f g) = {x e xà0} = [0; + «í
38
D(f g) = (x e R |
D(f g) = [x ê R |
fj
g,
a) D(f) = [2; + «[ e D(g) = ]-«;5]
b) Cama D(f) n D(g) = [2; 5], tem-se
D(f + g) = D(f - g) = D(f g)= D(f) o D(g) = [2; 5]
Todo elemento x que pertence ao domínio de — ê tal que
9
3 14) Sejam as funções feg definidas por 
f(x) = Vx 
g(x) = xi
c)(f + g)(x) = f(x) + g(x) = Vx-2 + V5-X 
(f -g)(x) = f(x)- g(x) = Vx-2 - Jí- x 
(f g)(x) = f(x) g(x) = Jx-2 - j5-x
IgJ g(x) ^5-x
! X 6 D(g)'
1 I
; x e r i
4*)=^ 
gj s(»
;f(x)e D(g) : } 
! x3e R
i g(x)E D(f) ’ }
a) D(gof) = {x e R | ! x e D(f) ! e
D(g f) = {x e R | ; x > ü ! e
Solução
Vamos calcular inicialmente f[ f(x)]
fl f(x)] x-1
Agora
W(x)]}
x-1
Então f{ f[ f(x)]} = x
3.16)
Solução
c) f(- X) = (- x)2 + (- x) = x2 - X
39
Note que para todo x à 0 tem-se 
convenção, CD(gof) = CD(fcg) = R, nesse caso temos g°f = fog.
Para as funções, de R em R, definidas pelas "fórmulas" abaixo, diga qual é par e 
qual é ímpar.
£ - f(x) = -x2 - x: não é impar
A função do item c não se classifica segundo o critério acima, ou seja, ela nem é 
par nem é impar.
Seja f uma função real, de domínio A, para o qual: se x e A, então - x e A. 
Se para todo x de A se tem f(- x) = f(x). f diz-se PAR.
Se para todo x de A se tem f(- x) = - f(x), f diz-se ÍMPAR.
f(x)
x-1 - x
x-1
c) f(x) = X2 + X
3.15) Seja f(x) = ; determine f{ f[ f(x)]).
a) f(x) = x2
^L-1
 f[f(x)]-1 x-1 
f[f(x)] _z1_
b) f(x) = x3
b) (gUf)(x) = g[f(x)] = [f(x)]3 = (Vx )3
(f=g)(x) = flg(x)) = Vs(x) = >/x3
(Vx)3 = \/x3 , e como D(gcf) = D(fcg) e. por
-1- x + 1—------ — « x
-1
X-1-1
X 
x-1
x
a) f(- x) = (- x)2 = x2 = f(x): par
b) f(- x) = (- x)3 = - x3 = - f(x): impar
/ f(x): não é par
Exercícios Propostos
3.17) Seja a função f, definida por
f(x) = x2+ 1
Determine:
c)f(x + 2)
h) f(3x)
fórmula que definem f + q, f - g,f - q e
e
3.20) Para a função f definida por f(x) = Vx Verifique que
(assuma que X + h^Oeti^O.)
3.21) Sejam as funções reais definidas por:
g(x) = 2x e f(x) -
40
a) Determine (g.-.f)(0),(L.g)(4). (fef)(- 1) e (g=g)(3)
b) Determine (g-f)(x) e (fcg)(x)
a) f(t)
b) f(t + 2)
3.19) Dão-se abaixo as funções f e g Determine, em cada caso, o domínio e a 
fórmula que definem f-g e g4.
e) f(x + h)
f) f(-x)
g) f(i/x)
a) f(x) = 2x - 5 e g(x) = - 4x
b) f(x) = Jx t 2 e g(x) - J2 - x
c) f(x) = Vx+"2 e g(x) = Vx^3
[-X. se x < 1
l X, SÊ X > 1
3.10) Dao-se abaixe as funções f e g, Determine, em Cada caso, o dominio e a 
_f_
9
a) f(x) = x + 1
b) f(x) = -Ac
xk2
f(x + h) - f(x) 1
h \/x + h + Jx
g(x) = 2x
x -1 
e —
3.22) Se f(x) = 2x - 3 e fjg(x)] = x, determine g(x)
3.23) Suponha que as funções f e g definidas por
f(x) = ax + b
g(x) = cx + d
Qual ê a condição para que frg = g°f?
3.25) Considere as funções C, S e T, definidas em R, tais que
T(x)
3.26) Para as funções, de R em R, definidas pelas “fórmulas" abaixo, diga qual é
b) f(x) = x + 1 d) f(x) =
3 x
41
_ S(x)
C(x)
c) f(x) = 5
xs - X
par e qual é impar 
a) f(x) = 3x - x3
c) Verifique que 1 - [T(x)]2 =
1 — x3.24) Seja f(x) = ------ . Determine f{ H f(x)]}.
14- x
C(x) = - (3X + 3”x)
S(x) = | (3* - 3-x)
a) Calcule os valores dessas funções para x = 0 e x = 1.
b) Verifique que [C(x)]2 - [S(x)]2 = 1.
1
(C(x)lJ
3.27) Na figura ao lado, está desenhada 
parte do gráfico da função f, cujo 
domínio é [— 3; 3], Complete o 
gráfico assumindo que:
a) f é função par. b) f é função impar.
3.4 - GENERALIDADES SOBRE FUNÇÕES REAIS
Definição
Xi < X2 => f(Xi) < f(Xj)
Se Xi >2 implica f(Xi) £ f(Xí), diz-se que f é nao decrescente em I
Uma forma equivalente de se colocar a definição acima é:
D(f). se ê somente se, para tudo par
> 0
E, se tivermos
50
X1 < x2 => f(x-) > f(x3)
Se x, < x? implica f(Xi) > f(x;l diz-se que f é não crescente em I,
<0
E, se tivermos
£0
Diremos que f é não crescente em I.
Exemplo
A função de 3 em R. definida por f(x) - 2x + 3. é crescente em R.
42
Consideremos um intervalo I c D(f].
Uma função real f diz-se crescente em I, I c D(f), se e somente se, para todo par 
de pontos x, e x2 de I, tem-se
Diremos que f é nao decrescente em I.
Definição
Podemos dizer também que uma função real f é decrescente em i, I c D(f), se e 
somente se. para todo par de pontos xi e x2 de I, x, 1 x2, tem-se
Uma função real f diz-se decrescente em I, I c D(f), se e somente se, para todo 
par de pontos Xi e Xj de I. tem-se
f(xi)-f(xJ)
*i-*a
f(xt)-f(xg)
X, — Xj
X, - x2
W-fÇxJ 
x,-x,
Uma função real f diz-se crescente em I, I c 
de pontos Xi e x2 de l, Xi x2 tem-se
De fato, sejam x, e xi reais tais que x, < xj
3) = 2 (x, - x2)
□ar, sendo xi
Definição
x>L
{- 3; 7( é limitado.
Definição
f(X) < L
43
Então, Xi < Xj => f(Xi) < fíxi), para todo x, , xj e R, e a função é crescente em j-L 
Observe que se f é crescente em R, é também não decrescente em R.
Um conjunto A, AcE, diz-se limitado superiormente se existe um número L tal 
que
para todo x de A.
Um número L com essa propriedade diz-se limitante superior de A,
Observe que A é limitado superiormente se e somente se existe um número L 
que seja ümitante superior de A, Note também se que existe L, existirão também 
outros limitantes superiores de A.
Por exemplo, o intervalo I = [ -3; 7[ é limitado superiormente: □ número 7 é um 
limitante superior de I; 8 e 9 também o são.
Um conjunto A, AclR, diz-se limitado inferiormente se existe um número L tal 
que
para todo x de A.
Um número L çom essa propriedade diz-se limitante inferior de A
Por exemplo, o intervalo I = [3 ; 7[ é limitado inferiormente; o número 3 é um 
limitante inferior de i; 2 e — 1 também o são
Um conjunto A, A c R, diz-se limitado se ele for limitado superiormente e 
limitado inferiormente 
Por exemplo, o intervalo I
Seja f uma função real.
Seja o conjunto A={f(x) [xe I, Ic D(f]} ; a função f diz-se limitada superiormente 
em I, se e somente se □ conjunto A é limitado superiormente
Observe que se f é limitada superiormente em I, existe um real L tal que
f(Xi)-f(x3) = (2Xi + 3) - (2x?
< Xj, pode-se concluir que
f(Xi) - f(x2) = 2(Xi - xz) < 0
negativo 
pois X, < Xj
f(X,)-f(X3j < 0
f(x,) <f(Xí)
ou ainda
Para todo x, x e L
-- y = M
>
1
y = -M-M
Definição
f(X) £ f(XD)
f(x) S f ÍXo)
para todo x em I,
44
+
Por exemplo, a função definida por f(x) = x + 1 é limitada em I = [1; 2].
Geometricamente, se a função fé limitada em I, o seu gráfico está situado entras as 
retas de equações y = Mey = -M, quando x e I.
Sejam a função real f e o conjunto I, I e D(f).
Diz-se que f admite um máximo absoluto no conjunto I, se existe ao menos um 
ponto Xo em I tal que
Para todo x, XéI,
Por exemplo, a função definida por f(x) = x + 1 é limitada superiormente em 
l = ]1 ;2[.
Analogamente, a função f, acima, diz-se limitada inferiormente em I, se e somente se 
o conjunto A ê limitado inferiormente
Observe que se f ê limitada inferiormente em I, existe um real í tal que f(x)^í 
para todo x, X e I.
Por exemplo, a função definida por f(x) = x + 1 é limitada inferiormente em I =[1; 2] 
Finalmente, a função f, acima, diz-se limitada em I se e somente se o conjunto A é 
limitado
Observe que se f è limitada em I. existe um real M, M > 0. tal que
- NI £ f(X) £ M
X
M '
para toda x em I.
0 número f(Xa) chama-se máximo absoluto em f em I.
Diz-se que f admite um minimo absoluto no conjunto I, se existe ao menos um 
ponto xc em I tal que
O número f(xo) chama-se mínimo absoluto de f em I.
1 x xJ = [0; 1] I = ]0; 2]
Definição
f(x) > f(xo)
para todo x em V(xQ).
yy
21 xX
Definição
f(x) = f(x <• p)
x X
p p p p
45
1 
*T
Sejam a função real em f e o seu domínio D(f).
Diz-se que f admite um máximo local* em um ponto xq, x0 e D(f), se existe uma 
vizinhança completa de xQ, V(x0), V(x0) c D(f), tal que
f(x) S f(x0)
■Também chamado máximo relativo 
"Também chamado mínimo relativo.
Seja f uma função real.
Diz-se que f ê periódica se existe um número real p, p t 0, tal que, para todo x em 
D(f), x + p é elemento de D(f) e f(x + p) = f(x).
O menor p positivo que satisfaz a condição denomina-se periodo de f.
máximo
/ absoluto
mínimo 
absoluto
mínimo 
absoluto
minlmo y 
absoluto
máximo 
--''"absoluto
xminimo 
absoluto
2
’ máximo — » 
absoluto /: 
máximo 
local
/
X‘P
I 
mínimo 
local
mínimo 
absolulo^z
> não existe 
máximo absoluto
mínimo 
‘\ absoluto
para todo x em V(xD).
Analogamente, diz-se que f admite um mínimo local" em um ponto x0, Xq e D(f), se 
existe uma vizinhança completa de xD1 V(xo), V(x0) c D(f), tal que
Exercícios Resolvidas
3.20) Seja a função f. definida par
Solução
positivo, pois Xi < y.2
RXn) -f(Xz)
Solução
3 30) Seja a função f definida por f(x) = xz, f é limitada em [-1; 1]?
Solução
46
Um limitante superior de A s V? ; observe que J? nao é elemento de A e que 
J? é o menor dos limitantes superiores de A.
Um limitante inferior de A é zero; observe que zero é o elemento de A e que 0 é o 
ma/ordos limitantes inferiores de A,
a) Dê o domínio de f.
b) Verifique que f é decrescente em R ■*
a) O domínio de f é constituído por todos os valores reais de x tais que 
x / 0, isto é
Note que para todo x tal que -1 £ x < 1; tem-se 0 s x3 í 1, isto é 
0 S f(x) í 1
o que mostra quef(x) é limitada em [— 1; 1].
1 
f(x) = -
X
- X; — Xt > g
X. x 
f t
positivos, pois 
xi X2 e R + 
f(xi) - Kxz) > 0 
f(xõ > f(x2)
D(f) = R* ♦
1 1 X
b) calculemos f(Xi) - f(Xj): f(Xi) - f(x2) = ——-j- ■ —----- 1
x x x, X,
E, dai para todo par Xi. x2 em 3 . tal que x, < x2, podemos concluir que
Então, Xi < x? => f[Xi) > f(Xj), e a função f é decrescente em R *,
3.29) Seja o conjunto A - {x e Ü | D s x < -Ji }, Dê um limitante superior e um 
limitante inferior de A.
- 1.
Solução
f - 1
Então
f f = 5
1 1 1-f f = -1
3 33
f(12) +f (-7) = f(5 +7)-b-f (-7) = f (7)-f (7) = 0
Exercícios Propostos
3 32) Seja a função f definida por f(x) = x2 + 1. Verifique que f é crescenteem
3.34) 0 conjunto A =
. f£3) e f(- 2}.
b) Determine x tal que f(x) = 0.
47
As informações do enunciado são traduzidas por: 
f(x + 5) = f(x) 
f(- x) = -f(x)
3.36) uma função f, de domínio 3, é periódica de período 2, par. e tal que f(x) = x 
para 0 S x < 1.
16 
3
1
3
■I
3
1
3.35) A função definida por f(x) = — é limitada em ]0; 1 ]?
r 51 a) Determine f I - I
= fí —-5 
l 3
í 1 '3.31) A função f, de R em é periódica de período 5, é ímpar e fj - I\3 J
3.33) Sejam f e g funções de R em R, não decrescentes num intervalo I. 
Venfique que h = f + g ê não decrescente em I.
x | x = — en e N é limitado?
n
fl6'' r'291'Determine fl — F, f í — i e f(12) + f( - 7). 
k 3 / k 3 ;
3.5-ALGUMAS FUNÇÕES ELEMENTARES
Função constante
y
f(x) = c
(0;c)
x
Função identidade
àY
f(x) = x
1
1 X
f(x) = ax + b, a t 0
(0; b)
x
48
Seu conjunto-imagem é l(f) = {c}.
O gráfico da função constante é uma 
reta paralela ao eixo Ox que passa pelo 
ponto (0, c)
Função polinômio de 1.° grau
É a função de IR em R que associa a cada x real o número ax + b, com a t 0; 
então, a fórmula que a define é
É a função de R em R que associa a todo x real sempre um mesmo número c, 
c e R; então a fórmula que a define é
É a função de R em R que associa a cada x real o próprio x; então a fórmula que a 
define é
Seu conjunto-imagem da função do 1.° 
grau é l(f) = R.
O gráfico é a reta da equação 
y = ax + b
Seu conjunto-imagem é l(f) = R.
O gráfico da função identidade é a reta 
que contém as bissetrizes dos 
quadrantes ímpares.
Função módulo
..y
1
1 X
Função quadrática
f(x) = ax2 + bx +c
V , onde A = b2 - 4ac , é o seu vértice.
A > 0; a > 0 A > 0:a <0
y y
v
«a /
X
/
X
-t-
2a
l(f)
49
É a função de R em R que associa a cada número real x o número real 
ax2 + bx + c, a 0; então a fórmula que define ê
É a função de R em R que associa a cada real x o número | x |; então, a fórmula 
que a define ê
/
/
Al
A.i.
4a ‘
f(x) = I X I
Seu conjunto-imagem é l(f) = R..
O gráfico da função módulo é 
constituído pela união de duas semi- 
retas, como mostra a figura
. .( b A
2a 4a
Se a > 0, a concavidade da parábola está "voltada para cima"; se a < 0, a 
concavidade da parábola está "voltada para baixo".
Para o gráfico da função podemos destacar as situações
\
I \
= |ycíl|y<-■JycEly^-A;-
Num sistema cartesiano ortogonal xOy, o gráfico da função quadrática é uma 
b 
parábola, que tem a reta de equação x =------como eixo de simetria; o ponto
2a
A - 0;a < 0A = 0;a > 0
,yy
X
*0
l(f) = {y e R I y s 0}l(f) = {y e R | y è 0}
A < 0;a < 0A < O.a > 0
x
ÍV
x
I
1(0 l(f) = íycp.[y<-
3.6 - TRANSFORMAÇÕES NO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
y = f(x) * k
y = f(x)
x
50
Certas transformações (translações, reflexões, ...) podem ser feitas sobre o gráfico 
de uma função, possibilitando a sua construção com alguma facilidade
Vamos examinar as transformações mais importantes.
Seja, então, a função definida pela sentença aberta y = f(x) e seja o número real k, 
positivo.
x0:
I
.A
4a
_A
4a
Al 
4a j
A t 
4a'
I. O gráfico da função definida por 
y = f(x) + k pode ser obtido do gráfico 
da função definida por y = f(x), fazendo 
este sofrer uma translação de k 
unidades, na direção Oy, ‘'para cima".
= |y e tf | y >
,y :
y
Exemplos
f(x) = |x| - 1
t T xX
y = f(x)y = f(x + k)
x
y = f(x - k)
y = f(x)
Exemplos
y
f(x) = |x|
x
51
■>
x
O gráfico da função f(x) = |x| sofreu 
uma translação "para cima", obtendo-se 
o gráfico da função:
f(x) = |x| + 1.
f(x) = |x|.
. y 
k cá
->y
k a
O gráfico da função f(x) = |x| sofreu 
uma translação “para a esquerda”, 
obtendo-se o gráfico da função:
f(x) = |x + 1|.
O gráfico da função f(x) = |x| sofreu 
uma translação “para a direita", 
obtendo-se o gráfico da função 
f(x) = |x-1|.
O gráfico da função f(x) = |x| sofreu 
uma translação “para baixo", 
obtendo-se o gráfico da função: 
f(x) = |x| - 1.
O gráfico da função definida por 
y = f(x) - k pode ser obtido do gráfico 
da função definida por y = f(x). fazendo 
este sofrer uma translação de k 
unidades, na direção Oy, "para baixo".
-;y = f(x)
= k
vy = f(x) - k
X
O gráfico da função definida por 
y = f(x — k) pode ser obtido do gráfico 
da função definida por y = f(x), fazendo 
este sofrer uma translação de k 
unidades na direção Ox, "para a 
direita".
f(x) = |x| /
—-x^%í(.) = |x-1|
1 X
+y
f(x)=|x+ 1|
k -y z f(x) = |x| + i
II. O gráfico da função definida por 
y = f(x + k) pode ser obtido do gráfico 
da função definida por y = f(x), fazendo 
este sofrer uma translação de k 
unidades na direção Ox, "para a 
esquerda".
y = fW
X
y - -f(x)
+y
y = f(x)y = V)
X
y+y
Exemplos
2
1
+y *y
[(x) = X f(x) = |x|
X
Y = f(x) ->y=|f(*)l
52
y = |í(x)| 
---------------►
X
>
X
X
a parte "abaixo "do eixo Ox '‘reflete" 
em tornodoeixoOx
III. O gráfico da função definida por 
y = - f(x) pode ser obtido do gráfico da 
função definida por y = f(x), fazendo 
este sofrer uma reflexão em relação ao 
eixo Ox.
z W = -M
O gráfico da função f(x) = |x[ sofreu 
uma “reflexão" em tomo do eixo Ox, 
obtendo-se o gráfico da função: 
f(x) = -|4
+¥
y ; f(x)
x
O gráfico da função definida por 
y = f(— x) pode ser obtido do gráfico da 
função y - f(x), fazendo este sofrer uma 
reflexão do eixo Oy.
Se conhecermos o gráfico da função definida por y = f(x) e quisermos o gráfico da 
função definida por y = |f(x)j faz-se a "parte" que está "abaixo" do eixo Ox do 
gráfico do y = f(x) sofrer uma reflexão em torno do eixo Ox.
+¥ 1
f(X) = X + 1 
. com x 6 [-1; 1 ]
x é substituído por -x
y = f(-x) =-x + 1 
com xe [-1; 1]
T-
Para x e [-1; 1], o gráfico da função 
f(x) = X + 1 sofreu uma "reflexão" em 
torno do eixo Oy, obtendo-se o gráfico 
da função f(x) = — x + 1 (este se 
obtém da primeira, substituindo-se x 
por - x)
Exercícios Resolvidos
3.37) Desenhe o gráfico da função f, de S em definida por
f(x) =
4
Á3
y = 3
2.
1
2 x
y = x + 2
Solução
.yiy
1
xy= |x|
53
—*------------ ►
y = |x -11 + 1
A projeção do gráfico de f sobre Oy nos dá l(f) = ]- co; 4[.
3.38) Construa o gráfico da função definida por f(x) = | x - 1 | + 1.
/' translação x
"para a direita'
Qual é o conjunto-imagem de f?
Solução
O gráfico da função f é constituído pro duas semi-retas e um "arco" de parábola.
x + 2, se x < -1 
x2,se-1 < x < 2 
3. se x à 2
y\= X2
/ translaçao
“para cima" 1
—> 4 -----
y = |X-1]
1. ’) Se x < -1, f é representado pela reta de equação y - x + 2.
2. °) Se — 1 <x<2,fé representada pela parábola y = x2.
3. °) Se x £ 2, f é representada pela reta paralela ao eixo que passa pelo ponto 
(0; 3).
-2 -1
3,39) Seja a função f, de R em R, definida por
f(x) =
Solução
y
2
11 'f(0) - o
-1
Então
f(x) =
54
.y
>—
Solução
A definição de módulo de um número real nos dá
3.40) Desenhe o gráfico da função f definida por
f(x) = (|x|-1)(x<-2).
-1. se
0, se
1. se
ffx) =-1 / 
se x < Ú O gráfico de y = í(x) 
deslocou-se uma unidade 
"para cima".
x
x < 0
X = 0
x > 0
yf(x) = 1 
se x > 0J
1 x
y = f(X-1)
O gráfico de y = f(x) 
deslocou-se para uma 
unidade "para a direita
-------------->x
Para obtermos o gráfico de f. desenhamos as parábolas de equações y = JC + X- 2 
e y = - x* - 3x - 2 da primeira tomamos o "arco" constituído pelos pontos para os 
quais x 5 0, e da segunda, o arco" constituído pelo pontos para os quais 
XíO.
a) Determine conjunto-imagem de f.
b) Desenhe o gráfico de f e deduza os gráficos das funções definidas por:
y = f(x-1)e y = f(x) * 1.
a) Observe que todo real negativo tem imagem -1, zero tem imagem zero e 
que todo real positivo tem imagem 1; daí l(f) = { -1; 0; 1].
x2 + x-2, se x > 0 
-x2-3x-2, se xíü
y = f(x)
Se x í 0. |x| = x e f(x) = (x -1 )(x + 2) = x3 + x - 2
Se x£ 0: |x| - -xef(x) = (-x - 1) (x + 2) = - x2 - 3x - 2
..y
i
X
1(0 = R
Solução
= 5
Daí, m2 + 4 = 20 e, então, m = 4 ou m = - 4.
Exercícios Propostos
3.42) Seja a função real definida por
3.43) Seja a função f definida por
f(x) =
55
-A
4a
19
4 \
O gráfico da função f é uma parábola cuja concavidadeestá voltada "para baixo"; 
efetivamente f admite um valor máximo dado por
a) Determine f( - 2) e f(2).
b) Determine D(f).
c) Construa o gráfico de f.
a) Desenhe o gráfico de f.
b) Deduza: D(f) e l(f).
c) Desenhe os gráficos das funções definidas por:
Y = f(x) + 1; y = f(x - 1); y = f(- x); y = 1 - f(x)
\
\
_1_
4
/
/
f(x) = x2 + x - 2 
para x > 0
f(x) = - x2 - 3x - 2 
para x « 0
1.
x + 1.
3.41) Seja a função quadrática f definida por
f(x) = - x2 + mx + 1
Determine m para que f admita um máximo absoluto igual a 5.
~(m? + 4)
-4
f(x) = 12Ü 
X
se -1 < x < 0 
se 0 < x S 1
—f..„
f(x) =
3.46) Seja f uma função real, de domínio IR ♦, tal que
b) Seja a função <p definida por
3.7 - OUTRAS FUNÇÕES ELEMENTARES
Função definida peía fórmula f{x) = x1
y
8
f(x) = /
X
-8
56
3.44) Seja a função quadràtica definida por:
f(x) = mx2 + 2x + 1, m / 0
Determine m para que a função admita um valor máximo em x = 1.
Consideremos a função f, de K em Lí 
definida por
Determine cp(D).
Dê o domínio da função <p 
Qual é a paridade de tp?
Essa função é crescente em R: é impar 
□ seu conjunto-imagem é l(f) = 1R. O 
gráfico é mostrado na figura.
f(D = 0
f[xtxz) = f(x1) + f(xj
3,45) Desenhe o gráfico da função definida por 
x(xJ +1) 
|x|
( 1 \ 
a) Mostre que f I — I = íx ) -f(x2) e quef| — | = f(x,)-f(x3).
k 7
-2 -11
. . ,Í1-x")«n-j
Consideremos a função f, de UI em R, definida por
1
-3 -1
2 3 4 x
Função maior inteiro
F(x) = [x]
A figura abaixo ilustra qual é a correspondência definida pela função f.
-3 -2 -1.6
Dl
-3 -2 -1 IR
57
É a função f, de R em R, que associa a cada número real x o número [x], que é o 
maior inteiro que não supera x
Essa função é decrescente em R . e também em R Seu conjunto imagem é R'; o 
gráfico é uma hipérbole.
Note por exemplo que:
f(2, 4) = [2, 4] = 2
f(0, 7) = [0, 7] = 0
f(2) = [2] = 2
f(—0,8) = [-0, 8] = - 1
f(- 1, 6) = [- 1,6] = - 2
f(x) = l 
x
1
Função definida pela fórmula f(x) = — 
x
1
-1
1 X
Observe que l(f) = Z
Exercícios Resolvidos
l(f) = ntf
Solução
3.49) Seja a função f definida pela fórmula
Solução
&8
3.48) Desenhe o gráfico da função f 
definida por
f(X)=[X3|
a) Determine D(f)
b) Desenhe o gráfico de f e deduza l(f).
: f (x) = - 1
: f(x) = 0
: f(x) = 1
: f[x) = 2
-2
-3
/
gráfico da função f, 
gráfico
j__ L
2 3 4
O gráfico da função f é o conjunto de segmentos como mostra a figura 
+y 
3 
2
- 3 í x < - 2 ; f(x) = - 3
- 2 í x < - 1 : f(x) = - 2
- 1 s x < 0
0 < x < 1
1 £ x < 2
2 £ X < 3
3 £ x > 4 . f(x) = 3
Para obtermos □ 
desenhamos o gráfico da função 
definida por y = x e aquela parte que 
se situa abaixo" do eixo Ox sofre uma 
reflexão em torno desse eixo
sofre 
reflexão 
em torno
de Ox
f(x) = A;
X -1
a) Devemos ter x - 1 / O, isto ê, D(f) = 31 - {1}.
b) Para se obter o gráfico de f, desenhamos o gráfico da função g definida
1
por g(x) = — ; e, como f(x) = g(x - 1), “deslocamos" o gráfico de g para a 
x
direita, de 1 unidade
-3 -2 -1 i j ;
: ; i '
-1
L..1—J..._
i | :
\
À7
\ X
- y = x]
1 X
i(f) - m*
3.50) Seja a função f, de R em R, definida por
Desenhe o gráfico de f e deduza o seu conjunto-imagem.
Solução
x
O conjunto-imagem da função é l(f) = [0; 1(.
Exercícios Propostos
3.51) Desenhe o gráfico da função definida por
f(x) = - x2 ■ | x |
59
0 S x< 1 ’ [x] = 0 e f(x) = x
1 í x < 2 ; [x] = 1 e f(x) = x - 1
2 <x< 3 ■ [x] = 2 e f(x) = x - 2
f(x) = x-[x]
Denomina função mantissa.
3.52) Desenhe o gráfico da função definida por 
.. . 1-x 
f(x)=-----
x
-1 < x < 0 : [x] = - 1 e f (x) = x +1
- 2 < x < - 1 : [x] = - 2 e f(x) = x + 2
- 3 < x <-2 : [x] = - 3 ef(x) = x + 3
A
A 
A Z
u 
X 
A 
A ,A
AAA/AAAA\
Z-4 ..•••■3 Z-2 Z-1 A /1z’2Z3 4
y n,z -/Z+
A
3.54) Desenhe o gráfico da função definida por
f(X) = (-1)W X
3.0 - A FUNÇÃO EXPONENCIAL
Dado um número real a, a > Oe ar 1. a função de K em R, definida pela fórmula
f(x) = a*
I. a > 1 ll.0<a< 1
.y
f(x) = aK
a’’
(0:1)
xx2 X *1 x2
Exercícios Propostos
3.55) Dâ o dominio da função definida por:
f(x) =
3.56) Desenhe os gráficos das funções definida por
60
&
a*1
í
V31 -243
*1
Xi < X2 o a
denomina-se função exponencial de base a.
Destacamos as seguintes propriedades da função exponencial:
1. se a > 1, a função é cresceníe emR;seO<a<1,ê decrescente em R.
2. n conjunto-imagern é R «.
3. q gráfico apresenta uma das duas situações
a>?
3 53) Seja a função f, definida por f(x) = (-1)w,
a) Desenhe o gráfico de f.
b) Qual é 0 seu conjunto-imagem?
c) Ela é periódica?
xi < xjq a1’ <
f 1a) f(x).[-j
b) f(x) = 1 - 21
y
f(x) = a*
A
3a
2
2. A função, de R em R, para a qual
f(x) = cos x
denomina-se função cosseno.
2a
61
Seu conjunto-imagem é l(f) = [ —1; 1 ]; é par; é periódica de periodo 2a.
Seu gráfico é a cossenóide
P- associado 
......?\ao número real x
I
cos x:
X 
2
3.9 - FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Função seno e função cosseno
Dado um número real x, a ele associamos sobre a circunferência trigonométrica o 
ponto P, extremidade do arco AP, cuja medida algébrica é x.
A ordenada OPi do ponto P denomina- 
-se seno do número real x, e a abscissa 
OPj do ponto P denomina-se cosseno 
do número real x.
1. Definimos, então, a função f, de R em
R, para a qual
f(x) = sen x
Que é denominada função seno.
A função seno tem conjunto-imagem l(f) = [-1, 1]; é impar ; é periódica de período 
2n.
O seu gráfico é a senóide
yA
3n
2
->X
5n
2
Função tangente
2y.
T
B P/
tg x
sen xdefinida uma
função f, de R-^- + k;t,k e Z em R,
para a qual
f(x) = tg x e
B'
2rr *x-n 0
2
62
y
/
I !
X
.âs.
2
3n
2
Na circunferência trigonométrica da figura, seja P o ponto associado a um número 
real x, T é o ponto de interseção da reta OP com eixo Az. Sabemos que a 
ordenada AT , do ponto T,é a tangente do arco de medida algébrica x, enquanto 
que OPi e OP? são, respectivamente, o seno e o cosseno desse mesmo arco.
Pi.;
ZCOSJ^_
'O p2
senx 
tgx =
cosx
O domínio da função tangente é D(f) = |x e R | x * -^ + kn; k e Zj ; seu conjunto- 
imagem é R. A função tangente é impar e periódica de período n.
O seu gráfico ê a tangentoíde
Lembrando que, se o ponto P coincidir
com B ou com B', isto ê, se X = — + kn , 
2
não existe a tangente; excluindo 
esses pontos, temos, asso-ciado ao 
número real x, um único número real tg 
x, que sabemos ser igual ao quociente 
entre sen x e cos x.
Fica, então,
_______= _ r j — i:i. 1 *
Um resumo para outras funções trigonométricas
1. Função cotangente
y.
1
0 X
-1
2. Função secante 7t
■*
f(x) = sec x
par
período 2n
1
0 x
63
7t
4
-1
2 
1
secx =------
cos x
• 3rc
J 4
D(f) = x e R | x * ^ + kn; k e Z 
[(f) = ]-oo;-1]o[1 ; + «[
i : :
: 7a 2rx
■ 2 4
f(x) = cotg x
D(f) = {x e R | x kn; k eZ)
l(f) = R
Impar
período n
cosx 
cotg x =--------
sen x
3. Função cossecante
f(x) *= cossec x
D(f) = {x e R| xí k;i; k e Z}
impar
período 2z
cossec x =
2jt
Exercícios Resolvidos
3.57) Determine o conjunto-ímagem da função definida por
f(x) = 2 sen x + 1
Solução
Dai
- 2 £ 2 sen xí 2
Isto ê
- 1 £ f(x) < 3
Assim
i(f) = l-i;3l
64
Sabemos que para todo real x tem-se
- 1 £ sen x £ 1
2
1
0
1
2
e somando-se 1 a cada termo de desigualdade
-1 £ 2 sen x + 1 £ 3
3.50) Determine □ domínio da função f, definida por
1
/
!
2L
4
1
senx
5rc 3ti 7?c 
j 4 T _4 
in : Í : i : í :
x
x + -i
k 4)
rc 3rt
Solução
deve existir e ser diferente de zero.
Então
Dai
3.59) Construa, para 0 í x<2n, o gráfico da função g, definida por:
g (x) = - 2 - sen x
Solução
-sen xsen x
7t
-2
-3
Exercícios Propostos
3.60) Determine o conjunto-imagem da função
f(x) = - 2 + 3 sec x
65
■>
X
• x.
:3n ,<2n
A partir do gráfico da função f(x) = sen x apôs uma reflexão em torno do eixo Ox, e 
uma translação “para baixo", de duas unidades, obtemos o gráfico da função g
3.63) A função definida por f(x) = A -sen(kx) é periódica de periodo 6n e tem 
conjunto-imagem [- 4; 4], Determine essa função.
Devemos impor duas condições para obter o domínio da função f: a 
( « cotg I x + —
sen x
3.62)Mostre que a função definida por f(x) =------- é par.
3.61) Dê o domínio da função f(x) = tgí x + I.
D(f) = J x e IR ] x * kn e x*-^+kn;keZ
nx + — * kn
4
7r n , x + — * — + kn
4 2
3.64) Construa o gráfico de cada função definida abaixo:
c) f(x)
3,55) Construa o gráfico do cada função definida abaixo:
b)f(x)^
3.10-FUNÇÃO INVERSA
O Conceito
Dbserve que:
y = f(x)
expressamos x uem
x = r' (y)
Púr exemplo, seja a função invertível, de U4 em IR, definida por
y = f(x) = x3
66
para obtermos a fórmula que define a função inversa f' 
função" de y
Seja f uma função invertível, de Aem B, e seja y = f(x) a fórmula que a define. 
A função inversa, f1, de B em A, é definida pela fórmula x = f“’(y) 
Então, dada a fórmula que define a função f
1’) D{f ’) = B = l(f)
2. °) I(f ’) = A= D(f)
3. ’) y = f(x) o x = f‘ (y)
Para obtermos a fórmula que define f‘ , partimos da fórmula que define f 
y = x3
Seja f uma função real de A em B.
Se para cada y em B existe um e um só x em A, tal que y = f(x), diz-se que a 
'unção f e invertivel, Então, a função de B em A. que associa a cada y de B um 
mico x em A, chama-se função inversa de f e é notada com f .
a) f(x) = 2 + sen x
b) f(x) = cos^X“ 
sen 2x
a) f(x) = - | cos x | 
sen x
| senx|
... . cosx + lcosxlC)f(x)=----------- ---------!
Expressando x "em função" de y
Entãc, a fórmula que define a função f é
y = f-1(X) = í/x
é a formula que define f
Um resumo
Dada a fórmula
y = f(x)
1*’ passo : na formula y = f(x), 'isola-se1' x no primeiro membro,
Uma propriedade geométrica
sao simétricas em relaçao ã bissetriz dos
Exemplo
Seja a função f, de R em R, invertível, tal que
A função inversa f é de ik em S e
67
que define a função invertível f, se quisermos a fõrmula que define a função f 
procedemos da segUinle maneira:
Os gráficos da f e sua inversa f 
quadrantes impares.
x=^
f(x) = x3
É comum, entretanto, na fõrmula x fazermos uma troca de letras: x por y e y 
por x; então
2.° passa troca-se a letra x pela letra y e a letra y pela letra x.
f 1 J Vx
x= f’(y) = Vy
estão na figura abaixo:Os gráficos de f em f
' bisselriz
X
-2■B
8 x
í-3; -2)
-8
Exercícios Propostos
3.66) Seja a funçáo f, invertível. de K em R , definida por
Determine f
f(x) =
Determine f'
68
3.68) Para a função polinomial do 1’ grau, de R em R, definida por f(x) = ax + b, 
a r 0, determine a e h sabendo que f = f'1.
2 
1
f: y = x3 
.,(2i 9)
x + 2 
2x-3
y Ü.
8 ■
Ã
1 2
-2
« 1em R 21 'ía que
f(x)^
X
[3
3.67) Seja a função f, invertível, de R em
P:y = VX 
i(8: 2)
3.69) Considere a função f, de R em R, definida por
f(x) = 2x - 5
Algumas funções importantes
1. A função raiz quadrada
Y-
f(x) = /
f-’(x) =Vx1
f '(x) - Vx
X
2. A função logaritmo
Os gráficos de f e f estão desenhados abaixo
YA í:y = ax /bissetriz / bissetriz
1a < 1 f :y = a*
0 x
b1:y = logax
69
f-1:y = log.x
------------
x
A função f, de R- em R+, definida por 
f(x) = x2 é invertivel. A sua inversa, f-1, 
é a função de R* em R*. tal que
a) Determine f’.
b) Calcule (fof-1 )(x) e f"1(f(x)].
2L
0/1
A função exponencial de base a, a>0e a r 1, deR em R tal que f(x) = a", é 
invertivel. A sua inversa, f. é a sua função de R * em R, definida por 
_ 1 
f (x) = logax
Os gráficos de f e f-1 estão 
desenhados ao lado
3. A função arco-seno
em [-1; 1], tal que f(x) - sen x é invertIvel. A sua inversa, fA função de
definida por
f 1 (x) = arc sen x
estão desenhados abaixo
bisselriz
...yZk..CD(f-1) = = -
4, A função arco-cosseno
Os gráficos de f e f estão desenhadas a seguir
y* /
rr
-1
70
f* (x) = arc cos x
D(f =
CD(f1) = l(F1) = [0; rr]
Os gráficos de f e f 
f’1 (x) = arc sen x 
D(f,) = (-1; 1]
>
x
2
y - arc cos x 
Ü
cos y = x
y = arc sen x 
0
sen y = x
y f
2 
1
ji
" 2
K Jt
22
2
1
a, n 
2'2
f‘ (x) - arc cos x
A função de [0; x] em [-1; 1 ], tal que f(x) = cos x é invertlvel. A sua inversa, f 1. é a 
função de [-1; 1] em [Q; n]b definida por
-A:-1! ■ 
2 ■ :
ê a função de [-1; 1] em ■
5. A função arco-tangente
A função de em K. tal que f(x) = tg x é ínvertrvel. A sua inversa f . é a
função de R em
C1 (x) = arc tg x
Os gráficos de f e f estão desenhados abaixo
*4
CD(T1) = Iff1) = 2
+
x
Exercícios Resolvidos
3,70) Determine o domínio da função definida por
f (x) = logj (1 - 2x) + 3arc cos
Solução
<1
A solução do sistema acima nos dã D = -
71
f 1 (x) - arc tg x 
D(f1) = R
' 2
/ :
/
As condições que devemos impor sâo
1 —2x >0
2
3x~1
2
n n
2' 2
2 1 
3’ 2
y = arc tg x 
e
tgy = x
Jt , K 
2'2 .
ri. n—; — . definida por
2 2
3.71) Dê a conjunto-imagem da função f, definida por
f(x) = n + 2 arc sen x
Solução
Para todo x, - 1 < x < 1, tem-se
e, somando ti aos membros da desigualdade
0 £
OU
0 Ê f(x) s 2n
Logo
D(f) = [0; 24
3.72) Construa o gráfico da função g, definida por
g(x) = | are sen x | y-
Qual é o seu conjunto-imagem?
Solução
1
3.73) Determine o conjunto-imagem da íunçao definida por:
f(x) = sen (are tg x)
Solução
real qualquer. AssimFazendo u = arc tg x, temos tg ti = x, com
f(x) = sen u e. como - — < a < — . tem-se -1 < sen u < 1, isto é
i(f) = ]-i;i[
72
>
X
Se f(x) = arc sen x, para obtermos o 
gráfico de g(x) = |f(x)|. fazemos a "parte 
que está abaixo" do eixo Ox, do gráfica 
de f(x), sofrer uma reflexão em relação 
a esse eixo
ir n
— í arc sen x < -
2 2
-n £ 2arc sen x £ ti
2L 
‘ 2
n
2
' 2
ti + 2 arc sen x £ 2n
TI
2 * *
-1 i /
2
H
2
Exercícios Propostos
3.74) Determine o domínio da função definida por
f(x) = log (3x —1) + 2log (x+1)
3.75)Determine o domínic da função definida por
3.76) Determine □ conjunto-rmagem da função definida par
3,77) Construa □ gráfica da função definida por
f{x) = — aro cos x
Exercícios Suplementares
1.1) Algumas desigualdades em 3!
b
a
3.‘) Prove que a3 + h2 + c3 ab + bc + ca.
4.°) Se a, b e c sao reais positivos, verifique que
(a + b + c)(a +■ b
an sao positivos e a, -a3 a.,-... an = 1. mostre que5.°) Se a^aj.a.
[1 +ai)(1 <■ a2)(1 +a3)„.(1 + an)>2"
73
6.’) Os números reais p, q e a. sao tais que p 
implicação.
a + b r—
1.*)Seaeb são reais não negativos, prove que —-— vab
« > 1. Demonstre a> 0. q > 0 e
j x
f(x) = 2 arc cos[ — + 3
f(x) =- — -f-3 arc cos x
3
+ c ) > 9
a
2,’) Se a > De b > 0 prove que — 
b
p + a7q P
-------- > a — < a
p + q q
1.2) Seaeb sao reais não nulos, compare os números
a)
b)
c)
1,4) Uma função f, de £ em Z, é tal que para todo a, a e Z e todo b, b € Z, tem-se
f(a + b) = f(a) + f(b).
1.5) Sejam as funções f e g, definidas respectivamente por
f(x) = sen x e g(x) = ax + h, a # 0
calcule a e b, sabendo que fcg = g=f.
1.6) Seja a função g, real, definida por
1.7) Seja f a função real tal que
f(x) =
Verifique que f ê crescente em ] - w ; 1[.
I.8) Prove que para | x | < 1, tem-se
arc sen x + arc cos x =
74
a) Determine f(0).
h) Verifique que f ê ímpar.
c) Se f(1) = k, determine f(n), n e N.
a) Qual ê o dominio de g?
b) Resolva a equação g(x) = 0,
n
2
Xa -3x + 1 
x-1
X = | a - b l e 11 a | — (b f |
1,3) Seja EcK. Um ponto a diz-se ponto de acumulaçao de E se toda vizinhança 
completa de a possui um ponto de E distinto de a,
, . . X+1 . X+29M.|Og_ + tog._
Quais sáo os pontos de acumulação do conjunto E = ]0; 2]?
Qual ê o ponto de acumulação do conjunto E = I-, n e N’ > 7
[n J
Se a ê um ponto de acumulação de E, toda vizinhança V(a) possui infinitos 
pontos de E Demonstre.
PARTE II
Limites e Continuidade
Capítulo 4
Capítulo 5
Capítulo 6
Capítulo 7
Capítulo 8
Capítulo 9
— Definição de limite de uma função
- O conceito de função contínua
- Cálculo de limites
— Limites e continuidade laterais
— Infinito
- Funções trigonométricas, 
Exponenciais e íogarítmicas
Capítulo
Definição de limite de uma função4
y
4.1 - IDÉIA INTUITIVA DE LIMITE DE UMA FUNÇÃO
X
1exemplo
3
g(x) = >
1
X
cujo gráfico se representa ao lado.
77
f(x) -
f(X0) ■
f(x)
\ 3
x, se x < 1
3, se x = 1
x+ 5. se x > 1
g(x) --
5
■
1
Neste item, apresentamos uma discussão informal das principais idéias arespeito 
do conceito de limile, começando com uma pergunta :
"Dada a função f e um número Xo, se tomamos valores de x próximos de xc. que 
número estará próximo dos valores de f(x)9"
x0
í
1 X
Se x0 pertence ao domínio de f, então o 
valor de f para x = xQ é f(x0). 
Poderiamos pensar, então, que se 
tomamos valores de x próximos de xQ, 
os valores de f(x) devem resultar 
próximas de f(xQ). Isto é o que 
acontece, de fato, com muitas funções, 
mas há casos, como veremos nos 
exemplos, em que, embora x tome 
valores próximos de xQ, os valores de 
f(x) não se aproximam de f(x0).
2.° exemplo
Considere, agora, o exemplo da função 
g : R -> R, dada por
Seja a função f : R -> R, dada por 
f(x) = x2 + 2 , cujo gráfico se representa 
ao lado.
Diretamente no gráfico, pode-se ver 
que:
1. “) f(1) = 3
2. °) Se x é próximo de 1, então f(x) é 
próximo de 3 = f(1).
h: K - {3} -> R por
podemos repre-sentá-la
3,
= x + 3h(x) =
3 x
X
78
Diretamente no gráfico, vê-se que:
1. °)gd) = 3
2. °) Se x é próximo de 1 do lado direito, então g(x) é próximo de 5.
Se x é próximo de 1 do lado esquerdo, então g(x) é próximo de 1.
1. °) não existe h(3) (pois o valor xo = 3 não está no domínio de h).
2. °) se x é próximo de 3, h(x) é próximo de 6.
1.°) não se define f-i(O) (ou seja, o valor 
Xo = 0 não pertence ao dominio de fi).
2.°) se x se aproxima de 0 pela direita, 
fi(x) toma valores positivos cada vez 
maiores.
Se x se aproxima de 0 pela esquerda 
fi(x) toma valores negativos, mas de 
valores absolutos cada vez maiores.
h(x)
6
(x + 3)(x-3) 
x-3
logo, os pontos do gráfico pertencem a 
uma reta. O gráfico é constituído por 
todos os pontos dessa reta, exceto 
aquele de abscissa x0 = 3. Vê-se, 
facilmente, que:
4.° exemplo
Dada a função fi : R - {0} —> R por 
1
f,(x) = —, cujo gráfico é mostrado ao 
lado, pode-se notar que:
Como se vê, neste último caso não é verdade que g(x) se aproxime de g(1) = 3 
quando x se aproxima de 1. Neste exemplo, só foi possível considerar a 
aproximação de g(x) separadamente pela esquerda e pela direita de xo = 1, 
Examinemos mais exemplos do comportamento que uma função apresenta quando 
x esta próximo de um dado ponto Xo.
3.° exemplo
Dada a função
' x’-9 
h(X)’x-3’
pelo gráfico ao lado. Note que, para x
* 3, temos
h : R - {3} -> S
dada por h(x) = . Vimos que h(x) está próxima de 6 quanda X está próximo
lim ffx) = L
lim f(x) = Lí
lim f(x) = Lí
lim g(x) = 5e
e também, para as demais funções:
lim lim
79
Come podemos observar nos exemplos examinados. □ comportamento que uma 
função f apresenta, quando x esta próximo de um dado ponto xq, pode ser bem 
variado. Considere de novo o 3/ exemplo, aquele da função
se f(x) estiver próximo de Li quando x se aproximar de Xo pelo lado esquerdo, e 
ainda
lim g(x) - 1
x1 -9
x -3
de 3, ao mesmo tempo em cue não se define o valor numérico h(3). Esta função 
ilustra muito hem o conceito de limite
Se os vaiares de uma função f se aproximam de um número L quando x se 
aproxima de xq, dizemos que o limite de f(x) é L, se x tende a xo. e escrevemos
É hem evidente que lim h(x) = 6 Assim também, para as funções dos demais 
k-*3
exemplos que vimos, podemos notar que lim (x3 + 2] = 3. que lim g(x] náo é 3 e
se f(x) estiver próximo de L; quando x se aproximar de Xn pelo lado direito. 
Assim, no exemplo da função g, teremos
1
que lim — também não existe.
Ao investigar o limite de uma função f num ponto xa, estamos interessadas em 
valores de x próximos de xo. Veja que pouco interessa o que ocorre com o valor 
numérico de f para x - Xo.
No caso de funções como a g, a noção de limite pode ser adaptada, se falarmos 
em limites iaierais, para x tendendo a xo pela esquerda au peta direita.
Escrevemos
lim (xi-r2) = 3 
íL2 = 6 
x-3
lim(x^2) = 3
x! -9 , 
--------- = 6
x-3
y
X
e
5.°) exemplo
a) lim f(x)
7
b) lim f(x)
6
5
4 — 11
3-
2—
53 421
Encontramos os seguintes significados:
i) lim f(x)
j) lim f(x)
k) lim f(x)
l) limf(x)
m) lim f(x)
n) lim f(x)
o) limf(x)
M —• $
m) 1
n) não existe
o) não existe
a) 1
b) 2
c) não existe
d) 2
e) 1
f) não existe
g) 4
h) 4
lim
1”......T.......
1 \ l
-Ç-/-4..... ♦
lim
> >o- X
0 4
j) 7
k) + <x>
l) não existe
1
— = + CO 
X
No caso da função fi : R - {0} —> R, f-i(x) = — , vista no 4.° exemplo, usaremos o 
x
simbolo co. Como sabemos, este símbolo se lê infinito e não representa um número 
real. É usado para indicar a idéia de 
que os valores de uma dada variável 
tomam-se grandes, sem limitação.
Poderemos, então, escrever
1
— = - CO
:) limf(x)
X »1
i) lim f(x)
e) lim f(x)
f) limf(x)
g) lim f(x)
h) lim f(x)
Considere, agora, a função f cujo gráfico é representado ao lado. Para as 
expressões.
A noção de limite, na linguagem que utilizamos até aqui, embora intuitivamente 
tenha ficado clara, só estará estabelecida solidamente, para futuros 
desenvolvimentos lógicos, se for reescrita numa linguagem mais técnica e formal. 
Devemos estipular, rigorosamente, o que queremos dizer com as palavras "estar 
próximo" ou "tender a". Tais noções ficam suficientemente claras quando 
ultilizamos o conceito de intervalo, que em nosso estudo recebe o sugestivo nome 
de vizinhança. Nos próximos itens, trataremos de introduzir essa linguagem, para 
definirmos rigorosamente a idéia de limite.
80
4.2 - DEFINIÇÃO FORMAL DE LIMITE DE UMA FUNÇÃO
1.® exemplo
Tomemos, primeiramente, o exemplo da função h : R - {2} -» R, dada por
h(x) =
= x2 , logo, os pontos do gráfico
y-
2 x
4 - 0,1
iou, ainda, que 0.1 4 - 0,1
V(4; 0,1)
X
A/4 - 0,í A4 + 0,1
ou ainda
81
x3 - 2x2 
x-2
< h(x) <4 + 0,1
74-0.1 < x < 74 + 0.1 e x * 2
14 + 0,1 1 ■■
De fato, supondo x / 2. pode-se escrever h(x) = x2. Então, a condição | h(x) - 4 ( 
< 0,1 fica | x2 -4 | < 0,1, donde
4-0,1 < x2 < 4 + 0,1
-0.1 < x2 — 4 < 0.1
x2(x - 2) 
x-2 
pertencem a uma parábola. O gráfico é constituído de todos os pontos da parábola, 
com exceção daquele que tem abscissa Xo = 2. 
Intuitivamente, é claro que 
lim h(x) = 4
o que significa que é possível fazer h(x) 
ficar tão próximo de 4 quanto 
quisermos, bastando fazer x ficar 
suficientemente próximo de 2 (note que 
não desejamos que x fique igual a 2, 
mas unicamente próximo de 2). Para 
exemplificar, suponha que a distância 
de h(x) até 4 seja menor o que 0,1. Isto 
significa que
Pode-se ver que. para conseguir este 
efeito, bastará tomar x dentro do 
intervalo
Para x * 2. temos h(x) =
I h(x)-4 |
Graficamente, desejamos que h(x) se 
situe na faixa do eixo Oy indicada ao 
lado, a qual é a representação da 
vizinhança
É claro, portanto que tomando-se
74-0.1
resulta rá
então
I h(x)-4 | <C"
82
I
I h(x)-4 | < E 
pois sera sempre possível escolher uma vizinhança de 2,
| h(x) - 4 | <0,1
Este intervalo ê o mais amplo possível. Na verdade, qualquer intervalo aberto 
contido nesse, tendo 2 em seu interior, serviria também ao nosso propósito. Vè-se, 
então, que é possível fazer h(x) ficar uma distância de 4 menor do que 0,1 : basta 
tomar x dentro de uma vizinhança de 2 contida no intervalo acima. 
Aproximemos h(x) mais ainda de 4. Se desejamos que a distância de h(x) até 4 
seja menor do que 0,001, isto ê, que
[ h(X)-4 I < 0,001
deveremos escolher uma vizinhança de 2 com raio òem menor; mas é claro que, 
pormenor que seja a distância que desejarmos de h(x) até 4, será sempre possível 
encontrar uma conveniente vizinhança de 2 que funcione bem.
Generalizando, diremos que se tomarmos qualquer número positivo e (por menor 
que seja este valor), podemos fazer
< x < 74 + 0,1, com x * 2
Esta mesma frase pede ser dita assim:
"dada uma vizinhança do número 4, com raio c, é possível escolher uma 
vizinhança do número 2, com raio ô, tal que se x e V'(2; 8), então h(x) e V(4; c}*.
V’(2; ô)
com 0 raio 8 conveniente. Para essa vizinhança, teremos que se|X“2|<6exí£2l 
então | h(x) - 4 | < e.
Ao invés de escrever |x-2|<óex/2, podemos escrever 0 < | x - 2 | < 8,
Veja que a frase Um n(x) = 4 começa a se substituída por outra, equivalente, mas
de significado preciso.