Gabarito da Lista 2 (Módulo 1) - Curso de Análise 1 (UnB) - Prof Celius

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ana´lise 1
Mo´dulo 1 – Gabaritos – Lista 2 1.o/2013
1) Fac¸a o que se pede nos itens a seguir, relativos ao uso do valor absoluto para descrever
subconjuntos da reta.
a) Descreva o conjunto A = {x ∈ R; a distaˆncia de x a 1 e´ menor ou igual a 4} usando o
valor absoluto.
Resposta: A = {x ∈ R; |x− 1| ≤ 4}
b) Descreva o conjunto B = {x ∈ R; a distaˆncia de x a − 5 e´ menor do que 2} usando o
valor absoluto.
Resposta: B = {x ∈ R; |x+ 5| < 2}
c) Em geral, dados r ∈ R e ǫ > 0, use o valor absoluto para descrever o conjunto
C = {x ∈ R; a distaˆncia de x a r e´ menor do que ǫ}.
Resposta: C = {x ∈ R; |x− r| < ǫ}
d) Descreva o conjunto D = {x ∈ R; |3x+ 2| ≥ 4} sem usar o valor absoluto.
Resposta: D = {x ∈ R; a distaˆncia de x a −23 e´ maior ou igual a 43} = {x ∈ R;x ≤ −2 ou x ≥ 2/3}
e) Descreva o conjunto E = {x ∈ R; |x− 2| < |x− 6|} sem usar o valor absoluto.
Resposta: E = {x ∈ R; a distaˆncia de x a 2 e´ menor do que a distaˆncia de x a 6} = {x ∈ R;x < 4}
2) Na figura abaixo, o triaˆngulo ÂBC e´ retaˆngulo em C, e h e´ a altura desse triaˆngulo em
relac¸a˜o a` hipotenusa AB. Observe que os triaˆngulos ÂCD e B̂CD sa˜o tambe´m retaˆngulo
em D, e as medidas dos lados desses triaˆngulos esta˜o indicadas na figura.
A B
C
D
y x
h
b a
a) Use o fato de os triaˆngulos serem retaˆngulos para expressar h
em termos das medidas x e y.
Resposta: h =
√
xy
b) Usando o item anterior e a desigualdade (x − y)2 ≥ 0, mostre
que h e´ menor ou igual a` metade da hipotenusa AB.
Resposta: Notar que (x + y)2 = (x− y)2 + 4xy ≥ 4xy
c) Conclua que a me´dia geome´trica
√
xy e´ menor ou igual a` media aritme´tica desses dois
nu´meros.
Resposta:
√
xy = h ≤ x+y2
d) Determine condic¸o˜es para que as me´dias acima sejam iguais.
Resposta:
√
xy = x+y2 ⇔ x = y
e) Interprete geometricamente a condic¸a˜o do item anterior.
Resposta: o triaˆngulo ÂBC e´ iso´sceles
Ana´lise 1 Mo´dulo 1 – Gabaritos – Lista 2 1.o/2013 – 1/2
3) Dada uma sequeˆncia (an) considere a sequeˆncia (Mn), em que Mn =
1
n
(a1+ a2+ · · ·+ an)
e´ a me´dia aritme´tica dos n primeiros termos de (an). Suponha agora que (an) convirja para
a, isto e´, que dado ǫ > 0, existe n0 ∈ N tal que |an − a| < ǫ para todo n > n0.
a) Justifique a afirmac¸a˜o de que a sequeˆncia (an − a) e´ limitada.
Resposta: |an − a| ≤ K, onde K = max {ǫ, |a1 − a|, . . . |an0 − a|}
b) Expresse a diferenc¸a Mn − a em termos das diferenc¸as aj − a, com j = 1, 2, . . . , n.
Resposta: Mn − a = 1n ((a1 − a) + (a2 − a) + · · ·+ (an − a))
c) Mostre que existe K > 0 tal que, se ǫ e n0 sa˜o os nu´meros indicados acima, enta˜o
|Mn − a| ≤ n0Kn + (n−n0)ǫn para todo n > n0.
Resposta: usar que |Mn − a| ≤ 1n (|a1 − a|+ · · ·+ |an0 − a|) + 1n (|an0+1 − a|+ · · ·+ |an − a|)
d) Conclua que (Mn) tambe´m converge para a.
Resposta: notar que limn→∞(
n0K
n
+ (n−n0)ǫ
n
) = 0
e) Verifique que, apesar da sequeˆncia an = 1+(−1)n na˜o convergir, a sequeˆncia das me´dia
(Mn) e´ convergente, e calcule o limn→∞Mn.
Resposta: tem-se que M2n = 1 e M2n+1 = 2n2n+1 ⇒ limn→∞Mn = 1
4) O objetivo dessa questa˜o e´ mostrar que limn→∞(n!)
1
n =∞, isto e´, que dado M > 0, existe
n0 ∈ N tal que (n!) 1n > M para todo n > n0. Isso pode ser feito a partir das propriedades do
limite, da desigualdade de Bernoulli (1+ a)n ≥ 1+na, com a > 0 e n ∈ N, e da propriedade
arquimediana dos reais, isto e´, que se c > 0 e b ∈ R, existe n ∈ N tal que b < nc.
a) Use a definic¸a˜o e a propriedade arquimediana para mostrar
que limn→∞
1
1+na
= 0.
Resposta: ∀ ǫ > 0, ∃ n0 ∈ N; 1ǫ − 1 < n|a| ⇒
∣
∣
∣
1
1+na − 0
∣
∣
∣ < ǫ ∀ n ≥ n0
b) Notar que, se 0 < r < 1, enta˜o r = 1
1+a
para algum a > 0. Use
essa informac¸a˜o, o item anterior e o enunciado para mostrar
que limn→∞ r
n = 0.
Resposta: rn = 1(1+a)n ≤ 11+na → 0 com n→∞
Jacques Bernoulli
(1654-1705)
c) Observe que, dado M > 0, M
n
n!
= M
1
M
2
· · · M
n
, onde M
n
pode ser tornado pequeno. Use
essa observac¸a˜o para obter K > 0 e 0 < r < 1 tais que M
n
n!
≤ Krn.
Resposta: para n0 tal que Mn0 = r < 1 tem-se
Mn
n! =
M
1 · · · Mn0 Mn0+1 · · · Mn < M1 · · · Mn0 1rn0 rn = Krn
d) Use os itens anteriores para concluir que existe n0 ∈ N tal que 0 < Mnn! < 1 ∀n > n0.
Resposta: limn→∞ M
n
n! = 0⇒ dado ǫ = 1, ∃ n0 ∈ N tal que |M
n
n! − 0| = M
n
n! < 1 ∀ n ≥ n0
e) Conclua finalmente que limn→∞(n!)
1
n =∞.
Resposta: dado M > 0 existe n0 ∈ N tal que Mnn! < 1 ∀ n ≥ n0 ⇒ (n!)
1
n > M ∀ n ≥ n0
Ana´lise 1 Mo´dulo 1 – Gabaritos – Lista 2 1.o/2013 – 2/2