06. Regressão polinomial

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1 
 
 
Regressão polinomial 
 
 (Análise de superfícies de tendência) 
 
1 
 
Coeficiente de correlação 
 
 Coeficiente de correlação 
linear produto momento, 
segundo Pearson (r) 
 
 
 SPXY = xy -(x y) / n; 
 SQX = x2 - (x)2 / n; 
 SQY = y2 - (y)22 / n 
 
 
 r: -1 à +1; 
 r: 0, não há correlação linear 
entre x e y. 
1n
)y
i
y(Σ
.
1n
)x
i
x(Σ
1n
)y
i
y)(x
i
x(Σ
)yvar()xvar(
)y,xcov(
r
22







SQY.SQX
SPXY
r 
,
2r1
2n
rt



2 
Coeficiente de determinação 
 
 r2*100%: fração da variância total de x e y 
explicada pela relação linear; ajuste da 
distribuição dos pontos em relação à reta. 
 
 
3 
Regressão linear 
 Verificado pelo valor de r que ocorre uma significante 
correlação linear entre duas variáveis há necessidade 
de quantificar tal relação, o que é feito pela análise de 
regressão. 
 
 Modelo: equação de uma reta que, disposta num 
sistema de eixos cartesianos, com valores de yi (variável 
dependente) na ordenada e xi (variável independente) 
na abcissa, a soma dos quadrados dos desvios verticais 
dos pontos em relação a ela seja mínima. 
4 
Equação da reta 
 Y = a + bX 
 onde yi é o valor estimado para um específico valor xi; 
 “b” revela a inclinação da reta, ou seja o acréscimo ou 
decréscimo do valor de y em relação à x; 
 “a” localiza na ordenada o ponto de interseção da reta em 
relação ao sistema de coordenada retangulares. 
 
 Utilizando o método dos mínimos quadrados, os valores da 
equação da reta são determinados por: 
 
SQX
SPXY
b 
xbya 
n
iyΣy 
n
ixΣx 
5 6 
2 
 
Regressão curvilínea 
 
 
 
 
 potências crescentes de xi, variável independente e 
coeficientes 
 xi e xi2: parábola com um único ponto de inflexão 
 com potências crescentes de xi, curva mais complexa para 
ajuste 
 processo por etapas (stepwise) 
 
 O modelo para a regressão polinomial de grau k é 
 
 
 
...3X
3
a2X
2
aX
1
a
0
a*Y 
εk
i
X
k
α...2
i
X
2
α
i
X
1
α
o
αY 
7 
Função quadrática 
8 
Função cúbica 
9 
Extensão da regressão linear 
Regressão linear: 
bxay 
x 
y 
Regressão polinomial: 
ybxbbz 210 
x 
y 
z 
10 
11 
Dados originais 
Dados interpolados 
Ajustando uma superfície de tendência 
de 1º grau 
12 
3 
•O comportamento espacial de variáveis mapeáveis pode 
ser mostrado com os valores distribuindo-se segundo 
curvas de mesmo valor, também conhecidas como 
isopletas. 
 
•Tais mapas, como os topográficos, fornecem 
importantes informações, porém, em algumas situações 
os padrões de variação não se mostram muito claros 
devido a flutuações locais ou a valores anômalos. 
 
•É comum nessas circunstâncias falar-se em tendências 
regionais que são mascaradas por anomalias locais. 
•Método da análise de superfícies de tendência: 
separação entre grandes e sistemáticas mudanças 
existentes na área e pequenas, aparentemente não 
ordenadas, que se impõem aos padrões mais gerais. 
13 
Regressão polinomial 
  superfícies contínuas calculadas por critérios de regressão 
polinomial, onde Zi é a variável dependente em função linear 
das coordenadas X-Y dos pontos amostrados e irregularmente 
distribuídos 
 
 o modelo para a representação da superfície, pelo método dos 
polinômios não ortogonais, é: 
 
 
 
onde zi(X,Y) é a variável mapeada em função das coordenadas xi 
e yi e ei representa os resíduos, ou seja, a fonte não-
sistemática de variação. 
)y,x(e...]yxaxayaxaa[)Y,X(z iiiii4
2
i3i2i10i 
14 
Análise de superfícies de tendência 
 
 Separação entre o aspecto estrutural (determinístico) e o 
aspécto errático (casual): tendências regionais e 
pequenas, aparentemente não ordenadas flutuações, que 
se impõem aos padrões mais gerais. 
 
 Detecção de anomalias: resíduos, positivos e negativos, 
de superfícies de baixo grau. 
 
 Modelagem por suavização: verificação da superfície de 
mais alto grau possível que se ajuste aos dados. 
 
 
 
 
ii2i10 eyaxaa)Y,X(z 
15 
Representação de uma superfície 
linear (grau 1) 
 para o cálculo dos 
coeficientes ai, 
dispõe-se os dados 
num sistema de 
equações normais 
 
 
 
 
 [A] = [XY]-1[Z] 
 





































ii
ii
i
1
0
2
iiii
ii
2
i
ii
yz
xz
z
2a
a
a
yyxy
yxxix
yxn
16 
Superfície de grau 2 










































































i
2
i
iii
i
2
i
ii
ii
i
1
4
i
3
ii
2
i
2
i
3
i
2
ii
2
i
3
ii
2
i
2
ii
3
i
2
ii
2
iii
2
i
2
ii
3
i
4
i
2
i
3
i
2
i
3
i
2
iii
2
i
2
iiii
2
iii
2
i
3
ii
2
ii
2
iii
2
iii
5
4
3
2
1
0
zy
zyx
zx
zy
zx
z
yyxyxyyxy
yxyxyxyx
i
yxyx
yxyxx
i
yxxx
yyxyxyyxy
yxyxx
i
yxxx
yyxxyxn
b
b
b
b
b
b
17 
Cuidados: 
 procurar tecer considerações apenas em relação à 
área coberta pelos pontos evitando as extremidades 
dos mapas, pois a extrapolação pode apresentar 
distorções; 
 
 o número de pontos deve ser maior que o número 
de coeficientes do polinômio a ser calculado; 
 
 o arranjo dos pontos, ainda que irregular, deve ser 
casual e razoavelmente bem distribuído, evitando 
agrupamentos; 
18 
4 
 Quando da inversão da matriz, por programas em 
microcomputador, podem ocorrer problemas com os 
resultados obtidos para superfícies de mais alto grau, isso 
porque em sistemas com valores de diversos dígitos, tipo 
UTM, a precisão computacional se deteriora exigindo 
formato de dupla precisão. 
 Mesmo assim podem ocorrer limitações e, então, a solução 
é a transformação das coordenadas xi e yi, conforme as 
equações, que fornecem valores para as coordenadas 
entre 0 e 1 e não modifica a forma das superfícies: 
minmax
mini
xx
xx
*x



minmax
mini
yy
yy
*y



19 20 
Verificação do ajuste das superfícies: coeficiente de 
determinação (R2) 
 Proporção da variação total da variável dependente “zi” que é 
explicada pela variação das variáveis independentes “xi” e “yi” 
 
 Variação total dos dados: SQT = Z2 – (Z)2/n 
 Variação devido à superfície calculada: SQP = Z*2–(Z*)2/n 
 Variação devido aos resíduos: SQR = SQT - SQP 
 
 Porcentagem de ajuste da superfície: R2 = (SQP/SQT)100 
 
 O coeficiente de correlação “r” indica a relação entre variáveis 
e “r2” indica o quanto uma variável “explica” a outra, ou 
quanto a superfície calculada se ajusta aos dados espaciais 
originais. 
21 
Superfícies de tendência 
R2 = 45.42 % 
 
R2 = 92.72 % R
2 = 82.11 % 
Linear 
 
Quadratic Cubic 
 
Superfície original com 
pontos de amostragem 
22 
Exemplos 
X
1
 (km) 
X
2
 (km) 
Y 
10.0 17.0 -665.0 
21.0 89.0 -613.0 
33.0 38.0 -586.0 
35.0 20.0 -440.0 
47.0 58.0 -544.0 
60.0 18.0 -343.0 
65.0 74.0 -455.0 
82.0 93.0 -437.0 
89.0 60.0 -354.0 
97.0 15.0 -142.0 
 
23 
Equação do plano: Yi = -621 – 4.78X1 – 1.96X2 
24 
5 
Y1 = -621 -4.78(10.0 –1.96(17.0) = -606.6 
25 
Superfície de grau 1 
10 20 30 40 50 60 70 80 90
20
30
40
50
60
70
80
90
-760
-720
-680
-640
-600
-560
-520
-480
-440
-400
-360
-320
-280
-240
-200
26 
Resíduos positivos e negativos 
10 20 30 40 50 60 70 80 90
20
30
40
50
60
70
80
90
-200
-180
-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
27 
Amostragem/Rio Paraiba: plancton 
0 500 1000 1500 2000 2500
0
50
100
28 
Superfície linear 
0 500 1000 1500 2000 2500
0
50
100
0 500 1000 1500 2000 2500
0
50
100
29 
Resíduos da superfície de tendência 
0 500 1000 1500 2000 2500
0
50
100
30 
6 
Dengue na área urbana de Rio Claro/SP 
(Ushizima & Landim). 
 No município de Rio Claro/SP a incidência da dengue 
aumentou de menos que 5 casos por 100.000 
habitantes nos anos de 1998 e 1999 para 349 
casos/100.000 hab. no ano de 2002, num total de 
588 casos confirmados 
 
 Entre as áreas com ocorrência da dengue destaca-se 
a região nas proximidades do cemitério público São 
João Baptista e nas proximidades da rodovia estadual 
Washington Luís 
31 
Área urbana de Rio Claro/SP 
32 
Foi verificado para o ano de 2002 um total de 598 
notificações positivas com uma taxa de 
incidência da ordem de 349 casos/100.000 
habitantes. 
33 
Superfície de tendência de 1o grau para incidência do 
dengue (casos por 10.000 habitantes)para 2002. 
232000 234000 236000 238000 240000
7514000
7516000
7518000
7520000
7522000
7524000
7526000
-
2
5
-
2
0
-
1
5
-
1
0
-
5
0 5 1
0
1
5
2
0
2
5
3
0
3
5
4
0
4
5
5
0
5
5
6
0
6
5
7
0
7
5
Km
Escala Gráfica
Superfície de tendência de 1o. grau
 (Incidência casos/10.000 hab)
Legenda
Cemitério
Rodovia
Área Urbana
0 1000 2000
34 
Mapa de resíduos da superfície de tendência linear 
232000 234000 236000 238000 240000
7514000
7516000
7518000
7520000
7522000
7524000
7526000
-
1
5
0
0 1
5
0
3
0
0
4
5
0
6
0
0
7
5
0
Resíduos da superfície 
de tendência de 1o. grau
0 1000 2000 Km
Escala Gráfica
Legenda
Cemitério
Rodovia
Área Urbana
35 
Cotas 
topográficas do 
topo de uma 
unidade de 
carvão, situada 
sobre uma 
grande estrutura 
anticlinal. 
36 
7 
-90000 -85000 -80000 -75000 -70000
105000
110000
115000
120000
125000
130000
37 
Superfícies de tendência obtidas pelo Surfer 8 
Surfer 6 
Padronização 
38 
Superfícies de tendência obtidas pelo Surfer 6 
39 40 
Resíduos 
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-240
-220
-200
-180
-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
120
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
320
340
360
380
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-850
-800
-750
-700
-650
-600
-550
-500
-450
-400
-350
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
1: 200, -850 
2: 380, -100 
3: 120, -240 
4: 150, -060 
41 
R2 
 Trend 1: 0,5564 
 Trend 3: 0,9435 
 Trend 5: 0,9812 
 Trend 7: 0,9875 
42