Aula 2 - A progressão aritmética Termo geral

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2a
3o bimestre
Aula 2
Ensino
Médio
Matemática
A progressão aritmética – Termo geral
Série
2026_EM_V1
Termo geral da progressão aritmética.
Conceituar progressão aritmética;
Obter, a partir do conceito de progressão aritmética, a fórmula do termo geral;
Classificar progressão aritmética quanto ao crescimento.
Conteúdos
Objetivos
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Serviços básicos, como água e energia elétrica, têm um sistema parecido de cobrança de multas/juros por atraso no pagamento, com cobrança realizada a partir de mora e juros simples:
multa de 2% cobrada sobre o valor inicial devido à companhia prestadora de serviço (mora);
juros de 0,033% ao dia, cobrados sobre o valor inicial devido.
O pagamento de serviços básicos em atraso
Exemplo de fatura de energia elétrica.
Reprodução/CPFL. Disponível em: https://www.cpfl.com.br/empresas/nova-conta-cpfl. Acesso em: 09.JAN. 2026.
Para começar
10 minutos
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Conhecer o funcionamento dessas cobranças é um direito do consumidor.
Com base no texto, responda:
O que são juros? Qual é a diferença entre juros simples e juros compostos?
Juros de 0,033% ao dia correspondem a qual percentual de juros por mês?
Uma empresa tem uma “conta” de R$ 1 000,00 de energia elétrica. Caso atrase, são cobrados 2% de mora e 0,033% de juros ao dia. Qual é sua dívida após 1 dia de atraso? E após 2 dias? E após 3 dias? O que você percebe nesse aumento diário? 
O pagamento de serviços básicos em atraso
Para começar
VIREM E CONVERSEM
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Juros são o valor pago ou recebido pelo uso do dinheiro durante um período de tempo. 
Nos juros simples, o cálculo é feito sempre sobre o valor inicial. Isso significa que, a cada período, o juro tem sempre o mesmo valor. O crescimento do total é constante, aumentando de forma regular. 
Nos juros compostos, o cálculo é feito sobre o valor acumulado, ou seja, o valor inicial somado aos juros dos períodos anteriores. Nesse caso, ocorre o chamado “juros sobre juros”. A cada período, o valor do juro aumenta, fazendo o total crescer cada vez mais rápido.
A diferença nos regimes de juros
Para começar
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No caso da empresa, sua multa aumenta diariamente:
Dia 1: 
Dia 2: 
Dia 3: 
A multa aumenta R$ 0,33 por dia.
A cobrança de juros e mora
Para começar
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Exemplos:
 PA de razão r = 4
 PA de razão r = −3
 PA de razão r = 0
Progressão aritmética (PA)
Foco no conteúdo
Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência numérica em que a diferença entre um termo e o termo seguinte é sempre a mesma. Essa diferença é chamada de razão da progressão.
Se a sequência aumenta, ela é crescente. Se diminui, ela é decrescente. Se não muda, é constante.
FICA A DICA
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Qual das sequências a seguir não é uma progressão aritmética?
1, 2, 3, 4, ...
3, 5, 7, 11, ...
10, 9, 8, 7, ...
5, 5, 5, 5, ...
2 minutos
Pause e responda
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Qual das sequências a seguir não é uma progressão aritmética?
1, 2, 3, 4, ...
3, 5, 7, 11, ...
10, 9, 8, 7, ...
5, 5, 5, 5, ...
Pause e responda
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Retornando ao exemplo inicial, seja a sequência da dívida da empresa enquanto não há pagamento:
O termo geral da progressão aritmética
Foco no conteúdo
Após dias:
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O termo geral de uma PA é uma fórmula que permite calcular o valor do termo que ocupa uma posição na sequência.
O termo geral da progressão aritmética 
Foco no conteúdo
Se é uma progressão aritmética de razão , seu termo geral é dado por:
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Considere a sequência 1, 5, 9, 13, ...
Qual é o termo que ocupa a décima posição?
Essa sequência é uma PA com e razão . Assim:
Exemplo
Foco no conteúdo
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O valor 97 pertence a essa sequência?
Vamos verificar se existe tal que :
O 25o termo dessa sequência é 97.
Exemplo
Foco no conteúdo
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200
299
300
302
Determine o centésimo termo da progressão aritmética 2, 5, 8, 11, ...
Na prática
TODO MUNDO ESCREVE
Veja no livro!
Atividade 1
5 minutos
A
B
C
D
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200
299
300
302
Determine o centésimo termo da progressão aritmética 2, 5, 8, 11, ...
Na prática
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Atividade 1
A
B
C
D
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A sequência (2, 5, 8, 11, ...) é uma progressão aritmética de razão .
Fazendo na fórmula do termo geral:
Resolução
Na prática
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Atividade 1
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180
190
200
220
Uma empresa aumenta mensalmente a produção em uma quantidade fixa. No 1o mês, produz 120 unidades e, no 2o mês, 140 unidades. Mantendo esse padrão, quantas unidades serão produzidas no 5o mês?
Na prática
TODO MUNDO ESCREVE
Veja no livro!
Atividade 2
5 minutos
A
B
C
D
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180
190
200
220
Uma empresa aumenta mensalmente a produção em uma quantidade fixa. 
No 1o mês, produz 120 unidades e, no 2o mês, 140 unidades. Mantendo esse padrão, quantas unidades serão produzidas no 5o mês?
Na prática
Veja no livro!
Atividade 2
A
B
C
D
2026_EM_V1
A quantidade de unidades produzidas mês a mês é uma progressão aritmética de razão . Assim, no 5o mês:
Serão produzidas 220 unidades no 5o mês.
Resolução
Na prática
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Atividade 2
2026_EM_V1
2
3
4
5
Determine a razão da progressão aritmética definida por
Na prática
TODO MUNDO ESCREVE
Veja no livro!
Atividade 3
5 minutos
A
B
C
D
2026_EM_V1
2
3
4
5
Determine a razão da progressão aritmética definida por
Na prática
Veja no livro!
Atividade 3
A
B
C
D
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Calculando os primeiros termos dessa sequência:
A sequência é uma progressão aritmética cuja razão é 3.
Resolução
Na prática
Veja no livro!
Atividade 3
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Qual é a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética permite encontrar quais elementos da sequência?
Encerramento
COM SUAS PALAVRAS
2 minutos
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LEMOV, Doug. Aula nota 10 3.0: 63 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula / Doug Lemov; tradução: Daniel Vieira, Sandra Maria Mallmann da Rosa; revisão técnica: Fausta Camargo, Thuinie Daros. 3. ed. Porto Alegre: Penso, 2023.
ROSENSHINE, B. “Principles of instruction: research-based strategies that all teachers should know”. In: American Educator, v. 36, n. 1., Washington, 2012. p. 12-19. Disponível em: https://eric.ed.gov/?id=EJ971753. Acesso em: 21 ago. 2025.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo Paulista: etapa Ensino Médio, 2019. Disponível em: https://efape.educacao.sp.gov.br/curriculopaulista/wp-content/uploads/2020/08/CURR%C3%8DCULO%20PAULISTA%20etapa%20Ensino%20M%C3%A9dio.pdf. Acesso em: 12 ago. 2024.
Identidade visual: imagens © Getty Images
Referências
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Para professores
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Slide 2
Habilidade:
(EM13MAT507) Identificar e associar progressões aritméticas (PA) a funções afins de domínios discretos, para análise de propriedades, dedução de algumas fórmulas e resolução de problemas.
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Slides 3 e 4
Dinâmica de condução: inicie a aula apresentando o problema da conta de energia elétrica. Se julgar relevante, essa atividade pode ser adaptada para a cidade em que se vive, uma vez que existem algumas diferenças entre empresas de serviços básicos nos municípios. Para efeito de comparação, em Jundiaí (SP) há o DAE e a CPFL, enquanto São Paulo (SP) tem SABESP e ENEL.
 
Expectativas de respostas: espera-se que os estudantes tenham algumas dificuldades de cálculo envolvendo os valores percentuais. Se necessário, indique o uso de calculadora e revise esse conceito. É importante reforçar que o esperado é a sequência da dívida dia após dia, e não o cálculo de juros nesse momento.
Tempo: 10 minutos.
 
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Slide 23
Expectativas de respostas: espera-se que os estudantes respondam que a fórmula do termo geral de uma P.A. é e permite encontrar qualquer termo da sequência e também relacionar a posição com o valor dos elementos da P.A.
Tempo: 2 minutos.
 
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Caderno de exercícios
Para esta aula, há atividades adicionais indicadas no bloco de conteúdos Progressão aritmética. Essa seleção permite retomar e aprofundar elementos da temáticacentral. As atividades podem ser realizadas em casa, de forma autônoma pelos estudantes, ou selecionadas para o desenvolvimento em sala de aula — com toda a turma ou com grupos específicos —, de modo a atender à heterogeneidade dos estudantes.
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