Aula 1 - Explorando regularidades em sequências numéricas

Prévia do material em texto

2a
3o bimestre
Aula 1
Ensino
Médio
Matemática
Explorando regularidades em sequências numéricas 
Série
2026_EM_V1
Sequências numéricas recursivas e não recursivas.
Identificar regularidades em sequências numéricas, caracterizando-as.
Modelar sequências numéricas simples com a determinação do termo geral.
Obter termos de uma sequência numérica a partir do termo geral.
Conteúdos
Objetivos
2026_EM_V1
Fibonacci, cujo nome verdadeiro era Leonardo de Pisa (c. 1170–c. 1250) foi um matemático italiano nascido na cidade de Pisa, na atual Itália.
Em 1202, escreveu sua obra mais importante, Liber Abaci, na qual divulgou, na Europa, o uso dos algarismos 0 a 9, o sistema posicional decimal e diversos métodos de cálculo aplicados ao comércio, como juros, câmbio e conversões de moedas. 
Além disso, nesse livro, aparece o famoso problema dos coelhos.
O problema dos coelhos de Fibonacci
Para começar
10 minutos
HORA DA LEITURA
2026_EM_V1
Fibonacci imaginou a seguinte situação:
1. Começamos com um único casal de coelhos recém-nascidos.
2. Um casal de coelhos leva um mês para se tornar fértil.
3. A partir daí, todo casal fértil gera exatamente um novo casal por mês.
4. Os coelhos nunca morrem.
Responda: quais são os 15 primeiros termos da sequência de Fibonacci?
Disponível em: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:FibonacciRabbit.svg. Acesso em: 12 jan. 2026. 
Para começar
VIREM E CONVERSEM
Ilustração da sequência de Fibonacci.
2026_EM_V1
Vamos descrever matematicamente a sequência de Fibonacci. O primeiro termo (posição 1) será indicado por , o segundo termo por e assim sucessivamente:
A sequência de Fibonacci
Foco no conteúdo
Em uma sequência, o termo na posição é indicado por .
Observe que, para , é válida a fórmula:
2026_EM_V1
Os 15 primeiros termos da sequência de Fibonacci são:
Ao longo do tempo, essa sequência teve diversas aplicações. 
A sequência de Fibonacci
Foco no conteúdo
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610
2026_EM_V1
Uma aplicação bastante diferente é a conversão entre milhas e quilômetros:
A conversão entre milhas e quilômetros
Foco no conteúdo
1 milha = 1.600 m = 1,6 km
2 milhas = 3,2 km (aproximadamente 3)
3 milhas = 4,8 km (aproximadamente 5)
5 milhas = 8,0 km
8 milhas = 12,8 km (aproximadamente 13)
2026_EM_V1
Considere a seguinte sequência de conversões:
3 milhas (aproximadamente 5 km)
5 milhas (aproximadamente 8 km)
8 milhas (aproximadamente 13 km)
Qual é a medida aproximada, em quilômetros, de uma distância de 13 milhas?
55 km
21 km
34 km
8 km
2 minutos
Pause e responda
2026_EM_V1
Considere a seguinte sequência de conversões:
3 milhas (aproximadamente 5 km)
5 milhas (aproximadamente 8 km)
8 milhas (aproximadamente 13 km)
Qual é a medida aproximada, em quilômetros, de uma distância de 13 milhas?
55 km
21 km
34 km
8 km
Pause e responda
2026_EM_V1
É possível, ainda, montar uma nova sequência, fazendo divisões entre os termos da sequência de Fibonacci:
Fibonacci e o número de ouro
Na prática
...
2026_EM_V1
Conforme os valores de aumentam, os valores de se aproximam de 1,618:
Fibonacci e o número de ouro
Foco no conteúdo
Se for muito grande, é possível mostrar que:
O número de ouro (φ) é dado por:
2026_EM_V1
Existe uma fórmula que relaciona a sequência de Fibonacci e o número de ouro:
Trocando os valores de por 1, 2, 3 etc. e utilizando o valor de φ, é possível encontrar qualquer termo da sequência de Fibonacci.
Fibonacci e o número de ouro
Foco no conteúdo
Essa fórmula é chamada de termo geral da sequência de Fibonacci.
2026_EM_V1
432
363
300
243
Qual é o décimo termo da sequência com termo geral ?
Na prática
5 minutos
TODO MUNDO ESCREVE
Veja no livro!
Atividade 1
A
B
C
D
2026_EM_V1
432
363
300
243
Na prática
Correção
Qual é o décimo termo da sequência com termo geral ?
A
B
C
D
2026_EM_V1
Substituir na fórmula inicial:
Na prática
Correção
2026_EM_V1
16
19
22
25
Qual é o oitavo termo da sequência 1, 4, 7, 10, 13, …?
Na prática
5 minutos
TODO MUNDO ESCREVE
Veja no livro!
Atividade 2
A
B
C
D
2026_EM_V1
16
19
22
25
Na prática
Correção
Qual é o oitavo termo da sequência 1, 4, 7, 10, 13, …?
A
B
C
D
2026_EM_V1
Cada termo é obtido somando-se 3 ao termo anterior:
Na sequência, os próximos termos são: , e .
Na prática
Correção
2026_EM_V1
Qual é o próximo termo da sequência 1, 4, 9, 16, ...? Por quê?
Encerramento
2 minutos
COM SUAS PALAVRAS
2026_EM_V1
BBC NEWS BRASIL. O que é a sequência de Fibonacci e por que é chamada de “código secreto da natureza”. YouTube, 05 set. 2021. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=cHZWZhHQq4g. Acesso em: 12 jan. 2026.
LEMOV, D. Aula nota 10 3.0: 63 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto Alegre: Penso, 2023.​
MATEMÁTICA COM WBSCLENDER. Donald no país da matemática (completo – dublado). YouTube, 27 jun. 2019. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=Z5KAEL4Oxz8. Acesso em: 12 jan. 2026.
ROSENSHINE, B. Principles of instruction: research-based strategies that all teachers should know. American Educator, v. 36, n. 1, Washington, 2012. p. 12-19. Disponível em: https://www.aft.org/ae/spring2012. Acesso em: 12 jan. 2026.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo Paulista: etapa Ensino Médio, 2020. Disponível em: https://efape.educacao.sp.gov.br/curriculopaulista/wp-content/uploads/2023/02/CURR%C3%8DCULO-PAULISTA-etapa-Ensino-M%C3%A9dio_ISBN.pdf. Acesso em: 12 jan. 2026.​
Identidade visual: imagens © Getty Images​.
Referências
2026_EM_V1
Para professores
2026_EM_V1
Slide 2
Habilidade: (EM13MAT507) Identificar e associar progressões aritméticas (PA) a funções afins de domínios discretos, para análise de propriedades, dedução de algumas fórmulas e resolução de problemas.
2026_EM_V1
Slides 3 e 4
Dinâmica de condução: inicie a aula com uma breve explicação sobre a sequência de Fibonacci. Se julgar relevante, faça uma representação gráfica da sequência na lousa, para facilitar a visualização dos estudantes. Em seguida, solicite que eles escrevam os 15 primeiros termos da sequência. É possível, ainda, fazer associações, escrevendo , e assim sucessivamente, para que eles se apropriem da relação entre posição e índice na sequência.
Expectativas de respostas: espera-se que os estudantes não tenham dificuldade para fazer a escrita dos 15 termos da sequência. Reforce a relação de soma entre os termos anteriores para obter o próximo termo da sequência.
Aprofundamento: se julgar conveniente, apresente os vídeos a seguir:
BBC NEWS BRASIL. O que é a sequência de Fibonacci e por que é chamada de “código secreto da natureza”. YouTube, 05 set. 2021. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=cHZWZhHQq4g. Acesso em: 12 jan. 2026.
MATEMÁTICA COM WBSCLENDER. Donald no país da matemática (completo – dublado). YouTube, 27 jun. 2019. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=Z5KAEL4Oxz8. Acesso em: 12 jan. 2026.
Tempo: 10 minutos.
 
2026_EM_V1
Slide 12
Dinâmica de condução: se julgar interessante, ofereça aos estudantes uma calculadora e indique que façam trocas de por valores como 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 etc. para que percebam que a fórmula realmente determina os termos da sequência de Fibonacci.
 
2026_EM_V1
Slide 19
Expectativas de respostas: espera-se que os estudantes percebam que é uma sequência de quadrados perfeitos. Portanto, a regra de formação é e o próximo termo é 25.
Tempo: 2 minutos.
 
2026_EM_V1
2026_EM_V1
image2.png
image3.png
image4.png
image7.png
image6.png
image17.png
image18.png
image19.png
image20.svg
 
image21.png
image22.svg
 
image23.png
image24.png
image25.svg
 
image260.png
image27.png
image26.png
image29.png
image13.png
image28.png
image29.svg
 
image30.png
image31.svg
 
image34.png
image32.png
image36.png
image37.png
image38.png
image33.png
image40.png
image35.png
image330.png
image39.png
image40.svgimage41.png
image42.png
image43.png
image44.png
image45.svg
 
image5.jpeg
image46.png
image47.png
image48.png
image49.png
image50.png
image51.png
image52.png
image53.png
image16.png
image1.jpeg