Movimento Bidimensional e Vetores

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Física I
Aula 5: Movimento bidimensional: 3.1 - Descrição em termos
de coordenadas - 3.2 - Vetores
Prof. Dr. Leandro A. Oliveira
Horário:
Segunda e sexta
18:30 - 20:10
14/09/2026
Prof. Dr. Leandro A. Oliveira Física I 1 / 15
Conteúdo
1 3.1 - Descrição em termos de coordenadas
2 3.2 - Vetores
3 Livro-texto
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3.1 - Descrição em termos de coordenadas
3.1 - Descrição em termos de coordenadas
• Neste capítulo, vamos passar do movimento retilíneo à descrição
do movimento num plano, que inclui muitos casos importantes,
como o movimento dos projéteis e o movimento da Terra em
torno do Sol.
• Podemos especificar a posição de um ponto num plano através de
2 parâmetros, que são suas coordenadas em relação a um dado
referencial.
• Se adotarmos coordenadas cartesianas, por exemplo, a posição de
uma partícula em movimento no plano será descrita pelo par de
funções
(x(t), y(t)),
onde x(t) é a abcissa e y(t) é a ordenada da partícula no instante t.
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• Podemos dizer que, à medida que o ponto P se move,
descrevendo a trajetória da partícula no plano, suas projeções
sobre os eixos Ox e Oy se movem correspondentemente,
descrevendo movimentos unidimensionais.
• Reduzimos assim a descrição de um movimento bidimensional à
de dois movimentos unidimensionais simultâneos, cuja
composição leva ao movimento no plano.
• Em muitos casos, os movimentos ao longo de dois eixos
ortogonais são independentes um do outro.
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3.2 - Vetores
3.2 - Vetores
• Para dar uma caracterização intrínseca do deslocamento de uma
partícula em sua trajetória em relação a uma origem dada, não
basta conhecermos a magnitude do deslocamento (distância à
origem): é preciso também especificarmos a direção e o sentido do
deslocamento.
• Uma representação geométrica do deslocamento pode ser obtida
por uma seta, que dá diretamente a direção e sentido, e cujo,
comprimento mede a magnitude do deslocamento (Figura
abaixo); usamos a notação r⃗ para nos referimos ao deslocamento
assim representado.
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• Uma propriedade fundamental dos deslocamentos é ilustrada
pelo exemplo do navio dado por Galileu (Figura abaixo).
• O deslocamento total r⃗ da pedra que se deixa cair do topo do
mastro pode ser considerado como resultante do deslocamento na
direção horizontal (que é o deslocamento do navio) com o
deslocamento devido à queda livre da pedra na direção vertical.
• Isto independe de se tratar de deslocamentos em direções
perpendiculares: o deslocamento r⃗ resultante de dois
deslocamentos r⃗1 e r⃗2 em direções diferentes se obtém unindo a
“origem” do primeiro à “extremidade” do segundo (Figura
abaixo).
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• O que é equivalente, pela “regra do paralelogramo”, tomando a
diagonal do paralelogramo construído sobre r⃗1 e r⃗2 (Figura
abaixo).
• Vamos chamar o deslocamento resultante de “soma” dos
deslocamentos r⃗1 e r⃗2:
r⃗ = r⃗1 + r⃗2.
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• Note que, com esta definição, a soma é comutativa (Figura abaixo)
r⃗2 + r⃗1 = r⃗1 + r⃗2.
• A soma é associativa
r⃗1 + (r⃗2 + r⃗3) = (r⃗1 + r⃗2) + r⃗3.
• A soma de um número qualquer de deslocamentos obtém-se da
forma indicada na Figura abaixo, unindo a origem do primeiro à
extremidade do último.
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• Designamos por 0⃗ um deslocamento nulo, r⃗ + 0⃗ = r⃗.
• Para cada deslocamento r⃗, existe um deslocamento oposto, que
designaremos por −r⃗, que leva de volta ao ponto de partida, e que
difere de r⃗ apenas pelo sentido (Figura abaixo): r⃗ + (−r⃗) = 0⃗.
• Isto nos permite definir a diferença de dois deslocamentos por
(Figura abaixo)
r⃗2 − r⃗1 = r⃗2 + (−r⃗1) .
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• A Figura acima mostra que r⃗2 − r⃗1 se obtém unindo a
extremidade de r⃗1 à extremidade de r⃗2 (o que corresponde à outra
diagonal na “regra do paralelogramo”).
• Para λ > 0, o deslocamento λr⃗ é um deslocamento de mesma
direção e sentido que r⃗, mas de magnitude λ vezes maior.
• Se λ