04 ACTIVIDADES_GEO 5

Prévia do material em texto

Geometr ía
Actividades
Contenido
Temas Páginas
PRIMERA
UNIDAD
Triángulos
Aplicamos lo aprendido 
Practiquemos
6
8
Triángulos rectángulos notables
Aplicamos lo aprendido
Practiquemos
13
15
Proporcionalidad y semejanza
Aplicamos lo aprendido
Practiquemos
18
20
Relaciones métricas
Aplicamos lo aprendido
Practiquemos
23
25
Relaciones métricas en triángulos oblicuángulos
Aplicamos lo aprendido
Practiquemos
28
30
Maratón matemática 32
SEGUNDA
UNIDAD
Polígonos regulares
Aplicamos lo aprendido 
Practiquemos
35
37
Áreas de regiones triangulares
Aplicamos lo aprendido 
Practiquemos
40
42
Áreas de regiones cuadrangulares
Aplicamos lo aprendido 
Practiquemos
45
47
Áreas de regiones circulares
Aplicamos lo aprendido 
Practiquemos
50
52
Maratón matemática 55
TERCERA
UNIDAD
Rectas y planos en el espacio
Aplicamos lo aprendido 
Practiquemos
58
60
Poliedros
Aplicamos lo aprendido 
Practiquemos
63
65
Prisma
Aplicamos lo aprendido 
Practiquemos
68
70
Cilindro
Aplicamos lo aprendido 
Practiquemos
73
75
Maratón matemática 78
CUARTA
UNIDAD
Pirámide
Aplicamos lo aprendido 
Practiquemos
81
83
Cono
Aplicamos lo aprendido 
Practiquemos
86
88
Esfera y sólidos de revolución
Aplicamos lo aprendido 
Practiquemos
91
93
Maratón matemática 96
Unidad 1
Reflexiona
•	 En	 el	 esquema	 general	 de	 las	 cosas,	
nuestras	 vidas	 son	 solo	 notas	 pasajeras	
en	el	 lienzo	de	la	eternidad;	por	eso,	ten	
la	 sensatez	 de	 disfrutar	 de	 tu	 viaje	 y	
saborear	el	proceso.
•	 La	disciplina	te	permite	hacer	todas	esas	
cosas	 que	 en	 tu	 corazón	 sabes	 que	 debes	
llevar	a	cabo,	pero	que	muchas	veces	no	
estás	de	humor	para	hacer.
•	 De	todas	las	grandes	virtudes	del	mundo	
la	 más	 necesaria	 e	 indispensable	 para	
lograr	el	éxito	es	la	perseverancia.
Recuerda
Euclides (300 a. C.)
Matemático griego, cuya obra principal, Elementos de Geo-
metría, es un extenso tratado de matemáticas dividido en trece 
volúmenes sobre materias tales como geometría plana, pro-
porciones en general, propiedades de los números, magnitudes 
inconmensurables y geometría del espacio. Probablemente es-
tudió en Atenas con discípulos de Platón. Enseñó Geometría en 
Alejandría y allí fundó una escuela de matemáticas. Los Cálculos 
(una colección de teoremas geométricos), los Fenómenos (una 
descripción del firmamento), la Óptica, la División del canon (un 
estudio matemático de la música) y otros libros se han atribuido 
durante mucho tiempo a Euclides. Sin embargo, la mayoría de los 
historiadores cree que alguna o todas estas obras (aparte de los 
Elementos) se le han adjudicado erróneamente. Probablemente, 
las secciones geométricas de los Elementos fueron; en un princi-
pio, una revisión de las obras de matemáticos anteriores, como 
Eudoxo, pero se considera que Euclides hizo diversos descubri-
mientos en la teoría de números.
Los Elementos, de Euclides, se utilizó como texto durante dos mil 
años e incluso hoy, una versión modificada de sus primeros libros 
constituye la base de la enseñanza de la geometría plana en las 
escuelas secundarias. La primera edición impresa de las obras de 
Euclides, que apareció en Venecia en 1482, fue una traducción 
del árabe al latín.
¡Razona...!
¿Cuántos fósforos como mínimo se deben quitar para formar 
cuatro cuadrados del mismo tamaño?
A) 5 B) 4 C) 3 
D) 2 E) 1
6 Intelectum 5.° 
Aplicamos lo aprendido 
tema 1: TRIÁNGULOS
1 En un triángulo ABC se cumple AB + BC = 30 cm. Luego se 
ubica un punto M sobre AC; si AC = 20 cm, calcula el menor 
valor entero de BM.
A) 6 cm B) 4 cm C) 2 cm
D) 10 cm E) 9 cm
2 En el interior de un triángulo ABC, se toma el punto E, de tal 
manera que AE = BE y AB = EC. Si: m+ABE = m+ECA = x, 
m+EAC = 2x / m+EBC = 5x. Calcula el valor de x.
A) 5° B) 10° C) 12° 
D) 15° E) 18°
3 Los lados de un triángulo están en progresión aritmética de 
razón 5 cm. Calcula el mínimo valor entero que puede asumir 
el perímetro.
A) 29 cm B) 30 cm C) 31 cm
D) 32 cm E) 33 cm
4 En la figura: AB = CE. Calcula el valor de x.
x
A
B
E
38°
22°44°
C
A) 20° B) 30° C) 45° D) 60° E) 37°
5 En el interior de un triángulo ABC, se toma el punto O, de 
modo que OA = OC = AB. Si: m+ABC = 12x, m+OAC = 3x y 
m+OCB = 2x. Calcula el valor de x.
A) 5° B) 6° C) 7° D) 8° E) 9°
6 En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BE. Calcula 
la m+AEB, si la m+A = 80° y la m+C = 40°.
A) 60° B) 65° C) 70° D) 75° E) 80°
 Claves
7GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 1
1. A
2. D
3. E
4. B
5. B
6. C
7. D
8. B
9. E
10. B
11. C
12. B
13. D
14. A
7 En un triángulo ABC se trazan AE y BF (alturas) que se 
intersecan en D. Si el ángulo ADC es 125°. ¿Cuánto mide el 
ángulo ABE?
A) 50° B) 60° C) 80° D) 55° E) 75°
8 ¿Qué fracción de la longitud de la hipotenusa es la 
distancia del ortocentro al baricentro de un triángulo 
rectángulo? 
A) 2
1 B) 3
1 C) 4
1 D) 6
1 E) 8
1
9 Calcula el valor de x, si G es baricentro del TABC.
 
B
CA x
G
6
4
A) 12 B) 9 C) 5 D) 7 E) 10
10 Calcula la m+FHE, si la m+BAC = 50°, además el TFEH es 
el triángulo órtico del TABC.
 
A C
B
E
F
H
A) 75° B) 80° C) 85° D) 30° E) 60°
11 Si en un triángulo ABC, O es el ortocentro, M y N son los 
puntos medios de AB y OC, respectivamente. Calcula MN, si: 
AB = 24 y OC = 10.
 
A) 12 B) 5 C) 13 D) 20 E) 21
12 En la figura H es el ortocentro y O es el circuncentro del 
triángulo ABC. Si BH = OB, calcula q. 
 A
B
θ θ
C
H O
 
A) 15° B) 20° C) 30° D) 35° E) 45°
13 Calcula α, si el triángulo MNH es el triángulo órtico del 
triángulo ABC. 
 
A
B
C35°65°
H
M
N
α
 
A) 15° B) 25° C) 30° D) 20° E) 35°
14 Los lados de un triángulo ABC, tienen longitudes: AB = 10, 
BC = x - 5 y AC = 2x - 3. ¿Entre qué valores se encuentra el 
perímetro del triángulo ABC?
 A) 20 90° 
II. Isósceles y obtusángulo ( ) q = b y b = α 
III. Rectángulo y escaleno ( ) α = 90° y b = 37°
 
3. Rellena con BM, AN o BM en los recuadros según corresponda, 
si tenemos el siguiente gráfico:
 A
B
CM
N
H a a
 ▪ es mediatriz y bisectriz.
 ▪ es ceviana externa y altura.
 ▪ es ceviana interna y mediana.
4. Rellena los recuadros con los símbolos >, 
=
9GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 1
10. Halla x.
20°
αα
β a a
x
β
θ
θ
A) 25° B) 40° C) 30° 
D) 15° E) 19°
11. Halla x.
38°
60°
αα
x
θθ
A) 16° B) 18° C) 28° 
D) 32° E) 42°
12. Si PH = 3 y BD = 4, calcula BH.
θθ
A
B C
H
D
P
A) 2 B) 4 C) 5 
D) 6 E) 7
13. En el triángulo ABC, la m+A es 80° y la 
m+B es 60°. Calcula x.
A
B M C
x
A) 100° B) 80° C) 140° 
D) 40° E) 50°
14. A partir del gráfico, calcula x.
A
B
28°
50° - θ
50° - θ
θ + 12°
Cx
A) 26° B) 28° C) 27°= 16. Calcula: Ax
 
A
O B
P
Q
Ax
A) 8 B) 4 C) 12 D) 16 E) 20
15. Si ABCD es un cuadrado y APQ es un triángulo equilátero, 
calcula: S
S
1
2
A Q D
CB
S2 S1
P
A) 3
1 B) 2
1 C) 1 D) 2 E) 3
16. En la figura: S1 = 5; S2 = 2.
Calcula Sx.
A B
Q
P
C
M
N
S1 S2
Sx
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
Resolución de problemas
17. El área de una región triangular ABC es 72 m2, por el baricentro 
G se trazan paralelas a AB y BC, que intersecan a AC en los 
puntos E y F respectivamente. Calcula el área de la región 
triangular EGF.
A) 6 m2 B 7 m2 C) 8 m2 
D) 9 m2 E) 10 m3 2
18. Se tienen tres circunferencias tangentes exteriores dos a dos, 
cuyos radios miden r1; r2 y r3. 
Si: r1 + r2 + r3 = (r1)(r2)(r3) = 6
Calcula el área de la región triangular cuyos vértices son los 
centros de las circunferencias.
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
19. En un triángulo ABC la circunferencia inscrita es tangente a BC 
y AC en M y N respectivamente. Calcula el área de la región 
triangular MCN si: AB = 8 cm; BC = 15 cm y AC = 17 cm.
A) cm17
571 2 B) cm17
575 2 C) cm17
576 2 
D) cm17
591 2 E) cm17
599 2
20. En un triángulo ABC (3AB = 2BC), se traza la bisectriz interior 
BD y se ubican los baricentros G1 y G2 de los triángulos ABD 
y BDC respectivamente. Calcula la razón de las áreas de las 
regiones triangulares ABG1 y BG2C
A) 9
4 B) 9
2 C) 4
3 D) 3
2 E) 1
2
17 5 136 5
=
>
=
 m+BCA
Razonamiento y demostración
23. Calcula el área de la región triangular sombreada, si AB = 32 m 
y BC = 18 m (P, Q y T son puntos de tangencia).
 
 A B Q C
T
P
 
A) 256 m2
B) 224 m2
C) 236 m2
D) 244 m2
E) 212 m2
24. Según la figura mostrada calcula el área de la región sombreada. 
Si ED = 10 m y AP = 6 m. (O: centro del cuadrado ABCD).
 
A
P E D
C
B
O
 
A) 45 m2
B) 55 m2
C) 66 m2
D) 75 m2
E) 65 m2
25. Halla el área de la región triangular TOK, si el área de la región 
triangular AOB es 6 m2.
 A B
O
T K
r r
 
A) 4,5 m2
B) 5,5 m2
C) 6 m2
D) 3 m2
E) 1,5 m2
26. De la figura, mostrada, OK = NK = 2 y OM = 3. Calcula el área 
de la región sombreada.
 
A
M
O K N B
L
P
 
A) 9/7
B) 27/14
C) 27/8
D) 9/14
E) 18/7
Resolución de problemas
27. En un triángulo ABC la circunferencia exinscrita es tangente a 
BC y a la prolongación de AC en M y N respectivamente. Calcula 
el área de la región triangular BNM, si: AB = 7 m; BC = 8 m 
y AC = 9 m.
A) 7 /6 m5 2 B) 5 m5 2 C) 8 /3 m5 2 
D) 9 /5 m5 2 E) 5 /2 m5 2
28. La circunferencia inscrita a un TABC es tangente a AB en M y 
a BC en N. Las prolongaciones de MN y CA se intersecan en P. 
Calcula el área de la región triangular MPA y PBC, si AB = 5, 
BC = 7 y AP = AC = 6. 
A) 3 /56 ; 3 6 B) 7 /56 ; 7 6 C) 9 /5; 96 6 
D) 11 /5; 116 6 E) 12 /5; 126 6
29. El exradio relativo al lado BC de un TABC mide 4. Calcula el área 
del TABC, si los segmentos determinados por la circunferencia 
exinscrita sobre el lado BC miden 1 y 2.
A) 12/5 B) 12/7 C) 15/4 D) 18/5 E) 21/8
30. Del gráfico, calcula a, si el área de la región triangular ABC es 
27 m2 y además la media geométrica de m y n es 6.
 
α
B
A T Cm n 
A) 37°
B) 53°
C) 106°
D) 74°
E) 108°
Claves
Nivel 1
1. 
2. 
3. A
4. C
5. A
6. B
7. A
8. C
9. E
10. B
Nivel 2
11. 
12. 
13. D
14. B
15. B
16. E
17. C
18. D
19. C
20. D
Nivel 3
21. 
22. 
23. A
24. B
25. D
26. B
27. E
28. E
29. B
30. C
V
F
F
F
V
79
45GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 2
Aplicamos lo aprendido 
1 En la figura el área de la región cuadrangular ABCD es 48 m2, 
calcula el área de la región sombreada (M y N son puntos 
medios). 
A
B
C
D
M
N
A) 12 m2 B) 16 m2 C) 24 m2
D) 30 m2 E) 32 m2
2 Calcula el área de una región trapecial, cuyas bases miden 4 y 
9 m, si su altura es media proporcional entre sus bases.
A) 18 m2 B) 26 m2 C) 34 m2 
D) 39 m2 E) 42 m2
3 Dado un triángulo ABC, donde el área de su región es 18 m2. 
Se traza la altura BH, si la mediatriz de AC interseca a BC en N. 
Calcula el área de la región cuadrangular ABNH.
A) 6 m2 B) 8 m2 C) 9 m2
D) 10 m2 E) 12 m2
4 Calcula el área de la región ABCD si BCDE es un paralelogramo, 
ADABO = 4 m2 y A 6COED = 10 m2.
A
B C
D
O
E
A) 24 m2 B) 20 m2 C) 25 m2
D) 27 m2 E) 32 m2
5 Las diagonales de un trapezoide miden 6 m y 8 m. Calcula el 
área máxima. 
A) 12 m2 B) 18 m2 C) 20 m2
D) 24 m2 E) 48 m2
6 Calcula el área de una región trapecial isósceles circunscrita a 
una circunferencia cuyas bases miden 8 y 18 m.
A) 144 m2 B) 146 m2 C) 150 m2 
D) 156 m2 E) 172 m2
tema 3: ÁREAS DE REGIONES cuadrANGULARES
 Claves
46 Intelectum 5.° 
7 Calcula: A4ABCD + A4AFCE, si ABCD es un cuadrado y FD=K.
E
A
B
D
C
F
 
 
A) K2 B) K
2
2
 C) K
4
2
D) 2K2 E) 2 K2
8 Si el área de la región cuadrada es 16 cm2, calcula el área de 
la región ABLD, siendo L punto de tangencia.
 A
B
D
C
L
A) 12 cm2 B) 11 cm2 C) 11,2 cm2
D) 11,5 cm2 E) 11,8 cm2
9 Una de las bases de un trapecio mide 10 m, su altura 4 m y 
el área 32 m2. Calcula la longitud de la paralela a las bases, 
trazada a un metro de distancia de la base dada.
A) 9 m B) 10 m C) 11 m 
D) 12 m E) 14 m
10 Halla el área de una región rombal ABCD, en el cual M es 
punto medio de BC. AM corta a BD en el punto R, RM = 2 y 
el ángulo BRM mide 45°.
 
A) 24 m2 B) 22 m2 C) 26 m2 
D) 12 m2 E) 10 m2
11 Dado el rectángulo ABCD, I es incentro del triángulo ABC. El 
área de la región rectangular ABCD es k. Halla el área de la 
región rectangular QIPD.
 A
B C
D
I
Q
P
A) k/2 B) k/3 C) /k 2 
D) k/4 E) /k 3 
12 Sea ABCD un cuadrado cuyo lado mide 6 m. Si se trazan 
los segmentos paralelos AF y CE, distantes 2 m entre sí, de 
modo que F ! DC y E ! AB, entonces el área de la región 
paralelográmica que se forma, es: 
A) 2
133 9-c m m2 B) 3 2
153 3-c m m2 
C) 2
153 3-c m m2 D) 3 2
133 2-c m m2 
E) 2
153 2-c m m2
13 En un trapecio ABCD, BC // AD, m+A = 80°, m+D = 50°. Si 
AB = m; BC = n (mEn el gráfico, ABCD es un rectángulo. Si: BE = 8 cm y 
EC = 2 cm, calcula A1 + A2.
A 1 A 2
A
B E C
DH
A) 20 cm2 B) 12 cm2 C) 13 cm2 
D) 18 cm2 E) 10 cm2
Resolución de problemas
7. En un romboide ABCD siendo O punto de intersección de las 
diagonales, si las distancias de O a los lados BC y CD son 2 y 
3, respectivamente y la m+ABC = 135°. Calcula el área de la 
región ABCD.
A) 12 2 B) 16 2 C) 18 2
D) 20 2 E) 24 2
8. En una semicircunferencia de diámetro AB y centro O, se ubican 
los puntos P, Q y R. Calcula el área de la región limitada por el 
rombo PQRS tal que QS = 2(SO) = 2a, (S ! QO).
A) a 52 B) a 62 C) 2a 52
D) 2a 102 E) a 102 
9. En un triángulo ABC, isósceles, con AB = BC, la altura que 
parte de B mide 8 y el perímetro 32. Calcula el área de la región 
rombal ABCD, donde D es simétrico a B, respecto de AC.
A) 252 B) 128 C) 96 
D) 284 E) 112
10. Se tiene un rectángulo ABCD, desde D se traza DE ⊥ AC, luego 
se traza BF perpendicular a la prolongación de DE. Si BF = 6 y 
DE = 4, calcula el área de la región cuadrangular ABCD.
A) 10 B) 20 C) 30 
D) 40 E) 80
144 u2
20 u2
36 u2
26,48 u2
48 Intelectum 5.°
Nivel 2
 Comunicación matemática
11. En la figura, completa los recuadros, si ABCD es un paralelogramo 
y AFBC es un trapecio.
A D
B C
E
F
105 u2
u2
u2
u2
21 u2
10
9 u2
12. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
A
D
B
C
E
I. A ;ABCD = 2(D + E + B + C) 
II. A; ABCD = 4(B+ D) 
III. C + E = A B D
2
- - 
Razonamiento y demostración
13. Calcula el área de la región rectangular ABCD, si BP = 2 y 
PD = 1.
A
B C
D
P
 
A) 5 
B) 2 5 
C) 7 
D) 4 7 
E) 2 7 
14. Calcula el área de la región paralelográmica BCDK, si SK = KE = 2 
y CD//NA (T: punto de tangencia).
OA
B
C D
E N
T
K
S
 
A) 2 3 21+^ h 
B) 3 3 21+^ h 
C) 3 21 
D) 4 4 21+^ h 
E) 2 2 21+^ h
15. Calcula el área de la región sombreada, si AP = 9 y DP = 13, 
donde ABCD es un rombo.
 A
BC
D
P
 
A) 14
B) 24 14
C) 3 14
D) 12 14
E) 8
16. De la figura, (BD)(BE) = 20 m2 y 2(AH) = 3(HD). Calcula el área 
de la región trapezoidal BCDH, si AB = DC.
 A H D
CB
E
α
α
 
A) 10 m2
B) 12 m2
C) 14 m2
D) 16 m2
E) 18 m2
 
Resolución de problemas
17. En un rombo ABCD en BC se ubica el punto medio M. Las 
diagonales del rombo intersecan a AM y MD en N y Q; 
respectivamente. Si: NQ = 5 y la m+BAD = 74°. Calcula el área 
de la región limitada por el rombo.
A) 284 B) 216 C) 324 D) 356 E) 420 
18. Sobre los lados de un cuadrado se construyen exteriormente 
triángulos equiláteros. Calcula el área del cuadrilátero que se 
forma al unir los vértices libres de los triángulos equiláteros, si el 
lado del cuadrado mide b.
A) b 3 12
+^ h B) b 2 3 12
-^ h C) 3b2 
D) b 2 32
+^ h E) b 4 3 32
+^ h
19. En el gráfico, calcula el área de la región paralelográmica DILO. 
Si mAE
!
 = 3 mEL
!
 y RA // DO (L y A son puntos de tangencia).
O
R A
ED
I
L
6
A) 36 3 B) 32 3 C) 6 3 D) 36 E) 36 2
20. Sobre los lados AB y BC de un triángulo ABC se construyen los 
cuadrados ABFL y BCQR, exteriores al triángulo. Halla el área 
de la región cuadrangular AFRC, siendo AR = 8.
A) 16 B) 18 C) 20 D) 24 E) 32
Nivel 3
 Comunicación matemática
21. Completa los recuadros en la siguiente figura si: senq = 609
16 290 , 
y el área de la región trapezoidal ;ABCD es igual a 8 290 ; 
además, BD y AC son números enteros (AC 1 BD).
θ
A D
B
C
18
13
24
39 
49GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 2
22. En la figura, 6PQRS es un paralelogramo y ;QMNR es un 
trapecio.
A
S
D
B
R
C
E
N
P
Q
M
a
a
b
3b
Completa los recuadros con los signos >;cm2 B) (4p - 3 3 ) cm2 
C) (2p - 3 ) cm2 D) (3p + 3 ) cm2 
E) (4p + 2p) cm2
10 En el siguiente gráfico, calcula el área de la región sombreada 
si a = 6 m.
 
a
A) 12 6 p3 -^ h B) 18(4 - p) 
C) 6 3 p3 -^ h D) 36 6 p3 -^ h
E) 36 3 p3 -^ h
11 Halla el área sombreada si el lado del cuadrado mide 4 m.
 
B C
DA
A) 8(p - 2) m2 B) 3(4 - p) m2 
C) 4(p - 2) m2 D) 5(p + 2) m2 
E) 2(p - 3) m2
12 Si el lado del cuadrado ABCD mide 4, halla el área de la región 
sombreada.
 
B C
DA
A) p B) 2p C) 3p D) 4p E) p
2
13 De acuerdo a la figura, ABCD es un cuadrado. Calcula el área 
de la región sombreada.
A
B C
D
 
A) r2(5 - p)
B) r
2
2
(5 - p/2)
C) r
2
2
(5 -p/16)
D) r
2
2
(5 - p/4)
E) r
2
2
(5 - p/8)
14 Halla el área de la porción de círculo mostrada, sabiendo que 
los arcos AB y BC miden 90° y 45°, respectivamente.
A
B
C
R
O
A) R
16
2π B) R
12
2π C) R
8
2π D) R
4
2π E) R
2
2π
1. B 
2. C
3. C
4. A
5. E
6. B
7. B
8. A 
9. A
10. B
11. A
12. B
13. B
14. D 
52 Intelectum 5.°
Practiquemos
Nivel 1
 Comunicación matemática
1. Si:
ψ
A B
r
2 7
 
ψ
D
C
R
6 7
Entonces:
A
A
AB
CD =
 
=
2. De la figura.
A
B
18
16
r1
r2
r3
 
Completa: A = 
2p
4
 B = 
2p
4
 A + B = 
3. De las siguientes gráficas indica cuáles son lúnulas:
I.
 
R
R
II.
 
R
III.
 
R
r
IV. 
 
R
Foco
A) II B) I C) II y III D) IV E) I y IV
Razonamiento y demostración
4. Halla el área de la región sombreada, si: R = 4 3 . 
B
A C
60°R
 
A) p4 2 3 -^ h
B) 8 2 3 π-^ h 
C) p4 3-^ h
D) p8 3-^ h
E) p4 3 -
5. Si ABCD es un cuadrado, halla el área de la región sombreada.
B C
DA
2
 
A) 2 2- 
B) 2p 2-
C) p 2-
D) 2 /2p2 -
E) 2 π
6. Del gráfico calcula A3, si A1 = 4 m2 y A2 = 6 m2.
A1
A2
A3
 
A) 12 m2
B) 10 m2
C) 14 m2
D) 8 m2
E) 15 m2
7. Halla el área sombreada, si R = 8 y r = 4.
R
r
 
A) 36p
B) 64p
C) 16p
D) 24p
E) 32p
Resolución de problemas
8. Si el área de un círculo se duplica al aumentar su radio en 
2 1-^ h, halla el radio original.
A) 1/2 B) 3/5 C) 1 D) 2 E) 3
9. Halla el área de la región sombreada si ABCD es un cuadrado de 
lado a y PQ es tangente al arco AC (de centro D), en su punto medio.
A P B
D C
Q a
 
A) 8 8 p a4
2 2- +; E
B) 8 8 p a4
2 2+ -; E
C) 8 6 p a4
2 2+ +; E
D) a3
8 2 8 2+; E
E) a4
8 2 8 2π- -; E
10. Sea el triángulo ABC, recto en A. Determina el área del círculo 
circunscrito al triángulo ABQ, donde Q es la intersección de la 
perpendicular trazada a BC en B y con la prolongación de AC, si 
AC = 3, BC = 5 y AB = 4.
A) p8
95 B) p7
100 C) p8
90 
D) p9
100 E) p12
100
R2
r2 9
53GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 2
11. El lado de un cuadrado mide 8 m. Calcula el área de la corona 
circular formada por los círculos inscritos y circunscrito al cuadrado.
A) 8 p2 m2 B) 16 p2 m2 C) 32 p2 m2
D) 64 p2 m2 E) 16p m2
Nivel 2
 Comunicación matemática
12. Del gráfico
A
B
C
21
A1
A2
A3
A4
9
Completa los recuadros con los signos >;k2 10 2 52 +
Finalmente nos piden:
 A
A x
ABCDE
FGHIJ =
8
8
x 18 11= +
3 +
S R
S R
 
 x = 
( ) ( )
( ) ( )
k k
k k
3 2 10 2 5 5 1 10 2 5
18 2 10 2 5 11 5 1 10 2 5
2 2
2 2
+ + - +
+ + - +
x = 
k k k
k k k
6 5
36 11 5 11
2 2 2
2 2 2
+ -
+ -
x = 
5 5
25 11 5
5 5
5 5
+
+
-
-e o
` x = 2
7 3 5+
1. En un triángulo cuyo circunradio mide 14 m, el producto de 
la longitud del segmento que une el incentro a un vértice y el 
circunradio del triángulo que se origina al unir el incentro con los 
otros dos vértices restantes, es igual a 171 m2.
Halla la longitud del segmento que une el incentro con el 
circuncentro del primer triángulo.
A) 1 m B) 2 m C) 3 m 
D) 4 m E) 5 m
2. En un trapezoide ABCD, los diagonales AC y BD se intersecan 
en el punto P. Si el área del cuadrilátero que tiene por vértices 
los baricentros de los triángulos ABP, BPC, PCD y APD es 2 cm2, 
halla el área del cuadrilátero que se obtiene al trazar paralelas a 
las diagonales AC y BD, por los vértices A, B, C y D.
A) 18 cm2 B) 16 cm2 C) 14 cm2 
D) 20 cm2 E) 24 cm2
3. Dado un triángulo ABC, se construyen: el punto simétrico de A 
respecto de B, el punto simétrico de B respecto de C y el punto 
simétrico de C respecto de A. Si el área del triángulo ABC es 
igual a “S”; calcula el área del triángulo que tiene como vértices 
los puntos construidos.
A) 6S B) S2
13 C) 7S 
D) S2
15 E) 8S
4. En el triángulo ABC se tiene que AB = 14, BC = 24 y AC = 15; se 
ubica M en el lado AB y N en el lado BC tal que la recta MN divide 
al triángulo en dos regiones equivalentes y de igual perímetro. 
Calcula AM.
A) 3
8 B) 2
7 C) 6
13 
D) 2
5 E) 5
11 
5. Sobre los lados AB, BC y AC de un triángulo ABC, se tienen los 
puntos E, F y L, respectivamente, de modo que:
EF // AC y FL // AB. Demuestra: S S SABC EBF LFC= +9 9 9
S
S
S
S
S
S
SS
S
S S
S
S
S
S S
S
S
R
R
R
RR
R
R R
R
R
D
C
36°
72°
36°
18°
P
N
E
F H
J
G
I
b
h
´
´
´
´
BA
Dividimos los pentágonos regulares ABCDE y FGHIJ en regiones 
triangulares congruentes ( S y R ); luego vemos que:
A8ABCDE = 3 S + R y A 8FGMIJ = 18 S + 11 R
Luego, calculamos S y R en el pentágono ABCDE; vemos que:
ATPBC = R = 2
1 hb / ATEBP = S = 2
1 ,h
Pero el BNP es notable de 18° y 72°.
Asignamos los valores:
, = 4k; h = k 10 2 5+ ; b = 2k( )5 1- 
donde b es la base del triángulo PBC (b = PC)
Unidad 3
¡Razona...!
RECUERDA
Gauss y la geometría no euclidiana
Un descubrimiento del siglo XIX que se consideró abstracto e 
inútil en su tiempo fue la geometría no euclídea. En ella se pue-
den trazar al menos dos rectas paralelas a una recta dada que 
pasen por un punto que no pertenece a esta. Aunque descu-
bierta primero por Gauss, este tuvo miedo de la controversia 
que su publicación pudiera causar. Los mismos resultados fue-
ron descubiertos y publicados por separado por el matemáti-
co ruso Nikolái Ivánovich Lobachewski y por el húngaro Johan 
Bolyai. Las geometrías no euclídeas fueron estudiadas en su 
forma más general por Riemann, con su descubrimiento de las 
múltiples paralelas. En el siglo XX, a partir de los trabajos de 
Einstein, se le han encontrado también aplicaciones en física.
Gauss es uno de los más importantes matemáticos de la histo-
ria. Los diarios de su juventud muestran que ya en sus primeros 
años había realizado grandes descubrimientos en teoría de 
números, un área en la que su libro Disquisitiones arithmeticae 
(1801) marca el comienzo de la era moderna. En su tesis doc-
toral presentó la primera demostración apropiada del teorema 
fundamental del Álgebra. A menudo combinó investigaciones 
científicas y matemáticas. Por ejemplo, desarrolló métodos 
estadísticos al mismo tiempo que investigaba la órbita de un 
planetoide recién descubierto; realizaba trabajos en teoría 
de potencias junto a estudios del magnetismo, o estudiaba la 
geometría de superficies curvas a la vez que desarrollaba sus 
investigaciones topográficas.
Reflexiona
•	 Ten	 la	 determinación	 de	 lograr	 de	 tu	
inteligencia	y	de	 tus	 energías,	 el	mayor	
desarrollo	de	cultura	y	de	resultados.	Haz	
que	crezcan	sin	cesar	tus	conocimientos	y	tus	
habilidades.	 Reflexiona	 cuidadosamente	
tus	 resoluciones	 y	 la	 ordenación	 de	 tus	
actos,	 con	 el	 fin	de	procurarte	 el	mayor	
número	posible	de	ventajas	y	de	evitarte	
todas	las	dificultades	que	puedas.
•	 Toma	 la	 decisión	 de	 que	 tendrás	 éxito,	
luego	invierte	cada	gramo	de	tu	energía	
mental	 y	 física	 en	 el	 esfuerzo	 a	 hacerlo	
realidad.
•	 El	 éxito	 no	 es	más	 que	 otra	manera	 de	
nombrar	 la	 ilimitada	 capacidad	 que	
tienes	 tú	 de	 llegar	 a	 ser	 más	 creativo,	
comprensivo,	 valiente,	 humilde,	 útil,	
osado,	resuelto	y	dinámico.
Indica la figura siguiente:
A B C
D E
Aplicamos lo aprendido 
58 Intelectum 5.° 
tema 1: Rectas y planos en el espacio
1 Por el vértice A de un triángulo ABC se levanta la perpendicular 
AM al plano del triángulo, luego se trazan las perpendiculares 
AP a MB y AQ a MC. Calcula QC, sabiendo que: QM = 5; 
BP = 4 y PM = 6.
A) 5 B) 6 C) 7 
D) 8 E) 9
2 La distancia de un punto P a un plano Q es 24, se traza PM (M 
se encuentra en el plano Q) de modo que la proyección de PM 
sobre el plano es 7. Halla PM.
A) 10 B) 12 C) 7 
D) 18 E) 25
3 En la figura, G es la proyección de C sobre el plano Q. Si el 
área del triángulo ABC es 30 y el ángulo diedro que forman 
ABC y el plano Q mide 37°, calcula el área del triángulo AGB.
A
C
G
BQ
A) 18 B) 20 C) 22 
D) 15 E) 24
4 En la figura, halla AC, si PA = 13. 
AQ
C30°
5 3
P
B
 
A) 20 B) 15 C) 20 
D) 219 E) 30
5 Dos puntos F y G situados a uno y otro lado de un plano Q 
distan de dicho plano, 6 cm y 9 cm, respectivamente. Por F y G 
se trazan perpendiculares a dicho plano que lo intersecan en 
F' y G', respectivamente. Si F'G' = 8 cm, calcula FG.
A) 10 cm B) 12 cm C) 14 cm
D) 15 cm E) 17 cm
6 El diámetro de la circunferencia circunscrita a un triángulo 
equilátero ABC mide 12 cm. Por B se levanta BE, 
perpendicular al plano del triángulo. Si BE = 1 cm, calcula el 
área de la región triangular AEC.
A) cm4
31 2 B) 4 cm31 2 
C) cm3
4 31 2 D) cm2
31 2 
E) cm4
3 31 2
 Claves
59GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 3
1. C
2. E
3. E
4. D
5. E
6. E
7. D
8. B
9. A
10. C
11. A
12. B
13. B
14. C
7 BA es un segmento perpendicular al plano del triángulo 
rectángulo CAD, de modo que AB = AC = AD = 6 cm. Si O 
es el incentro del triángulo CBD y AO es perpendicular a dicho 
triángulo, calcula la distancia entre O y AB.
A) 8 cm B) 6 2 cm C) 4 3 cm
D) 2 2 cm E) 2 3 cm
8 ABC es un triángulo equilátero que pertenece a un plano 
perpendicular a un cuadrado ABDE, siendo AB el lado común. 
El segmento que une los puntos medios de AC y BD mide 1 cm. 
Calcula la longitud del lado del triángulo ABC.
A) 2 cm B) 1 cm C) 2,5 cm
D) 3 cm E) 2 cm
9 ABC es un triángulo equilátero de lado L, por A se levanta AM, 
perpendicular al plano ABC, de modo que 2AM = L. Se une M 
con B y C; calcula el área de la región triangular BMC.
A) L
2
2
 B) L
3
2
 C) L
6
2
D) L
12
2
 E) 2L2
10 Un punto P dista 12 cm de un plano. Un segmento de recta 
AB = 8 cm está en el plano, calcula la distancia desde AB al 
pie de la perpendicular bajada desde P, si AP = BP = 13 cm.
A) 2 cm B) 2 2 cm C) 3 cm
D) 3 2 cm E) 6 cm
11 P y Q son dos planos perpendiculares. AB es diámetro de una 
semicircunferencia contenida en P y ABMG es un rectángulo 
contenido en Q. Si AF = 4, FB = 3, siendo F un punto del arco 
AB y BM = 1; calcula la distancia de F a MG.
A) 2,6 B) 2,4 C) 2,5
D) 2,8 E) 3
12 Se tiene un triángulo equilátero ABC y por B se levanta la 
perpendicular BD a su plano. Halla la mínima distancia entre 
BC y DA, si AB = BD = 21 cm.
A) 21 cm B) 3 cm C) 4 cm
D) 2 21 cm E) 3 21 cm
13 Se tiene un triángulo equilátero ABC y por B se levanta la 
perpendicular BD a su plano. Halla la medida del ángulo de 
cruce, entre BC y DA, si AB = BD.
A) arctan 8B) arctan 7 
C) arctan 4
2 D) 120° 
E) 75°
14 Una circunferencia de diámetro AB = 10 y un triángulo 
isósceles AFB (AF = FB) se encuentran ubicados en planos 
perpendiculares entre sí, además en la circunferencia está 
inscrito el trapecio ABLG cuya base mayor es AB y cuya altura 
mide 3. Halla la distancia de F a LG, si AF = 13.
A) 12 B) 2 15 C) 3 17
D) 3 15 E) 2 17
Practiquemos
60 Intelectum 5.° 
NIVEL 1
 Comunicación matemática
1. Determina las proyecciones sobre el plano R.
A) 
A
R
 
 
B) 
P
Q
R
 
 6P y 6Q = 6R
C) 
R
L
 
 L // 6R
D) 
R
L
 
E) 
P
L R
 
 6P = 6R
F) R
L
 
 L // 6R
G) 
R
P
Q
 
H) 
R
 
 
2. Indica V (verdadero) o F (falso) según corresponda:
I. Una recta pertenece a un plano ( )
II. Un punto está incluido en el plano ( )
III. Un punto pertenece a una recta ( )
IV. Una recta puede estar incluido en el plano ( )
Razonamiento y demostración
3. Si: AB = 13 m y la distancia del punto A al plano P es 12 m. Halla 
la longitud de la proyección del segmento AB sobre el plano P.
P
B
A
A) 5 m B) 12 m C) 13 m 
D) 12,5 m E) 7 m
4. Según el gráfico AE y CF son perpendiculares al plano del 
cuadrado ABCD cuyo lado mide 6, si AE = 2, CF = 4 y M es 
punto medio de EF, calcula MD.
D
F
C
A
E
M
B
A) 5 B) 6 C) 2 3 
D) 2 7 E) 3 3
5. En la figura BF es perpendicular al plano del cuadrado ABCD. 
Si DM = 1, AB = 4 y BF = 12, calcula FM.
F
B
A
C
M
D
A) 14 B) 15 C) 18 
D) 12 2 E) 13
Resolución de problemas
6. Se tienen dos planos paralelos P y Q distantes 4 m. Calcula 
la proyección de AB sobre el plano Q, si: AB = 5 m, el punto A 
pertenece al plano P y el punto B pertenece al plano Q.
A) 1 m B) 2 m C) 3 m 
D) 2 m E) 3 m 
7. Por el vértice B de un triángulo rectángulo ABC recto en B se 
traza BP perpendicular al plano de dicho triángulo. Calcula la 
distancia de P al punto medio de AC, si PB = 8 y AC = 12.
R
A'
Q
P
R
L
R
L
R
L
P
R
R
L
Q
P
R
R
61GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 3
A) 15 B) 14 C) 9 
D) 10 E) 5 6
8. Se tiene un cuadrado ABCD y un triángulo equilátero ABQ 
ubicados en planos perpendiculares. Si AB = 2, calcula la 
distancia de Q al punto medio de CD.
A) 6 B) 5 C) 7 
D) 2 E) 3
9. Se tiene un triángulo rectángulo isósceles ABC recto en B; se 
traza BQ perpendicular al plano que lo contiene. Calcula el área 
de la región triangular AQC, si: AC = 6 y BQ = 4.
A) 12 B) 15 C) 20 
D) 24 E) 18
10. En un cubo, cuyas aristas tienen longitud a. Halla la distancia de 
un vértice al centro de una cara opuesta.
A) a/2 B) a 2 /2 C) a 3 /2 
D) a 6 /2 E) a 2 /2
NIVEL 2
 Comunicación matemática
11. Indica V (verdadero) o F (falso) según corresponda:
I. En un ángulo triedro la suma de los valores de sus 
caras varía entre: 180° y 540° ( )
II. En un ángulo triedro la suma de sus ángulos diedros 
varía entre: 0° y 360° ( )
III. Un ángulo diedro se forma por dos planos ( )
IV. En un ángulo triedro el valor de una cara es mayor a la 
suma de las otras caras ( )
12. Indica V (verdadero) o F (falso) según corresponda:
I. Dos planos tienen una recta en común ( )
II. Tres puntos colineales pertenecen a una recta ( )
III. Dos puntos coplanarias pertenecen a un plano ( )
IV. Por tres puntos pasa un plano ( )
Razonamiento y demostración
13. En la figura FG es perpendicular al plano del triángulo ABC. 
Si G es el baricentro del TABC, AC = 18 y BF = 10, calcula FG.
B
A
C
G
F
A) 5 B) 6 C) 8 
D) 4 E) 5 2
14. Si m AC
!
 = 16°; AB = 6; OP = 4 y OP es perpendicular al 
plano que contiene al cuadrante; calcula el área de la región 
sombreada.
P
O
C A
B
A) 12 2 B) 16 C) 24 D) 3 6 E) 5 2
Resolución de problemas
15. Por el baricentro G de un triángulo rectángulo recto en B se 
traza GH perpendicular al plano que contiene al triángulo. 
Si 3(BH) = 2(AC), calcula el ángulo entre BH y el plano del 
triángulo.
A) 60° B) 53° C) 75° D) 45° E) 36°
16. Se tiene un rectángulo ABCD y un triángulo equilátero ABQ 
ubicados en planos perpendiculares. Si el ángulo entre QC y el 
plano del rectángulo mide 30° y QC = 2 3 , calcula el área de 
la región rectangular ABCD.
A) 4 2 B) 6 3 C) 2 6 D) 3 5 E) 4 3
17. Se tiene un triángulo equilátero ABC y una semicircunferencia 
de diámetro AB ubicados en planos perpendiculares; en AB
!
 
se ubica el punto P tal que m AP
!
 = 60° y AB = 4. Calcula la 
distancia entre los puntos P y C.
A) 6 B) 2 5 C) 2 3 D) 3 5 E) 4
18. Se tiene un triángulo ABC contenido en el plano P; se trazan AD, 
BF y CE perpendiculares al plano P situados a un mismo lado 
del plano. Si AD = 1; BF = 7 y la mediana EM del triángulo DEF 
es paralela al plano P, calcula CE.
A) 7 B) 2 2 C) 3 D) 6 E) 4
19. Dado un triángulo rectángulo ABC: m+A = 90°; AB = 6 y AC = 8; 
IH es perpendicular al plano ABC (I: incentro del TABC), IH = 3. 
Calcula HC.
A) 3 B) 4 C) 9 D) 7 E) 8
NIVEL 3
 Comunicación matemática
20. Indica V (verdadero) o F (falso) según corresponda:
I. Una recta se proyecta como un punto en el plano ( )
II. Un punto en el espacio se proyecta como una recta 
en el plano ( )
III. Un plano se proyecta sobre otro plano como un punto ( )
IV. La proyección de dos rectas alabeadas sobre un plano 
pueden ser paralelas ( )
62 Intelectum 5.° 
21. Indica cuántas proposiciones son falsas:
I. Un triángulo isósceles proyectada sobre un plano puede ser 
un triángulo isósceles 
II. Un triángulo isósceles cuyo lado desigual es paralelo al 
plano se proyecta como un triángulo isósceles
III. Un rectángulo proyectado sobre un plano puede ser un 
cuadrado 
IV. La proyección de dos rectas alabeadas sobre un plano 
pueden ser rectas secantes
A) 2 B) 1 C) 3 D) 0 E) 4
Razonamiento y demostración
22. La figura muestra un cubo. M, N, R y Q, son puntos medios de 
las aristas AB, AF, FE y DE, respectivamente. Halla la medida del 
ángulo de cruce entre las rectas MN y RQ.
A N
B
D
Q
E
R
F
M
A) 53° B) 30° C) 75° D) 45° E) 60°
23. Según el gráfico, OA es perpendicular al plano que contiene al 
semicírculo. Si mCT
!
 = 135°, R = 4 y OA = 3, calcula el área de 
la región ATB (T es punto de tangencia).
O
A
B
C P
R
T
A) 15 B) 12 C) 14 D) 8 2 E) 10
24. El sólido ABCD de la figura, se llama tetraedro. Las regiones 
triangulares ABC, ABD, ACD y BCD se llaman caras; los puntos 
A, B, C y D, son los vértices y las aristas: AB, BC, CD, AD, AC y 
BD. Se llama altura del tetraedro, a la distancia de un vértice a la 
cara opuesta. (Por ejemplo DH).
Si las caras del tetraedro son triángulos equiláteros, el sólido es 
regular.
En un tetraedro regular, cuyas aristas tienen longitud L, halla la 
longitud de la altura.
D
C
H
B
A
A) L 2 /3 B) L 6 /3 C) L 3 /3 
D) L 6 /5 E) L 3 /3
Resolución de problemas
25. Por el vértice C de un cuadrado ABCD se traza la perpendicular 
CP a su plano. Calcula la medida del ángulo que forma OP con el 
plano que contiene al cuadrado, siendo O centro del cuadrado, 
además AB = 2 y PA = 10 .
A) 30° B) 37° C) 60° 
D) 53° E) 45°
26. Por el punto medio N del lado CD de un cuadrado ABCD, se 
traza la perpendicular NP al plano de dicho cuadrado. Si M es 
punto medio de AD y MB + AN = {O}, calcula el área de la región 
triangular POB, si: 4BM = 5NP = 20 cm.
A) 15 B) 20 C) 30 D) 10 E) 25
27. Por el vértice B de un rectángulo ABCD se levanta una perpen-
dicular BP al plano del rectángulo; AC = 10; m+AOD = 127° 
(O: punto de intersección de AC y BD); PB = 4. Calcula el área 
de la región triangular POC.
A) 10 B) 10 2 C) 10 3 
D) 20 E) 10 5
28. En un plano se ubican los puntos A y B; exterior al plano se ubica 
el punto P de modo que AP y BP forman ángulos que miden 30° 
y 45° con dicho plano respectivamente. Si AP = 6, calcula BP.
A) 3 3 B) 3 2 C) 2 6 
D) 2 E) 3
29. Se tiene un cuadrado ABCD, se traza MP perpendicularal plano 
de dicho cuadrado, siendo M punto medio de AB. Si AB = 2 y 
MP = 2 3 , calcula PC.
A) 6 B) 2 2 C) 5 
D) 17 E) 3
2 6
Claves
Nivel 1
1. 
2. 
3. A
4. E
5. E
6. C
7. D
8. C
9. B
10. D
Nivel 2
11. 
12. 
13. C
14. A
15. A
16. A
17. E
18. E 
19. D
Nivel 3
20. 
21. 
22. E 
23. E
24. B
25. E
26. D
27. B
28. B
29. D
Aplicamos lo aprendido 
63GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 3
tema 2: POLIEDROS
1 Un poliedro tiene 33 vértices y está conformado por 8 caras 
triangulares, 9 caras cuadrangulares y m caras pentagonales, 
halla m.
A) 10 B) 13 C) 7 
D) 12 E) 8
2 Halla la suma del número de caras de un dodecaedro regular 
con el número de vértices de un icosaedro regular.
A) 16 B) 24 C) 30 
D) 22 E) 18
3 Calcula la suma de las medidas de los ángulos internos de 
todas las caras de un poliedro convexo de 20 vértices.
A) 1800° B) 720° C) 6000° 
D) 6480° E) 7200°
4 Calcula el número de diagonales de un icosaedro regular.
A) 20 B) 40 C) 36 
D) 72 E) 56
5 Halla el área total de un tetraedro regular, siendo la suma de 
las longitudes de sus aristas 36 cm.
A) 36 cm2 B) 6 3 cm2 C) 24 cm2
D) 36 3 cm2 E) 24 3 cm2
6 Halla la relación de áreas de un octaedro regular y un tetraedro 
regular, sabiendo que la diagonal del octaedro es igual a la 
altura del tetraedro.
A) 3
2 B) 9
4 C) 3
1
D) 2
1 E) 6
1
 Claves
64 Intelectum 5.° 
7 La arista de un octaedro regular mide a. Halla el área de la 
sección determinada al intersecar la superficie del poliedro con 
un plano paralelo a una cara, que pasa por el punto medio de 
una arista.
A) 3a2 3 B) 4
3 a2 3 C) 10
3 a2 3
D) 8
3 a2 3 E) a
2
3 3
2
8 Se da un cubo de arista a; tomando como referencia un 
vértice, construya un tetraedro regular uniendo los vértices no 
adyacentes con rectas contenidas en las caras. Construya un 
octaedro regular uniendo los centros de cada cara del cubo. 
La razón entre el área total del tetraedro y el área total del 
octaedro, es:
A) 1/3 B) 1/2 C) 1
D) 2 E) 3
9 Dado un tetraedro regular de arista a, determina el área 
total del poliedro que se forma al unir ordenadamente y 
consecutivamente los puntos medios del poliedro dado 
(considere: área del tetraedro = AT).
A) A
3
T B) A
5
2 T C) A
2
T
D) A
4
T E) A
6
T
10 En un octaedro regular la distancia de un vértice al baricentro 
de la cara opuesta a dicho vértice mide 1 cm, calcula el área 
de la superficie total del octaedro.
A) 2 cm3 2 B) cm3 2 
C) 3 cm22 2 D) 4 cm32 2 
E) 2 cm22 2
11 Halla el área de la proyección de una cara de un tetraedro 
regular sobre otra si el área total del tetraedro es 600 m2.
A) 20 m2 B) 30 m2 C) 50 m2 
D) 60 m2 E) 70 m2
12 En un tetraedro regular, si el segmento que une los puntos 
medios de dos aristas opuestas es MN, el lado del tetraedro 
será:
A) MN 3 B) MN 2
2 C) MN 2
D) MN 2
3 E) 2
3 MN
13 Considerando como vértices los puntos donde se cortan 
las dos diagonales de cada cara de un hexaedro regular 
se obtiene un octaedro, también regular. Si las aristas del 
hexaedro miden a, calcula el volumen del octaedro.
A) a
3
3
 B) a
4
3
 C) a
8
3
D) a
6
3
 E) a
12
3
14 ¿Cuál es la relación entre las áreas totales de dos hexaedros 
regulares, si se sabe que la arista de uno de ellos tiene igual 
medida que la diagonal del otro?
 
A) 1/3 B) 2/3 C) 3/2 
D) 5/2 E) 1/2
1. D
2. B
3. D
4. C
5. D
6. A
7. D
8. D
9. C
10. A
11. C
12. C
13. D
14. A
Practiquemos
65GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 3
NIVEL 1
 Comunicación matemática
1. Completa los espacios en blanco según corresponda:
a
aa
a
a
a
a
a
a
aa
a a
a
aa
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
I
IV
VII
X
II
V
VIII
XI
III
VI
IX
XII
A) De las figuras cuáles son poliedros convexos:
 
B) De las figuras cuáles son poliedros no convexos:
 
C) De las figuras cuáles son poliedros irregulares:
 
D) De las figuras cuáles son poliedros regulares:
 
E) Qué figura no es un poliedro:
 
2. Indica V (verdadero) o F (falso) según corresponda:
I. En un poliedro irregular no se cumple el teorema de Euler. ( )
II. Un poliedro no convexo es un poliedro irregular. ( )
III. Un poliedro regular es un poliedro convexo. ( )
IV. Si un poliedro no cumple el teorema de Euler, es un 
poliedro convexo. ( )
Razonamiento y demostración
3. Halla el área de la región sombreada, si el sólido es un cubo de 
arista a.
A) a 2
32 B) a 4
32 C) a 8
32
D) a 2
22 E) a 22
4. En el cubo que se muestra, el lado mide 6 cm. Determina el área 
de la región rectangular ABFE.
A D
E
F
CB
G
H
A) 36 cm2 B) 36 2 cm2 C) 18 2 cm2 
D) 18 cm2 E) 72 cm2
5. En el cubo mostrado O es el centro de la cara EFGH. Calcula el 
área de la región triangular AOC.
10 m
B
C G
A E
H
O
F
A) 80 m2 2 B) 50 m2 2 C) 20 m5 2
D) 20 m2 2 E) 25 m3 2
Resolución de problemas
6. En un poliedro la suma de los números de caras, vértices y 
aristas es 32. Calcula el número de aristas.
A) 12 B) 13 C) 14 
D) 15 E) 16 
7. El volumen de un cubo de arista 1 equivale a k veces lo que mide 
su diagonal. Calcula k.
A) 3 B) 3
3 C) 6
3 
D) 9
3 E) 3
I; II; IV; V; VII; XI; XII
III; VI; IX; X
I; II; III; VI; VII; IX; X; XII
IV; V; XI
VIII
66 Intelectum 5.° 
8. En un cubo de 3 2 m de arista se une tres vértices no 
consecutivos. Halla el área de la región triángular formada.
A) 9 m3 2 B) m2
9 3 2 C) 18 m6 2 
D) 18 m3 2 E) 27 3 m2
9. La arista de un cubo mide 2. Calcula la distancia desde un 
vértice hacia el centro de la cara opuesta.
A) 3 B) 5 C) 6 
D) 2 3 E) 2 2
10. Halla el ángulo formado por las diagonales de dos caras 
contiguas de un cubo, si ambas diagonales parten del mismo 
vértice.
A) 30° B) 60° C) 45° 
D) 15° E) 75°
NIVEL 2
 Comunicación matemática
11. Indica V (verdadero) o F (falso) según corresponda:
I. El teorema de Euler se cumple para todos los poliedros. ( )
II. Si el número de caras de un poliedro es igual al número 
de vértices de otro y viceversa, entonces dichos 
poliedros son conjugados. ( )
III. Un hexaedro de caras regulares es un poliedro regular. ( )
A) VVF B) VFV C) VFV 
D) FFV E) FFF
12. ¿Cuáles son verdaderas?
I. Para algunos poliedros no convexos el teorema de Euler 
aún es válido. ( )
II. Todos los hexaedros tienen cuatro diagonales. ( )
III. El poliedro conjugado de un icosaedro es un dodecaedro. ( )
A) I y III B) Solo I C) Solo II 
D) II y III E) I y II
Razonamiento y demostración
13. La figura muestra un cubo en el cual se pide el ángulo que 
forman las rectas alabeadas BE y CF.
A) 45° B C
G
A
E
D
F
H
B) 30°
C) 60°
D) 70°
E) 37°
14. En la figura ABCD - EFGH es un hexaedro regular. Si AB = 6, 
calcula el área de la región sombreada, si O: centro del cuadrado 
DHGC y P: centro del hexaedro.
B C
G
A
E
D
F
H
OP
A) 5 2 B) 3 2 C) 1,5 2 
D) 4,5 2 E) 4 2
15. La figura muestra a un hexaedro regular ABCD - EFGH. 
Si: AP = 6 y PC = 2, calcula PF.
B C
G
A
E
D
P
F
H
A) 26 B) 4 13 C) 2 13 
D) 13 E) 2 26
Resolución de problemas
16. Calcula la distancia de un vértice a la diagonal de un cubo, en el 
cual su área es igual a 24 m2.
A) m5
2 6 B) 3
6 m C) 3
2 6 m 
D) 5
6 m E) 6 m
17. En un cubo la distancia de un vértice al centro de la cara opuesta 
es de 3 m. Calcula su arista.
A) m3 B) 2 m C) 6 m 
D) 7 m E) 2 2 m
18. Si la distancia de un vértice a la diagonal del cubo mide 6 m, 
halla el volumen.
A) 8 m3 B) 12 m3 C) 27 m3 
D) 64 m3 E) 32 m3
19. Calcula el área total del sólido que se forma al unir los puntos 
medios de las caras de un cubo de 8 m3 de volumen.
A) 2 m3 2 B) 4 m3 2 C) 4 m2 2 
D) 8 m2 2 E) 8 m3 2
20. Halla la distancia entre los baricentros de dos caras de un 
tetraedro regular de arista 3.
A) 2 B) 1/3 C) 4 
D) 1 E) 3
67GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 3
NIVEL 3
 Comunicación matemática
21. Indica V (verdadero) o F (falso) según corresponda:
I. Existe un poliedro que tiene 7 aristas. ( )
II. Existen tres poliedrosconjugados. ( )
III. Existe un poliedro regular no convexo. ( )
A) VFF B) VVF C) FFF 
D) VVV E) FVV
22. Indica V (verdadero) o F (falso) según corresponda:
I. Todos los poliedros regulares están inscritos en una 
esfera. ( )
II. Si una recta interseca un sólido en 2 puntos, significa 
que es un sólido convexo. ( )
III. El segundo teorema de poliedros se cumple para todos
los poliedros no convexos. ( )
A) VFF B) VVV C) VFV 
D) FVV E) FFF
23. La figura muestra a un tetraedro regular P-ABC. Calcula AM, si 
PG es altura, PM = MG y PB = 4.
A) 2 3 
A
C
B
P
M
G
B) 4 
C) 6 
D) 2 2 
E) /3 2
24. La figura muestra a un hexaedro regular ABCD-EFGH. Si M y N 
bisecan a BC y DC en O, y OM = 2. Calcula: FO
A) 8 
A B
H
GF
E
CD N
O
M
B) 12 
C) 10 
D) 16 
E) 20
25. La figura muestra a un tetraedro regular B - ACD. G es 
baricentro de la cara BCD. Calcula la distancia de G a la base 
ADC, si BC = 3.
A
B
C
G
D
A) 1 B) 3 C) 3
6 
D) 3
2 E) 6
Resolución de problemas
26. En un octaedro regular de arista “a”, halla la distancia del centro 
a una cara. Si a = 6
A) 6 B) 6 C) 1 
D) 2 E) 1/6
27. En la figura se pide la arista del cubo sabiendo que el área de la 
región sombreada es 3 m3 2 . 
A) m2 
B C
G
A
E
D
F
H
B) m3 
C) 1 m 
D) 2 m 
E) 3 m
28. En un octaedro regular, la distancia de un vértice al baricentro 
de la cara opuesta a dicho vértice mide L, calcula el área de la 
superficie total del octaedro.
A) L2 3 B) 3L2 3 C) L2 
D) 2L2 3 E) L 3
29. Halla el área del octaedro regular donde la distancia entre los 
centros de gravedad de dos caras opuestas que tienen un 
vértice común es / .2 3 
A) 2
9 3 B) 2 3 C) 3 
D) 3 3 E) 4 3
30. La figura muestra el paralelogramo ABCD, el cual es el 
resultado de desarrollar la superficie de un tetraedro regular. Si 
AC = 4 7 , calcula la medida de la altura de dicho tetraedro.
A
B
D
C
A) 3 B) 7 C) 3
2 6 
D) 2 E) 6
Claves
Nivel 1
1. 
2. 
3. A
4. B
5. B
6. D
7. B
8. A
9. C
10. B
Nivel 2
11. E
12. A
13. C
14. D
15. C
16. C
17. C
18. C 
19. B
20. D
Nivel 3
21. C 
22. C 
23. D
24. B
25. C
26. C
27. D
28. D
29. B
30. C
Aplicamos lo aprendido 
68 Intelectum 5.° 
tema 3: PRISMA
1 El área total de un prisma regular hexagonal es el triple de su 
área lateral. Halla el volumen del prisma, si el lado de la base 
mide 2 m.
A) 9 m3 B) 8 m3 C) 10 m3 
D) 5 m3 E) 4 m3
2 Si las aristas de un cubo se aumentan en 2; 4 y 6, 
respectivamente, el volumen del paralelepído obtenido excede 
en 568 al volumen del cubo inicial. Halla la longitud de la 
diagonal de este cubo.
A) 2 3 B) 4 3 C) 6 3 
D) 5 3 E) 3 
3 Un prisma recto cuyas bases son cuadrados de 4 cm de lado 
tiene un área total de 144 cm2, calcula su volumen.
 
A) 100 cm3 B) 110 cm3 C) 115 cm3 
D) 113 cm3 E) 112 cm3
4 En la figura se muestra el desarrollo de la superficie lateral de 
un prisma hexagonal regular, calcula el volumen del prisma.
8 10
 
A) 12 3 B) 2 3 C) 3 3 
D) 4 3 E) 5 3
5 Calcula el área lateral de un prisma triangular ABC-A'B'C', si 
A'B' = 24 cm y A'C' = 10 cm, además la altura del prisma 
es igual al diámetro de la circunferencia inscrita en la base 
inferior, siendo la m+B'A'C' = 90°.
A) 240 cm2 B) 320 cm2 C) 420 cm2
D) 480 cm2 E) 960 cm2
6 La figura muestra una caja en forma de un prisma regular 
pentagonal. Una astuta hormiga, parte de A, en busca de 
su comida en E, siguiendo la trayectoria ABCDE, de menor 
longitud posible, debido a que la cara ANEM está rociada con 
un insecticida. Halla la longitud de dicha trayectoria.
 
C
N 3
E
B
A
M
D
5
 
A) 9 B) 13 C) 42 
D) 28 E) 32
 Claves
69GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 3
7 Calcula el volumen de un prisma recto triangular en el cual el 
área de una cara lateral es 20 m2, mientras que la distancia 
desde la arista opuesta hacia dicha cara es 6 m.
 
A) 120 m3 B) 90 m3 C) 60 m3 
D) 75 m3 E) 80 m3
8 Un prisma tiene por base un rectángulo de lados 5 y 4 m, sus 
aristas laterales miden 6 m y están inclinadas 30° sobre el 
plano de la base y se proyectan siguiendo la dirección de los 
menores lados del rectángulo de la base. Calcula el área total 
del prisma.
A) 124 m2 B) 114 m2 C) 130 m2 
D) 140 m2 E) 150 m2
9 En un paralelepípedo rectangular las diagonales de las caras 
miden 61 , 106 y 117 cm. Calcula el volumen del 
paralelepípedo.
 
A) 240 cm3 B) 250 cm3 C) 210 cm3 
D) 230 cm3 E) 270 cm3
10 Un prisma recto tiene por bases, cuadrados inscritos en 
circunferencias de radio R. La superficie lateral es igual a nR2. 
Calcula la altura del prisma.
 
A) n R
8
2 B) n R
6
2 C) n R
12
2
D) n R
4
2 E) n R
3
2
11 Halla el volumen del tronco de prisma recto cuya base es 
un triángulo isósceles ABC de lados AB = AC = 116 m y 
BC = 8 m; las aristas laterales están en progresión aritmética, 
midiendo la intermedia 3 m.
 
A) 100 m3 B) 120 m3 C) 110 m3 
D) 140 m3 E) 150 m3
12 La base de un tronco de prisma oblicuo triangular, tiene área 
12. Halla el volumen del sólido, sabiendo que las aristas 
laterales estan inclinadas 60° respecto a la base y tiene 
longitudes 3, 4, 5, respectivamente.
A) 24 3 B) 20 C) 30 
D) 10 3 E) 32 2
13 Halla el volumen de un prisma regular de 12 aristas, si 
podemos trazar una circunferencia de radio R que es tangente 
a 2 aristas laterales opuestas y toca a cada base en un punto.
 
A) 8R3 B) 3R3 C) 6R3 
D) 2R3 E) 4R3
14 El volumen del prisma regular ABC-A'B'C' es 18 cm3. Se 
toman M y N, puntos medios de las aristas laterales BB' y CC', 
respectivamente. Las prolongaciones de A'N y AC se cortan 
en P y las de A'M y AB en Q. Halla el volumen del poliedro 
MBCNPQ.
A) 14 cm3 B) 12 cm3 C) 10 cm3 
D) 8 cm3 E) 6 cm3
1. A
2. D
3. E
4. A
5. D
6. B
7. C
8. A
9. E
10. A
11. B
12. A
13. E
14. B
Practiquemos
70 Intelectum 5.° 
NIVEL 1
 Comunicación matemática
1. De las figuras: 
I
IV
VII
X
II
V
VIII
III
VI
IX
A) ¿Qué sólidos son no convexos?
 
 
B) ¿Qué sólidos son convexos?
 
C) ¿Qué sólidos no son prismas?
 
2. De las figuras:
A) ¿Cuáles son prismas rectos?
 
B) ¿Cuáles son prismas cuadrangulares?
 
Razonamiento y demostración
3. Calcula el volumen de agua contenido en el sólido mostrado.
6
7
7
10
4
A) 350 B) 170 C) 300 
D) 270 E) 330
4. En la figura se tienen dos troncos de prisma triangulares 
regulares. Halla la relación entre sus áreas laterales si F, M y G 
son los puntos medios de AB, BC y AC.
A
B
CF
M
G
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Resolución de problemas
5. Calcula el volumen de un prisma recto de x metros de altura, si 
su base es un hexágono regular de x/2 de lado.
A) 3 x3 3 B) x8
3 3 3 C) x2
3 3 3 
D) x4
3 3 3 E) x8
5 3 3 
6. Halla el volumen de un prisma recto cuyas aristas laterales miden 
16 cm y su base es un cuadrado inscrito en una circunferencia 
de 5 cm de radio.
A) 400 cm3 B) 500 cm3 C) 600 cm3 
D) 1200 cm3 E) 800 cm3
7. En un prisma cuadrangular regular, el segmento que une el 
centro de una base con el punto de intersección de las diagonales 
de una cara lateral mide 4 y además forma con dicha base un 
ángulo que mide 60°. Calcula el volumen de dicho prisma.
A) 64 B) 64 3 C) 48 
D) 48 2 E) 86
8. Halla el área lateral de un prisma oblicuo, cuya sección recta es 
un hexágono regular de área 24 3 . La altura es 3 3 y las 
aristas forman ángulos de 60° con la base.
A) 144 B) 180 C) 50 
D) 140 E) 100
V; VI; VIII
I; II; III; IV; VII; IX; X
IV; VII; VIII; X
I; II; V; IX
II; III; VI
71GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 3
9. Halla el volumen de un prisma oblicuo triangular sabiendo que 
el área de una cara lateral es 5 cm2 y la distancia de la arista 
opuesta a esta es 10 cm.
A) 20 cm3 B) 2
5 3 cm3 C) 30 cm3 
D) 10 cm3 E) 25 cm3
10. La base de un prisma recto es base de un tetraedro regular de 
altura 2 6 cm, y el área lateral del prisma es igual al área total 
del tetraedro. Halla el volumen del prisma.
A) 50 cm3 B) 54 cm3 C) 60 cm3 
D) 40 cm3 E) 20 cm3NIVEL 2
 Comunicación matemática
11. Indica cuáles premisas son falsas:
I. Un prisma recto siempre está inscrito en un cilindro recto. ( )
II. Un prisma oblicuo siempre está inscrito en un cilindro 
oblicuo. ( )
III. Dos prismas congruentes tienen el mismo volumen. ( )
IV. Dos prismas semejantes tienen la misma altura. ( )
A) Solo I B) Solo III C) I y II 
D) III y IV E) Solo IV
12. Indica V (verdadero) o F (falso) según corresponda:
I. Dos prismas semejantes pueden ser iguales ( )
II. Dos prismas con diferentes bases son semejantes ( )
III. Dos prismas semejantes pueden tener alturas iguales ( )
IV. Si dos prismas son semejantes y uno tiene base hexagonal 
no convexa el otro tendrá base hexagonal no convexa ( )
Razonamiento y demostración
13. Halla el volumen del poliedro mostrado, sabiendo que la 
base es un rectángulo de dimensiones 5 y 12 m; MN dista de 
la base 10,5 m. Las caras laterales están formadas por los 
trapecios PMNS y QMNR; por los triángulos isósceles PMQ 
y SNR. Además MN = 4m.
S
Q
P
M N
R
 
 A) 145 m3 
 B) 200 m3 
 C) 245 m3 
 D) 345 m3 
 E) 260 m3
14. En el hexaedro ABCD-EFGH de arista “2a”; M; N; P y Q, son 
puntos medios de las aristas. O1 y O2 son centros de las caras. 
El área lateral del prisma oblicuo es:
Q
MA D
B C
E
F
H
G
P
N
O2
O1
A) a
2 5 2
2
+^ h B) a2 5 1+^ h C) a2
2
5 1+c m
D) 2a2 5 2+^ h E) a
4 5 2
2
+^ h
Resolución de problemas
15. En un prisma oblicuo de bases regulares la proyección del vértice 
A sobre la base PQR coincide con el centro de dicha base. Si la 
arista básica mide L y las aristas laterales están inclinadas 30° 
respecto a la base, entonces el volumen del prisma hexagonal 
de base regular inscrito en el prisma triangular es:
A) L
18
33
 B) L
4
33
 C) L
18
23
 
D) L
3
23
 E) L
3
3
16. En un prisma cuadrangular regular el ángulo entre la diagonal y 
una cara lateral mide 30° y el área de la base es 4 cm2. Calcula 
la longitud del menor recorrido para ir de un extremo de dicha 
diagonal al otro sobre la superficie lateral del prisma.
A) 6 cm B) 7 cm C) 2 6 cm 
D) 2 7 cm E) 11 cm
17. En un prisma la medida del diedro determinado por su base y la 
sección recta es a. Calcula la medida del ángulo que forma la 
arista lateral con la base de dicho prisma.
A) 180° - a B) 180° - 2a C) 90° - a 
D) 90° - 2a E) 45° + a
18. En un tronco de prisma triangular recto, la base ABC es una 
región equilátera y las aristas laterales miden 8; 5 y 4 cm. Si 
el volumen del tetraedro determinado por la base superior y el 
vértice B es 12 3 cm3, calcula el área de la base.
A) 5 3 cm2 B) 6 3 cm2 C) 9 3 cm2 
D) 8 3 cm2 E) 2
9 3 cm2
19. Calcula el área lateral de un prisma oblicuo, cuya sección recta 
es un hexágono regular de 30 m3 2 de superficie, la altura 
del prisma es 10 3 m y las aristas están inclinadas 60° con 
respecto a la base.
A) 120 m5 2 B) 360 m2 C) 240 m2 
D) 180 m2 E) 240 m5 2
20. En un tronco de prisma recto de aristas laterales 3; 4; 5 m, la 
base es un triángulo cuya área se desconoce.
Halla el volumen del sólido si la otra base mide 12 m y está 
contenida en un plano que forma un diedro de 60° con el plano 
de la base desconocida.
A) 24 3 m3 B) 10 5 m3 C) 20 m3 
D) 4 2 m3 E) 8 m3
72 Intelectum 5.° 
NIVEL 3
 Comunicación matemática
21. Marca la alternativa correctamente:
I. Dos prismas congruentes tienen bases poligonales 
congruentes. ( )
II. Dos prismas oblicuas congruentes tienen el mismo 
ángulo de inclinación. ( )
III. Dos prismas de igual volumen son congruentes. ( )
IV. Dos prismas de igual altura e igual área lateral 
son congruentes. ( )
A) VVFF B) VFVF C) FVFV D) FFVV E) VVVV
22. Indica cuántas son falsas:
I. Dos troncos de prismas semejantes tienen la misma 
forma poligonal en las bases. ( )
II. En un prisma oblicuo el área de la sección recta es 
mayor al área de la base. ( )
III. En un tronco de prisma oblicuo el área de la sección 
recta es paralelo una de las bases. ( )
IV. En un prisma oblicuo la altura es mayor a la 
arista lateral. ( )
A) 4 B) 2 C) 1 D) 3 E) 0
Razonamiento y demostración
23. La figura muestra a un prisma recto cuadrangular regular lleno 
de agua. Dicho prisma se inclina “a” apoyándose en una arista 
básica. Sabiendo que el volumen del líquido derramado es los 
4
2 3-c m partes del recipiente. Halla a.
 a
2a
 α 
A) 30° B) 60° C) 85° D) 15° E) 45°
24. Sean ABCIGF y CDEIGF dos prismas iguales incrustados 
oblicuamente. La base común es el triángulo equilátero FGI 
cuya longitud de su lado es “3a”. Las aristas miden “2a” y están 
inclinadas 60° respecto al plano de sus bases no comunes ABC 
y CED. Calcula el volumen de las partes no comunes a los dos 
prismas.
A
DB
C
F
G
I
E
A) 2,5a3 B) 4,5a3 C) 4a3 D) 5,5a3 E) a3
Resolución de problemas
25. Un prisma recto de 10 cm de altura, tiene por base a un 
cuadrilátero inscriptible, que se descompone por una de sus 
diagonales en un triángulo equilátero de 12 cm de lado y el otro 
isósceles. Calcula el volumen del prisma.
A) 230 2 cm3 B) 720 3 cm3 C) 480 3 cm3 
D) 360 cm3 E) 480 2 cm3
26. Las bases de un prisma recto son los romboides ABCD y EFGH, 
en la arista DH se ubica el punto medio M; en la arista AE se 
ubica el punto P. Si el volumen del tronco de prisma PBM-EFH 
es los 5
2 del prisma dado y AP = 2. Calcula PE.
A) 12 B) 9 C) 18 D) 6 E) 15
27. En un prisma triangular de base regular cuyo lado mide ,a 3
la arista lateral forma con la base un ángulo de medida a y la 
proyección de uno de los vértices coincide con el centroide de la 
base. Calcula el volumen del prisma.
A) a sen3 2 α B) cosa2 3 α C) tana4
3 3 3 α 
D) seca2 3 α E) 270 5
28. Halla el volumen de un tronco de prisma recto, cuyas bases son un 
triángulo equilátero FED y un triángulo rectángulo isósceles ABC.
Además, una cara lateral es un rectángulo de lados 3 2 y 6, 
siendo los mayores lados las aristas laterales.
A) 20 B) 15 C) 31,5 D) 30 E) 4
29. En un prisma oblicuo triangular el área de una cara lateral ABCD 
es 5, el área de la base es 12. Sabiendo que las aristas laterales 
están inclinadas 60° respecto a la base y tienen longitud 4, 
calcula la distancia de la arista opuesta a la cara ABCD.
A) 40 5
3 B) 41 5
3 C) 43 5
3
D) 44 5
3 E) 48 5
3
30. En un prisma triangular regular, los centros de sus caras laterales 
y el centro de una base son los vértices de un tetraedro regular 
cuya superficie total tiene por área 9 m3 , entonces el volumen 
del prisma es:
A) 50 2 m3 B) 52 2 m3 C) 54 2 m3
D) 56 2 m3 E) 58 2 m3
Claves
Nivel 1
1. 
2. 
3. E
4. B
5. B
6. E
7. B
8. A
9. E
10. B
Nivel 2
11. E
12. 
13. C
14. D
15. A
16. C
17. C
18. E 
19. E
20. A
Nivel 3
21. A 
22. D 
23. D
24. B
25. C
26. C
27. C
28. C
29. E
30. C
Aplicamos lo aprendido 
73GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 3
1 Halla la relación del área total de un cubo y el área lateral de 
un cilindro de revolución, si el cubo está inscrito en el cilindro.
A) 3 /2 π B) /2 π C) /3 2 π 
D) 1/p E) 2/p
2 En un cilindro de revolución cuya área lateral es 24 m2 y de 
altura 3 m, halla la menor distancia para trasladarse desde 
el borde de la base superior al borde de la base inferior, 
diametralmente opuesta (trasladándose por la superficie del 
cilindro).
A) 5 m B) 6 m C) 7 m 
D) 8 m E) 9 m
3 Halla el volumen de un cilindro de revolución de 64 m2 de área 
total y además: r h
1 1
4
1+ = 
 (r = radio de la base; h = altura).
 
A) 32 m3 B) 128 m3 C) 210 m3
D) 245 m3 E) 260 m3
4 Si las áreas de las superficies laterales de dos cilindros de 
revolución semejantes, son entre sí como 4 a 9, siendo el 
volumen del menor 16p. Calcula el volumen del mayor.
A) 24p B) 36p C) 81p 
D) 45p E) 54p
5 Un cilindro circular recto está inscrito en un cubo de arista 
2a. El volumen del cilindro es 16p m3. Calcula el volumen del 
cubo.A) 64 m3 B) 48 m3 C) 56 m3 
D) 36 m3 E) 42 m3
6 Un cilindro de revolución, cuya altura es igual al diámetro de 
la base, tiene un área total de 12p m2. Calcula su volumen.
A) 4p 2 m3 B) 16p m3 C) 8 2 m3
D) 32p m3 E) 36p m3
tema 4: CILINDRO
 Claves
74 Intelectum 5.° 
1. C
2. A
3. B
4. E
5. A
6. A
7. B
8. E
9. B
10. B
11. D
12. E
13. D
14. A
7 En un cilindro circular recto, el área de la sección perpendicular 
a la generatriz es M y el área de la sección que contiene al eje 
del cilindro es N. Halla el volumen del cilindro.
A) N
2
π B) N M
2
π C) M N
2
π 
 
D) M
2
π E) MN
2
π
8 Calcula el área lateral del cilindro de revolución mostrado, si 
OA = 14 cm y BM = 6 cm.
M
A
BOr
A) 84p cm2 B) 112p cm2 C) 126p cm2 
D) 160p cm2 E) 168p cm2
9 Se tiene un cilindro oblicuo, donde el área de su sección recta 
es 36p m2 y su generatriz mide 8 m. Calcula el área de la 
superficie lateral.
A) 90p m2 B) 96p m2 C) 80π m2
D) 100p m2 E) 108p m2
10 La longitud del segmento que une los centros de las bases de 
un cilindro circular recto es igual a la longitud de la diagonal 
de un hexaedro regular. Si la razón entre los volúmenes del 
cilindro y el hexaedro es k, calcula la razón entre el área de la 
base del cilindro y el área de la superficie hexaédrica.
A) k
2 B) k
18
3 C) k
3
3 
D) k
12
2 E) k
9
3
11 Un cilindro está lleno de agua hasta la mitad. Se suelta un 
trozo de metal y el nivel del agua sube en 4 cm. Si el diámetro 
del cilindro es 10 cm, ¿cuál es el volumen del trozo de metal?
A) 180 cm3 B) 170,13 cm3 C) 160 cm3
D) 314 cm3 E) 200 cm3
12 Calcula el volumen de un cilindro recto inscrito en un prisma 
cuadrangular regular de 10 m de alto, si la diagonal de la base 
mide 12 m2 .
A) 150p m3 B) 300p m3 C) 120p m3
D) 180p m3 E) 360p m3
13 Calcula el volumen de un cilindro recto, si el desarrollo de la 
superficie lateral tiene un área de 180p m2 y la distancia entre 
los centros de las bases de dicho cilindro mide 15 m.
A) 380p m3 B) 440p m3 C) 480p m3
D) 540p m3 E) 560p m3
14 En un cilindro de revolución la generatriz y el diámetro son de 
igual longitud. Si el área de su superficie lateral es 64p m2, 
calcula el volumen del cilindro.
A) 128p m3 B) 160p m3 C) 192p m3
D) 216p m3 E) 156p m3
Practiquemos
75GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 3
NIVEL 1
 Comunicación matemática
1. De las figuras:
360°
r
a
a b
b a
a
b
b
r
r
(I)
(IV)
(VII)
(II)
(V)
(VIII)
(III)
(VI)
(IX)
(X)
A) ¿Cuáles sólidos son convexos?
 
B) ¿Cuáles sólidos son no convexos?
 
C) ¿Cuáles sólidos no son cilindros?
 
2. De las figuras:
A) ¿Cuáles son cilindros rectos?
 
B) ¿Cuáles son cilindros con base circular?
 
C) ¿Cuáles son cilindros con base elíptica?
 
 Razonamiento y demostración
3. En la figura se muestra un cilindro recto y un paralelepípedo 
rectangular los cuales son equivalentes. Si PSRQ es congruente 
con ABCD, calcula r
BF .
 
S
Q
R
P
r
 
B
E
A D
H
GF
C
A) 2
π B) 2
π
 C) 3
π D) 3
π
 E) p
4. De la figura, calcula r si el volumen es numéricamente igual al 
área lateral.
 r A) 2 
 B) 8 
 C) 3 
 D) 4 
 E) 5
5. Según el gráfico, se tiene un cilindro de revolución. Si se cumple 
(AM)(NH) = 12 m2, calcula el área de la superficie lateral del cilindro.
 
A
H
N
 A) 12p m2 
 B) 24p m2 
 C) 28p m2 
 D) 18p m2 
 E) 30p m2
Resolución de problemas
6. El área lateral de un cilindro recto de revolución es 25 m2 y 
su altura con el diámetro de la base son congruentes. Halla la 
medida de su altura.
A) 
2
5
π
 m B) 4
π
 m C) 5
π
 m
D) 6
π
 m E) 10
π
 m
7. Calcula el volumen de un cilindro recto circunscrito a un cubo 
cuya diagonal mide 6 3 m.
A) 24p m3 B) 36p m3 C) 54p m3 
D) 72p m3 E) 108p m3
8. Si AB 8 medio de BC. Siendo E un punto de CD, tal que OE 9 
AE, CE = 8 cm y ED = 9 cm. Halla el área total del 
A) 260p cm2 B) 270p cm2 C) 275p cm2 
D) 276p cm2 E) 280p cm2
III, IV, V, VI, VII, VIII, IX
I, II, X
IV, V (porque no son superficies cilíndricas)
III, VI, VII, VIII, IX
I, II,V
I, VIII, IX, X
76 Intelectum 5.° 
9. Calcula el área total de un cilindro recto circunscrito a una esfera 
de 12 m de radio.
A) 900p m2 B) 864p m2 C) 800p m2 
D) 784p m2 E) 748p m2
10. Calcula el área lateral de un cilindro de revolución, sabiendo que 
una sección perpendicular a la base tiene área 2 m2 y determina 
en ellas arcos de medida igual a 90°.
A) 2p m2 B) p m2 C) m2 2π 
D) 2 m2 2π E) 2p m2
NIVEL 2
 Comunicación matemática
11. Cuántas proposiciones son verdaderas:
I. La generatriz del cilindro es curva. ( )
II. La directriz del cilindro tiene líneas rectas. ( )
III. El cilindro tiene como mínimo 4 vértices. ( )
IV. Un cilindro siempre está inscrito en un prisma. ( )
A) 3 B) 1 C) 4 D) 2 E) 0
12. Cuántas proposiciones son falsas:
I. Un cilindro tiene el área de sus bases diferentes. ( )
II. Un cilindro oblicuo tiene sección axial. ( )
III. Un cilindro recto puede estar inscrito en un cilindro
oblicuo, de bases iguales. ( )
IV. Un cilindro recto es un sólido convexo. ( )
A) 1 B) 3 C) 4 D) 2 E) 0
 Razonamiento y demostración
13. En la figura se tiene dos cilindros de revolución. Si al área de 
la superficie lateral del mayor cilindro es el doble del área de la 
superficie total del menor, calcula x.
 
rr
x
 A) 53° 
 B) 60° 
 C) 63°30' 
 D) 71°30' 
 E) 75°
14. Según el gráfico, se tiene un cilindro de revolución. Si el área de 
la región triangular OMN es 3 m2, calcula el área de la superficie 
lateral del cilindro.
 NO
M
 A) 48p m2 
 B) 30p m2 
 C) 38p m2 
 D) 36p m2 
 E) 18p m2
15. La figura muestra a un cilindro de revolución lleno de agua. Se 
le inclina hasta derramar la mitad de su contenido. Calcula a.
 
4R
R α
A) 26,5° B) 18,5° C) 30° D) 45° E) 36°
16. En el gráfico se muestran dos cilindros de revolución, si ABCD es 
un trapecio isósceles (AB // CD). Calcula la razón de volúmenes 
de dichos cilindros.
B
C
DA
A) 2 B) 4 C) 8 D) 12 E) 16
 Resolución de problemas
17. Halla el área total de un cilindro de revolución en el cual la 
diagonal axial mide 17 cm y la distancia de un punto de la 
circunferencia de una base, al centro de la otra es 241 cm.
A) 170p cm2 B) 150p cm2 C) 152p cm2 
D) 180p cm2 E) 140p cm2
18. El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro oblicuo de 
bases elípticas, es un rombo de diagonales 12 cm y 16 cm, 
respectivamente. Halla el volumen del sólido.
A) 5
1152
π
 cm3 B) 3
1100
π
 cm3 C) 5
1112
π
 cm3
D) 4
1125
π
 cm3 E) 5
144
π
 cm3
19. Calcula el radio de la base de un tronco de cilindro circular recto 
cuyas bases forman un ángulo diedro cuya medida es 60°; 
además, la suma de las áreas de las bases es S y la generatriz 
mínima mide cero.
A) S
π
 B) S
π
 C) S
3π
 D) S
5
 E) S
2π 
20. El radio de la sección recta de un cilindro oblicuo mide 2 ,3 la 
generatriz está inclinada 60° respecto a la base y la altura es el 
doble del diámetro de la sección recta. Calcula el volumen del 
cilindro.
A) 180p B) 192p C) 200p D) 177p E) 195p
77GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 3
NIVEL 3
 Comunicación matemática
21. Indica V (verdadero) o F (falso) según corresponda:
I. Si dos troncos de cilindro tienen bases iguales, 
son congruentes. ( )
II. Si dos troncos de cilindro tienen alturas iguales, son 
semejantes. ( )
III. Si dos cilindros rectos tienen igual altura y bases 
iguales, son congruentes. ( )
IV. Un cilindro tiene superficie poligonal. ( )
A) VFF B) FFVV C) FFVF 
D) VFVF E) FVFV
22. Indica V (verdadero) o F (falso) según corresponda:
I. Dos cilindros semejantes deben de tener áreas laterales 
iguales. ( )
II. Dos troncos de cilindro semejantes poseen altura y área
de la base proporcionales. ( )
III. Un tronco de cilindro oblicuo puede inscribirse en un 
tronco de cilindro recto. ( )
IV. Dos troncosde cilindros congruentes poseen volúmenes 
iguales. ( )
 Razonamiento y demostración
23. En el gráfico, el área de la superficie lateral del prisma recto 
mostrado menos el doble del área de la cara ABCD es 8. Calcula 
el área de la superficie lateral del cilindro.
A B
CD
 A) 8p 
 B) 4p 
 C) 6p 
 D) 16p 
 E) 12p
24. En la figura se muestran dos cilindros de revolución, donde 
R = 2r y 3(AB) = 5(O1O2), AM = 5 y ND = 4. Calcula el 
volumen del cilindro de radio r.
 A
B D
CR
M NT
O2
O1 A) 25
132 5π B) 13
124 5π
 C) 33p D) 25
264 5π
 E) 13 3 π
25. Si BM = 2 m y 3(OM) = 2(MN), calcula el volumen del cilindro 
de revolución mostrado.
B
M
NO1
O A) 5 π m3
 B) 56 π m3
 C) 9p m3 
 D) 36p m3 
 E) 30p m3
26. En el gráfico la sección axial del cilindro recto mayor es 
una región cuadrada. Calcula la razón entre las áreas de las 
superficies laterales cilíndricas.
 A) 13
6 B) 5
2 
 C) 4
1 D) 15
7
 E) 7
3
27. Se tiene un recipiente cilindrico conteniendo agua hasta sus 
dos terceras partes. Determina el ángulo que debe inclinarse el 
recipiente para que el agua empiece a caer.
 
6R
R
 A) 37° 
 B) 53°/2 
 C) 37°/2
 D) 53° 
 E) 16°
 Resolución de problemas
28. ABCD, es un rectángulo. Se traza BH = AC. Si V1 y V2 son los 
volúmenes de los sólidos obtenidos al girar la región rectangular 
ABCD, alrededor de AB y BC, respectivamente. 
Halla V
V
2
1 , si: HC
AH
25
4= 
A) 2
5 B) 2
1 C) 2
3 D) 5
4 E) 5
2
29. En un prisma recto ABC-A'B'C' se inscribe un cilindro circunscrito 
a una esfera, si AB = 13; BC = 15 y AC = 14. Calcula el 
volumen del prisma.
A) 438 B) 546 C) 672 D) 736 E) 824
30. Dos cilindros circulares rectos son semejantes y de áreas totales 
de 18p cm2 y 50p cm2. ¿En qué relación están sus volúmenes?
A) 125
27 B) 29
9 C) 21
17 D) 8
7 E) 25
21
Claves
Nivel 1
1. 
2. 
3. A
4. A
5. B
6. C
7. E
8. D
9. B
10. D
Nivel 2
11. B
12. D
13. C
14. D
15. A
16. C
17. C
18. A
19. C
20. B
Nivel 3
21. C
22. 
23. A
24. D
25. E
26. C
27. B
28. A
29. C
30. A
78 Intelectum 5.° 
 Matemát ica
 Resolución:
θO
C
A
BP
M
60°
N
a
a 3
2a
2a
60°
60°
a 3
a 3
Paso 1. De los datos:
• Del triedro O-ABC: m+AOC = m+BOC = 60°
• Plano PMN 9 OC
Paso 2. Del triedro y el plano PMN:
• El TOMN , TOMP, si OM = a & por triángulos notables:
60°
M N
O
a
ON = 2a
MN = a 3
60°
M P
O
a
OP = 2a
PM = a 3
Paso 3. Del TNMP: 
P
M
N R
a 3a 3
60°
 
• Es un T equilátero 
 & NP = a 3 y MR es la altura de 
 TNMP.
 & MR = a2
3
Paso 4. Del TOPN (isósceles): 
P
O
N
2a 2a
Ra 3
2
• OR: es la altura, por Pitágoras OR = a2
13
Paso 5: Del TOMR:
Por dato OM 9 6MNP & OM 9 MR 
R M
O
a
θ
13 a
2
3 a
2
y q = ángulo diedro O-NP-M
& tanq = 
a
a
2
3 & q = arctan 3
2c m
Tres rayos no coplanares OA, OB y OC son tales que: m+AOC = m+BOC = 60°. Un plano perpendicular a OC determina los puntos M, N y P al 
intersecarse con OB y OA. Sí m+MNP = 60°, entonces la medida del ángulo diedro O-NP-M es:
1. Para alfombrar el piso rectangular de un stand ferial (como 
se muestra en la figura) se necesitaron 9800 m2 de alfombra. 
¿Cuántos metros de toldo se necesitará para cubrir el techo 
(superficie de un semicilindro), si el largo del stand es al ancho 
como 8 es a 1?
A) 2800p m2 
B) 5880p m2 
C) 7350p m2 
D) 4900p m2 
E) 5000p m2
2. Dos regiones rectangulares congruentes ABCD y ABC'D'. 
Forman un ángulo diedro cuya medida es 60°. Si AD = 2AB, 
calcula la medida del ángulo que forman las rectas BD y AC '.
A) arccos 5
3c m B) arccos 5
2c m C) arccos 5
4c m
D) arccos 5
1c m C) arccos 6
1c m
3. Un cilindro circular recto de altura 15 2 y radio 6 es cortado 
por 2 planos paralelos que forman un ángulo de 30° con el eje 
del cilindro; cada uno de los planos corta a solo una de las 
bases en un único punto. El área lateral de la parte del cilindro 
comprendido entre estos dos planos es:
A) 18 3 p B) 15 3 p C) 20 3 p 
D) 25 3 p E) 36 3 p 
4. En un prisma hexagonal regular ABCDEF-A'B'C'D'E'F' la 
longitud de la diagonal mayor del prisma es d y la medida del 
ángulo A'DF' es a. Halla el volumen del prisma.
A
A'
B' C'
D'E'F' 
D
B C
F E
 A) d sen2
3 3 1 43 2α- sen2a 
 B) d sen2
3 3 1 42 2α- sen2a
 C) d sen2
3 3 1 43 2α+ sen2a
 D) d sen2
3 3 1 43 α- sen2a
 E) d sen2
3 3 1 42 2α+ sen2a
5. El coseno del ángulo diedro que forma la base del cubo con el 
plano que contiene a los puntos medios de las aristas EF, FG, 
AB y BC, es: 
 
A
D
B
C
E
F
H
G
 A) 
41
3 B) 
3
1 
 C) 1/2 D) 2/3
 E) 3/4
6. En la gráfica (a y b) se muestran dos prismas rectos, si la gráfica 
(b), es equivalente al tronco de prisma mayor de la gráfica (a); 
AM = MA' = 3 y la razón de volúmenes de los sólidos ABCML y 
MLC - A'B'C' es 1/3. Halla EE', si la sección recta de la gráfica (a) es 
el doble de la gráfica (b).
 
(a)
L
B
A
A'
B'
C'
C
M
(b)
E
D
D'
E'
F'
F
 A) 9 
 B) 8
 C) 7
 D) 6
 E) 5
Unidad 4
Recuerda
Geometría analítica
Bajo esta denominación se considera aquella parte de la 
Geometría donde se estudian las figuras y transformaciones 
geométricas dadas por ecuaciones algebraicas. Las puertas 
a esta rama fueron abiertas ya en el siglo XVII por Descartes 
y Fermat, pero solo incluían problemas planos. Hubo de ser 
Newton quien en 1704 diera un paso importante al publicar la 
obra, Enumeración de las curvas de tercer orden, clasificando 
las curvas según el número posible de puntos de intersección 
con una recta, obteniendo un total de 72 tipos de curvas, que 
se podían representar por ecuaciones de cuatro tipos. 
Sin embargo, lo verdaderamente importante de esta obra fue 
el descubrimiento de las nuevas posibilidades del método de 
coordenadas, definiendo los signos de las funciones en los 
cuatro cuadrantes. Con posterioridad a Newton, las curvas de 
tercer orden fueron estudiadas por Stirling, Maclaurin, Nico-
lle, Maupertius, Braikenridge, Steiner, Salmon, Silvestre, Shall, 
Clebsch y otros. Fue Euler quien, en 1748, sistematizó la geo-
metría analítica de una manera formal. En primer lugar expuso 
el sistema de la geometría analítica en el plano, introduciendo 
además de las coordenadas rectangulares en el espacio, las 
oblicuas y polares. En segundo lugar, estudió las transforma-
ciones de los sistemas de coordenadas. También clasificó las 
curvas según el grado de sus ecuaciones, estudiando sus pro-
piedades generales. 
En otros apartados de sus obras trató las secciones cónicas, 
las formas canónicas de las ecuaciones de segundo grado, las 
ramas infinitas y asintóticas de las secciones cónicas, y clasificó 
las curvas de tercer y cuarto orden, demostrando la inexactitud 
de la clasificación newtoniana. También estudió las tangentes, 
problemas de curvaturas, diámetros y simetrías, semejanzas y 
propiedades afines, intersección de curvas, composición de 
ecuaciones de curvas complejas, curvas trascendentes, y la 
resolución general de ecuaciones trigonométricas. Todos estos 
aspectos se recogen en el segundo tomo de la obra Introduc-
ción al análisis que Euler dedicó exclusivamente a la geometría 
analítica. En la segunda mitad del siglo se introdujeron solo 
mejoras parciales, pues en lo fundamental, la geometría analí-
tica ya estaba formada. Destacaremos entre otros los nombres 
de G. Monge, Lacroix y Menier.
Reflexiona
•	 La	confianza	de	 sí	mismo,	es	 la	clave	de	
todo	logro;	refuerza	la	habilidad,	duplica	
la	energía,	expande	la	capacidad	mental	
y	aumenta	la	fuerza	personal.
•	 El	éxito	ha	sido	y	será	siempre,	el	resultado	
natural	de	lo	que	una	persona	es	y	no	de	lo	
que	finje	ser.	¡Haz	todo	espontáneamente	
y	el	mundo	notará	la	luz	que	irradias!
•	 Siempre	 procura	 comprender	 a	 tu	
interlocutor,	esta	es	la	clave	de	que	logres	
suD) 36° E) 30°
15. En la figura, calcula m+DOC.
A
B
64°
52°
48°
66°
C
D
O
A) 72° B) 68° C) 82° 
D) 88° E) 92°
Resolución de problemas
16. Si MP es altura del TABM y MQ es altura 
del TBMC, calcula x.
70° 40°
A
B
CM
P
Q
x
 
A) 100° B) 110° C) 120° 
D) 90° E) 130°
17. Si AB = BC y CH es altura, calcula x.
50°
B
H
A
x C
A) 65° B) 25° C) 35° 
D) 40° E) 30°
18. Calcula x, si BD es bisectriz.
75° 45°
x
A
B
CD
A) 100° B) 105° C) 110° 
D) 115° E) 125°
19. En un triángulo ABC, se traza la ceviana 
BD, tal que AB = BD = DC. Si AC = BC, 
halla el ángulo BAC.
A) 36° B) 40° C) 72° 
D) 10° E) 18°
20. En la figura mostrada calcula x, si O es el 
ortocentro del triángulo ABC.
40°
32°
x
A
B
C
O
A) 20° B) 22° C) 18° 
D) 24° E) 16°
21. En la figura G es el baricentro del triángulo 
ABC. Si: a + c = 7, halla b.
A
B
G
b
ca
C
A) 7 B) 5 C) 6 
D) 3,5 E) 10,5
 
22. Calcula BC, si G es baricentro del triángulo 
ABC y GM = 1
A
B
CM
G
45°
A) 2 2 B) 2 C) 3 2 
D) 4 2 E) 6 2
23. Según la figura, AC = 3BG. Calcula x si G 
es baricentro del triángulo ABC.
40°A
B
C
G
x
A) 50° B) 40° C) 30° D) 60° E) 80°
24. En un triángulo isósceles ABC se traza la 
altura BH y la mediana AM, las cuales se 
intersecan en el punto P. Calcula BH, si 
PM = 2 y m+BPM = 45°
A) 7 B) 6 C) 10 
D) 8 E) 9
25. En un triángulo acutángulo ABC; L es el 
ortocentro y O el circuncentro. Si, BL = 8 m, 
halla la distancia del circuncentro al lado 
AC.
A) 4 m2 B) 4 m3 C) 4 m 
D) 2 m E) 2 m3
10 Intelectum 5.° 
NIVEL 2
Comunicación matemática
26. Coloca V (verdadero) o F (falso) según lo mostrado en la 
siguiente figura.
A
B
Ca
c
b
I
II
III
IV
 ▪ Todo triángulo determina dos regiones en el plano. ( )
 ▪ II es la región relativa a AC. ( )
 ▪ I , II , III es la región externa del 9ABC. ( )
 ▪ IV es la región interna del 9ABC. ( )
27. Rellena las recuadros con los símbolos >, 
11GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 1
35. En un triángulo ABC isósceles (AB = BC) la m+ABC = 100°, 
luego se trazan las cevianas AP y BQ, tal que: 
m+BAP = m+QBC = 30°. Halla: m+APQ
A) 15° B) 20° C) 30° D) 36° E) 40°
36. Calcula x, si: AQ = PQ = PB = BC
A B
C
P
Q
x
 
A) 22°30’
B) 40°30’
C) 15°30’
D) 25°30’
E) 30°30’
37. Si: BI = CE; BC = AB y BC ⊥ CE, calcula α (I es incentro del TABC).
I
B
E
A
θ
α
2x
θ
C 
A) 18°
B) 20°
C) 24°
D) 36°
E) 42
38. En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior BP, que contiene 
al circuncentro del triángulo ABC.Calcula la m+OPC, siendo O 
el circuncentro del triángulo PBC y la m+BAC = 65°.
A) 65° B) 60° C) 55° D) 50° E) 45°
39. En un triángulo ABC, se trazan las alturas AP y CQ, calcula 
la medida del ángulo determinado por PQ y OB , siendo O el 
circuncentro del triángulo ABC, además BP = BQ.
A) 60° B) 75° C) 90° D) 100° E) 110°
40. Del gráfico, calcula x, si BG = LG = 4(AL); siendo G el baricentro 
de la región triangular ABC.
A
B
xL G
C 
A) 30°
B) 60°
C) 37°
D) 53°
E) 30°
41. Del gráfico, AB es tangente, tal que: AC y DC son diámetros. 
Calcula x. 
α
α
x
B
P
DA C
 
A) 30°
B) 60°
C) 75° 
D) 37°
E) 45°
42. En la figura: AB = 9, BC = 10, AC = 7, BM = 6, BN = 7 y 
AP = 4. Calcula x, si x; y; z son máximos enteros.
x
z
A C
N
B
M
P
y
 
A) 8
B) 12
C) 11
D) 10
E) 9
43. En un triángulo ABC, I es el incentro y O el circuncentro. Si los 
ángulos AIC y AOC son suplementarios, calcula la medida del 
ángulo B.
A) 30° B) 60° C) 45° D) 36° E) 53°
44. En un triángulo acutángulo ABC; m+A - m+C = 28°. Del 
circuncentro O se traza OG perpendicular al lado AC; si la 
m+OGB = 15°. Halla la m+OBG.
A) 9° B) 18° C) 15° D) 13° E) 12°
45. La suma de las distancias de los vértices de un triángulo a una 
recta exterior es 42. Halla la distancia del baricentro a dicha 
recta exterior.
A) 21 B) 14 C) 18 D) 24 E) 28 
NIVEL 3
Comunicación matemática
46. Coloca V (verdadero) o F (falso) según el siguiente gráfico, 
donde Le es la recta de Euler.
Le
A
B
C
T
S
R
M
H
a
2a
I. A es el circuncentro del TRST. ( )
II. C es el baricentro del TRST. ( )
III. AH es la mediatriz de RT. ( )
IV. AM = SC ( )
47. Completa los recuadros con los valores del siguiente gráfico.
α
β
φ
a b
 2
β= +
 
a
2= +
48. Si: AP = PQ = QC. ¿Qué punto notable es K respecto al 
triángulo ABC?
A
P
B
Q
C
K
60°
 
A) Incentro
B) Cincuncentro
C) Ortocentro
D) Baricentro
E) Excentro
V
F
V
F
α bφ φ
12 Intelectum 5.° 
Razonamiento y demostración
49. En la figura, calcula x.
 
x
α
2α
A) 30° B) 15° 
C) 45° D) 20° 
E) 10° 
 
50. Según el gráfico, calcula x.
 
x
70°
80°
θ α
αθ 
A) 35° B) 40° 
C) 45° D) 50° 
E) 55°
51. En la figura, si: AC = CD = DE. Calcula x.
 
D
A
B
5x
E
C
x
2x
 
A) 10° B) 12° 
C) 15° D) 18° 
E) 20°
52. Se tiene un triángulo ABC, se traza la 
mediana BM, tal que: AM = MC = BM. 
Calcula la m+ABC.
A) 60° B) 90° C) 75° 
D) 120° E) 100°
53. Del gráfico, calcula x.
 
α θ
θα
x
72° - θ
x
A) 24° B) 30° C) 36° 
D) 45° E) 60°
Resolución de problemas
54. Un valor entero para BC puede ser:
A
B
C
8
2α α
 
A) 8 B) 16 C) 7 
D) 18 E) 15
55. En un triángulo isósceles ABC, m+B = 120°; 
la distancia del ortocentro al circuncentro es 
12. Calcula la altura relativa al lado AC.
A) 2 B) 3 C) 4 
D) 6 E) N. A.
56. En un triángulo ABC, m+A = 78°, 
m+B = 24°. D es el circuncentro, I es el 
incentro. Halla m+DAI.
A) 18° B) 24° C) 27° 
D) 30° E) 36°
57. En un triángulo ABC, de baricentro G, 
la m+BGC = 90°, m+GBC = 30° y 
GC = 2 m. Calcula AG.
A) 2 m B) 4 m C) 3 m 
D) 5 m E) 6 m
58. En la figura AB = BC; m+C = 2m+A, 
m+ABD = 25° y m+DBC = 75°. 
Halla la m+A.
x 2x
A C
D
B
25° 75°
A) 5° B) 7° C) 10° 
D) 15° E) 12°
59. En un triángulo rectángulo ABC recto en 
B, se traza la altura BH; se toman los 
incentros E y F de los triángulos AHB y 
BHC respectivamente, la prolongación de 
EF corta a BC en Q. Si BH = 4, halla BQ.
A) 4 B) 2 2 
C) 2 3 D) 2 
E) 4 2
C
la
v
e
s
N
iv
e
l
 1
1.
 
2.
 
3.
 
4.
 
5.
 B
6.
 A
7.
 D
8.
 E
9.
 C
10
. B
11
. A
12
. E
13
. C
14
. B
15
. D
16
. B
17
. B
18
. B
19
. C
20
. C
21
. A
22
. D
23
. A
24
. B
25
. C
N
iv
e
l
 2
26
. 
27
. 
28
. D
29
. E
30
. E
31
. C
32
. C
33
. B
34
. C
35
. C
36
. A
37
. A
38
. A
39
. C
40
. C
41
. E
42
. A
43
. D
44
. D
45
. B
N
iv
e
l
 3
46
. 
47
. 
48
. B
49
. A
50
. C
51
. E
52
. B
53
. C
54
. E
55
. B
56
. C
57
. B
58
. A
59
. A
60
. E
61
. C
62
. B
60. Si G es baricentro del TABC, calcula x.
A
B
CM
N
G
4
3
x
A) 5 B) 6 C) 7 
D) 9 E) 10
61. En un cuadrado ABCD, M y R son puntos 
medios de BC y CD , respectivamente, 
además BR + AM = {P}. Calcula la 
m+OPR; siendo O el centro de dicho 
cuadrado.
A) 30° B) 35° C) 45° 
D) 50° E) 60°
62. Se tiene un triángulo rectánguloabsoluta	confianza.	¡No	vayas	por	la	
vida	pretendiendo	tener	siempre	la	razón!
¡Razona...!
¿Qué número continúa?
10; 30; 70; 190; 670; ...
A) 900 B) 425 C) 1000
D) 2400 E) 3070
Aplicamos lo aprendido 
81GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 4
1 El volumen de un tronco de pirámide cuadrangular regular es 
74 m3. Si su altura mide 6 m y el área de una de las bases 
mide 16 m2, ¿cuánto mide el área de la otra base?
A) 10 m2 B) 9,5 m2 C) 8,8 m2 
D) 9 m2 E) 8 m2
2 ¿Cuál es el volumen de una pirámide triangular regular si su 
arista básica mide 66 m y su arista lateral mide 7m?
A) 50 m3 B) 45 m3 C) 48,5 m3 
D) 49 m3 E) 49,5 m3
3 Calcula el área lateral de una pirámide hexagonal regular 
sabiendo que el lado de la base mide 6 m y que el apotema 
de la pirámide forma con el plano de la base un ángulo cuya 
medida es 60°.
A) 110 33 m3 B) 108 3 m3 C) 100 3 m3 
D) 108 2 m3 E) 105 3 m3
4 El área de la superficie lateral de una pirámide cuadrangular 
regular es 6300 m2 y la medida del ángulo diedro formado por 
una cara lateral y la base es 74°. Calcula la distancia del centro 
de gravedad de la base a una cara lateral de la pirámide.
A) 20,16 m B) 20 m C) 22 m 
D) 20,15 m E) 21 m 
5 La base de una pirámide regular es un hexágono de perímetro 
36 cm. Si cada arista lateral mide 10 cm, calcula su volumen 
(en cm3).
A) 144 B) 144 2 C) 144 3 
D) 144 6 E) 72
6 Calcula la relación entre los volúmenes de la pirámide regular y 
el cilindro de revolución mostrados.
A) 2
3
π
 B) 2
2
π
 C) 3
6
π
D) 4
2
π
 E) 4
3
π
 tema 1: PIRÁMIDE
 Claves
82 Intelectum 5.° 
1. D
2. E
3. B
4. A
5. C
6. E
7. B
8. A
9. D
10. E
11. D
12. E
13. B
14. D
7 Si tiene una pirámide V-ABCD tal que ABCD es un 
paralelogramo cuyas diagonales miden AC = 10 y BD = 8. 
Calcula el valor de:
 H = (VA)2 + (VC)2 - (VB)2 - (VD)2
 
A) 16 B) 18 C) 20 
D) 24 E) 28
8 La altura y una arista lateral de una pirámide regular 
cuadrangular miden 12 m y 13 m, respectivamente. Calcula 
el volumen.
A) 200 m3 B) 300 m3 C) 150 m3 
D) 240 m3 E) 250 m3
9 Calcula el área de la superficie lateral de una pirámide 
triangular regular, cuya arista lateral y de la base miden 25 m 
y 14 m, respectivamente.
A) 308 m2 B) 416 m2 C) 576 m2 
D) 504 m2 E) 252 m2
10 La arista lateral y de la base de una pirámide regular triangular 
miden 5 m y 3 3 m, respectivamente. Calcula su volumen.
A) 18 3 m3 B) 15 6 m3 C) 9 2 m3 
D) 27 3 m3 E) 9 3 m3
11 Se tiene una pirámide O-ABC, tal que ABC y OCB son triángulos 
equiláteros. Calcula su volumen, si AO = 6 m y AB = 4 3 m. 
A) 24 m3 B) 28 m3 C) 32 m3 
D) 36 m3 E) 48 m3
12 Calcula la distancia del vértice de una pirámide cuadrangular 
a un plano paralelo a su base el cual la divide en 2 sólidos 
equivalentes. La altura de la pirámide es 8.
A) 2 43 B) 5 43 C) 3 43 
D) 4 2 E) 4 43
13 Calcula el volumen de un tronco de pirámide ABC-DEF, si el 
perímetro de la base superior mide 24 m y su inradio 1 m; y el 
perímetro de la base inferior mide 36 m y su inradio mide 6 m, 
además la altura del tronco mide 9 m.
A) 460 m3 B) 468 m3 C) 470 m3 
D) 475 m3 E) 480 m3
14 Dada una pirámide cuya altura mide h unidades. ¿A qué 
distancia del vértice se debe trazar un plano paralelo a la base 
para que los sólidos determinados sean equivalentes?
A) h
4 B) h
3 C) h
2
D) h
23 E) h
Practiquemos
83GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 4
NIVEL 1
 Comunicación matemática
1. De las figuras:
 
h
 (I) (II) (III)
h
 
h
 
h
 (IV) (V) (VI)
h
 
h
 
h
 (VII) (VIII) (IX)
 
h
 
 (X) (XI)
A) ¿Qué pirámides son convexas?
 
B) ¿Qué pirámides son no convexas?
 
C) ¿Qué pirámides tienen base cuadrangular?
 
2. De la figura:
A) ¿Qué pirámides son regulares?
 
B) ¿Cuáles son pirámides irregulares convexas?
 
Razonamiento y demostración
3. De la figura mostrada, halla la razón entre los volúmenes del 
tronco de pirámide y la pirámide menor.
A) 8 
B) 6 
C) 7 
D) 9 
E) 5
4. El siguiente recipiente de base cuadrangular contiene 16 m3 de 
agua. Luego se vierte al recipiente una cierta cantidad de agua, 
de tal forma que el recipiente quede totalmente lleno. Calcula el 
volumen de agua añadido.
A) 36 m3 
2 m
3 m
B) 38 m3 
C) 40 m3 
D) 52 m3 
E) 73 m3
Resolución de problemas
5. Se tiene una pirámide regular cuadrangular cuya área de su 
superficie lateral es 64 y su apotema mide el doble de su arista 
básica. ¿Cuánto mide su arista básica?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
6. Calcula a qué distancia del vértice de una pirámide triangular, 
cuya altura es 3, se debe trazar un plano paralelo a la base para 
que las dos partes resultantes estén en la razón de 8/19.
A) 1,6 B) 5/2 C) 3/2 D) 3 E) 2 
7. Calcula el volumen de una pirámide que tiene por base una de 
las caras de un cubo cuya arista mide 3 y el vértice se encuentra 
en una de las diagonales del cubo. 
A) 1,5 B) 2 C) 3 D) 4,5 E) 5
8. Se tiene una pirámide hexagonal regular V-ABCDEF, en la cual 
AB = 6 cm, BV = 12 cm. Calcula el volumen del sólido V-BCDE.
A) 250 cm3 B) 312 cm3 C) 400 cm3 
D) 162 cm3 E) 200 cm3
9. Se tiene una pirámide regular cuadrangular cuya arista lateral 
forma con la base un ángulo que mide 37° y el volumen es 32. 
¿Cuánto mide la altura de la pirámide?
A) 4 B) 2 C) 1 D) 3 E) 5
10. Se tiene una pirámide regular cuadrangular cuya altura mide 6 y 
el radio de la semiesfera inscrita con su círculo máximo sobre la 
base de la pirámide mide 2. Calcula el volumen de la pirámide.
A) 42 B) 18 C) 32 D) 48 E) 24
I, III V, VI, VII, IX, X
II, IV
I, II, III, IX
III, V
I, VI, VII, IX, X
84 Intelectum 5.° 
NIVEL 2
 Comunicación matemática
11. Indica V (verdadero) o F (falso) según corresponda.
I. Dos pirámides semejantes tienen bases iguales. ( )
II. Dos pirámides semejantes pueden tener alturas iguales. ( )
III. Dos pirámides semejantes pueden ser iguales. ( )
IV. Dos pirámides semejantes tienen sus respectivos. 
troncos de pirámides semejantes. ( )
12. Indica V (verdadero) o F (falso) según corresponda. 
I. Dos pirámides congruentes poseen bases diferentes. ( )
II. Dos pirámides congruentes tienen la misma área lateral. ( )
III. Dos pirámides congruentes tienen sus respectivos 
troncos de pirámides congruentes. ( )
IV. Los troncos de dos pirámides congruentes serían 
congruentes si tuvieran la misma altura. ( )
Razonamiento y demostración
13. En la figura mostrada, ABCDEF es un prisma oblicuo.
A
B
C
F
E
D
Si el volumen de la pirámide B - DEF es 10 m3.
Halla el volumen de la pirámide B - ACFD.
A) 25 m3 B) 10 m3 C) 15 m3 D) 20 m3 E) 24 m3
14. Un ingeniero fanático de las pirámides construye su casa como 
se muestra en la figura. Si el piso de la segunda planta tiene un 
área de 27 m2, y el de la planta baja 48 m2. Además el segundo 
piso tiene una altura de 6 m. Calcula la altura del primer piso.
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5
Resolución de problemas
15. La base de una pirámide regular es un triángulo equilátero 
inscrito en un círculo de 2 cm de radio, el área de la superficie 
lateral de esta pirámide es igual al doble del área de la superficie 
de la base. Calcula el volumen de la pirámide.
A) 4,5 cm3 B) 3,5 cm3 C) 2 cm3 D) 4 cm3 E) 3 cm3
16. En una pirámide cuadrangular regular, una arista lateral forma 
un ángulo de 37° con el plano de la base. Calcula el valor del 
ángulo diedro que forma una cara lateral con la base.
A) arctan 2
2 B) arctan 2
3 2 C) arctan 4
3 2 
D) arctan 3
2 E) arctan 8
3 2
17. Halla el área lateral de una pirámide regular de base triangular, si 
el radio de la circunferencia inscrita en la base mide 2 y la altura 
mide 4 2 .
A) 36 B) 36 3 C) 16 3 
D) 32 3 E) 18 3
18. Se tiene una pirámide cuadrangular regular cuya altura es 3 m. 
Calcula su área lateral si su base tiene un área de 16 m2.
A) 48 m2 B) 10 m3 2 C) 8 m13 2 
D) 6 m2 2 E) 16 m3 2
19. Se tienegeneratriz 
están en relación de 4 a 5. Halla el área de la base si el área 
total del cono mide 216p cm2.
A) 81p cm2 B) 72 2 p cm2 C) 56 3 p cm2 
D) 54 3 p cm2 E) 96p cm2
II, III, V, VIII, IX, X
I, IV, VI, VII, XI
VII y VIII; porque la generatriz no es curva
I, III, VI, IX
II, IV, V, X, XI
IX
89GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 4
8. La generatriz de un cono circular recto forma con su base un 
ángulo de 53°. Halla el área total del cono, si su altura mide 
m3
2 .
A) m3
4 2π B) m4
3 2π C) m4
5 2π
D) p m2 E) 2p m2
9. Se tiene un sector circular de radio 3 m cuyo ángulo central mide 
2p/3 rad. Halla el área total del cono formado con este sector 
circular.
A) 4p m2 B) 3p m2 C) p m2 
D) 4,5p m2 E) 2p m2
10. Calcula el área lateral de un cono recto de revolución, sabiendo 
que el segmento mediatriz de una de sus generatrices limitada 
por la altura del cono mide 4 m, y la altura de este sólido mide 
10 m.
A) 83p m2 B) 50p m2 C) 80p m2 
D) 38p m2 E) 40p m2
NIVEL 2
 Comunicación matemática
11. Indica V (verdadero) o F (falso) según corresponda.
I. Dos conos semejantes pueden ser iguales. ( )
II. Dos conos semejantes tienen bases iguales. ( )
III. Dos conos semejantes pueden tener alturas iguales. ( )
IV. Dos conos semejantes tienen sus respectivos troncos 
 de cono semejantes. ( )
A) FVVF B) VFVV C) VVFF D) VFVF E) FFVF
12. Indica qué proposiciones son verdaderas:
I. Dos conos congruentes poseen bases diferentes. ( )
II. Dos conos congruentes tienen la misma área total. ( )
III. Los troncos de dos conos congruentes serían 
congruentes si tuvieran la misma altura. ( )
IV. Dos conos congruentes tienen sus respectivos 
troncos de cono congruentes. ( )
A) Solo I B) Solo II C) I y III D) II y IV E) Solo IV
 Razonamiento y demostración
13. En el gráfico se muestra un cono circular recto y un cilindro de 
revolución que es equivalente al cono parcial, cuyo diámetro de 
su base es AB. Si la longitud de la altura del cono total es 4, 
calcula la longitud de la altura del cono parcial.
 A) 2
 B) 4
 C) 3
 D) 5
 E) 1
V
BA
14. En el gráfico se tienen conos de revolución. Si g2 = 2(g3), siendo 
g = generatriz de los respectivos conos. Calcula la siguiente 
relación:
Volumen del cono Volumen del cono
Volumen del cono
2 3
1
+
 A) 2,5
 B) 3
 
74°
V1
V2
V3 C) 4
 D) 4,5
 E) 5
15. Calcula el volumen del cono circular recto mostrado si VA = g, 
TB = a (T es punto de tangencia).
V
B
T
A O
A) a g6
2π B) a g3
2π C) a g a
3 2
2 2 2π - 
D) a g a
6 2
2 2 2π - E) a g a3
2π +^ h
16. En la figura, se muestra un tronco de cono recto. Calcula el área 
lateral.
 A) sen
A5
θ
π B) sen
A
θ
π 
A
θ
 C) sen
A2
θ
π D) sen
A3
θ
π 
 E) sen
A4
θ
π
 Resolución de problemas
17. La generatriz de un cono de revolución mide 5 cm. Halla el 
volumen si el desarrollo de su superficie lateral forma un sector 
circular de 216°.
A) 10p cm3 B) 8p cm3 C) 18p cm3 
D) 6p cm3 E) 12p cm3
18. Halla el volumen de un cono de revolución si una generatriz mide 
10 y está inclinada 53° con respecto a la base.
A) 86p B) 40p C) 96p D) 60p E) 90p
19. En un cono de revolución, la mediatriz de una generatriz pasa 
por el centro de su base. Halla la razón entre el área de la base 
y el área lateral de dicho cono.
A) 1/3 B) 1/2 C) 1/4 D) 2 E) /22
90 Intelectum 5.° 
20. El desarrollo de un tronco de cono es el área de un trapecio circular 
que tiene por radios 4 m y 10 m, además 180° de ángulo central. 
Calcula la altura del tronco de cono.
A) 3 m B) 2 3 m C) 3 3 m D) 2 m E) 3 2 m
NIVEL 3
 Comunicación matemática
21. Indica V (verdadero) o F (falso) según corresponda.
I. Un cono recto siempre está inscrito en un cono oblicuo. ( )
II. Un cono oblicuo tiene sección axial. ( )
III. Dos conos congruentes tienen el mismo volumen. ( )
IV. Dos conos semejantes tienen la misma altura. ( )
22. Indica V (verdadero) o F (falso) según corresponda.
I. La directriz del cono tiene líneas rectas. ( )
II. La generatriz del cono es una línea curva. ( )
III. Un cono siempre está inscrito en una pirámide. ( )
IV. En un cono oblicuo su altura coincide con su centroide. ( )
Razonamiento y demostración
23. En la figura se tiene el cono circular recto, VC//AB, 
m+VAM = m+MAO y VC = 6. Calcula el volumen del cono.
 
C
L
M
A O B
 A) 3 2π B) 6 3π 
 C) 12p D) 9 3π
 E) 2
15 3π
24. En el gráfico se tienen dos conos rectos y VM = MN. Calcula la 
razón entre los volúmenes de los conos menor y mayor.
 
V
M
N
60°
 A) 4
1 B) 3
1 
 C) 8
1 D) 5
1 
 E) 7
1
25. En el gráfico se tiene un cono de revolución, VM = 3(MP) y 
mST
!
= mTP
!
 = 45°. Si el volumen de la pirámide M-OSTP es 
1 cm3, calcula el volumen del cono.
 A) 4 2 π cm3 
 B) 3
π cm3 
 
V
M
P
TS
O
 C) 8
5π cm3 
 D) 17
6 π cm3 
 E) 2p cm3
26. En el gráfico V-ABCD es una pirámide regular cuadrangular, 
O es centro de la base ABCD y VA = AB. Calcula la razón de 
volúmenes del cono circular y la pirámide (P, Q y T son puntos 
de tangencia).
V
A
B
C
Q
P
D
TO
A) 16
1 B) 8
1 C) 3
1 D) 12
3 E) 36
3
 Resolución de problemas
27. En la superficie del desarrollo de un cono equilátero se inscribe 
una circunferencia de radio 1 m. Calcula el volumen del cono.
A) m3
3 3π B) 2p m3 C) 3p m3 
D) 4p m3 E) m4
3 3π
28. En un cono de revolución, el ángulo de desarrollo mide 180° y 
la altura mide 2 3 . Calcula el área de la superficie lateral de 
dicho cono.
A) 3p B) 4p C) 5p 
D) 8p E) 6p
29. En un cono de revolución el vértice dista de la base 10 m y 
el radio de la esfera inscrita mide 4 m. Calcula el área de la 
superficie lateral del cono.
A) 100p m2 B) 118p m2 C) 120p m2 
D) 126p m2 E) 136p m2
30. En la base de un cono de revolución de 8 m de altura, se traza 
una cuerda de 8 2 m de longitud, además, la distancia del 
centro de dicha cuerda al vértice mide 2 17 m. Halla la medida 
del ángulo formado al desarrollar el cono.
A) 214° B) 220° C) 218° 
D) 216° E) 210°
Claves
Nivel 1
1. 
2. 
3. E
4. C
5. C
6. C
7. A
8. D
9. A
10. C
Nivel 2
11. D
12. B
13. C
14. B
15. D
16. C
17. E
18. C
19. E
20. C
Nivel 3
21. 
22. 
23. D
24. C
25. A
26. E
27. A
28. D
29. C
30. D
Aplicamos lo aprendido 
91GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 4
1 El área de un casquete esférico es 80p m2 y el radio de la 
esfera que lo contiene mide 10 m. Calcula el área de la base 
del casquete esférico.
A) 62p m2 B) 64p m2 C) 68p m2 
D) 70p m2 E) 72p m2
2 Pintar el piso de un reservorio de petróleo que tiene forma 
de una semiesfera, cuesta $100. ¿Cuánto costará pintar la 
superficie exterior, si el pago por cada metro cuadrado es el 
mismo?
A) $100 B) $120 C) $160
D) $200 E) $500
3 Calcula el área de la superficie generada por el cuadrado PERU 
de lado 4, cuando gira alrededor de L1 . 
15° L
P
E
R
U
360°
A) 32 6 π u2 B) 36 6 π u2 C) 18 2 π u2
D) 54 3 π u2 E) 16 6 π u2
4 Calcula el volumen generado por la región sombreada al dar 
una revolución sobre L1.
5
755°
35°
A
B
C H M D L 
A) 142p u3 B) 148p u3 C) 150p u3 
D) 254p u3 E) 296p u3
5 Calcula el área de la superficie generada por el cuadrado KLSG 
cuyo lado mide 4 m, al girar 360° alrededor de la recta N.
15°
S
G
NK
L
 
6 Halla el volumen que se genera al girar 360° la región 
sombreada alrededor del eje.
222
eje
 
A) 11p2 u3 B) 13p2 u3 C) 10p2 u3
D) 3p2 u3 E) 9p2 u3
 tema 3: Esfera y sólidos de revolución
 A) 32p 6 m2 B) 30p 3 m2 C) 38p 6 m2 
D) 40p 2 m2 E) 34p 6 m2
 Claves
92 Intelectum 5.° 
1. B
2. D
3. A
4. E
5. A
6. A
7. D
8. C
9. B
10. C
11. B
12. C
13. D
14. C
7 Halla el volumen generado al girar el círculo de radio r.
r r
360°
A) pr3 u3 B) 2p2r3 u3 C) r3
2 2 3π u3
D) 4p2r3 u3 E) 4p2 3 r3 u3
8 Una bola de plomo de radio 3 cm, es fundida para obtener n 
pelotitas de radio 1 cm. Halla el valor de n.
A) 3 B) 9 C) 27 
D) 6 E) 18
9 Calcula elvolumen generado al girar la región triángular 
equilátera, cuyo lado mide 6, 360° alrededor del eje mostrado 
(q = 15°).
eje
θ
A) 50p 2 u3 B) 54p 2 u3 C) 30p 2 u3 
D) 20p 2 u3 E) 40p 2 u3
10 Halla la relación de los volúmenes entre las esferas inscrita y 
circunscrita en un mismo hexaedro regular.
A) 6
3 B) 3
6 C) 9
3
D) 2
6 E) 9
6
11 Halla el radio de la semiesfera inscrita en un tetraedro regular 
cuya arista mide 1 m.
A) 9
3 m B) 6
3 m C) 9
6 m 
D) 3
6 m E) 2
3 m
12 El área total de la superficie de un segmento esférico de dos 
bases es 11p cm2. Halla la longitud del radio de la base mayor, 
sabiendo que la diferencia entre las longitudes de los radios de 
las bases es 1 cm, la altura del segmento es 1 cm y el radio de 
la esfera que lo contiene mide 3 cm.
A) 3 cm B) 4 cm C) 2 cm
D) 5 cm E) 6 cm
13 En la figura, ABCD y PQRD son cuadrados, AP = 2, PD = 4. 
Halla el volumen que se genera al girar 360° alrededor del eje, 
la región sombreada.
A
15°
D
R
CB
Q
P
eje
A) 70p 2 u3 B) 72p 2 u3 C) 73p 2 u3 
D) 76p 6 u3 E) 70p 3 u3
14 En la figura, A y C son puntos de tangencia. Calcula la razón 
entre las áreas de la superficie esférica y la superficie lateral 
del cilindro de revolución.
A
C
30°
A) 3
4 2 B) 2
3 2 C) 2
3
D) 3
4 3 E) 3
2 3
Practiquemos
93GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 4
NIVEL 1
 Comunicación matemática
1. Señala qué porción de sólido o superficie 
esférica son:
 
R
 
R
 (I) (II)
 
 
 
R
 
R
 (III) (IV) 
 
 
 R 
 
 (V)
2. ¿Cuántas proposiciones son incorrectas?
I. Una línea curva coplanar y no 
secante al eje de giro genera 
un sólido de revolución. ( )
II. Un segmento circular genera 
un sector esférico. ( )
III. Una región plana, coplanar y
 no secante con el eje de giro 
genera un sólido. ( )
IV. Una línea curva, alabeada con 
el eje de giro genera una 
superficie de revolución. ( )
A) 2 B) 0 C) 1 
D) 3 E) 4
3. ¿Cuántas proposiciones son verdaderas?
I. Un cilindro es un sólido de 
revolución. ( )
II. Un cono es un sólido de 
revolución. ( )
III. Un sector circular genera un 
anillo esférico. ( )
IV. Una recta perpendicular al eje 
de giro genera una superficie 
de revolución. ( )
A) 3 B) 4 C) 2 
D) 0 E) 1
Razonamiento y demostración
4. Calcula el volumen generado por la re-
gión sombreada al dar una revolución 
alrededor de L, si: BN = 5 m y ON = 4 m.
A
B
OH N
R
L
A) 220p m3 B) 210p m3 
C) 216p m3 D) 218p m3 
E) 246p m3
5. Según la figura, halla: x2 + y2 + z2
x
V
y
V
z
Vesfera cono cilindro= =
A) 10 
B) 11 
C) 12 
O
R
D) 13 
E) 14
6. Halla el volumen generado, si a = 6 cm.
A) 144p cm3 
B) 120p cm3 
C) 36p cm3 
60°
Eje
a
a
a
 
D) 108p cm3 
E) 36 3 π cm3 
Resolución de problemas
7. Halla la relación entre las áreas de 
un hexaedro regular y de la superficie 
esférica circunscrita al hexaedro.
A) 3
π
 B) 4
π
 C) 5
π
 D) 2
π
 E) 2
3
π
8. Una esfera de radio 6 cm es fundida y 
convertida en un cilindro de radio 4 cm y 
altura h. Halla la superficie lateral del cilindro.
A) 144p cm2 B) 36p cm2 
C) 48p cm2 D) 36p cm2 
E) 54p cm2
9. Un cono de radio 6 y generatriz 10, es 
fundido y convertido a una esfera de radio 
R. Halla la superficie de la esfera.
A) 24 3 π u2 B) 24p u2 
C) 24 33 π u2 D) 24 23 π u2 
E) 48 33π u2
10. Si V y A son el volumen y área total de un 
octaedro regular, respectivamente; calcula 
el radio de la esfera inscrita en el octaedro.
A) A
V B) A
V2 C) A
V3
D) A
V
3
4 E) A
V
2
3 
11. Un semicírculo de diámetro AB, gira alre-
dedor de su diámetro en un ángulo de 60°. 
Calcula el volumen del sólido generado 
si: AB = 6 m
A) 6p m3 B) 9p m3 
C) 3 m6 3π D) 6 m3 3π 
E) 12p m3
NIVEL 2
 Comunicación matemática
12. Indica V (verdadero) o F (falso) según 
corresponda.
I. Una región plana no convexa, 
coplanar y no secante con el 
eje de giro genera un sólido de 
revolución. ( )
II. Una recta perpendicular al eje 
de giro genera un sólido de re-
volución. ( )
III. Un sólido de revolución puede 
ser generado por una super-
ficie secante y coplanar al eje 
de giro. ( )
IV. Una figura plana, coplanar y 
secante al eje de giro forma un 
sólido no convexo. ( )
13. Indica cuáles son verdaderas:
I. Un segmento que interseca al 
eje de giro (no perpendicular-
mente) forma una superficie de 
revolución. ( )
II. Una región plana paralela al eje 
de giro genera un sólido de re-
volución. ( )
III. Una región plana secante al 
eje de giro genera un sólido de 
revolución. ( )
IV. Un cubo genera un sólido de 
revolución. ( )
A) Solo I B) I y II C) Solo II 
D) I; III y IV E) II y IV
94 Intelectum 5.° 
14. Indica cuántas premisas no son falsas:
I. Un rectángulo, coplanar y no 
secante al eje de giro forma un 
sólido de revolución. ( )
II. Una región plana, coplanar con 
el eje de giro genera un sólido 
de revolución. ( )
III. Un segmento circular y secante 
con el eje de giro forma una su-
perficie de revolución. ( )
IV. Un área circular, coplanar y no 
secante al eje de giro forman 
un sólido no convexo. ( )
A) 2 B) 3 C) 1 D) 4 E) 0
Razonamiento y demostración
15. Calcula el volumen del sólido generado por 
la región sombreada, cuando gira 360° al-
rededor de AB. Si: R = 6 m y HN = 5 m.
NOHA
E
F
60° R
B
A) 30p m3 B) 32p m3 C) 36p m3 
D) 40p m3 E) 42p m3 
16. Halla el volumen de la esfera, si AB = 5, 
BC = 6 y AC = 7.
rA
B
C
A) 32 3 π B) 64p C) 27
32 π 
D) 27
64 6 π E) 27p
17. En la figura AB // OT, AB = R 3 , el 
volumen de la esfera es 32 3 π . Calcula 
el volumen del cono equilátero. (T es 
punto de tangencia y O es centro).
QA B
R
T
H
O
A) 18 3 π B) 3 3 π C) 9 3 π
D) 12 3 π E) 15 3 π
18. La región cuadrada ABCD, al girar 360° 
alrededor del eje, genera un sólido de 
4 cm6 3π de volumen (q = 15°). Cal-
cula el perímetro del cuadrado.
eje
D
C
B
A
θ
A) 5 cm B) 6 cm C) 12 cm 
D) 8 cm E) 4 cm
19. En la figura, el cono es de revolución 
y el área de su superficie lateral es 18p 
cm2. Calcula el área de la superficie de la 
semiesfera.
A) 72p cm2 B) 96p cm2 C) 100p cm2 
D) 108p cm2 E) 144p cm2
Resolución de problemas
20. En un recipiente cúbico de 6 cm de lado, 
lleno de agua, se introduce una pelotita de 
3 cm de radio; haciendo rebalsar el agua. 
Luego se retira la pelotita, quedando 
un poco de agua en el recipiente. ¿Qué 
altura de agua queda en el recipiente?
A) (6 + p) cm B) (3 + p) cm 
C) (p - 3) cm D) (6 - p) cm 
E) ( 3 + p) cm
21. Dado un octaedro regular de volumen 
9 m2 3 , calcula el área de la superficie 
esférica inscrita en el octaedro.
A) 3p m2 B) 9p m2 C) 5p m2 
D) 6p m2 E) 7p m2
22. Calcula el área total del sólido generado al 
girar la región de un cuadrante alrededor 
de uno de sus radios en un ángulo de 18°; 
si el radio de dicho cuadrante mide 3 m.
A) 16 m2π B) m9
10 2π 
C) m10
9 2π D) cm16
9 2π 
E) 12p m2
NIVEL 3
 Comunicación matemática
360°
(I)
360°
(II)
360°
(III)
360°
(IV)
360°
(V)
360°
(VI)
360°
(VII)
360°
(VIII)
360°
(IX)
360°
(X)
360°
(XI)
360°
(XII)
95GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 4
23. De las figuras mostradas, cuáles generan sólidos no convexos:
24. De las figuras mostradas, indica cuáles generan sólidos de 
revolución convexos:
25. De las figuras mostradas; qué superficies generadas pueden ser 
formadas por generatrices:
Razonamiento y demostración
26. ¿En qué relación están los volúmenes de los sólidos generados 
al girar las regiones GEA y CBA? (G es baricentro del triángulo 
ABC).
360°
LA
B
C
G
E
A) 27
2 B) 21
1 C) 20
3 
D) 25
4 E) 9
2
27. Determina la medida del ángulo a de modo que el volumen 
generado al rotar la región cuadrada en torno a L, sea el mayor 
posible.
360°
A
D
L
C
B
α
A) 15° B) 30° C) 45° 
D) 60° E) 90°
28. Calcula el volumen del sólido generado por la región rectangular 
ABCD alrededor de L. Si: BC = 15 m y q = 37°.A) 5750p m3 
B) 7500p m3 
C) 7200p m3 
B C
θ
θ
A
360°
D
L
D) 5800p m3 
E) 6200p m3
29. Del gráfico, la razón de los volúmenes de los sólidos generados 
por las regiones sombreadas al girar 360° alrededor de L es 
80/13. Calcula x.
x L
360°
A) 15° B) 26° 30' C) 18° 30' 
D) 22° 30' E) 30°
30. Según la figura, AB = 13, AC = 14 y BC = 15. Calcula el 
volumen del sólido generado por la región triangular ABC al girar 
360° en torno a L.
A) 250 2 π u3 
B) 300 2 π u3 
C) 300 2 u3 
8°
C L
A B
360°
D) 200 2 π u3 
E) 560 2 π u3
Resolución de problemas
31. Calcula el radio de la esfera inscrita en un octante de esfera de 
radio 4.
A) 2( 3 - 1) B) 2( 2 - 1) C) 2( 3 + 1)
D) 2 - 1 E) 3 - 1
32. En un cono equilátero, se inscribe una esfera de radio r. Halla el 
volumen del cono parcial que determina el plano que contiene 
los puntos de tangencia de la esfera con las generatrices del 
cono.
A) r
6
3π B) r
3
3π C) r
8
3 3π
D) r
9
3π E) r
3
2 3π
33. Calcula el volumen de una cuña esférica equivalente a un sector 
esférico, ambos en una misma esfera, de radio 3 cm. Dicho 
sector es generado por un sector circular, cuya proyección de 
su arco tiene por longitud la mitad del diámetro correspondiente.
A) 10p cm3 B) 12p cm3 C) 15p cm3 
D) 16p cm3 E) 18p cm3
Claves
Nivel 1
1. 
2. D
3. D
4. E
5. E
6. D
7. D
8. A
9. E
10. C
11. A
Nivel 2
12. 
13. A
14. A
15. A
16. D
17. C
18. D
19. D
20. D
21. D
22. C
Nivel 3
23. 
24. 
25. 
26. A
27. C
28. B
29. B
30. E
31. A
32. C
33. E
96 Intelectum 5.° 
 Matemát ica
En la figura P y Q son puntos de tangencia.
Si mPQ
!
 = 2a y BO = 2(AB) = 2. Halla el volumen del sólido generado 
por la región sombreada al girar 360° alrededor de L.
R
A
L
B OC
Q
P
α
Sea: VSol. es el volumen del sólido generado por la región sombreada 
al girar 360° alrededor de L .
θ
θ H
R
360°
A
L
B O
R = 3
C
Q
P
α α
αα
α
x
 Resolución:
Del dato:
AB = 1 y BO = 2 & R = AO = 3
Del gráfico:
 ▪ Por la bisectriz CO: a + q = 90° & m+POC = m+COQ = a
 ▪ Por ángulos opuestos: m+CBR = m+PBO = a 
 ▪ Del DPBQ (isósceles): BH = HO = 1BO
2 =
 ▪ Por semejanza de triángulos: PHO a CPO
9CO
PO
PO
HO
x
x3
3
1
&= = = =
 ▪ El área de la circunferencia:
A = pR2 = p . 9
 ▪ Por el teorema de Pappus - Guldin:
 VSol. = 2p(A) x
 = 2p(p . 9 ) . 9 
` VSol. = 162p2
1. En el gráfico adjunto, la curva es un segmento de circunferencia 
de radio 10 y el segmento OA mide 6. Determina el volumen 
generado por la región sombreada al girar en torno al eje y.
A
B
O
C
x
y A) 3
1136 π 
B) 852p
C) 3
568 π 
D) 568p
E) 1136p
2. El área lateral de un cono de revolución mide b y la distancia del 
centro de la base a una de sus generatrices mide a. Entonces el 
volumen de dicho cono es.
A) (ab) B) a b
3
+ C) ab
2 
D) (3ab) E) ab
3
3. Las bases de un tronco de cono de revolución son dos círculos 
de radios 3 y 6 unidades, respectivamente. Halla el radio de la 
esfera circunscrita, si la generatriz mide 5 unidades.
A) 7
5 96 u B) 8
3 97 u C) 8
5 96 u 
D) 8
3 96 u E) 8
5 97 u
4. El radio de la base de un cono circular recto mide R unidades y 
su altura mide H unidades. La altura del cilindro de mayor área 
lateral inscrito en el cono es:
A) H
9 B) H
2 C) H
3 D) H
5
2 E) H
4
3
5. Calcula el volumen de una pirámide de base triangular en la que 
dos de sus caras son triángulos equiláteros de lado L y las otras 
dos son triángulos rectángulos isósceles.
A) L
8 5
3
 B) L
12 5
3
 C) L
8 2
3
 
D) L
10 2
3
 E) L
12 2
3
 
6. El centro de la esfera inscrita en una pirámide cuadrangular 
regular coincide con el centro de la esfera circunscrita a dicha 
pirámide. La medida del ángulo diedro en una arista de la base es:
A) arccos( 1)3 - B) arccos( 1)2 -
C) arccos 2
2c m D) arccos 3
3c m
E) arccos 3
6c m
7. En la figura mostrada PA es perpendicular al plano del TABC y 
AB es perpendicular a BC. Si BC = a, m+ABP = q y m+BCP = a 
halla el volumen de la pirámide P - ABC.
A
C
B
P
A) a
12
3
tan2asen2q B) a
12
3
tanasen22q C) a
12
3
tanasen2q 
D) a
12
3
tan2asenq E) a
12
3
tanasen2q
	GEO_ACT_U1
	GEO_ACT_U2
	GEO_ACT_U3
	GEO_ACT_U4ABC, 
recto en B, de incentro I, se traza IH ⊥ AC. 
Calcula HC, si su exradio relativo a BC 
mide 4 m.
A) 3 m B) 4 m C) 4 m2 
D) 2 m E) 4 m3
13GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 1
Aplicamos lo aprendido 
tema 2: Triángulos rectángulos notables
1 Halla AB, si BC = 2 .
 
45°53°/2A
B
CD
 
A) 3 B) 7 C) 2 5 D) 5 E) 2
2 En la figura mostrada; calcula el valor de n2 + 1. (C es punto 
medio de AD).
30°
45°A
B
C D
E
n6
 
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
3 De la figura, calcula AB, si ED = 21.
 
 
37° 16°
21°
A C
B
D
E
A) 60 B) 50 C) 40 D) 80 E) 70
4 De la figura, calcula x.
 
30°
30°
6 3
x60°
A) 20 B) 10 3 C) 16 D) 18 E) 24
5 De la figura, calcula x.
 
37°
212 10
x30°
A) 4 B) 6 C) 8 D) 5 E) 10
6 En la figura el triángulo ABC es equilátero; 
AB = 6 83 + . Calcula EH.
 
37°
A
B
C
E
H
A) 6 23 + B) 8 C) 8 3 
D) 4 3 E) 6
 Claves
14 Intelectum 5.° 
1. D
2. C
3. A
4. C
5. B
6. C
7. A
8. A
9. B
10. C
11. A
12. B
13. B
14. E
7 De la figura mostrada, calcula x.
 
45°/2
2 2 2+
x
A) 2 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3
8 De la figura, calcula x . 
 
15°
100
x
A) 5 B) 10 C) 4 D) 6 E) 8
9 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 20 y uno de 
sus ángulos 15°. Encuentra la medida del lado del cuadrado 
inscrito en el triángulo, si se sabe que uno de sus lados está 
sobre la hipotenusa.
A) 3 B) 4 C) 2 D) 5 E) 3,5
10 Halla MN, si el cuadrado ABCD y el triángulo equilátero AED 
tienen lados iguales.
A
B C
D
E
M
N
8
A) 7 B) 4 C) 6 D) 5 E) 6 2
11 Calcula x. 
A
B
C
DE
53°
53°
10
x
A) 8 B) 6 C) 10 D) 9 E) 7
12 Los ángulos de un triángulo rectángulo están en progresión 
aritmética. Calcula su perímetro en función de la altura H, 
relativa a la hipotenusa. 
A) 3H( )2 2+ B) 2H( )3 1+ C) 4H 3
D) 3H( )3 1+ E) 2H( 1)3 -
13 El triángulo ABC es equilátero y su perímetro es 48 m, calcula 
x. Además P es punto medio del lado AC.
A
B
C
R
S
Q
Px
A) 8 m B) 3 m C) 2 m D) 9 m E) 7 m
14 En un triángulo ABC recto en B, la hipotenusa mide 4 y el 
ángulo C mide 22,5°, halla la longitud de la altura BH.
A) 1 B) 0,5 C) 2 D) 3 E) 2
Practiquemos
15GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 1
Nivel 1
 Comunicación matemática
1. Completa los recuadros en función de a.
 
4a
36°
 
4a
18°
2. Completa los recuadros, si: AE = 4 5 y CD = 3 10 .
 
α
αβ
β
A
B
C
D
E
37° 
53° 
3. Completa los círculos con los valores correspondientes.
5
6
 
4
11
Razonamiento y demostración
4. De las figuras mostradas, halla: x2 + y2.
15
37°
x
30°
y
3
A) 93 B) 103 C) 83 D) 69 E) 79
5. Según el gráfico, BH = 2
5 2 . Calcula AC.
B
A N
H
45°
C30°
 
A) 30 
B) 10 
C) 5 
D) 10 2 
E) 7 2 
6. Según el gráfico, calcula AB.
B
A
53°/2 37°/2
C10 
A) 2 5 
B) 3 5 
C) 2 10 
D) 3 10 
E) 5
7. En la figura, calcula CD, si: BC = 14 m.
A
θ
30°
B
C
Dθ
 
A) 20 m 
B) 26 m 
C) 28 m 
D) 14 m 
E) 29 m
8. En la figura, BC = 30 m. Calcula PQ.
30° 60°
C
B
Q
PA 
A) 9 m3 
B) 14 m3 
C) 12 m3 
D) 8 m3 
E) 10 m3
9. De la figura, calcula el valor de x.
 x + 6
x + 2 x + 4
 
A) 3 
B) 4 
C) 5 
D) 2 
E) 6
10. Según el gráfico, calcula BC.
A
B
C30° 23°
8 
A) 3 3 
B) 5 
C) 3 2 
D) 4 
E) 6
11. Del gráfico, calcula x.
30°45° x
B
A E C
 
A) 30° 
B) 45° 
C) 60° 
D) 37° 
E) 75°
a 10 2 5-
a 10 2 5+
4
5
3
5
5
a( 1)5 +
a( 1)5 -
40º
70º
20º
50º
16 Intelectum 5.° 
Resolución de problemas
12. En la figura, BE = EC y EF = 2. Calcula AB.
 
B
E
A C F
α α
 
A) 4 
B) 6 
C) 2 2 
D) 2,5 
E) 2 3
13. En un triángulo ABC se traza la mediana BM en cuya 
prolongación se ubica el punto E tal que m+ECM = m+MCB, 
ME = 2 y m+BEC = 45°. Calcula la distancia del punto A a BC . 
A) 2 B) 6 C) 4 2 D) 4 E) 2 2
14. En un triángulo ABC se traza la mediana BM, 
luego se traza AH perpendicular a BM (H ! BM ). 
Si: 2(HM) = BH y m+HAM = 18°30'; calcula m+MBC.
A) 30° B) 53° C) 26°30' D) 37° E) 45°
15. En el gráfico, AC = 12. Calcula la distancia de P a BQ .
15°
15° - 2α
α
B
A P Q C 
A) 2 
B) 6 
C) 3 
D) 4 3 
E) 5 3
16. En un triángulo ABC se traza la mediana BM; tal que BC = AM. 
Si: m+BCA = 37°; calcula m+ABM.
A) 30° B) 37° C) 45° D) 60° E) 30°
Nivel 2
 Comunicación matemática
17. Completa las fórmulas restantes para que los triángulos rectángulos 
sean pitagóricos.
2n2
+ 2n + 1
2n + 1
n(n + 2) 
2(n + 1) 
18. Llena los recuadros con los valores correspondientes en la 
siguiente figura.
4
4
36°
10 - 2 5
Razonamiento y demostración
19. En el gráfico, BQ = 5. Calcula AC.
 
B 30° + α
A Q C
α
α
 
A) 8 
B) 10 
C) 12 
D) 7,5 
E) 15
20. En el gráfico, calcula BC.
 
30° 15°
B
A C
8 
A) 2 
B) 3 3 
C) 2 2 
D) 2 
E) 4 2
21. En la figura, AC = 32. Calcula DE.
 
D
BA
E
C
60°
 
A) 6
B) 7
C) 9
D) 15 
E) 12
22. Según la figura, AC = 64 m. Calcula HM.
30° C
B
A
M
H 
A) 20 m 
B) 22 m 
C) 24 m 
D) 25 m 
E) 26 m
23. En la figura, AB = 8 m y BD = BC = 5 m. Calcula DC.
A C
B
30°
D 
A) 6 m
B) 8 m
C) 7 m
D) 5 m 
E) 9 m
24. Si en la figura, AC = 26 m. Calcula BC.
30°
B
CA 15°
 
A) 2 m
B) 3 m
C m2
D) m5 2 
E) 13 m2
2n(n + 1)
n2 + 2n + 2
2 10 2 5+
15 +
17GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 1
Resolución de problemas
25. En un triángulo ABC, m+BAC = 2m+BCA, 
se traza la ceviana interior BD. Si: AB = 8; 
BD = 5 y DC = 13. Calcula m+BAD.
A) 30° B) 53° C) 37° 
D) 26°30’ E) 33°
26. Dado un triángulo rectángulo ABC recto 
en B, por C se traza una perpendicular 
a AC que interseca en D a la bisectriz 
exterior de A. Si BC = 4 y CD = 10. 
Calcula m+ACB.
A) 30° B) 45° C) 37° D) 53° E) 60°
27. En la figura,
EB = BF y EF = 2(AE) = 2(FC). Calcula x.
 
B
A E
x
F C
A) 37° B) 53° C) 45° D) 60° E) 72°
Nivel 3
 Comunicación matemática
28. Halla los siguientes términos de la serie de 
triángulos pitagóricos.
45
3 
1213
5
 
2425
7 
41 40
9 
 
29. Del problema anterior halla una expresión 
general que permita hallar los lados del 
enésimo término de la serie de triángulos 
pitagóricos.
30. Demuestra el teorema de Pitágoras si en 
el siguiente gráfico se cumple la siguiente 
relación de áreas:
 A + B + C = I + II + III
 
BC
A
III
II
Ia
a
a
b
b
b
cc
c
Razonamiento y demostración
31. Calcula x.
30°
45°
x
B
A H
C
4
8 2
A) 10 
B) 12 
C) 14 
D) 16 
E) 20
 
32. Halla x, si: AC = 6 4 2 2-
 
45°/2
xA B
C
 
A) 2 2+ 
B) 3 6 
C) 4 2 
D) 2 2- 
E) 6
33. En la figura, AC = 18 m. Calcula BC.
CA
B
30°
45°
 
A) 9 m B) 9 m2 C) 7 m2 
D) 10 m E) 6 m2
34. En la figura, AC = 20. Calcula BD.
 
8° 8° 37°
B
D
CA 
A) 3 
B) 5 
C) 4 
D) 10 
E) 13
35. Según el gráfico, calcula PQ si PQRS es 
un cuadrado .
 
15°
R CS
P
A
Q
B
20
A) 3 B) 5 C) 4 
D) 2 E) 4 2
Resolución de problemas
36. Si un bambú de 32 metros de altura ha 
sido roto por el viento, de tal manera que 
su extremo superior quedó apoyado en el 
suelo a una distancia de 16 m de su base, 
¿a qué altura del suelo se rompió?
A) 20 m B) 12 m C) 32 m 
D) 18 m E) 16 m
37. En un triángulo escaleno ABC se 
construyen dos cuadrados sobre los 
lados AB y BC; y se ubican los centros H 
e I de cada cuadrado respectivamente. 
Demuestra que los segmentos HM e IM 
son iguales, si M es el punto medio de AC.
38. Del problema anterior, demuestra que HM 
e IM forman un ángulo recto.
C
la
v
e
s
N
iv
e
l
 1
1.
 
2.
 
3.
 
4.
 A
5.
 B
6.
 A
7.
 C
8.
 E
9.
 B
10
. B
11
. B
12
. A
13
. E
14
. D
15
. C
16
. C
N
iv
e
l
 2
17
. 
18
. 
19
. E
20
. B
21
. E
22
. C
23
. A
24
. E
25
. C
26
. C
27
. B
N
iv
e
l
 3
28
. 
29
. 
30
. 
31
. A
32
. E
33
. B
34
. A
35
. C
36
. B
37
. 
38
. 
18 Intelectum 5.° 
Aplicamos lo aprendido 
tema 3: PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA
1 En la figura: AB =8, BC = 12 y AC = 10. Calcula y
x , si el 
triángulo EBF y el trapecio AEFC tienen igual perímetro.
 CA
FE
B
x
y
 
A) 1/2 B) 3/2 C) 2/3 D) 1/3 E) 1/4
2 Calcula BC, si: DE // BC.
 
A
B
αα
CD
E
12
8
9
A) 10 B) 10,5 C) 13 D) 11 E) 12 
3 Calcula CE, si: AB = 3, BC = 9 y AC = 10.
 
53°A
B
α α
C
E
D
A) 15/4 B) 10 C) 15/2 D) 25/2 E) 25
4 En la figura, BF = 2 y FO = 3. Calcula OC.
 A
B
C
E
α
α
φ
φ
O
F
A) 5,5 B) 6,5 C) 7,5 D) 7 E) 6
5 Si: AH = 12 y EB
AE
3
1= ; calcula PO, siendo AH y AP: diámetros.
 
A
B
HO
E
P
A) 1 B) 3 C) 2 D) 1,5 E) 3,5
6 En la figura mostrada, BE // CD, AD = 9 y AE = 6. Halla FE.
 
A
B
C
DEF
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 2,5 
 Claves
19GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 1
7 En un trapecio las bases miden 2 y 6 y su altura mide 4. 
Calcula la distancia del punto de intersección de los lados no 
paralelos a la base mayor.
A) 2 B) 5 C) 4 D) 6 E) 8
8 Del gráfico, calcula ON, si: m+OMA = m+BPO, además 
AD = 2CD.
 A
N
D
P C
Q
M
B
5 2
4
O
A) 5 B) 6 C) 7 D) 9 E) 11
9 Si: O es centro AB = a, BH = b.
Calcula BT. (T es punto de tangencia).
 O BA
H
T
A) 
a b
ab
+_ i
 B) a b
2
+ C) b a b+_ i
D) a a b+_ i E) ab
10 En un triángulo ABC, isósceles AB = BC; la mediatriz de BC, 
corta a AC en el punto R. Luego se traza RF // BC (F en AB). 
Si: RF = 1 y RC = 6 . Halla AB.
A) 3 B) 2 C) 4 
D) 2 6 E) 2 6
11 Un trapecio ABCD, está inscrito en una circunferencia. Por 
C, se traza una tangente a la circunferencia, cortando a la 
prolongación de AD en el punto F. Si: BC = 10 y AC = 16. 
Halla AF.
A) 24 B) 23 C) 26,5 D) 27,5 E) 25,6
12 En un DABC, AB = c; BC = a: y m+B = 120°. 
 La longitud de la bisectriz interior BD, es:
A) ac B) a c2 2
+ C) a c
4
+ 
D) a c
ac2
+
 E) a c
ac
+
13 En un triángulo ABC (BC = 9) se trazan la bisectriz AD y la 
mediana BM que son perpendiculares. Calcula BD.
A) 3 B) 4 C) 5 D) 2 E) 6
14 En el siguiente gráfico: L es mediatriz de AC; O es el circuncentro 
del triángulo ABC; además OP = 8 y OQ = 18. Halla el circunradio 
del triángulo ABC.
A
P
L
C
B
Q
O
A) 10 B) 12 C) 16 D) 14 E) 20
1. D
2. B
3. D
4. C
5. B
6. B
7. D
8. C
9. E
10. A
11. E
12. E
13. A
14. B
Practiquemos
20 Intelectum 5.° 
Nivel 1
 Comunicación matemática
1. Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda:
I. Dos figuras semejantes son necesariamente 
congruentes. ( )
II. Dos figuras congruentes son necesariamente 
semejantes. ( )
III. Son elementos homólogos aquellos elementos 
que cumplen la misma función en dos triángulos ( ) 
semejantes. 
2. Relaciona los teoremas y sus expresiones, de acuerdo al 
siguiente gráfico.
A P C
B
Q
x
y
a b c
I. Teorema de la bisectriz interior. ( ) y
x
c
a c
= +
II. Teorema de la bisectriz exterior. ( ) b
a
c
a b c
= + +
III. Teorema de los bisectrices armónicas. ( ) a
x
b
y
=
3. Construye un triángulo desde el vértice A y cuyas dimensiones 
sean la mitad de las dimensiones del TABC.
C
B
A
Razonamiento y demostración
4. Calcula x, si: L1 // L2 // L3.
L1
L2
L3
10
6
x
A) 30° B) 37° C) 45° D) 60° E) 15°
5. Del gráfico, calcula x.
A C D
x36
E
B
α α β
β
A) 8 B) 7 C) 7,5 D) 9 E) 4
6. Halla x.
6
θ
θ
E A 4x C
B
9
 
A) 8 
B) 9 
C) 12 
D) 10 
E) 14
7. En la figura, PQRS es un cuadrado. Si: AP = 9 m y SC = 16 m. 
Calcula el lado del cuadrado.
A
B
CP
Q R
S 
A) 50 m 
B) 10 m 
C) 21 m 
D) 15 m 
E) 12 m
8. En la figura, BF = 4 y FC = 12. Calcula AB.
 
F
θ
θ
B
A C 
A) 6 
B) 8 
C) 9 
D) 10 
E) 11
Resolución de problemas
9. Si: AB BC
5 6= y RS = 12, calcula AR.
A
R
D
αα
C
B
S 
A) 7 
B) 9 
C) 8 
D) 6 
E) 10
10. AB = x; BC = x + 2; DE = 10 y EF = 14. 
Calcula x si: a // b // c .
 
A
B
C
D
E
F
a
b
c
 
A) 1 
B) 2 
C) 3 
D) 4 
E) 5
11. En la figura ABCD es un rectángulo, AP = PQ = QD. 
Si: BD = 40, calcula AF.
A
B
E
F
D
C
P Q 
A) 14 
B) 15 
C) 16 
D) 12 
E) 18
F
V
V
II
III
I
B'
C'
21GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 1
12. Calcula BC, si: AB = 6 y PR = 2(BP), además PC = RC.
A
B
C
α
α
R
P
 
A) 1,2 
B) 1,8 
C) 2 
D) 2,4 
E) 3,2
Nivel 2
 Comunicación matemática
13. Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda:
I. Toda recta transversal a un haz armónico es dividida
por este en segmentos que están en proporción armónica. ( )
II. El valor de la razón de la proporción áurea es
1,30667 aproximadamente. ( )
III. El valor de la razón de la proporción cordobesa 
es 1,61803 aproximadamente. ( )
14. Relaciona los teoremas y sus expresiones de acuerdo al 
siguiente gráfico.
A
C
B
T
S
R
a
e
b
d
f
h
i
j
k,
g
c
I. Teorema de Ceva ( ) 1i g
j
k
h,
+ + =
II. Teorema de Van Aubel ( ) ace = bdf
III. Teorema de Gergonne ( ) i
a
b
d
c
,
= +
15. Construye un triángulo desde el punto interior I y cuyas 
dimensiones sean la tercera parte de las dimensiones del TABC.
A
C
B
l
Razonamiento y demostración
16. Si: L1 // L2 // L3.; halla x. 
L1
L2
L3
3x
5x - 22x - 1
x
 
A) 1 
B) 2 
C) 3 
D) 4 
E) 5
17. Si O y Q son centros, PB = 4. Calcula TP (T es punto de tangencia).
A B
T
P
OQ
 
A) 5 
B) 4 
C) 3 
D) 2 
E) 1
18. En la figura calcula AD, si: AB = 8 y BC = 6.
A α
α
B
C
D
 
A) 3,8 
B) 4,2 
C) 3,2 
D) 3,5 
E) 3
19. En la figura, si AB = 12, BC = 9 (T es punto de tangencia), calcula TB.
A
B
C
T
O 
A) 2
15 B) 3
14 C) 3
10 D) 3
8 E) 4,5
20. En la figura, calcula EC si: DN // BE, NE // BC, AD = 4 y DE = 1. 
A
N
ED
B
C 
A) 2 
B) 3 
C) 3,5 
D) 4,5 
E) 1,25
Resolución de problemas
21. En un triángulo ABC: AB = 10, BC = 18. La bisectriz interior del 
ángulo B divide a AC en dos segmentos cuya diferencia de sus 
medidas es 6. Calcula AC.
A) 18 B) 24 C) 21 D) 28 E) 27
22. Si: PR // AQ, QP // AC, BR = 2, RQ = 3. Calcula QC.
A
B
C
P
R
Q
 
A) 10,5 
B) 9,5 
C) 8,5 
D) 7,5 
E) 6,5
V
F
F
III
I
II
A'
B'
C'
22 Intelectum 5.° 
23. En la figura, sabiendo que b = 12 m y 
h = 8 m, calcula el lado del cuadrado PQRS.
P
Q R
SbA
B
C
h
 
A) 5,6 m B) 3,2 m C) 4,8 m 
D) 5,1 m E) 8,1 m 
 
24. Sobre los lados AB, BC y AC de un triángulo 
ABC se ubican los puntos P, Q y R, 
respectivamente, de modo que PBQR es un 
rombo cuyo lado se pide calcular sabiendo 
que AB = 4 y BC = 6.
A) 2,2 B) 2,6 C) 2,8 
D) 2,4 E) 3,2
Nivel 3
 Comunicación matemática
25. En el siguiente plano de distribución de 
una casa, halla las áreas de los cuartos A, 
B y la cocina. 
 
A
B
1 cm
1 cm
C
Además 1 cm en el plano equivale a 1 m 
en tamaño real.
I. Cuarto A: ____ 
II. Cuarto B: ____ 
III. Cocina C: ______ 
26. Construye un triángulo desde el punto 
exterior E y cuyas dimensiones sean los 
tres quintas partes de las dimensiones del 
triángulo ABC.
A
C
B E
Razonamiento y emostración
27. Si: AB // PQ, DE // BC, AP = 8, PS = 6,
SE = 5, calcula EC.
 A
B
CP S E
D
Q
 
A) 6,6
!
 B) 6,1 C) 7,2 
D) 9,6
!
 E) 2,7
 
28. Si: 5DE = 2AD y BC = 12, calcula AB.
A F
B
θ
θ + αα
ββ
D
E
C
 
A) 9 B) 12 C) 15 D) 18 E) 24
29. Si: PQ // BC y RS // AB, AR = 2, RD = 3, 
QC = 1. Calcula DQ.
A
B
C
P S
D QR 
A) 1,5 B) 2 C) 0,75 
D) 1,25 E) 1,3
30. En la figura, MN // AC; AB = 6 m y AC = 14 m. 
Calcula MN.
A
B
C
M
β
β
N
 
A) 7 m B) 3,5 m C) 2,8 m 
D) 2,6 m E) 4,2 m
31. Del gráfico halla x.
r
x
R
 
A) 2 Rr
B) Rr
C) Rr
2
D) R r2 2
-
E) R r-
Resolución de problemas
32. En un triángulo ABC, por el baricentro se traza 
una paralelaa AC que interseca a BC en E. 
Si: BE = x + 4 y EC = x - 5, calcula BC.
A) 9 B) 15 C) 18 D) 24 E) 27
33. En un triángulo ABC, AB = 6 y BC = 14. 
Halla AC, sabiendo que la mediana BM y 
la bisectriz BD, determinan sobre AC, el 
segmento MD = 3.
A) 15 B) 18 C) 9 D) 12 E) 14
34. En la figura AB = BC; r y R, son radios de 
las semicircunferencias tangentes a AC y 
a la altura BH. (R > r). Halla BH.
A
B
CH
r R
 
A) 4 Rr B) 4 R r2 2 C) R - r 
D) R + r E) 2 R r2 2
+ 
35. En la figura O es centro de la circun-
ferencia. AM = MB; MF = OA. Halla la 
longitud de AB.
A
B
C
M
F
O
a b 
A) 2 ab 
B) a a b2 +_ i /2 
C) a a b2 +_ i 
D) b a b+_ i /2 
E) b a b2 +_ i 
 
C
la
v
e
s
N
iv
e
l
 1
1.
 
2.
 
3.
 
4.
 B
5.
 D
6.
 A
7.
 E
8.
 B
9.
 E
10
. E
11
. C
12
. C
N
iv
e
l
 2
13
. 
14
. 
15
. 
16
. A
17
. D
18
. D
19
. E
20
. E
21
. C
22
. D
23
. C
24
. D
N
iv
e
l
 3
25
. 
26
. 
27
. A
28
. D
29
. A
30
. E
31
. B
32
. E
33
. A
34
. D
35
. C15 m2 
9 m2 
12 m2 
A'
B'
C'
23GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 1
Aplicamos lo aprendido 
tema 4: RELACIONES MÉTRICAS
1 Del gráfico, halla x en función de a y c.
c
a
x
C
A B
D
H
A) c
a2
 B) 
c
a
2
3
 C) a
c2
 D) 
a
c
2
3
 E) 
c
a
3
4
2 Un rectángulo ABCD tiene por base AB = 16 cm. La 
circunferencia tangente a los lados AB, BC y CD y la 
circunferencia tangente a los lados CD, DA y AB se intersecan 
en los puntos M y N. Si la distancia del segmento MN mide 
8 cm, la altura del rectángulo es:
A) 12 cm B) 11 cm C) 10 cm D) 9 cm E) 8 cm
3 En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 15 y la altura 
relativa a la hipotenusa mide 6. Calcula el cateto menor.
A) 3 5 B) 6 5 C) 5 D) 3 3 E) 6 3
4 En la figura, OP = 24 y PQ = 1. Si O es centro y T es punto de 
tangencia, calcula x.
T Q
P
x
O
A) 10 B) 9 C) 12 D) 6 E) 7
5 Del gráfico, calcula PQ siendo: AT = 2 y TC = 9.
T
B Q C
P
A
A) 5 B) 6 C) 4 2 D) 7 E) 6 2
6 Si Q y C son puntos de tangencia (AB = 4, PQ = 1) , calcula AQ.
CA B
Q
P
A) 5 B) 7 C) 13 D) 6 E) 17
 Claves
24 Intelectum 5.° 
7 Halla x.
8
x
θ
θ
A) 10 B) 6 C) 7 D) 8 E) 12
8 Halla x si T es punto de tangencia.
Tx
25
11
A) 32 B) 30 C) 34 D) 36 E) 38
9 PA y PB son tangentes a una circunferencia de radio r, de 
modo que PA 9 PB. Halla r, si un punto del menor arco AB, 
dista 8 y 9 cm, respectivamente, de PA y PB. 
A) 29 cm B) 17 cm C) 34 cm D) 25 cm E) 30 cm
10 Halla la longitud de la altura de un trapecio, cuyas diagonales 
miden 6 y 8 cm, siendo perpendiculares entre sí.
A) 9,6 cm B) 2,4 cm C) 6,4 cm D) 4,8 cm E) 5 cm
11 En un T ABC, recto en B, la mediatriz de AC corta a BC en el 
punto F. Si: BF = 3 y FC = 5, halla AB.
A) 6 B) 4 C) 8 D) 3 E) 7
12 Se tiene un T ABC, recto en B, tal que AB = 6 y BC = 8. 
Exteriormente, con AB y BC de diámetros, se dibujan dos 
semicircunferencias, respectivamente. La longitud del segmento 
tangente común a estos arcos, mide:
A) 4 3 B) 8 3 C) 26 D) 3 3 E) 2 6
13 En un TABC, recto en B, se traza la bisectriz interior BF. Halla 
AB, si: AF = 7 y FC = 24.
A) 8,68 B) 9,28 C) 10,28 D) 9,88 E) 10,32
14 En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), se toman los puntos 
P y Q de los catetos AB y BC, respectivamente. Sea M el punto 
medio de PQ y N el punto medio de AC, calcula MN si: AP = m 
y QC = n.
A) m n2 2+ / 2 B) m + n C) m - n 
D) m n2 2- E) mn
1. B
2. C
3. A
4. E
5. B
6. E
7. D
8. B
9. A
10. D
11. B
12. E
13. A
14. A
Practiquemos
25GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 1
Nivel 1
 Comunicación matemática
1. Relaciona teniendo en cuenta el siguiente 
gráfico:
 A
D
C
BM
N
I. BD ( ) proyectante de B
II. CD ( ) eje de proyección
III. MN ( ) proyectante de A
IV. AC ( ) proyección de AB
2. Marca las alternativas correctas, teniendo 
en cuenta el siguiente gráfico:
A C
B
H z
x y
a b
c
I. Teorema n.° 5 de relaciones métricas 
en el triángulo rectángulo.
 ▪
c a b
1 1 1
2 2 2= + 
 ▪
z x y
1 1 1
2 2 2= + 
 ▪
c x y
1 1 1
2 2 2= + 
II. Teorema n.° 6 de relaciones métricas 
en el triángulo rectángulo.
 
 ▪
b
a
y
x
2
2
= 
 ▪
z
c
b
a
2
2
= 
 ▪
y
x
b
a
2
2
= 
3. Completa los recuadros teniendo en 
cuenta los valores presentes en el 
siguiente gráfico.
A D
C
B
Ex
y
a
d
b
n
m
c
I. Teorema de Ptolomeo:
(m + ) ( + y) = c + b
II. Teorema de Packein:
(bc) = y( d)
III. Teorema de Viette:
( )ad x+ +
=
( )+b c+
Razonamiento y demostración
4. Calcula BP, si: AM = a, MN = b y AB = AC.
M
P
A
N
C
B
A) ( )b a b2 + B) ( )a a b2 + 
C) ( )b a b+ D) ( )a a b+ 
E) a b2 2+ 
5. Calcula BC.
D
A
B
Ca
b
A) a + b B) a b22 2+ C) 2 ab 
D) a b2 2+ E) 2ab
6. En la figura, calcula x.
x
5
4 2
A) 2 B) 6 C) 4 D) 3 E) 5
7. En el gráfico: BP = 1 y PC = 4, calcula PQ.
 A
C
B
Q
P
A) 1/4 B) 2/3 C) 2 D) 2/5 E) 3/2
8. Del gráfico, calcula x, si P y Q son puntos 
de tangencia:
 A C
B
Q
O
P
H x r
b
c
A) ( )r b c
2
+ B) b c
r c2
+ -
C) ( )
b
c b c r- - D) ( )
c
r b r b+ +
E) ( )
b
c b r r+ - 
9. Del gráfico, mQR mRC=
! !
, calcula BC
AB .
A
C
B
R
Q
P
A) 3
1 B) 2
3 C) 1 D) 2
2 E) 2
1
Resolución de problemas
10. En el interior de un paralelogramo ABCD se 
ubica al punto P, tal que (PB)2 + (PD)2 = 43
 y (PA)2 + (PC)2 = 75; si: m+ABD = 90°; 
calcula AB.
A) 15 B) 4 C) 4 15 
D) 5 3 E) 3
11. En un triángulo ABC recto en B, se traza 
la ceviana interior AP y en el triángulo ABP 
se traza la altura BH. Se ubica en AC el 
punto Q, tal que el cuadrilátero ABHQ es 
un trapecio isósceles. 
Si: PH = 6,75 y AH = 12, calcula QC.
A) 13,5 B) 16 C) 12,75 D) 9,6 E) 8
12. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), 
la altura relativa a la hipotenusa es igual a 
21,6. La proyección del punto medio de uno 
de los catetos sobre la hipotenusa determina 
sobre ésta dos segmentos cuya diferencia de 
cuadrados es igual a 729. Si la longitud del 
mismo cateto es igual a “b” y de la hipotenusa 
es “a”, calcula a + b.
A) 3 6 B) 27 C) 81 
D) 28 E) 42,75
13. Si AP = 8; AM = 6 y AB es diámetro, 
calcula MN.
BOA
N
M
H
P
A) 4 B) 5 C) 3
7 D) 3
10 E) 3
14
14. Se tienen dos circunferencias secantes 
en los puntos P y Q. Por un punto A de la 
circunferencia menor se traza una tangente 
que corta a la otra circunferencia en los 
puntos B y C. La prolongación de PQ corta 
a la tangente en N. Halla AN, si NB = 3 y 
BC = 9.
A) 27 B) 6 C) 18 D) 13,5 E) 9
I
III
IV
II
n x a d
x a
a d m n
ybc
26 Intelectum 5.° 
Nivel 2
 Comunicación matemática
15. Coloca V (verdadero) o F (falso), según 
corresponda teniendo en cuenta el 
siguiente gráfico:
A C
B
T
R
Q
p
P x
a h
b
r
I. x Rr2= ( )
II. ab = 2hR ( )
III. x R r
1 1 1= + ( )
IV. Rr = ( )p R r Rr2+ + ( )
16. Completa los espacios en blanco con 
valores numéricos, teniendo en cuenta los 
valores presentes en el gráfico:
 
A C
B
12
10
15
Q
M
N1,44
Razonamiento y demostración
17. En el gráfico, calcula m+ABM, si AB = MC 
y m+NMC = m+MAN. Además se 
cumple que: (MC)2 + (NC)2 = (AM)2
A C
B
N
M
 
A) 53°/2 
B) 37°/2 
C) 45°
D) 90°
E) 16°
18. Del gráfico mLP
!
 = m+APC; calcula RQ. 
Si: LQ = 1 y QB = 1/2; donde L y P son 
puntos de tangencia.
A
L
D
C
BR
Q
P
A) 2
2 B) 2 C) 2
3 D) 2
1 E) 1
19. Calcula RC
PQ , donde A, P y R son puntos 
de tangencia:
L1
L2A D
C
B
S
RQ
a
3a
A) 4
5 1+ B) 2
3 1- 
C) 3
6 D) 6
7 1+ 
E) 2
3 1+
20. En la figura m+AEK = 90°, y S es punto 
medio de DT. Calcula x, si: DS = 6 cm 
(ABCD y DEFG son cuadrados).
A D
CB
E T
S
F
R
K
P
G
x
A) cm5
2 5 B) cm3 
C) 3 cm D) cm2
2 
E) 2 cm
21. Del gráfico, calcula AB, si: (PN)(NQ) = 18 
y NT = 2.
A
B
T
Q
M
N
P
r r 2
A) 3 2 B) 6 C) 9 
D) 2 3 E) 27
Resolución de problemas
22. Calcula la medida de los catetos de un 
triángulo rectángulo, cuyo perímetro es 
igual 24. La altura relativa a la hipotenusamide 4,8.
A) 5 y 12 B) 3 y 4 C) 6 y 8 
D) 7 y 9 E) 5 y 8
23. En la figura AB = 12 y BC = 16; calcula MN.
A N C
B
M H
A) 5 B) 6 C) 7 
D) 8 E) 9
24. ABCD es un cuadrado, se prolonga AD 
hasta E y tomando como diámetro a AE 
se traza una circunferencia que interseca 
a CD en H. Desde C se traza la tangente 
CT a dicha semicircunferencia. Si HD = 6, 
calcula AH2 - CT2.
A) 144 B) 12 2 C) 36 
D) 18 E) 72
25. En un triángulo calcula el cuadrado de 
la distancia del incentro al circuncentro. 
Siendo R (circunradio) y r (inradio).
A) R(R + 2r) B) R(R - r) 
C) R(R - 2r) D) R(R + r) 
E) R(2R - r)
26. En la figura, EH = AE, R = 5 y 
(HB)(AC) = 91. Calcula AE.
A
B
53°
C
H
R
E
A) 3 6 B) 4 C)7 
D) 6 E) 9
Nivel 3
 Comunicación matemática
27. Coloca V (verdadero) o F (falso) según 
corresponda y teniendo en cuenta el 
siguiente gráfico (I es incentro del TABC).
β β
θ
θ
A
B
C
T
S
R
Q
O
P I
α
α
F
F
V
V
12
4
27GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 1
I. R es el conjugado isogonal de O ( )
II. P es el conjugado isogonal de S ( )
III. Q es el conjugado isogonal de T ( )
28. Coloca V (verdadero) o F (falso) según 
corresponda y teniendo en cuenta el 
siguiente gráfico. (“O” es centro)
A
B
D
C
O
P
x
ya
d
n
m z
c
b
I. ac + bd = (x + y + z)(m + n) ( )
II. (x + y)ad = z(bc) ( )
III. a2 + b2 = c2 + d2 ( )
IV. b2 + d2 = (x + y + z)2 ( )
Razonamiento y Demostración
29. Calcula R
BD ; si 6r = R; además D y P son 
puntos de tangencia.
A
B
C
E
R
Q OD
Pr
A) 3
1 B) 13
12 C) 12
13 D) 6
5 E) 3
2
30. Calcula AC, si se cumple que: 
( ) ( )PB AB AB QC2 2 2- = -
Además m+ABQ = 2m+APB y QC = 6
A
B
C
QP α 2α
 
A) 3
B) 12
C) 4 3
D) 8
E) 9
31. Calcula AE, si: P, Q y E son puntos de 
tangencia:
A B
C
E
Q
P
a
 
A) a7
4
B) a3
2
C) a3
4
D) a
2
3
E) a3
4 3
32. Calcula PD; si AB = 7, BC = 1 y CD = 2, 
tal que QP // RD y además R es punto de 
tangencia.
A B DC
RQ
P
A) 3/2 B) /5 3 C) /9 2 5 
D) 2 E) 2
33. Si: BP
AP
2
3 1= + ; calcula m+QCA.
C AB
Q
P
A) 60° B) 45° C) 30° D) 53° E) 16°
Resolución de problemas
34. En una circunferencia se inscribe el triángulo 
ABC, donde se trazan las alturas AP y BM 
(H: ortocentro). Si HP = a y HM = b, calcula 
(AM)(MC) - (BP)(PC) sabiendo que b > a.
A) a2 + b2 B) b2 - a2 C) ab 
D) ab
2 E) ab
3
35. En la figura PQ = 2; QR = 4 y B es punto 
de tangencia. Calcula AB.
A
B
Q
P
R
A) 3 B) 6 C) 5 2 
D) 6 2 E) 8
36. Del gráfico, calcula b2; en función de a y c, 
mMN
!
 = 90°.
a
A D B
NM
r r
E
b c
A) a2 + 2c2 B) a2 + c2 C) 2ac 
D) ac E) ac
37. En un triángulo ABC, donde H es ortocentro 
O es circuncentro. Halla la longitud de la 
mediana CM; si las distancias de H y O al 
lado AB son 2 m y 6 m respectivamente, 
además HO = 5 m.
A) 205 m B) 13 m C) 209 m 
D) 15 m E) 17 m
38. De la figura, P es el exentro del triángulo 
ABC. Calcula QC, 
si: PQ = 6 y BR = 3 (O es centro).
A
B
C
RQP
O
A) m8 B) 12 m C) 9 m 
D) m6 3 E) m6 2
C
la
v
e
s
N
iv
e
l
 1
1.
 
2.
 
3.
 
4.
 A
5.
 D
6.
 B
7.
 B
8.
 C
9.
 E
10
. B
11
. B
12
. C
13
. E
14
. B
N
iv
e
l
 2
15
. 
16
. 
17
. D
18
. E
19
. A
20
. A
21
. C
22
. C
23
. D
24
. E
25
. C
26
. C
N
iv
e
l
 3
27
. 
28
. 
29
. D
30
. B
31
. E
32
. E
33
. C
34
. B
35
. D
36
. C
37
. A
38
. D
F
V
F
V
F
V
F
28 Intelectum 5.° 
Aplicamos lo aprendido 
tema 5: 
Relaciones Métricas EN Triángulos 
Oblicuángulos
1 En el gráfico, halla x.
13
10426
2
x
A) 12 B) 13 C) 11 D) 14 E) 10
2 En un triángulo de lados 4; 13 y 15; se han trazado la altura y 
la mediana relativas al lado mayor. Halla la distancia entre el 
pie de la altura y el pie de la mediana.
A) 5,5 B) 5 C) 5,2 D) 5,3 E) 5,1
3 En un paralelogramo ABCD el lado AB mide 8, las diagonales 
AC y BD miden 10 y 2 31 , respectivamente. Calcula AD.
A) 2 3 B) 4 3 C) 3 D) 5 3 E) 3 3
4 En un triángulo ABC; AB = 5, BC = 7 y AC = 6. Calcula la 
medida de la mediana relativa al lado AC.
A) 2 7 B) 4 3 C) 7 2 D) 3 5 E) 3 3
5 En un triángulo ABC, se cumple que: (BC)2 + (AC)2 = 100 y 
AB = 8, halla la medida de la mediana CQ.
A) 17 B) 34 C) 71 D) 51 E) 32
6 Los lados de un triángulo miden 5; 6 y 7. Halla la altura relativa 
al lado que mide 6.
A) 6 B) 4 7 C) 5 3 D) 3 2 E) 2 6
 Claves
29GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 1
7 En un TABC, se cumple: BC2 = AC2 + AB2 + 3 (AC)(AB). 
Entonces el ángulo A mide:
 
A) 120° B) 150° C) 135° D) 165° E) 60°
8 En un trapecio ABCD, BC // AD; AB = 5, BC = 6, CD = 7 y 
AD = 11. La proyección de AB sobre AD mide:
 
A) 1 B) 0,1 C) 0,2 D) 0,125 E) 0,375
9 En un TABC, la bisectriz interior AF corta a la ceviana 
BE en el punto P. Halla AP, si: AB = 6, BF = 3, AE = 4 y 
m+ABP = m+C.
 
A) 2 3 B) 2 6 C) 3 2 D) 4 E) 5
10 En un TABC, el ángulo A es agudo, AB = 3, AC = 5. El máximo 
valor entero de BC, es:
 
A) 7 B) 5 C) 3 D) 6 E) 8
11 Las longitudes de los lados de un triángulo obtusángulo, 
son tres números enteros y consecutivos. El perímetro del 
triángulo, es:
 
A) 6 B) 12 C) 15 D) 21 E) 9
12 Se tiene un TABC donde la medida del ángulo A es el doble 
de la medida del ángulo C. Si AB = 4 y BC = 7, calcula: AC
A) 4
33 B) 6
5 C) 5
6 D) 2
3 E) 2
6
13 En un triángulo cuyas longitudes de sus lados son 
proporcionales a los números 4; 5 y 6, la longitud de 
la menor bisectriz es 10. Calcula la longitud del menor 
lado. 
A) 8 B) 9 C) 12 D) 6 E) 10
14 En un trapecio ABCD, BC // AD; AB = 21, BC = 12, 
CD = 13 y AD = 26. Halla la distancia entre los puntos medios 
de BC y AD.
 
A) 16 B) 14 C) 15 D) 7 E) 13
1. B
2. E
3. B
4. A
5. B
6. E
7. B
8. B
9. C
10. B
11. E
12. A
13. C
14. A
Practiquemos
30 Intelectum 5.° 
Nivel 1
 Comunicación matemática
1. Marca las alternativas correctas teniendo 
en cuenta el siguiente gráfico:
A C
B
PH zx y
a b dc
I. Teorema de Euclides (ángulo agudo)
a2 + (x + y + z)2 - 2(x + y + z)x = d2 
c2 = a2 + (x + y )2 - 2(x + y)x 
d2 = b2 + (y + z)2 - 2(x + z)y 
II. Teorema de Euclides (ángulo obtuso)
d2 = c2 + z2 + 2(y + z)z 
c2 = b2 + y2 + 2xy 
d2 = c2 + z2 + 2zy 
2. Rellena los espacios en blanco con los 
valores presentes en el siguiente gráfico:
A C
B
Q
M
N z x
y
a
a b
b
c c
 I. 3 2 2 2 2 2 2+ + = + +a k
 
II. 3
1 2 2 2 2 2 2+ + = + +a k
 
III. 4 9 4 2c c c2 2 2 3- = -
3. Coloca V (verdadero) o F (falso) según 
corresponda y teniendo en cuenta el 
siguiente gráfico.
I. El teorema de Herón también 
se cumple en triángulos obtu-
sángulos.
 ( )
II. El teorema de Apolonio nos 
permite calcular la ceviana de 
un triángulo. ( )
III. El teorema de Packein solo se 
cumple en triángulos rectángu-
los. ( )
Razonamiento y demostración
4. En la figura, calcula x.
15
14
x
13
A) 30° B) 37° C) 53° D) 60° E) 45°
5. En la figura, calcula el valor de x.
x
5
4
6
A) 1/2 B) 1 C) 2 D) 3 E) 1/3
6. Calcula el valor de x.
8
x
α α
4
A) 2 B) 3 C) 1 D) 4 E) 5
7. En la figura: AB = BC = AC = 2 5 , O es 
centro y DM = MC = 3. Calcula OM.
A
B
C
D
O M
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4/5 E) 3/2
Resolución de problemas
8. En un TABC, AB = 3 y BC = 7. Halla el 
máximo valor entero de AC, sabiendo que 
el ángulo B es agudo.
A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6
9. En un trapecio las bases miden 12 y 26 y los 
lados no paralelos miden 13 y 15. Calcula la 
longitud de la altura de dicho trapecio.
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
10. Si en un triángulo ABC, se cumple que:
BC2 = AC2 + AB2 + ( ) ( )AC AB2 .
Halla m+BAC.
A) 45° B) 60° C) 120° 
D) 135° E) 105°
11. En un paralelogramo ABCD: AB = 3, BC = 5 
y AC = 7. Calcula la m+A.
A) 30° B) 53° C) 45° D) 60° E) 75°
Nivel 2
 Comunicación matemática
12. Según el gráfico, coloca V (verdadero) o F 
(falso) según corresponda:
A C
B
H z
x y
´
I. ( )
 , = ( ) ( ) ( ) ( )z x y z x y x z z y2
1 + + + + + 
II. ( ) 
, = ( ) ( ) ( ) ( )z x y z x y z x z y y z x2
1 + + + - + - + -
III. ( ), = ( ) ( ) ( ) ( )xy x y z x y z x z y y z x2
1 + + + - + - + -
 
13. Según el gráfico, coloca V (verdadero) o F 
(falso) según corresponda:
A
C
B
Q
P
60°
I. BQ + QC = AQ ( )
II. BP + PQ = AP ( )
III. AP = BP + PC ( )
Razonamiento y demostración
14. De la figura calcula BP; si: (AB)(BC) = 32 
y BP = PQ.
A
B
θ θ
CP
Q
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5


x
a
a y b c
V
V
F
V
F
V
F
F
F
b c x y z
y z a b c
31GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 1
15. Si: AQ = 9 y QC = 4, calcula BQ.
A
B C
D
Q
A) 2 61 B) 18 3 C) 3 13
D) 61 E) 10
16. En la figura, ¿cuánto mide el radio 
de la circunferencia si el radio de la 
semicircunferencia mide 9?
O
R R
O1
x
A) 1 B) 5 C) 4 D) 6 E) 4,5
17. En el romboide ABCD, donde AB = 13; 
BC = 20 y AC = 21. Calcula PD.
A
B C
DP
A) 10,5 B) 10 C) 12 
D) 13,75 E) 15
Resolución de problemas
18. Se tiene un triángulo ABC tal que:
AB = BC = 2AC. Si la distancia de B a la 
bisectriz interior del +A mide 6 . Calcula AC.
A) 1 B) 6 C) 2 D) 3 E) 4
19. La circunferencia inscrita en un triángulo 
ABC, es tangente a AC en D. Calcula 
BD, si: AB = 5; BC = 7; AC = 6.
A) 5,5 B) 4,5 C) 6 D) 5 E) 4
20. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) 
se toma un punto F de AC. Halla AB; si: 
(AF)(FC) = 20, BF = 8.
A) 8,5 B) 9,75 C) 9,16 
D) 10,2 E) 7,2
21. Los lados de un triángulo ABC miden: 
AB = 13, BC = 20 y AC = 21. Calcula la 
distancia del baricentro al lado AC.
A) 2 B) 3 C) 4 
D) 5 E) 20
Nivel 3
 Comunicación matemática
22. Rellena lo recuadros en blanco con los 
valores presentes en el gráfico siguiente:
A D
CB
Q
O
P
z
x
y n
m
,
I. 2+ n2 = y2 + 2 
II. x2 + 2 = 2 + m2
III. 2 + 2 = z2 + m2
23. Coloca V (verdadero) o F (falso) según 
corresponda:
I. La naturaleza de un triángulo 
depende de los ángulos inter-
nos del mismo.
 ( )
II. El teorema de Chadú solo se cum-
ple para cuadriláteros inscriptibles. ( )
III. El teorema de Carnot solo se cum-
ple para triángulos acutángulos. ( )
 
Razonamiento y demostración
24. Siendo ABCD un romboide, MB = MD, MN = 1 y
 AD = DE = 3, calcula: K = 4(AM)2 + (BD)2.
 
A
B C
D E
M
N
α
α
 
A) 85
B) 95
C) 80
D) 90
E) 92
25. En el gráfico calcula MN, si: O y O1 son 
centros; AN = 3 y NB = 5.
A
B
O O
M
N
1
 
A) 5,5
B) 6,5
C) 7,5
D) 6
E) 7
26. En la figura se muestra dos circunferencias 
concéntricas, si: AQ2 + QD2 = 100, calcula 
PB2 + PC2.
BA C D
P
Q 
A) 10
B) 120
C) 100
D) 81
E) 64
Resolución de problemas
27. La suma de los cuadrados de los lados de 
un triángulo escaleno es 28. Halla la suma 
de los cuadrados de las 3 medianas.
A) 28 B) 21 C) 35 D) 24 E) 14
28. Se tienen dos circunferencias concéntricas 
de radios r y R (R > r), la suma de los 
cuadrados de las distancias de un punto 
cualquiera de una de las circunferencias a 
los extremos de un diámetro de la otra es 
igual a k. Halla k.
A) 2Rr B) 2R2 
C) 2(R2 + r2) D) 4Rr 
E) R2 + r2
29. La suma de los cuadrados de las medianas 
de un triángulo es 81. Halla la suma de 
cuadrados de los lados.
A) 108 B) 144 C) 100 
D) 112 E) 116
30. En un triángulo acutángulo ABC, se trazan 
las alturas AH y CQ. Si: (AB) . (AQ) = 24; 
CB . CH = 25. Calcula AC.
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
31. En un triángulo ABC se tiene que: 
(AB)2 + (BC)2 + (AC)2 = 9 cm2; halla la 
distancia del circuncentro al baricentro si 
su circunradio mide 3 cm.
A) 3 cm B) 2 2 cm C) 1 cm 
D) 2 cm E) 2 3 cm
C
la
v
e
s
N
iv
e
l
 1
1.
 
2.
 
3.
 
4.
 C
5.
 A
6.
 B
7.
 A
8.
 D
9.
 C
10
. D
11
. D
N
iv
e
l
 2
12
. 
13
. 
14
. D
15
. D
16
. C
17
. D
18
. C
19
. D
20
. C
21
. C
N
iv
e
l
 3
22
. 
23
. 
24
. 
25
. 
26
. 
27
. B
28
. C
29
. A
30
. C
31
. B
z ,
n y
x ,
F
V
F
32 Intelectum 5.° 
 Matemát ica
En un TABC de incentro I1, se ubica el incentro I2 de su triángulo 
órtico MNQ (M en BC y N en AC), donde AC // I I1 2 .
Calcula I1I2, si m+MQN = 106° y la diferencia de las distancias de 
I2 a BC y AC respectivamente es 3.
θ
θ
A
B C
53°
53°
53°
53°
Q P
I1
I2
M
N
R
H
d
d
d
αα
 Resolución:
Primero construimos un triángulo ABC tal que I I2 1 // AC.
Del dato m+MQN = 106°
Como QI2 es bisectriz del triángulo MQN & m+MQI2 = m+I2QN = 53°.
De la gráfica, el cuadrilátero AQI2N es inscriptible.
& m+I2QN = m+I2AN = 53°
Del dato AC // I I1 2 :
m+I2AN = 53° & m+HI2I1 = 53°
De la gráfica:
• Por paralelismo: I1P = I2 N = d • Por proyección: I1R = HM = d
Por dato: I2M - I1N = 3
& I2H + HM - I2N = 3 & I2 H + d - d = 3 & I2H = 3
Nos piden I1I2:
El I2HI1, por ser un triángulo notable de 53° con lado I2H = 3
& I1I2 = 5
1. De la figura, α + b + q + g = 540°. Halla x.
β
α/2
φ
φγ
θ
x
α
2
A) 81° B) 100° C) 90° D) 74° E) 60°
2. De la gráfica, AB = BC, AH = HP, CR = RQ y AQ = 7. Calcula 
PC.
A
B
CS
Q
P R
H
A) 3 B) 4 C) 10 D) 7 E) 3.5
3. Si AN = LC, calcula: AL
NC
θ
θA
L
B
C
N
α
α
A) 1/2 B) 1 C) 3/2 D) 2 E) 5/2
4. De la gráfica, AB = DC y MN = NP; si BP es mediatriz de AD, 
calcula α.
A
90° - α
D
B
CP
M
Nα
A) 60 B) 45° C) 30° D) 15° E) 22,5°
5. Según la figura, BS + AB
2 = RC. Calcula α. 
A
B
C
S
R
H
α
α α
A) 53°/2
B) 37°/2
C) 127°/2
D) 127°/4
E) 143°/4
6. De la gráfica, B y L son puntos de tangencia y BR = AR. Halla 
AC
AB .
A
L
B CM
R
A) 3
2 B) 2
2
C) 3
3 D) 2
6
E) 3
6
7. En un triángulo ABC isósceles, donde la base es AC, se trazan 
las bisectrices interiores AM, BL y exterior CN. Calcula la 
m+MLN
A) 217° B) 210° C) 180° D) 120° E) 90°
Unidad 2
Recuerda
Galileo (1564-1642)
Astrónomo y físico italiano nacido en Pisa y fallecido en Arce-
tri. Aunque universalmente conocido por su primer nombre, en 
realidad se llamaba Galileo Galilei. Curiosamente nació tres 
días antes de la muerte de Miguel Ángel. Estaba predestinado 
por su padre para ser médico hasta que escuchó una conferen-
cia sobre geometría y se dedicó al estudio de las matemáticas 
y las ciencias. Rápidamente se dedicó a observar, medir y mi-
rar todos los objetos cuantitativamente para descubrir alguna 
relación matemática que permitiera describir el fenómeno con 
mayor simplicidad. Entre sus experimentos más famosos des-
tacan el estudio del péndulo, estudios sobre termometría, tra-
yectorias de proyectiles, planos inclinados, estudios sobre el 
movimiento continuo y resistencia de materiales.
Galois Evaristo (1811-1832)
Matemático francés nacido y fallecido en París. Su vida, corta, 
pero plena de activas luchas políticas y un interés apasionado 
por los estudios matemáticos, representa un vivo ejemplo de 
cómo, en la actividad de un hombre dotado, las premisas acu-
muladas en la ciencia se transforman en una etapa cualitativa-
mente nueva de su desarrollo. Cuando comenzó a asistir a la 
escuela, mostró poco interés por el latín, el griego y el álgebra, 
pero se sintió inmediatamente fascinado por la geometría de 
Legendre. Más tarde estudió con aprovechamiento álgebra y 
análisis en las obras de maestros tales como Lagrange y Abel, 
pero su trabajo rutinario de clase en matemáticas fue siempre 
mediocre, y sus profesores lo consideraron como un muchacho 
rutinario de clase de matemáticas. A los 16 años Galois sabía 
ya lo que sus maestros no habían logrado descubrir, que era 
un genio para las matemáticas. A los 17 años desarrolló sus 
escritos fundamentales en un artículo que envió a Cauchy, artí-
culo que este último perdió. Por sus fuertes ideas republicanas y 
revolucionarias fue encarcelado dos veces, y apenas obtenida 
la libertad, murió en un desafío cuando aún no había cumpli-
do los veintiún años. No obstante su prematura muerte, Galois 
se reveló como un griego de primer orden. Su obra principal 
es la teoría que él llamó de las ecuaciones algebraicas; como 
Galois expuso su teoría de forma muy concisa, tardó mucho 
tiempo en ser conocida, pero hoy es la parte esencial de todos 
los manuales de álgebra. Galois escribió pocos trabajos, sus 
manuscritos y borradoresapenas ocupan 120 páginas en un 
libro de pequeño formato, pero el significado de estos trabajos 
es enorme. Sus trabajos se hallan coleccionados en obras ma-
temáticas de Galois.
Reflexiona
•	 El	enfoque	proactivo	consiste	en	cambiar	
de	 adentro	 hacia	 afuera	 y	 ser	 distinto,	
y	 de	 esta	 manera	 provocar	 un	 cambio	
positivo	en	lo	que	está	allí	afuera.
•	 Somos	 responsables,	 tenemos	 “habilidad	
de	respuesta”,	de	controlar	nuestras	vidas	
y	 de	 influir	 poderosamente	 en	 nuestras	
circunstancias	 trabajando	 sobre	 el	 ser,	
sobre	lo	que	somos.
•	 Lo	 más	 proactivo	 a	 nuestro	 alcance	 es	
ser	 feliz,	 sonreír	 auténticamente.	 La	
felicidad,	como	la	desdicha,	es	una	elección	
proactiva.
Señala el par que continúa en la serie: 2-4; 3-9; 5-20;...
A) 8 - 48 B) 7 - 35 C) 8 - 24 
D) 7 - 42 E) 6 - 30
¡Razona...!
35GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 2
Aplicamos lo aprendido 
tema 1: polígonos REGULARES
1 En una circunferencia cuyo radio mide 2 , se ubican los 
puntos consecutivos A, B, C y D tal que: AC = 6 , BD = 2 y la 
mAB
!
 = mBC
!
. Calcula la medida del ángulo formado por AC 
y BD.
A) 60° B) 45° C) 37° 
D) 53° E) 30°
2 En una circunferencia se encuentra inscrito un polígono 
regular de 16 lados. Si el radio mide 4, halla el valor del lado 
de dicho polígono.
 
A) 4 2 2 2- + B) 4 2 2 2+ -
C) 6 2 2 3- + D) 2 2 2+
E) 2 2 2 2+ -
3 La longitud del lado de un dodecágono regular ABCDE… es 
6 3 3- . Halla AE.
 
A) 3 B) 6 C) 2 3
D) 6 E) 3
4 Si la diagonal de un pentágono regular mide ( 5 + 1), halla 
su perímetro.
A) 5 B) 10 C) 8 
D) 7 E) 11
5 En la figura se muestran las longitudes de los lados de un 
pentágono regular, hexágono regular y un decágono regular, 
estos inscritos en una misma circunferencia. Halla x.
 
x
5
6
10´ ´
´
A) 100° B) 108° C) 120° 
D) 90° E) 60°
6 Halla el perímetro de un hexágono regular inscrito en una 
circunferencia de radio 3.
A) 16 B) 18 C) 20
D) 12 E) 15
 Claves
36 Intelectum 5.° 
1. B 
2. A
3. E
4. B
5. D
6. B
7. B
8. B
9. E
10. C
11. C
12. B
13. C
14. A
7 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B; AC = 2 m. Si 
la bisectriz relativa a la hipotenusa mide igual que el cateto 
menor. Calcula la medida de dicho cateto.
A) 2 m2 2- B) m2 2- 
C) m2 2+ D) 3 m2 2- E) m2
8 En una circunferencia de centro Q y radio 2 m, se trazan 
los diámetros AB y DE, perpendiculares entre sí. La recta que 
une el punto A con el punto medio O de BC, lado del hexágono 
regular inscrito corta a DE en N. Calcula QN. 
A) /56 m B) /76 m C) /67 m
D) /23 m E) /46 m
9 En un triángulo ABC obtuso en A se sabe que AB = 2, 
BC = 15 + y la m+C = 18°. Calcula la m+B.
A) 36° B) 53° C) 49° 
D) 42° E) 12°
10 En una circunferencia de radio 2 , se inscribe un octógono 
regular. Calcula el perímetro del polígono formado al unir los 
puntos medios de los lados consecutivos de dicho polígono.
A) 4 2 B) 8 2 C) 8 
D) 4 E) 6 2
11 Se tiene un cuadrado de 4 cm de lado. Sobre cada lado se 
ubican dos puntos de manera que los ocho puntos son los 
vértices de un octógono regular. Calcula el lado de este 
octógono regular.
A) 2 2 2+^ h cm B) 4 2 2+^ h cm 
C) 4 2 1-^ h cm D) 4 2 2-^ h cm 
E) 2 2 1+^ h cm
12 Si ABCD es un cuadrado, calcula q si además PQL es un 
triángulo equilátero.
 
θ
A
B
L
D
C
Q
P
A) 15° B) 30° C) 45° 
D) 60° E) 50°
13 Si PQ // RS, además, la mPR
!
= mSB
!
 = 30°. Calcula x si 
r = 3 1+ .
 
x
A B
SR
Q
O
M
NP
r
A) 2 3 B) 2 3 - 2 C) 1 
D) 3 1- E) 3
14 En un hexágono regular de 2 m de lado, se prolonga cada 
uno de sus lados la misma longitud de su lado y en un mismo 
sentido. Halla la apotema del polígono que resulte al unir los 
extremos de estas prolongaciones.
A) 3 m B) 3
2 m C) 2 3 m
D) 4 m E) 3 m
Practiquemos
37GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 2
Nivel 1
 Comunicación matemática
1. Marca la opción correcta, teniendo en cuenta el siguiente gráfico:
A B
C
18° 36°
R
O
x
I. x = 2R 5 1+^ h 
II. x = R 5 1+^ h 
III. x = R
2 5 1+^ h 
2. Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda:
Si el número de lados de un polígono regular se incrementó 
considerablemente, entonces:
I. La longitud de su apotema es casi equivalente a la 
 longitud de su circunradio. 
II. La longitud de sus lados también aumenta. 
III. Su área es casi igual al área de la circunferencia 
 circunscrita a dicho polígono regular. 
3. En el siguiente gráfico marca la opción correcta teniendo en 
cuenta el siguiente gráfico.
A
B
D
C
E
,4,5
,6 ,10
 I. 4
2
6
2
10
2, , ,+ = 
II. 8
2
4
2
5
2, , ,+ = 
III. 6
2
4
2
5
2, , ,+ = 
Razonamiento y demostración
4. Halla la medida de PQ, si m+QRC = 75°, BC = 12 y AC = 13.
Además P, R y T son puntos de tangencia.
A
B
CT
R
P
Q
75°
A) 2 3 B) 5 1- C) 15 + 
D) 2 3- E)2 5 2+
5. Si EN = ND = R
2 10 2 5- , en donde R es el circunradio del 
pentágono regular ABCDE; calcula x.
A
B
D
C
E
MN
x
 A) 36° 
 B) 54° 
 C) 72° 
 D) 30° 
 E) 60°
Resolución de problemas
6. El lado de un dodecágono regular ABCD...JKL mide 6 3 3- . 
Calcula AE.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 3 E) 3 3
7. El lado de un hexágono regular mide 6. Halla el perímetro del 
nuevo hexágono regular formado al unir en forma consecutiva 
los puntos medios de los lados del primero.
A) 6 3 B) 9 3 C) 12 3 
D) 18 3 E) 36 3
8. Calcula el circunradio de un triángulo ABC sabiendo que AB = 4; 
BC = 3 3 y la m+B = 30°.
A) 3 B) 5 C)2 2 
D) 7 E) 3 2
9. El lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia mide 4. 
Calcula el lado de un octógono regular inscrito en la misma 
circunferencia.
A) 2 2 2+ B) 2 4 2 2- C) 2 4 2- 
D) 2 2 2 2+ E) 2 2+
10. Calcula la longitud de una de las diagonales de un pentágono 
regular cuyo lado mide 2.
A) 15 + B) 15 - C) 3 25 - 
D) 2 5 E) 10 5
Nivel 2
 Comunicación matemática
11. En cuáles de los siguientes polígonos regulares se cumple que: 
,n > apn
I. Triángulo equilátero 
II. Hexágono regular
III. Pentágono regular 
IV. Octogono regular
A) I y II B) Todos C) I, II y III 
D) Ninguno E) II y III
38 Intelectum 5.°
12. En la siguiente circunferencia dibuja un decagono regular con la 
ayuda de un compás.
AB RR O
Razonamiento y demostración
13. Si ABCDEFGH es polígono regular. Calcula HP, si FP = b 2 
y DP = a.
A
B
D
C
E
F
P
H
G
A) b + a
2 B) 2b - a C) 2b + a
D) b - a E) b + a 
14. Halla la mNR
!
, si Q y L son puntos de tangencia.
R
A B
L
R
Q
OM
N
P
O1
A) 28° B) 36° C) 48° 
D) 38° E) 30°
15. Calcula la m+PQR, si OE = SE, PQ = US y QR = TS. E es 
punto de tangencia.
E
T
S
R
Q
OP
U
O1
 
A) 96° B) 108° C) 135° 
D) 127° E) 143°
Resolución de problemas
16. Se tiene un triángulo rectángulo ABC cuya hipotenusa mide 
16 cm. Si uno de sus ángulos mide 7°30’. Halla la altura relativa 
a la hipotenusa.
A) 2 2 3- cm B) 2 2 3+ cm C) 4 2 3- cm 
D) 8 2 3- cm E) 4 2 3+ cm
17. El perímetro de un hexágono regular es 24 m3 . Halla el 
perímetro del nuevo hexágono que se forma al unir los puntos 
medios de los lados del hexágono original.
A) 24 m B) 36 m C)12 m3 
D) 8 m3 E) 18 m
18. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, por A y C se trazan 
AP y CQ perpendiculares a las bisectrices de los ángulos C y A. 
Halla PQ, si AC = 6 2 .
A) 6 B)3 2 C) 12 
D) 4 2 E) 10
19. En la figura el radio de la circunferencia mide 2 7 , el triángulo 
ABC es equilátero; M y N son puntos medios de AB
!
 y AC, 
respectivamente. Calcula MN.
B
M
A N C
A) 6 B) 7 C) 6 2 
D) 5 E) 5 2
Nivel 3
 Comunicación matemática
20. Completa los valores correspondientes en el recuadro, teniendo 
en cuenta que los polígonos regulares se encuentran inscritos 
en la misma circunferencia de radio igual a 4, además:
sen(51.43°) = 0,782 y cos(51.43°) = 0,623
n an ,n apn An ,2n
4
5
6
7
8
90° 5,656 2,828 32 3,061
32° 4,704 3,236 38,048 2,472
60° 4 3,464 41,568 2,072
51,43° 3,471 3,604 43,783 1,780
45° 3,061 3,696 45,2481,560
1104
8
6
3 9 2
7
5
39GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 2
Claves
Nivel 1
1. 
2. 
3. 
4. A
5. E
6. C
7. D
8. D
9. B
10. A
Nivel 2
11. C
12. 
13. B
14. D
15. B
16. C
17. B
18. A
19. B
Nivel 3
20. 
21. 
22. E
23. E
24. C
25. E
26. B
27. D
28. D
29. D
21. En la siguiente circunferencia dibuja un heptágono regular 
con la ayuda de un compás (el heptágono regular debe estar 
circunscrito a dicha circunferencia).
AA'
O
iente circunferencia d
Razonamiento y demostración
22. Calcula la medida de BQ si ABCDE es un pentágono regular de 
circunradio 6.
A
B
D C
E
M
Q 12°
N
A) 3 2 B) 2 3 C) 5 5-^ h 
D) 5 5+^ h E) 3 5
23. Halla CD si m+AOB = 60° y r = 2 3 .
(A, P, T, B y H son puntos de tangencia)
A B
D
C
T
O
P
Hr r
A) 2 2 3-^ h B) 2 3+^ h C) 5 1+^ h
D) 2 3-^ h E) 6 2+^ h
24. Del gráfico; 3(AB) = 8(PQ) y OP = 5 u. Calcula el valor de AQ si 
m+OPL = 17°. (Q y R puntos de tangencia).
A B
LR
R
Q
O
P A) u2 2-^ h 
 B) u5 1-^ h 
 C) u2 10 2 5+^ h
 D) u10 2 5-^ h
 E) u5
Resolución de problemas
25. En un hexágono regular ABCDEF se construye interiormente 
un cuadrado BCMN. Calcula AN si el radio de la circunferencia 
circunscrita al hexágono mide m2 3+ .
A) 2 m B) m2 3- C) m2 2+ 
D) m6 E) 1 m
26. En un cuadrado ABCD de lado 4, tomando como centro los 
vértices A y D y con radio a se trazan los arcos BD y AC, secantes 
en F. Halla la distancia entre los puntos medios de AF
!
 y FD
!
. 
A) 2 4 2 3- B) 4 4 2 3- C) 3 4 2 3- 
D) 3 4 2 3+ E) 4 4 2 3+
27. En un triángulo ABC, la m+ABC = 108° y su incentro es I, calcula 
la longitud del circunradio del triángulo AIC, si el circunradio del 
triángulo ABC es R.
A) R2
5 1-c m B) R2
5 2+c m C) R2
5 
D) R2
5 1+c m E) R5 1+^ h
28. En un pentágono regular ABCDE, la diagonal BD 
interseca a las diagonales AC y EC en los puntos P y Q. Si 
AB = 3 5+^ h, entonces la longitud de PQ es:
A) 2 B) 5 C) 10 
D) 2 E) 2 5
29. En un polígono regular, el número total de diagonales es la 
tercera parte de la diferencia entre el perímetro y el número de 
ángulos rectos que equivale a la suma de las medidas de sus 
ángulos internos. Calcula el perímetro del polígono, si la longitud 
de su lado es una cantidad entera.
A) 56 B) 63 C) 69 
D) 72 E) 86
2' 1
2
3
4
4'
3'
40 Intelectum 5.° 
Aplicamos lo aprendido 
tema 2: ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES
1 En la figura, halla el área de la región sombreada, siendo G el 
baricentro del TABC y además: STABC = 36 m2.
 
B
C
G
A
A) 4 m2 B) 2 m2 C) 3 m2
D) 6 m2 E) 9 m2
2 En la figura, AC = 2 m, CF = 1 m. Si los triángulos ABC y CEF 
son equiláteros, halla el área del cuadrilátero ABEF.
 
E
B
A C F
A) m3
2 3 2 B) 2
3 3 m2 C) 3
4 3 m2 
D) 4
7 3 m2 E) 2
3 2 m2
3 Uno de los lados de un triángulo tiene longitud L. Halla la 
longitud del segmento paralelo a dicho lado e intersecado por 
los otros dos, que determina figuras equivalentes. 
A) L 2 B) L
2
2 C) L
2
3 
D) L 3 E) L
4
3
4 La hipotenusa AC de un triángulo rectángulo isósceles ABC, 
tiene longitud L. Exteriormente se construye el cuadrado 
ACDE. BE y BD cortan a AC en los puntos P y Q. Halla el área 
de la región triángular PBQ.
A) L
4
2
 B) L
6
2
 C) L
12
2
 
D) L
8
2
 E) L
16
2
5 Halla el área de la región triangular correspondiente a un 
triángulo isósceles, en el cual la base mide 16 cm y el 
circunradio 10 cm, siendo el triángulo obtusángulo.
A) 20 cm2 B) 12 cm2 C) 30 cm2 
D) 32 cm2 E) 28 cm2
6 En la figura: G es baricentro del TABC; BE = 3EC y DB = 3AD.
Calcula: A
A
ADEC
DBE
;A) 5750p m3 
B) 7500p m3 
C) 7200p m3 
B C
θ
θ
A
360°
D
L
D) 5800p m3 
E) 6200p m3
29. Del gráfico, la razón de los volúmenes de los sólidos generados 
por las regiones sombreadas al girar 360° alrededor de L es 
80/13. Calcula x.
x L
360°
A) 15° B) 26° 30' C) 18° 30' 
D) 22° 30' E) 30°
30. Según la figura, AB = 13, AC = 14 y BC = 15. Calcula el 
volumen del sólido generado por la región triangular ABC al girar 
360° en torno a L.
A) 250 2 π u3 
B) 300 2 π u3 
C) 300 2 u3 
8°
C L
A B
360°
D) 200 2 π u3 
E) 560 2 π u3
Resolución de problemas
31. Calcula el radio de la esfera inscrita en un octante de esfera de 
radio 4.
A) 2( 3 - 1) B) 2( 2 - 1) C) 2( 3 + 1)
D) 2 - 1 E) 3 - 1
32. En un cono equilátero, se inscribe una esfera de radio r. Halla el 
volumen del cono parcial que determina el plano que contiene 
los puntos de tangencia de la esfera con las generatrices del 
cono.
A) r
6
3π B) r
3
3π C) r
8
3 3π
D) r
9
3π E) r
3
2 3π
33. Calcula el volumen de una cuña esférica equivalente a un sector 
esférico, ambos en una misma esfera, de radio 3 cm. Dicho 
sector es generado por un sector circular, cuya proyección de 
su arco tiene por longitud la mitad del diámetro correspondiente.
A) 10p cm3 B) 12p cm3 C) 15p cm3 
D) 16p cm3 E) 18p cm3
Claves
Nivel 1
1. 
2. D
3. D
4. E
5. E
6. D
7. D
8. A
9. E
10. C
11. A
Nivel 2
12. 
13. A
14. A
15. A
16. D
17. C
18. D
19. D
20. D
21. D
22. C
Nivel 3
23. 
24. 
25. 
26. A
27. C
28. B
29. B
30. E
31. A
32. C
33. E
96 Intelectum 5.° 
 Matemát ica
En la figura P y Q son puntos de tangencia.
Si mPQ
!
 = 2a y BO = 2(AB) = 2. Halla el volumen del sólido generado 
por la región sombreada al girar 360° alrededor de L.
R
A
L
B OC
Q
P
α
Sea: VSol. es el volumen del sólido generado por la región sombreada 
al girar 360° alrededor de L .
θ
θ H
R
360°
A
L
B O
R = 3
C
Q
P
α α
αα
α
x
 Resolución:
Del dato:
AB = 1 y BO = 2 & R = AO = 3
Del gráfico:
 ▪ Por la bisectriz CO: a + q = 90° & m+POC = m+COQ = a
 ▪ Por ángulos opuestos: m+CBR = m+PBO = a 
 ▪ Del DPBQ (isósceles): BH = HO = 1BO
2 =
 ▪ Por semejanza de triángulos: PHO a CPO
9CO
PO
PO
HO
x
x3
3
1
&= = = =
 ▪ El área de la circunferencia:
A = pR2 = p . 9
 ▪ Por el teorema de Pappus - Guldin:
 VSol. = 2p(A) x
 = 2p(p . 9 ) . 9 
` VSol. = 162p2
1. En el gráfico adjunto, la curva es un segmento de circunferencia 
de radio 10 y el segmento OA mide 6. Determina el volumen 
generado por la región sombreada al girar en torno al eje y.
A
B
O
C
x
y A) 3
1136 π 
B) 852p
C) 3
568 π 
D) 568p
E) 1136p
2. El área lateral de un cono de revolución mide b y la distancia del 
centro de la base a una de sus generatrices mide a. Entonces el 
volumen de dicho cono es.
A) (ab) B) a b
3
+ C) ab
2 
D) (3ab) E) ab
3
3. Las bases de un tronco de cono de revolución son dos círculos 
de radios 3 y 6 unidades, respectivamente. Halla el radio de la 
esfera circunscrita, si la generatriz mide 5 unidades.
A) 7
5 96 u B) 8
3 97 u C) 8
5 96 u 
D) 8
3 96 u E) 8
5 97 u
4. El radio de la base de un cono circular recto mide R unidades y 
su altura mide H unidades. La altura del cilindro de mayor área 
lateral inscrito en el cono es:
A) H
9 B) H
2 C) H
3 D) H
5
2 E) H
4
3
5. Calcula el volumen de una pirámide de base triangular en la que 
dos de sus caras son triángulos equiláteros de lado L y las otras 
dos son triángulos rectángulos isósceles.
A) L
8 5
3
 B) L
12 5
3
 C) L
8 2
3
 
D) L
10 2
3
 E) L
12 2
3
 
6. El centro de la esfera inscrita en una pirámide cuadrangular 
regular coincide con el centro de la esfera circunscrita a dicha 
pirámide. La medida del ángulo diedro en una arista de la base es:
A) arccos( 1)3 - B) arccos( 1)2 -
C) arccos 2
2c m D) arccos 3
3c m
E) arccos 3
6c m
7. En la figura mostrada PA es perpendicular al plano del TABC y 
AB es perpendicular a BC. Si BC = a, m+ABP = q y m+BCP = a 
halla el volumen de la pirámide P - ABC.
A
C
B
P
A) a
12
3
tan2asen2q B) a
12
3
tanasen22q C) a
12
3
tanasen2q 
D) a
12
3
tan2asenq E) a
12
3
tanasen2q
	GEO_ACT_U1
	GEO_ACT_U2
	GEO_ACT_U3
	GEO_ACT_U4