Marque a alternativa que apresenta a integral ∭V e(x2+y2)3/2dV∭V e(x2+y2)3/2dV em coordenadas cilíndricas, onde V é o sólido limitado inferiormente pelo cone z2 =x2+y2z2 =x2+y2 e superiormente pelo paraboloide z =4−x2−y2z =4−x2−y2

2π∫02∫04−x2−y2∫√ x2+y2 ρ3 dzdρdθ∫02π∫02∫x2+y24−x2−y2 ρ3 dzdρdθ
2π∫02∫04−x2−y2∫√ x2+y2 ρeρ2 dzdρdθ∫02π∫02∫x2+y24−x2−y2 ρeρ2 dzdρdθ
2π∫04∫04−x2−y2∫√ x2+y2 eρ2 dzdρdθ∫02π∫04∫x2+y24−x2−y2 eρ2 dzdρdθ
2π∫02∫04−x2−y2∫√ x2+y2 ρ2eρ3 senθ dzdρdθ∫02π∫02∫x2+y24−x2−y2 ρ2eρ3 senθ dzdρdρdθ
π∫01∫04−x2−y2∫√ x2+y2 ρeρ3 dzdρdθ∫0π∫01∫x2+y24−x2−y2 ρeρ3 dzdρdθ

Question

Marque a alternativa que apresenta a integral ∭V e(x2+y2)3/2dV∭V e(x2+y2)3/2dV em coordenadas cilíndricas, onde V é o sólido limitado inferiormente...

Ed · Answer

Para resolver a integral tripla $\iiint_V e^{(x^2+y^2)^{3/2}} dV$ em coordenadas cilíndricas, onde $V$ é o sólido limitado inferiormente pelo cone $z^2 = x^2 + y^2$ e superiormente pelo paraboloide $z = 4 - x^2 - y^2$, precisamos fazer a mudança de variáveis para coordenadas cilíndricas.

Em coordenadas cilíndricas, temos:
- $x = \rho \cos \theta$
- $y = \rho \sin \theta$
- $z = z$
- $dV = \rho \, d\rho \, d\theta \, dz$

Os limites para $\rho$ vão de $0$ até $2$ (onde o paraboloide intercepta o plano $z=0$), e para $z$ vão de $\sqrt{x^2 + y^2} = \rho$ até $4 - \rho^2$.

Portanto, a integral em coordenadas cilíndricas fica:

$$
\int_0^{2\pi} \int_0^2 \int_{\rho}^{4 - \rho^2} e^{\rho^2} \rho \, dz \, d\rho \, d\theta
$$

Assim, a alternativa correta que representa essa integral é:

$$
2\pi \int_0^2 \int_{\rho}^{4 - \rho^2} e^{\rho^2} \rho \, dz \, d\rho \, d\theta
$$

Verifique as alternativas apresentadas para encontrar a que corresponde a essa forma.

Ed · Answer

A alternativa correta é a letra B) 2π∫02∫04−ρ2√4−ρ2ρeρ2dzdρdθ.

Para resolver a integral em coordenadas cilíndricas, é necessário primeiro determinar os limites de integração. O sólido é limitado inferiormente pelo cone z² = x² + y² e superiormente pelo paraboloide z = 4 - x² - y². Em coordenadas cilíndricas, essas superfícies são dadas por ρ² = z² e z = 4 - ρ², respectivamente.

Assim, os limites de integração para ρ, θ e z são:
- 0 ≤ ρ ≤ 2
- 0 ≤ θ ≤ 2π
- ρ² ≤ z ≤ 4 - ρ²

Substituindo a expressão para z em função de ρ na integral dada, temos:

∭V e(x²+y²)^(3/2) dV = ∫₀^(2π) ∫₀² ∫_(ρ²)^(4-ρ²) ρ e^(ρ²) (x²+y²)^(3/2) dz dρ dθ

Em coordenadas cilíndricas, x² + y² = ρ², então podemos substituir na integral:

∭V e(x²+y²)^(3/2) dV = ∫₀^(2π) ∫₀² ∫_(ρ²)^(4-ρ²) ρ e^(ρ²) ρ³ dz dρ dθ

Resolvendo a integral em relação a z, temos:

∭V e(x²+y²)^(3/2) dV = ∫₀^(2π) ∫₀² ∫_(ρ²)^(4-ρ²) ρ e^(ρ²) ρ³ (4 - ρ²) dρ dθ

Simplificando a expressão, temos:

∭V e(x²+y²)^(3/2) dV = ∫₀^(2π) ∫₀² ∫_(ρ²)^(4-ρ²) 4ρ^4 e^(ρ²) - ρ^6 e^(ρ²) dρ dθ

Integrando em relação a z, temos:

∭V e(x²+y²)^(3/2) dV = ∫₀^(2π) ∫₀² [2ρ^5 e^(ρ²) - (1/3)ρ^7 e^(ρ²)] |_ρ²^(4-ρ²) dρ dθ

Simplificando a expressão, temos:

∭V e(x²+y²)^(3/2) dV = ∫₀^(2π) ∫₀² [2ρ^5 e^(ρ²) - (1/3)ρ^7 e^(ρ²) - 2ρ^3 e^(4)] dρ dθ

Integrando em relação a ρ, temos:

∭V e(x²+y²)^(3/2) dV = ∫₀^(2π) [2/3 e^(4) (16 - 3) - 2 e^(4) + 1/2] dθ

Simplificando a expressão, temos:

∭V e(x²+y²)^(3/2) dV = 2π [2/3 e^(4) - 2 e^(4) + 1/2]

Resolvendo a expressão, temos:

∭V e(x²+y²)^(3/2) dV = π [1 - 4/3 e^(4)]

Cálculo

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

Respostas

Crie sua conta grátis para liberar essa resposta. 🤩

Ainda com dúvidas?

Essa pergunta também está no material:

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

Determine a integral de linha ∫C→F.d→γ∫CF→.dγ→ sendo o campo vetorial →F(x,y,z)=x2z^x+2xz^y+x2^zF→(x,y,z)=x2zx^+2xzy^+x2z^ e a curva C definida pela equação γ(t)=(t,t2,2t2)γ(t)=(t,t2,2t2), para 0≤t≤1.

3
2
5
4
1

Mais conteúdos dessa disciplina

Cálculo

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

Respostas

Crie sua conta grátis para liberar essa resposta. 🤩

Ainda com dúvidas?

Essa pergunta também está no material:

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

Determine a integral de linha ∫C→F.d→γ∫CF→.dγ→ sendo o campo vetorial →F(x,y,z)=x2z^x+2xz^y+x2^zF→(x,y,z)=x2zx^+2xzy^+x2z^ e a curva C definida pela equação γ(t)=(t,t2,2t2)γ(t)=(t,t2,2t2), para 0≤t≤1.32541

Mais conteúdos dessa disciplina

Determine a integral de linha ∫C→F.d→γ∫CF→.dγ→ sendo o campo vetorial →F(x,y,z)=x2z^x+2xz^y+x2^zF→(x,y,z)=x2zx^+2xzy^+x2z^ e a curva C definida pela equação γ(t)=(t,t2,2t2)γ(t)=(t,t2,2t2), para 0≤t≤1.

3
2
5
4
1