Marque a alternativa que apresenta a integral ∭V e(x2+y2)3/2dV∭V e(x2+y2)3/2dV em coordenadas cilíndricas, onde V é o sólido limitado inferiormente...

A alternativa correta é a letra B) 2π∫02∫04−ρ2√4−ρ2ρeρ2dzdρdθ. Para resolver a integral em coordenadas cilíndricas, é necessário primeiro determinar os limites de integração. O sólido é limitado inferiormente pelo cone z² = x² + y² e superiormente pelo paraboloide z = 4 - x² - y². Em coordenadas cilíndricas, essas superfícies são dadas por ρ² = z² e z = 4 - ρ², respectivamente. Assim, os limites de integração para ρ, θ e z são: - 0 ≤ ρ ≤ 2 - 0 ≤ θ ≤ 2π - ρ² ≤ z ≤ 4 - ρ² Substituindo a expressão para z em função de ρ na integral dada, temos: ∭V e(x²+y²)^(3/2) dV = ∫₀^(2π) ∫₀² ∫_(ρ²)^(4-ρ²) ρ e^(ρ²) (x²+y²)^(3/2) dz dρ dθ Em coordenadas cilíndricas, x² + y² = ρ², então podemos substituir na integral: ∭V e(x²+y²)^(3/2) dV = ∫₀^(2π) ∫₀² ∫_(ρ²)^(4-ρ²) ρ e^(ρ²) ρ³ dz dρ dθ Resolvendo a integral em relação a z, temos: ∭V e(x²+y²)^(3/2) dV = ∫₀^(2π) ∫₀² ∫_(ρ²)^(4-ρ²) ρ e^(ρ²) ρ³ (4 - ρ²) dρ dθ Simplificando a expressão, temos: ∭V e(x²+y²)^(3/2) dV = ∫₀^(2π) ∫₀² ∫_(ρ²)^(4-ρ²) 4ρ^4 e^(ρ²) - ρ^6 e^(ρ²) dρ dθ Integrando em relação a z, temos: ∭V e(x²+y²)^(3/2) dV = ∫₀^(2π) ∫₀² [2ρ^5 e^(ρ²) - (1/3)ρ^7 e^(ρ²)] |_ρ²^(4-ρ²) dρ dθ Simplificando a expressão, temos: ∭V e(x²+y²)^(3/2) dV = ∫₀^(2π) ∫₀² [2ρ^5 e^(ρ²) - (1/3)ρ^7 e^(ρ²) - 2ρ^3 e^(4)] dρ dθ Integrando em relação a ρ, temos: ∭V e(x²+y²)^(3/2) dV = ∫₀^(2π) [2/3 e^(4) (16 - 3) - 2 e^(4) + 1/2] dθ Simplificando a expressão, temos: ∭V e(x²+y²)^(3/2) dV = 2π [2/3 e^(4) - 2 e^(4) + 1/2] Resolvendo a expressão, temos: ∭V e(x²+y²)^(3/2) dV = π [1 - 4/3 e^(4)]