Análise de Treliças Planas

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A
B
C
D
E
1
A análise de treliças planas se baseia no equilíbrio de forças nos nós da estrutura. Sabendo disso, considere a
treliça plana da figura abaixo é empregada numa obra de construção civil, considerando   e
  e   , marque a opção correta sobre o valor dos esforços aplicados nas barras EC
e ED, respectivamente.
Fonte: YDUQS, 2023.
a  =  4 m
P   =  250 kN Q  =  500 kN
2066 kN, compressão e 2004 kN, tração.  
2066 kN, tração e 2004 kN, compressão.  
2066 kN, compressão e 2004 kN, compressão.  
2066 kN, tração e 2004 kN, tração.  
2004 kN, compressão e 2066 kN, tração.  
Treliças Planas
Opa! A alternativa correta é a letra A. Confira o gabarito comentado!
Analisando os esforços no nó E�
Podemos determinar θ pelo triângulo retângulo ABE�
Decompondo F , temos:
Aplicando as condições de equilíbrio:
Logo, 2066 kN, compressão e 2004 kN, tração
tg θ = = → θ = 14∘2
8
1
4
AD
FEDy
= FED ⋅ sen θ = FED ⋅ sen 14∘
FEDx
= FED ⋅ cos θ = FED ⋅ cos 14∘
+ ↑ ∑ Fy = 0 ∴ −500 − FEDy
= 0 ∴ −500 − FED ⋅ sen 14∘ = 0 ∴ FED = −500/0, 242
∴ FED = −2066kN(2066kN ↓,  compressão )
+ → ∑ Fx = 0 ∴ −FEC − FEDx
= 0 ∴ −FEC − (−2066) ⋅ cos 14∘ = 0 ∴ −FEC − 2066 ⋅ 0, 970
= 0 ∴ FEC = 2004kN(2004kN → ,tração )
2
O método dos nós é utilizado para determinar as forças internas em cada barra da treliça plana. Considere a
treliça da figura abaixo, sabendo que  e que as cargas  e  , assinale
a afirmativa correta sobre o esforço da barra AC.
a = 5 m, b = 2 m P   =  5 kN Q  =  15 kN
A
B
C
D
E
Fonte: YDUQS, 2023.
10 kN, compressão.  
7 kN, tração.  
7 kN, compressão.  
17,5 kN, tração.  
17,5 kN, compressão.  
Opa! A alternativa correta é a letra E. Confira o gabarito comentado!
Analisando os esforços no nó A�
Para determinar o valor da força na barra AC, precisamos apenas conhecer o valor da reação vertical em
do apoio A. Para isso, vamos calcular o momento no ponto B, e em seguida, analisar as foras verticais no
nó A.
Podemos determinar α pelo triângulo retângulo ACM�
+ ∪ ∑ MB = 0 ∴ −Ay ⋅ 10 − 5 ⋅ 2 + 15 ⋅ 5 = 0 ∴ Ay = 6, 5kN(6, 5kN ↑,  tração )
tg α = = 0, 4 → α = 21, 8∘
+ ↑ ∑ Fy = 0 ∴ Ay + FACy
= 0 ∴ Ay + FAC ⋅ sen 21, 8∘ = 0 ∴ 6, 5 + FAC ⋅ 0, 371 = 0
∴ FAC = −17, 5kN(17, 52kN ↓,  compressão )
2
5
A
B
C
D
E
3
Considere a estrutura de um telhado em que uma de suas vigas é uma treliça Pratt, apresentada na figura a
seguir:
 
Além disso, a treliça é plana isostática, apoiada sobre dois vínculos e carregamento sobre os seus nós.
Um estagiário possui uma ferramenta computacional capaz de resolver sistemas lineares com até 22 equações
lineares e 22 incógnitas. Dessa forma, decide determinar todas as reações nos apoios e as forças nas barras
dessa treliça. Antes de dar o input em seu programa, ele isola cada um dos "nós" e escreve as equações do
equilíbrio translacional para os eixos x e y, gerando as diversas equações lineares.
 
Sobre a possibilidade de o estagiário resolver ou não o problema, assinale a alternativa :
Não é possível utilizar a ferramenta para a resolução desse problema, pois as equações geradas a
partir do equilíbrio translacional de cada "nó" não são lineares.
Não é possível a utilização do software para resolver essa treliça, pois, mesmo que as equações
geradas sejam lineares, a quantidade �22) ultrapassa o limite da ferramenta disponível.
Não é possível a utilização da ferramenta que o estagiário possui, pois ela apresenta um limite máximo
de equações para o sistema. Para o caso dessa treliça Pratt, são 12 "nós", 21 barras e 3 reações de
apoios, somando um total de 36 equações lineares.
Não é possível a utilização da ferramenta disponível por sua limitação na quantidade de equações
lineares do sistema que é capaz de solucionar. No caso apresentado, são 24 equações lineares
provenientes do equilíbrio translacional dos 12 "nós".
É possível, pois são geradas 12 equações lineares a partir dos 12 "nós" da treliça apresentada.
Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado!
A resposta correta é: Não é possível a utilização da ferramenta disponível por sua limitação na quantidade
de equações lineares do sistema que é capaz de solucionar. No caso apresentado, são 24 equações
lineares provenientes do equilíbrio translacional dos 12 "nós".
A
B
C
D
E
Número de equações = Número de barras + número de reações = 21 � 3 � 24 
Ou seja, temos 24 equações, 24 incógnitas, mas o software só resolve até no máximo 22 equações,
portanto, não irá resolver o problema.
4
A figura a seguir representa uma treliça plana bi apoiada:
Fonte: Autor
Em função da posição da carga P, é nula a força na barra:
9.
7.
5.
3.
1.
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!
A resposta correta é: 7.
5
As treliças são estruturas formadas por elementos lineares (barras) conectados em nós. Elas são amplamente
utilizadas na engenharia civil para suportar cargas e transmiti-las aos pontos de apoio. Sabendo disso, assinale
A
B
C
D
E
a alternativa correta sobre as reações dos apoios A e B.
Fonte: YDUQS, 2023.
Reação vertical em A de 75 kN.
Reação vertical em B de 35,35kN.
Reação horizontal em B de 35,35kN.
Módulo da reação em B de 35,35kN.
Reação horizontal em A de 50kN.
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!
Analisando os esforços na treliça:
A
B
C
Módulo da reação do apoio B�
+ ↺ ∑ MB = 0 ∴  Ax ∙ 2 − 50 ∙ 1 − 25 ∙ 4 = 0   ∴  Ax = 75 kN  (75 kN →,  tração)
+ ↑ ∑ Fy = 0 ∴  −By − 25 = 0  ∴  By = −25 kN  (25 kN   ↓,  compressão)
+ → ∑ Fx = 0 ∴  Ax−Bx − 50 = 0   ∴  75 −Bx − 50 = 0 
∴ Bx =   − 25 kN  (25 kN ←,  compressão)
B = √(Bx)2 + (By)
2
= √(−25)2 + (−25)2 = 35, 35 kN
6
O método dos nós é uma técnica de análise de treliças planas que se baseia no equilíbrio de forças nos nós da
estrutura. A treliça plana da figura abaixo é empregada numa obra de construção civil, considerando 
  e  e , marque a opção correta sobre o valor dos esforços aplicados nas barras AB e
AD, respectivamente.
a = 5m
P = 100kN Q = 300kN
349 kN, compressão e 1443 kN, compressão.
349 kN, tração e 1443 kN, tração.  
349 kN, tração e 1443 kN, compressão.  
D
E
1443 kN, tração e 349 kN, compressão.  
1443 kN, compressão e 349 kN, tração.  
Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado!
Desenhando todos os esforços aplicadas na treliça, temos:
Calculando as reações dos apoios:
Analisando o nó A, temos:
 
Podemos determinar α pelo triângulo retângulo ABE�
Decompondo F , temos:
 
Aplicando as condições de equilíbrio:
 
+ ↑ ∑ Fy = 0 ∴  By − 100 − 300 = 0   ∴  By = 400 kN   ↑
+ ↺ ∑ MB = 0 ∴  Ax ∙ 2, 5 − 100 ∙ 5 − 300 ∙ 10 = 0   ∴  Ax = 1400 kN   →
+ → ∑ Fx = 0 ∴  Ax − Bx = 0   ∴  Bx = 1400 kN   →
tgα = = 4 → α = 76°10
2,5
AD
FADx
= FAD ⋅ sen α = FAD ⋅ sen 76∘
FADy
= FAD ⋅ cos α = FAD ⋅ cos 76∘
+ → ∑ Fx = 0 ∴ Ax + FADx
= 0 ∴ 1400 + FAD ⋅ sen 76∘ = 0 ∴ FAD = −
∴ FAD = −1443kN(1443kN ←,  compressão )
+ ↑ ∑ Fy = 0 ∴ FAB + FADy
= 0 ∴ FAB + FAD ⋅ cos 76∘ = 0 ∴ FAB − 1443 ⋅ 0, 242 = 0
∴ FAB = 349kN(349kN ↑,  tração )
1400
0, 970
A
B
C
D
E
Logo, 349 kN, tração e 1443 kN, compressão
7
Existem vários métodos que auxiliam na resolução das treliças, ou seja, na determinação das forças que agem
nas barras. Um desses métodos é chamado de "método dos nós". Em linhas gerais, aplica-se o equilíbrio
translacional nos eixos x e y, e duas equações são geradas. Esse passo é repetido algumas vezes. Supondo
uma treliça com um número grande de nós, o trabalho algébrico é demasiado. Nesses casos, a utilização de
uma ferramenta computacional é adequada. Que método pode ser aplicado?
Um método para a determinação de raízes - Newton Raphson, por exemplo.
Um método que resolva um sistema de equações lineares - Gauss Jordan, por exemplo.
Um método para a determinação de áreas sob uma curva - Regra de Simpson, por exemplo.
Um método para a determinaçãode EDO � Euller, por exemplo.
Um método para a otimização de equações lineares - Simplex, por exemplo.
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!
A resposta correta é: Um método que resolva um sistema de equações lineares - Gauss Jordan, por
exemplo.
Vários programas estão disponíveis para a resolução de sistemas lineares. Via de regra, eles utilizam
métodos conhecidos como de Cramer, Gauss-Jordan, decomposição LU etc. 
8
A treliça metálica representada na figura a seguir está submetida ao carregamento indicado:
A
B
C
D
E
                     Fonte: Autor
As letras maiúsculas representam os encontros das barras em nós rotulados. Sabendo que as barras AB, CD,
AC e BD têm o mesmo comprimento, assinale a alternativa :
Não há reação de apoio em D.
A barra BC está tracionada.
Os esforços nas barras AB e CD têm o mesmo valor.
A reação vertical em C é igual a 5t.
Nenhuma barra está sujeita a esforço nulo.
Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado!
A resposta correta é: Os esforços nas barras AB e CD têm o mesmo valor.
Não há reação de apoio em D. ¿ Falsa. O apoio D possui uma reação na componente y de 10t.
A barra BC está tracionada. Falso. Está sob compressão.
A reação vertical em C é igual a 5t. Falso. A reação vertical C é menor que 5t, pois divide a carga 5t com a
reação vertical em D.
Nenhuma barra está sujeita a esforço nulo. Falso. Nenhuma barra tem esforço nulo
Os esforços nas barras AB e CD têm o mesmo valor. Verdadeiro
Como todas as AB, CD, AC e BD tem o mesmo comprimento, vamos arbitrar o valor de 1 m.
Assim, o triângulo formado pelas barras CD, BD e BC tem lados com 1m, 1m e  , respectivamente. Valor
obtido aplicando o teorema de Pitágoras.
 
√2
A
B
C
D
Reações de apoio:
Método dos nós:
Ponto A�
Ponto D�
Ponto C�
Ponto B�
 
+ ↑ ∑ Fy = 0 ∴ −FAC − 5 = 0 ∴ FAC = −5t = 5t Compressoão 
+↑ ∑ Fy = 0 ∴ RDy + FBD = 0 ∴ FBD = 10t Tração 
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
+ ↑ ∑ Fy = 0 ∴ RCy + FAC + FBC ⋅ = 0 ∴ FBC = −20√2t = 20√2t Compressão 
+ ∑ Fx = 0 ∴ RCx + FCD + FBC ⋅ = 0 ∴ FCD = 10t Tração 
1
√2
1
√2
⎧⎨⎩
+ ↑ ∑ Fy = 0 ∴ −FBD − FBC ⋅ = 0 ∴ FBD = −20t = 20 t Compressão 
+ → ∑ Fx = 0 ∴ FAB − 10 − FBC ⋅ = 0 ∴ FAB = 10t Tração 
1
√2
1
√2
9
Uma treliça plana é composta por barras e nós, e é utilizada para suportar cargas e transmiti-las para os
apoios. O método dos nós e o método das seções são amplamente utilizados para analisar treliças. Em relação
a esses métodos, assinale a alternativa correta:
O método dos nós é usado para determinar as forças internas em cada barra da treliça, enquanto o
método das seções é usado para calcular a força total em um determinado segmento da treliça.
O método dos nós é usado para determinar as forças internas em cada barra da treliça, enquanto o
método das seções é usado para calcular as forças nos apoios da treliça.
O método dos nós é usado para determinar as forças totais em cada barra da treliça, enquanto o
método das seções é usado para calcular as forças nos apoios da treliça.
O método dos nós é usado para determinar as forças totais em cada barra da treliça, enquanto o
método das seções é usado para calcular as forças resultantes nas juntas da treliça.
E
A
B
C
D
E
O método dos nós é usado para determinar as forças totais em cada barra da treliça, enquanto o
método das seções é usado para calcular as forças resultantes em um determinado segmento da
treliça.
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!
O método dos nós é uma técnica de análise que envolve o equilíbrio de forças em cada nó da treliça,
permitindo determinar as forças internas em cada barra. Por outro lado, o método das seções consiste em
cortar a treliça em um segmento específico e analisar o equilíbrio de forças nessa seção, permitindo
calcular a força total nesse trecho.
10
Calcule as reações de apoio para a treliça apresentada a seguir:
                      Fonte: Autor
Nesse caso, encontram-se os seguintes valores para as reações verticais dos nós A e H, respectivamente:
5kN e 5kN
6kN e 4kN
3,5kN e 6,5kN
6,5kN e 3,5kN
3,0 kN e 7,0 kN
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!
Para calcular as reações de apoio em uma treliça, é necessário considerar o equilíbrio de forças e
momentos. Neste caso, as reações verticais nos nós A e H são de 6kN e 4kN, respectivamente. Isso pode
ser obtido ao somar as forças verticais e igualar a zero (pois a treliça está em equilíbrio) e ao fazer o
somatório dos momentos em relação a um ponto (geralmente um dos apoios) e igualar a zero. Portanto, a
alternativa correta é a B� 6kN e 4kN.