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Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 1 Va m os Começar Antiderivada e Integração Indefinida principal objetivo dessa aula é apresentar os conceitos de antiderivada, integrais indefinidas, integrais definidas e cálculo de áreas entre duas funções. Vamos começar com a definição da operação antiderivar e apresentar o conceito de primitiva de uma função. Apresentaremos também os diversos métodos de obtenção de primitivas de funções. Os conceitos de integral definida e cálculo de áreas entre funções também serão vistos. Exercícios sobre como calcular a integral indefinida e a integral definida de uma função são apresentados. Ao final dessa aula, o estudante deve ser capaz de: • Entender o que é uma primitiva de uma função; • Entender o conceito de integral indefinida de uma função; • Reconhecer os diversos métodos de integração de uma função; • Calcular a integral indefinida de uma função; • Entender o conceito de integral definida de uma função; • Aplicar o Teorema fundamental do cálculo; • Calcular a área entre duas funções. Na matemática aplicada ocorre freqüentemente conhecermos a derivada de uma função e desejarmos encontrar a própria função. A solução de problemas desse tipo necessita que se “desfaça” a operação de diferenciação, isto é, somos forçados a antiderivar. Se f e F são duas funções tais que ( ) ( )xfxF =' dizemos que F é uma antiderivada de f. Assim, ( ) 2xxF = é uma antiderivada de ( )xf , desde que ( ) xxDx 22 = . Se c é uma constante, então a função definida por cxy += 2 é também uma antiderivada de f, desde que ( ) xcxDx 22 =+ . Geralmente, definem-se antiderivada da seguinte maneira: O Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 2 Exemplo Exemplo Exemplo Definição: Uma função ( )xF é chamada uma primitiva (antiderivada) da função ( )xf em um intervalo I (ou simplesmente uma primitiva de ( )xf ), se para todo Ix∈ , temos ( ) ( )xfxF =' . A função ( ) 3 3x xF = é uma primitiva da função ( ) 2xxf = , pois ( ) ( )xfxxxF ==⋅= 223 3 1 ' . As funções ( ) 4 3 3 += x xG e ( ) ( )3 3 1 3 += xxH também são primitivas da função ( ) 2xxf = , pois ( ) ( ) ( )xfxHxG == '' . A função ( ) ( ) cxsenxF += 2 2 1 , onde c é uma constante, é primitiva da função ( ) ( )xxf 2cos= . Note que uma mesma função ( )xf admite mais que uma primitiva. Com isso, temos as seguintes proposições: Proposição: Seja ( )xF uma primitiva da função ( )xf . Então, se c é uma constante qualquer, a função ( ) ( ) cxFxG += também é primitiva de ( )xf . Proposição: Se ( )xf se anula em todos os pontos de um intervalo I, então F é constante em I. Proposição: Se ( )xF e ( )xG são funções primitivas de ( )xf no intervalo I, então existe uma constante c tal que ( ) ( ) cxFxG =− , para todo Ix∈ . Da proposição acima concluímos que se ( )xF é uma primitiva particular de f, então toda primitiva de f é da forma ( ) ( ) cxFxG += , onde c é uma constante. Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 3 Exemplo Sabemos que ( ) xx dx d cossen = . Assim, ( ) xxF sen = é uma primitiva da função ( ) xxf cos= e toda primitiva de ( ) xxf cos= é da forma ( ) cxxG += sen , para alguma constante c. Definição: Se ( )xF é uma primitiva de ( )xf , a expressão ( ) cxF + é chamada integral indefinida da função ( )xf e é denotada por: ( ) ( ) cxFdxxf +=∫ Da definição acima, decorre que: i. ( ) ( ) ( ) ( )xfxFcxFdxxf =⇔+=∫ ' . ii. ( )dxxf ∫ representa a família de todas as primitivas da função ( )xf . Propriedades da integral indefinida Proposição: Sejam f e g funções e k uma constante. Então: i. ( ) ( )dxxfkdxxfk ∫∫ = ii. ( ) ( )[ ] ( ) ( )dxxgdxxfdxxgxf ∫∫∫ ±=± Tabela de integração: as imediatas 1. du u c= +∫ 2. 1 , 1 1 n n uu du c n n + = + ≠ − +∫ 3. ln du u c u = +∫ 4. , 0, 1ln u u aa du c a a a = + > ≠∫ 5. u ue du e c= +∫ 6. sen cosu du u c= − +∫ 7. cos senu du u c= +∫ 8. tg ln secu du u c= +∫ 9. cotg ln senu du u c= +∫ 10. sec ln sec tgu du u u c= + +∫ Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 4 Exemplo 11. cosec ln cosec cotgu du u u c= − +∫ 12. sec tg secu u du u c= +∫ 13. cosec cotg cosecu u du u c= − +∫ 14. 2sec tgu du u c= +∫ 15. 2cosec cotgu du u c= − +∫ 16. 2 2 1 tg du u arc c u a a a = + +∫ 17. 2 2 2 2 1 ln , 2 du u a c u a u a a u a − = + > − +∫ 18. 2 2 2 2 ln du u u a c u a = + + + + ∫ 19. 2 2 1 sec du u arc c a au u a = + − ∫ 20. 2 22 2 ln du u u a c u a = + − + − ∫ 21. 2 2 2 2 sen , du u arc c u a aa u = + < − ∫ Usando as propriedade da integral indefinida e a tabela de integrais, podemos calcular a integral indefinida de algumas funções. Calcular a integral indefinida ( )dxx∫ + 53 . Solução: Aplicando as propriedades da integral indefinida, temos: ( ) ( ) ( )21 2 21 2 535 2 3 5 2 3 53 5353 ccx x cxc x dxdxx dxdxxdxx +++= =++ += =+= =+=+ ∫∫ ∫∫∫ Como 21 53 cc + é uma constante arbitrária, ela pode ser denotada por c. Assim o resultado pode ser escrito como cxx ++ 5 2 3 2 . Pode-se conferir a resposta calculando sua derivada: 535 2 3 2 += ++ xcxx dx d Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 5 Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo Calcular a integral indefinida ( )dxxxx∫ + 2seccostansec3 . Solução: Usando a tabela de integrais indefinidas e suas propriedades, temos: ( ) ( ) cxx cxcx dxxdxxxdxxxx +−= +−+= +=+ ∫ ∫∫ cotsec3 cotsec3 seccostansec3seccostansec3 21 22 Calcular a integral indefinida dx x x ∫ seccos sec2 . Solução: Temos que: ( ) cx dxxx dx x x x dx x x += = ⋅= ∫ ∫∫ sec tansec cos sen cos 1 seccos sec2 Calcular a integral indefinida dx x x∫ + 1 cos2 . Solução: Temos que: cxx c x x dxxdxx dx x dxxdx x x ++= ++= += += + ∫ ∫ ∫ ∫∫ − 2sen2 2 1 sen2 cos2 1 cos2 1 cos2 2 1 2 1 Calcular a integral indefinida dx xx xx∫ +− 72 2 cos sen e2 . Solução: Temos que: Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 6 Exemplo c x x c x x dxxdxxxdx dx x dx x x dxdx xx x x x x xx +−−= + − +−= +−= +−= +− − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ 6 6 7 7272 3 1 sece2 6 2sece2 2sectane2 2 cos sen e2 2 cos sen e2 Métodos de Integração: substituição Algumas vezes, é possível determinar a integral de uma dada função, aplicando uma das fórmulas básicas. Porém, essas fórmulas não mostram como calcular as integrais do tipo ∫ + dxxx 212 Para encontrar essa integral, usamos uma estratégia de mudança de variável. Esse processo é análogo à regra da cadeia para derivação e pode ser justificado como segue: Sejam ( )xf e ( )xF duas funções tais que ( ) ( )xfxF =' . Suponhamos que g seja outra função derivável tal que a imagem de g esteja contida no domínio de F. Podemos considerar a função composta gF o . Pela regra da cadeia, temos: ( )( )[ ] ( )( ) ( ) ( )( ) ( )xgxgfxgxgFxgF '''' ⋅=⋅= , isto é, ( )( )xgF é uma primitiva de ( )( ) ( )xgxgf '⋅ . Temos então, ( )( ) ( ) ( )( ) cxgFdxxgxgf +=⋅∫ ' Fazendo ( )xgu = , ( )dxxgdu '= e substituindo na integral acima, temos ( )( ) ( ) ( ) ( ) cuFduufdxxgxgf +==⋅ ∫∫ ' . Na prática, devemos então definir uma função ( )xgu = convenientemente, de tal forma que a integral obtida seja mais simples. Calcule a integral ∫ + dxxx212 . Para um exemplo com explicações detalhadas Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 7 Exemplo Exemplo Exemplo Solução: Fazendo 21 xu += , temos dxxdu 2= . Logo, ( ) ( ) cx cxcuc u duuduudxxxdxxx ++= =++=+=+= ===+=+ ∫∫∫∫ 32 2 3 22 32 3 2 1 22 1 3 2 1 3 2 3 2 2 3 2112 Calcule a integral ∫ + dxx x 21 2 . Solução: Fazendo 21 xu += , temos dxxdu 2= . Logo, cxcu u du dx x x ++=+== + ∫∫ 2 2 1lnln 1 2 Calcule a integral ∫ dxxxcossen 2 . Solução: Se fizermos xu sen= , dxxdu cos= . Logo, c x c u duudxxx +=+== ∫∫ 3 sen 3 cossen 33 22 Calcule a integral ∫ dxxtan Solução: Temos que: ∫∫ = dxx x dxx cos sen tan Fazendo xu cos= , dxxdu sen−= . Dessa forma, ( ) cxc x cxcx cu u du u du dx x x dxx +=+ =+=+−= =+−=−=−== − ∫ ∫∫∫ secln cos 1 lncoslncosln ln cos sen tan 1 Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 8 Exemplo Métodos de Integração: por partes Cada regra de diferenciação tem outra correspondente de integração. Por exemplo, a regra de substituição para integração corresponde à regra da cadeia para a diferenciação. Aquela que corresponde à regra do produto pra diferenciação é chamada integração por partes. A regra do produto estabelece que se f e g são funções diferenciáveis, então ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )xfxgxgxfxgxf ''' ⋅+⋅=⋅ . Na notação para integrais indefinidas, essa equação torna-se: ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )xgxfdxxfxgxgxf ⋅=⋅+⋅∫ '' , ou ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )xgxfdxxfxgdxxgxf ⋅=⋅+⋅∫ ∫ '' , ou ainda ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]dxxfxgxgxfdxxgxf ∫∫ ⋅−⋅=⋅ '' Na prática, costumamos fazer: ( ) ( )dxxfduxfu '=⇒= e, ( ) ( )dxxgdvxgv '=⇒= daí, ∫ ∫−= duvuvdvu que é a fórmula de integração por partes. Calcule a integral ∫ dxxx sen . Solução: Escolhendo xu = , dxxdv sen= , temos dxdu = e xv cos−= . Logo, ( ) cxxx dxxxx dxxxxdxxx ++−= +−= −−−= ∫ ∫∫ sencos coscos coscossen Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 9 Exemplo Exemplo Observe que, se tivéssemos escolhido xu sen= e dxxdv = , então dxxdu cos= e 2 2x v = . Assim, a integral por partes daria: ( ) ∫∫ −⋅= dxxx x xdxxx cos 2 1 2 sensen 2 2 Note que ∫ dxxx cos2 é uma integral mais difícil que aquela que começamos. Calcule a integral ∫ dxxln . Solução: Não temos muita escolha aqui para u e dv. Seja xu ln= e dxdv = . Então, dx x du 1 = e xv = . Integrando por partes, temos: cxxx dxxx dx x xxxdxx +−= −= ⋅−= ∫ ∫∫ ln ln 1 lnln Calcule a integral dxx x∫ e2 . Solução: Note que 2x se torna mais simples quando diferenciada, enquanto xe permanece inalterada quando derivarmos ou integrarmos. Logo, fazendo 2xu = e dxdv xe= , encontramos dxxdu 2= e xv e= . Assim, ∫∫ ⋅−= dxxxdxx xxx 2eee 22 ou, ∫∫ −= dxxxdxx xxx e2ee 22 A integral que obtivemos, ∫ dxx xe é mais simples que a integral original, mas ainda não é óbvia. Para resolvê-la, novamente aplicaremos integração por partes, fazendo xu = e dxdv xe= , encontrando dxdu = e xv e= . Dessa forma, ∫∫ +−=−= cxdxxdxx xxxxx eeeee Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 10 Exemplo Com isso, ( ) cxx cxxdxx xxx xxxx ++−= +−−=∫ e2e2e ee2ee 2 22 Calcule a integral dxxxsene∫ . Solução: Escolhendo xu e= e dxxdv sen= , temos dxdu xe= e xv cos−= e, dessa forma, ∫∫ +−= dxxxdxx xxx cosecosesene Novamente aplicamos integração por partes para resolver a integral resultante, escolhendo xu e= e dxxdv cos= , encontrando dxdu xe= e xv sen= , temos: dxxxdxx xxx ∫∫ −= senesenecose Logo, dxxxxdxx xxxx ∫∫ −+−= senesenecosesene Observe que a integral do 2º membro é exatamente igual à integral que queremos calcular. Somando dxxxsene∫ em ambos os membros, temos: xxdxx xxx senecosesene2 +−=∫ Logo, ( ) cxxdxx xx +−=∫ cossene2 1 sene Integrais Trigonométricas Sabemos da tabela de integrais imediatas que: ∫ +−= cuduu cossen e, ∫ += cuduu sen cos Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 11 A partir de agora, seria interessante sabermos as integrais das outras funções trigonométricas. • As integrais ∫ duutan e ∫ duucot As integrais das funções tangente e cotangente são resolvidas usando o método da substituição: ( ) cu c u cu cudu u u duu += + =+= +−== − ∫∫ secln cos 1 lncosln cosln cos sen tan 1 Da mesma forma, temos que: cudu u u duu +==∫ ∫ senlnsen cos cot • As integrais ∫ duusec e ∫ duuseccos Na integral da função secante, multiplicamos e dividimos o integrando por uu tansec + . ( ) ( ) du uu uuu duu ∫∫ + +⋅ = tansec tansecsec sec Se chamarmos de uuv tansec += , teremos ( )duuuudv 2sectansec += que é justamente o numerador da integral acima. Dessa forma, ( ) ( ) cuucv v dv du uu uuu duu ++=+== + +⋅ = ∫∫∫ tanseclnlntansec tansecsec sec Na integral da cossecante, multiplicamos e dividimos o integrando por uu cotseccos − : ( ) ( ) du uu uuu duu ∫∫ − −⋅ = cotseccos cotseccosseccos seccos Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 12 Exemplo Fazendo uuv cotseccos −= , temos ( )duuuudv 2seccoscotseccos +−= . Logo, ( ) ( ) cuucv v dv du uu uuu duu +−=+== − −⋅ = ∫∫∫ cotseccoslnlncotseccos cotseccosseccos seccos • As integrais ∫ duunsen e ∫ duuncos , onde n é um número inteiro positivo Sejam as seguintes identidades trigonométricas: 2 2 cos1 cos 2 2cos1 sen 1cossen 2 2 22 x x x x xx + = − = =+ Para resolvermos esses tipos de integrais, utilizaremos essas identidades visando a aplicação do método da substituição. Os exemplos a seguir ilustram os dois possíveis casos: quando n é par e quando n é ímpar. Calcule a integral ∫ dxx5cos . Solução: Sempre que tivermos n ímpar, procederemos da seguinte forma: ( ) ( ) ( ) xxxxx xxx xxxxx cossencossen2cos cossensen21 cossen1coscoscos 42 42 22225 +−= +−= −== Logo, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxxxdxxxx dxxxdxxxdxx dxxxxxxdxx ∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ +−= +−= +−= cossencossen2sen cossencossen2cos cossencossen2coscos 42 42 425 Para encontrarmos as integrais ( )∫ dxxx cossen 2 e ( )dxxx∫ cossen 4 usaremos o método da substituição, fazendo xu sen= e dxxdu cos= . Dessa forma, Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 13 Exemplo Exemplo ( ) ( ) cxxx dxxxdxxxxdxx ++−= +−= ∫∫∫ sen 5 1 sen 3 2 sen cossencossen2sen cos 53 425 Calcule a integral ∫ dxx4sen . Solução: Utilizando as identidades trigonométricas, temos: ( ) ( ) xx xx x x xx x xx 4cos 8 1 2cos 2 1 8 3 4cos 8 1 8 1 2cos 2 1 4 1 2 4cos1 2cos21 4 1 2cos2cos21 4 1 2 2cos1 sensen 2 2 224 +−= ++−= ++−= +−= −== Logo, cxxx dxxdxxdx dxxxdxx ++−= +−= +−= ∫ ∫ ∫ ∫∫ 4sen 32 1 2sen 4 1 8 3 4cos 8 1 2cos 2 1 8 3 4cos 8 1 2cos 2 1 8 3 sen 4 Para calcularmos as integrais ∫ dxx2cos e ∫ dxx4cos usamos o método da substituição. Note que esse procedimento é valido para potências pares de seno e cosseno. • As integrais ∫ duuu nm cossen , onde m e n são inteiros positivos Neste tipo de integral, fazemos uma preparação na função, de forma a aplicar o método da substituição. Calcule a integral ∫ dxxx 43 cossen . Solução: Temos que: Universidade Federal de Viçosa - Departamento de MatemáticaNotas de Aula - Cálculo I - Integrais 14 Exemplo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cxx dxxxdxxx dxxxx dxxxxdxxx ++−= −= −= = ∫∫ ∫ ∫∫ 75 64 42 4243 cos 7 1 cos 5 1 sencossencos sencoscos1 sencossencossen As integrais ( )∫ dxxx sencos4 e ( )dxxx sencos6∫ são calculadas usando o método da substituição, fazendo xu cos= e dxxdu sen−= . Calcule a integral ∫ dxxx 42 cossen . Solução: Temos que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xxx xxxxx xx x x xx x x xxx xxxxx xxx xx xxxx 2cos2sen 8 1 4cos 16 1 16 1 2cos2sen 8 1 2cos 8 1 4cos 16 1 16 1 2cos 8 1 8 1 2cos2sen1 2 4cos1 2cos1 8 1 2cos2cos 2 4cos1 2cos1 8 1 2cos2cos2cos1 8 1 2cos2cos22cos2cos2cos21 8 1 4 2cos2cos21 2 2cos1 2 2cos1 2 2cos1 cossencossen 2 2 2 2 32 322 2 2 22242 +−= +−−−+= −− + −+= − + −+= −−+= −−−++= ++ −= + −= = Logo, cxxx dxxxxdxxx ++−= +−= ∫∫ 2sen 48 1 4sen 64 1 16 1 2cos2sen 8 1 4cos 16 1 16 1 cossen 3 242 Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 15 Exemplo As integrais ∫ dxx4cos16 1 e dxxx∫ 2cos2sen8 1 2 foram calculadas usando o método da substituição. Calcule a integral ∫ dxxx 44 cossen . Solução: Se m e n são iguais, usamos a identidade xxx 2sen 2 1 cossen = . Dessa forma, temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xx xx x x xxx x xxxxxxx 8cos 128 1 4cos 32 1 128 3 8cos 128 1 128 1 4cos 32 1 64 1 2 8cos1 4cos21 64 1 4cos4cos21 64 1 4cos1 64 1 2 4cos1 16 1 2sen 16 1 2sen 16 1 2sen 2 1 cossencossen 22 2 224 4 444 +−= ++−= ++−= +−=−= −= == == Assim, cxxx dxxxdxxx ++−= +−= ∫∫ 8sen 1024 1 4sen 128 1 128 3 8cos 128 1 4cos 32 1 128 3 cossen 44 • As integrais ∫ duuntan e ∫ duuncot Sejam as seguintes identidades trigonométricas: 1sectan 22 −= uu e, 1seccoscot 22 −= uu Usaremos essas identidades visando o método da substituição. Temos que: ( )1sectan tantantan 22 22 −⋅= ⋅= − − uu uuu n nn e, Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 16 Exemplo ( )1seccoscot cotcotcot 22 22 −⋅= ⋅= − − uu uuu n nn Calcule a integral ∫ dxx5tan 3 . Solução: Temos que: ( ) xxx xx xxx 5tan5sec5tan 15sec5tan 5tan5tan5tan 2 2 23 −= −⋅= ⋅= Logo, ( ) cxx dxxdxxx dxxxxdxx +−= −= −= ∫ ∫ ∫∫ 5secln5tan 10 1 5tan5sec5tan 5tan5sec5tan5tan 2 2 23 As integrais acima foram calculadas usando o método da substituição. • As integrais ∫ duuecns e ∫ duunseccos , onde n é inteiro positivo Nesse caso, temos que se n é par, procederemos como no caso anterior, usando as identidades 1tansec 22 += uu e 1cotseccos 22 += uu . Temos que: ( ) ( ) uu uuu n n n 22 2 2 22 2 2 sec1tan secsecsec ⋅+= ⋅= − − e, ( ) ( ) uu uuu n n n 22 2 2 22 2 2 seccos1cot seccosseccosseccos ⋅+= ⋅= − − Quando n for ímpar, devemos aplicar o método de integração por partes. Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 17 Exemplo Exemplo Calcule a integral ∫ dxx6seccos . Solução: Temos que: ( ) ( ) ( ) xxxxx xxx xx xxx 22224 224 222 2226 seccosseccoscot2seccoscot seccos1cot2cot seccos1cot seccosseccosseccos ++= ++= ⋅+= ⋅= Dessa forma, ( ) cxxx dxxdxxxdxxx dxxxxxxdxx +−−−= ++= ++= ∫ ∫ ∫ ∫∫ cotcot 3 2 cot 5 1 seccosseccoscot2seccoscot seccosseccoscot2seccoscotseccos 35 22224 222246 As integrais acima foram calculadas usando o método da substituição. Calcule a integral ∫ dxx3sec . Solução: Nesta integral, usaremos integração por partes, fazendo: dxxxdxx 23 secsecsec ∫∫ = Chamando xu sec= e dxxdv 2sec= , temos dxxxdu tansec= e xv tan= . Dessa forma, ( ) ∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫ −++= −+= −−= −== dxxxxxx dxxdxxxx dxxxxx dxxxxxdxxxdxx 3 3 2 223 sectanseclntansec secsectansec sec1sectansec sectantansecsecsecsec Temos então, ∫∫ −++= dxxxxxxdxx 33 sectanseclntansecsec Somando ∫ dxx3sec em ambos os membros da equação acima, temos: xxxxdxx tanseclntansecsec2 3 ++=∫ Assim, Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 18 Exemplo Exemplo ( ) cxxxxdxx +++=∫ tanseclntansec2 1 sec3 • As integrais ∫ duuu nm sectan e ∫ duuu nm seccoscot onde m e n são inteiros positivos Quando m for ímpar ou n for par, podemos preparar o integrando visando o método da substituição. Quando m for par e n for ímpar, devemos utilizar integração por partes. Calcule a integral dxxx∫ 67 sectan . Solução: Como n é par, utilizaremos o método da substituição. Temos então, que: ( ) ( ) ( ) xxxxxx xxx xx xxxx 2729211 2247 2227 222767 sectansectan2sectan sec1tan2tantan sec1tantan secsectansectan ++= ++= += = Portanto, ( ) cxxx dxxxdxxxdxxx dxxxxxxxdxxx +++= ++= ++= ∫ ∫ ∫ ∫∫ 81012 2729211 272921167 tan 8 1 tan 5 1 tan 12 1 sectansectan2sectan sectansectan2sectansectan As integrais acima foram calculadas usando o método da substituição chamando xu tan= , com dxxdu 2sec= . Calcule a integral dxxx∫ 57 sectan Solução: Temos que: ( ) ( ) ( ) ( ) xxxxxx xxxxxx xxxx xxxxxx tansecsecsec3sec3sec tansecsec1sec3sec3sec tansecsec1sec secsectantansectan 46810 4246 432 43257 −+−= −+−= −= = Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 19 Exemplo Logo, ( ) cxxxx dxxxxdxxxx dxxxxdxxxx dxxxxxxxdxxx +−+−= −+ +−= −+−= ∫∫ ∫∫ ∫∫ 57911 46 810 4681057 sec 5 1 sec 7 3 sec 3 1 sec 11 1 tansecsectansecsec3 tansecsec3tansecsec tansecsecsec3sec3secsectan As integrais acima foram calculadas usando o método da substituição chamando xu sec= , com dxxxdu tansec= . Calcule a integral dxxx∫ 32 sectan . Solução: Note que temos m par e n ímpar. Dessa forma usaremos integração por partes. Assim, ( ) ( ) dxxdxx dxxx dxxxdxxx ∫∫ ∫ ∫∫ −= −= −= 35 35 3232 secsec secsec sec1secsectan Note que recaímos em duas integrais que devem ser resolvidas pelo método de integração por partes, como foi feito anteriormente. Assim, cxxxxxx dxxdxxdxxx ++−−= −= ∫∫∫ tansecln 8 1 tansec 8 1 tansec 4 1 secsecsectan 3 3532 Integração por Substituição Trigonométrica Muitas vezes, substituições trigonométricas convenientes nos levam à solução de uma integral. Se o integrando contém funções envolvendo expressões do tipo Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 20 Exemplo 22 ua − , 22 ua + ou 22 au − , onde a > 0 é possível fazermos uma substituição trigonométrica adequada. Vamos considerar cada forma com um caso separado: Caso 1: O integrando contém uma expressão da forma 22 ua − : Neste caso, usamos θsenau = . Então, θθ dadu cos= . Supondo que 22 π θ π ≤≤− , temos: ( ) θ θ θ θ cos cos sen1 sen 22 22 22222 a a a aaua = = −= −=− pois como 22 π θ π ≤≤− , 0cos ≥θ . Como θsen= a u , = a u arcsenθ Calcular a integral dx xx ∫ − 22 16 1 Solução: O integrando contém a expressão 216 x− , que é da forma 22 ua − , com 4=a . Logo, fazendo θsen4=x , para 22 π θ π ≤≤− . Segue-se que: ( ) θ θ θ θ cos4 cos16 sen116 sen161616 2 2 22 = = −= −=− x Como θsen4=x , θθ ddx cos4= . Substituindo na integral dada, temos: θ a u 22 ua − Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 21 ( ) c d d ddx xx +−== = ⋅ ⋅ = − ∫ ∫ ∫∫ θ θθ θ θ θθ θθ cot 16 1 seccos 16 1 sen 1 16 1 cos4 cos4sen16 1 16 1 2 2 222 Devemos agora, voltar à variável original x: Como θsen4=x , temos que θsen 4 = x . Como θ θ θ sen cos cot = , temos que x x 216 cot − =θ . Logo, c x x dx xx + − −= − ∫ 16 16 16 1 2 22 Caso 2: O integrando contém uma expressão da forma 22 ua + : Neste caso, usaremos θtanau = . Então, θθ dadu 2sec= . Supondo que 2 0 π θ <≤ , se 0≥u e 0 2 <<− θ π , se 0<u . ( ) θ θ θ θ sec sec tan1 tan 22 22 22222 a a a aaua = = += +=+ pois como 22 π θ π <<− , 1sec ≥θ Como θtan= a u , = a u arctanθ θ 4 x 216 x− θ a u 22 au + Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 22 Exemplo Calcule dxx∫ + 52 . Solução: Substituímos θtan5=x , onde 2 0 π θ <≤ , se 0≥x e 0 2 <<− θ π , se 0<x . Então, θθ ddx 2sec5= e, ( ) θ θ θ θ sec5 sec5 tan15 5tan55 2 2 22 = = += +=+x Logo, c d ddxx +++= = ⋅=+ ∫ ∫∫ θθθθ θθ θθθ tansecln 2 5 tansec 2 5 sec5 sec5sec55 3 22 Devemos voltar à variável original x: Como θtan5=x , θtan 5 = x . Temos que 5 5 sec 2 + = x θ . Logo, 5ln 2 5 ,5ln 2 5 5 2 1 5ln 2 5 5ln 2 5 5 2 1 55 5 ln 2 5 55 5 2 5 5 11 22 22 22 2 −=+++++= +−++++= ++ + +⋅ + =+∫ cccxxxx cxxxx c xxxx dxx θ 5 x 52 +x Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 23 Exemplo Caso 3: O integrando contém uma expressão da forma 22 au − : Neste caso, usamos θsecau = . Então, θθ tansecadu = . Supondo que 2 0 π θ <≤ ou 2 3π θπ <≤ , temos: ( ) θ θ θ θ tan tan 1sec sec 22 22 22222 a a a aaau = = −= −=− pois como 2 0 π θ <≤ ou 2 3π θπ <≤ , 0tan ≥θ Como θsec= a u , = a u arcsecθ Calcule a integral ∫ − 252x dx . Solução: Seja θsec5=x , θθ tansec5=dx . Daí, ( ) θ θ θ θ tan5 tan25 1sec25 25sec2525 2 2 22 = = −= −=−x Logo, cdd x dx ++=== − ∫∫∫ θθθθθθ θθ tanseclnsec tan5 tansec5 252 Voltando à variável x: θ a u 22 au − θ 5 x 252 −x Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 24 Exemplo Como θsec5=x , θsec 5 = x . Olhando a figura, temos que 5 25 tan 2 − = x θ . Logo, 5ln,25ln 5ln25ln 5 25 5 ln 25 11 2 2 2 2 −=+−+= +−−+= + − += − ∫ cccxx cxx c xx x dx Métodos de Integração: Frações Parciais Uma função racional ( )xf é a função definida como o quociente de duas funções polinomiais, ou seja, ( ) ( ) ( )xq xp xf = onde ( )xp e ( )xq são polinômios. Veremos, a partir de agora, como integrar a função f. A idéia básica é escrever a função racional dada como uma soma de frações mais simples. Proposição: Se ( )xp é um polinômio com coeficientes reais, ( )xp pode ser expresso como um produto de fatores lineares e/ou quadráticos, todos com coeficientes reais. O polinômio ( ) 232 +−= xxxq pode ser escrito como o produto dos fatores lineares 2−x e 1−x , ou seja, ( ) ( )( )12 −−= xxxq . A decomposição da função racional ( ) ( ) ( )xq xp xf = em frações mais simples está subordinada ao modo como o denominador ( )xq se decompõe nos fatores lineares e/ou quadráticos irredutíveis. Neste método de integração, consideramos que o coeficiente do termo de mais alto grau do polinômio do denominador ( )xq é 1 e que o grau de ( )xp é menor que o grau de ( )xq . Caso isso não ocorra, teremos que preparar o integrando. Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 25 Exemplo Caso 1: Os fatores de ( )xq são lineares e distintos: Neste caso, podemos escrever ( ) ( )( ) ( )naxaxaxxq −−−= L21 , onde os niai L1, = são distintos dois a dois. Nesse caso, escrevemos: ( ) n n ax A ax A ax A xf − ++ − + − = L 2 2 1 1 onde nAAA ,,, 21 L são constantes que devem ser determinadas. Calcular a integral dx xxx x ∫ −− − 2 1 23 Solução: Fatorando o denominador, temos: ( )( )12 1 2 1 23 +− − = −− − xxx x xxx x Assim, 122 1 23 + + − += −− − x C x B x A xxx x (1) Logo, a seguinte identidade é válida, tirando o mínimo da equação acima e igualando os numeradores: ( ) ( )( ) ( ) ( )21121 −++++−=− xCxxBxxxAx Para encontrarmos os valores de A, B e C, basta substituirmos x por 0, 2 e -1, respectivamente, na equação acima. Para x = 0: A21 −=− , logo 2 1 =A Para x = 2: B61 = , logo 6 1 =B Para x = -1: C32 =− , logo 3 2 −=C Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 26 Exemplo Substituindo esses valores na equação (1), temos: 1 3 2 2 6 1 2 1 2 1 23 + − + − += −− − xxxxxx x Logo, cxxx x dx x dx x dx dx xxx x ++−−+= + − − += −− − ∫∫ ∫∫ 1ln 3 2 2ln 6 1 ln 2 1 13 2 26 1 2 1 2 1 23 As integrais acima foram calculadas utilizando o método de integração por substituição simples. Caso 2: Os fatores de ( )xq são lineares sendo que alguns deles se repetem: Se um fator linear ( )iax − de ( )xq tem multiplicidade r, a esse fator corresponderá uma soma de frações parciais da forma: ( ) ( ) ( )i r r i r i ax B ax B ax B − ++ − + − − L 1 21 onde rBBB ,,, 21 L são constantes que devem ser determinadas. Calcular ( )∫ − − dx xx x 32 3 2 1 . Solução: A fração do integrando pode ser escrita como soma de frações parciais do seguinte modo: ( ) ( ) ( ) 2222 1 23232 3 − + − + − ++= − − x E x D x C x B x A xx x (1) Logo, tirando o mínimo e igualando o numerador na equação acima, temos: Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 27 ( ) ( ) ( ) ( )2222333 22221 −+−++−+−=− xExxDxCxxBxxAx (2) Para encontrarmos algumas constantes, basta substituirmos x por 0 e 2, na equação (2): Para x = 0: A81 −=− , logo 8 1 =A Para x = 2: C47 = , logo 4 7 =C Substituindo esses valores em (2) e expandindo as potências dos binômios, encontramos as outras constantes: ( ) ( ) ( )442 4 7 81268126 8 1 1 2223223233 +−+−++−+−+−+−=− xxExDxDxxxxxBxxxxx Colocando em evidência os termos comuns, temos: ( ) 18 2 3 42 4 7 12 4 3 46 8 1 1 2343 − −+ +−++−+ −+−++=− xBxEDBxEDBxEBx Igualando os coeficientes das potências iguais de x, temos: 08 2 3 042 4 7 12 4 3 146 8 1 0 =− =+−++− =−+− =+ B EDB EDB EB Resolvendo, temos: 16 3 , 4 5 , 16 3 −=== EDB Logo, voltando em (1): Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 28 Exemplo ( ) ( ) ( ) 2 16 3 2 4 5 2 4 7 16 3 8 1 2 1 23232 3 − − + − + − ++= − − xxxxxxx x Assim, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c x x xx xx cx xx x x x dx x dx x dx x dx x dx dx xx x + − + − −+− = +−− − − − −+−= − − − + − ++= − − ∫ ∫ ∫∫ ∫∫ 2 ln 16 3 28 41711 2ln 16 3 24 5 28 7 ln 16 3 8 1 216 3 24 5 24 7 16 3 8 1 2 1 2 2 2 23232 3 Caso 3: Os fatores de ( )xq são lineares e quadráticos irredutíveis sendo que os fatores quadráticos não se repetem: A cada fator quadrático cbxx ++2 de ( )xq , corresponderá uma fração parcial da forma cbxx DCx ++ + 2 Calcule ∫ −++ ++ dx xxx xx 3 452 23 2 Solução: Note que 1=x é raiz do polinômio ( ) 323 −++= xxxxq . Logo, podemos reescrever ( ) ( )( )321 2 ++−= xxxxq. Podemos então, reescrever o integrando na forma: ( )( ) 321321 452 3 452 22 2 23 2 ++ + + − = ++− ++ = −++ ++ xx CBx x A xxx xx xxx xx (1) Daí, tirando o mínimo e igualando os numeradores, temos: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )CAxCBAxBA CCxBxBxAAxAx xCBxxxAxx −++−++= −+−+++= −++++=++ 32 32 132452 2 22 22 Para um exemplo com explicações detalhadas Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 29 E então, =− =+− =+ 43 52 2 CA CBA BA Resolvendo esse sistema, temos: 6 9 , 6 1 , 6 11 === CBA Portanto, 32 6 9 6 1 1 6 11 3 452 223 2 ++ + + − == −++ ++ xx x xxxx xx Dessa forma, cdx xx x x dx xx x x dx dx xxx xx + ++ + +−= ++ + + − = −++ ++ ∫ ∫ ∫∫ 32 9 6 1 1ln 6 11 32 9 6 1 16 11 3 452 2 223 2 Note que a segunda integral é uma função racional cujo denominador é um polinômio quadrático irredutível que pode ser resolvida completando o quadrado do denominador e fazendo substituições convenientes. Temos que, somando e subtraindo 1 no denominador do integrando: ( ) ( ) 21 311232 2 22 ++= +−++=++ x xxxx e, portanto, ( )∫∫ ++ + = ++ + dx x x dx xx x 21 9 32 9 22 Fazendo 1+= xu , temos 1−= ux e dxdu = . Logo, Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 30 Exemplo ( ) ( ) c x xx c u u u du du u u du u u du u u dx x x + + −++= + −+= + + + = + + = + +− = ++ + ∫ ∫ ∫∫∫ 2 1 arctan 2 8 32ln 2 1 2 arctan 2 8 2ln 2 1 2 8 2 2 8 2 91 21 9 2 2 22 222 Logo, c x xxxdx xxx xx + + −+++−= −++ ++ ∫ 2 1 arctan 2 8 32ln 2 1 6 1 1ln 6 11 3 452 2 23 2 Caso 4: Os fatores de ( )xq são quadráticos irredutíveis repetidos Se ( )xq tem um fator quadrático irredutível cbxx ++2 com multiplicidade r, então, a esse fator corresponderá uma soma de frações parciais da forma: ( ) ( ) ( )cbxx BxA cbxx BxA cbxx BxA rr rr ++ + ++ ++ + + ++ + − 212 22 2 11 L Calcule a integral ( )∫ + −+− dx xx xxx 22 32 1 21 . Solução: Temos que: ( ) ( ) ( )111 21 22222 32 + + + + + += + −+− x EDx x CBx x A xx xxx (1) Daí, ( ) ( ) ( ) ( )1121 22232 ++++++=−+− xxEDxxCBxxAxxx (2) Para 0=x : 11 ⋅= A , logo 1=A . Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 31 Voltando em (2): ( ) ( ) ( ) ( ) ExExDxDxCxBxxx xxEDxxCBxxxxx ++++++++= ++++++⋅=−+− 324224 22232 12 11121 e, ( ) ( ) ( ) 12121 23432 ++++++++=−+− xECxDBExxDxxx Temos então: −=+ =++ −= =+ 1 22 1 01 EC DB E D Daí, 1,1,0,1,1 −=−==== EDCBA Voltando em (1): ( ) ( ) ( ) ( )1 11 1 011 1 21 22222 32 + −+− + + + += + −+− x x x x xxx xxx Assim, ( ) ( ) ( ) ( ) cxxxx dx x dx x x dx x x x dx dx x x dx x x x dx dx xx xxx +−+− + −= + − + − + += + + − + += + −+− ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ arctan1ln 2 1 12 1 ln 1 1 11 1 1 11 21 2 2 2222 22222 32 A integral definida A definição de integral definida está estritamente relacionada com as áreas de certas regiões do plano coordenado. Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 32 Seja R uma região em um plano coordenado, delimitada por duas retas verticais ax = e bx = e pelo gráfico de uma função f contínua e não-negativa no intervalo fechado [ ]ba, . R Como ( ) 0≥xf para todo [ ]bax ,∈ , o gráfico não tem parte alguma abaixo do eixo x. Queremos então, definir a área A de R. Para isso, fazemos uma partição do intervalo [ ]ba, , isto é, dividimos o intervalo [ ]ba, em n subintervalos, escolhendo os pontos bxxxxxxa nnii =<<<<<<<= −− 1110 LL Seja 1−−=∆ iii xxx , o comprimento do intervalo [ ]ii xx ,1− . Em cada um destes intervalos [ ]ii xx ,1− , escolhemos um ponto qualquer ic . Para cada i, ni ,,1 L= , construímos um retângulo de base ix∆ e altura ( )icf . y x b a y x xi-1 ci xi x0 x1 x2 xn-1 xn Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 33 A soma das áreas dos n retângulos, que representamos por nS , é dada por: ( ) ( ) ( ) ( )∑ = ∆=∆++∆+∆= n i iinnn xcfxcfxcfxcfS 1 2211 L Esta soma é chamada soma de Riemann da função ( )xf . Observe que à medida que n cresce muito, cada ix∆ , ni ,,1 L= , torna-se muito pequeno e a soma das áreas retangulares aproxima-se do que intuitivamente entendemos como área da região R. Definição: Seja ( )xfy = uma função contínua, não-negativa em [ ]ba, . A área sob a curva ( )xfy = , de a até b, é definida como: ( ) ( ) ( )[ ] ( ) i n i i n nn n xcf xcfxcfxcfA ∆= ∆++∆+∆= ∑ = ∞→ ∞→ 1 2211 lim lim L onde, para cada ni ,,1 L= , ic é um ponto arbitrário do intervalo [ ]ii xx ,1− . Definição: Seja f uma função definida no intervalo [ ]ba, e seja P uma partição qualquer de [ ]ba, . A integral definida de f de a até b, denotada por ( )∫ b a dxxf é dada por ( ) ( ) i n i i n b a xcfdxxf ∆= ∑∫ = ∞→ 1 lim desde que o limite exista. Neste caso, dizemos que f é integrável em [ ]ba, . Na notação ( )∫ b a dxxf , os números a e b são chamados limites de integração. Definição: Seja f uma função contínua em [ ]ba, e ( ) 0≥xf para todo [ ]bax ,∈ . Seja R a região limitada pela curva ( )xfy = , pelo eixo x e pelas retas ax = e bx = . Então, a medida A da área da região R é dada por: Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 34 ( )∫= b a dxxfA Definição: i) Se ba > , então ( ) ( )∫∫ −= a b b a dxxfdxxf , se ( )∫ a b dxxf existir. ii) Se ba = e ( )af existe, então ( ) 0=∫ a a dxxf Proposição: Se f é contínua em [ ]ba, , então f é integrável em [ ]ba, . Propriedades da integral definida Proposição: Se f é integrável em [ ]ba, e k é um número real arbitrário, então kf é integrável em [ ]ba, e, ( ) ( )∫∫ = b a b a dxxfkdxxkf Proposição: Se f e g são funções integráveis em [ ]ba, , então f + g é integrável em [ ]ba, e, ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ +=+ b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf Proposição: Se bca << e f é integrável em [ ]ca, e em [ ]bc, , então f é integrável em [ ]ba, e, ( ) ( ) ( )∫∫∫ += b c c a b a dxxfdxxfdxxf Proposição: Se f é uma função contínua em [ ]ba, , então ( ) ( )∫∫ ≤ b a b a dxxfdxxf Proposição: Se f é uma função contínua em [ ]ba, , existe um ponto c entre a e b tal que: ( ) ( ) ( )cfabdxxf b a −=∫ Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 35 Se ( ) 0≥xf , para todo [ ]bax ,∈ , podemos visualizar geometricamente esta proposição. Ela nos diz que a área abaixo da curva ( )xfy = , entre a e b, é igual à área de um retângulo de base ( )ab − e altura ( )cf . Proposição: Se f é integrável e se ( ) 0≥xf para todo [ ]bax ,∈ , então ( ) 0≥∫ b a dxxf . Proposição: Se f e g são integráveis em [ ]ba, e ( ) ( )xgxf ≥ para todo x em [ ]ba, , então: ( ) ( )∫∫ ≥ b a b a dxxgdxxf Integrais de funções simétricas: Suponha que f é contínua em [ ]aa,− : i. Se f for par ( ) ( )[ ]xfxf =− , então ( ) ( )dxxfdxxf aa a ∫∫ =− 02 . ii. Se f for ímpar ( ) ( )[ ]xfxf −=− , então ( ) 0=∫− a a dxxf . Teorema Fundamental do Cálculo O Teorema Fundamental do Cálculo nos permite relacionar as operações de derivação e integração. Ele nos diz que, conhecendo uma primitiva de uma função contínua [ ] ℜ→baf ,: , podemos calcular a suaintegral definida ( )∫ b a dxxf . y x b c a ( )cf ( )xfy = Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 36 A primeira parte desse teorema lida com funções definidas por uma equação da forma ( ) ( )dttfxg x a∫= onde f é uma função contínua em [ ]ba, e x varia entre a e b . Observe que g depende somente de x, que aparece como a variável superior do limite na integral. Se x for um número fixado, então ( )dttf x a∫ é um número definido. Se variarmos x, o número ( )dttf x a∫ também varia e define uma função de x denotada por ( )xg . Se f for uma função positiva, então ( )xg pode ser interpretada como uma área sob o gráfico de f de a até x, onde x varia de a até b. Teorema Fundamental do Cálculo: Suponha que f é contínua em [ ]ba, . i. Se ( ) ( )dttfxg x a∫= , então ( ) ( )xfxg =' . ii. ( ) ( ) ( )aFbFdxxf b a −=∫ , quando F for qualquer primitiva de f, isto é, ( ) ( )xfxF =' . y x b x a Área = ( )xg ( )tfy = Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 37 Exemplo Exemplo Exemplo Calcule a integral ∫ + 1 0 2 1 dx x x . Solução: Vamos primeiro, encontrar a integral indefinida. Fazendo 12 += xu , temos dxxdu 2= e 2 du dxx = . Dessa forma: ∫ ∫ ++=+==+ cxcuu du dx x x 1ln 2 1 ln 2 1 2 1 1 2 2 Pelo teorema fundamental do cálculo, temos: 2ln 2 1 1ln 2 1 2ln 2 1 1ln 2 1 1 1 0 2 1 0 2 = −= += +∫ xdxx x Note que, para resolver esta integral, também podemos fazer a mudança de variáveis na integral definida, desde que façamos a correspondente mudança nos limites de integração: Ao chamarmos 12 += xu , vemos que se 1,0 == ux e se 2,1 == ux . Daí, ( ) 2ln 2 1 1ln2ln 2 1 ln 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 0 2 =−=== + ∫∫ uu du dx x x Calcule a integral ∫ 2 0 cos π dtt . Solução: A função ( ) ttF sen= é uma primitiva de ( ) ttf cos= . Logo, 10sen 2 sensencos 2 0 2 0 =−==∫ ππ π tdtt Calcule a integral dxx x∫ +− 2 1 12e . Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 38 Exemplo Solução: Calcularemos primeiro a integral indefinida ∫ +− dxx x 1 2 e . Fazendo 12 +−= xu , dxxdu 2−= . Logo, ccdudxx xuux +−=+−=−= +−+− ∫∫ 11 22 e 2 1 e 2 1 e 2 1 e Dessa forma, 2 1 e 2 1 e 2 1 e 3 2 1 1 2 1 1 22 +−=−= −+−+−∫ xx dxx Calcule a integral ∫ − + 4 3 2 dxx . Solução: Temos que: ≥+ −<−− =+ 2,2 2,2 2 xsex xsex x Logo, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 2 37 42846 2 9 42 2 2 2 2 222 4 2 2 2 3 2 2 3 4 2 4 3 = −−++ +−−+−= ++ −−= ++−−=+ − − − − − −− ∫ ∫∫ x x x x dxxdxxdxx Cálculo de áreas O cálculo de áreas de figuras planas pode ser feito por integração. Caso 1: Cálculo da área da figura plana limitada pelo gráfico de f, pelas retas ax = , bx = e pelo eixo dos x, onde f é contínua e ( ) 0≥xf , para todo [ ]bax ,∈ . Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 39 Exemplo A Neste caso, a área é dada por ( )∫= b a dxxfA . Encontre a área limitada pela curva 24 xy −= e o eixo dos x. Solução: Os zeros da função 24 xy −= são 2− e 2. Logo, a área pedida será: No intervalo [ ]2,2− , 04 2 ≥−= xy , logo, a área pedida será dada por ( ) 3 32 3 8 8 3 8 8 3 44 2 2 32 2 2 = +−− −= −=−= −− ∫ x xdxxA Logo, 3 32 =A y x b a ( )xfy = y x 4 2 2− Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 40 Exemplo Caso 2: Cálculo da área da figura plana limitada pelo gráfico de f, pelas retas ax = , bx = e pelo eixo dos x, onde f é contínua e ( ) 0≤xf , para todo [ ]bax ,∈ . A Neste caso, basta tomar o módulo da integral ( )dxxf b a∫ , ou seja, ( )dxxfA b a∫= Encontre a área da região A, limitada pela curva xy sen= e pelo eixo dos x de 0 até π2 . Solução: Observe a figura: A1 A2 Note que precisaremos dividir a região A em duas sub-regiões 1A e 2A . No intervalo [ ]π,0 , 0sen ≥= xy , e no intervalo [ ]ππ 2, , 0sen ≤= xy . y x b a ( )xfy = y x 1 1− 0 2 π 2 3π π2 π Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 41 Temos então, que ( ) ( ) 4 1111 cos2cos0coscos coscos sensen 2 0 2 0 21 = −+−++−−= +−++−= −+−= += += ∫∫ πππ π π π π π π xx dxxdxx AAA Logo, A = 4 Caso 3: Cálculo da área da figura plana limitada pelos gráficos de f e g, pelas retas ax = , bx = , onde f e g são funções contínuas em [ ]ba, e ( ) ( )xgxf ≥ , para todo [ ]bax ,∈ . A A área da região A é calculada pela diferença entre a área sob o gráfico de f e a área sob o gráfico de g: ( ) ( ) ( ) ( )[ ]dxxgxf dxxgdxxfA b a b a b a ∫ ∫∫ −= −= y x ( )xfy = b a ( )xgy = Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 42 Exemplo Exemplo Encontre a área limitada pelas curvas 3xy = e xy = . Solução: Observe o gráfico abaixo: As curvas 3xy = e xy = interceptam-se nos pontos 1e0,1 ==−= xxx . No intervalo [ ]0,1− , 3xx < e no intervalo [ ]1,0 , 3xx > . Logo, ( ) ( ) 2 1 4224 1 2 42 0 1 24 1 0 3 0 1 3 = −+ −= −+−= − − ∫∫ xxxx dxxxdxxxA Logo, 2 1 =A . Encontre a área da região limitada por 2yx = e 2−= xy . Solução: Observe o gráfico abaixo: xy = y x 1 1 1− 1− 3xy = Para um exemplo com explicações detalhadas Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 43 A1 A2 Note que precisaremos dividir a região A em duas sub-regiões 1A e 2A . Para encontrarmos os limites de integração, procederemos da seguinte forma: Temos que: 2yx = e 22 +=⇒−= yxxy Dessa forma, ( )( ) 2ou1 021 02 2 2 2 =−= =−+ =−− += yy yy yy yy Se 11 =⇔−= xy e se 42 =⇔= xy . A área total é limitada superiormente por xy = no intervalo [ ]4,0 e limitada inferiormente por ≤≤− ≤≤− 41se,2 10se, xx xx Assim, para a área 1A , temos: ( )[ ] 3 4 0 3 4 3 4 2 1 0 2 31 0 1 0 1 =−===−−= ∫∫ xdxxdxxxA y x – 2 – 1 2 2yx = 2−= xy 4 Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 44 E, para área 2A : ( )[ ] ( ) 6 19 2 2 1 3 2 88 3 16 2 23 2 22 4 1 2 2 3 1 0 4 1 2 = +−− +−= +−= +−=−−= ∫∫ x x x dxxxdxxxA Logo, a área total será dada por: 2 9 6 19 3 4 21 =+=+= AAAT Alternativa: Integrar em relação à y. Temos que 2yx = e 22 +=⇔−= yxxy . Dessa forma, ( ) 2 9 6 27 6 7 3 10 3 1 2 2 1 3 8 4 2 4 3 2 2 2 2 1 322 1 2 ==+= +−− −+= −+=−+= −− ∫ y y y dyyyA 1. Resolva as integrais abaixo: a) ∫ dxx32 Resposta: c x + 2 4 b) ∫ + dxxx )3( 2 Resposta: c xx ++ 2 3 3 23 c) ∫ − dxx)5( Resposta: c x x +− 2 5 2 d) ∫ dxx 5 Resposta: cx +||ln5 e) ∫ + dx x x 62 Resposta: cxx ++ ||ln6 3 3 Resolva os exercícios abaixo para você compreender melhor a aula sobre Integrais definidas e indefinidas e sanar suas dúvidas. Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 45 f) ∫ + dxxx ))cos()(sen(Resposta: cxx ++− )sen()cos( g) ∫ −+ dxxx x 5 1 2 3 Resposta: cxx x +−+ − 2 5 32 1 23 2 h) ∫ dxx 3 Resposta: c x + 3/44 3 i) ∫ + + dxx x 2 21 1 Resposta: cxxarctg ++ 3 )( 3 j) ∫ dxex2 Resposta: cex +2 k) ∫ − dxex x )5)(sen( Resposta: cex x +−− 5)cos( l) ∫ dxx2 Resposta: c x + )2ln( 2 m) ∫ +− dxxxx )53( 24 Resposta: cxxx ++− 235 2 1 3 5 5 3 n) ∫ + dx x x 1 Resposta: cxx ++ 2/1 2/3 2 3 2 o) ∫ − dx x x 2 2 43 Resposta: c x x ++ 4 3 p) ∫ dx x2 1 Resposta: c x + −1 q) ∫ dx x3 1 Resposta: c x + − 22 1 r) ∫ dx x32 1 Resposta: c x + − 24 1 s) dxx 3 2∫ Resposta: cx +3/55 3 2. Calcule as integrais: a) ∫ + dxx34 1 Resposta: cx ++ |34|ln 3 1 b) ∫ − dxx5 1 Resposta: cx +−− |5|ln c) ∫ dxe x2 Resposta: ce x +22 1 d) ∫ + dxe x 32 Resposta: ce x ++322 1 e) ∫ dxxe x )cos()sen( Resposta: ce x +)sen( f) ∫ + dx x x 13 2 Resposta: ( ) cx ++ 2/13 1 3 2 g) ∫ + dx x x)ln(1 Resposta: cx ++ 2/3))ln(1( 3 2 h) ∫ + dxx 32 )13( Resposta: ( ) cx ++ 42 13 24 1 Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 46 i) ∫ + dxx x 32 4 2 Resposta: cx ++ )32ln( 2 j) ( )∫ + dxxx 21 22 Resposta: ( ) cx ++ 3 1 32 k) dxx 155∫ + Resposta: ( ) cx ++ 2/3153 2 l) dxx 12∫ − Resposta: ( ) cx +− 2/3123 1 m) ∫ − dxx 4)13(3 Resposta: c x + − 5 )13( 5 n) ∫ ++ dxxxx ))(12( 2 Resposta: c xx + + 2 )( 22 o) dxxx 23 32∫ − Resposta: c x + − 2/3 )2( 2/33 p) ∫ − − dx x x 22)21( 4 Resposta: c x + − − )21( 1 2 q) ∫ + dxxx 10)15( 22 Resposta: c x + + 3 )15( 32 r) ∫ + dx x x 12 Resposta: cx ++12 s) ∫ + dxxx 3)3( 23 Resposta: c x + + 2 )3( 23 3. Calcule as integrais definidas: a) ∫ + 1 0 32 )1( dxxx Resposta: 15/8 b) ∫ − 1 0 2 1 dxxx Resposta: 1/3 c) ∫ + 4 0 12 1 dx x Resposta: 2 d) ∫ + 9 1 2)1( 1 dx xx Resposta: 1/2 e) ∫ + 2 0 221 dx x x Resposta: 1 f) dxx 1 1 1∫− + Resposta: 23 4 g) ∫ + 2 0 3 )21( 2 dxx Resposta: 156 h) dxxx∫− −− 0 1 32)21)(4( Resposta: 0 i) ∫ 2 1 2)3( 1 dx x Resposta: 1/18 Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 47 4. Determine a área da região entre a parábola 24 xy −= e a reta 2+−= xy no intervalo [-2,3]. 5. Determine a área da região no primeiro quadrante delimitada pelas retas y = x e x = 2, a curva 2 1 x y = e o eixo x. 6. Resolva as integrais abaixo: 21. sen x dx∫ . 2 22. cos 2 sen 2x x dx∫ . 63. sen 3x dx∫ . 34. sen cosx x dx∫ . 5. tg secx x dx∫ . 56. cos 4x dx∫ . Respostas: 1. 1 cos sen 2 2 x x x c− + + . 2. 31 1sen 2 cos 2 cos2 sen 8 16 8 x x x x 2x c− + + + . 3. 5 31 5 5 5sen 3 cos3 sen 3 cos3 cos3 sen 3 18 72 48 16 x x x x x x x c− − − + + . 4. 41 sen 4 x c+ . 5. sec x c+ . 6. 4 21 1 2cos 4 sen 4 cos 4 sen 4 sen 4 20 15 15 x x x x x c+ + + . 7. Resolver as seguintes integrais: 2 2 1. 4 dx x x + ∫ . 2 2 2. 4 x dx x − ∫ . 29 4 3. x dx x − ∫ . 24. 9 4 dx x x+ ∫ . Respostas: 1. 2 4 4 x c x + − + . 2. 2 24 2ln 4 2 x x x x c − + + − + . 3. 2 2 1 3 9 49 4 ln 3 2 x x c x − − − + + . 4. 21 9 4 3 ln 3 2 x c x + − + . Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 48 8. Resolva as seguintes integrais: sen 1. 1 sen x dx x−∫ . 1 sen 2. 1 cos x dx x + −∫ . 1 3. 1 sen dx x+∫ . cos 4. 1 cos x dx x+∫ . Respostas: 1. 2 tg 1 2 x c x − − + − . 2. 2 1 ln tg 1 2ln tg 2 2 tg 2 x x c x − + + − + . 3. 2 tg 1 2 c x − + − . 4. tg 2 x x c − + + . Para saber mais sobre Integrais definidas e indefinidas, consulte as referências listadas abaixo... Para você começar ! • G. THOMAS, Cálculo, vol. 1, Addison Wesley, 2003. • J. STEWART, Cálculo, vol. 1, São Paulo, Thomson Learning, 2002. • H. ANTON, Cálculo um novo horizonte, vol. 1, Porto Alegre, Bookman, 2007. Quer aprof undar mai s um pouco? • L. LEITHOLD, O Cálculo com Geometria Analítica, vol. 1, São Paulo, Harbra, 1994 • E. D. PENNEY e Jr. C. H. EDWARDS, Cálculo com Geometria Analítica, vol. 1, Ed. Prentice-Hall, 1997. Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática Notas de Aula - Cálculo I - Integrais 49 • E. W. SWOKOWSKI, Cálculo com Geometria Analítica, vol. 1, Makron Books, 2ª edição, 1994 Gost a de desaf i os?? • H. L. GUIDORIZZI, Um Curso de Cálculo, vols. 1 e 2, Rio de Janeiro, LTC, 2001. • P. BOULOS, Introdução ao Cálculo, vols. 1 e 2, São Paulo, Edgard Blücher, 1974. • G. F. SIMMONS, Cálculo com Geometria Analítica, vol. 1, São Paulo, Ed. McGraw-Hill, 1987 Para os amant es da net ... • http://ecalculo.if.usp.br/
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