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Cálculo Integral Gabaritando Matemática 24 de junho de 2020 1 E aí, pessoal! Beleza? Está aqui um pdf todo organizado e na ordem do cronograma de estudos para quem deseja assistir o curso de Cálculo Integral do canal. Ele será atualizado no decorrer das postagens dos vídeos. Aqui neste PDF teremos um resumo com fórmulas, definições e os assuntos mais importan- tes de cada tópico, o link do vídeo com a aula do referido tópico e todas as questões resolvidas no canal, em ordem e por assunto, tudo bem organizado para o aluno conseguir estudar sozinho. Tudo disponibilizado no canal é gratuito! Exercícios, aulas e material, então eu peço a vocês que compartilhem esse material com seus amigos e outros estudantes, assim vocês ajudam a divulgar esse trabalho que está sendo feito com todo carinho e organização possível, além de ajudar a democratizar o ensino. Espero poder continuar fazendo esse mesmo trabalho com outras disciplinas, então é impor- tante o feedback de vocês nas aulas e resoluções de exercícios, curtindo, comentando e deixando críticas construtivas, beleza? Abraços e bons estudos. Algumas orientações para usar o PDF: Ao lado de cada questão estará a letra R e, ao clicar na letra, você irá acessar a resolução da questão em vídeo no Youtube. E ao lado de cada tópico estará a letra A indicando o link da aula sobre o assunto no Youtube. Para quem preferir, é só seguir as playlists de exercícios e aulas no canal, pois elas seguem a ordem dos assuntos deste pdf. A ideia é que vocês tentem resolver os exercícios sozinhos, depois da aula, e, somente após a tentativa de resolver, assistir a resolução. Exemplo: Se você assistiu a aula de substituição simples, os exercícios referentes à esse assunto estarão na playlist de exercícios com o nome do tópico e o número da questão ao final do título, por exemplo: Cálculo Integral: Exercícios de Substituição Simples - Questão 83. O exemplo anterior seria a questão número 83 do assunto de substituição simples que está neste pdf (os exercícios da playlist vão seguir a ordem dos vídeos de teoria). Alguns links: Playlist de aulas: Clique aqui. Playlist de exercícios: Clique aqui. Link do canal, com aulas, dicas e questões: Clique aqui. Facebook para acompanhar as novidades: Clique aqui. Os materiais que uso para produção das aulas são diversos, mas os principais são o livro do Guidorizzi e o material didático do curso de matemática do CEDERJ/UFF. https://www.youtube.com/playlist?list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz https://www.youtube.com/playlist?list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019 https://www.facebook.com/gabaritandomatematica/ Gabaritando Matemática Sumário 1 Introdução ao cálculo integral A1 e A2 3 1.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Propriedades da integral A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Exercícios com resoluções em vídeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Teorema Fundamental do Cálculo (Demonstração) 7 2.1 Primeira forma do TFC (Derivando a integral) A . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.1 Exercícios com resoluções em vídeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Calculando primitivas e integrais indefinidas A . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3 Segunda forma do TFC (Calculando a integral definida) A . . . . . . . . . . . 8 2.4 Lista de Integrais imediatas A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.4.1 Exercícios com resoluções em vídeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3 Técnica da substituição simples ou troca de variável A 10 3.0.1 Exercícios com resoluções em vídeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.1 Função par e função ímpar A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.1.1 Exercícios com resoluções em vídeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4 Técnica de integração por partes A 14 4.0.1 Exercícios com resoluções em vídeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 5 Área entre curvas A 16 5.0.1 Exercícios com resoluções em vídeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 6 Integração de Potências e Produtos de Funções Trigonométricas 20 6.0.1 Exercícios com resoluções em vídeo (Em breve) . . . . . . . . . . . . . . 23 7 Método de Substituição Trigonométrica A1 e A2 24 7.0.1 Exercícios com resoluções em vídeo (Em breve) . . . . . . . . . . . . . . 24 8 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais 25 8.0.1 Exercícios com resoluções em vídeo (Em breve) . . . . . . . . . . . . . . 26 1 https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019 https://www.youtube.com/watch?v=VcbHJymbuVw&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=1 https://www.youtube.com/watch?v=jJ2RpGOoUEs&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=2 https://www.youtube.com/watch?v=eqABKh9PFiM&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=3 https://www.youtube.com/watch?v=QZHsdIcLlfk&index=7&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz https://www.youtube.com/watch?v=vJauCqqTgEw&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=8 https://www.youtube.com/watch?v=4W1mmzNJSts&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=5 https://www.youtube.com/watch?v=6e9exnj7K2o&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=6 https://www.youtube.com/watch?v=1RUcliGeolk&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=8 https://www.youtube.com/watch?v=v_iU-ew7ot0&index=9&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz https://www.youtube.com/watch?v=KMKv04EDi7U&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=10 https://www.youtube.com/watch?v=JDz9qMLvI0o&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=11 https://www.youtube.com/watch?v=gBKfLMopr8g&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=12 https://www.youtube.com/watch?v=N_ayzC2H0FU&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=15 https://www.youtube.com/watch?v=MtBE1-WNTUI&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=16 Gabaritando Matemática 9 Integrais Impróprias 27 9.1 Tipo 1 - Integral sobre intervalo não limitado A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 9.2 Tipo 2 - Caso da descontinuidade infinita A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 9.3 Exercícios com resoluções em vídeo (Em breve) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 10 Critérios de convergência e divergência 29 10.1 Critério da Comparação A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 10.2 Exemplos referenciais A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 10.3 Extensão do critério da comparação A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 10.4 Critério do Limite do Quociente A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 10.5 Exercícios com resoluções em vídeo (Em breve) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 11 Volume de Sólidos 32 11.1 Método dos Discos e Arruelas A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 11.2 Método das Cascas Cilíndricas A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 11.3 Método das Seções transversais A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 11.4 Exercícios com resoluções em vídeo (Em breve) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 12 Comprimento de Curva e Área de Superfícies 35 13 Desafios 35 2 https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019 https://www.youtube.com/watch?v=-j6CSD9vaNQ&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=20 https://www.youtube.com/watch?v=i2aq_ODwx9U&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=21 https://www.youtube.com/watch?v=aZo6xQBqTBM&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=23 https://www.youtube.com/watch?v=fU-ezR__fQM&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=24 https://www.youtube.com/watch?v=HVC5wn_gdsA&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=25 https://www.youtube.com/watch?v=kd9om5Sb6g8&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=26 https://www.youtube.com/watch?v=R44j-Z0veQ8&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=27 https://www.youtube.com/watch?v=ujWC4-g_u_o&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=30https://www.youtube.com/watch?v=cNDut79P9T0&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=32 Gabaritando Matemática 1 Introdução ao cálculo integral A1 e A2 1.1 Definições 1. Se f está definida em x = a, definimos ∫ a a f(x)dx = 0. 2. Seja f : [a, b]→ < tal que f é uma função integrável em [a, b], tal que f(x) ≥ 0 em [a, b]. Definimos a área da região R limitada superiormente pelo gráfico de f , por baixo pelo eixo x, e lateralmente pelas retas x = a e x = b, como sendo o número R = ∫ b a f(x)dx 3. Caso a função seja f(x) ≤ 0 em [a, b], definimos, analogamente, a área como sendo R = − ∫ b a f(x)dx 4. ∫ b a f(x)dx = − ∫ a b f(x)dx Teorema - Continuidade implica integrabilidade Se f : [a, b]→ < é contínua em [a, b], então f é uma função integrável em [a, b]. 1.2 Propriedades da integral A 1. Integral da constante: ∫ b a cdx = c(b− a) 2. Integral da identidade: ∫ b a xdx = b 2 2 − a2 2 3. Constante vezes a função: ∫ b a αf(x)dx = α ∫ b a f(x)dx 4. Integral da soma é a soma das integrais: ∫ b a (f(x) ± g(x))dx = ∫ b a f(x)dx ± ∫ b a g(x)dx 5. Partição: ∫ b a f(x)dx = ∫ c a f(x)dx+ ∫ b c f(x)dx com c ∈ [a, b]. 6. Se f(x) ≥ 0 em [a, b], então ∫ b a f(x)dx ≥ 0. Decorre diretamente desse fato que se f(x) ≥ g(x) em [a, b], então ∫ b a f(x)dx ≥ ∫ b a g(x)dx. 7. Se m ≤ f(x) ≤M em [a, b], então m(b− a) ≤ ∫ b a f(x)dx ≤M(b− a) Teorema do valor médio para integrais A Se a < b e f : [a, b] → < é contínua em [a, b], então existe c ∈ [a, b] tal que ∫ b a f(x)dx = f(c)(b− a). 3 https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019 https://www.youtube.com/watch?v=VcbHJymbuVw&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=1 https://www.youtube.com/watch?v=jJ2RpGOoUEs&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=2 https://www.youtube.com/watch?v=eqABKh9PFiM&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=3 https://www.youtube.com/watch?v=nfioIrUP5QE&index=4&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz Gabaritando Matemática 1.2.1 Exercícios com resoluções em vídeo 1. Se f é uma função contínua sobre o intervalo [0, 5] que satisfaz ∫ 1 0 f(x)dx = 6, ∫ 2 0 f(x)dx = 4, ∫ 5 2 f(x)dx = 1, use as propriedades básicas da integral definida para encontrar cada uma das seguintes integrais definidas: R (a) ∫ 5 0 f(x)dx (b) ∫ 2 1 f(x)dx (c) ∫ 5 1 f(x)dx (d) ∫ 0 0 f(x)dx (e) ∫ 0 2 f(x)dx (f) ∫ 1 5 f(x)dx 2. O gráfico de f consiste de segmentos de reta e de um semicírculo de raio 2, como mostra a Figura. Calcule cada integral definida, usando fórmulas de geometria. R (a) ∫ 2 0 f(x)dx (b) ∫ 2 0 f(x)dx− ∫ 0 −2 f(x)dx (c) ∫ 6 2 f(x)dx (d) ∫ 2 −4 f(x)dx (e) ∫ 6 −4 3f(x)dx (f) ∫ 6 −4 |f(x)|dx 3. Calcule as integrais usando o gráfico e a interpretação geométrica da integral. R 4 https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019 https://www.youtube.com/watch?v=vSdPZtln1nU&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=3 https://www.youtube.com/watch?v=WKVMC-VhtgA&t=0s&index=53&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=2J5uiVOhREI&t=31s&index=3&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 Gabaritando Matemática (a) ∫ 0 −8 f(x)dx (b) ∫ 3 0 f(x)dx (c) ∫ 3 −8 f(x)dx (d) ∫ 12 3 f(x)dx (e) ∫ 20 12 f(x)dx (f) ∫ 20 −8 f(x)dx (g) ∫ 20 −8 |f(x)|dx (h) Calcule a área da região limitada pelo gráfico de f e pelo eixo x. 4. Use as propriedades básicas da integral definida para calcular cada expressão. Você pode assumir que ∫ b a xdx = b 2 − a2 2 e que ∫ b a x2dx = b 3 − a3 3 . Em cada caso faça um esboço do integrando no intervalo dado e interprete o resultado em termos de áreas. R (a) ∫ 4 −5 (4 + π)dx (b) ∫ 3 1 2xdx (c) ∫ 1 −2 (4− x2)dx (d) ∫ 4 1 (x2 − 6x+ 8)dx (e) ∫ 4 0 f(x)dx onde f(x) = 2x2, se 0 ≥ x ≤ 23x, se 2 < x ≤ 2 5. Seja f dada por f(x) = 4− x2, se − 2 ≥ x < 2x2 − 6x+ 8, se 2 ≥ x ≤ 4 . R (a) Esboce a região T compreendida entre o gráfico da função y = f(x) e o eixo x. (b) Cálcule a área da região T. (c) ∫ 4 −2 f(x)dx 6. Calcule cada integral usando as propriedades básicas da integral definida junto com fór- mulas apropriadas da geometria. R (a) ∫ 2 −2 (1− |x|)dx (b) ∫ 0 −3 (1 + √ 9− x2)dx (c) ∫ 3 0 |3x− 5|dx 7. Para cada uma das regiões mostradas a seguir, escreva uma integral definida que dê a área da região. (Não calcule a integral). R 8. Use as propriedades das integrais para verificar cada desigualdade, sem calcular as inte- grais. R 5 https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019 https://www.youtube.com/watch?v=rurGkRLhjcU&index=3&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=rurGkRLhjcU&index=3&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=Rg-AXRsTc5U&index=4&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=Rg-AXRsTc5U&index=4&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=IViclUWABFc&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=5 Gabaritando Matemática (a) ∫ π 4 0 sin3(x)dx ≤ ∫ π 4 0 sin2(x)dx (b) 2 ≤ ∫ 1 −1 √ 1 + x2 ≤ 2 √ 2 9. Use as propriedades das integrais definidas para verificar a veracidade ou falsidade das seguintes desigualdades sem calcular as integrais. R (a) ∫ 3 4 1 2 √ x 1− x > 0 (b) ∫ 3 0 x2 2− cos(x) < 0 6 https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019 https://www.youtube.com/watch?v=EB1ew6Dbsqo&index=6&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 Gabaritando Matemática 2 Teorema Fundamental do Cálculo (Demonstração) 2.1 Primeira forma do TFC (Derivando a integral) A Sejam a < b e f : [a, b] → R uma função contínua em [a, b]. Para cada x ∈ [a, b] definamos F (x) = ∫ x a f(t)dt. Teorema: A primeira forma do TFC diz que se a < b e f : [a, b]→ R é contínua em [a, b], então F é derivável em [a, b] e F ′(x) = f(x) para todo x ∈ [a, b]. 2.1.1 Exercícios com resoluções em vídeo 1. Mostre que G(x) = ∫ sinx 0 tndt é derivável em R e calcule a sua derivada. R 2. Mostre que G(x) = ∫ 0 x3 t cos tdt é derivável em R e calcule a sua derivada. R 3. Mostre que H(x) = ∫ x3 0 √ tdt é derivável em [0,+∞), sendo H(x) definida para todo x ∈ [0,+∞) e calcule a sua derivada. R 4. Mostre que H(x) = ∫ x3 x2 cos tdt é derivável em R e calcule a sua derivada. R 5. Mostre que G(x) = ∫ x2 − sin2 x √ 1 + t4dt é derivável em R e calcule a sua derivada. R 6. Mostre que H(x) = ∫ x3 √ x √ t sin(t)dt é derivável em (0,+∞), sendo H(x) definida para todo x ∈ [0,+∞) e calcule a sua derivada. R 7. Considere a funçãoG(x) = 2x+ ∫ x2 0 sin(2t) 1 + t2 dt. Mostre queG é derivável emR e determine: G(0) e G′(x). R 8. Assuma que f seja uma função contínua em R e que F (x) = ∫ x 0 f(t)dt = 2x4 + x2 . Deter- mine f(0). 9. Use a primeira forma do TFC para calcular a derivada das seguintes funções: (a) F (x) = ∫ x 3 2t√ t dt, x > 0. (b) F (x) = ∫ 0 x arcsin(t2)dt, −1 < x < 1. (c) F (x) = ∫ x2+sinx √ x 1 1 + t2dt, x > 0. (d) G(x) = x2 ∫ x2+sinx √ x 1 1 + t2dt, x > 0. 7 https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019 https://www.youtube.com/watch?v=QZHsdIcLlfk&index=7&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz https://www.youtube.com/watch?v=vJauCqqTgEw&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=8 https://www.youtube.com/watch?v=RQaYYCbWDD4&index=7&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=RQaYYCbWDD4&index=7&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=5C_1pr4wNoM&index=8&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=5C_1pr4wNoM&index=8&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=AOIV53ZJAhM&index=10&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=-SVacIAHHIM&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=10 https://www.youtube.com/watch?v=rKq4gj-pOEc&index=10&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 Gabaritando Matemática (e) y = ∫ 3x2 arctan(5x) sin(t2)dt. (f) y = ∫ e2x e4 √ x arctan(t2)dt, x > 0. 2.2 Calculando primitivas e integrais indefinidas A Seja f uma função definida num intervalo I. Uma primitiva de f em I é uma funçãoF definida em I, tal que F ′(x) = f(x) para todo x em I. A notação ∫ f(x)dx será utilizada para representar a família das primitivas de f . É comum referir-se a ∫ f(x)dx como a integral indefinida de f . 2.3 Segunda forma do TFC (Calculando a integral definida) A Teorema: A segunda forma do TFC diz que sejam a < b e f : [a, b]→ R é contínua em [a, b]. Se G : [a, b]→ R é derivável em [a, b] e G′ = f (G é qualquer primitiva de f), então∫ b a f(x)dx = G(b)−G(a). 2.4 Lista de Integrais imediatas A 1. ∫ xndx = x n+1 n+ 1 + C, n , −1 2. ∫ 1 x dx = ln |x|+ C 3. ∫ exdx = ex + C 4. ∫ axdx = a x ln(a) + C, a > 0, a , 1 5. ∫ cos(x)dx = sin(x) + C 6. ∫ sin(x)dx = − cos(x) + C 7. ∫ sec2(x)dx = tan(x) + C 8. ∫ csc2(x)dx = − cot(x) + C 9. ∫ sec(x) tan(x)dx = sec(x) + C 10. ∫ csc(x) cot(x)dx = − csc(x) + C 11. ∫ 1 1 + x2dx = arctan(x) + C 12. ∫ 1√ 1− x2 dx = arcsin(x) + C 13. ∫ − 1√ 1− x2 dx = arccos(x) + C 14. ∫ 1 |x| √ x2 − 1 dx = sec−1(x) + C 8 https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019 https://www.youtube.com/watch?v=4W1mmzNJSts&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=5 https://www.youtube.com/watch?v=6e9exnj7K2o&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=6 https://www.youtube.com/watch?v=1RUcliGeolk&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=8 Gabaritando Matemática 2.4.1 Exercícios com resoluções em vídeo Calcule as integrais definidas e indefinidas (divirtam-se): 1. ∫ 4 −1 (7x− 3)dx R 2. ∫ 2 1 1 x2 dx R 3. ∫ √x −25dx R 4. ∫ (x−4 + 3)dx R 5. ∫ 5√ x2dx R 6. ∫ 1 −2 1 x dx e ∫ 2 1 1 x dx R 7. ∫ ( 1 x2 + 1 x4 ) dx R 8. ∫ 2 −1 (x2 + |x|+ 2)dx R 9. ∫ 2 −3 |y − y3|dy R 10. ∫ 3π 4 0 | cosx|dx R 11. ∫ ( 1 3√x + x3 + sin x ) dx R 12. ∫ π 2 0 5 sin(x)dx R 13. ∫ π 4 −π6 6 sec2 θdθ R 14. ∫ ex 2 dy R 15. ∫ π 2 0 (5 sin x− 2 cosx)dx R 16. ∫ x √ xdx R 17. ∫ x3 + 1 x dx R 18. ∫ 16x x+ x3dx R 19. ∫ ( x−1 + 1 x2 ) dx R 20. ∫ ( x2 + 3 x ) dx R 21. ∫ (x5 + x+ 1 x2 ) dx R 22. ∫ 2 1 ( x+ 1 x ) dx R 23. ∫ ((n+1)xn+nxn−1+· · ·+3x2+2x+1)dx R 24. ∫ 1 2 0 25√ 1− x2 dx R 25. ∫ √3 2 0 −25√ 1− x2 dx R 26. ∫ e2xdx R 27. ∫ 1 0 e−xdx R 28. ∫ 3xdx R 29. ∫ (5x + e−x)dx R 30. ∫ 1 7xdx R 31. ∫ 4 3 53−xdx R 32. ∫ 85x 7 dx R 33. ∫ 8−5x + 26x 8x dx R 34. ∫ ( e4x + 1 ex ) dx R 35. ∫ bαxdx, b > 0, α , 0 R 36. ∫ tan2 tdt R 37. ∫ (cosx+ secx cosx ) dx R 9 https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019 https://www.youtube.com/watch?v=2TxrOtM8ZNc&index=11&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=2TxrOtM8ZNc&index=11&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=2TxrOtM8ZNc&index=11&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=jicSu0z5hi0&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=12 https://www.youtube.com/watch?v=jicSu0z5hi0&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=12 https://www.youtube.com/watch?v=jicSu0z5hi0&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=12 https://www.youtube.com/watch?v=jicSu0z5hi0&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=12 https://www.youtube.com/watch?v=rIlKW9mrSh0&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=13 https://www.youtube.com/watch?v=k4wBtV1emDo&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=14 https://www.youtube.com/watch?v=0XKombtUh0E&index=16&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=Ucl7kwRwqnE&index=17&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=Ucl7kwRwqnE&index=17&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=MctoXSTUzn0&index=18&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=MctoXSTUzn0&index=18&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=MctoXSTUzn0&index=18&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=Oyshia8ztjA&index=19&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=Oyshia8ztjA&index=19&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=Oyshia8ztjA&index=19&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=Oyshia8ztjA&index=19&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=R_NBqzk0iJs&index=21&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=R_NBqzk0iJs&index=21&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=R_NBqzk0iJs&index=21&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=R_NBqzk0iJs&index=21&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=510mKjSjSiE&index=21&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=510mKjSjSiE&index=21&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=EaBSRqHYLjs&index=22&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=EaBSRqHYLjs&index=22&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=EaBSRqHYLjs&index=22&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=x-3-B-0Jtbg&index=23&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=x-3-B-0Jtbg&index=23&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=x-3-B-0Jtbg&index=23&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=viI-pEVXN8Q&index=24&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=viI-pEVXN8Q&index=24&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=EqhMBkZLlSY&index=25&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=EqhMBkZLlSY&index=25&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=IHd_kT1OT5s&index=26&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=IHd_kT1OT5s&index=26&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 Gabaritando Matemática 3 Técnica da substituição simples ou troca de variável A Se u = g(x) é uma função diferenciável, f é uma função contínua e Im(g) ⊂ Dom(f), então Indefinida: ∫ f(g(x))g′(x)dx = ∫ f(u)du = F (u) + C = F (g(x)) + C. Onde F é uma primitiva de f . Definida: ∫ b a f(g(x))g′(x)dx = ∫ g(b) g(a) f(u)du. Ex: ∫ ex 10 x9dx A ideia é procurar a função g(x) que suspeitamos ser a substituição adequada, neste caso podemos ver que a derivada de u = x10 tem um x9, que é justamente a expressão que multiplica a composta, sendo assim, basta fazer u = x10 ⇒ du = 10x9dx, mas o que temos na integral é somente x9dx, para ajeitar isso, basta dividir por 10, ficando du10 = x 9dx, teremos então: ∫ eu du 10 = 1 10 ∫ eudu = e u 10 + C = ex 10 10 + C. Caso fosse uma integral definida ∫ 2 0 ex 10 x9dx, poderíamos simplesmente aplicar os limites de integração depois de achar a indefinida (que é o que eu aconselho e vou estar sempre fazendo nos vídeos) ou resolver a integral ∫ 2 0 ex 10 x9dx = ∫ 210 0 eu du 10 , pois x = 2 implica em u = 2 10 (u = x10) e x = 0 implica em u = 0. 3.0.1 Exercícios com resoluções em vídeo Calcule as integrais definidas e indefinidas (divirtam-se): 1. ∫ tan θdθ R 2. ∫ π 3 π 6 cot θdθ R 3. ∫ sin(5x)dx R 4. ∫ cos( √ 3x)dx R 5. ∫ ( x+ 15 cos 3x ) dx R 6. ∫ (1 3 cos 3x− 1 7 sin 7x ) dx R 7. ∫ (1 3e 3x − sin 3x ) dx R 8. ∫ π 2 −π2 cos x2dx R 9. ∫ tan2 2xdx R 10. ∫ sin2 xdx R 11. ∫ cos2 xdx R 12. ∫ π 2 0 (sin x+ cosx)2dx R 13. ∫ (x+ sec2 3x)dx R 14. ∫ (1− cos 2x)2dx R 15. ∫ sin2 2xdx R 10 https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019 https://www.youtube.com/watch?v=v_iU-ew7ot0&index=9&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz https://www.youtube.com/watch?v=oCaPyxrADyI&index=27&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=oCaPyxrADyI&index=27&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=A9CfScASsF0&index=28&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=A9CfScASsF0&index=28&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=A9CfScASsF0&index=28&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3https://www.youtube.com/watch?v=-IzfN12VdLw&index=29&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=-IzfN12VdLw&index=29&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=DZGVEzgEmMc&index=30&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=DZGVEzgEmMc&index=30&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=ypOSVqfDCZE&index=31&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=v-2jVzcXm3o&index=32&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=fDiGR5Og0Cg&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=34&t=0s https://www.youtube.com/watch?v=pZYYsub2k64&index=34&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=pZYYsub2k64&index=34&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=pwQN8Jg1_fw&index=35&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 Gabaritando Matemática 16. ∫ cos4 xdx R 17. ∫ f(αx)dx = 1 α ∫ f(u)du, α , 0 R 18. ∫ (cos(αx) + sin(αx) + eαx)dx, α , 0 R 19. ∫ 2350xdx R 20. ∫ 3040xdx R 21. ∫ √π 0 x cosx2dx R 22. ∫ xn sin xn x dx R 23. ∫ sin( 1 x7 ) 3x8 dx R 24. ∫ 1 x cos(x−n) xn dx R 25. ∫ 2π 0 √ 1 + cos xdx R 26. ∫ dx k + x R 27. ∫ 5dx 4x+ 3 R 28. ∫ 2dx 2x+ 3 R 29. ∫ 2x+ 3 x+ 1 dx R 30. ∫ ( 5 x− 1 + 2 x ) dx R 31. ∫ 1 0 (3x+ 1)4dx R 32. ∫ x(1 + x) 43dx R 33. ∫ 1 0 √ 3x+ 1dx R 34. ∫ x3 √ x4 + 1dx R 35. ∫ (x3 + 1)4x2dx R 36. ∫ ex √ 1 + exdx R 37. ∫ 1 0 t √ 1 + 3t2dt R 38. ∫ 2x 1 + x2dx R 39. ∫ 4 (1 + 2x)5dx R 40. ∫ x (1 + 4x2)2dx R 41. ∫ 1 0 dx (x+ 1)5 R 42. ∫ 8x (x2 + 16)2dx R 43. ∫ x3 (16 + x4)3dx R 44. ∫ 2 1 x2(x− 2)10dx R 45. ∫ x2ex 3 dx R 46. ∫ xn−1ex n dx R 47. ∫ x7x2 3 dx R 48. ∫ x4 3x5 dx R 49. ∫ (1 + sin x)2 cosxdx R 50. ∫ sin x cos2 xdx R 51. ∫ π 2 π 3 sin3 xdx R 52. ∫ cos3 xdx R 53. ∫ cosx sin5 xdx R 54. ∫ sin x √ cosxdx R 55. ∫ cos(2x)5sin(2x)dx R 56. ∫ sin 2x √ 5 + sin2 xdx R 57. ∫ sin(2x)3cos2 xdx R 11 https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019 https://www.youtube.com/watch?v=pwQN8Jg1_fw&index=35&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=n-l8VNx5Zwg&index=36&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=n-l8VNx5Zwg&index=36&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=n-l8VNx5Zwg&index=36&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=n-l8VNx5Zwg&index=36&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=qM6HjGSVQgo&index=37&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=qM6HjGSVQgo&index=37&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=wvSTQncPIZk&index=38&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=wvSTQncPIZk&index=38&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=-2LZSpW5IC8&index=39&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=VMXH0NjYWGE&index=40&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=VMXH0NjYWGE&index=40&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=VMXH0NjYWGE&index=40&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=VMXH0NjYWGE&index=40&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=1cEskvX3CKI&index=41&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 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https://www.youtube.com/watch?v=why3XkfXZgI&index=45&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=why3XkfXZgI&index=45&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=v63Ys9vuOnM&index=47&t=0s&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=v63Ys9vuOnM&index=47&t=0s&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=gtK87uleblg&index=48&t=0s&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=gtK87uleblg&index=48&t=0s&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=b3qDje3zKwg&index=49&t=0s&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=b3qDje3zKwg&index=49&t=0s&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=A3NEcSVZHs0&index=50&t=0s&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=A3NEcSVZHs0&index=50&t=0s&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=qfUGoHkGmKc&index=51&t=0s&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=qfUGoHkGmKc&index=51&t=0s&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=zQM9lAEKGiE&index=53&t=0s&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=zQM9lAEKGiE&index=53&t=0s&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=1jMUuLyc3ac&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=52 https://www.youtube.com/watch?v=1jMUuLyc3ac&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=52 https://www.youtube.com/watch?v=LW1y80pWaxg&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=53 Gabaritando Matemática 58. ∫ √lnπ 0 2xex2 cos(ex2)dx R 59. ∫ etanx cos2 xdx R 60. ∫ π 4 0 (1 + etanx) sec2 xdx R 61. ∫ ex cos2(ex − 2)dx R 62. ∫ sec2 x 3 + 2 tan xdx R 63. ∫ 18 tann x sec2 x (1 + tann+1 x)θ dx θ , 1, n , −1. R 64. ∫ 3arcsinx√ 1− x2 dx R 65. ∫ arctan x 1 + x2 dx R 66. ∫ 0 −1 x2 √ x+ 1dx R 67. ∫ 3 2 x2√ x3 − 1 dx R 68. ∫ ln √3 0 ex 1 + e2xdx R 69. ∫ t3 √ t2 + 2dt R 70. ∫ t2n−1 n √ tn + Adt, n , 0 R 71. ∫ ln x x dx R 72. ∫ lnn x x dx, n , −1 R 73. ∫ e4 e dx x √ ln x dx R 74. ∫ e 1 dx x(1 + ln2 x) dx R 75. ∫ dx x √ 1− ln2 x R 76. ∫ cosx 1 + sin xdx R 77. ∫ x+ 1 (x2 + 2x+ 2)2dx R 78. ∫ 1 + 4x√ 1 + x+ 2x2 dx R 79. ∫ dx 4 + (x− 1)2 R 80. ∫ 2 x2 + 2x+ 2dx R 81. ∫ x− 3 2x2 + 4x+ 10dx R 82. ∫ e√x√ x dx R 83. ∫ 1√ x(1 + x)dx R 84. ∫ 1√ x(1 + √ x)3dx R 85. ∫ sin √x √ x √ cos3 √ x dx R 86. ∫ 1 4 + x2dx R 87. ∫ x2 x2 + 4dx R 88. ∫ 2x− 3 1 + 4x2dx R 89. ∫ 1 k + ax2dx, a > 0, k > 0 R 90. ∫ 2√ 3 0 dx 4 + 9x2 R 91. ∫ x 16 + x4dx R 92. ∫ x3 1 + x8dx R 93. ∫ 8√ 16− x2 dx R 94. ∫ dt√ k − at2 , k > 0, a > 0 R 95. ∫ dx√ 9− 4x2 R 96. ∫ ex√ 1− e2x dx R 97. ∫ dx√ e2x − 1 R 12 https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019 https://www.youtube.com/watch?v=LW1y80pWaxg&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=53 https://www.youtube.com/watch?v=qWjwXHyMNUI&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=54 https://www.youtube.com/watch?v=qWjwXHyMNUI&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=54 https://www.youtube.com/watch?v=m3M_yZPJqH8&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=55 https://www.youtube.com/watch?v=AZMlRcEQNa4&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=56 https://www.youtube.com/watch?v=zQM9lAEKGiE&index=53&t=0s&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 https://www.youtube.com/watch?v=8EqJdx04wF4&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=57 https://www.youtube.com/watch?v=8EqJdx04wF4&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=57 https://www.youtube.com/watch?v=bLA64BZm9VY&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=58https://www.youtube.com/watch?v=5NnXhTfU2Zg&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=60 https://www.youtube.com/watch?v=k3GRsfVvIyI&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=61 https://www.youtube.com/watch?v=dJ-rdza9mvw&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=62 https://www.youtube.com/watch?v=dJ-rdza9mvw&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=61 https://www.youtube.com/watch?v=nm83M1VXiPw&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=62 https://www.youtube.com/watch?v=nm83M1VXiPw&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=62 https://www.youtube.com/watch?v=uflgkS4NI38&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=63 https://www.youtube.com/watch?v=6L3B-HULU2I&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=64 https://www.youtube.com/watch?v=35TjVzZh_Rs&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=65 https://www.youtube.com/watch?v=XJXppO2CMSA&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=66 https://www.youtube.com/watch?v=K4kOnSyd8o8&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=67 https://www.youtube.com/watch?v=6QMuVlkonMk&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=68 https://www.youtube.com/watch?v=flKomPmSWHg&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=69 https://www.youtube.com/watch?v=Ujeapk5sbvQ&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=70 https://www.youtube.com/watch?v=wGqB8DXd_Jc&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=71 https://www.youtube.com/watch?v=8DB3yk15DDg&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=72 https://www.youtube.com/watch?v=W08mzAWWAvQ&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=73 https://www.youtube.com/watch?v=-UlJ8qUtVy8&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=74 https://www.youtube.com/watch?v=1yvbQe28GYo&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=75 https://www.youtube.com/watch?v=T5QA7q21JuY&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=76 https://www.youtube.com/watch?v=T5QA7q21JuY&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=76 https://www.youtube.com/watch?v=kEs5MufaLzk&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=77 https://www.youtube.com/watch?v=uwLcCFuTH8M&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=78 https://www.youtube.com/watch?v=eAbdrVZnFCw&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=79 https://www.youtube.com/watch?v=mFKa8pS_2mU&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=80 https://www.youtube.com/watch?v=mFKa8pS_2mU&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=80 https://www.youtube.com/watch?v=tHaReGCJ3rQ&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=81 https://www.youtube.com/watch?v=4Zddc77ddjs&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=82 https://www.youtube.com/watch?v=4Zddc77ddjs&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=82 https://www.youtube.com/watch?v=yClk7e5QO1A&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=83 https://www.youtube.com/watch?v=t8FsB-orCrQ&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=84 Gabaritando Matemática 98. ∫ π 2 0 cosx√ 4− sin2 x dx 99. ∫ 1 −1 dx 1 + ex 100. ∫ e 1 2y2 + y + 1( ln y √ y + y 52 + y 32 )2dy 101. ∫ a 0 rdr 16 + 9r4 = 1 24 → a =? 102. ∫ 1 ex √ 1− e−2x dx 103. ∫ (x− 1)2 x2 + 3x+ 4dx 3.1 Função par e função ímpar A Função ímpar: Seja f uma função ímpar e contínua em [−r, r], r > 0, então∫ r −r f(x)dx = 0. Função par: Seja f uma função par e contínua em [−r, r], r > 0, então∫ 0 −r f(x)dx = ∫ r 0 f(x)dx e ∫ r −r f(x)dx = 2 ∫ 0 −r f(x)dx = 2 ∫ r 0 f(x)dx. 3.1.1 Exercícios com resoluções em vídeo 1. ∫ π 2 −π2 x2 sin x 1 + x6 dx 2. ∫ 1 −1 x √ x4 + 3dx 3. ∫ π −π sin x x4 + x2 + 1dx 13 https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019 https://www.youtube.com/watch?v=KMKv04EDi7U&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=10 Gabaritando Matemática 4 Técnica de integração por partes A Se f e g são funções diferenciáveis, então ∀x ∈ Dom(f) ∩Dom(g), (f(x) · g(x))′ = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x) . Aplicando a integral, temos f(x)g(x) = ∫ f ′(x)g(x)dx+ ∫ f(x)g′(x)dx ∫ f(x)g′(x)dx = f(x)g(x)− ∫ f ′(x)g(x)dx A integral ∫ f(x)g′(x)dx é a integral que queremos calcular e a integral ∫ f ′(x)g(x)dx deve ser mais ou tão simples quanto a integral original. Exemplo: ∫ xexdx, essa é uma integral onde a substituição simples não é efetiva e o integrando é uma multiplicação de funções, ou seja, tem justamente a "cara" da integração por partes. O primeiro passo é decidir quem vai ser f e quem vai ser g′, sabemos que a integral ∫ f ′gdx deve ser mais simples, então se escolhermos f = x e g′ = ex, teremos f ′ = 1 e g = ex (Sempre iremos integrar g′ para achar g, por isso a escolha deve ser feita observando se você sabe integrar a função escolhida para ser g′). Com essas escolhas teremos que integrar ∫ f ′gdx = ∫ exdx que é mais simples que a integral original. Caso a escolha fosse f = ex e g′ = x, teriamos f ′ = ex e g = x 2 2 , e a integral a ser resolvida seria ∫ x2 2 e xdx. Como vocês podem observar, a primeira escolha nos forneceu uma integral bem mais simples. Usando ela teremos: ∫ xexdx = xex − ∫ exdx = xex − ex + C = ex(x− 1) + C . Caso seja uma integral definida e sejam f e g duas funções com derivadas contínuas em [a, b], então ∫ b a fg′dx = fg]ba − ∫ b a f ′gdx . 4.0.1 Exercícios com resoluções em vídeo Calcule as integrais definidas e indefinidas (divirtam-se): 14 https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019 https://www.youtube.com/watch?v=JDz9qMLvI0o&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=11 Gabaritando Matemática 1. ∫ xexdx 2. ∫ x2exdx 3. ∫ 3xe4xdx 4. ∫ x2e−xdx 5. ∫ x3ex 2 dx 6. ∫ x225xdx 7. ∫ x cosxdx 8. ∫ x2 cosxdx 9. ∫ x3 cosx2dx 10. ∫ x cos √1 + x2√ 1 + x2 dx 11. ∫ ex cosxdx 12. ∫ e3x cos 5xdx 13. ∫ e2x sin xdx 14. ∫ e−y cos ydy 15. ∫ (x+ 1) sin(x)dx 16. ∫ sin 3x cos 2xdx 17. ∫ sin(ln x)dx 18. ∫ arctan xdx 19. ∫ 1 2 0 arcsin xdx 20. ∫ x arctan xdx 21. ∫ arctan √x√ x dx 22. ∫ 4 2 x sec−1 xdx 23. ∫ tan2 x sec3 x 24. ∫ ln xdxSó a 25. ∫ e 1 x ln xdx 26. ∫ x ln2 xdx 27. ∫ ln2 xdx 28. ∫ x4 ln xdx 29. ∫ ln(ln x) x dx 30. ∫ x2e−xdx 31. ∫ 4 1 e √ xdx 32. ∫ π2 0 cos √ xdx 33. ∫ 2x ex dx 34. ∫ 2 1 ln2 x x2 dx 35. ∫ x3√ 1− x2 dx 36. ∫ 7t csc2(3t)dt 37. ∫ π 2 0 e2 cosx sin 2xdx 38. ∫ x4(1− x)3dx 39. ∫ sin2 xdx 40. ∫ cos2 xdx 41. ∫ csc5 xdx 42. ∫ sec3 xdx 15 https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019 Gabaritando Matemática 5 Área entre curvas A Se f, g : [a.b]→ R são funções contínuas tais que f(x) ≥ g(x) para todo x ∈ [a, b], então a área da região R compreendida entre os gráficos das funções é exatamente 5.0.1 Exercícios com resoluções em vídeo 1. Calcule a área hachurada com umaintegral em relação a x. 2. Calcule a área hachurada com umaintegral em relação a x. 16 https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019 https://www.youtube.com/watch?v=gBKfLMopr8g&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=12 Gabaritando Matemática 3. Calcule a área hachurada com umaintegral em relação a x. 4. Calcule a área hachurada com umaintegral em relação a x. 5. Calcule a área hachurada com umaintegral em relação a x. 6. Calcule a área hachurada com umaintegral em relação a x. 17 https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019 Gabaritando Matemática 7. Calcule a área hachurada com umaintegral em relação a x. 8. Calcule a área hachurada com umaintegral em relação a y. 9. Calcule a área hachurada com umaintegral em relação a x. 18 https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019 Gabaritando Matemática 10. Calcule a área hachurada com umaintegral em relação a y. 11. Calcule a área hachurada com umaintegral em relação a x. 12. Calcule a área hachurada com umaintegral em relação a x. 19 https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019 Gabaritando Matemática 6 Integração de Potências e Produtos de Funções Trigo- nométricas Os métodos para resolver as integrais desse tópico são variados e o que mais importa nessas integrais é a resolução de questões para ter o feeling de saber o que fazer. Integrais com sin(x) e cos(x) A Tambémpoderíamos resolver as integrais a seguir usando integração por partes, mas o método não é tão rápido quanto o que veremos e se torna mais trabalhoso, vocês vão poder ver a resolução usando essa técnica na lista de exercícios de integração por partes. Primeiro caso:∫ sinn xdx e ∫ cosn xdx com n par. Nesse caso devemos usar as relações trigonométricas do cos2 x = 12 + 1 2 cos 2x e sin 2 x = 1 2 − 1 2 cos 2x para abaixar o grau do nosso integrando, as vezes, serão necessárias várias subs- tituições desse tipo. ∫ sinn xdx e ∫ cosn xdx com n ímpar. Nesse caso o procedimento é um pouco diferente e mais simples, basta usarmos uma subs- tituição simples. Por exemplo, vamos calcular a integral de ∫ sin3 xdx. A ideia é deixar apenas um sin x "sozinho" e usar a relação fundamental da trigonometria da seguinte forma ∫ sin3 xdx = ∫ sin2 x sin xdx = ∫ (1 − cos2 x) sin xdx, agora bastar usar a substituição cosx = u e obtemos uma integral imediata. Esse procedimento sempre funciona quando n é ímpar. Segundo caso:∫ sinn x cosm xdx com n ou m ímpar. Para resolver essa, nós fazemos uma substituição simples de acordo com o exemplo. A ideia é não tentar decorar, pois cada exemplo é um exemplo diferente, ok? Por exemplo, para ∫ sin4 x cos5 xdx, a ideia é ver qual está com a potência ímpar e usar a identidade fundamental da trigonometria. Nesse caso seria ∫ sin4 x cos5 xdx = ∫ sin4 x cos4 x cosxdx =∫ sin4 x(1− sin2 x)2 cosxdx, agora basta fazer sin x = u⇒ cosxdx = du e temos ∫ u4(1− u2)2du = ∫ (u8 − 2u6 + u4)du = u 9 9 − 2u7 7 + u5 5 = sin9 x 9 − 2 sin7 x 7 + sin5 x 5 + C. 20 https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019 https://www.youtube.com/watch?v=FtJGJmKTkrI&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=13 Gabaritando Matemática ∫ sinn x cosm xdx com n e m par. Para resolver essa, usaremos a identidade sin a cos a = sin(2a)2 em conjunto com técnicas similares as do primeiro e segundo casos. Por exemplo, para ∫ sin2 x cos4 xdx aplicando a identidade acima em sin2 x cos2 x, temos 1 4 ∫ sin2(2x) cos2 xdx, agora usando cos2 x = 12 + 1 2 cos 2x ficamos com 1 4 ∫ sin2(2x)1 + cos(2x)2 dx = 1 8 (∫ sin2(2x)dx+ ∫ sin2(2x) cos(2x)dx ) a partir daqui po- demos resolver usando os casos vistos anteriormente. Integrais com tan(x) e sec(x) A Primeiro caso:∫ tann x secm xdx com m par e positivo. Para resolver essa, nós utilizaremos a identidade sec2 x = 1 + tan2 x e faremos uma substi- tuição simples. Por exemplo, para ∫ sec4 x tan5 xdx, a ideia é deixar sec2 x aparecendo da seguinte forma∫ sec2 x tan5 x sec2 xdx e usar a identidade trigonométrica ∫ (1 + tan2 x) tan5 x sec2 xdx, agora bastar fazer tan x = u ⇒ sec2 xdx = du e temos ∫ (1 + u2)u5du = ∫ (u5 + u7)du = tan 6 x 6 + tan8 x 8 + C. ∫ tann x secm xdx com n ímpar e positivo. Para resolver essa, usaremos o fato de que (secx)′ = secx tan x e a identidade trigonomé- trica. Por exemplo, para ∫ tan5 x sec 32 xdx, a ideia vai ser deixar secx tan x aparecendo da se- guinte forma ∫ tan4 x sec 12 x secx tan xdx = ∫ (sec2 x− 1)2 sec 12 x secx tan xdx, e agora fazemos secx = u⇒ secx tan xdx = du tendo então ∫ (u2 − 1)2u 12du que é simples. ∫ tann x secm xdx com n par e m ímpar. Para resolver essa, usaremos a identidade trigonométrica sec2 x = 1+tan2 x para transformar a integral em uma que saibamos resolver. Por exemplo, para ∫ tan2 x secxdx, temos ∫ (sec2 x − 1) secxdx = ∫ (sec3 x − secx)dx que é uma integral que sabemos calcular. 21 https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019 https://www.youtube.com/watch?v=bTM7Dzeoxxk&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=14 Gabaritando Matemática Segundo caso:∫ tann xdx com n par ou ímpar. Para resolver essa, vamos fazer aparecer o sec2 x usando identidade trigonométrica com o intuito de reduzir o grau do integrando inicial e fazer aparecer integrais que sabemos resolver. Por exemplo, para ∫ tan4 xdx = ∫ tan2 x tan2 xdx = ∫ tan2 x(sec2 x− 1)dx, temos ∫ (tan2 x sec2 x− tan2 x)dx = ∫ tan2 x sec2 xdx− ∫ tan2 xdx que são integrais que sabemos resolver do caso anterior e técnicas anteriores. ∫ secn xdx com n par. Esse caso é mais simples, vamos usar a identidade trigonométrica sec2 x = 1 + tan2 x e uma substituição simples. Por exemplo, ∫ sec4 xdx = ∫ sec2 x sec2 xdx = ∫ (1 + tan2 x) sec2 xdx = ∫ (1 + u2)du pois u = tan x⇒ du = sec2 xdx. ∫ secn xdx com n ímpar. Neste caso, teremos que usar uma integração por partes. Da seguinte forma: iremos deixar um sec2 x aparecendo e usar ele como o nosso g′ da fórmula de integração por partes. Por exemplo, ∫ sec3 xdx = ∫ secx︸ ︷︷ ︸ f sec2 x︸ ︷︷ ︸ g′ dx daí temos que f ′ = secx tan x e g = tan x e utilizando a fórmula teremos∫ fg′dx = fg − ∫ f ′gdx⇒ ∫ sec3 xdx = secx tan x− ∫ secx tan2 xdx . Após isso vamos usar a identidade trigonométrica sec2 x = 1+tan2 x e ficar com ∫ sec3 xdx = secx tan x− ∫ secx(sec2 x−1)dx = secx tan x− ∫ sec3 xdx+ ∫ secxdx o segredo está em passar o − ∫ sec3 xdx para o lado esquerdo da igualdade. Dessa forma, ficamos com ∫ sec3 xdx = 12(secx tan x+ ∫ secxdx) = 12(secx tan x+ ln | secx+ tan x|) + C. Integrais com cot(x) e csc(x) e outros casos Os casos que aprendemos para integrais da tan x e secx também se aplicam para cotx e cscx, as técnicas são praticamente idênticas, sendo que a cotx fará o papel que a tan x fazia e cscx o papel da secx. 22 https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019 Gabaritando Matemática Obs: Aqui utilizaremos a identidade trigonométrica cot2 x + 1 = csc2 x e as derivadas (cscx)′ = − cscx cotx e (cotx)′ = − csc2 x. Existem muitas integrais que não vão estar no formato das que vimos aqui, mas basta dar uma arrumá-las, com relações trigonométricas, que conseguimos chegar em uma integral dos casos estudados ou em alguma outra que conseguimos resolver. O mais importante desse método é a resolução de questões e exemplos, tentar decorar puramente não vai ajudar e pode até atrapalhar. A ideia é entender como funcionam os métodos. 6.0.1 Exercícios com resoluções em vídeo (Em breve) Calcule as integrais definidas e indefinidas (divirtam-se): 1. ∫ secxdx 2. ∫ cscxdx 23 https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019 Gabaritando Matemática 7 Método de Substituição Trigonométrica A1 e A2 Este método será utilizado quando tivermos no integrando expressões como √ a2 − x2, √ a2 + x2 e √ x2 − a2 e não conseguimos resolver usando os métodos de integração anteriores. Resumo das aulas: 7.0.1 Exercícios com resoluções em vídeo (Em breve) 24 https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019 https://www.youtube.com/watch?v=N_ayzC2H0FU&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=15 https://www.youtube.com/watch?v=MtBE1-WNTUI&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=16 Gabaritando Matemática 8 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais Com este método iremos resolver integrais do tipo ∫ p(x) q(x)dx, onde p(x) e q(x) são polinômios. A ideia geral do método de integração por frações parciais é decompor uma função racional do tipo p(x) q(x) em funções racionais mais simples e que sabemos integrar, por isso vamos chamá- las de frações parciais. Usaremos o seguinte resultado sobre polinômios: Todo polinômio q(x), com coefici- entes reais, se decompõe como produto de polinômios da forma x − a, um para cada uma de suas raizes reais, ou de polinômios de grau dois, que não admitem raízes reais. Exemplo: Iremos ver que a integral ∫ x3 + 2x2 + 1 (x− 1)x3(x2 + 4)2(x2 + 2x+ 4)dx pode ser decom- posta da seguinte forma:∫ ( A1 x− 1 + A2 x + A3 x2 + A4 x3 + A5x+B5 x2 + 4 + A6x+B6 (x2 + 4)2 + A7x+B7 x2 + 2x+ 4 ) dx. O problema maior será calcular as constantes. Temos inúmeros métodos e macetes para agilizar isso. Nas vídeoaulas é explicado cada um deles. Importante: Sempre devemos ter a certeza de que o grau do polinômio do numerador é menor que o do denominador e o polinômio do denominador precisa estar decomposto em fatores irredutíveis. Caso 1: Fatores lineares distintos A Se grau p(x) < grau q(x)e q(x) = (x−a1)(x−a2) · · · (x−an), com raízes reais e distintas, então existem A1, · · · , An ∈ R tal que p(x) q(x) = p(x) (x− a1)(x− a2) · · · (x− an) = A1 x− a1 + A2 x− a2 + · · ·+ An x− an . Caso 2: Fatores lineares iguais A Se grau p(x) < grau q(x) e q(x) = (x−a)r, com raízes reais, então existem A1, · · · , An ∈ R tal que p(x) q(x) = p(x) (x− a)r = A1 x− a + A2(x− a)2 + · · ·+ An (x− a)r . Caso 3: Fatores irredutíveis de grau 2 A Para lidar com fatores irredutíveis de grau 2 (∆ < 0), devemos acrescentar frações parciais do tipo Ax+B ax2 + bx+ c às somas de frações parciais. 25 https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019 https://www.youtube.com/watch?v=CgZFb3MDBOI&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=17 https://www.youtube.com/watch?v=MG-0ZSS-yeM&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=18 https://www.youtube.com/watch?v=wKoily6kRZs&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=19 Gabaritando Matemática Caso a multiplicidade do termo de grau 2 seja maior do que 1, trabalharemos de forma semelhante à dos fatores lineares com multiplicidade, ou seja, p(x) (ax2 + bx+ c)r = A1x+B1 ax2 + bx+ c + A2x+B2 (ax2 + bx+ c)2 + · · ·+ Arx+Br (ax2 + bx+ c)r . 8.0.1 Exercícios com resoluções em vídeo (Em breve) 26 https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019 Gabaritando Matemática 9 Integrais Impróprias Integral imprópria é a integral que tem limite de integração infinito (podemos dizer integral sobre intervalos não limitados) ou é a integral de uma função que tem descontinuidade infinita em um ponto c tal que c ∈ [a, b]. Podemos também ter a mistura dos dois tipos e chamaremos de integral imprópria do tipo misto. Não deixe de assistir as aulas, iremos ver cada tipo separadamente. 9.1 Tipo 1 - Integral sobre intervalo não limitado A Neste caso, temos integrais com limite de integração infinito. Definições:∫ +∞ a f(x)dx = lim t→+∞ ∫ t a f(x)dx ∫ b −∞ f(x)dx = lim t→−∞ ∫ b t f(x)dx ∫ +∞ −∞ f(x)dx = lim t→−∞ ∫ c t f(x)dx+ lim s→+∞ ∫ s c f(x)dx As integrais são chamadas Convergentes se os respectivos limites existem (como números), e Divergentes se os limites não existem. 9.2 Tipo 2 - Caso da descontinuidade infinita A Neste caso, estaremos integrando uma função em um intervalo [a, b] e a função terá ponto de descontinuidade infinita nesse intervalo, nas extremidades, no interior ou em ambos. Definições: 27 https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019 https://www.youtube.com/watch?v=-j6CSD9vaNQ&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=20 https://www.youtube.com/watch?v=i2aq_ODwx9U&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=21 Gabaritando Matemática ∫ b a f(x)dx = lim t→a+ ∫ b t f(x)dx ∫ b a f(x)dx = lim t→b− ∫ t a f(x)dx ∫ b a f(x)dx = lim t→c− ∫ t a f(x)dx+ lim s→c+ ∫ b s f(x)dx As integrais são chamadas Convergentes se os respectivos limites existem (como números), e Divergentes se os limites não existem. Uma condição para convergência: Seja f uma função contínua, tal que [a,∞) ⊂ Dom(f). Se ∫ ∞ a f(x)dx convergir, então lim x→∞ f(x) = 0. A 9.3 Exercícios com resoluções em vídeo (Em breve) 28 https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019 https://www.youtube.com/watch?v=3V7_x7gQfcY&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=22 Gabaritando Matemática 10 Critérios de convergência e divergência Quando não podemos resolver uma integral imprópria diretamente (o que é muito frequente na prática), tentamos primeiro determinar se ela é convergente ou divergente. 10.1 Critério da Comparação A Este critério é bastante útil quando temos integrais com funções trigonométricas e exponenciais. Caso 1 (Intervalos não limitados:) Sejam f e g contínuas em [a,+∞), com 0 ≤ f(x) ≤ g(x) para qualquer x ≥ a. Se ∫ +∞ a g(x)dx converge, então ∫ +∞ a f(x)dx converge. Se a integral maior converge, então a menor converge. Se ∫ +∞ a f(x)dx diverge, então ∫ +∞ a g(x)dx diverge. Se a integral menor diverge, então a maior diverge. Caso 2 (Descontinuidade infinita): Sejam f e g contínuas em [a, b), com 0 ≤ f(x) ≤ g(x) para qualquer x ∈ [a, b). 29 https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019 https://www.youtube.com/watch?v=aZo6xQBqTBM&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=23 Gabaritando Matemática Se ∫ b a g(x)dx converge, então ∫ b a f(x)dx converge. Se a integral maior converge, então a menor converge. Se ∫ b a f(x)dx diverge, então ∫ b a g(x)dx diverge. Se a integral menor diverge, então a maior diverge. 10.2 Exemplos referenciais A Esses exemplos serão usados como referência nas questões de aula e nos exercícios das listas. Exemplos referenciais 1 (a > 0): 1) Se r > 1, então ∫ +∞ a 1 xr dx é convergente. Caso r ≤ 1, será divergente. 2) Se r > 0, então ∫ +∞ b e−rxdx é convergente. Exemplos referenciais 2 (b > 0): 3) Se r < 1, então ∫ b 0 1 xr dx é convergente. Caso r ≥ 1, será divergente. 10.3 Extensão do critério da comparação A Este critério é bastante útil quando temos funções que são negativas. Seja f : [a,∞) −→ R uma função contínua. Se ∫ ∞ a |f(x)|dx converge, então ∫ ∞ a f(x)dx converge. 10.4 Critério do Limite do Quociente A Este critério funciona bem com integrais impróprias de funções racionais. Sejam f e g funções contínuas em [a,+∞), tais que f(x) ≥ 0 g(x) > 0 e lim x→+∞ f(x) g(x) = L com L ∈ (0,+∞). Isto é, o limite do quociente é um número positivo. Então as integrais impróprias ∫ +∞ a f(x)dx e ∫ +∞ a g(x)dx comportam-se da mesma maneira. Ou seja, ambas convergem ou ambas divergem. Razão do funcionamento: Como lim x→+∞ f(x) g(x) = L, sabemos que f(x) ≈ Lg(x), para valores suficientemente grandes de x. Isso indica que o comportamento das integrais impróprias serão do mesmo tipo. 30 https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019 https://www.youtube.com/watch?v=fU-ezR__fQM&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=24 https://www.youtube.com/watch?v=HVC5wn_gdsA&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=25 https://www.youtube.com/watch?v=kd9om5Sb6g8&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=26 Gabaritando Matemática 10.5 Exercícios com resoluções em vídeo (Em breve) 31 https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019 Gabaritando Matemática 11 Volume de Sólidos Nesta seção, teremos um resumo de todos os métodos abordados em aula para o cálculo de volumes. É preciso que vocês tenham assistido as aulas para entender o resumo. 11.1 Método dos Discos e Arruelas A Este método será usado quando o sólido for de revolução. Abaixo temos as regiões que irão gerar os sólidos e a respectiva fórmula para o cálculo do volume. Revolução em torno do eixo Ox: 1. V = π ∫ b a [R(x)]2dx 2. V = π ∫ b a [ (R(x))2 − (r(x))2 ] dx Revolução em torno do eixo Oy: 1. V = π ∫ d c [R(y)]2dy 2. V = π ∫ d c [ (R(y))2 − (r(y))2 ] dy 32 https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019 https://www.youtube.com/watch?v=R44j-Z0veQ8&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=27 Gabaritando Matemática E quando a rotação é em torno de outros eixos? Nesse caso, prosseguimos conforme a aula A. 11.2 Método das Cascas Cilíndricas A Este método também será usado quando o sólido for de revolução. Abaixo temos as regiões que irão gerar os sólidos e a respectiva fórmula para o cálculo do volume. Revolução em torno do eixo Ox: 1. V = 2π ∫ d c r(y)h(y)dx 2. V = 2π ∫ d c r(y)( h(y)︷ ︸︸ ︷ m(y)− n(y))dx Revolução em torno do eixo Oy: 1. V = 2π ∫ b a r(x)h(x)dx 2. V = 2π ∫ b a r(x)( h(x)︷ ︸︸ ︷ f(x)− g(x))dx 33 https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019 https://www.youtube.com/watch?v=rrFNKuJiV6k&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=28 https://www.youtube.com/watch?v=ujWC4-g_u_o&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=30 Gabaritando Matemática E quando a rotação é em torno de outros eixos? Nesse caso, prosseguimos conforme a aula A. 11.3 Método das Seções transversais A Suponha que B seja um sólido limitado por dois planos perpendiculares ao eixo Ox, em x = a e x = b, e que para cadax ∈ [a, b] a área da seção transversal do sólido com o plano perpendicular ao eixo Ox seja dada pela função contí?nua A(x); então, o volume do sólido B é dado por V = ∫ b a A(x)dx. A ideia é a mesma quando os planos são perpendiculares ao eixo Oy, devendo fazer alguns ajustes. Este método será usado quando conseguimos descobrir a área de uma seção transversal genérica de um sólido, ou seja, a fórmula dessa área para qualquer valor escolhido num certo intervalo de integração. Abaixo temos as representações. 1. V = ∫ b a A(x)dx 2. V = ∫ d c A(y)dy 11.4 Exercícios com resoluções em vídeo (Em breve) 34 https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019 https://www.youtube.com/watch?v=LhEzQ8UqumY&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=31 https://www.youtube.com/watch?v=cNDut79P9T0&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=32 Gabaritando Matemática 12 Comprimento de Curva e Área de Superfícies 13 Desafios 1. ∫ (3x2 − 3x sin x+ 6x2 sin2 (x2 )) ( √ x− sin x)3 (x− sin x) √ x dx R 35 https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019 https://www.youtube.com/watch?v=fYlLiDvEqIs&list=PLMEYFgpgv2fb4vyhBJbKx0RUsCf2C1_1C&index=1 Introdução ao cálculo integral A1 e A2 Definições Propriedades da integral A Exercícios com resoluções em vídeo Teorema Fundamental do Cálculo (Demonstração) Primeira forma do TFC (Derivando a integral) A Exercícios com resoluções em vídeo Calculando primitivas e integrais indefinidas A Segunda forma do TFC (Calculando a integral definida) A Lista de Integrais imediatas A Exercícios com resoluções em vídeo Técnica da substituição simples ou troca de variável A Exercícios com resoluções em vídeo Função par e função ímpar A Função par: Exercícios com resoluções em vídeo Técnica de integração por partes A Exercícios com resoluções em vídeo Área entre curvas A Exercícios com resoluções em vídeo Integração de Potências e Produtos de Funções Trigonométricas Exercícios com resoluções em vídeo (Em breve) Método de Substituição Trigonométrica A1 e A2 Exercícios com resoluções em vídeo (Em breve) Integração de Funções Racionais por Frações Parciais Exercícios com resoluções em vídeo (Em breve) Integrais Impróprias Tipo 1 - Integral sobre intervalo não limitado A Tipo 2 - Caso da descontinuidade infinita A Exercícios com resoluções em vídeo (Em breve) Critérios de convergência e divergência Critério da Comparação A Exemplos referenciais A Extensão do critério da comparação A Critério do Limite do Quociente A Exercícios com resoluções em vídeo (Em breve) Volume de Sólidos Método dos Discos e Arruelas A Método das Cascas Cilíndricas A Método das Seções transversais A Exercícios com resoluções em vídeo (Em breve) Comprimento de Curva e Área de Superfícies Desafios
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