AP1-CL1-2011 2-Gabarito

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AP01 - Resposta - 2/2011 Ca´lculo I
Resposta da AP01 - Ca´lculo I
1aQuesta˜o. [2, 0 pontos]
Calcule os seguintes limites de func¸o˜es:
(a) lim
x→3
x3 − x2 − 6x
3x− 9 (b) limx→0
3 sen (2x)
5x
Soluc¸a˜o:
(a) lim
x→3
x3 − x2 − 6x
3x− 9 = limx→3
x(x− 3)(x + 2)
3(x− 3) =
15
3
= 5
(b) lim
x→0
3 sen (2x)
5x
=
3
5
lim
x→0
2 sen (2x)
2x
=
6
5
lim
x→0
sen (2x)
2x
=
6
5
2aQuesta˜o. [2, 0 pontos]
Encontre as ass´ıntotas verticais e as ass´ıntotas horizontais do gra´fico da func¸a˜o f dada
abaixo, fazendo um estudo completo dos limites infinito e no infinito:
f(x) =
2x− 1
x + 3
.
Soluc¸a˜o:
Temos que:
(i) lim
x→−3+
2x− 1
x + 3
= −∞, pois 2x− 1→ −7 e x + 3→ 0+, quando x→ −3+;
(ii) lim
x→−3−
2x− 1
x + 3
= +∞, pois 2x− 1→ −7 e x + 3→ 0−, quando x→ −3−;
(iii) lim
x→+∞
2x− 1
x + 3
= lim
x→+∞
x
(
2− 1
x
)
x
(
1 +
3
x
) = 2;
(iv) lim
x→−∞
2x− 1
x + 3
= lim
x→−∞
x
(
2− 1
x
)
x
(
1 +
3
x
) = 2.
De (i) e (ii), concluimos que x = −3 e´ a u´nica ass´ıntota vertical do gra´fico de f e, de
(iii) e (iv), concluimos que y = 2 e´ a u´nica ass´ıntota horizontal do gra´fico de f .
1
AP01 - Resposta - 2/2011 Ca´lculo I
3aQuesta˜o. [2, 0 pontos]
Encontre os valores de a e b para que a func¸a˜o f definida abaixo seja cont´ınua:
f(x) =

x− a, se x < 1
x2 − 2x + 1, se 1 ≤ x ≤ 4
3x + b, se x > 4
Soluc¸a˜o:
Para que a func¸a˜o f seja cont´ınua em x = 1 e em x = 4, devemos ter
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1−
f(x) = f(1) e lim
x→4+
f(x) = lim
x→4−
f(x) = f(4).
Temos que:
(i) f(1) = 0
(ii) f(4) = 9
(iii) lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
x2 − 2x + 1 = 0
(iv) lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
x− a = 1− a
(v) lim
x→4+
f(x) = lim
x→4+
3x + b = 12 + b
(vi) lim
x→4−
f(x) = lim
x→4−
x2 − 2x + 1 = 9
De (i) = (iii) = (iv) e (ii) = (v) = (vi), obtemos, respectivamente, as equac¸o˜es
1− a = 0 e 12 + b = 9. Da´ı, a = 1 e b = −3.
4aQuesta˜o. [2, 0 pontos]
Seja y = f(x) uma func¸a˜o deriva´vel definida implicitamente pela equac¸a˜o
y2 − 4xy + x2 = 1.
Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto P = (1, 4).
Soluc¸a˜o:
Derivando implicitamente, obtemos
dy
dx
=
4y − 2x
2y − 4x . Logo,
dy
dx
∣∣∣
x=1
=
4(4)− 2(1)
2(4)− 4(1) =
14
4
=
7
2
.
Segue que a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto P = (1, 4) e´:
2
AP01 - Resposta - 2/2011 Ca´lculo I
y = 4 +
7
2
(x− 1) = 7
2
x +
1
2
.
5aQuesta˜o. [2, 0 pontos]
Calcule da derivada de cada uma das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) =
5x
x2 + 1
(b) f(x) = (x2 − 1) sen (x)
Soluc¸a˜o:
(a) f ′(x) =
5(x2 + 1)− (5x)(2x)
(x2 + 1)2
=
5x2 + 5− 10x2
x4 + 2x2 + 1
=
−5x2 + 5
x4 + 2x2 + 1
(b) f ′(x) = 2x sen (x) + (x2 − 1) cos (x)
3