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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro GABARITO AD1 – CÁLCULO 1 – 1/2020 Código da Disciplina: EAD 1005 Questão 1 [2.4 pontos] A função f é definida no intervalo real I = [−3, 3] e seu gráfico é dado abaixo: Analise o gráfico de f e determine, se existirem, todas as constantes a ∈ I que satisfaçam: (a) lim x→a f(x) = −1 (b) lim x→a f(x) = 0 (c) lim x→a f(x) = 2 (d) lim x→a f(x) = 3 (e) lim x→a+ f(x) = −1 (f) lim x→a− f(x) = −1 (g) lim x→a+ f(x) = 0 (h) lim x→a− f(x) = 0 (i) lim x→a+ f(x) = 2 (j) lim x→a− f(x) = 2 (k) lim x→a+ f(x) = 3 (l) lim x→a− f(x) = 3 Solução: (a) @ a ∈ I! (b) a ∈ {−2, 0}! (c) a ∈ {−1.4,−1}! (d) a ∈ (1, 3)! (e) a = −3! (f) @ a ∈ I! (g) a ∈ {−2, 0}! (h) a ∈ {−2, 0, 1}! (i) a ∈ {−1.4,−1}! (j) a ∈ {−1.4,−1}! (k) a ∈ [1, 3)! (l) a ∈ (1, 3]! Questão 2 [ 2 pontos] Calcule os seguintes limites de funções: (a) lim x→5 5− x −6 + √ x2 + 11 (b) lim x→3 (x+ 1) sen(x2 − 9) x3 − x2 − 9x+ 9 Solução: Cálculo I 1/2020 Gabarito AD1 (a) lim x→5 5− x −6 + √ x2 + 11 = lim x→5 [ 5− x −6 + √ x2 + 11 · 6 + √ x2 + 11 6 + √ x2 + 11 ] = lim x→5 (5− x)(6 + √ x2 + 11) (x2 + 11)− 36 = lim x→5 (5− x)(6 + √ x2 + 11) x2 − 25 = lim x→5 (5− x)(6 + √ x2 + 11) (x− 5)(x+ 5) = lim x→5 ��� �(5− x)(6 + √ x2 + 11) −����(5− x)(x+ 5) = = lim x→5 6 + √ x2 + 11 −(x+ 5) = 12 −10 = −6 5 ! (b) lim x→3 (x+ 1) sen(x2 − 9) x3 − x2 − 9x+ 9 = lim x→3 (x+ 1) sen(x2 − 9) (x2 − 9)(x− 1) = lim x→3 [ x+ 1 x− 1 · sen(x 2 − 9) (x2 − 9) ] = = [ lim x→3 x+ 1 x− 1 ] · �� ��� ��� �� [ lim x→3 sen(x2 − 9) (x2 − 9) ] 1 = 2 ! Questão 3 [2.6 pontos] Considere a função f(x) = x+ 4√ x2 + 3x− 10 . (a) Determine o domı́nio da função f ; (b) Faça um estudo completo de todos os limites infinitos e no infinito da função f ; (c) Utilize o resultado do item (b) para determinar as equações das assı́ntotas horizontais e das assı́ntotas verticais, caso existam, do gráfico da função f . Solução: (a) D(f) = {x ∈ R; x2 + 3x− 10 > 0} = {x ∈ R; (x+ 5)(x− 2) > 0} = = {x ∈ R; x < −5 ou x > 2}. ! (b) Os limites infinitos e no infinito da função f são: ¶ lim x→−5− x+ 4√ x2 + 3x− 10 = −∞, pois x + 4 → −1 < 0 e √ x2 + 3x− 10 → 0+ quando x→ −5−; ! · lim x→2+ x+ 4√ x2 + 3x− 10 = +∞, pois x + 4 → 6 > 0 e √ x2 + 3x− 10 → 0+ quando x → 2+; ! ¸ lim x→+∞ x+ 4√ x2 + 3x− 10 = lim x→+∞ x√ x2 = lim x→+∞ x |x| = lim x→+∞ �x �x = 1; ! ¹ lim x→−∞ x+ 4√ x2 + 3x− 10 = lim x→−∞ x√ x2 = lim x→−∞ x |x| = lim x→+∞ �x −�x = −1. ! (c) De ¶ e ·, concluı́mos que as retas x = −5 e x = 2 são as assı́ntotas verticais do gráfico de f e, de ¸ e ¹, concluimos que as retas y = 1 e y = −1 são as assı́ntotas horizontais do Professora Cristiane de Mello (UNIRIO) 2 Professor Mário Olivero (UFF) Cálculo I 1/2020 Gabarito AD1 gráfico de f . ! Questão 4 [2 pontos] O protótipo de um veı́culo está sendo testado e sua velocidade v no tempo x é dada pela função abaixo, onde A e B são constantes reais: v(x) = x2 − 4 x− 2 , se 0 ≤ x < 2 Ax2 −Bx+ 3, se 2 ≤ x < 3 2x− A+B, se x ≥ 3 . Os engenheiros responsáveis pelo protótipo desejam que a velocidade apresente o com- portamento de uma função contı́nua, ou seja, que a velocidade não mude abruptamente num determinado tempo. Determine os valores das constantes A e B para que os enge- nheiros tenham sucesso, ou seja, para que a função v(x) seja contı́nua. Solução: Para que a função v seja contı́nua em todo o seu domı́nio, ela deve ser contı́nua em x = 2 e em x = 3. Para tal, devemos ter: lim x→2+ f(x) = lim x→2− f(x) = f(2) e lim x→3+ f(x) = lim x→3− f(x) = f(3). Temos que: ¶ f(2) = 4A− 2B + 3 · f(3) = 6− A+B ¸ lim x→2+ f(x) = lim x→2+ Ax2 −Bx+ 3 = 4A− 2B + 3 ¹ lim x→2− f(x) = lim x→2− x2 − 4 x− 2 = lim x→2− ��� �(x− 2)(x+ 2) ���x− 2 = lim x→2− x+ 2 = 4 º lim x→3+ f(x) = lim x→3+ 2x− A+B = 6− A+B » lim x→3− f(x) = lim x→3− Ax2 −Bx+ 3 = 9A− 3B + 3 De ¶=¸=¹ e ·=º=», obtemos, respectivamente, 4A− 2B = 1 e 10A− 4B = 3. Daı́, A = B = 1 2 . ! Questão 5 [1 ponto] Considere a função contı́nua f(x) = x3 − x2 − 4 sen(x) + 1, x ∈ R. Utilize o Teorema do Valor Intermediário para verificar que f admite 3 raı́zes reais e distintas. Solução: Professora Cristiane de Mello (UNIRIO) 3 Professor Mário Olivero (UFF) Cálculo I 1/2020 Gabarito AD1 å Temos que f é contı́nua em [−π/2, 0] e f(−π/2) = −1, 34 < 0 < 1 = f(0). Daı́, o Teorema do Valor Intermediário garante que existe c1 ∈ (−π/2, 0) tal que f(c1) = 0. Logo, f possui uma raiz c1 em (−π/2, 0). å Temos que f é contı́nua em [0, π/2] e f(π/2) = −1, 59 < 0 < 1 = f(0). Daı́, o Teorema do Valor Intermediário garante que existe c2 ∈ (0, π/2) tal que f(c2) = 0. Logo, f possui uma raiz c2 em (0, π/2). å Temos que f é contı́nua em [π/2, π] e f(π/2) = −1, 59 < 0 < 22, 14 = f(π). Daı́, o Teorema do Valor Intermediário garante que existe c3 ∈ (π/2, π) tal que f(c3) = 0. Logo, f possui uma raiz c3 em (π/2, π). Como os intervalos (−π/2, 0), (0, π/2) e (π/2, π) são disjuntos dois a dois, segue que as raı́zes c1, c2 e c3 são distintas duas a duas. Portanto, concluı́mos que f admite 3 raı́zes reais e distintas. ! Professora Cristiane de Mello (UNIRIO) 4 Professor Mário Olivero (UFF)
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