Apostila Probabilidade e Estatística 4º Cop 2013

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Apostila de Probabilidades e 
Estatística 
 
 
 
 
Professora: Marilda de Mattos Gregório 
Centro Universitário Cândido Rondon 
Curso de Ciência da Computação 
 2
 
Estatística 
 
Conceitos preliminares 
 
Muitos cientistas fazem previsões fundamentadas em dados numéricos, 
colhidos no presente ou no passado. A ciência que estuda as relações entre 
dados numéricos e prováveis acontecimentos futuros, é a Estatística, que, além de 
fundamentar previsões, ensina a representar esses dados em tabelas e gráficos, 
estabelece processos de análise e ajuda na tomada de decisões com base em 
métodos científicos. Você tem contato com essa ciência quando vê nos noticiários 
a previsão do tempo, resultados de pesquisas eleitorais, as previsões de inflação 
para o ano seguinte, etc. 
As idéias fundamentais da Estatística (contagem, enumeração e 
recenseamento) já se encontravam presentes nas civilizações antigas. Por meio 
da Estatística, o Estado sabia quantos bens possuía, como estavam distribuídos e 
conhecia também sua população. Essas informações auxiliavam a cobrança de 
impostos e também o recrutamento militar, pois, com guerras constantes, era 
necessário saber de quantos jovens o Estado dispunha para treinamento. 
Os recenseamentos da atualidade, que utilizam conceitos, princípios e 
técnicas muito mais sofisticados, são bem mais detalhados e complexos que os 
das civilizações antigas. Além de censo populacional e de distribuição de riquezas, 
hoje em dia, existem mais motivações para o desenvolvimento da Estatística, na 
medida em que nossa sociedade se tornou muito mais diversificada, o que 
comprova a grande importância dessa ciência antiga. 
 
 3
Conceitos básicos 
 
Toda pesquisa parte da observação de um grupo que pode ser de 
indivíduos, de objetos, de animais, enfim, de elementos que possuem pelo menos 
uma característica comum. Esse grupo é chamado de população estatística. 
Ao observar uma população estatística, tomamos como base o estudo de 
certas características dos elementos dessa população. Por exemplo: idade, tempo 
de duração de pilhas, período de reprodução de acordo com cada espécie. 
Essas características são chamadas de variáveis. 
A variável pode ser qualitativa ou quantitativa. 
 
� Variável qualitativa  os seus valores não são numéricos. Por exemplo: 
esporte, sexo, cor, etc. 
� Variável quantitativa  os seus valores são numéricos. Por exemplo: 
massa, altura, preço, etc. 
A variável quantitativa pode ser classificada como discreta ou contínua. 
� Variável quantitativa discreta  quando está ligada a uma contagem, ou 
seja, é expressa por número inteiro. Por exemplo: número de filhos. 
� Variável quantitativa contínua  quando está ligada a uma medida, ou 
seja, é expressa por número real. Por exemplo: altura. 
 Numa pesquisa, nem sempre é possível estudar todos os elementos de uma 
população. Nesse caso, podemos estudar uma parte dessa população. A essa 
parte chamamos de amostra. 
 Para que as interpretações obtidas a partir de uma amostra realmente 
expressem a realidade estudada, a amostra deve ser representativa e formada de 
modo imparcial (escolha ao acaso). 
 
 4
Exemplo 
 
 Uma agência de turismo tem 2500 clientes cadastrados. Para melhor atendê-
los, foi pesquisada a preferência em relação ao tempo de duração, ao preço, ao 
número de acompanhantes, ao número de passeios e à qualidade dos serviços 
prestados em uma viagem. Foram consultadas, de modo imparcial, 700 pessoas. 
a) Quantas pessoas têm a população estatística envolvida nessa pesquisa? 
b) A amostra pesquisada foi de quantas pessoas? 
c) Quais foram as variáveis qualitativas pesquisadas? 
d) Quais foram as variáveis quantitativas pesquisadas? Classifique-as como 
discreta ou contínua. 
 
Resolução: 
 
a) Como a agência possui 2500 clientes cadastrados, a população estatística 
é formada de 2500 pessoas. 
b) Foram consultadas de modo imparcial 700 pessoas, portanto, a amostra 
pesquisada foi de 700 pessoas. 
c) As variáveis qualitativas não são expressas por número. Na pesquisa, a 
qualidade dos serviços prestados é a única variável qualitativa. 
d) As variáveis quantitativas discretas estão relacionadas a uma contagem e 
são expressas por números inteiros. È o caso das variáveis “número de 
acompanhantes” e “número de passeios”. Já as variáveis quantitativas 
contínuas estão relacionadas a medidas e são expressas por números 
reais. O tempo de duração e o preço de uma viagem são variáveis 
quantitativas contínuas. 
 
 
 
 5
Técnicas de amostragem 
As técnicas usadas para formar uma amostra são chamadas de amostragem. 
Dentre as principais técnicas de amostragem, temos a casual e a proporcional 
estratificada. 
Casual  quando a amostra é formada por quaisquer elementos da 
população. Nesse caso, podemos numerar a população de 1 a n e, em seguida, 
sortear determinado número de elementos, os quais irão compor a amostra. 
Exemplo 
Usando a técnica de amostragem casual, vamos obter uma amostra 
representativa de 20 alunos para uma pesquisa sobre estatura dos 50 alunos de 
uma classe. Para isso, podemos numerar os alunos de 1 a 50. Em seguida, 
escrevemos esses números em pedaços iguais de papel. Depois de misturar os 
pedaços de papel, retiramos um a um até formar a amostra com 20 alunos, o que 
corresponde a 40% da população. 
Proporcional estratificada  quando a amostra é formada de partes 
convenientes da população chamadas de estratos. Neste caso, obtemos os 
elementos da amostra proporcional ao número de elementos correspondentes a 
cada estrato. 
Exemplo: Vamos obter uma amostra representativa proporcional estratificada 
de 70% dos 40alunos de uma classe, em que 24 são meninas e 16 são meninos. 
 
Estratos População 70% dos alunos Amostra 
Meninas 24 70% de 24 = 16,8 17 
Meninos 16 70% de 16 = 11,2 11 
Total 40 70% de 40 = 28 28 
 6
 Portanto, a amostra proporcional estratificada é formada de 28 pessoas, 
sendo 17 meninas e 11 meninos. 
Atividades de auto – avaliação (I) 
1) Classifique a variável como qualitativa, quantitativa, quantitativa discreta 
ou quantitativa contínua: 
a) População: alunos de uma escola. Variável: cor dos olhos. 
b) População: funcionários de uma empresa. Variável: salários mensais. 
c) População: computadores produzidos por uma empresa. Variável: número 
de peças usadas. 
d) População: lançamentos de um dado. Variável: pontos obtidos em cada 
jogada. 
e) População: jogadores de basquete de uma equipe. Variável: estatura. 
f) População: usuários da Internet. Variável: provedor usado. 
2) Para melhorar a qualidade de uma loja de automóveis, seu proprietário 
resolveu pesquisar o perfil dos clientes em relação ao modelo de automóvel 
preferido, à sua renda mensal, à qualidade dos serviços prestados e ao 
número de automóveis que cada cliente possui. Dos 3000 clientes 
cadastrados nessa loja 55% foram entrevistados. 
a) Quantas pessoas tem a população dessa pesquisa? 
b) A amostra pesquisada foi de quantas pessoas? 
c) Determine as variáveis pesquisadas e classifique-as como qualitativa, 
quantitativa contínua ou quantitativa discreta. 
 7
3) Uma escola de ensino fundamental tem 100 alunos matriculados, sendo 
200 na 1ª série, 150 na 2ª série, 150 na 3ª série, 120 na 4ª série, 110 na 5ª 
série, 100 na 6ª série, 90 na 7ª série e 80 na 8ª série. Obtenha uma amostra 
proporcional estratificada de 65%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Distribuição de freqüências 
A quantidade de vezes que cada valor é observado na amostra é chamada de 
freqüência absoluta. 
Exemplo 
Vamos construir a distribuição de freqüência para as idades, em anos, de um 
grupo de amigos. 
18 19 20 20 20 18 18 19 21 1819 20 21 21 20 19 18 19 19 
19 
Ordenando as idades, temos o rol: 
18 18 18 18 18 19 19 19 19 19 19 19 20 20 20 20 20 21 21 
21. 
 8
Distribuição de freqüência: 
 Idade (em anos) Freqüência 
18 5 
19 7 
20 5 
21 3 
Com os dados organizados, podemos observar mais facilmente que: 
• o grupo pesquisado é formado de 20 pessoas (5 + 7 + 5 + 3); 
• a pessoa mais velha tem 21 anos e a mais nova tem 18 anos. 
• a maioria tem 19 anos (7 pessoas). 
• a minoria tem 21 anos (3 pessoas). 
Freqüência relativa. 
O quociente obtido entre a freqüência absoluta ( f ) e o número de elementos ( 
N ) da amostra, é chamado de freqüência relativa. 
Nffr /= 
A freqüência relativa, geralmente é apresentada na forma de porcentagem 
para tornar mais clara a interpretação dos dados. 
Exemplo: Os dados abaixo referem-se ao número de horas gastas por jovens 
conectados à Internet durante um fim de semana: 
6 10 3 8 12 4 6 8 3 12 6 10 8 8 6 
4 4 3 8 10 12 10 8 8 8 6 12 4 4 4 
 9
Distribuição de freqüência: 
Tempo ( horas ) Freqüência f Freqüência relativa fr ( % ) 
3 3 3/30 = 0,10 = 10% 
4 6 6/30 = 0,20 = 20% 
6 5 5/30 = 0,1666...= 16,67% 
8 8 8/30 = 0,2666...= 26,67% 
10 4 4/30 = 0,133...= 13,33% 
12 4 4/30 = 0,133...= 13,33% 
Observando a tabela de distribuição de freqüência, podemos concluir que o 
menor tempo gasto pelos jovens conectados à Internet é de 3 horas e o maior 
tempo é de 12 horas. 
16,67% dos jovens estão conectados durante 6 horas. 
13,33% dos jovens gastam 10 horas conectados à Internet e o mesmo 
percentual gasta 12 horas na Internet. 
Freqüências acumuladas 
•••• A soma da freqüência absoluta do elemento considerado com todas as 
anteriores é chamada de freqüência absoluta acumulada e pode ser indicada por 
Fa. 
•••• A soma da freqüência relativa do elemento considerado com todos os 
anteriores é chamada de freqüência relativa acumulada e pode ser indicada por 
Fra. 
As freqüências acumuladas absolutas e relativas contribuem para a 
interpretação dos dados organizados em uma tabela de distribuição de freqüência. 
Exemplo: Vamos considerar os salários mensais, em reais, dos empregados de um 
supermercado. 
 10
465 600 465 480 480 900 
900 1500 600 480 480 600 
465 480 900 900 1500 2300 
480 600 465 600 480 1500 
900 900 900 1500 900 465 
900 600 900 1500 1500 1500 
2300 2300 1500 465 
 Vamos construir uma tabela de distribuição de freqüência com freqüência 
absoluta acumulada, freqüência relativa e freqüência relativa acumulada. 
Salário mensal ( em reais) f Fa Fr Fra 
465 6 6 15% 15% 
480 7 13 17,5% 32,5% 
600 6 19 15% 47,5% 
900 10 29 25% 72,5% 
1500 8 37 20% 92,5% 
2300 3 40 7,5% 100% 
 Vejamos como encontrar algumas freqüências acumuladas: 
Para 465 reais, temos a freqüência absoluta acumulada 6, para 480 reais, temos 6 + 
7 =13, para 600 reais, temos 13 + 6 = 19, para 900 reais, temos 19 + 10 = 29 e 
assim por diante. 
Da mesma maneira, encontramos a freqüência relativa acumulada usando as 
porcentagens. Observando os dados da tabela, podemos concluir que: 
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� A maior freqüência relativa é de 25% que corresponde a 10 empregados, que 
recebem um salário mensal de 900 reais; 
� A menor freqüência relativa é 7,5% o que corresponde a 3 empregados que 
recebem um salário mensal de 2300 reais; 
� 32,5% dos empregados recebem menos que 600 reais; 
� 47,5% dos empregados que corresponde a 19 empregados que recebem 600 
ou menos que 600 reais por mês. 
Distribuição de freqüência para dados agrupados por 
intervalos 
Quando a variável estudada apresenta muitos valores diferentes, é conveniente 
agrupá-los em intervalos ou classes, escolhendo-se apropriadamente a 
amplitude dos intervalos. 
Exemplo: Considere as notas obtidas por 40 alunos, na prova bimestral de 
determinada disciplina: 
1,0 7,0 9,0 1,5 6,0 6,5 9,5 5,5 
0,5 2,0 4,5 5,0 5,5 4,0 2,5 2,0 
6,5 5,5 5,0 7,0 3,5 5,5 3,0 4,0 
7,5 5,0 6,5 6,0 4,5 6,5 7,5 8,0 
8,0 6,0 7,5 7,0 9,5 7,0 9,0 4,5 
 Vamos construir uma tabela de distribuição de freqüência com freqüência 
absoluta acumulada, freqüência relativa e freqüência relativa acumulada. 
Para facilitar as interpretações, podemos agrupar as notas em intervalos de 
amplitude 2, começando por 0 (zero). 
 12
 
Nota Freqüência Fa fr Fra 
 0 | 2 3 3 7,5% 7,5% 
 2 | 4 5 8 12,5% 20,0% 
 4 | 6 11 19 27,5% 47,5% 
 6 | 8 14 33 35,0% 82,5% 
 8 | 10 7 40 17,5% 100,0% 
Eis algumas interpretações que podemos fazer: 
35% dos alunos obtiveram nota entre 6 (inclusive) e 8; 
nenhum aluno obteve nota 10,0; 
47,5% dos alunos obtiveram nota inferior a 6; 
25 alunos (11+14) obtiveram nota entre 4 (inclusive) e 8; 
52,5% dos alunos (35%+17,5%) 0btiveram nota 6 ou mais. 
 
 
 
 
 
 
 13
Atividades de auto – avaliação (II) 
1) As estaturas, em centímetros, de alguns jogadores são: 
170 180 182 185 182 185 
187 185 187 183 183 185 
190 190 180 182 185 187 
Elabore uma tabela de distribuição de freqüência e responda: 
a) Qual é a maior freqüência absoluta registrada? 
b) Qual é a estatura que apresenta a maior freqüência absoluta? 
2) O quadro a seguir apresenta as notas de Matemática obtidas por alunos 
de uma classe da 1ª série do ensino médio. 
 
 Elabore uma tabela de distribuição de freqüência e responda: 
a) Qual é a nota que apresenta maior freqüência? 
b) Qual é a maior nota obtida por essa turma? 
c) Existem notas que apresentam a mesma freqüência? 
3) Uma emissora de rádio realizou uma pesquisa de opinião pública para 
conhecer o gênero musical preferido dos moradores de uma cidade. Para 
isso, foram consultadas 1200 pessoas. 
 
Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 
Nota 5 6 7 8 5 4 8 8 5 7 9 9 9 8 9 5 4 7 8 9 5 6 6 7 9 
 14
 
 
 
 
 
 
 
 
a} Determine a freqüência relativa, em porcentagem, para essa situação. 
b) Segundo a pesquisa, qual é o gênero musical preferido? 
c) Qual é a freqüência relativa correspondente às pessoas que preferem o 
samba? 
d) Qual é o gênero musical que corresponde à menor freqüência absoluta? 
4) As informações abaixo referem-se às vendas diárias de um determinado tipo 
de aparelho celular efetuadas em uma loja durante o mês passado. 
10 11 12 12 13 9 10 
10 13 14 13 9 12 0 
9 13 0 10 10 10 9 
0 9 10 13 14 13 14 
9 12 
Gênero musical Frequência 
Rock 
Samba 
MPB 
Sertanejo 
Pop 
Axé 
200 
350 
150 
100 
250 
150 
 15
Elabore uma tabela de distribuição de freqüência com freqüência relativa para 
essa situação e responda: 
a) Em quantos dias nenhum aparelho celular foi vendido? 
b) Qual é a freqüência relativa correspondente a 13 aparelhos vendidos ao 
dia? 
c) A maior freqüência relativa corresponde a quantos aparelhos vendidos? 
5) Observe os pontos marcados por uma equipe de basquete em 20 jogos 
realizados. 
80 85 90 95 100 
80 85 85 90 90 
90 85 80 100 100 
95 90 110 85 80 
 
Com base nessas informações, elabore uma tabela de distribuição de 
freqüência com freqüência absoluta acumulada, freqüência relativa e 
freqüência relativa acumulada, depois responda: 
a) Qual é a freqüência relativa, em porcentagem, para 85 pontos? 
b) Qual é a freqüência absoluta acumulada para 90 pontos? 
c) Qual é a freqüência relativa acumulada, em porcentagem, para 90 pontos? 
6) Considere os tempos, em minutos, de um atleta que treinou no mesmo 
percurso durante um mês. 
 16
 44 45 43 40 50 50 44 44 45 43 
 40 45 44 50 50 50 44 50 50 4444 43 50 45 43 43 44 43 45 44 
Com base nessas informações, elabore uma tabela de distribuição de 
freqüência com freqüência absoluta acumulada, freqüência relativa e 
freqüência relativa acumulada e responda: 
a) Quantas vezes o atleta realizou o percurso em até 45 minutos? 
b) Quantas vezes o atleta realizou o percurso em um tempo menor que 45 
minutos? 
c) Qual é o índice, em porcentagem, que o atleta realizou o percurso em um 
tempo menor que 43 minutos? 
7) A massa, em quilogramas, de 50 jovens que freqüentam uma academia de 
ginástica, foi registrada a seguinte distribuição 
 60 65 50 51 52 49 44 40 56 57 
 42 43 47 53 40 44 43 48 48 49 
 49 51 57 62 63 55 58 60 56 55 
 68 69 56 66 67 60 62 63 50 51 
 57 58 60 62 53 56 49 49 43 47 
Iniciando o 1º intervalo por 40 e usando 5 como amplitude de classe, elabore 
uma tabela de distribuição de freqüência com freqüência absoluta acumulada e 
responda: 
 17
a) Qual é o índice, em porcentagem, de jovens com massa inferior a 50 
quilogramas? 
b) Qual é o índice, em porcentagem, de jovens com massa igual ou superior a 
60 quilogramas? 
 
 
 Representação gráfica e interpretação de dados 
 
Além das tabelas, os gráficos são instrumentos que facilitam a interpretação 
dos dados coletados. 
 Para o estudo dos gráficos e sua interpretação , vamos considerar a 
situação a seguir: 
Para uma pré-avaliação do desempenho dos candidatos em um exame 
vestibular, foi retirada uma amostra de 80 provas. Depois de corrigidas essas 
provas, as notas foram organizadas na seguinte tabela: 
 
Notas f fa Fr 
 4 8 8 10% 
 5 17 25 21,25% 
 6 24 49 30% 
 7 20 69 25% 
 8 11 80 13,75% 
 
 18
Gráfico de barras horizontais 
 
 
 
 
 19
Gráfico de barras verticais 
 
 
 
 
 20
 Gráfico de setores 
 
 
Histogramas e polígonos de freqüências 
Quando se trata da representação gráfica de distribuição de freqüências com 
dados agrupados, vamos utilizar um novo tipo de gráfico: um histograma de 
freqüências absolutas. 
nota7 
25% 
nota 5 
21,75% 
 
nota 
4 
10% 
nota 8 
13,75% 
nota 6 
30% 
 21
Vamos considerar a seguinte distribuição de freqüências, que representa a 
idade em anos de 50 pessoas que trabalham no escritório de uma empresa: 
Notamos que a amplitude do intervalo é 10. 
 
 Observa-se que sobre cada um dos intervalos construiu-se um retângulo de 
área proporcional à freqüência absoluta respectiva. 
Outro recurso para representar graficamente a distribuição de freqüências por 
agrupamento é o polígono de freqüências. O histograma pode servir de esboço 
para chegar até ele. Basta, para isso, traçar os segmentos de reta consecutivos 
com extremidades nos pontos médios das bases superiores dos retângulos que 
 idade Freqüência Centro do intervalo 
15 | 25 10 (15 + 25) / 2 = 20 
25 | 35 24 (25 + 35) / 2 = 30 
35 | 45 12 (35 + 45) /2 = 40 
45 | 55 4 (45 + 55) / 2 = 50 
 22
formam o histograma. Veja como fica o polígono de freqüência do exemplo 
anterior, onde acrescentamos os valores 0 e 65, com freqüência nula. 
 
 
 
Atividades de auto – avaliação (III) 
1) Sessenta jurados escolheram a sede das próximas Olimpíadas entre cinco 
países (A,B,C,D e E). Uma entrevista com esses jurados revelou que nove deles 
optaram pelo país A, seis por B, 27 por C, três dor D e 15 por E. 
a) Construa a tabela relacionando os países escolhidos e as freqüências absoluta 
e relativa. 
b) Construa o gráfico de barras verticais e o de setores para representar os dados 
dessa tabela. 
 
 23
2) Um laboratório realizou, num certo dia, noventa coletas de sangue. Um dos 
itens analisados foi o grupo sanguíneo do sistema ABO. Desse total, constatou-se 
que 27 coletas eram do grupo A, 36 do grupo B, 18 do AB e 9 do O. 
a) Construa uma tabela relacionando os grupos sanguíneos e as freqüências 
absoluta e relativa. 
b) Construa o gráfico de barras horizontais e de setores para representar os dados 
dessa tabela. 
 
3) Na folha de pagamento mensal de um escritório imobiliário, constam os 
seguintes valores em reais: 
 1360 500 1800 1250 
 1320 2340 810 1450 
 600 1420 650 1620 
 760 800 820 1750 
Usando 500 reais como amplitude de classe, elabore uma tabela de distribuição 
de freqüência. 
a) Construa um histograma para a situação apresentada. 
b) Quantos funcionários recebem um salário mensal menor que 1000 reais? 
 
4) No quadro seguinte estão os pesos em quilogramas de 50 funcionários de uma 
loja de móveis: 
72 81 57 64 87 90 74 69 77 73 
80 96 55 58 88 92 91 60 68 80 
77 76 59 57 83 81 90 68 65 74 
91 97 86 82 73 64 69 71 88 94 
77 72 81 91 96 59 52 50 63 70 
 24
Escolha um intervalo de amplitude conveniente e faça a representação da 
distribuição de freqüências usando um histograma. 
 
5) Joga-se um dado 20 vezes e obtém-se a pontuação seguinte: 
 
 5 5 1 3 6 6 2 4 6 5 
 2 2 2 5 3 3 4 1 1 2 
Nessas condições: 
a) Elabore um quadro completo de distribuição de freqüências (freqüência 
absoluta, freqüência absoluta acumulada, freqüência relativa e freqüência relativa 
acumulada). 
b) Represente por meio de um diagrama de barras a distribuição de freqüências 
absolutas. 
c) Represente por meio de gráfico de setores a distribuição das freqüências 
relativas. 
 
6) A idade de cada funcionário de uma certa empresa está indicada a seguir: 
 28 24 18 21 32 54 44 27 21 26 
 51 54 58 20 38 31 52 36 56 33 
 50 43 54 45 42 46 19 49 59 37 
 
a) Partindo de 18 anos, agrupe essas idades em classes de amplitude 6 e elabore 
uma tabela de distribuição de freqüência. 
b) Com esses dados, construa o histograma correspondente e sobre ele o 
polígono de freqüência. 
d) Qual a porcentagem dos funcionários com idade de 54 a 60 anos? 
 25
Medidas de posição 
As distribuições de freqüência permitem descrever os grupos dos valores 
que uma variável pode assumir. Assim, podemos localizar a maior concentração 
de valores de uma dada distribuição, isto é, se ela se localiza no início, no meio 
ou no final, ou, ainda, se há uma distribuição por igual. 
Para apontar as tendências características de cada distribuição, é 
necessário conhecer conceitos que se expressem através de números. Esses 
conceitos são chamados elementos típicos da distribuição. 
As medidas de posição mais importantes são: a média aritmética, a 
mediana e a moda que são as medidas de tendência central. 
Outras medidas de posição são as separatrizes. Dessas, vamos estudar os 
quartis. 
Média aritmética: 
É a medida de posição que possui maior estabilidade. 
O quociente da soma de dois ou mais valores pela quantidade de valores 
observados é chamado de média aritmética e pode ser indicado por Xm. 
Exemplos: 
1) Vamos calcular a média aritmética dos preços de venda (preço médio) dos 
apartamentos que uma imobiliária tem disponível no mercado de Cuiabá. 
Os preços em reais são de: 110 mil, 95 mil, 150 mil, 180 mil, 135 mil, 200 mil, 140 
mil, 155 mil, 170 mil, 155 mil, 210 mil,175 mil e 90 mil. 
Para calcular o preço médio desses apartamentos, basta somar todos os preços e 
dividir por 15. 
15,151
13
9017521015517015514020013518015095110
=
++++++++++++
=
m
x
 
Logo, o preço médio dos apartamentosdisponíveis para venda é 151,15 mil. 
 26
Média aritmética ponderada: 
Para encontrar a média aritmética quando os valores observados se 
repetem, podemos calcular o quociente da soma dos valores pela quantidade de 
observados. 
Para calcular a média aritmética de um grupo de alunos com 17, 16, 16, 15, 17, 
18, 18, 15, 16, 19, 15, 17, 18, 18, 16, 18, 17 e 16 anos ,podemos proceder da 
seguinte forma: 
77,16
18
161718151619181817151618181715161617
=
+++++++++++++++++
=
m
x
mx
 
No entanto, se organizarmos esses dados, podemos determinar a freqüência de cada 
valor observado, o que nos fornece um fator de ponderação. 
A média aritmética ponderada é o quociente da soma dos produtos obtidos entre 
cada fator de ponderação e o valor observado correspondente pelo total dos fatores 
de ponderação. 
 Vamos calcular a média aritmética ponderada para o mesmo número de 
alunos do exemplo anterior. Para isso, temos que verificar a freqüência com que 
cada idade aparece. 
Vamos construir a tabela de distribuição de freqüência. 
 
 
 
 
 
 
 
Idade (em anos) Freqüência 
 15 3 
 16 5 
 17 4 
 18 5 
 19 1 
 27
77,16
18
302
18
19.118.517.416.515.3
==
++++
=
m
x 
 
Portanto a idade média ou idade média ponderada desse grupo de alunos é 
de 16,77 anos. 
 
Média aritmética para dados agrupados com intervalos: 
Quando a variável estudada apresenta seus dados agrupados em uma 
distribuição de freqüência com intervalos, devemos encontrar,primeiro o valor 
médio para cada intervalo. 
Vamos calcular a média aritmética para a seguinte distribuição de 
freqüência, que representa a distribuição dos salários mensais de 50 
empregados de uma empresa. 
 
Salário (em reais) Freqüência Valor médio 
 300 | 400 12 300 + 400 = 350 
 2 
 400 | 500 9 400 + 500 = 450 
 2 
 500 | 600 8 500 + 600 = 550 
 2 
 600 | 700 14 600 + 700 = 650 
 2 
 700 | 800 7 700 + 800 = 750 
 2 
 28
Agora, basta somar o produto de cada freqüência pelo valor médio 
correspondente e dividir pela freqüência acumulada. 
 
Xm = 12.350+9.450+8.550+14.650+7.750 
 50 
Xm = 4200+4050+4400+9100+5250 
 50 
Xm = 27000 = 540 
 50 
Portanto, a média aritmética (salário médio) é 540 reais. 
 
Mediana: É utilizada quando se deseja obter o ponto que divide a distribuição 
em partes iguais, geralmente quando há valores extremos que afetam 
acentuadamente a média. 
 
Mediana de um grupo de valores ordenados de modo crescente ou decrescente é 
o valor que divide o grupo observado em duas partes com a mesma quantidade de 
termos ( é o termo central ou média aritmética dos dois termos centrais ). 
 
Vamos considerar as idades de cinco amigos: 18, 15, 17, 16 e 14 anos. 
Vamos organizar as cinco idades em ordem crescente: 
 
 29
 O termo central ocupa a 3ª posição e corresponde à idade de 16 anos. Logo, 
podemos concluir que 16 anos é a mediana desse grupo. 
Vamos analisar agora as estaturas, em centímetros, de outros seis amigos: 
178, 167, 170, 180,185 e 175. 
Organizando as estaturas em ordem crescente: 
 
 
Como o grupo pesquisado é formado por um número par de termos, 
existem dois termos centrais. Portanto, para obter a mediana, devemos calcular a 
média aritmética dos dois termos centrais. 
 
 Xd= 175 + 178 = 176,5 
 2 
Logo, 176,5 cm é a mediana desse grupo. 
 
Mediana para dados agrupados sem intervalos: 
Ao estudar uma variável com muitos dados, devemos organizá-los em uma tabela 
de distribuição de freqüência com freqüência absoluta acumulada. 
Vamos considerar as notas obtidas por 25 alunos, numa avaliação de Matemática. 
 
 30
 10,0 4,0 5,5 5,5 6,0 8,5 8,5 10,0 
 8,5 8,5 5,5 6,0 8,5 6,0 10,0 5,5 
 9,0 9,0 9,0 9,0 8,5 8,5 8,5 9,0 
 5,5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: Quando a quantidade de termos (n) for ímpar, obtemos a posição do 
termo central fazendo 
2
1+n
 
 
Como no exemplo, a quantidade de termos é 25, temos: 
 
2
125 +
 
 
 
 
Assim, obtemos a posição do termo central: 13ª posição, que é a posição 
da mediana. 
Nota Freqüência Fa 
 4,0 1 1 
 5,5 5 6 
 6,0 3 9 
 8,5 8 17 
 9,0 5 22 
 10,0 3 25 
 31
Observando a tabela, devemos localizar o termo (nota) que corresponde à 
freqüência absoluta acumulada igual ou imediatamente superior à posição 
encontrada. No caso, a freqüência acumulada imediatamente superior a 13 é 17, 
que corresponde a nota 8,5. Portanto, 8,5 é a mediana. 
Agora, vamos considerar a tabela de distribuição de freqüência com a 
freqüência absoluta acumulada dos salários de 20 funcionários. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs. Quando a quantidade n de termos é par, devemos calcular a média 
aritmética entre os termos que ocupam as posições definidas por 





+1
22
n
e
n
 
Assim temos: posiçãon ª10
2
20
2
10 →== 
 posiçãon ª11111
2
201
2
→=+=+ 
Salário (em reais) Freqüência Fa 
 550 6 6 
 850 4 10 
 950 8 18 
 1500 2 20 
 32
Observando a tabela, devemos localizar o termo (salário) que corresponde 
à freqüência absoluta acumulada igual ou imediatamente superior a cada posição 
encontrada (10ª e 11ª). 
No caso, a freqüência absoluta acumulada igual a 10 corresponde a 850 
reais e a freqüência acumulada imediatamente superior a 11 é 18, que 
corresponde a 950 reais. Calculando a média aritmética entre os termos, obtemos 
900 reais, que é a mediana. 
Mediana para dados agrupados com intervalos: 
Vamos tomar como exemplo, o quadro de distribuição de freqüência que 
representa a distribuição das alturas de 200 jovens com idades entre 15 e 20 
anos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Considerando a definição de mediana, podemos dizer que ela se encontra 
na classe que contém o elemento 100
2
200
= 
Altura (em cm ) Freqüência Fa 
160| 165 8 8 
165| 170 15 23 
170| 175 10 33 
175| 180 40 73 
180| 185 90 163 
185| 190 20 183 
190| 195 15 198 
195| 200 2 200 
 33
Observando a coluna de freqüências acumuladas, esse elemento se 
encontra na classe correspondente a 180| 185. 
Esta classe é chamada classe mediana. 
Identificada a classe mediana, para determinar o valor da mediana, 
devemos fazer uma interpolação: 
x______73100
180185______73163
−
−−
 
Isto nos dá a seguinte regra de três simples e direta: 
 
x____27
5____90
5,1
90
135
90
5.27
===→ x 
 
O valor da mediana é obtido da seguinte maneira: 
 
Xd = 180 + 1,5 = 181,5 cm 
Deste resultado, podemos dizer que 50% dos jovens têm altura menor que 181,5 
cm. 
Vamos resumir os passos e obter uma fórmula para o cálculo da mediana, 
quando os dados estão agrupados em intervalos: 
1º passo: Calcula-se 2
∑ fa
 
 2º passo: Marca-se a classe correspondenteà freqüência acumulada 
imediatamente superior a 2
∑ fa
 (classe mediana) e emprega-se a fórmula: 
 
f
hfafa
lxd
.
*
2 






−
∑
+= 
Onde: 
 34
l ⇒ limite inferior da classe mediana. 
fa* ⇒ freqüência acumulada da classe anterior à classe mediana. 
h ⇒ amplitude do intervalo da classe mediana. 
f ⇒ freqüência simples da classe mediana. 
 
Veja como fica o exemplo anterior com o uso da fórmula: 
5,181
90
16335
90
135180
90
5.27180
90
5.73
2
200
180 ==+=+=






−
+=xd 
Ou seja xd = 181,5 
 
Moda: É a medida de posição que representa o valor mais típico da distribuição. 
A moda é um valor que apresenta maior freqüência, ou seja, que se repete 
o maior número de vezes. É representado por Xo. 
Exemplo: Participando da segunda eliminatória de uma competição de natação há 
um grupo de crianças com idades representadas pelos seguintes valores: 
6,6,7,7,7,7,8,9. 
Como a moda é o valor que mais se repete,no exemplo, temos: Xo = 7. 
Também há a possibilidade da moda ser representada por mais de um 
valor. Observe a seqüência de valores: 6,6,7,7,7,8,9,9,9. 
Nesse caso, as modas são 7 e 9. 
 
 
 
 
 35
Atividades de auto – avaliação (IV) 
 
1) As alturas dos jogadores de um time de basquete são 1,98 m; 2,02 m; 2,08 m; 
1,92 m e 1,95 m. Qual é a média de altura dessa equipe? 
 
2) Nas linhas seguintes estão as idades, em anos, de 20 alunos que estudam no 
1º ano do Ensino Médio: 
15, 15, 14, 16, 16, 16, 17, 16, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 17, 16, 15, 14, 15. 
 
a) Faça um quadro de distribuição de freqüências absolutas. 
b) Qual é a média aritmética dessas distribuições? 
 
3) Esse é o quadro de distribuição das alturas, em metros, de 25 alunos de uma 
classe. Determine a altura média dos alunos da classe. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Classe F 
[1,60; 1,70[ 5 
[1,70; 1,80[ 6 
[1,80; 1;90[ 7 
[1,90; 2,00[ 5 
[2,00; 2,10[ 2 
 36
4) Calcule a mediana do seguinte conjunto de dados: 1, 1, 3, 3, 5, 5, 3, 3, 2, 2, 1. 
 
5) Calcule a mediana do seguinte conjunto de dados: 7, 9, 10, 7, 7, 5, 9, 10, 10, 
4, 10, 12. 
 
6) Considere o quadro que representa uma distribuição das áreas, em hectare 
(ha), cultivadas de determinada região. 
Determine: 
a) a classe mediana; 
b) a mediana da distribuição; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Áreas em ha Nº de áreas cultivadas 
 [ 0; 2[ 30 
 [ 2; 4[ 35 
 [ 4; 6[ 60 
 [ 6; 8[ 35 
 [8; 10[ 15 
 [10;12[ 8 
 [12; 14[ 2 
 37
7) O quadro nos dá a distribuição do salário mensal, em dezenas de reais, dos 
funcionários de uma empresa: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Determine: 
 
a) a classe mediana; 
b) a mediana da distribuição; 
 
8) Alê, Bia e Célia tema mesma idade. A soma dessas idades com as de Dea 
(13), Solange (18 ) e Fausto (20) é 96 anos. Qual é a moda e qual é a média 
aritmética dessas seis idades? 
 
 
9) Com o objetivo de orientar pessoas com problemas cardiovasculares, um 
nutricionista divulgou tabela relacionando determinados alimentos com a gordura 
saturada. 
 
 
 Salário Nº empregados 
 [80; 100[ 70 
 [100;120[ 85 
 [120; 140[ 55 
 [140; 160[ 100 
 [160; 180[ 60 
 [180; 200[ 30 
 38
 
Calcule a média aritmética, a mediana e a moda desses valores. 
 
10) A média aritmética das idades de um grupo de 120 pessoas é de 40 anos. Se 
a média aritmética das idades das mulheres é de 35 anos e a dos homens é de 50 
anos, qual é o número de pessoas de cada sexo? 
 
 
 
 
 
 Alimento Gordura saturada (em gramas) 
Leite integral ( 1 copo ) 5,1 
Carne de porco (100g) 3,2 
Bife magro (100g) 2,7 
Fígado (100g) 2,5 
Frango (100g) 2,0 
Iogurte desnatado (1 copo) 1,8 
Ovo (1) 1,7 
Lula (100g) 0,4 
Camarão (100g) 0,2 
Óleo de coco (colher/sopa) 0 
Óleo de milho (colher/sopa) 0 
 39
 Medidas de dispersão 
 
Até aqui vimos algumas medidas que, de certa forma, procuravam 
caracterizar um determinado conjunto de dados. Porém, em muitas situações, 
essas medidas podem não ser suficientes para analisar todos os aspectos desses 
dados. 
Acompanhe o exemplo a seguir: 
Vamos analisar o número de gols por partida da última rodada de um 
campeonato de futebol. 
 
 
 
 
 
 
Nessa rodada, a média aritmética de gols por partida foi: 
g
m
x 4
6
24
6
43131105
==
++++
= 
 Observando a tabela de gols, temos que os jogos 2, com 0 
gol, e 3, com 11 gols, estão bem mais distantes da média xm = 4 do que os jogos 
1, com 5 gols, e 4, com 3 gols. 
 Em Estatística, podemos ter uma idéia de como esses dados se distribuem 
em torno da média, ou seja, se estão muitos, ou pouco dispersos. 
 Vamos citar, por exemplo, os seguintes conjuntos de valores das variáveis 
X, Y e Z que representam a distribuição das idades de 5 pessoas matriculadas 
num curso de iniciação à computação. 
Jogos 
 
 1 2 3 4 5 
 
 6 
 
Número de gols 
 
 5 0 11 3 4 
 
 1 
 
 40
 X: 25, 25, 25, 25, 25 
 Y: 23, 24, 25, 26, 27 
 Z: 5, 8, 10, 40, 62 
Calculando a média aritmética de cada um dos conjuntos: 
 
 
25
5
62401085
25
5
2726252423
25
5
25.5
=
++++
=
=++++
=
==
m
z
m
y
m
x
 
 
Nota-se que os três conjuntos apresentam a mesma média aritmética: 25 
É fácil notar que o conjunto X é mais homogêneo que os conjuntos Y e Z, já 
que todos os valores são iguais à média (25). 
O conjunto Y é mais homogêneo que o conjunto Z, há uma menor 
diversificação entre cada um dos seus valores e a média. 
Para qualificar os valores de uma dada variável, ressaltando a maior ou 
menor dispersão entre esses valores e sua média aritmética, a Estatística se vale 
das medidas de dispersão. 
Dentre elas vamos estudar: o desvio médio, a variância e o desvio 
padrão. 
 
 
 
 41
Desvio médio ( Dm ) 
Vamos verificar o desvio do valor que representa o número de gols de cada 
partida em relação à média xm = 4. 
 
 O desvio médio é calculado pela média aritmética dos valores absolutos 
dos desvios: 
6,26
16
6
301741
≅=
−++−++−+
=mD 
 A medida de dispersão, determinada pela média aritmética 
dos valores absolutos dos desvios, é chamada de desvio médio ( Dm). 
 
∑
=
−
=
−++−+−
=
n
i n
m
xix
n
m
x
n
x
m
xx
m
xx
m
D
1
...21
 
 
Variância ( Var ) 
 A dispersão dos dados também pode ser calculada considerando-se os 
quadrados dos desvios médios. À média aritmética desses quadrados chamamos 
de variância (Var). 
n
n
i n
xix
n
m
x
n
x
m
xx
m
xx
ar
V
∑
=
−
=
−++−+−
=
1
2)(2)(...2)2(
2)1(
 
 42
 Considerando como exemplo a mesma rodada do campeonato de futebol, 
teremos o seguinte cálculo da variância: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
6,12
6
76
6
232021272421
≅=
−++−++−+
=






ar
V 
 
 Desvio Padrão (S) 
O desvio padrão (S) é utilizado para representar a dispersão dos valores, 
sendocalculado pela raiz quadrada da variância. 
 VarS = 
 No exemplo anterior o desvio padrão será: 
 
golsS
S
5,3
6,12
≅
≅
 
 Exemplos: 
 
1) Certa editora pesquisou o número de páginas das revistas mais vendidas 
em uma cidade. 
 
 
 
 
Calcular: 
a) o número médio de páginas; 
Revistas A B C D E F 
Número de páginas 62 90 88 92 110 86 
 43
 b) o desvio médio; 
 c) a variância; 
 d) o desvio padrão; 
 Resolução: 
a) 88
6
8611092889062
=
+++++
=
m
x 
 b) 3,9
6
88868811088192888888908862
≅
−+−+−+−+−+−
=
m
D 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3,197
6
28886288110288192288882889028862
≅
−+−+−+−+−+−
=Var
143,197) ≅== VarSd
 
 2) Após um ano de funcionamento, uma maternidade registrou o nascimento 
de 720 crianças, em parto normal. Os dados referentes à altura dessas crianças 
permitiram a construção desta tabela: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Calcular: 
Altura ( cm ) Número de crianças 
45 | 47 80 
47 | 49 260 
49 | 51 200 
51 | 53 160 
53 | 55 20 
 Total 720 
 44
a) a altura média; 
 b) o desvio médio; 
 c) a variância; 
 d) o desvio padrão; 
Resolução: 
 a) Como os dados estão agrupados em intervalos, vamos calcular o ponto médio 
de cada intervalo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando a freqüência de cada intervalo e o respectivo ponto médio, temos: 
8,1
4954.204952.1604950.2004948.2604946.80
720)
49
720
54.2052.16050.20048.26046.80)
≅
−+−+−+−+−
=
≅
++++
=
m
Db
m
xa
 
Altura Freqüência Ponto médio 
45 | 47 80 46 
47 | 49 260 48 
49 | 51 200 50 
51 | 53 160 52 
53 | 55 20 54 
Total 720 
 45
3,4
720
2)4954.(202)4952.(1602)4950.(2002)4948.(2602)4946.(80) ≅−+−+−+−+−=Varc
 
23,4) ≅== VarSd
 
 
 
Atividades de auto – avaliação (V) 
1) Pesquisa realizada pela Secretaria da Saúde de uma cidade, visando 
conhecer os hábitos de higiene bucal da população, identificou num de 
seus itens o tipo de creme dental mais consumido e tabelou os seguintes 
dados: 
 
Calcule: 
 a) a média aritmética desses valores 
 b) o desvio médio; 
c) a variância; 
d) o desvio padrão. 
e) o coeficiente de variação; 
 46
2) Em um supermercado, a reposição de pacotes de arroz, nesta segunda-feira, 
permitiu a construção da seguinte tabela de dados: 
 
Marca do arroz A B C D E 
Quantidade de pacotes 120 60 280 200 140 
 
Calcule: 
a) a média de pacotes repostos; 
 b) o desvio médio; 
 c) a variância; 
 d) o desvio padrão; 
 
3) Uma distribuidora pesquisou o consumo de refrigerantes entre diferentes faixas 
etárias, para melhor direcionar a sua campanha publicitária e tabelou os dados: 
 
 Idade os consumidores Número de consumidores 
 10 | 14 60 
 14 | 18 100 
 18 | 22 130 
 22 | 26 90 
 26 | 30 20 
 Total 400 
 Baseado nos dados, calcule: 
a) a idade média dos consumidores; 
b) o desvio médio; 
 47
c) a variância; 
d) o desvio padrão; 
4) A tabela abaixo mostra o número de peixes que foram pescados pelos dois 
principais finalistas, nos três dias de competição de pesca realizada em um 
pesqueiro. 
Ganha aquele que pescar mais. Caso haja empate, ganha o pescador que 
obtiver melhor média. Caso permaneçam empatados, ganha o pescador que 
obtiver o menor desvio padrão. Caso perdure o empate entre os pescadores, o 
prêmio será dividido. 
Algum desses pescadores ganhou o prêmio? Quem? Justifique suas respostas. 
5) A tabela abaixo mostra as idades, em anos, de dois grupos de 10 pessoas. 
Grupo 1 Grupo 2 
 
 
 
Utilizando o desvio padrão, responda: qual desses grupos é mais 
homogêneo com relação às idades das pessoas? 
 
6) O histograma representa a distribuição de freqüência na qual foram 
organizados os batimentos cardíacos por minuto de um grupo de jovens. 
Zé Pitanga 
 60 80 40 
 Canoeiro 
 40 70 70 
16 16 17 17 18 
18 18 18 20 22 
16 16 16 17 18 
18 18 18 21 22 
 48
 
Com base no histograma determine: 
a) a média aritmética dos batimentos por minuto; 
b) a variância; c) o desvio padrão. 
 
 
7) O gráfico abaixo mostra a porcentagem de acertos nas questões de um 
concurso onde havia 12000 inscritos. 
 49
 
Com base no gráfico: 
a) Construa a tabela de distribuição de freqüências; 
b) Determine a média aritmética de acertos das questões 
c) O desvio médio; 
d) A variância; 
e) O desvio padrão; 
 
 
 
 
 
 50
Espaço amostral e eventos 
Dentro de certas condições, é possível prever a que a temperatura o leite 
ferve. Esse tipo de experimento, cujo resultado é previsível, recebe o nome de 
evento determinístico. 
No entanto, ao lançarmos um dado uma ou mais vezes, não podemos 
saber com antecedência o número obtido; sabemos apenas que os possíveis 
resultados são 1,2,3,4,5 ou 6. Esse tipo de experimento, cujo resultado não pode 
ser previsto, é chamado de evento aleatório. 
Exemplo: São aleatórios os seguintes experimentos: 
• O sorteio da Sena. 
• A escolha de um número de 1a 50. 
• O sorteio do 1º prêmio da loteria federal. 
• O lançamento de uma moeda. 
Na teoria das probabilidades, estudamos os experimentos aleatórios 
equiprováveis, isto é, experimentos onde qualquer resultado pode ocorrer com a 
mesma chance. 
O conjunto U de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório 
equiprovável, é chamado de espaço amostral. O número de elementos desse 
conjunto é indicado por n(U). 
Exemplos: 
1) No lançamento de um dado, U = { 1,2,3,4,5,6} e n(U) = 6 
2) No lançamento de uma moeda, U = { cara, coroa } e n(U) = 2 
3) No lançamento de dois dados diferentes: 
( )
36)(
)6,6(),5,6(),4,6(),3,6(),2,6(),1,6(),6,5(),5,5(),4,5(),3,5(),2,5(,1,5
)6,4(),5,4(),4,4(),3,4(),2,4(),1,4(),6,3(),5,3(),4,3(),3,3(),2,3(),1,3(
)6,2(),5,2(),4,2(),3,2(),2,2(),1,2(),6,1(),5,1(),4,1(),3,1(),2,1(),1,1(
=
=










Une
U
 
 51
Chama-se evento a qualquer subconjunto de um espaço amostral. 
Assim, no lançamento de um dado, por exemplo, o evento obter um número maior 
ou igual a 4 é dado por A = { 4,5,6 } , subconjunto de U = { 1,2,3,4,5,6 }. 
Quando A = U, o evento é certo. 
Exemplo: 
No lançamento de uma moeda, A = { cara, coroa } é um evento certo: n(A) = n(U) 
Quando A = ∅, o evento é impossível. 
Exemplo: 
Obter 7 no lançamento de um dado impossível. 
 Quando =∩=∪ AAeUAA ∅, os eventos A e A são 
complementares. 
Exemplo: 
No lançamento de um dado, sendo A = { 2,4,6 } o evento obter número par 
e A = { 1,3,5 } o evento obter um número ímpar,temos: 
A ∪ A = { 1,2,3,4,5,6 } = U e A ∩ A = ∅, os eventos A e A são 
complementares.52
Probabilidade 
 
Se, num experimento aleatório equiprovável, o número de elementos do 
espaço amostral U é n(U) e o número de elementos do evento A é n(A), então a 
probabilidade de que ocorra o evento A é dada pelo número real P(A), tal que: 
 )(
)()(
Un
AnAP = 
Portanto, a probabilidade de um evento é dada pelo quociente da divisão do 
número de casos favoráveis pelo número de casos possíveis. 
 
Exemplo: 
a) o lançamento de um dado e o evento obter um número primo, temos: 
U = { 1,2,3,4,5,6 }, n(U) = 6, A = {2,3,5} e n(A) = 3 
Assim: 
 %50
2
1
6
3
)(
)()( ====
Un
AnAP 
 
b) o lançamento de uma moeda e o evento obter cara, temos: 
U = {cara,coroa}, n(U) = 2, A = {cara} e n(A) = 1, ou seja , 1 caso favorável para 2 
casos possíveis. 
Assim: 
 %50
2
1
)(
)()( ===
Un
AnAP 
c) o lançamento de 2 moedas e o evento ocorrer cara pelo menos 1 vez, e 
representando cara por C e coroa por K, temos: 
 53
{ }
{ } 3)(),(),,(),,(
4)(,),(),,(),,(),,(
==
==
AneckkcccA
UnkkckkcccU
 
ou seja, 3casos favoráveis para 4 casos possíveis. 
Assim: 
 %75
4
3
)(
)()( ===
Un
AnAP 
 
 
Propriedades 
1) Se A = ∅, então n(A) = 0 e, portanto, P(A) = 0 ( probabilidade do 
evento impossível). 
2) Se A = U, então n(A) = n(U) e P(A) = 1 (probabilidade do evento certo). 
3) Se A ⊂ U, então 0 ≤ n(A) ≤ n(U). 
Dividindo a desigualdade por n(U) ≠ 0, temos: 
 1)(0)(
)(
)(
)(
)(
0 ≤≤⇒≤≤ AP
Un
Un
Un
An
Un
 
 
 A probabilidade de um evento é sempre um número entre 0 (probabilidade 
do evento impossível) e 1 (probabilidade do evento certo). 
1) Se AeA são eventos complementares, então )()()( UnAnAn =+ 
Dividindo a igualdade por n(U) ≠ 0, temos: 
1)()()(
)(
)(
)(
)(
)(
=+⇒== APAP
Un
Un
Un
An
Un
An
 
 
4)Se A e A são eventos complementares, então n(A) + n( A ) = n(U). 
 54
Dividindo a igualdade por n(U) ≠ 0, temos: 
 
 Dividindo a igualdade por n(U) ≠ 0, temos: 
 
 
 
Exemplo: 
Sendo A o evento ocorrer um número par no lançamento de um dado e A o evento 
ocorrer um número ímpar, temos: 
 
A = { 2,4,6 } e = A { 1,3,5 } 
 
A e A são complementares, pois n(A) + n( A ) = n(U) = 6 e 
 
 
 
 
 
 
 
 55
Atividades de auto – avaliação (VI) 
 
1) Na escolha de um número de 1 a 30, qual a probabilidade de seja sorteado 
um número múltiplo de 5? 
 
2) Qual a probabilidade de,no lançamento simultâneo de dois dados 
diferentes,obtermos soma 7? 
 
 
3) Determine a probabilidade de: 
a) obter um número menor que 3 no lançamento de um dado; 
b) os 3 filhos de um casal serem meninos; 
c) somar 5 no lançamento simultâneo de 2 dados diferentes. 
 
4) Qual é a probabilidade do evento certo? E do evento impossível? 
 _ _ 
5) Os evento A e A são complementares, sendo P(A) = 0,3; calcule P(A). 
 
6) Uma urna contém 3 bolas brancas e 4 azuis.Retirando-se ao acaso 2 bolas, 
qual a probabilidade de ambas serem brancas? 
 
7) Uma urna contém 10bolas brancas, 8vermelhas e 6 pretas. Retirando-se 
uma bola ao acaso, qual a probabilidade de ela não ser preta? 
 
8) Ao jogarmos 2 dados distintos,qual a probabilidade de obtermos pontos 
diferentes nos 2 dados? 
 
 56
9) Jogando uma moeda 3 vezes, qual a probabilidade de obtermos cara pelo 
menos 1 vez? 
 
10) Dentre 5 pessoas, será escolhida, por sorteio, uma comissão de 3 
membros. Qual a probabilidade de uma determinada pessoa venha a 
figurar na comissão? 
 
 
 
Soma de probabilidades 
 
Se A e B são dois eventos de um espaço amostral U, sabemos que n( A ∪ 
B ) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B). 
 
 
Dividindo essa igualdade por n(U) ≠ 0, temos: 
 
 P( A ∪∪∪∪ B ) = P(A) + P(B) – P( A ∩∩∩∩ B) 
 57
 Observação: Se A ∩ B = ∅, os eventos são mutuamente exclusivos, isto é, 
 P( A ∩ B) = 0. Daí: P( A ∪∪∪∪ B ) = P(A) + P(B) 
Exemplos: 
1) Sorteando-se um número de 1 a 30, qual a probabilidade de que ele seja par ou 
múltiplo de 3? 
Solução: U = { 1,2,3,..., 30 }, n(U) = 30 
A = { 2,4,6,8,... 30), n(A) = 15 
B = { 3,6,9,12,...30), n(B) = 10 
A ∩ B = { 6,12,18,24,30} e n( A ∩ B ) = 5 
Então, 
 
2) Lançando-se simultaneamente dois dados, qual é a probabilidade de que suas 
faces superiores exibam soma iguala 7 ou 9? 
Solução: Temos U = {(1,1), (1,2),..., (6,5), (6,6)} e n(U) = 36 
Evento A: Soma igual a 7 
A = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} e n(A) = 6 
Evento B: soma igual a 9 
B = {(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)} e n(B) = 4 
Como A ∩ B = ∅ 
Então: 
 
 58
Probabilidade do produto 
Se um evento A tem probabilidade P(A) e, em seguida, ocorre o evento B 
de probabilidade P(B), então a probabilidade de que ocorram os eventos A e B na 
ordem indicada é P(A) . P(B): 
 P(A ∩∩∩∩ B) = P(A). P(B) 
Esta regra pode ser generalizada para n eventos A1 , A2 , ..., Na com 
probabilidades p1 , p2, ..., pn , respectivamente. 
Exemplos: 
1) Determinar a probabilidade de sair o número 5 em 2 lançamentos 
sucessivos de um dado. 
Solução: 
Sendo A o evento obter 5 no primeiro lançamento e B o evento obter 5 no 
segundo lançamento, vem: 
U = {1,2,3,4,5,6}, n(U) = 6, n(A) = 1 e n(B) = 1 
Temos P(A) = 
6
1
 e P(B) = 
6
1
 , com A e B independentes 
Logo ,a probabilidade pedida é dada por: 
P(A) . P(B) = 
36
1
6
1
.
6
1
= 
2) Em uma urna há 5 bolas azuis e 9 bolas brancas. Retiramos 1 bola da 
urna e, em seguida, sem repor a bola retirada, retiramos uma 2ª bola. 
Determinar a probabilidade de: 
a) ambas serem bolas brancas; 
b) ambas serem azuis; 
c) a 1ª bola ser branca e a 2ª azul. 
Solução: 
 59
a) 2 bolas brancas 
Sendo: 
n(B1) = 9 ( bola branca na 1ª retirada) 
n(B2) = 8 ( bola branca na 2ª retirada), pois a bola da 1ª retirada não é 
reposta 
n(U1) =14 na 1ª retirada 
n(U2) = 13 na 2ª retirada 
temos: 
P(B1) = 14
9
)(
)(
1
1
=
Un
Bn
 
P(B2) = 13
8
)(
)(
2
2
=
Un
Bn
 
Como B1 e B2 são eventos independentes, a probabilidade de que ambas 
as bolas sejam brancas é dada por: 
P(B1) . P(B2) = 91
36
13
8
.
14
9
= 
b) 2 bolas azuis 
Calculando,de modo análogo ao item a, a probabilidade de ambas serem 
azuis, temos: 
n(A1) = 5, n(A2) = 4, n(U1) = 14 e n(U2) = 13 
P(A1) . P(A2) = 91
10
13
4
.
14
5
= 
c) 1ª branca e 2ª azul 
n(A) = 5, n(B) = 9, n(U1) = 14 e n(U2) = 13 
P(A) . P(B) =
182
45
13
5
.
14
9
= 
 60
3) Numa certa comunidade 52% dos habitantes são mulheres e destas 
2,4% são canhotas. Dos homens, 2,5% são canhotos. Calcular a 
probabilidade de que um indivíduo escolhido ao acaso seja canhoto. 
Solução: 
 
Probabilidade de ser mulher e canhota: 
P(A) = 52% . 2,4% = 0,52 . 0,024 = 0,01248 
Probabilidade de ser homem e canhoto: 
P(B) = 48% . 2,5% = 0,48 . 0,025 = 0,0120 
R: P(A) + P(B) = 0,01248 + 0,0120 = 0,02448 ≅ 2,45% 
 
 
Atividades de auto – avaliação (VII) 
1) De um pacote de cartões, numerados de 1 a 26, é retirado um deles ao 
acaso. Qual a probabilidade de o cartão retirado apresentar um número 
ímpar ou um múltiplo de 3? 
 
2) Numa classe de 32 alunos,a professora sorteia o número de chamada de 
um deles.Qual a probabilidade de o número do aluno sorteado ser um 
número maior que 19 ou um número ímpar? 
 
3) Numa sala, existem 12 mulheres, sendo 8 com mais de 18 anos, e 20 
homens, sendo 15 com menos de 18 anos. 
a) uma mulher ou um homem, ambos com mais de 18 anos; 
b) uma mulher ou um homem, ambos com menos de 18 anos. 
 
 61
4) Em uma urna há 6 bolas brancas, 5 azuis, 4 verdes e 3 pretas. Determine, 
ao ser retirada 1 bola,a probabilidade de: 
a) ser uma bola branca, azul ou verde; 
b) não ser uma bola branca. 
 
5) Dentre 100 leitores dos jornais A e B, 40 lêem o jornal A e 70 lêem o jornal 
B. Qual a probabilidade de que 1 leitor leia os jornais A e B? 
 
6) Lançando uma moeda e um dado, qual a probabilidade de que saia cara e 
um número par? 
 
7) Retirando, sem reposição, 3 cartas de um baralho de 52 cartas,sendo 4 
reis, qual a probabilidade de que saiam 3 reis? 
 
8) Em uma urna há 4 bolas verdes e 6 amarelas. Retirando 2, sem reposição, 
determine a probabilidade de: 
a) ambas serem verdes; 
b) ambas serem amarelas. 
 
9) Se, no exercício anterior, as bolas retiradas fossem repostas na urna, como 
ficariam as probabilidades solicitadas?