Lista de exercícios - Vetores

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Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear - GA21NB
Professor: Geovani Raulino
LISTA DE EXERCI´CIOS 2 - VETORES E PRODUTOS DE VETORES
1. A figura abaixo representa o losango EFGH inscrito no retaˆngulo ABCD, sendo O o ponto de
intersecc¸a˜o das diagonais desse losango. Decida se e´ verdadeira ou falsa cada uma das seguintes
afirmac¸o˜es:
A F B
��
��
��
HHHHHH
HH
HH
HH
������
D
E O
H
G
C
(a)
−→
EO=
−→
OG
(b)
−→
AF=
−→
CH
(c)
−→
DO=
−→
HG
(d) ||
−→
AC || = ||
−→
BD ||
(e) ||
−→
OA || = 1
2
||
−→
DB ||
(f)
−→
AF //
−→
CD
(g)
−→
GF //
−→
HG
(h)
−→
AO //
−→
OC
(i)
−→
AB⊥
−→
OH
(j)
−→
EO⊥
−→
CB
(k)
−→
AO⊥
−→
HF
(l)
−→
OB= −
−→
FE
(m)
−→
AO= −
−→
GF
(n)
−→
BC⊥
−→
EO
(o)
−→
DO⊥
−→
FG
2. Com base na figura do exerc´ıcio anterior determine os vetores abaixo, expressando-os com
origem no ponto A:
(a)
−→
OC +
−→
CH
(b)
−→
EH +
−→
FG
(c) 2
−→
AE +2
−→
AF
(d)
−→
EH +
−→
EF
(e)
−→
AO +
1
2
−→
BC
(f)
−→
EO +
−→
BG
(g) 2
−→
OE +2
−→
OC
(h)
1
2
−→
BC +
−→
EH
(i)
−→
FE +
−→
FG
(j)
−→
OG −
−→
HO
(k)
−→
AF +
−→
FO +
−→
AO
(l)
−→
OG −
−→
HC −
−→
CG
(m)
−→
DH +
−→
HG +
−→
GC
(n)
−→
FG +
−→
FE +
−→
HG
(o)
−→
DO +
−→
OH +
−→
FB
3. Sabendo que o aˆngulo entre os vetores ~u e ~v e´ de 60◦, determine o menor aˆngulo formado pelos
vetores:
(a) ~u e −~v
(b) −~u e 2~v
(c) −~u e −~v
(d) 3~u e 5~v
4. Dado um triaˆngulo ABC qualquer, prove que o segmento que une os pontos me´dios de dois
lados e´ paralelo ao terceiro e tem metade de seu comprimento.
5. Dados os vetores ~u = 2~i− 3~j , ~v =~i−~j e ~w = −2~i+~j, determine:
(a) 2~u− ~v
(b) ~v − ~u+ 2~w
(c)
1
2
~u− 2~v − ~w
(d) 3~u− 1
2
~v − 1
2
~w
6. Dados os vetores ~u = (3,−1) e ~v = (−1, 2), determine o vetor ~x tal que:
(a) 4(~u− ~v) + 1
3
~x = 2~u− ~x
(b) 3~x− (2~v − ~u) = 2(4~x− 3~u)
7. Dados os pontos A(−1, 3), B(2, 5), C(3,−1) e O(0, 0), calcule:
(a)
−→
OA −
−→
AB (b)
−→
OC −
−→
BC (c) 3
−→
BA −4
−→
CB
8. Dados os vetores ~u = (1,−1), ~v = (−3, 4) e ~w = (8,−6), calcule:
(a) ||~u||
(b) ||~v||
(c) ||~w||
(d) ||~u+ ~v||
(e) ||2~u− ~w||
(f) || ~u||~u|| ||
9. Dados os pontos A(1,0,-1), B(4,2,1) e C(1,2,0), determine o valor de m para que ||~v|| = 7,
sendo ~v = m
−→
AC +
−→
BC.
10. Determine o vetor ~v, paralelo ao vetor ~u = (2,−1, 3), tal que ~v · ~u = −42.
11. Sabendo que ||~u|| = 2, ||~v|| = 3 e ~v · ~u = −1, calcule:
(a) (~v − 3~v) · ~u
(b) (2~v − ~u) · (2~v)
(c) (~u+ ~v) · (~v − 4~u)
(d) (3~u+ 4~v) · (−2~u− 5~v)
12. Prove que os pontos A(-1,2,3), B(-3,6,0) e C(-4,7,2) sa˜o ve´rtices de um triaˆngulo retaˆngulo.
13. Qual o valor de α para que os vetores ~a = α~i + 2~j − 4~k e ~b = 2~i + (1 − 2α)~j + 3~k sejam
ortogonais?
14. Determine o aˆngulo entre os vetores:
(a) ~u = (2,−1,−1) e ~v = (−1,−1, 2)
(b) ~u = (1,−2, 1) e ~v = (−1, 1, 0)
15. Calcule o valor de m para que o vetor ~u+~v seja ortogonal ao vetor ~w−~u, em que ~u = (2, 1,m),
~v = (m+ 2,−5, 2) e ~w = (2m, 8,m).
16. Definic¸a˜o: Se ~u e ~v sa˜o vetores em Rn e ~v 6= 0, ~u 6= 0, a projec¸a˜o de ~u sobre ~v e´ o vetor
proj~v(~u) definido por: proj~v(~u) =
~u · ~v
~v · ~v · ~v.
Com base nesta definic¸a˜o e considerando os vetores ~u = (3, 0, 1) e ~v = (−2, 1, 2), determine:
(a) proj~v~u
(b) proj~u~v
17. Dados os vetores ~u = (1, 1,−1) e ~v = (2,−1, 1), determine ~x de modo que ~x ⊥ ~j e ~x× ~v = ~u
18. Obtenha um vetor ortogonal os vetores determinados pelos pontos A(2,3,1), B(1,-1,1) e C(4,1,-2).
19. Determine ~u · ~v, sabendo que ||~u× ~v|| = 12, ||~u|| = 13 e ~v e´ unita´rio.
20. Dados os vetores ~u = (3,−1, 2) e ~v = (2, 2, 1), calcule a a´rea do paralelogramo determinado
por ~u e ~v.
Observac¸a˜o: Os exerc´ıcios 5, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 16 devem ser entregues no dia da prova,
juntamente com os exerc´ıcios da primeira lista.