Questões - Cálculo Vetorial

Prévia do material em texto

Cálculo vetorial 
 
Dados os pontos A(1,2), B(-6,-2) e C(1, 2), qual o resultado da operação entre os 
vetores : (AB) + 3(BC) - (AC)? Resp -- (14,8) Explicação: Tem que ser calculado em 
primeiro lugar os vetores e posteriormente efetuar a adição, tendo em vista que no 
enunciado dá pontos e não vetores 
 
As coordenadas do vetor VAB, sendo A = (0;2) e B = (3;4), são: Resp -- (3;2) 
 
Dados os vetores u = i - 4j+ k e v = 2i + 2j o vetor u + v é: Resp -- 3i -2j+k 
Explicação: Tem que somar posição com posição, i com i, j com j e k com k 
 
Considerando os vetores u⃗=(2,-3),v⃗=(-1,5) e w⃗=(-3,-4), determine 1/2 v⃗- 5u⃗-3w⃗. 
Resp -- (-3/2, 59/2) 
Explicação: 
1/2 v⃗-5u⃗-3w⃗= 1/2(-1, 5) - 5(2, -3) - 3(-3, -4) = (-1/2 -10 + 9, 5/2 + 15 + 
12) = (-3/2, 59/2) 
 
Determine o valor de x para que os vetores u=(x,2) e v=(9,6) sejam paralelo Resp – 
x = 3 
 
Calcule o ângulo entre os vetores u=(3,2) e v=(6,4). Resp – 0º Explicação: 
u.v=(3,2).(6,4)=3.6+2.4=18+8=26 !!u!!=V3²+2²=V9+4=V13 
!!v!!=V6²+4² = V36+16 = V52 = 2V13 
Logo, chamando de A o ângulo entre os vetores, temos: cos A = u.v / !!u!!.!!v!! = 26 / 
V13.2V13 = 26 / 2.13 = 1 Daí: A=0° 
 
 
Dados os vetores u = (2, -1, 4) e v = (2 + m, -1, 3 + 2n), determinar, 
respectivamente, os valores de m e n para que os vetores sejam iguais. Resp 
-- 0 e 1/2 Explicação: 2 + m = 2 3 + 2n = 4 
 
Considerando os pontos A(0, -3), B(-5, 2) ,C(-2, 7) e D(-1, -4), calcule 5(AD) 
-1/3 (BC)+5(DC) Resp ----(-11, 145/3) 
 
Explicação: 
A(0, -3), B(-5, 2) ,C(-2, 7) e D(-1, -4), calcule 5(AD) ⃗-1/3 (BC)⃗+5(DC)⃗ AD = D - A = 
(-1, -1) -> 5AD = (-5,-5) 
BC = C - B = (3, 5) -> 1/3BC = (1, 5/3) DC = C - D = (-1, 11) -> 5DC = (-5, 55) 
5(AD)⃗-1/3 (BC)⃗+5(DC)⃗= (-5,-5) - (1, 5/3) + (-5, 55) = (-11, 145/3) 
Encontre o valor de m de modo que os vetores u=(m, 2, 4) e v = (2, 3,5) sejam 
ortogonais. Resp → -13 
Dados os vetores u ( 4, -x ) e v ( 2, 3 ), qual é o valor de x , sabendo que os vetores 
são ortogonais? Resp → 8/3 
Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero 
 
Os pontos A=(2,4) e C=(6,8) são vértices de um quadrado ABCD, e pertencem a 
uma das diagonais desse quadrado, que terá área medindo Resp → 16 ua 
 
Dados os pontos A(1,2), B(-6,-2) e C(1, 2), qual o resultado da operação entre os 
vetores : 3(AB) + 3(BC) - 5(AC)? Resp → (0,0) 
 
Sendo dados os vetores A=(1,1), B=(1,0) e C=(0,1) , calcule o ângulo entre os 
vetores CA e BC. 
Resp → 135° 
 
Explicação: a-c=(1,1)-(0,1)=(1,0) 
c-b=(0,1)-(1,0)=(-1,1) 
(a-c).(c-b)=(1,0).(-1,1)=-1 
!!a-c!! = V1²+0² = 1 
!!c-b!! V(-1)2+1² = V2 
Logo, chamando de A o ângulo entre os vetores, temos: cos A = (a-c).(c-b) / 
!!a-c!! . !!c-b!! = -1 / V2 = - V2 /2 Daí: A = 135° 
Em relação aos conceitos de vetores, marque (V) para verdadeiro e (F) para falso e 
assinale a alternativa correta. ( ) Um vetor é uma grandeza matemática que possui 
módulo, direção e sentido; ( ) O módulo é o tamanho do vetor; ( ) O sentido é o 
mesmo da reta suporte que contem o vetor; ( ) A direção é para onde o vetor está 
apontando. Resp → V,V,F,F 
 
Explicação: A questão apresenta conceitos teóricos fundamentais de vetores e 
grandezas vetoriais 
 
Determine o módulo do vetor 2AB-3BC, sendo A=(-1,4) , B=(3,2) e C=(-2,5). Resp 
→ (23,-13) 
 
Explicação: 2AB-3BC=2(4,-2)-3(-5,3)=(8,-4)-(-15,9)=(23,-13) 
 
Determine o vetor X na igualdade 3X + 2 u = 1/2v + X, sendo daos u = ( 3,- 1) e v = ( 
-2,4) 
Resp → X = ( - 7/2 , 2) Explicação: 
Temos que: 3x+2u=v/2+x => 6x+4u=v+2x => 4x=-4u+v => 4x=(-12,4)+(- 2,4) => 
4x=(-14,8) => x=(-7/2,2) 
 
Dados os pontos A(1,2), B(-6,-2) e C(1, 2), qual o resultado da operação entre os 
vetores: 2(AB)+3(BC) +5(AC)? Resp → (7,4) 
Explicação: Tem que ser calculado em primeiro lugar os vetores e posteriormente 
efetuar a adição, tendo em vista que no enunciado dá pontos e não vetores 
 
Se o vetor v tem coordenadas (√8, - 1), então seu módulo vale: Resp → 2√5 
Explicação: 
raiz((√8)² + (-1)²) = √9 = 3 
 
Sejam os vetores u = (3, 2, 1) e v = (-1, -4, -1), calcular o produto u.u. 
Resp → 14 Explicação: u.u = 3.(3) + 2.(2) + 1.(1) = 14 
 
Um vetor é uma grandeza matemática que possui módulo ou intensidade, direção e 
sentido. O módulo é o tamanho do vetor, sua direção é a mesma da reta suporte 
que o contém, e o sentido é para onde ele está apontado. Uma mesma direção 
possui dois sentidos. Por exemplo, a direção horizontal apresenta o sentido para a 
direita e o sentido para a esquerda; a direção vertical apresenta o sentido para cima 
e o sentido para baixo. Sabendo disso, considere os vetores u e v de módulo u = 2 
e v = 5, que possuem a mesma origem e 
formam um ângulo de 60° entre eles. Determine, usando a regra do paralelogramo, 
o módulo do vetor soma resultante de u e v. Resp → √39 Explicação: 
Construido o paralelogramo, temos 
|u + v|² = 5² + 2² - 2.5.2cos120 
|u + v| = raiz(29 - 20.(-1/2)) = raiz(39) 
 
Calcule as coordenadas dos dois pontos, que dividem o segmento de extremidades 
(0, 2) e (6, 11), em três segmentos congruentes. Resp → (2 ,5) 
e (4, 8) 
Explicação: 
xk = (6-0)/3 = 2; yk = (11-2)/3 = 3 P1 = (0 + 2.1, 2 + 3.1) = (2, 5) 
P1 = (0 + 2.2, 2 + 3.2) = (4, 8) 
 
Dado os vetores: u= (2,5-2) e v = (4, -5, 7), encontre o vetor 2u-3v: Resp 
→ (-8, 25, -25) 
Explicação: 2( 2, 5, -2) - 3( 4, -5, 7)= ( -8, 25, -25) 
 
Considerando os pontos A(0, -3), B(-5, 2) ,C(-2, 7) e D(-1, -4), calcule 1/2 
(AB) ⃗+3(CD)⃗-6(AC)⃗. 
Resp → (25/2, -181/2) 
Explicação: 
Observe que: AB=B-A=(-5,5) ; CD=D-C=(1,-11) e AC=C-A=(-2,10) 
Logo: 1/2AB+3CD-6AC = 1/2(-5,5)+3(1,-11)-6(-2,10) = (-5/2+3+12 , 5/2- 33-60) = 
(25/2 , -181/2). 
Dados os pontos A = (1, 3) e B = (5,2), determine as coordenadas do Ponto C, 
interno ao segmento AB, de modo que os vetores VAC e VAB sejam tais que, VAC 
=2/3.VAB. Resp → C = (11/3, 7/3) 
 
Considere os vetores u = 2i + j +3k e o vetor v = 5i - 2j + k, a soma dos vetores u e 
v, resulta em: 
Resp → 7i - j + 4k Explicação: (2i + j + 3k) + (5i - 2j + k) = 2i + 5i + j - 2j + 3k + k = 
7i - j + 4k 
 
Em um dado sistema cartesiano, têm-se os pontos A(0,4), B(3,-2) e C(-3,-2) que 
define uma região geométrica. Com base nos estudos de vetores podemos afirmar 
que o perímetro desta figura será aproximadamente: Resp → 22, 4 Explicação: 
Calcula-se o módulo de cada lado do triângulo de pois soma: módulo AB + módulo 
AC + módulo BC 
 
Calcule as coordenadas dos dois pontos, que dividem o segmento de extremidades 
(0, 2) e (6, 11), em três segmentos congruentes. Resp → (2, 5) 
e (4, 8) 
Explicação: 
Ponto 1 = (0, 2) + (2, 3) = (2, 5) 
Ponto 2 = (2, 5) + (2, 3) = (4, 8) (2,3) = (B - A) / 3 
 
Dados dois vetores no espaço u e v. Deseja-se encontrar um terceiro vetor w, 
ortogonal a ambos. Isso pode ser resolvido através de um sistema de equações de 
infinitas soluções, mas se quiser encontrar uma solução direta, você usaria:
 Resp → Produto vetorial dos vetores u e v 
 
Considerando-se os pontos A(2,0,2), B(3,2,5) e C(2,3,5) e os vetores: u de origem 
em A e extremidade em B, v de origem em B e extremidade em C, a soma dos 
vetores u e v resulta na terna: Resp → (0, 3, 3) 
 
Explicação: 
Tem-se u = AB = B - A = (1, 2, 3) v = BC = C - B = (- 1, 1, 0) Logo (1, 2, 3) 
+ (- 1, 1, 0) = (0, 3, 3) 
Considerando os vetores u⃗=(2,-3),v⃗=(-1,5) e w⃗=(-3,4), determine 2u⃗-1/3 
w⃗+3v⃗. 
Resp → (2, 23/3) 
Explicação: 
Devemos ter: 2u-1/3w+3v = (4,-6)-(-1,4/3)+(-3,15) = (4+1-3 , -6-4/3+15) 
= ( 2 , 23/3 
 
 
Obter um ponto P do eixo das abscissas equidistante aos pontos A(3, -5, 2) e B(-2, -
1, -3). Resp → 12/5 
Explicação: 
P pertence ao eixo das abscissas <-> yp = zp = 0 <-> P = (x,,0,0) 
Fazer |PA| = |PB| 
 
 
Dois helicópteros voam no mesmo sentido, em direções oposta.um parte de um 
heliporto A localizado no ponto (60, 80, 1), o outro parte de um heliporto B 
localizado em (120, 160,1), com coordenadas em KM. se eles voam em direção a 
um heliporto localizado no ponto médio do segmento AB. Ache as coordenadas do 
ponto de encontro dos helicópteros. Resp → (90, 120, 1) Explicação: O ponto 
médio é a media dascoordenadas dos pontos A e B. 
 
Dados os vetores u ( 2, x ) e v ( 1, -1 ), qual é o valor de x , sabendo que os vetores 
são ortogonais? Resp → 2 
Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero 
 
Duas forças de intensidade F¹ = 6,0N e F² - 8,0N agem sobre um corpo rígido e 
suas direções são desconhecidas. Determine o intervalo de valores que o módulo 
da intensidade da força resultante poderá assumir Resp → Entre 2 e 14 N 
 
Em relação a um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas no espaço o vetor 
x = (2, 0, - 4), corresponde ao vetor: Resp → x = 2i - 4k 
Explicação: Sendo x = (2, 0, - 4) a forma canônica é 2i + 0j - 4k = 2i - 4k 
 
Dados os Vetores u ( 3, 2 ) e v ( 4, x ), qual é o valor de x , sabendo que os vetores 
são ortogonais? Resp → -6 
Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero 
 
Determine os valores de x e y para que os vetores u=(2, 5, y) e v=(x, 10, 8) sejam 
paralelos 
Resp → x=4 e y=4 
 
Se u = (x;5) e v = (-2; 10) são vetores paralelos, então o valor e x é Resp → 
x = -1 
 
Determine os valores de x e y para que os vetores u=(2, 5, y) e v=(x, 10, 8) sejam 
paralelos 
Resp → x=4 e y=4 
 
 
Determine x de modo que os vetores u=(x, 0, 2) e v=(1, x, 2) sejam ortogonais
 Resp → x= 4 
Explicação: 
Devemos ter: u.v=0 => x+4=0 => x=-4 
 
Dado os vetores A (1,2,3) e B (4,5,6), calcule o produto escalar A.B Resp → 
32 
Explicação: A.B=(1,2,3).(4,5,6)=1.4+2.5+3.6=4+10+18=32 
O ângulo, em graus, formado entre os vetores u e v, sendo u = (1, 0, 1) e v = (1, -
√3, 0) é: Resp → 150 
Explicação: produto u.v= (0, 1, 0).(1, -√3, 0) = -√3 módulo u = 1 módulo de v = 2 
Logo: cos x = (- √3/2), então x = arc cos (-√3/2) e portanto x = 150 graus 
 
Um reservatório em formato de paralelepípedo é determinado pelos seguintes 
vetores: u=(1; -1; 2) v=(2;0;1) w=(-1;3;0) com unidades dadas em metros. Sabendo 
que cada metro cúbico de volume equivale a 1000 litros, qual é a capacidade do 
reservatório? 
Resp → 10.000 litros 
Explicação: Calcular o produto misto e depois o módulo do resultado do produto 
misto para encontra o volume. 
 
Dados os vetores u = (-1, 2, 0) e v = (1, 1, -1), calcular a área do paralelogramo 
determinado pelos vetores 2u e (v + u ), sabendo que a área de um paralelogramo 
é o módulo do produto vetorial dos vetores indicados. Resp → 2√14 
 
Explicação: 
Temos que: 0 1 
u=(-1,2,0) => 2u=(-2,4,0) i j k 
v=(1,1,-1) => v+u=(0,3,-1) => (2u) x (v+u) = -2 4 0 = -4i-6k-2j = (- 4,-2,-6) 
0 3 -1 
i k 
 
A área do paralelogramo será dada pelo módulo do produto vetorial, então a área S 
será: 
S=!(-4,-2,-6)! = V(-4)²+(-2)²+(-6)² = V16+4+36 = V56 = V2².2.7 = 2V14 
 
 
Dados os vetores u (-1, 3, 2 ) e v (- 4, 2, x ), qual é o valor de x , sabendo que os 
vetores são ortogonais? 
Resp → -5 Explicação: 
O Produto escalar entre os vetores tem de ser igual a zero. Assim: u.v=0 => (-
1,3,2).(-4,2,x)=0 => 4+6+2x=0 => 2x=-10 => x=-5 
 
Qual o coeficiente angular da reta r que passa pelos pontos A=(4,5) e B=(8,12). 
Resp → m=7/4 
 
Sejam os vetores u = ( 3, 2, k ) e v = ( 2, 0, 1 ). O valor de K para que os vetores 
serem ortogonais é: 
Resp → -6 Explicação: 
Aplicação envolvendo produto escalar 
Dados os vetores u= -2i -3j -2k e v= -i -2j-xk, qual é o valor de x , sabendo que os 
vetores são ortogonais? 
Resp → -4 Explicação: 
Cálculo se dá pelo produto escalar.Assim: 
u=(-2,-3,-2) v=(-1,-2,-x) => u.v=0 => (-2,-3,-2).(-1,-2,-x)=0 => 2+6+2x=0 => 2x=-8 => 
x=-4 
 
Seja o triângulo de vértices A(-1,-2,4), B(-4,-2,0) e C(3,-2,1). Determinar o ângulo 
interno do vértice B. 
Resp → 45º 
 
Assinale qual alternativa apresenta um vetor ortogonal aos vetores u =(3,2,2) e v 
=(0,1,1). 
Resp → (0 , 6, -6) 
Explicação: Calcular u x v (produto vetorial) 
 
Um cubo tem volume igual a 216 cm3. Qual o volume, em cm3 de um tetraedro 
inscrito nesse cubo? 
Resp → 36 
Explicação: 216 : 6 = 36 
 
Certo sólido cujo o volume é 12 u.v. é determinado pelos vetores u, v e w . Esses 
vetores foram colocados no plano R3 tendo como corrdenadas, respectivamente, u 
=(a,-7,-1), v=(-1,0,2) e w= (0,-1,-1). Nessas condições, encontre um valor para a 
abscissa do vetor u. Resp → 3 
Explicação: Aplicação envolvendo produto misto entre vetores 
 
Considerando as afirmativas abaixo podemos afirmar que: 
O módulo de um vetor unitário é sempre 1. 
Podemos afirmar que o vetor v=(1,1,1) é um vetor unitário. 
Vetores coplanares são vetores que estão no mesmo plano e o produto misto entre 
eles é zero. 
Vetores coplanares são vetores que estão no mesmo plano e o produto escalar 
entre eles é zero. 
Vetores ortogonais tem o produto escalar entre eles igual a zero. 
Vetores colineares tem a mesma direção. 
Vetores paralelos tem a mesma direção. 
Resp → Somente as afirmativas 2 e 4 são falsas. Explicação: Uma revisão de 
conceitos básicos sobre vetores 
Dado os vetores a (-3,0,2) e b (3,1,-4), calcule o produto escalar a.b. Resp → 
-17 
Explicação: 
a.b = x a.xb + ya.yb + za.zb 
Sejam os vetores = (1,1,0), = (2,0,1) e = 3 -2, = + 3 e = + -2. Determinar o volume 
do paralelepípedo definido por w1, w2 e w3 Resp → 44 unidades de volume 
Explicação: Calcular |[w1, w2, w3]| 
 
Considere a equação geral do plano 3x + 2y - z + 1 = 0. Para que o ponto A(4, -2, 
m) pertença a este ponto, o valor de m tem que ser igual a Resp - 
→ 9 
 
Determine os valores de p para que o ponto P(3,p) pertença à circunferência de 
equação x²+y²=18. 
Explicação: 
Devemos ter: 3²+p²=18 -> 9+p²=18 -> p=+/- 3 Logo; P(3,3) ou P(3,-3) 
 
 
Sabe-se que o diâmetro de uma circunferência é 6 e seu centro tem coordenadas 
C(-2,0), a equação reduzida desta circunferência é: Explicação: 
Sendo o diâmetro 6, então r =3 Tendo-se C(-2, 0) e r = 3, a equação será: (x 
- (- 2))^2 + (y - 0)^2 = 3^2 = (x + 2)^2 + y^2 = 9 
 
A distância focal e a excentricidade da elipse com centro na origem e que passa 
pelos pontos (1, 0) e (0, -2) são, respectivamente, Resp → 2√3 e √3 
2 
Determine o centro e o raio da circunferência de equação x²+y²-4x+6y-3=0. 
Explicação: 
Temos que: -2a=-4 -> a=2 
-2b=6 -> b=-3 , daí: o centro é O(2,-3) 
a²+b²-r²=-3 -> 2²+(-3)² - r²= -3 -> 4+9-r²=-3 -> -r²=-16 -> r=4 
Calcular o ângulo entre as retas: resposta → 60º X = 3 + t r² : x+2 = y-3 = z 
r¹ : y = t -2 1 1 
z = -1 -2t 
 
 
Chama-se Produto Escalar de dois vetores u = x1 + y1 + z1 e v = x2 + y2 + z2 
denotado por u.v: 
Resp → ao número real k, dado por : k = x1x2 + y1y2 + z1z2 
 
 
Numa elipse a medida do eixo maior é 26 e a medida do eixo menor é 24. 
Determine a distância focal dessa elipse. Resp → 10 
 
Determine a equação das parábola com foco em F = (3 , 2) e diretriz r : x - 4 
= 0 
Resp → x = (-y2 + 4y + 3) / 2 
 
Ache a equação cartesiana da parábola que tem diretriz no eixo x e vértice em Resp 
→ y = -x2 / 6 + 4x / 9 - 97 / 54 
Explicação: 
A parábola é o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da diretriz 
Sobre os segmentos orientados pode-se afirmar: Resp → O vetor w⃗, quando 
multiplicado por um escalar (α), o vetor resultante é paralelo a w⃗. 
Dados os vetores u=2i -3j , v=i-j e w =-2i+j , determine 3u-v/2-w /2 Resp → 
(13/2, 8) 
 
Determine as coordenadas do ponto médio do segmento AB, sendo A = (-1, 4, 2) e 
B = (-3, -2, 0). 
Resp → (-2, 1, 1) 
 
Dedução da equação da parábola no plano cartesiano num caso especial: F = (2,0) 
e d: x= -2 
Resp → x = y2 / 8 
Explicação: Parábola é o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da 
diretriz 
 
 
Dados os vetores u = (2x-1 , 3) e v = ( 3, -4) , determine o valor de x para que u e v 
sejam perpendiculares 
Resp → 2,5 
 
Determine o lugar geométrico dos pontos P(x,y) do plano dos quais as tangentes 
traçadas do ponto à circunferência (x-3)2 + (y-2)2 =16 têm comprimento 3. Resp → 
uma circunferência de raio 5 
Explicação: 
O raio da circunferência dada e a tangente formaram um triangulo retângulo de 
catetos 3 e 4, e a distancia dos pontos ao centro da circunferência será a 
hipotenusa desse triangulo 
 
Seja u=(1,0,1) e v=(0,1,0). O produto escalar u.v é igual a: Resp → 0Dados dois vetores de módulos 8 cm e 22 cm, a resultante entre eles terá o módulo 
compreendido entre: 
Resp → 14 cm e 30 cm 
 
No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(-2,3) e C(0,5), sendo M o ponto médio do 
lado BC. Podemos afirmar que o comprimento da mediana AM é: 
Resp → AM = 2√2 
Explicação: 
No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(-2,3) e C(0,5), sendo M o ponto médio 
do lado BC. Podemos afirmar que o comprimento da mediana AM é: M = ((0 - 2)/ 2, 
(5 + 3)/ 2) = (-1, 4) CAM = raiz((-1 - 1)² + (4 - 2)²) = 2raiz(2) 
 
Qual a equação da circunferência de centro C(3, 4) e que passa pelo ponto P(4, 2) 
Resp → (x - 3)2 + (y - 4)2 = 5 
Explicação: (x-xc)² + (y-yc)² = |PC|² 
 
Identifique o centro e o raio do círculo representada pela equação geral x² + y² 
- 8x - 4y + 11 = 0. 
Resp → o centro é (4, 2) e o raio é 3. Explicação: 
Em uma circunferência de equação x² + y² + Ax + By + C = 0, temos C = (- A/2; -
B/2) 
r = raiz(A²/4 + B²/4 - C) 
 
Encontre o centro e o raio da circunferência cuja equação é: x^2 + y^2 - 2x - 4y = 20 
Resp → r = 5 e C(1,2) 
Explicação: Da expressão dada, completa-se o quadrado: 
(x - 1)² - 1 + (y - 2)² - 4 = 20 → (x - 1)² + (y - 2)² = 25 
Logo, da expressão acima, teremos: C(1, 2); r = 5 
Qual é a equação do plano que contém o ponto A (3, 4, -4) e é ortogonal ao vetor (-
1,-2,-6) ? 
Resp → -x - 2 y - 6 z - 13 = 0 Explicação: 
-1 x - 2 y - 6 z + [+ 1 (3)+ 2 (4) +6 (-4) ] = 0 -x - 2 y - 6 z - 13 = 0 
 
Qual deve ser o valor de m para que os vetores a=(m,2,-1), b=(1,-1,3) e c=(0,- 2,4) 
sejam coplanares? 
Resp → m=3 
 
O ângulo formado entre os planos: π1 : 2x - y + z - 1 = 0 π2 : x + z + 3 = 0 
Resp → 30º Explicação: 
Temos que: π1:2x-y+z-1=0 e π2:x+z+3=0 Então:π1=(2,-1,1) 
π2=(1,0,1) . Daí: π1.π2 = 2+1=3 
!π1! = V2²+(-1)²+1² = V6 
!π2! = V1²+0²+1¹ = V2 
Daí: cos A = 3 / V6.V2 = 3 / V12 = 3 / 2V3 = 3V3 / 6 = V3 / 2 => A=30° 
 
Encontre a equação geral do plano determinado pelos pontos: A(-1,0,1), B(2,- 2,1) e 
C(0,1,-2). 
Resp → 6x+9y+5z+1=0 Explicação: 
O vetor determinado pelos pontos A(-1,0,1), B(2,-2,1) e C(0,1,-2) será o 
mesmo determinado pelos vetores AP, AB e AC, onde P = (x,y,z) é ponto qualquer 
do plano, logo 
x + 1 y z - 1 
3 -2 0 = 0 
1 1 -3 
 
A equação geral do plano que passa pelo ponto P (1, 4, 0 ), sendo n = ( 2, -1, 3 ) um 
vetor normal ao plano é: Resp → 2x - y + 3z + 2 = 0 
 
Qual é a equação do plano que contém o ponto A (-3, -4, -4) e é ortogonal ao vetor 
(-1,-2,-6) ? 
Resp → -x - 2 y - 6 z - 35 = 0 Explicação: 
-1 x - 2 y - 6 z + [+ 1 (-3)+ 2 (-4) +6 (-4) ] = 0 -> -x - 2 y - 6 z - 35 = 0 
 
Determinar o vetor x que satisfaz as seguintes condições: x (esc) (3i+2j)=6 e x (vet) 
(2i+3k)=2i. Seja x=x1i+x2j+x3k. Resp → x1=0, x2=3 e x3=-7/2 
 
O produto misto entre os vetores u = ( 1, 2, 3 ), v = ( 2, 5, 0 ) e w = ( -2, 0, 2 
) é igual a: Resp → 32 
 
Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (5,2, 0 ) que tem a 
direção do vetor (2,2, 2 ) Resp → x= 5+2t y=2+2t z=2t 
Explicação: Temos: (x,y,z) = (5,2,0) + t(2,2,2) => x=5+2t , y=2+2t e z=2t 
 
Dados os pontos A(-1, 3), B(2, 5), C(3, -1) e O(0, 0), calcular OA – AB Resp 
→ (-4 1 ) 
 
Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (1,2, -1 ) que tem a 
direção do vetor (3,0, 0 ) Resp → x= 1+3t y=2 z=-1 
Explicação: Devemos ter: 
(x,y,z)=(1,2,-1) + t(3,0,0) => x=1+3t y=2 e z=- 1 
 
Determinar as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A(2,0,5) e tem 
a direção do vetor v=(-4,-1,3). Resp → y=-t z=5+3t x=- 4+2t 
Explicação: 
Temos que as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto P(x',y',z') e 
tem a direção do vetor v=(x",y",z") basta substituir os valores para obtermos: x=2-4t
 y=-t z=5+3t 
 
Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (5,-2, 0 ) que tem a 
direção do vetor (1, 1, 1 ) Resp → x =5+t y= -2+t z=t 
Explicação: Substituir cada ponto e cada componente do vetor nos seus 
respectivos lugares. 
Temos que: (x,y,z) = (5,-2,0) + t(1,1,1) => x=5+t , y=-2+t e z=t. 
 
Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-1,-2, 0 ) que tem a 
direção do vetor (1, 0, 1) Resp → X= -1+t y = -2 z = t 
Explicação: 
Temos que: (x,y,z) = (-1,-2,0) + t(1,0,1) => x=-1+t y=-2 z=t 
 
Obter a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto P (2,-3) e tem direção 
do vetor v = (5,4). 
Resp → x = 2 + 5t e y = -3 + 4t 
 
 
Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-1,0, 1 ) que tem a 
direção do vetor (1, 1, 1) Resp → X= -1+t y = t z = 1+t 
xplicação: Temos que: (x,y,z) = (-1,0,1) + t(1,1,1) => x=-1+t , y=t e z=1+t 
 
Qual volume do paralelepípedo formado pelos vetores u=(3,5,7) , v=(2,0,-1) e 
w=(0,1,3) ? 
Resp → 13 unidades de volum 
 
Marque a alternativa que mostra a equação geral do plano determinado pelos 
pontos: A(0,2,-1), B(1,-1,-1) e C(1,0,2) Resp → -9x-3y+z+7=0 
 
Dada à hipérbole de equação 5x2 - 4y2- 20x - 8y - 4 = 0, determine o centro da 
hipérbole. Resp → (2, -1) 
Explicação: 
Escrevendo a hipérbole da maneira convencional teríamos 
5[x2 - 4x + 4 - 4] - 4[y2 + 2y + 1] = 0 e daí, 5(x - 2)2 - 4(y + 1)2 = 20 e 
dividindo ambos os membros por 20 passamos a ter: (x - 2)2 / 4 + (y + 1)2 / 5 = 1. 
Então o centro é C(2, - 1) 
 
Uma parábola é um conjunto de pontos no plano cujas distâncias a um ponto fixo e 
a uma reta fixa são iguais. O ponto e a reta citados, na definição 
acima, são chamados Resp → foco e diretriz 
 
Encontre a área do triângulo de vértices A(1, 2, 5) B(3, 4, -1) e C(-2, -1, 4) Resp → 
10 x (2) 1/2 
 
Consideremos num sistema de coordenadas cartesianas um ponto P=(2,0) e uma 
reta r de equação x-1=0.Qual é o lugar geométrico dos pontos do plano cujas 
distâncias ao ponto P e à reta r são iguais ? 
Resp → Uma parábola cuja equação é y2 =2x-3