EXE Limites 2016

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UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ
INSTITUTO BÁSICO DE EXATAS
DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
EXERCÍCIOS DE LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES
 PROFESSOR EDER MINHOTO 2016
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Determine os limites abaixo :
( 1 ) L i m x 3 + 2x 2 – 5 .................................................. = 20
 x ( 3 x – 1
( 2 ) L i m x 4 – 1 ............................................................... = 4
 x ( 1 x – 1 
( 3 ) L i m s 2 – 9s + 14 ..................................................... = – 5 
 s ( 2 s – 2 
 ( 4 ) L i m t 2 – t – 2 ........................................................ = – 3 
 t ( - 1 t + 1
( 5 ) L i m 3 – ( 10 – x ...................................................... = 1 
 x ( 1 x 2 – 1 12
( 6 ) L i m h – 9 ........................................................... = 6
 h ( 9 ( h – 3 
( 7 ) L i m 2( x 2 + 8 – 6 ................................................. = – 2 
 x ( -1 x + 1 3 
( 8 ) L i m 5 - √ 4 + 3x ..................................................... = 3
 7 – x 10
( 9 ) L i m 3x 3 + 2x 2 – 5 ................................................... = 1
 x ( ( 6x 3 + x + 3 2
( 10 ) L i m 4 x – 2 ………………………………………. = 0
 x ( ( x 2 + 3
( 11 ) L i m 6 ................................................................. = não existe
 x ( 0 x
( 12 ) L i m sen 2x ............................................................. = 1
 x ( 0 6x 3
( 13 ) L i m ( 1 – cos x ) .................................................... = 1
 x ( 0 x . sen x 2
( 14 ) Se f (x) = 3x 2 + 3x , obter L i m f ( 2+ h ) – f ( 2 ) ........... = 15
 h ( 0 h
( 15 ) Esboce o gráfico da função g(x) abaixo e ache cada limite se existir .
 (a) L i m g(x) ............. = 2
 g(x) = 3x – 1 , se x ( 1 x ( 1-
 3 – x , se x ( 1 . (b) L i m g(x) ............. = 2 
 x ( 1+ 
 (c) L i m g(x) ........... = 2 
 x ( 1 
( 16 ) Verifique se a função f(x) abaixo é contínua em x = 2 .
 
 f(x) = 7x – 6 , se x ( 2
 2x 2 , se x ( 2 ......... contínua
( 17 ) Determine K para que a função h(x) abaixo seja contínua em x = 2 .
 2x 2 – 8 , para x ( 2
 h(x) = x – 2 
 2x – 4K , para x = 2 . .......... K = - 1 
( 18 ) A função f (x) = x 2 – 36 se x ( 6 
 x – 6 
 36 se x = 6 , é contínua em x = 6 .
 ............ não é contínua
( 19 ) Verifique se a função f(x) abaixo é contínua em x = 1 .
 x 2 + 1 se x ( 1
 f(x) = 1 se x = 1 
 x + 1 se x ( 1 .............não é contínua
( 20 ) Verifique se a função f(x) abaixo é contínua em x = 1 .
 f(x) = 3 – x 2 , se x ( 1
 1 + x 2 , se x > 1 ......... contínua
( 21 ) Dada a função f (x) = 
, determine o valor de x que a torna indeterminada e o valor de x que a torna um valor impróprio.
 .... x = 1 (indeterminada) .... x = 2 (valor impróprio) 
( 22 ) Dado o gráfico abaixo, determine o que se pede:
 (a) l i m f(x) (b) l i m f(x) (c) l i m f(x)
 x 
- 5
 x 
- 5
 x 
- 5
 (d) l i m f(x) (e) l i m f(x) (f) l i m f(x)
 x 
 4
 x 
 4
 x 
 4
 (g) l i m f(x) (h) l i m f(x) (i) l i m f(x)
 x 
 6
 x 
 6
 x 
 6
 (j) l i m f(x) (k) l i m f(x) (l) l i m f(x)
 x 
 8
 x 
 8
 x 
 8
 (m) f (-5) (n) f (- 4) (o) f (- 1) (p) f (6)
 
( 23 ) O custo médio por disco (em dólares) que a Companhia Record tem ao fabricar x CDs de áudio é dado pela função custo médio C (x) = 1,8 + 3000.
Calcule l i m C (x) e interprete o resultado obtido . x
 x → ∞
 ........... = 1,8
( 24 ) Um grande grupo imobiliário está construindo um complexo de casas, escritórios, lojas e escolas numa área de 5000 acres em uma área do estado de São Paulo. Como resultado desse desenvolvimento, os projetistas estimam que a população (em milhares) desse empreendimento daqui a T anos será dada por:
 P(t) = 25 t2 + 125 t + 200
 t2 + 5 t + 40
Qual será a população desse empreendimento a longo prazo?
 ........ = 25 milhares
( 25 ) A arrecadação mundial total pela exibição de um filme de grande sucesso de bilheteria é aproximada pela função T (x) = 120 x2
 x2 + 4 onde T ( x) é medido em milhões de dólares e x é o número de meses do filme em cartaz.
(a) Qual é a arrecadação de bilheteria após o primeiro mês de lançamento ?
(b) e após o segundo mês?
(c) Qual será a arrecadação do filme a longo prazo?
 ...............................(a) 24 milhões (b) 60 milhões (c) 120 milhões
Propriedades de Limites
Suponha que l i m f (x) = L e l i m g (x) = M 
 x (a x ( a
Então temos:
1. l i m c. f (x) = c . l i m f (x) = c L ( c , um número real)
 x (a x ( a
2. l i m [ f (x) ( g (x) ] = l i m f (x) ( l i m g (x) = L ( M
 x (a x ( a x ( a
3. l i m [ f (x) . g (x) ] = l i m f (x) . l i m g (x) = L . M
 x (a x ( a x ( a
4. l i m f (x) / g (x) = l i m f (x) / l i m g (x) = L / M
 x (a x ( a x ( a
 ( M ≠ 0 )
5. l im [ f (x) ] r = [ l i m f (x) ] r = L r ( r , um número real)
 x ( a x ( a
O Pi  e  o  Phi
Todos nós já ouvimos falar em número PI.
É o irracional mais famoso da história, com o qual se representa a  razão constante entre o perímetro de qualquer circunferência e o  seu diâmetro (equivale 3.141592653589793238462643383279502884197169399375...
e é conhecido "vulgarmente" como 3,1416 ). 
Não confundir com o número Phi que corresponde a 1,618. 
O número Phi (letra grega que se pronuncia "fi") apesar de não ser  tão conhecido, tem um significado muito mais interessante. Durante anos o homem procurou a beleza perfeita, a proporção ideal. 
Os gregos criaram então o retângulo de ouro. Era um retângulo a partir do  qual se calculava uma proporção: o lado maior era dividido pelo lado menor e a  partir desse resultado tudo era construído. 
Assim eles fizeram o Parthenon... a proporção do retângulo que forma a face central e lateral. A profundidade  dividida pelo comprimento ou altura, tudo seguia uma proporção ideal de 1,618. 
Os Egípcios fizeram o mesmo com as pirâmides: cada pedra era 1,618 menor do que a pedra de baixo, a de baixo era 1,618 maior que a de cima, que era  1,618 maior que a da 3ª fileira e assim por diante. 
Bom, durante milênios, a arquitetura clássica grega prevaleceu. O retângulo de ouro era padrão, mas depois de muito tempo veio a construção gótica com formas arredondadas que não utilizavam o retângulo de ouro grego. 
Mas, em 1200, Leonardo Fibonacci um matemático que estudava o crescimento das populações de coelhos criou aquela que é provavelmente a mais famosa "Lucida Handwriting" seqüência matemática, a Série Fibonacci. A partir de 2 coelhos, Fibonacci  foi  "Lucida Handwriting" contando como eles aumentavam a partir da reprodução de várias gerações e  chegou a uma sequência onde um número é igual à soma dos dois números anteriores: 
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 
  
1+1=2 
2+1=3
3+2=5
5+3=8
8+5=13
13+8=21
21+13 = 34 
E assim por diante.....
Aí entra a 1ª "coincidência": a proporção de crescimento média da série é... 1,618.
Os números variam, um pouco acima às vezes, em outras um pouco abaixo, mas a média é 1,618, exatamente a proporção das pirâmides do Egito e do retângulo de  ouro dos gregos. Então, essa descoberta de Fibonacci abriu uma nova idéia de tal  proporção, a ponto de os cientistas começarem a estudar a natureza em termos  matemáticos e começarem a descobrir coisas fantásticas. A proporção de abelhas fêmeas em comparação com abelhas machos numa colméia é de 1,618;
A proporção que aumenta o tamanho das espirais de um caracol é de 1,618; 
A proporção em que aumenta o diâmetro das sementes de um girassol é de 1,618; 
A proporção em que se diminuem as folhas de uma árvore à medida que subimos de altura é de 1,618; 
E não só na Terra se encontra tal proporção. Nas galáxias, as estrelas se distribuem em torno de um astro principal, numa espiral obedecendo à proporção de 1,618. 
Por isso, o número Phi ficou conhecido como A DIVINA PROPORÇÃO.
Por que os historiadores religiosos descrevem que foi a beleza perfeita que Deus teria escolhido para fazer o mundo? 
Bom, por volta 1500, com o retorno do Renascentismo, a cultura clássica 
voltou  à moda... Michelangelo e, principalmente, Leonardo da Vinci, grandes amantes  da cultura pagã, colocaram essa proporção natural em suas obras. Mas Da Vinci foi ainda mais longe: como cientista, ele pegava cadáveres para medir a proporção do seu corpo e descobriu que nenhuma outra coisa obedece tanto à DIVINA PROPORÇÃO do que o corpo humano... obra prima de Deus.
Por exemplo:
-  Meça sua altura e depois divida pela altura do seu umbigo até o chão; o resultado é 1,618.
-  Meça seu braço inteiro e depois divida pelo tamanho do seu cotovelo até o dedo e o resultado é 1,618.
-  Meça seus dedos, ele inteiro dividido pela dobra central até a ponta ou da dobra central até a ponta dividido pela segunda dobra. O resultado é 1,618; 
-  Meça sua perna inteira e divida pelo tamanho do seu joelho até o chão. O resultado é 1,618;
-  A altura do seu crânio dividido pelo tamanho da sua mandíbula até o alto da cabeça. O resultado 1,618;
-  Da sua cintura até a cabeça e depois só o tórax. O resultado é 1,618; considere sempre erros de medida da régua ou fita métrica, que não são objetos acurados de medição.
Tudo, cada osso do corpo humano é regido pela Divina Proporção. 
Coelhos, abelhas, caramujos, constelações, girassóis, árvores, arte e o homem: coisas  teoricamente diferentes, todas ligadas numa proporção em  comum.
Então, até hoje, essa é considerada a mais perfeita das proporções. 
Meça seu cartão de crédito, largura / altura, seu livro, seu jornal, uma foto revelada.
( Lembre-se: considere sempre erros de medida da régua ou fita métrica ).
Encontramos ainda o número  Phi nas famosas sinfonias como a 9ª de Beethoven e em outras diversas obras.
Então, isso tudo seria uma coincidência?...ou seria o conceito de Unidade com todas as coisas sendo cada vez mais esclarecido para nós? 
 
 
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