Lista de Exercícios - Limites

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
Campus Prof. Jose´ Alo´ısio de Campos
Departamento de Matema´tica
4a. Lista de exerc´ıcios (Limites de func¸o˜es)- Ca´lculo I - 2012.1, 05/03/2012
1. Para a func¸a˜o g cujo gra´fico e´ dado, determine o valor de cada quantidade, se ela existir. se na˜o
existir, explique por queˆ.
a)limx→−2−g(x) b) limx→−2+g(x) c)limx→−2g(x)
d)limx→2−g(x) e) g(−2) f)limx→2+g(x)
2. Para a func¸a˜o R cujo gra´fico e´ mostrado abaixo, determine
a)limx→2R(x) b)limx→5R(x)
c)limx→−3−R(x) d)limx→−3+R(x)
e) As equac¸o˜es das ass´ıntotas verticais.
3. Um paciente recebe uma injec¸a˜o de 150 mg de uma droga a cada 4 horas. O gra´fico, na figura
abaixo, mostra a quantidade f(t) da droga na corrente sangu´ınea apo´s t horas. Encontre
limt→12−f(t) e limt→12+f(t)
e explique o significado desses limites laterais.
1
4. Esboce o gra´fico da func¸a˜o a seguir e use-o para determinar os valores de a para os quais limx→af(x)
existe:
f(x) =
 2− x, se x < −1x, se − 1 ≤ x < 1(x− 1)2, se x ≥ 1
5. Determine os limites infinitos
a) limx→5+
6
x− 5 b) limx→1
2− x
(x− 1)2 c) limx→5+ ln(x− 5)
6. Dado que limx→af(x) = −3, limx→ag(x) = 0 e limx→ah(x) = 8 encontre, se existir, o limite. Caso
na˜o exista explique por queˆ.
a)limx→a[f(x)]2 b)limx→a[h(x)]1/3 c)limx→a
2f(x)
h(x)− f(x) .
7. Os gra´ficos de f e g sa˜o dados. Use-os para calcular cada limite. Caso na˜o exista o limite, explique
por queˆ.
a)limx→2[f(x) + g(x)] b)limx→1[f(x) + g(x)] c)limx→0[f(x)g(x)] d)limx→−1
f(x)
g(x)
e)limx→2[x3f(x)] f)limx→1
√
3 + f(x).
8. Calcule os limites justificando cada passagem pelas leis do limite que forem usadas.
a)limx→2
2x2 + 1
x2 + 6x− 4 b)limx→−1(t
2 + 1)3(t+ 3)5.
9. Calcule o limite, se existir.
a)limx→−2
x2 + x− 6
x+ 2
b) limx→−4
x2 + 5x+ 4
x2 + 3x− 4 c)limx→1
x3 − 1
x2 − 1 d)limx→0
(2 + x)3 − 8
x
2
e)limx→0
√
1 + x− 1
x
f)limx→2
x4 − 16
x− 2 g)limx→0
1
x
− 1
x2 + x
h)limx→−4
1
4 +
1
x
x+ 4
10. Empregue o Teorema do Confronto para mostrar que
a) limx→0
√
x3 + x2 sen pix = 0;
b) limx→0x3 sen 1x = 0;
c) limx→0x4 sen2
(
2
x3
)
= 0;
11. Se 3x ≤ f(x) ≤ x3 + 2 para 0 ≤ x ≤ 2, encontre limx→1f(x).
12. Prove que lim→0+
√
xesen(pi/x) = 0.
13. Dado |g(x)− 2| ≤ 3(x− 1)2 para todo x, encontre limx→1g(x).
14. Encontre, quando existir, o limite. Caso na˜o exista, explique o por queˆ.
a) limx→−4−
|x+ 4|
x+ 4
b)limx→0−(
1
x
− 1|x| ) c) limx→0ln(x) d) limx→pi/2tg(x).
15. Seja
f(x) =
{
4− x2, x < 2
x− 1, x > 2
a) Encontre limx→2−f(x) e lim→2+f(x).
b) Existe limx→2f(x)?
c) Esboce o gra´fico de f .
16. (a) Se o s´ımbolo bxc denota a func¸a˜o maior inteiro, calcule
i) limx→0+bxc ii)limx→−2bxc iii) limx→2,4bxc.
17. Na teoria da relatividade, a fo´rmula da Contrac¸a˜o de Lorentz
L = L0
√
1− v2/c2
expressa o comprimento L de um objeto como uma func¸a˜o de sua velocidade v em relac¸a˜o a um
observador, onde L0 e´ o comprimento do objeto no repouso e c e´ a velocidade da luz. Encontre
limv→c−L e interprete o resultado. Por que e´ necessa´rio o limite a` esquerda?
18. Qua˜o pro´ximo de 5 devemos tomar x para que 6x − 1 esteja a uma distaˆncia de 29 menor que a)
0,01 b)0,0001
19. Use o gra´fico dado de f para encontrar um nu´mero δ tal que |f(x) − 3| < 0, 6 sempre que 0 <
|x− 5| < δ
20. Um torneiro mecaˆnico fabrica um disco de metal circular com a´rea de 1000cm2.
a) Qual o raio do disco produzido?
b) Se for necessa´rio ao torneiro uma toleraˆncia de erro de ±5cm2 na a´rea do disco, qua˜o pro´ximo
do raio ideal, encontrado na parte a), o torneiro precisa controlar o raio?
3
21. Prove cada proposic¸a˜o usando a definic¸a˜o formal de limite.
a) limx→12x+ 3 = 5 b) limx→47− 3x = −5 c) limx→3x5 = 3/5 d) limx→ax = a
e) limx→0|x| = 0 f) limx→3x2 + x− 4 = 8 g) limx→2x3 = 8 h) limx→2 1x = 1/2
i) limx→a
√
x =
√
a, a > 0. Sugesta˜o: Use |√x−√a| = |x− a|√
x+
√
a
.
22. Suponha que limx→af(x) =∞ e limx→ag(x) = c, c ∈ R. Prove que limx→a[f(x) + g(x)] =∞.
23. Para a func¸a˜o g, cujo gra´fico e´ dado abaixo, determine
a) limx→∞g(x) limx→3g(x) c)limx→−2+g(x) d)limx→−∞g(x)
e)limx→0g(x) f) As equac¸o˜es das ass´ıntotas.
24. Esboce o gra´fico de um exemplo de func¸a˜o f que satisfac¸a as condic¸o˜es dadas abaixo.
limx→0+f(x) =∞, limx→0−f(x) = −∞, limx→∞f(x) = 1 e limx→−∞f(x) = 1.
25. Encontre os limites.
a) limx→∞
√
12x3 − 5x+ 2
1 + 4x2 + 3x3
b)limx→∞
1
2x+ 3
c)limy→∞
2− 3y2
5y2 + 4y
d)limt→−∞
t2 + 2
t3 + t2 − 1
e)limx→(pi/2)+ etgx.
26. Encontre as ass´ıntotas horizontal e vertical da curva y =
x2 + 4
x2 − 1 .
4
27. Para o limite
limx→∞
√
4x2 + 1
x+ 1
= 2
encontre o valor de N para ² = 0, 5.
28. Use a definic¸a˜o de limite para provar que limx→∞ex =∞.
29. Encontre a inclinac¸a˜o da reta tangente a` para´bola y = 1 + x+ x2 nos pontos onde x = a.
30. Considere um objeto movendo-se com uma func¸a˜o posic¸a˜o s = f(t).
a)Escreva uma expressa˜o para a velocidade me´dia dele no intervalo de tempo desde t = a ate´ t =
a+ h.
b)Encontre uma expressa˜o para a velocidade instantaˆnea dele no tempo t = a.
Exerc´ıcios e figuras retirados do livro Ca´lculo, James Stewart
volume I
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