Exercícios e Provas Anteriores Pré-Calculo

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uff
Universidade Federal Fluminense
Instituto de Matema´tica e Estatı´stica
Departamento de Matema´tica Aplicada - GMA
Campus do Valonguinho
Rua Ma´rio Santos Braga s/n
24020 -140 Nitero´i, RJ
Tels: (21) 26.29.20.86Pre´ - Ca´lculo 2015.2
Inı´cio do curso: 25 de novembro de 2015
Turma A1 : aulas nas 2as e 4as / sala IMG-205 / 07:00 – 09:00 / Prof Saponga
Turma B1 : aulas nas 2as e 4as / sala IMG-205 / 11:00 – 13:00 / Prof Saponga
Turma C1 : aulas nas 3as e 5as / sala IMG-201 / 18:00 – 20:00 / Profa Maria Lu´cia
Local das aulas: nova sede do IME -UFF
Campus do Gragoata´ - Bloco G
IMG = sala do bloco G
Sobre o curso e o crite´rio de avaliac¸a˜o
O processo de avaliac¸a˜o sera´ feito atrave´s de provas escritas, denominadas Verificac¸o˜es (VE). Sera˜o aplicadas duas provas
regulares, com pesos 2 e 3 respectivamente :
Nota Final =
2× VE 1 + 3× VE 2
5
Ale´m dessas duas provas regulares, havera´ uma terceira prova escrita, denominada Segunda Chamada (VR), a qual sera´
aplicada apo´s a VE 2 e cobrira´ toda a mate´ria do curso.
+ Atenc¸a˜o :
(i) O aluno so´ pode fazer prova na turma na qual ele esta´ matriculado ;
(ii) Tem direito a Segunda Chamada (VR) o aluno que faltou a pelo menos uma das duas provas acima citadas ;
(iii) Se o aluno faltou a apenas uma das provas, enta˜o a Segunda Chamada (VR) substituira´ essa prova ;
(iv) Se o aluno faltou a duas provas, enta˜o a Segunda Chamada (VR) substituira´ a VE 1 .
Definida a Nota Final teremos :
• Se a frequ¨eˆncia for < 75% , enta˜o o aluno estara´ reprovado (por falta);
• Se a Nota Final for < 4.0 , enta˜o o aluno estara´ reprovado (por me´dia);
• Se a Nota Final for ≥ 6 e a frequ¨eˆncia for ≥ 75% , enta˜o o aluno estara´ aprovado (por me´dia) ;
• Se 4 ≤ Nota Final < 6 e frequ¨eˆncia ≥ 75% , enta˜o o aluno tera´ direito a uma Verificac¸a˜o Suplementar (VS)
sobre toda a mate´ria do curso :
– Se a nota da VS for < 6 , enta˜o o aluno estara´ reprovado.
– Se a nota da VS for ≥ 6 , enta˜o o aluno estara´ aprovado.
Datas das provas:
VE 1 : 20 de janeiro (4a feira) - Turmas A1 , B1
26 de janeiro (3a feira) - Turma C1
VE 2 : 16 de marc¸o (4a feira) - Turmas A1 , B1
22 de marc¸o (3a feira) - Turma C1
VR : 21 de marc¸o (2a feira) - Turmas A1 , B1
24 de marc¸o (5a feira) - Turma C1
VS : 28 de marc¸o (2a feira) - Turmas A1 , B1
31 de marc¸o (5a feira) - Turma C1
Todas as provas sera˜o realizadas no hora´rio das aulas e tera˜o durac¸a˜o de 1 h 45min cada.
Enderec¸o do GMA na internet : http://www.uff.br/gma/ Coordenac¸a˜o do curso
Textos na internet:
https://dl.dropboxusercontent.com/u/12469523/PC2015.2.zip
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Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica
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Exerc´ıcios sobre Func¸o˜es
1. Quais das func¸o˜es a seguir sa˜o sobrejetoras e quais sa˜o injetoras?
(i) f : R→ R onde f(x) = 2x− 3 ;
(ii) f : R→ R onde f(x) = x2 − 16 ;
(iii) f : R→ R onde f(x) = x
2
x2 + 1
;
(iv) f : (−∞, 1) ∪ (1,∞)→ R onde f(x) = 1
x− 1 ;
(v) f : R→ R onde f(x) =
{
x quando x ≥ 0
2x quando x ≤ 0
(vi) f : R→ R onde f(x) =
{
x2 quando x ≥ 0
−x2 quando x ≤ 0
(vii) f : R→ R onde f(x) =
{
1/x quando x > 0
−x2 quando x ≤ 0
(viii) f : ( 0 , 1 ]→ [ 1 ,∞) onde f(x) = 1/x
(ix) f : R→ R onde f(x) = 2x
(x) f : [ 1 ,∞)→ [ 1 ,∞) onde f(x) = x4/5
(xi) f : [ 1 ,∞)→ [ 1 ,∞) onde f(x) = x4/5
(xii) f : (−∞, 0 ) ∪ ( 0 ,∞)→ R− {0} onde f(x) = x−3/7.
2. Em cada item, estabelec¸a qual o maior dom´ınio e qual o maior contradom´ınio podemos escolher na reta, para
que as expresso˜es abaixo definam func¸o˜es nesses dom´ınios e contradom´ınios.
(a) f(x) = x3 − x2
(b) f(x) =
x+ 1
x2 − 1
(c) f(x) =
√
x
(d) f(x) =
√
1− x
(e) f(x) =
√
x2
(f) f(x) =
x+ 1
x2 + 1
(g) f(x) =
√
x+ 1
x2 − 1
(h) f(x) = 3
√
x
(i) f(x) =
4
√
x3
(j) f(x) =
√
x2 − 1
(k) g(x) =
2x
x
(l) f(x) =
√
x2 − 4x+ 4
(m) f(x) =
√
x2 − 2x− 3
(n) f(x) =
√
2− |x|
(o) f(x) =
x− 1
1− |x| .
3. Mostre que as func¸o˜es a seguir sa˜o bijetoras e determine dom´ınio, contradom´ınio e a expressa˜o da respectiva
inversa.
(a) f : R→ R onde f(x) = 2x− 3
(b) f : [ 0 ,∞)→ [ 1 ,∞) onde f(x) = x2 + 1
(c) f : (−∞ ,−1 ]→ [−1 ,∞) onde f(x) = x2 + 2x
(d) f : R→ R onde f(x) = 2x3
Func¸o˜es 2
(e) f : R→ R onde f(x) = x3 − 1
(f) f : (−∞ , 0 ]→ [−1 ,∞) onde f(x) = x4 − 1
(g) f : (−∞, 0) ∪ (0 ,∞)→ (−∞, 0) ∪ (0 ,∞) onde f(x) = 1/x
(h) f : (−1 ,∞)→ (0 ,∞) onde f(x) = 1
x+ 1
(i) f : (−∞,−1)→ (0 ,∞) onde f(x) = 1
x2 − 1
(j) f : [ 0 , 1 )→ (−∞ ,−1 ] onde f(x) = 1
x2 − 1
(k) f : ( 1 ,∞)→ ( 0 ,∞) onde f(x) = 1
x2 − 1
(l) f : ( 2 ,∞)→ ( 1 ,∞) onde f(x) = 1
x3 − 8 + 1
(m) f : (−∞ , 2 )→ (−∞ , 1 ) onde f(x) = 1
x3 − 8 + 1
4. As func¸o˜es a seguir podem na˜o ser bijetoras. Fac¸a restric¸o˜es nos dom´ınios e contradom´ınios dessas aplicac¸o˜es
para que elas fiquem bijetoras e determine dom´ınio, contradom´ınio e as expresso˜es das respectivas inversas. Fac¸a
isso diminuindo o mnimo possvel o domnio e o contra-domnio das func¸o˜es. Repita o exerc´ıcio usando outro
subconjunto do dom´ınio no qual a aplicac¸a˜o e´ injetora.
(a) f(x) = x2 − 4x+ 3
(b) f(x) = 4− x2
(c) f(x) =
2
x2 + 1
(d) f(x) =
x
x− 1
(e) f(x) =
x+ 3
x− 2
(f) f(x) =
x2
x2 − 2
(g) f(x) =
√
x− 2
(h) f(x) =
√
2− 3x
(i) f(x) =
√
x2 + 4
(j) f(x) = 3
√
x− 1
(k) f(x) = 3
√
x2 − 1
(l) f(x) = |x− 1|
(m) f(x) = |4− x2|
(n) f(x) =
√
4− |x|
(o) f(x) =
1
1− x2
(p) f(x) =
x
x2 − 1
5. Todas as aplicac¸o˜es a seguir sa˜o aplicac¸o˜es da reta na reta. Determine, em cada item, as compostas f ◦ g e
g ◦ f .
(a) f(x) = 2x− 1 e g(x) = 3x2 + 2
(b) f(x) = 2x2 − 1 e g(x) = |x− 1|
(c) f(x) =
√
1 + x2 e g(x) = x2 + 3
(d) f(x) = 1 + 3
√
1− x e g(x) = x− |x|
(e) f(x) =
{
x quando x ≥ 0
−x2 quando x ≤ 0 e g(x) = x
2
(f) f(x) =
{
x quando x ≥ 0
−x2 quando x ≤ 0 e g(x) = 1− |x|
6. Nas expresso˜es a seguir, o dom´ınio considerado e´ o maior subconjunto da reta para o qual a expressa˜o faz sentido
e o seu contradom´ınio e´ a reta.
Fac¸a restric¸o˜es no dom´ınio de f , se necessa´rio, afim de que a composta g ◦ f fique bem definida, e determine
o dom´ınio e a expressa˜o de g ◦ f . Repita o exerc´ıcio trocando f por g.
(a) f(x) =
1
x
e g(x) = 2x+ 3
(b) f(x) =
1
x+ 1
e g(x) = 2x+ 3
(c) f(x) =
x
x2 + 1
e g(x) =
1
x
(d) f(x) =
√
x e g(x) = 2x+ 3
Func¸o˜es 3
(e) f(x) = 3
√
x e g(x) = 2x2 + 3
(f) f(x) =
x√
x+ 1
e g(x) =
1
1− x
(g) f(x) = |x+ 2| e g(x) = 1− |x|
(h) f(x) =
√
4− |x| e g(x) = √4− x2
7. Nos exerc´ıcios a seguir a aplicac¸a˜o a ser constru´ıda tem a reta como contradom´ınio.
(a) Um retaˆngulo tem como base o dobro de sua altura.
• Escreva o per´ımetro desse retaˆngulo em func¸o da medida da altura, especificando o dom´ınio da func¸o
no contexto do problema;
• Escreva o per´ımetro desse retaˆngulo em func¸o da medida da base, especificando o dom´ınio da func¸o
no contexto do problema;
• Escreva o per´ımetro desse retaˆngulo em func¸o da medida da diagonal, especificando o dom´ınio da
func¸o no contexto do problema;
• possvel escrever o per´ımetro
desse retaˆngulo em func¸o do ngulo que a diagonal faz com a base ?
• Repita os trs itens anteriores trocando permetro por rea;
(b) Num triaˆngulo retaˆngulo, um dos catetos mede um terc¸o do outro.
i. Escreva a medida da hipotenusa desse triaˆngulo em func¸o da medida do cateto menor, especificando
o dom´ınio da func¸o no contexto do problema;
ii. Escreva a medida da hipotenusa desse triaˆngulo em func¸o da medida do cateto maior, especificando o
dom´ınio da func¸o no contexto do problema;
iii. Escreva o permetro desse triaˆngulo em func¸o da medida do cateto menor, especificando o dom´ınio da
func¸o no contexto do problema;
iv. Escreva o permetro desse triaˆngulo em func¸o da medida da hipotenusa, especificando o dom´ınio da
func¸o no contexto do problema;
v. Escreva a rea desse triaˆngulo em func¸o da medida da hipotenusa, especificando o dom´ınio da func¸o no
contexto do problema;
(c) Um tringulo equiltero est inscrito num crculo de raio r > 0 . Escreva:
i. o permetro do tringulo em func¸o do raio do crculo, especificando o dom´ınio da func¸o no contexto do
problema;
ii. a rea do tringulo em func¸o do raio do crculo, especificando o dom´ınio da func¸o no contexto do problema.
(d) Um tringulo equiltero est circunscrito num crculo de raio r > 0 . Escreva:
i. o permetro do tringulo em func¸o do raio do crculo, especificando o dom´ınio da func¸o no contexto do
problema;
ii. a rea do tringulo em func¸o do raio do crculo, especificando o dom´ınio da func¸o no contexto do problema.
(e) Um retngulo est inscrito num crculo de raio 10 cm. Sabendo que um dos lados do retngulo mede ` cm ,
escreva:
i. quanto mede o outro lado em func¸o de ` , especificando o dom´ınio da func¸o no contexto do problema;
ii. quanto mede o permetro do retngulo em func¸o de `, especificando o dom´ınio da func¸o no contexto
do problema;
iii. quanto mede a rea do retngulo em func¸o de `, especificando o dom´ınio da func¸o no contexto do
problema.
(f) Um tringulo issceles est inscrito num crculo que delimita uma rea de 20 cm2. Sabendo que dois dos lados
do tringulo medem ` cm , escreva:
i. quanto mede o terceiro lado em func¸o de ` , especificando o dom´ınio da func¸o no contexto do problema;
ii. quanto mede o permetro do tringulo em func¸o de `, especificando o dom´ınio da func¸o no contexto do
problema;
iii. quanto mede a rea do tringulo em func¸o de `, especificando o dom´ınio da func¸o no contexto do
problema;
(g) Um crculo esta´ inscrito num tringulo equiltero de lado `. Escreva:
i. quanto mede o raio do crculo em func¸o de ` , especificando o dom´ınio da func¸o no contexto do
problema;
Func¸o˜es 4
ii. quanto mede o permetro do crculo em func¸o de `, especificando o dom´ınio da func¸o no contexto do
problema;
iii. quanto mede a rea da regio delimitada pelo crculo em func¸o de `, especificando o dom´ınio da func¸o
no contexto do problema;
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UFF - GMA- Lista8 - Pre´-Ca´lculo 2010-2 1
LISTA 8
1. Quando o sol esta´ a 60◦ acima do horizonte, qual e´ o comprimento da sombra projetada no solo por um
edif´ıcio de 27m de altura?
2. Um avia˜o voando a uma velocidade constante de 360 km/h, subindo a um aˆngulo de 30◦, passa por um
ponto P que esta´ no solo, a uma altura de 12km. Determine a distaˆncia de P ao avia˜o, 1 minuto apo´s o
avia˜o passar sobre o ponto P .
3. Para determinar a largura aproximada de um rio, sem atravessa´-lo, um engenheiro procedeu da seguinte
maneira:
• construiu um plano vertical imagina´rio contendo uma reta horizontal na direc¸a˜o perpendicular ao
rio e de forma que mirando o topo de uma a´rvore na margem oposta, esse topo seja um ponto P do
plano vertical.
• de um ponto A da margem, na direc¸a˜o da mesma perpendicular ao rio, avistou o topo P da a´rvore
sob um aˆngulo de 38◦ com a horizontal.
• recuando 15m na mesma direc¸a˜o perpendicular ao rio, ate´ um ponto B, visou novamente o topo da
a´rvore, registrando 26◦ com a horizontal.
Com esses dados ele fez os ca´lculos necessa´rios. Qual a largura do rio?
4. Uma esfera de raio r e´ colocada no interior de uma cavidade coˆnica. sabe-se que o raio da base da cavidade
e´ 5 cm e o aˆngulo entre as geratrizes da cavidade situadas em um plano vertical a` essa cavidade e´ de 60◦.
(a) Calcular a distaˆncia aproximada do centro da esfera de raio r ao ve´rtice do cone, se r = 4 cm.
(b) Qual deve ser, aproximadamente, o raio da esfera para que o topo da mesma seja o centro da base
do cone?
5. Calcule o valor da expressa˜o y =
tanx+ cotx
secx+ cscx
, sabendo que senx+ cosx = 23 .
6. Calcule o valor da expressa˜o y = sen (2x) se senx+ cosx = 1√
3
, 0 ≤ x ≤ pi.
7. Calcule o valor de y, se y = cos 75◦ + cos 15◦.
8. Determine m para que exista x, em cada caso:
(a) cosx = m2 − 8 (b) cosx = 3− 7m
4
(c) 2 senx+ 1 = m
9. Prove que cada identidade e´ verdadeira para todo x ∈ R:
(a) sen 4x− cos4 x+ cos 2x = 0 (b) (cosx+ senx)2 + (cos (−x) + sen (−x))2 = 2
10. Simplique as expresso˜es:
(a)
cos
(
pi
2 − x
) · sen (pi2 − x) · cos(pi + x)
sen (pi − x) · cos(x− 2pi) · cos (pi2 + x) (b)
tanx+ cotx
csc2 x
11. Resolva e marque a soluc¸a˜o no c´ırculo trigonome´trico.
(a) cosx = −
√
3
2
(b) cosx− 4 cos5 x = 0
(c) | senx− 1| = 12
(d) 2 sen 2x− 3 cosx− 3 = 0
(e) 2 cos3 θ + 6 cos θ − cos2 θ − 3 = 0
(f) 2 senx− cosx = 1
(g) −12 ≤ senx ≤ 12
(h) 2 cos2 x− cosx < 0
(i) cos4 x− sen 4x =
√
3
2
(j) senx+ sen 4x = 0
(k)
1
1− senx ≥
1
senx
,
para 0 < x < 2pi, x 6= pi2 , pi
(l) 4 senx <
1
cosx
,
para 0 ≤ x ≤ 2pi, x 6= pi2 , 3pi2
UFF - GMA- Lista8 - Pre´-Ca´lculo 2010-2 2
(m)
sen 2x− senx
2 senx− 1 > 0,
para 0 ≤ x ≤ 2pi, x 6= pi6 , 5pi6
(n) | cos 4x| = 1
(o) ]2 senx| senx| − 1 ≤ 0
12. Esboce os gra´ficos passo a passo.
(a) f(x) = | cosx− 12 |
(b) f(x) = cos(x− pi4 ), 0 ≤ x ≤ 2pi
(c) f(x) = sen (2x− pi)
(d) f(x) = −3 sen |x|
(e) f(x) = | tan(x− pi4 )− 1|
(f) f(x) = | cos(pi − x)| − 1
(g) * f(x) = 5 senx cosx, 0 ≤ x ≤ 2pi
(h) * f(x) =
sen 2x
2
, −pi ≤ x ≤ pi
(i) *f(x) =
√
1− cos2(x2 )
(j) f(x) = 2 arctan(x+ 1)
*Use primeiro alguma identidade trigonome´trica.
13. Calcule:
(a) arcsen (
√
3
2 ) (b) arctan(−1) (c) arccos(−1)
14. Prove que cos( arcsenx) =
√
1− x2, ∀x ∈ [−1, 1].
15)Determine o domı´nio das func¸o˜es
a) f(x) =
1− 1
x
4 senx cosx− 1 .
b) f(x) =
√
2 sen 2x− 1
c) f(x) =
1
sen 2x
+
x√
cosx−√ senx
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Lista 8 de Pre´-Ca´lculo 2010-2 (RESPOSTAS) 3
RESPOSTAS DA LISTA 8 - Trigonometria
1. 9
√
3 m
2. h = 6
√
7 km
3. 25, 34m
4. (a) 8 cm (b) 5
√
3
2 cm
5. 32
6. − 23
7.
√
6
2
8. (a) −3 ≤ m ≤ −√7
ou
√
7 ≤ m ≤ 3
(b) 1 ≤ m ≤ 11
3
(c) −1 ≤ m ≤ 3
10. (a) cotx (b) tanx
11. (a) x = 5pi6 + 2kpi, k ∈ Z
ou x = 7pi6 + 2kpi, k ∈ Z
(b) x = pi4 + 2kpi, k ∈ Z
ou x = 3pi4 + 2kpi, k ∈ Z
ou x = pi2 + 2kpi, k ∈ Z
(c) x = pi6 + 2kpi, k ∈ Z
ou x = 5pi6 + 2kpi, k ∈ Z
(d) x = 2pi3 + 2kpi, k ∈ Z
ou x = 4pi3 + 2kpi, k ∈ Z
ou x = pi + 2kpi, k ∈ Z
(e) x = pi3 + 2kpi, k ∈ Z
ou x = −pi3 + 2kpi, k ∈ Z
(f) x = pi + 2kpi, k ∈ Z
ou x = arctan 43 + 2kpi, k ∈ Z
(g) −pi6pi + 2kpi < x < pi6pi + 2kpi, k ∈ Z
ou 5pi6 + 2kpi < x <
7pi
6 + 2kpi, k ∈ Z
Lista 8 de Pre´-Ca´lculo 2010-2 (RESPOSTAS) 4
(h) −pi2 + 2kpi < x < −pi3 + 2kpi, k ∈ Z
ou pi3 + 2kpi < x <
pi
2 + 2kpi, k ∈ Z
(i) x = pi12 + kpi, k ∈
Z
ou x = − pi12 + kpi, k ∈ Z
(j) x =
pi
3
+
2kpi
3
, k ∈ Z
ou x =
2kpi
5
, k ∈ Z
(k)
[
pi
6 ,
pi
2
) ∪ (pi2 , 5pi6 ] ∪ (pi, 2pi)
(l)
(
0, pi12
) ∪ (5pi12 , pi2 ) ∪ (13pi12 , 17pi12 ) ∪ (3pi2 , 2pi)
(m)
[
0, pi6
) ∪ (5pi6 , pi)
(n) x = kpi4 , k ∈ Z
(o) −5pi4 + 2kpi ≤ x ≤ pi4 + 2kpi, k ∈ Z
Lista 8 de Pre´-Ca´lculo 2010-2 (RESPOSTAS) 5
12. (a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
13. (a) pi3 (b) −pi4 (c) pi
14. Queremos calcular cos( arcsenx).
Considere θ = arcsenx.
Nesse caso, sabemos que
−pi2 ≤ θ ≤ pi2 , cos θ ≥ 0, x = sen θ.
Queremos calcular cos θ. Mas,
cos2 θ = 1− sen 2θ =⇒ cos θ = ±√1− sen 2θ.
Como cos θ ≥ 0, cos θ = √1− sen 2θ
Como x = sen θ, cos θ =
√
1− x2,
Como θ = arcsenx, cos( arcsenx) =
√
1− x2.
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Exerc´ıcios sobre Polinmios
Nota: Todos os polinoˆmios aqui considerados so polinoˆmios a coeficientes reais e a varivel real.
1. Quais das expresso˜es a seguir sa˜o polinoˆmios ? Para aquelas que sa˜o polinoˆmios determine o grau, o termo
independente e o coeficiente do termo de maior grau.
(a) x2 − 2x3 + 4 ;
(b) 1− x4 − x2 + x− x1/3;
(c) λx3 − pi|x|2 − 1 ;
(d) (a2 − 1)x4 + (a2 + a)x2 + x+√2 ;
(e) 1 + x + x2 + x3 + x4 + · · · + xn + · · · onde
n ∈ Z+ ;
(f) 1 + x−1 + x−2 + x−3 ;
(g) (x3 − x2)/b onde 0 6= b ∈ R ;
(h)
(|x|2 − 1)10 ;
(i) |x− 1|+ 2 ;
(j) (2x3 − 1)12.
2. Quais das afirmac¸o˜es a seguir sa˜o falsas e quais sa˜o verdadeiras ?
• A soma de dois polinoˆmios de grau 6 e´ um polinoˆmio de grau 6 ;
• O produto de dois polinoˆmios de grau 5 e´ um polinoˆmio de grau 10 ;
• A diferenc¸a de dois polinoˆmios de grau 8 pode ser um polinoˆmio de grau 3 ;
• Se 0 e´ raiz de um polinoˆmio enta˜o o seu termo independente e´ nulo ;
• Se todos os coeficientes de um polinoˆmio de grau 5 sa˜o positivos enta˜o o polinoˆmio nunca se anula .
• Se todos os coeficientes de um polinoˆmio de grau par sa˜o positivos enta˜o o polinoˆmio nunca se anula .
3. Qual e´ o significado geome´trico do termo independente de um polinoˆmio de grau n ∈ Z+ ?
4. Dois polinoˆmios de grau 2 que teˆm exatamente as mesmas ra´ızes sa˜o iguais ? Se na˜o, qual a diferenc¸a essencial
entre eles ?
5. Considere o polinoˆmio P (x) = x5−2x3+3x2−5 . Escreva a expressa˜o dos polinoˆmios P (x+2) , x2 P (1−x) ,
P (x2 − 1) .
6. Se P (x) e´ um polinoˆmio de grau n ∈ Z+ qual e´ o grau dos polinoˆmios a seguir ?
(a) x2 P (x)
(b) P (x− 2)
(c) P (x2 + 1)
(d) P (1− x3)
(e) x4 P (x− x3)
(f)
(
P (x)
)4
(g)
(
P (x+ x3)
)4
(h) xn P (x)− P (x2)
(i) P (2) .
7. Sabendo que x = −2 e´ raiz do polinoˆmio P (x) , determine uma raiz de cada um dos polinoˆmios:
(a) 3P (x)
(b) P (x− 2)
(c)
(
P (x)
)3
(d) P (x2 − 2)
(e) P (x3 − x2)
(f) P (3x+ 4) .
8. Determine o coeficiente do termo de maior grau e o termo independente dos polinoˆmios a seguir.
(a) (x2 − 2)(1− x− x2 − · · · − x7) ;
(b) (x− x2 + 2)(x7 + 2x8 − 3x2 − x4 + 5x− 6) ;
(c) (1 + 2x2 + 3x3 + · · ·+ nxn)(x3 − x4 + x5 − · · · − x10) .
9. Determine as ra´ızes reais, caso existam, dos polinoˆmios a seguir.
Polinmios 2
• 2x4 + 4x2 − 6
• 12 + 4x3 − x6
• x8 + 5x4 + 6
• x5 − 3x3 − 4x
• 12x2 + 4x5 − x8
• x11 + 5x7 + 6x3.
10. O Teorema Fundamental da A´lgebra nos garante que um polinoˆmio de grau n ∈ Z+ possui no ma´ximo n ra´ızes
distintas. Use este fato para concluir que
• Se dois polinoˆmios de grau 1 coincidem em 2 pontos distintos enta˜o eles sa˜o iguais ;
• Se dois polinoˆmios de grau 2 coincidem em 3 pontos distintos enta˜o eles sa˜o iguais ;
• Se dois polinoˆmios de grau 3 coincidem em 4 pontos distintos enta˜o eles sa˜o iguais ;
• Se dois polinoˆmios de grau n coincidem em n+ 1 pontos distintos enta˜o eles sa˜o iguais .
11. Use o exerc´ıcio anterior para concluir que se 2 para´bolas coincidem em 3 pontos distintos enta˜o elas sa˜o iguais.
12. Entre quais dois inteiros consecutivos existe uma raiz do polinoˆmio P (x) = 28x3 − 11x2 + 15x− 28 ?
(i) -2 e -1 (ii) -1 e 0 (iii) 0 e 1 (iv) 1 e 2 (v) 2 e 3 .
13. Quantas soluc¸o˜es positivas temos na equac¸a˜o x4 + x3 − 3x2 − 3x = 0 onde x ∈ R ?
14. O quadro ao lado mostra o gra´fico de um polinoˆmio P (x) de grau
5.
(a) Qual e´ o termo independente de P (x) ?
(b) Determine as ra´ızes de P (x) e suas respectivas multiplicidades.
Justifique sua resposta.
(c) Sera´ que existe α ∈ R tal que o polinoˆmio P (x) + α na˜o
possua ra´ızes reais ?
(d) Determine a expressa˜o de P (x) .
−1 2 4
2
x
15. O quadro abaixo mostra o gra´fico de um polinoˆmio P (x) de grau 4.
(a) Determine as ra´ızes de P (x) e suas respectivas multiplicidades.
(b) Determine um inteiro α tal que o polinoˆmio P (x) + α na˜o tenha ra´ızes reais.
2 4
−1
x
16. Nos itens abaixo, o primeiro fator de cada polinmio indica a presenc¸a de uma raiz :
(i) P (x) = (x− 1)2(x3 + 3x2 − 2x− 2)5 ;
(ii) P (x) = (x+ 2)(x3 + 7x2 + 8x+ 12)2 ;
(iii) P (x) = (x+ 1)(x7 + x+ 1) ;
(iv) P (x) = (x− 1)(x9 + x+ 1) ;
(v) P (x) = (x+ 1)(x7 + x+ 2) .
Nessa condic¸o :
(a) Determine a multiplicidade desta raiz ;
(b) Esboce o grfico do polinmio para valores da varivel pro´ximos desta raiz.
17. Estude o sinal dos polinmios e as multiplicidades de suas razes:
Polinmios 3
(i) P (x) = (x+ 1)3(x10 + 2x4 + x2 + 8)5
(ii) P (x) = (x+ 2)2(x4 − x3 + x2 + x)
18. Considere o polinoˆmio P (x) = (x+ 2)2(x4 + x3 + x2 + x)3 .
• Determine as razes de P (x) e suas respectivas multiplicidades ;
• Estude o sinal de P (x) ;
• Esboce o grfico de P (x) quando a varivel x ∈ R est prxima de cada uma das razes de P (x) ;
• Qual o comportamento de P (x) no infinito, isto e´, calcule :
lim
x→∞P (x) e limx→−∞P (x) .
19. Vimos que todo polinmio de grau mpar tem pelo menos uma raiz (real). Essa propriedade seguiu como consequn-
cia do comportamento de um tal polinoˆmio no infinito e do fato de expresses polinomiais variarem continuamente.
Mostre que se um polinmio de grau par assume valores positivos e valores negativos ento ele tem pelo menos
duas razes (reais).
20. Mostre que se um polinmio de grau mpar possui uma raiz de multiplicidade 2 ento ele possui pelo menos mais
uma raiz (real).
21. Generalize o resultado do exerccio anterior.
22. Mostre que se um polinmio de grau par tem uma raiz de multiplicidade mpar ento ele tem pelo menos mais uma
raiz (real).
23. Generalize o resultado do exerccio anterior.
24. Suponha que P (x) e´ um polinmio satisfazendo as condic¸es:
• possui 1 como raiz de multiplicidade 3 ;
• possui grau 5 ;
• limx→−∞ P (x) =∞ ;
• o termo independente vale −1 .
Qual a forma de P (x) ?
25. Seja P (x) um polinoˆmio com as seguintes propriedades :
• tem apenas 2 razes (reais) distintas e sobre elas sabe-se que uma tem multiplicidade 2 e da outra nada se
sabe sobre a multiplicidade ;
• limx→∞ P (x) = −∞ e limx→−∞ P (x) =∞ .
O que se pode dizer da multiplicidade da segunda raiz ? Quais so as possibilidades para a tabela de sinais de
P (x) ?
26. Generalize o resultado descrito no exerccio anterior.
27. Seja P (x) um polinoˆmio com as seguintes propriedades :
(i) tem apenas 3 razes (reais) distintas e sobre elas sabe-se que uma tem multiplicidade 3 , outra tem multi-
plicidade 2 e da terceira nada se sabe sobre a multiplicidade
;
(ii) limx→∞ P (x) = −∞ e limx→−∞ P (x) =∞ .
O que se pode dizer da multiplicidade da terceira raiz ? Quais so as possibilidades para a tabela de sinais de
P (x) ?
28. Seja P (x) o seguinte polinoˆmio:
P (x) =
(
x+ x2
)2(
4− x2
)(
x2 + 3x+ 2
)(
x2 + x+ 9
)
.
(a) Determine as raizes (reais) de P (x) e suas respectivas multiplicidades ;
Polinmios 4
(b) Fac¸a a decomposic¸a˜o de P (x) segundo o Teorema Fundamental da A´lgebra como enunciado em sala de
aula.
29. A figura a seguir mostra o gra´fico de um polinoˆmio P (x) de grau 4 . Determine esse polinoˆmio sabendo que
P (0) = 1. Mostre que existe um nu´mero real k tal que o polinoˆmio Q(x) = P (x) + k na˜o possui ra´ızes reais.
1 2−1
1
x
y
30. Os gra´ficos ao lado sa˜o gra´ficos de polinoˆmios: um de
grau 4 e outro de grau 5.
(a) Qual deles tem grau 4 ?
(b) Quanto vale o termo independente do polinoˆmio
Q(x) ?
(c) Determine as ra´ızes de P (x) e suas respectivas
multiplicidades.
x
yP (x) Q(x)
2 3−1
Soluc¸a˜o:
(a) Um polinoˆmio de grau 4 tem o mesmo comportamento quando x→∞ e quando x→ −∞. Esse na˜o e´ o
caso do polinoˆmio q(x) ja´ que
lim
x→∞ q(x) =∞ mas limx→−∞ q(x) = −∞.
Logo, o polinoˆmio de grau 4 e´ o polinoˆmio p(x).
(b) O termo independente de um polinoˆmio e´ o seu valor em x = 0 , ou seja, e´ o valor da ordenada do ponto
de intersec¸a˜o do gra´fico do polinoˆmio com o eixo dos y′s. Logo, o termo independente de q(x) vale zero pois,
q(x) passa pela origem.
(c) As ra´ızes de um polinoˆmio sa˜o dadas pela intersec¸a˜o do gra´fico do polinoˆmio com o eixo dos x′s. Logo,
o polinoˆmio p(x) tem apenas duas ra´ızes, a saber: x1 = −1 e x2 = 3. Como o eixo dos x′s e´ tangente
ao gra´fico do polinoˆmio nesses pontos, segue que ambas as ra´ızes teˆm multiplicidades maiores ou iguais a dois.
Como p(x) tem grau 4 conclu´ımos que a multiplicidade de cada uma das ra´ızes e´ 2.
Comenta´rio:
Da resposta ao item (c) conclu´ımos que p(x) tem a forma
p(x) = k(x+ 1)2(x− 3)2
onde k e´ uma constante real positiva. Se conhecessemos, por exemplo, a intersec¸a˜o do gra´fico de p(x) com o
eixo dos y′s poder´ıamos determinar k e, consequentemente, a expressa˜o de p(x).
Polinmios 5
31. O gra´fico ao lado e´ gra´fico de um polinoˆmio P (x) de
grau 6.
(a) Determine as ra´ızes reais de P (x) e suas respec-
tivas multiplicidades ;
(b) Sera´ que existe um nu´mero real k tal que o po-
linoˆmio P (x) + k tem 4 ra´ızes reais distintas ?
(c) Sera´ que existe um nu´mero real b tal que o po-
linoˆmio P (x) + b tem uma u´nica ra´ız ?
x
y
2 3
−1
Soluc¸a˜o:
(a) O polinoˆmio p(x) possui duas ra´ızes reais, a saber: x1 = 0 e x2 = 4. Trata-se de ra´ızes de multiplicidade
um ja´ que o gra´fico do polinoˆmio na˜o e´ tangente ao eixo das abcissas (eixo dos x′s) nesses pontos.
(b) O gra´fico de p(x) + k e´ obtido transladando ver-
ticalmente o gra´fico do polinoˆmio p(x) de k. No en-
tanto, ao fazermos isso, o gra´fico de p(x) + k na˜o vai
intersectar o eixo das abcissas em quatro pontos distin-
tos. A figura o lado mostra que o transladado de p(x)
por k intersecta o eixo das abcissas em, no ma´ximo,
dois pontos. Logo, na˜o existe um nu´mero real k com
a propriedade desejada.
(c) Nesse caso precisamos determinar um nu´mero real
b de tal forma que ao transladarmos o gra´fico de p(x)
por b obtemos um gra´fico que corta o eixo das abissas
em apenas um ponto. Isso pode ser obtido tomando
b = 1 como podemos ver na figura. Assim, o gra´fico
de p(x) + 1 intersecta o eixo das abcissas em apenas
um ponto, a saber, o ponto x = 2.
Na figura ao lado mostramos o gra´fico de p(x)+1 (em
vermelho) e o gra´fico de p(x) (em azul).
-1 2 4
-1
x
y
32. A figura ao lado representa o gra´fico de
um polinoˆmio P (x).
(a) Quais seriam as poss´ıveis expresso˜es
para P (x) se ele fosse de grau 3 ?
(b) Quais seriam as poss´ıveis expresso˜es
para P (x) se ele fosse de grau 5
e quais seriam as multiplicidades de
suas ra´ızes ?
(b) Quais seriam as poss´ıveis expresso˜es
para P (x) se ele fosse de grau 4 ?
x
yP (x)
2
4
3
3
33. Considere o polinoˆmio
P (x) = x4 + 5x3 − 3x2 − 17x− 10 .
(a) Determine todas as raizes de P (x) e suas respectivas multiplicidades.
(b) Fac¸a uma ana´lise do sinal de P (x) .
(c) Determine os valores da varia´vel x ∈ R para os quais a expressa˜o√
P (x)
(x+ 1)(x+ 5)
esta´ bem definida.
Polinmios 6
34. Mostre que x = −1 e´ raiz do polinoˆmio
Q(x) = (x3 − 3x− 2)(x2 + 3x+ 2)
e determine sua multiplicidade.
35. Considere o polinoˆmio
P (x) = x4 − 2x3 − 3x2 + 8x− 4 .
(a) Determine todas as raizes de P (x) e suas respectivas multiplicidades ;
(b) Fac¸a uma ana´lise do sinal de P (x) ;
(c) Determine os valores da varia´vel x para os quais a expressa˜o√
P (x)
x− 1
esta´ bem definida.
Soluc¸a˜o. Tendo em vista que o termo independente de p(x) e´ −4, tentemos ±1, ±2 e ±4 como raizes inteiras
de p(x).
a) Temos que:
• p(1) = 1− 2− 3 + 8− 4 = 0.
Assim, 1 e´ raiz de p(x). Consequentemente, p(x) e´ divis´ıvel por x− 1 e obtemos
p(x) = (x− 1) · q1(x) onde q1(x) = x3 − x2 − 4x+ 4 .
• q1(1) = 1− 1− 4 + 4 = 0.
Assim, 1 e´ raiz de q1(x). Consequentemente, x− 1 divide q1(x) e obtemos:
q1(x) = (x− 1) · q2(x) onde q2(x) = x2 − 4 .
Podemos agora concluir que p(x) tem a forma p(x) = (x− 1)2(x2 − 4). Consequentemente, p(x) admite a
decomposic¸a˜o p(x) = (x− 1)2(x+ 2)(x− 2).
Agora podemos afirmar que as raizes de p(x) sa˜o:
◦ 1 com multiplicidade 2,
◦ 2 com multiplicidade 1,
◦ -2 com multiplicidade 1.
b) Vimos que p(x) = (x−1)2(x+2)(x−2). Assim, o sinal de p(x) e´ determinado pelo sinal de (x+2)(x−2)
ja´ que (x− 1)2 ≥ 0. Podemos enta˜o concluir que:
p(x) > 0 quando x ∈ (∞,−2) ∪ (2,∞)
p(x) < 0 quando x ∈ (−2, 1) ∪ (1, 2).
(Observe que p(x) se anula em x = 1.)
+ + + - - - - - - - - - - - + + + + +
◦ ◦ ◦−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
−2 1 2 sgn{p(x)}
c) Temos que√
p(x)
x− 1 =
√
(x− 1)2(x+ 2)(x− 2)
x− 1 =
√
(x− 1)(x+ 2)(x− 2) para x 6= 1 .
Assim,
√
p(x)
x−1 estara´ bem definida quando x 6= 1 e (x− 1)(x+ 2)(x− 2) ≥ 0.
Polinmios 7
Por outro lado, analizando o sinal de (x− 1)(x+ 2)(x− 2) obtemos:
- - - - - - - - - - - - - - + + + + + + +
◦−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
1 sgn(x− 1)
+ + + - - - - - - - - - - - + + + +
◦ ◦−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
−2 2 sgn(x2 − 4) = sgn{(x+ 2)(x− 2)}
- - - - - + + + + + - - - + + + + +
◦ ◦ ◦−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
−2 1 2 sgn{(x− 1)(x+ 2)(x− 2)}
Agora, podemos concluir que
√
p(x)
x−1 estara´ bem definida para
x ∈ [−2, 1) ∪ [2,∞) .
36. Considere o polinoˆmio
P (x) = x3 + ax2 + bx+ c onde a , b , c ∈ R.
Determine as condic¸o˜es que a , b , c devem satisfazer para que 1 seja uma raiz de multiplicidade 3 de P (x).
Soluc¸a˜o. Como P (x) e´ de grau 3 e 1 deve ser raiz de multiplicidade 3 enta˜o
P (x) = (x− 1)3 ja´ que o coeficiente de x3 e´ 1. Assim, devemos ter
x3 + ax2 + bx+ c = P (x) = x3 − 3x2 + 3x− 1 .
Donde concluimos da igualdade de polinoˆmios que
a = −3 , b = 3 , c = −1 .
37. Considere o polinoˆmio
P (x) = x4 + 2x3 − 8x2 − 18x− 9 .
(a) Determine todas as raizes de P (x) e suas respectivas multiplicidades ;
(b) Fac¸a uma ana´lise do sinal de P (x) ;
(c) Determine os valores da varia´vel x para os quais a expressa˜o√
P (x)
x+ 1
.
esta´ bem definida.
Soluc¸a˜o. Tendo em vista que o termo independente de p(x) e´ −9, tentemos ±1, ±3 e ±9 como raizes inteiras
de p(x).
a) Temos que:
• P (1) = 1 + 2− 8− 18− 9 6= 0.
• P (−1) = 1− 2− 8 + 18− 9 = 0.
Assim, -1 e´ raiz de P (x). Consequentemente,
P (x) e´ divis´ıvel por x+ 1 e obtemos
P (x) = (x+ 1) · q1(x) onde q1(x) = x3 + x2 − 9x− 9 .
• q1(1) = 1 + 1− 9− 9 6= 0.
• q1(−1) = −1 + 1 + 9− 9 = 0.
Polinmios 8
Assim, -1 e´ raiz de q1(x). Consequentemente, x+ 1 divide q1(x) e obtemos:
q1(x) = (x+ 1) · q2(x) onde q2(x) = x2 − 9 .
Podemos agora concluir que P (x) tem a forma P (x) = (x+ 1)2(x2 − 9). Consequentemente, P (x) admite
a decomposic¸a˜o P (x) = (x+ 1)2(x+ 3)(x− 3).
Agora podemos afirmar que as raizes de p(x) sa˜o:
◦ -1 com multiplicidade 2,
◦ 3 com multiplicidade 1,
◦ -3 com multiplicidade 1.
b) Vimos que P (x) = (x+1)2(x+3)(x−3). Assim, o sinal de P (x) e´ determinado pelo sinal de (x+3)(x−3)
ja´ que (x+ 1)2 ≥ 0. Podemos enta˜o concluir que:
p(x) > 0 quando x ∈ (∞,−3) ∪ (3,∞)
p(x) < 0 quando x ∈ (−3,−1) ∪ (−1, 3).
(Observe que p(x) se anula em x = −1.)
+ + + - - - - - - - - - - + + + + +
◦ ◦ ◦−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
−3 −1 3 sgn{p(x)}
c) Temos que√
P (x)
x+ 1
=
√
(x+ 1)2(x+ 3)(x− 3)
x+ 1
=
√
(x+ 1)(x+ 3)(x− 3) para x 6= −1 .
Assim,
√
P (x)
x+1 estara´ bem definida quando x 6= −1 e (x+ 1)(x+ 3)(x− 3) ≥ 0.
Por outro lado, analizando o sinal de (x+ 1)(x+ 2)(x− 2) obtemos:
- - - - - - - - + + + + + + +
◦−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
−1 sgn(x+ 1)
+ + + - - - - - - - - - - - + + + +
◦ ◦−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
−3 3 sgn(x2 − 9) = sgn{(x+ 3)(x− 3)}
- - - - - + + - - - - - - - + + + + +
◦ ◦ ◦−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
−3 −1 3 sgn{(x+ 1)(x+ 3)(x− 3)}
Agora, podemos concluir que
√
P (x)
x+1 estara´ bem definida para
x ∈ [−3,−1) ∪ [3,∞) .
38. Mostre que x = −1 e´ raiz do polinoˆmio
(x4 + x3 − 3x2 − 5x− 2).(x2 + 3x+ 2)
e determine sua multiplicidade.
Soluc¸a˜o. Temos que
(x4 + x3 − 3x2 − 5x− 2) · (x2 + 3x+ 2) = (x4 + x3 − 3x2 − 5x− 2) · (x+ 1) · (x+ 2)
Assim, -1 e´ raiz do polinoˆmio acima.
Polinmios 9
Para determinar a multiplicidade de tal raiz precisamos verificar se -1 tambe´m e´ raiz de p(x) = x4 + x3 −
3x2 − 5x− 2.
Temos que
• p(−1) = 1− 1− 3 + 5− 2 = 0.
Logo -1 e´ raiz de p(x) e consequentemente x+ 1 divide p(x). Dividindo p(x) por x+ 1 obtemos
p(x) = (x+ 1) · q1(x) onde q1(x) = x3 − 3x− 2 .
Ale´m disso,
• q1(x) = −1 + 3− 2 = 0.
Logo -1 tambe´m e´ raiz de q1(x). Dividindo q1(x) por x+ 1 obtemos
q1(x) = (x+ 1) · q2(x) onde q2(x) = x2 − x− 2 .
Assim,
x4 + x3 − 3x2 − 5x− 2 = (x+ 1)2(x2 − x− 2)
= (x+ 1)2(x+ 1)(x− 2)
= (x+ 1)3(x− 2) .
Resulta enta˜o que
(x4 + x3 − 3x2 − 5x− 2)(x2 + 3x+ 2) = (x+ 1)2(x2 − x− 2)
= {(x+ 1)3(x+ 1)(x− 2)}{(x+ 1)(x+ 2)}
= (x+ 1)4(x− 2)(x+ 2) .
Agora podemos concluir que -1 e´ raiz de multiplicidade 4 do polinoˆmio
(x4 + x3 − 3x2 − 5x− 2)(x2 + 3x+ 2).
39. Considere o polinoˆmio
P (x) = x4 − 2x3 − 3x2 + 8x− 4 .
a) Determine todas as raizes de P (x) e suas respectivas multiplicidades ;
b) Fac¸a uma ana´lise do sinal de P (x) ;
c) Determine os valores da varia´vel x para os quais a expressa˜o√
P (x)
x− 1
esta´ bem definida.
Soluc¸a˜o. Tendo em vista que o termo independente de p(x) e´ −4, tentemos ±1, ±2 e ±4 como raizes inteiras
de p(x).
a) Temos que:
• p(1) = 1− 2− 3 + 8− 4 = 0.
Assim, 1 e´ raiz de p(x). Consequentemente, p(x) e´ divis´ıvel por x− 1 e obtemos
p(x) = (x− 1) · q1(x) onde q1(x) = x3 − x2 − 4x+ 4 .
• q1(1) = 1− 1− 4 + 4 = 0.
Assim, 1 e´ raiz de q1(x). Consequentemente, x− 1 divide q1(x) e obtemos:
q1(x) = (x− 1) · q2(x) onde q2(x) = x2 − 4 .
Polinmios 10
Podemos agora concluir que p(x) tem a forma p(x) = (x− 1)2(x2 − 4). Consequentemente, p(x) admite a
decomposic¸a˜o p(x) = (x− 1)2(x+ 2)(x− 2).
Agora podemos afirmar que as raizes de p(x) sa˜o:
◦ 1 com multiplicidade 2,
◦ 2 com multiplicidade 1,
◦ -2 com multiplicidade 1.
b) Vimos que p(x) = (x−1)2(x+2)(x−2). Assim, o sinal de p(x) e´ determinado pelo sinal de (x+2)(x−2)
ja´ que (x− 1)2 ≥ 0. Podemos enta˜o concluir que:
p(x) > 0 quando x ∈ (∞,−2) ∪ (2,∞)
p(x) < 0 quando x ∈ (−2, 1) ∪ (1, 2).
(Observe que p(x) se anula em x = 1.)
+ + + - - - - - - - - - - - + + + + +
◦ ◦ ◦−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
−2 1 2 sgn{p(x)}
c) Temos que√
p(x)
x− 1 =
√
(x− 1)2(x+ 2)(x− 2)
x− 1 =
√
(x− 1)(x+ 2)(x− 2) para x 6= 1 .
Assim,
√
p(x)
x−1 estara´ bem definida quando x 6= 1 e (x− 1)(x+ 2)(x− 2) ≥ 0.
Por outro lado, analizando o sinal de (x− 1)(x+ 2)(x− 2) obtemos:
- - - - - - - - - - - - - - + + + + + + +
◦−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
1 sgn(x− 1)
+ + + - - - - - - - - - - - + + + +
◦ ◦−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
−2 2 sgn(x2 − 4) = sgn{(x+ 2)(x− 2)}
- - - - - + + + + + - - - + + + + +
◦ ◦ ◦−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
−2 1 2 sgn{(x− 1)(x+ 2)(x− 2)}
Agora, podemos concluir que
√
p(x)
x−1 estara´ bem definida para
x ∈ [−2, 1) ∪ [2,∞) .
40. Considere o polinoˆmio
P (x) = x3 + a x2 + b x+ c onde a , b , c ∈ R .
Determine as condic¸o˜es que a , b , c devem satisfazer para que 1 seja uma raiz de multiplicidade 3 de P (x).
Nesse caso, qual sera´ a expresso de P (x) ?
41. A figura abaixo mostra o gra´fico de um polinoˆmio de grau 5.
(a) Qual a multiplicidade da ra´ız x = −1 ?
(b) Quais as poss´ıveis multiplicidades para a ra´ız x = 2 ?
(c) Quais as poss´ıveis expresso˜es para o polinoˆmio ?
Polinmios 11
x
y
−1 2
Soluc¸a˜o:
a) A ra´ız x = −1 tem multiplicidade 1 pois o gra´fico do polinoˆmio p(x) na˜o tangencia o eixo das abcissas nesse
ponto.
b) Por sua vez, a multiplicidade da ra´ız x = 2 e´ par e maior ou igual a dois pois, nesse ponto, o gra´fico de p(x)
tangencia o eixo das abcissas e na˜o troca de sinal. Como o grau de p(x) e´ 5 conclu´ımos que a multiplicidade da ra´ız
x = 2 so´ pode ser 2 ou 4.
c) Quando a multiplicidade da ra´ız x = 2 for 2 enta˜o a expressa˜o de p(x) sera´
p(x) = (x+ 1)(x− 2)2q(x) onde q tem grau 2 e seu discriminante e´ negativo.
Quando a multiplicidade da ra´ız x = 2 for 4 enta˜o p(x) tera´ a forma
p(x) = a (x+ 1)(x− 2)4 onde 0 6= a ∈ R.
__MACOSX/PC2015.2/ListasExercicios/._Polinomios.pdf
PC2015.2/ListasExercicios/Trigonometria.pdf
uff
Universidade Federal Fluminense
Campus do Valonguinho
Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica
Departamento de Matema´tica Aplicada - GMA Prof Saponga
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Exerc´ıcios sobre Trigonometria
2015.1
1. Use um triaˆngulo equila´tero e mostre que:
cos(pi/6) =
√
3/2 sin(pi/6) = 1/2 tan(pi/6) =
√
3 /3
cos(pi/3) = 1/2 sin(pi/3) =
√
3/2 tan(pi/3) =
√
3 .
onde os aˆngulos sa˜o dados em radianos.
2. Seja θ ∈ [ 0 , 2pi ] dado em radianos. Fac¸a uma figura, no c´ırculo trigonome´trico, que mostre, de forma clara, os
aˆngulos :
(a) θ e −θ ;
(b) θ + pi e θ − pi ;
(c) θ + pi/2 e θ − pi/2 ;
(d) pi/2 + θ e pi/2− θ ;
(e) pi + θ e pi − θ ;
(f) θ + 2pi e θ − 2pi .
Fac¸a figuras com θ em cada um dos quatro quadrantes.
3. Conhecendo os valores de cos , sin , tan , cot , sec , cossec associados aos aˆngulos pi/3 , pi/4 e pi/6 radianos,
calcule cos , sin , tan , cot , sec , cossec para os aˆngulos a seguir, dados em radianos :
• −pi/6
• pi − pi/6 ;
• pi + pi/6 ;
• pi/6 + pi/2 ;
• pi/6− pi/2 ;
• −pi/3 ;
• pi − pi/3
• pi + pi/3 ;
• pi/3 + pi/2 ;
• pi/3− pi/2 ;
• pi − pi/4 ;
• 3pi/2− pi/4 ;
E´ proibido usar a fo´rmula do seno e a do cosseno para a soma e para a diferenc¸a de dois aˆngulo. Use a representac¸a˜o
gra´fica dos aˆngulos para obter a resposta.
4. Sabendo que cos θ =
√
3/3 , determine, os poss´ıveis valores para:
• sin θ ;
• sin(θ + pi) ;
• sin(θ + pi/2) ;
• sin(θ − pi/2) ;
• cos(θ + pi) ;
• cos(θ −
pi/2) ;
• cos(θ + pi/2) .
• tan(θ + pi/2)
E´ proibido usar a fo´rmula do seno e a do cosseno para a soma e para a diferenc¸a de dois aˆngulo. Novamente, use
a representac¸a˜o gra´fica dos aˆngulos.
5. Seja θ ∈ [ 0 , pi/2 ] dado em radianos. Fac¸a uma figura, no c´ırculo trigonome´trico, que mostre, de forma clara, a
relac¸a˜o entre:
(a) cos θ e cos(−θ) ; sin θ e sin(−θ) ; tan θ e tan(−θ)
(b) cos θ e cos(θ + pi) ; sin θ e sin(θ + pi) ; tan θ e tan(θ + pi)
(c) cos θ e cos(pi − θ) ; sin θ e sin(pi − θ) ; tan θ e tan(pi − θ)
(d) cos θ e cos
{
(pi/2)− θ} ; sin θ e sin{(pi/2)− θ} ; tan θ e tan{(pi/2)− θ} .
A relac¸a˜o que voceˆ encontrou vale apenas para aˆngulos do intervalo [ 0 , pi/2 ] ou vale para qualquer aˆngulo (com
excessa˜o daqueles onde a tangente na˜o esta´ bem definida) ?
6. Repita o exerc´ıcio anterior para cotangente , secante e cossecante.
Nu´meros Complexos 2
7. Sem usar a fo´rmula do seno e do cosseno da soma e da diferenc¸a, fac¸a uma figura, no c´ırculo trigonome´trico, que
mostre, de forma clara, a relac¸a˜o entre:
(a) cos
{
(pi/2) + θ
}
e cos
{
(pi/2)− θ} ; sin{(pi/2) + θ} e sin{(pi/2)− θ} ;
tan
{
(pi/2) + θ
}
e tan
{
(pi/2)− θ}
(b) cos(pi + θ) e cos(pi − θ) ; sin(pi + θ) e sin(pi − θ) ; tan(pi − θ) e tan(pi − θ)
(c) cos
{
(3pi/2) + θ
}
e cos
{
(3pi/2)− θ} ; sin{(3pi/2) + θ} e sin{(3pi/2)− θ} ;
tan
{
(3pi/2) + θ
}
e tan
{
(3pi/2)− θ}
8. Considere as aplicac¸o˜es f(x) = cosx , g(x) = sinx vistas como aplicac¸o˜es da reta na reta e onde a varia´vel x e´
dada em radianos.
(a) Mostre que o gra´fico de f e´ sime´trico em relac¸a˜o ao eixo definido pela reta de equac¸a˜o cartesiana x = pi ,
isto e´, prove que f(pi + x) = f(pi − x) , para todo x ∈ R;
(b) Mostre que o gra´fico de g na˜o tem essa propriedade ;
(c) Mostre que o gra´fico de g e´ sime´trico em relac¸a˜o ao eixo definido pela reta de equac¸a˜o cartesiana x = pi/2 ;
(d) Mostre que o gra´fico de f na˜o tem essa propriedade ;
(e) O que se pode dizer da tangente, cotangente, secante e cossecante ? Seus gra´ficos teˆm ou na˜o teˆm as
simetrias acima consideradas ?
(f) Determine outros eixos de simetria para os gra´ficos de seno, cosseno e tangente ;
(g) Explicite eixos de simetria para os gra´ficos de cotangente, secante e cossecante, caso existam.
9. Calcule seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante para os aˆngulos abaixo, dados em radianos, a
menos que na˜o estejam definidos.
• 28pi/3 rd
• 29pi/4 rd
• 280pi/6 rd
• 293pi/4 rd
• −280pi/6 rd
• −293pi/4 rd
• 1562pi/3 rd
• −1293pi/4 rd .
10. Os aˆngulos a seguir sa˜o dados em graus, transforme-os em aˆngulos dados em radianos.
• 1360 o
• −2300 o
• 924 o
• 3360 o
• 1924 o
• −30360 o.
11. Para cada aˆngulo dado acima, determine :
(h) um aˆngulo, dado em graus, que tenha o mesmo seno e o mesmo cosseno, e que seja maior ou igual a zero, e
inferior a 360o.
(i) um aˆngulo, dado em graus, que tenha o mesmo seno e o mesmo cosseno, e que seja maior que −180o , e
menor ou igual a 180o.
12. Sabendo que tan θ = −5/3 e que θ e´ um aˆngulo do segundo quadrante, determine o valor de :
(a) sec θ (b) sin θ (c) cot(−θ) .
13. Determine os valores de x ∈ R para os quais as identidades a seguir sa˜o verdadeiras:
(a) tanx× sinx+ tanx = 1
secx
(b)
1
tanx
+ tanx =
1
sinx× cosx
(c) sinx− sinx× cos2 x = sin3 x
(d)
cosα
1 + sinα
+
1 + sinα
cosα
= 2 secα
(e)
cosα
1− sinα −
cosα
1 + sinα
= 2 tanα
(f)
sin4 x− cos4 x
sin2 x− cos2 x = 1 .
14. Determine os valores de x ∈ R para os quais a identidade tan2 x (1 + cot2 x) = 1
1− sin2 x e´ verdadeira.
Nu´meros Complexos 3
15. Determine os valores de θ ∈ R para os quais a identidade tan θ − cot θ
sin θ cos θ
= sec2 θ − csc2 θ e´ verdadeira.
16. Determine os valores de t ∈ R para os quais a identidade cos t
1− sin t =
1 + sin t
cos t
e´ verdadeira.
17. Calcule cos(15o) e sin(75o) usando as identidades trigonome´tricas
cos(α+ β) = cosα× cosβ − sinα× sinβ ; sin(α+ β) = sinα× cosβ + sinβ × cosα .
18. Use o exerc´ıcio anterior, onde se calculou o seno e o cosseno de pi/12 radianos, para calcular o seno e o cosseno
de pi/24 radianos.
19. Um aˆngulo θo ∈ [pi/2, pi] satisfaz a equac¸a˜o 2 sin2 θ − 5 sin θ + 2 = 0 . Determine θo e cos θo.
Soluc¸a˜o. Como θo satisfaz a equac¸a˜o 2 sin
2 θ − 5 sin θ + 2 = 0 , segue que sin θo e´ raiz do polinoˆmio
2z2 − 5z + 2. Tendo em vista que 2z2 − 5z + 2 = 2(x− 2)(x− 1/2) no´s concluimos que
sin θo = 2 ou sin θo = 1/2 .
Como sin θo ∈ [−1, 1] , concluimos que sin θo = 1/2. Relembrando que θo ∈ [pi/2, pi] no´s obtemos
θo = pi − pi
6
=
5pi
6
.
Novamente, como θo ∈ [pi/2, pi] segue que cos θ0 = −
√
3/2 e o problema esta´ resolvido.
20. Mostre que sin(3α) = 3 sinα− 4 sin3 α , ∀α ∈ R .
Soluc¸a˜o. Temos que
sin(3α) = sin(2α+ α) = sin(2α) · cosα+ sinα · cos(2α)
= 2 sinα · cos2 α+ sinα · (cos2 α− sin2 α)
= 2 sinα · cos2 α+ sinα · cos2 α− sin3 α
= 3 sinα · cos2 α− sin3 α , ∀α ∈ R .
21. Determine as soluc¸o˜es da inequac¸a˜o 2 sin2 θ − 5 sin θ + 2 < 0 no intervalo [0, pi] dado em radianos.
Soluc¸a˜o. Como θ satisfaz a inequac¸a˜o 2 sin2 θ − 5 sin θ + 2 < 0 ,
segue que sin θ satisfaz a inequac¸a˜o 2z2 − 5z + 2 < 0. Por outro
lado, temos que 2z2 − 5z + 2 = 2(x− 2)(x− 1/2) .
Agora, observamos que sin θ − 2 e´ sempre negativo. Logo a ine-
quac¸a˜o so´ estara´ satisfeita para sin θ > 1/2. Como θ ∈ [0, pi]
concluimos que
pi
6
< θ < pi − pi
6
=
5pi
6
.
x
y
pi/6
5pi/6
−1
1
−1
22. Mostre que cos(3α) = 4 cos3 α− 3 cosα , ∀α ∈ R .
Soluc¸a˜o. Temos que
cos(3α) = cos(2α+ α) = cos(2α) · cosα− sinα · sin(2α)
= (cos2 α− sin2 α) · cosα− 2 sinα · cosα · sinα
= cos3 α− sin2 α · cosα− 2 sin2 α · cosα
= cos3 α− 3 sin2 α · cosα
= cos3 α− 3(1− cos2 α) · cosα
= cos3 α− 3 cosα+ 3 cos3 α
= 4 cos3 α− 3 cosα , ∀α ∈ R .
Nu´meros Complexos 4
23. Determine as soluc¸o˜es da inequac¸a˜o 2 sin4θ − 5 sin3θ + 6 cos2θ + 20 sin θ > 14 , no intervalo [0, pi] , sabendo
que o polinoˆmio 2x4 − 5x3 − 6x2 + 20x− 8 tem a seguinte decomposic¸a˜o
2x4 − 5x3 − 6x2 + 20x− 8 = (x+ 2)(x− 2)2(2x− 1) . (∗)
Soluc¸a˜o. Temos que
2 sin4θ − 5 sin3θ + 6 cos2θ + 20 sin θ > 14
m
2 sin4θ − 5 sin3θ + 6(1− sin2θ) + 20 sin θ > 14
m
2 sin4θ − 5 sin3θ − 6 sin2θ + 20 sin θ − 8 > 0
m
(sin θ + 2)(sin θ − 2)2(2 sin θ − 1) > 0 ,
tendo em vista a decomposic¸a˜o do polinoˆmio (*).
Como sin θ+ 2 > 0 e (sin θ− 2)2 > 0 resulta que a inequac¸a˜o so´ estara´ satisfeita quando 2 sin θ− 1 > 0, isto
e´, sin θ > 1/2. Como as soluc¸o˜es que procuramos esta˜o restritas ao intervalo [0, pi] , segue que θ e´ soluc¸a˜o da
inequac¸a˜o em estudo quando
pi
6
< θ < pi − pi
6
=
5pi
6
.
24. Determine as soluc¸o˜es da inequac¸a˜o 2 sin4 x − 5 sin3 x + 6 cos2 x + 20 sinx < 14 no intervalo [0, pi] sabendo
que o polinoˆmio 2x4 − 5x3 − 6x2 + 20x− 8 tem a seguinte decomposic¸a˜o
2x4 − 5x3 − 6x2 + 20x− 8 = (x+ 2)(x− 2)2(2x− 1) .
Soluc¸a˜o. Temos que
2 sin4θ − 5 sin3θ + 6 cos2θ + 20 sin θ < 14
m
2 sin4θ − 5 sin3θ + 6(1− sin2θ) + 20 sin θ < 14
m
2 sin4θ − 5 sin3θ − 6 sin2θ + 20 sin θ − 8 < 0
m
(sin θ + 2)(sin θ − 2)2(2 sin θ − 1) < 0 ,
tendo em vista a decomposic¸a˜o do polinoˆmio (*).
Como sin θ+ 2 > 0 e (sin θ− 2)2 > 0 resulta que a inequac¸a˜o so´ estara´ satisfeita quando 2 sin θ− 1 < 0, isto
e´, sin θ < 1/2. Como as soluc¸o˜es que procuramos esta˜o restritas ao intervalo [0, pi] , segue que θ e´ soluc¸a˜o da
inequac¸a˜o em estudo quando
0 ≤ θ < pi
6
ou pi − pi
6
=
5pi
6
< θ ≤ pi
isto e´,
θ ∈ [0, pi/6) ∪ (5pi/6, pi]
.
25. Resolva as equac¸o˜es e determine quantos pontos essas soluc¸o˜es definem na circunfereˆncia trigonome´trica. Marque
esses pontos na circunfereˆncia trigonome´trica.
(a) cos 6x = cos 4x ;
(b) | sin(x− pi)| =
√
3
2
26. Resolva:
(a) cosx ≥ −
√
2
2 , x ∈ R
(b) −
√
3
2 < sinx <
1
2 , x ∈ [0 , 2pi]
Nu´meros Complexos 5
27. Considere a equac¸a˜o cos
(pi
3
− 2x
)
=
1
2
.
(a) Determine todas as suas soluc¸o˜es ;
(b) Determine as soluc¸o˜es no intervalo [−3pi, 5pi] .
28. Responda a`s questo˜es a seguir:
(a) cos
(15pi
4
)
+ sin
(13pi
4
)
= ?
(b) cos(17 o) < cos(345 o) ?
(c) Existe algum aˆngulo positivo cuja cosseno vale
√
2 ?
29. Considere a equac¸a˜o e a inequac¸a˜o dadas a seguir:
(∗) sinx =
√
3 cosx ; 8 sin2 x+ 12 cos2 x ≤ 9 (∗∗) .
(a) Determine todas as soluc¸o˜es de (∗) e explicite aquelas que esta˜o no intervalo [−2pi ,−pi ] ;
(b) Resolva (∗∗) usando as identidades trigonome´tricas
cos2 x =
1 + cos(2x)
2
e sin2 x =
1− cos(2x)
2
. (1)
Soluc¸a˜o: Passemos a soluc¸a˜o da equac¸a˜o (∗).
Ù (a) Para resolver a equac¸a˜o (∗) elevamos ambos os membros ao quadrado e obtemos a seguinte equac¸a˜o:
sin2 x = 3 cos2 x . (2)
Resolvendo-a, obtemos:
sin2 x = 3 cos2 x ⇐⇒ sin2 x = 3(1− sin2 x) ⇐⇒ sin2 x = 3− 3 sin2 x
⇐⇒ 4 sin2 x = 3 ⇐⇒ sin2 x = 3/4 ⇐⇒ sinx = ±
√
3 /2 .
Por outro lado, temos que
(ai) sinx =
√
3 /2 ⇐⇒ x =

α+ 2kpi
ou
β + 2kpi
onde k ∈ Z ;
sinx =
√
3 /2 ⇐⇒ x =

pi
3 + 2kpi
ou
2pi
3 + 2kpi
onde k ∈ Z .
(aii) sinx = −
√
3/2 ⇐⇒ x =

γ + 2kpi
ou
δ + 2kpi
onde k ∈ Z ;
sinx = −
√
3/2 ⇐⇒ x =

−pi3 + 2kpi
ou
− 2pi3 + 2kpi
onde k ∈ Z .
x
y
γ
δ
γ = −pi/3
δ = −2pi/3
−√3/2
1−1
1
−1
Portanto, o conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o (5) sera´:{
± pi
3
+ 2kpi ; k ∈ Z
}
∪
{
± 2pi
3
+ 2ppi ; p ∈ Z
}
.
Agora, precisamos saber quais dessas soluc¸o˜es sa˜o soluc¸o˜es de (∗) pois para passar da equac¸a˜o (∗) para a equac¸a˜o
(5) elevamos ambos os membros de (∗) ao quadrado, o que pode ter introduzido soluc¸o˜es estranhas a equac¸a˜o (∗).
Note que os aˆngulos da forma 2pi3 + 2kpi tem seno positivo e cosseno negativo logo, na˜o podem ser soluc¸o˜es de
(∗). Por sua vez os aˆngulos da forma −pi3 + 2kpi tambe´m na˜o podem ser soluc¸o˜es dessa equac¸a˜o pois possuem
um seno negativo e um cosseno positivo.
Nu´meros Complexos 6
Os outros aˆngulos, soluc¸o˜es de (5), possuem senos e cossenos com o mesmo sinal e portanto sa˜o soluc¸o˜es da
equac¸a˜o (∗).
Em resumo, o conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o proposta inicialmente sera´:{pi
3
+ 2kpi ; k ∈ Z
}
∪
{
− 2pi
3
+ 2ppi ; p ∈ Z
}
.
Agora que temos todas as soluc¸a˜o, podemos determinar aquelas que esta˜o no intervalo [−2pi ,−pi ] :
– as do conjunto
{
pi
3 + 2kpi ; k ∈ Z
}
sa˜o : −2pi + pi/3 (correspondendo a k = −1)
– as do conjunto
{
− 2pi3 + 2ppi ; p ∈ Z
}
sa˜o : nenhuma.
Nota: Observe que: sinx =
√
3 cosx ⇐⇒ tanx = √3. Assim, resolver a equac¸a˜o sinx = √3 cosx e´
o mesmo que resolver a equac¸a˜o tanx =
√
3 cuja soluc¸a˜o e´ muito mais simples que aquela apresentada para a
equac¸a˜o sinx =
√
3 cosx.
Ù (b) Passemos agora a soluc¸a˜o da inequac¸a˜o
8 sin2 x+ 12 cos2 x ≤ 9. (3)
Usando as identidades dadas em (4) temos:
8 sin2 x+ 12 cos2 x ≤ 9 ⇐⇒ 8× 1− cos(2x)
2
+ 12× 1 + cos(2x)
2
≤ 9
⇐⇒ 4− 4 cos(2x) + 6 + 6 cos(2x) ≤ 9
⇐⇒ 2 cos(2x) ≤ −1
⇐⇒ cos(2x) ≤ −1/2
⇐⇒ 2x ∈
⋃
k∈Z
[
α+ 2kpi , β + 2kpi
]
⇐⇒ 2x ∈
⋃
k∈Z
[ 2pi
3
+ 2kpi ,
4pi
3
+ 2kpi
]
.
Consequentemente,
8 sin2 x+ 12 cos2 x ≤ 9 ⇐⇒ x ∈
⋃
k∈Z
[ pi
3
+ kpi ,
2pi
3
+ kpi
]
.
x
y
α
β
α = 2pi/3
β = 4pi/3
−1/2 1−1
1
−1
30. Mostre, atrave´s de uma figura, que existe um aˆngulo com medida entre −pi rd e −pi/2 rd cuja tangente vale 2.
Calcule o cosseno e o seno desse aˆngulo.
Indique na figura o que for necessa´rio indicar para que ela se torne clara.
Nu´meros Complexos 7
Soluc¸a˜o: Consideremos o c´ırculo trigonome´trico e o eixo das tan-
gentes como mostrados na figura ao lado. Marquemos o ponto 2 no
eixo das tangentes e tracemos a reta que passa por esse ponto e pela
origem do sistema de coordenadas. O aˆngulo α mostrado na figura
tem sua medida compreendida entre −pi e −pi/2 radianos. Ale´m
disso, sua tangente vale 2 por definic¸a˜o de tangente.
Essa construc¸a˜o mostra o que foi pedido na primeira parte da questa˜o.
Da identidade 1 + tan2 α = sec2 α segue que:
1 + 22 =
1
cos2 α
⇐⇒ 5 = 1
cos2 α
⇐⇒ cos2 α = 1
5
.
Como α e´ um aˆngulo do terceiro quadrante, conclu´ımos que
cosα = −
√
1
5
ou seja cosα = − 1√
5
.
Da identidade cos2 α+ sin2 α = 1 segue que
sin2 α = 1− cos2 α = 1− 1
5
=
4
5
.
2
x
y
−1 1
1
−1
α
−pi < α < −pi/2

tanα = 2
Novamente, como α e´ um aˆngulo do terceiro quadrante, obtemos:
sinα = −
√
4
5
ou seja sinα = − 2√
5
.
Esses ca´lculos respondem a segunda parte da questa˜o.
31. Mostre, atrave´s de uma figura, que existe um aˆngulo com medida entre −3pi rd e −7pi/2 rd cujo cosseno vale
−1/3. Calcule o seno e a tangente desse aˆngulo.
Indique na figura o que for necessa´rio indicar, para que ela expresse suas ide´ias com clareza.
Soluc¸a˜o: O aˆngulo α procurado deve satisfazer:
α < −3pi = −2pi − pi
α > −7pi
2
= −6pi
2
− pi
2
= −3pi − pi
2
= −2pi − pi − pi
2
.
Portanto, trata-se de um aˆngulo do segundo quadrante.
Para mostrar, graficamente, que tal aˆngulo existe, consideremos o
c´ırculo trigonome´trico e marquemos no eixo das abcissas (eixo dos
cossenos) o ponto −1/3. Por esse ponto, tracemos a reta vertical
(paralela ao eixo das ordenadas). Tal reta intersecta o c´ırculo tri-
gonome´trico em dois pontos. O ponto que possui ordenada positiva
e´ extremidade de todos os arcos do segundo quadrante (com ponto
inicial em (1, 0)) cujo cosseno vale −1/3.
Agora, tracemos a reta passando por esse ponto e pela origem do sis-
tema de coordenadas. O aˆngulo α procurado e´ mostrado na figura
ao lado e tem sua medida compreendida entre −7pi/2 e −3pi/2 ra-
dianos. Ale´m disso, seu cosseno vale −1/3 por definic¸a˜o de cosseno.
x
y
−1 1
1
−1
α
− 1
3 ︸ ︷︷ ︸
cosα
Essa construc¸a˜o mostra o que foi pedido na primeira parte da questa˜o.
Da identidade sin2 α+ cos2 α = 1 segue que:
sin2 α = 1− cos2 α = 1− 1
9
=
8
9
⇐⇒ sinα = ±2
√
2
3
.
Como α e´ um aˆngulo do segundo quadrante, conclu´ımos que
sinα =
2
√
2
3
.
Da definic¸a˜o de tangente, segue que:
tanα =
sinα
cosα
=
2
√
2
3
× 1
(−1/3) = −2
√
2 .
Nu´meros Complexos 8
Esses ca´lculos respondem a segunda parte da questa˜o.
32. Considere a equac¸a˜o e a inequac¸a˜o dadas a seguir:
(∗) tan
(pi
8
+
1
8x
)
= 1 ; 1− 2 sin
(x
3
)
≥ 0 (∗∗)
(a) Determine todas as soluc¸o˜es de (∗) e mostre que todas elas pertencem ao intervalo [−1 , 1] ;
(b) Resolva a inequac¸a˜o (∗∗) ;
(c) Determine o dom´ınio da expressa˜o √
x
√
1− 2 sin
(x
3
)
.
Soluc¸a˜o: Passemos a soluc¸a˜o da equac¸a˜o (∗).
Ù (a) Temos que
tan
(pi
8
+
1
8x
)
= 1 ⇐⇒ pi
8
+
1
8x
=
pi
4
+ kpi ⇐⇒ 1
8x
=
pi
4
− pi
8
+ kpi
⇐⇒ 1
8x
=
pi
8
+ kpi ⇐⇒ 1
8x
=
pi + 8kpi
8
⇐⇒ x = 1
pi(1 + 8k)
onde k ∈ Z
o que responde a primeira parte do item (a).
x
y
pi/4
1−1
1
−1
Ale´m disso, temos que
−1 < 1
pi(1 + 8k)
< 1 para todo k ∈ Z
ja´ que o denominador da expressa˜o acima satisfaz a condic¸a˜o
|pi(1 + 8k)| > 1 para todo k ∈ Z
finalizando assim, a soluc¸a˜o do item (a).
Ù (b) Passemos agora a soluc¸a˜o da inequac¸a˜o
1− 2 sin
(x
3
)
≥ 0 .
Para resolveˆ-la, fac¸amos:
1− 2 sin
(x
3
)
≥ 0 ⇐⇒ sin
(x
3
)
≤ 1
2
⇐⇒ x
3
∈
⋃
k∈Z
[
β + 2kpi , α+ 2kpi
]
⇐⇒ x
3
∈
⋃
k∈Z
[
− 7pi
6
+ 2kpi ,
pi
6
+ 2kpi
]
Consequentemente,
1− 2 sin
(x
3
)
≥ 0 ⇐⇒ x ∈
⋃
k∈Z
[
− 7pi
2
+ 6kpi ,
pi
2
+ 6kpi
]
x
y
α
β
α = pi/6
β = −7pi/6
1/2
1−1
1
−1
o que responde o item (b) da questa˜o.
O dom´ınio da expressa˜o √
x
√
1− 2 sin
(x
3
)
e´ o conjunto dos nu´meros reais que satisfazem ao seguinte sistema de inequac¸o˜es{
1− 2 sin
(
x
3
)
≥ 0
x ≥ 0
Nu´meros Complexos 9
ou seja, e´ a parte positiva da soluc¸a˜o da inequac¸a˜o 1− 2 sin (x/3) ≥ 0.
Consequentemente, o dom´ınio da expressa˜o proposta e´:
[ 0 , pi/2 ] ∪
{ ⋃
k≥1
[
− 7pi
2
+ 6kpi ,
pi
2
+ 6kpi
]}
ja´ que para cada inteiro k ≤ −1 temos que[
− 7pi
2
+ 6kpi ,
pi
2
+ 6kpi
]
⊂ (−∞ , 0 )
e para k = 0 temos o intervalo [−7pi/2 , pi/2 ].
33. Esboce os gra´ficos das seguintes expresso˜es:
(a) cosx e 2 + cosx ;
(b) cosx e cos
(
x− pi4
)
;
(c) cosx e cos |x|.
Em cada item, fac¸a os dois gra´ficos num mesmo quadro. Para itens distintos use quadros distintos.
Soluc¸a˜o: Vamos construir os gra´ficos solicitados a partir do gra´fico da expressa˜o cosx mostrado a seguir:
x
y
−2pi −3pi/2 −pi −pi/2 pi/2 pi 3pi/2 2pi
1
−1
Gra´fico de cos x
Ù (a) O gra´fico de 2 + cosx e´ obtido transladando verticalmente de 2 o gra´fico do cosseno. Isso e´ mostrado no
quadro a seguir onde apresentamos os gra´ficos das expresso˜es cosx (em vermelho) e 2 + cosx (em azul).
x
y
−2pi −3pi/2 −pi −pi/2 pi/2 pi 3pi/2 2pi
Gra´ficos de cos x e de 2 + cos x
3
−1
Ù (b) O gra´fico da expressa˜o cos
(
x− pi4
)
e´ obtido transladando de pi/4 o gra´fico de cosx na direc¸a˜o do eixo das
abcissas. No quadro abaixo mostramos os gra´ficos de cosx (em vermelho) e de cos
(
x− pi4
)
(em azul).
x
y
−2pi −3pi/2 −pi
︷ ︸︸ ︷pi/4
︷ ︸︸ ︷pi/4 ︷ ︸︸ ︷pi/4 ︷ ︸︸ ︷pi/4
−pi/2 pi/2 pi 3pi/2 2pi
Gra´ficos de cos x e de cos
(
x− pi/4)
1
−1
Nu´meros Complexos 10
Ù (c) Note que
cos |x| =
{
cosx quando x ≥ 0
cos(−x) quando x ≤ 0 ⇐⇒ cos |x| =
{
cosx quando x ≥ 0
cosx quando x ≤ 0 ⇐⇒ cos |x| = cosx
para todo nu´mero real x.
Consequentemente, o gra´fico da expressa˜o cos |x| coincide com o da expressa˜o cosx.
34. Considere a equac¸a˜o e a inequac¸a˜o dadas a seguir:
(∗) 2 sin
(pi
9
+
1
x
)
= −
√
3 ; (∗∗) tan
(2x
5
)
≥ 1
(a) Determine todas as soluc¸o˜es de (∗) ;
(b) Resolva a inequac¸a˜o (∗∗).
Soluc¸a˜o: Passemos a soluc¸a˜o da equac¸a˜o (∗).
Ù (a) Temos que:
2 sin
(pi
9
+
1
x
)
= −
√
3 ⇐⇒ sin
(pi
9
+
1
x
)
= −
√
3
2
⇐⇒ pi
9
+
1
x
=

−pi/3 + 2kpi
ou
−2pi/3 + 2kpi
onde k ∈ Z
⇐⇒ 1
x
=

−4pi/9 + 2kpi
ou
−7pi/9 + 2kpi
onde k ∈ Z
⇐⇒ 1
x
=

(18k−4)pi
9
ou
(18k−7)pi
9
onde k ∈ Z
⇐⇒ x =

9
(18k−4)pi
ou
9
(18k−7)pi
onde k ∈ Z
o que responde o item (a).
x
y
α
β
β = −2pi/3
α = −pi/3
−√3/2
1−1
1
−1
Note que o denominador na˜o se anula para nenhum valor de k ∈ Z.
Ù (b) Passemos agora a soluc¸a˜o da inequac¸a˜o
tan
(2x
5
)
≥ 1 .
Para resolveˆ-la, podemos fazer:
tan
(2x
5
)
≥ 1 ⇐⇒ 2x
5
∈
⋃
k∈Z
[ pi
4
+ kpi ,
pi
2
+ kpi
)
⇐⇒ x ∈
⋃
k∈Z
[ 5pi
8
+
5kpi
2
,
5pi
4
+
5kpi
2
)
x
y
α
β
α = pi/4
β = pi/2
1−1
1
−1
35. Mostre, atrave´s de uma figura, que existe um aˆngulo com medida entre −pi rd e −pi/2 rd cuja tangente vale
exatamente 2. Calcule o cosseno e o seno desse aˆngulo.
Indique na figura o que for necessa´rio indicar para que ela se torne clara.
Nu´meros Complexos 11
Soluc¸a˜o: Consideremos o c´ırculo trigonome´trico e o eixo das tan-
gentes como mostrados na figura ao lado. Marquemos o ponto de
abcissa 2 no eixo das tangentes e tracemos a reta que passa por
esse ponto e pela origem do sistema de coordenadas. O aˆngulo α
mostrado na figura tem sua medida compreendida entre −pi e −pi/2
radianos. Ale´m disso, sua tangente vale 2 por definic¸a˜o de tangente.
Essa construc¸a˜o mostra o que foi pedido na primeira parte da questa˜o.
Da identidade 1 + tan2 α = sec2 α segue que:
1 + 22 =
1
cos2 α
⇐⇒ 5 = 1
cos2 α
⇐⇒ cos2 α = 1
5
.
Como α e´ um aˆngulo do terceiro quadrante, conclu´ımos que
cosα = −
√
1
5
ou seja, cosα = − 1√
5
.
Da identidade cos2 α+ sin2 α = 1 segue que
sin2 α = 1− cos2 α = 1− 1
5
=
4
5
.
2
x
y
−1 1
1
−1
α
−pi < α < −pi/2

tanα = 2
Novamente, como α e´ um aˆngulo do terceiro quadrante, obtemos:
sinα = −
√
4
5
ou seja sinα = − 2√
5
.
Esses ca´lculos respondem a segunda parte da questa˜o.
36. Considere a equac¸a˜o e a inequac¸a˜o dadas a seguir:
(∗) sinx =
√
3 cosx ; 8 sin2 x+ 12 cos2 x ≤ 9 (∗∗) .
(a) Determine todas as soluc¸o˜es de (∗) e explicite aquelas que esta˜o no intervalo [−2pi ,−pi ] ;
(b) Resolva (∗∗) usando as identidades trigonome´tricas
cos2 x =
1 + cos(2x)
2
e sin2 x =
1− cos(2x)
2
. (4)
Soluc¸a˜o: Passemos a soluc¸a˜o da equac¸a˜o (∗).
Ù (a) Para resolver a equac¸a˜o (∗) elevamos ambos os membros ao quadrado e obtemos a seguinte equac¸a˜o:
sin2 x = 3 cos2 x . (5)
Resolvendo-a, obtemos:
sin2 x = 3 cos2 x ⇐⇒ sin2 x = 3(1− sin2 x) ⇐⇒ sin2 x = 3− 3 sin2 x
⇐⇒ 4 sin2 x = 3 ⇐⇒ sin2 x = 3/4 ⇐⇒ sinx = ±
√
3 /2 .
Por outro lado, temos que
(ai) sinx =
√
3 /2 ⇐⇒ x =

α+ 2kpi
ou
β + 2kpi
onde k ∈ Z ;
sinx =
√
3 /2 ⇐⇒ x =

pi
3 + 2kpi
ou
2pi
3 + 2kpi
onde k ∈ Z .
x
y
α
β
α = pi/3
β = 2pi/3
√
3/2
1−1
1
−1
Nu´meros Complexos 12
(aii) sinx = −
√
3/2 ⇐⇒ x =

γ + 2kpi
ou
δ + 2kpi
onde k ∈ Z ;
sinx = −
√
3/2 ⇐⇒ x =

−pi3 + 2kpi
ou
− 2pi3 + 2kpi
onde k ∈ Z .
x
y
γ
δ
γ = −pi/3
δ = −2pi/3
−√3/2
1−1
1
−1
Portanto, o conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o (5) sera´:{
± pi
3
+ 2kpi ; k ∈ Z
}
∪
{
± 2pi
3
+ 2ppi ; p ∈ Z
}
.
Agora, precisamos saber quais dessas soluc¸o˜es sa˜o soluc¸o˜es de (∗) pois para passar da equac¸a˜o (∗) para a equac¸a˜o
(5) elevamos ambos os membros de (∗) ao quadrado, o que pode ter introduzido soluc¸o˜es estranhas a equac¸a˜o (∗).
Note que os aˆngulos da forma 2pi3 + 2kpi tem seno positivo e cosseno negativo logo, na˜o podem ser soluc¸o˜es de
(∗). Por sua vez os aˆngulos da forma −pi3 + 2kpi tambe´m na˜o podem ser soluc¸o˜es dessa equac¸a˜o pois possuem
um seno negativo e um cosseno positivo.
Os outros aˆngulos, soluc¸o˜es de (5), possuem senos e cossenos com o mesmo sinal e portanto sa˜o soluc¸o˜es
da
equac¸a˜o (∗).
Em resumo, o conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o proposta inicialmente sera´:{pi
3
+ 2kpi ; k ∈ Z
}
∪
{
− 2pi
3
+ 2ppi ; p ∈ Z
}
.
Agora que temos todas as soluc¸a˜o, podemos determinar aquelas que esta˜o no intervalo [−2pi ,−pi ] :
– as do conjunto
{
pi
3 + 2kpi ; k ∈ Z
}
sa˜o : −2pi + pi/3 (correspondendo a k = −1)
– as do conjunto
{
− 2pi3 + 2ppi ; p ∈ Z
}
sa˜o : nenhuma.
Nota: Observe que: sinx =
√
3 cosx ⇐⇒ tanx = √3. Assim, resolver a equac¸a˜o sinx = √3 cosx e´
o mesmo que resolver a equac¸a˜o tanx =
√
3 cuja soluc¸a˜o e´ muito mais simples que aquela apresentada para a
equac¸a˜o sinx =
√
3 cosx.
Ù (b) Passemos agora a soluc¸a˜o da inequac¸a˜o
8 sin2 x+ 12 cos2 x ≤ 9. (6)
Usando as identidades dadas em (4) temos:
8 sin2 x+ 12 cos2 x ≤ 9 ⇐⇒ 8× 1− cos(2x)
2
+ 12× 1 + cos(2x)
2
≤ 9
⇐⇒ 4− 4 cos(2x) + 6 + 6 cos(2x) ≤ 9
⇐⇒ 2 cos(2x) ≤ −1
⇐⇒ cos(2x) ≤ −1/2
⇐⇒ 2x ∈
⋃
k∈Z
[
α+ 2kpi , β + 2kpi
]
⇐⇒ 2x ∈
⋃
k∈Z
[ 2pi
3
+ 2kpi ,
4pi
3
+ 2kpi
]
.
Consequentemente,
8 sin2 x+ 12 cos2 x ≤ 9 ⇐⇒ x ∈
⋃
k∈Z
[ pi
3
+ kpi ,
2pi
3
+ kpi
]
.
x
y
α
β
α = 2pi/3
β = 4pi/3
−1/2 1−1
1
−1
37. Considere a func¸a˜o sin : [pi/2 , 3pi/2 ]→ [−1 , 1 ] .
Nu´meros Complexos 13
(a) Mostre que ela e´ bijetora.
Agora, denotemos sua inversa por Arcsin. Assim,
Arcsin: [−1 , 1 ] −→ [pi/2 , 3pi/2 ]
x 7−→ Arcsin(x) .
(b) Calcule Arcsin(0) ; Arcsin(1/2) ; Arcsin(−1/2) ; Arcsin(−√2 /2) e represente cada um desses
aˆngulos (dados em radianos) no c´ırculo trigonome´rico (fac¸a uma figura para cada aˆngulo) ;
(c) Nas figuras a seguir, da´-se um ponto b ∈ [−1 , 1 ] , no eixo y , e pede-se para representar na figura o
Arcsin(b) ;
x
y
b
1−1
1
−1
x
y
b
1−1
1
−1
(d) Represente nas figuras acima o arcsin(b) ;
(e) Mostre que Arcsin(x) = pi − arcsin(x) para todo x ∈ [−1 , 1 ] .
(f) Fac¸a o gra´fico de Arcsin .
38. Considere a func¸a˜o cos : [pi , 2pi ]→ [−1 , 1 ] .
(a) Mostre que ela e´ bijetora.
Agora, denotemos sua inversa por Arccos. Assim,
Arccos: [−1 , 1 ] −→ [pi , 2pi ]
x 7−→ Arccos(x) .
(b) Calcule Arccos(0) ; Arccos(1/2) ; Arccos(−1/2) ; Arccos(−√2 /2) e represente cada um desses
aˆngulos (dados em radianos) no c´ırculo trigonome´rico (fac¸a uma figura para cada aˆngulo) ;
(c) Nas figuras a seguir, da´-se um ponto b ∈ [−1 , 1 ] , no eixo x , e pede-se para representar na figura o
Arccos(b) ;
x
y
b
1−1
1
−1
x
y
b
1−1
1
−1
(d) Represente nas figuras acima o arccos(b) ;
(e) Determine a relac¸a˜o entre Arccos e arccos(x) para todo x ∈ [−1 , 1 ] .
(f) Fac¸a o gra´fico de Arccos .
39. Considere a func¸a˜o cot : ( 0 , pi )→ R (cotangente).
(a) Mostre que ela e´ bijetora.
Agora, denotemos sua inversa por arccot. Assim,
arccot: R −→ ( 0 , pi )
x 7−→ arccot(x) .
(b) Calcule arccot(0) ; arccot(1/2) ; arccot(−1/2) ; arccot(−√2 /2) e represente cada um desses aˆngulos
(dados em radianos) no c´ırculo trigonome´rico (fac¸a uma figura para cada aˆngulo) ;
Nu´meros Complexos 14
(c) Nas figuras a seguir, da´-se um ponto b ∈ R , marcado no eixo da cotangente, e pede-se para representar na
figura o arccot(b) ;
x
y
b
1−1
1
−1
x
y
b
1−1
1
−1
(d) Qual o comportamento de arccot no infinito ? Isto e´, calcule:
lim
x→+∞ arccot(x) e limx→−∞ arccot(x) ;
(e) Fac¸a o gra´fico de arccot ;
(f) Agora, considere a func¸a˜o cot : (pi , 2pi ) → R que, tambe´m, e´ uma aplicac¸a˜o bijetora. Denotemos sua
inversa por Arccot. Assim,
Arccot: R −→ [pi , 2pi ]
x 7−→ Arccot(x) .
(g) Calcule Arccot(0) ; Arccot(1/2) ; Arccot(−1/2) ; Arccot(−√2 /2) e represente cada um desses
aˆngulos (dados em radianos) no c´ırculo trigonome´rico (fac¸a uma figura para cada aˆngulo) ;
(h) Nas figuras acima, da´-se um ponto b ∈ R , marcado no eixo da cotangente, e pede-se para representar na
figura o Arccot(b) ;
(i) Qual o comportamento de Arccot no infinito ? Isto e´, calcule:
lim
x→+∞Arccot(x) e limx→−∞Arccot(x) ;
(j) Fac¸a o gra´fico de Arccot ;
(k) Determine a relac¸a˜o entre Arccot(x) e arccot(x) para todo x ∈ R .
(l) Fac¸a o gra´fico de Arccot .
40. Considere a func¸a˜o sec : [ 0 , pi/2 ) ∪ (pi/2 , pi ] −→ (−∞ ,−1 ] ∪ [ 1 ,∞) .
(a) Mostre que ela e´ bijetora.
Agora, denotemos sua inversa por arcsec. Assim,
arcsec: (−∞ ,−1 ] ∪ [ 1 ,∞) −→ [ 0 , pi/2 ) ∪ (pi/2 , pi ]
x 7−→ arcsec(x) .
(b) Calcule, caso fac¸a sentido: arcsec(−1) ; arcsec(0) ; arcsec(√2 ) ; arcsec(−√2 ) ; arcsec(−2/√3 ) e
represente cada um desses aˆngulos (dados em radianos) no c´ırculo trigonome´rico (fac¸a uma figura para cada
aˆngulo) ;
(c) Qual o comportamento de arcsec no infinito ? Isto e´, calcule:
lim
x→+∞ arcsec(x) e limx→−∞ arcsec(x) ;
(d) Fac¸a o gra´fico de arcsec .
41. Considere a func¸a˜o tan : (pi/2 , pi ) ∪ (pi , 3pi/2 ) −→ (−∞ , 0 ) ∪ ( 0 ,∞) .
(a) Esboce seu gra´fico ;
(b) Mostre que ela e´ bijetora.
Agora, denotemos sua inversa por Arctan. Assim,
Arctan: (−∞ , 0 ) ∪ ( 0 ,∞) −→ (pi/2 , pi ) ∪ (pi , 3pi/2 )
x 7−→ Arctan(x) .
Nu´meros Complexos 15
(c) Calcule, caso estejam bem definidos, Arctan(0) ; Arctan(1) ; Arctan(−1) ; Arctan(−√3 ) e
represente cada um desses aˆngulos (dados em radianos) no c´ırculo trigonome´rico (fac¸a uma figura para cada
aˆngulo) ;
(d) Nas figuras a seguir, da´-se um ponto b ∈ (−∞ , 0 )∪ ( 0 ,∞) , no eixo da tangente e pede-se para representar
na figura o Arctan(b) ;
x
y
b
1−1
1
−1
x
y
b
1−1
1
−1
(e) Qual o comportamento de Arctan no infinito ? Isto e´, calcule:
lim
x→+∞Arctan(x) e limx→−∞Arctan(x) ;
(f) Fac¸a o gra´fico de Arctan .
42. Mostre que:
(a) arcsin(sin θ) = θ para todo θ ∈ [−pi/2 , pi/2 ] ;
(b) sin(arcsinx) = x para todo x ∈ [−1 , 1 ] ;
(c) arctan(tan θ) = θ para todo θ ∈ (−pi/2 , pi/2 ) ;
(d) tan(arctanx) = x para todo x ∈ R ;
(e) arccos(cos θ) = θ para todo θ ∈ [ 0 , pi ] ;
(f) cos(arccosx) = x para todo x ∈ [−1 , 1 ] .
(g) Seguindo a linha do que foi dito acima, o que se pode dizer de cot(arccotx) ?
E de arccot(cot θ) ?
43. Resolva as seguintes equac¸o˜es em R , onde os aˆngulos sa˜o dados em radianos.
(a) arcsinx = pi/3 ;
(b) arcsin (2x− 1) = pi/3 ;
(c) arccos (1− x) = pi/4 ;
(d) arctan (3− x2) = pi/3 ;
44. Resolva as seguintes inequac¸o˜es em R , onde os aˆngulos sa˜o dados em radianos.
(a) arccosx < 3pi/4 ;
(b) arccos (2x− 1) < 3pi/4 ;
(c) arctanx > pi/3 ;
(d) arctan (2− x2) > pi/3 ;
(e) arcsinx < pi/6 ;
(f) arctan (1− 2x§2) < pi/6 .
45. Considere a func¸a˜o
__MACOSX/PC2015.2/ListasExercicios/._Trigonometria.pdf
__MACOSX/PC2015.2/._ListasExercicios
PC2015.2/ProgramacaoAulas.pdf
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Universidade Federal Fluminense
Instituto de Matema´tica e Estatı´stica
Departamento de Matema´tica Aplicada - GMA
Campus do Gragoata´ - Bloco H
Rua Marcos Valdemar de Freitas Reis s/n
24210 -201 Nitero´i, RJ
Tel: (21) 26.29.20.86
Pre´ - Ca´lculo 2015.2
Temas a serem abordados
• Apresentac¸a˜o dos nu´meros reais
Lic¸a˜o 2 - Texto Saponga
Aulas: 3 aulas (incluindo exercı´cios)
Dias: 25/11 , 30/11 e 02/12 (Turmas A1 , B1) — 26/11 , 01/12 e 03/12 (Turma C1)
– Subconjuntos especiais : inteiros, racionais e irracionais (primeira abordagem)
– Frac¸o˜es irredutı´veis (primeira abordagem)
– Representac¸a˜o dos nu´meros reais na reta :
∗ reta orientada
∗ direita e esquerda :
· propriedade transitiva
· outras propriedades
∗ origem e unidade de comprimento
∗ a magia
de “mergulhar” os inteiros na reta
∗ a magia de Thales mergulhando os racionais na reta (abordagem ra´pida)
∗ onde se “escondem” √2 e pi na reta a partir dos dados: orientac¸a˜o, origem e unidade de comprimento ?
∗ a bijec¸a˜o entre reta e nu´meros reais
∗ propriedade arquimediana dos nu´meros reais
∗ equidistaˆncia da origem: representac¸a˜o gra´fica
∗ simetria em relac¸a˜o a origem
∗ distaˆncia de um ponto a origem (primeira abordagem: exemplos)
– Direita e esquerda × maior e menor :
∗ propriedades advindas da relac¸a˜o de direita e esquerda:
· x < y ⇐⇒ y > x
· Dados x , y ∈ R temos : ou x = y ou x < y ou x > y
· Transitividade: se x < y e y < z enta˜o x < z .
∗ as relac¸o˜es “≤ ” e “≥ ”
∗ a relac¸a˜o de transitividade envolvendo as relac¸o˜es de “< ” e de “≤ ”
∗ nova forma da propriedade arquimediana
∗ exemplos
– Mo´dulo
∗ distaˆncia de um ponto a origem
∗ distaˆncia entre dois pontos
∗ propriedades do mo´dulo
– Intervalos da reta
– O plano cartesiano
Programac¸a˜o por aula / Pre´ - Ca´lculo 2015.2 2
– Exercı´cios Resolvidos : 2 , 3 , 4 , 7 , 8 , 10 , 19 , 20
– Mais exercı´cios
• Estudo de expresso˜es
Lic¸a˜o 8 - Texto Saponga
Aulas: 1 aula (incluindo exercı´cios)
Dia: 07/12 (Turmas A1 , B1) — 08/12 (Turma C1)
• Resoluc¸a˜o de equac¸o˜es
Lic¸a˜o 9 - Texto Saponga
Aulas: 5 aulas (incluindo exercı´cios)
Dias: 09 , 14 , 16 , 21/12 + 04/01 (Turmas A1 , B1) — 10 , 15 , 17/12 + 05 , 07/01 (Turma C1)
• Simplificando equac¸o˜es
Lic¸a˜o 10 - Texto Saponga
Aulas: 2 aulas (incluindo exercı´cios)
Dias: 06 , 11/01 (Turmas A1 , B1) — 12 , 14/01 (Turma C1)
• Preparac¸a˜o para a prova VE I: exercı´cios
Dias: 13 , 18/01 (Turmas A1 , B1) — 19 , 21/01 (Turma C1)
• VE 1 : 20 de janeiro (4a feira - Turmas A1 , B1) — 26 de janeiro (3a feira - Turma C1)
• Estudando o sinal de expresso˜es
Lic¸a˜o 11 - Texto Saponga
Aulas: 1 aula (incluindo exercı´cios)
Dias: 25/01 (Turmas A1 , B1) — 28/01 (Turma C1)
• Resoluc¸a˜o de inequac¸o˜es
Lic¸a˜o 12 - Texto Saponga
Aulas: 1 aula (incluindo exercı´cios)
Dias: 27/01 (Turmas A1 , B1) — 02/02 (Turma C1)
• Polinoˆmios
Capı´tulo 2: Polinoˆmios - Texto Cristiane
Aulas: 2 aulas (incluindo exercı´cios)
Falar em:
– Multiplicidade de raı´zes e do comportamento dos polinoˆmios pro´ximo das raı´zes
– comportamento dos polinoˆmios no infinito
– polinoˆmios de grau ı´mpar tem pelo menos uma raiz.
Dias: 01 , 03/02 (Turmas A1 , B1) — 04 , 16/02 (Turma C1)
Talvez seria bom colocar + 1 aula
• Func¸o˜es
Capı´tulo 3 do Texto Cristiane: Func¸o˜es reais a uma varia´vel real
Sec¸a˜o 6 da Lic¸a˜o 15 do Texto Saponga: Operando sobre gra´ficos
– Relacionar injetividade e sobrejetividade com o gra´fico da func¸a˜o
– Falar da relac¸a˜o de composic¸a˜o entre f e f−1.
Programac¸a˜o por aula / Pre´ - Ca´lculo 2015.2 3
Aulas: 3 aulas (incluindo exercı´cios)
Dias: 15 , 17 e 22/02 (Turmas A1 , B1) — 18 , 23 , 25/02 (Turma C1)
Talvez seria bom colocar + 1 aula
• Trigonometria
Sem texto definido
Aulas: 4 aulas (incluindo exercı´cios)
Dias: 24 , 29/02 + 02 , 07/03 (Turmas A1 , B1) — 01 , 03 , 08 , 10/03 (Turma C1)
Comec¸ar com a trigonometria no triaˆngulo retaˆngulo. Calcular inversas envolvendo func¸o˜es trigonome´tricas.
Chamar mais atenc¸a˜o para as retas tangentes.
Fazer exercı´cios para expressae a´reas, perı´metros, volumes, comprimetos, em func¸a˜o de aˆngulos, como no caso do
exercı´cio da VE 1.
• Preparac¸a˜o para a prova VE II: exercı´cios
Dias: 09 , 14/03 (Turmas A1 , B1) — 15 , 17/03 (Turma C1)
• VE 2 : 16 de marc¸o (4a feira) (Turmas A1 , B1) — 22 de marc¸o (3a feira) (Turma C1)
• VR : 21 de marc¸o (2a feira) (Turmas A1 , B1) — 24 de marc¸o (5a feira) (Turma C1)
• VS : 28 de marc¸o (2a feira) (Turmas A1 , B1) — 31 de marc¸o (5a feira) (Turma C1)
NOTAS :
• E´ preciso ter uma aula entre a VR e a VS pois existe a possibilidade da VR da VR que e´ aplicada entre a VR e a
VS.
• Na programac¸a˜o acima temos um total de 26 aulas propriamente ditas e mais 4 provas, num total de 30 aulas. O
nu´mero mı´nimo exigido pela UFF (segundo o Chefe do GMA) e´ 30.
• No semestre passado fiz o curso com 3 aulas a mais o que permitiu fazer mais uma aula de Polinoˆmio e mais uma
de Trigonometria.
__MACOSX/PC2015.2/._ProgramacaoAulas.pdf
PC2015.2/Provas2015-1/.DS_Store
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PC2015.2/Provas2015-1/VE1-TurmaA1-Solucoes.pdf
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Pre´ - Ca´lculo 2015.1
Durac¸a˜o da prova: 1h45min
Questo˜es na˜o justificadas na˜o sera˜o consideradas
1a VE Turma A1 - Soluc¸o˜es
Aplicada em 27/04/2015
1.
Nos itens abaixo :
(i) Deˆ uma equac¸a˜o cujas soluc¸o˜es reais sa˜o os pontos da reta satisfazendo a seguinte condic¸a˜o : o inverso
da sua distaˆncia ao ponto −3 e´ igual a sua distaˆncia ao ponto pi.
(ii) Resolva a equac¸a˜o :
√
2− x3 = √3x2 − 4x+ 2 .
Soluc¸a˜o:
(i) Seja x ∈ R um tal ponto :
+ sua distaˆncia ao ponto −3 vale: |x− (−3)| = |x+ 3| ;
+ o inverso da distaˆncia acima e´ dada por: 1/|x+ 3| ;
+ a distaˆncia de x ao ponto pi e´ dada por : |x− pi| .
Consequentemente, uma equac¸a˜o que formaliza a propriedade descrita no item (i) e´ dada por :
1
|x+ 3| = |x− pi| .
Nota : Voceˆ sabe resolver a equac¸a˜o encontrada no item (i) ?
(ii) Para resolver esta equac¸a˜o faremos uso de operac¸o˜es que podem introduzir soluc¸o˜es estranhas a` equac¸a˜o
original. Nesse contexto temos :√
2− x3 =
√
3x2 − 4x+ 2 =⇒ 2− x3 = 3x2 − 4x+ 2 =⇒ x3 + 3x2 − 4x = 0
=⇒ x(x2 + 3x− 4) = 0 =⇒ x(x+ 4)(x− 1) = 0
=⇒ x = 0 ou x = 1 ou x = −4 .
Agora, resta testar estas soluc¸o˜es na equac¸a˜o original para saber qual delas e´, de fato, soluc¸a˜o.
Testando as soluc¸o˜es na equac¸a˜o inicial :
+ x = 0 :
√
2− x3
]
x=0
=
√
2 e
√
3x2 − 4x+ 2
]
x=0
=
√
2 .
Portanto, x = 0 e´ soluc¸a˜o.
+ x = 1 :
√
2− x3
]
x=1
= 1 e
√
3x2 − 4x+ 2
]
x=1
= 1 .
Portanto, x = 1 e´ soluc¸a˜o.
1a VE - Soluc¸o˜es - Turma A1 - 2015.1 2
+ x = −4 :
√
2− x3
]
x=−4
=
√
66 e
√
3x2 − 4x+ 2
]
x=−4
=
√
66 .
Portanto, x = −4 e´ soluc¸a˜o.
Conclu´ımos assim que a equac¸a˜o original tem, exatamente, 3 (treˆs) soluc¸o˜es, a saber : 0 , 1 e −4 .
2.
Considere a expressa˜o de varia´vel real
1 +
x
x− 2
1 +
5− 2x
x2 − 4
.
(i) Determine o seu dom´ınio ;
(ii) Determine os zeros dessa expressa˜o, caso existam ;
(iii) Analise o sinal dessa expressa˜o usando os sinais de expresso˜es do primeiro e/ou do segundo graus.
Soluc¸a˜o:
(i) A expressa˜o em estudo so´ na˜o esta´ bem definida quando :
+ x− 2 = 0 ⇐⇒ x = 2 ;
+ x2 − 4 = 0 ⇐⇒ (x− 2)(x+ 2) = 0 ⇐⇒ x = 2 ou x = −2 ;
+ 1 +
5− 2x
x2 − 4 = 0 ⇐⇒
2x− 5
x2 − 4 = 1 ⇐⇒ x
2 − 4 = 2x− 5 ⇐⇒ x2 − 2x+ 1 = 0
⇐⇒ (x− 1)2 = 0 ⇐⇒ x = 1 .
Da ana´lise acima resulta que o dom´ınio da expressa˜o e´ :
R− {−2 , 1 , 2} = (−∞,−2 ) ∪ (−2 , 1 ) ∪ ( 1 , 2) ∪ ( 2 ,∞) .
(ii) Para responder a este item, consideremos x ∈ R−{−2 , 1 , 2} . Nesse universo devemos resolver a seguinte
equac¸a˜o para saber onde a expressa˜o se anula :
1 +
x
x− 2 = 0 ⇐⇒
x
2− x = 1 ⇐⇒ x = 2− x ⇐⇒ x = 1 /∈ R− {−2 , 1 , 2} .
Consequentemente, a expressa˜o em ana´lise na˜o se anula em nenhum ponto do seu dom´ınio.
(iii) Para analisar o sinal da expressa˜o, devemos simplifica´-la. Para isso, considerando x ∈ R − {−2 , 1 , 2}
temos que :
1 +
x
x− 2
1 +
5− 2x
x2 − 4
=