Lista de Calculo (Completa)

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UFRB - UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
DISCIPLINA: Calculo Diferencial e Integral I CURSO:
PROFESSOR: DATA: / /
NOME: TURMA:
LISTA DE EXERCÍCIOS
ATUALIZADA EM 22 DE MARÇO DE 2010
Limites: Noção Intuitiva, Definição e Propriedades
1. Complete a tabela (use a calculadora e uma aproximação com até 4 casas decimais) e utilize os
resultados para estimar o valor do limite da função quando x tende a a ou explicar por que ele não existe.
(a)
x 0, 9 0, 99 0, 999 0, 9999
f (x) =
x − 1
x3 − 1
x 1, 1 1, 01 1, 001 1, 0001
x − 1
x3 − 1
, a = 1
(b)
x 1, 9 1, 99 1, 999 1, 9999
x − 2
x2 − 4
x 2, 1 2, 01 2, 001 2, 0001
x − 2
x2 − 4
, a = 2
(c)
x 0, 9 0, 99 0, 999 0, 9999
x + 2
1− x
x 1, 1 1, 01 1, 001 1, 0001
x + 2
1− x
, a = 1
(d)
x −3, 1 −3, 01 −3, 001
x2 + 5x + 6
x2 + 8x + 15
x −2, 9 −2, 99 −2, 999
x2 + 5x + 6
x2 + 8x + 15
, a = −3
2. Prove cada proposição usando a definição de limite.
(a) lim
x→2
3x − 2 = 4
(b) lim
x→4
5− 2x = −3
(c) lim
x→2
x2 − 4x + 5 = 1
(d) lim
x→1
x2 − 1
x − 1 = 2
(e) lim
x→5
1
2− x = −
1
3
(f) lim
x→9−
4
√
9− x = 0.
3. Determine, se possível, as constantes reais a e/ou b de modo que lim
x→k
f (x) exista, sendo:
(a) f (x) =
¨
3ax2 + 2, x < 1
x − 2, x ≥ 1 , k = 1
(b) f (x) =
8
>
<
>
:
3x − 2, x > −1
3, x = −1
5− ax , x < −1
, k = −1
(c) f (x) =
¨
4x + 3, x ≤ −2
3x + a, x > −2 , k = −2
(d) f (x) =
8
<
:
3x2 − 5x − 2
x − 2 , x < 2
3− ax − x2, x ≥ 2
, k = 2
4. Calcule os limites a seguir, justificando cada passagem através das suas propriedades.
(a) lim
x→4
5x2 − 2x + 3
(b) lim
x→3
(x3 + 2)(x2 − 5x)
(c) lim
x→−1
x − 2
x2 + 4x − 3
(d) lim
x→1
�
x4 + x2 − 6
x4 + 2x + 3
�2
(e) lim
u→−2
p
u4 + 3u + 6
(f) lim
t→−2
(t + 1)9(t2 − 1)
Limites e Indeterminações
5. Seja f (x) =
√
3 + x −√3
x
:
(a) Use uma tabela de valores de f (x) para estimar o limite quando x tende a zero. Utilize quatro casas
decimais.
(b) Use as propriedades de limites para encontrar o valor exato do mesmo limite.
6. Prove que o lim
x→0
|x |
x
não existe.
7. Seja f (x) =
¨ √
x − 4 , se x > 4
8− 2x , se x ≤ 4 e determine, se possível, o limx→4 f (x).
8. Verifique se existe os limites indicados, se não existir indique a razão disto.
(a) lim
t→−4
|t + 4|
t + 4
(b) f (x) =
8
>
<
>
:
√
x2 − 9 , se x ≤ −3;√
9− x2 , se − 3 < x < 3;√
x2 + 6x + 9 , se x ≥ 3.
lim
x→−3
f (x) e lim
x→3
f (x).
9. Calcule, se possível, os limites.
(a) lim
x→−2
4− x2
2 + x
(b) lim
x→−3
x2 − x − 12
x + 3
(c) lim
x→1
x2 + 2x − 3
3x − 3
(d) lim
x→−2
x + 2
x2 − x − 6
(e) lim
x→3
x2 + x − 12
x2 − x − 6
(f) lim
x→3
x2 − 4x + 3
x2 − x − 6
(g) lim
x→4
3x2 − 17x + 20
4x2 − 25x + 36
(h) lim
x→1
�
2x2 − 3x + 1
3x − 3
�2
(i) lim
x→1
x3 − 1
x2 − 1
(j) lim
x→1
x3 − 1
5x − 5
(k) lim
x→−2
x3 + 8
x2 − 4
(l) lim
t→−2
t3 + 4t2 + 4t
(t + 2)(t + 3)
(m) lim
x→−2
3
Ê
x3 − 3x + 2
x2 + 3x + 2
(n) lim
x→2
x4 − 16
8− x3
(o) lim
x→1
x3 − 3x + 2
x4 − 4x + 3 ;
10. Calcule, se possível, os limites.
(a) lim
x→1
√
x − 1
x − 1 ;
(b) lim
x→0
√
x + 1−√1− x
3x
;
(c) lim
x→−1
1− x2
x +
√
2 + x
;
(d) lim
x→1
√
x + 2−√3
x3 − 1 .
(e) lim
t→9
9− t
3−√t
(f) lim
t→0
√
2− t −√2
t
(g) lim
t→0
√
25− 3t − 5
t
(h) lim
x→7
2−√x − 3
x2 − 49
(i) lim
x→4
3−√5 + x
1−√5− x
(j) lim
h→0
3
√
8 + h − 2
h
(k) lim
x→0
3
√
2x − 1 + 1
x
;
(l) lim
x→1
3
√
2x + 1− 3√3
1− 3√x ;
11. Determine, através do gráfico da função f (x) cada limite, caso exista.
x
y
1 2
1
3
(a) lim
x→1−
f (x)
(b) lim
x→1+
f (x)
(c) lim
x→1
f (x)
(d) lim
x→−∞
f (x)
(e) lim
x→+∞
f (x)
(f) lim
x→2
f (x).
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 2
12. Determine, através do gráfico da função f (x) cada limite, caso exista.
x
y
3
−1
1
3
(a) lim
x→3−
f (x)
(b) lim
x→3+
f (x)
(c) lim
x→3
f (x)
(d) lim
x→−∞
f (x)
(e) lim
x→+∞ f (x)
(f) lim
x→4
f (x).
13. Determine, através do gráfico da função f (x) cada limite, caso exista.
x
y
1− 12
1
2
(a) lim
x→1−
f (x)
(b) lim
x→1+
f (x)
(c) lim
x→1
f (x)
(d) lim
x→−∞
f (x)
(e) lim
x→+∞
f (x)
(f) lim
x→0
f (x).
14. Mostre que o lim
x→0
x2 · cos(20πx) = 0.
15. Use o teorema do confronto para mostrar que
lim
x→0
p
x2 + x3 sen
�π
x
�
= 0.
16. A função sinal, denotada por sgn, está definida por
sgn(x) =
8
>
<
>
:
−1 , se x < 0
0 , se x = 0
1 , se x > 0
(a) Esboce o gráfico dessa função.
(b) Encontre ou explique por que não existe cada um dos limites que se seguem.
i. lim
x→0+
sgn(x) ii. lim
x→0−
sgn(x) iii. lim
x→0
sgn(x)
17. Seja
h(x) =
8
>
<
>
:
x , se x < 0
x2 , se 0 < x ≤ 2
8− x , se x > 2
(a) Calcule, se existirem, os limites.
i. lim
x→0+
h(x) ii. lim
x→0−
h(x) iii. lim
x→0
h(x) iv. lim
x→2−
h(x) v. lim
x→2+
h(x) vi. lim
x→2
h(x)
(b) Esboce o gráfico da função h.
18. Considere a função f (x) = x
2 − 1
|x − 1| .
(a) Determine lim
x→1+
f (x) e lim
x→1−
f (x).
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 3
(b) Existe lim
x→1
f (x)?
(c) Esboce o gráfico de f .
19. Calcule o limite: lim
x→0
cos(x)− 3
È
cos(x)
sen2(x)
.
20. Esboce o gráfico da função a seguir e use-o para determinar os valores de a para quais os lim
x→a f (x)
existe:
g(x) =
8
>
>
<
>
>
:
x , sex ≤ 1
3 , sex = 1
2− x2 , se1 < x ≤ 2
x − 3 , sex > 2
Limites Infinitos
21. Na teoria da relatividade, a fórmula da Contração de Lorentz
L = L0
r
1− v
2
c2
,
expressa o comprimento L como uma função da velocidade v em relação a um observador, em que L0 é o
comprimento do objeto no repouso e c é a velocidade da luz. Encontre lim
v→c−
L e interprete o resultado. Por
que é necessário o limite à esquerda?
22. Prove usando a definição, que lim
x→−3
1
(x + 3)4
= ∞.
23. Determine os limites.
(a) lim
x→5+
6
x − 5
(b) lim
x→3+
1
(x − 3)8
(c) lim
x→−2+
x − 1
x2(x + 2)
(d) lim
x→3+
x
x − 3
(e) lim
x→4−
3− x
x2 − 2x − 8
(f) lim
x→4
x − 5
(x − 4)2
(g) lim
x→0
cos(x)
x · sen(x)
(h) lim
x→2−
3− x
(x − 2)3
24. Determine uma equação da(s) assíntota(s) vertical(is) do gráfico da função em cada caso.
(a) f (x) = −2
x + 3
(b) f (x) = −2
(x + 3)2
(c) f (x) = 5
x2 + 8x + 15
Limites no Infinito
25. Calcule os limites:
(a) lim
x→+∞
(3x3 + 4x2 − 1)
(b) lim
t→−∞
t + 1
t2 + 1
(c) lim
x→−∞
3x5 − x2 + 7
2− x2
(d) lim
x→−∞
−5x3 + 2
x3 + 3
(e) lim
x→+∞
−4x4 + 2
2x − x3
(f) lim
x→+∞
√
x2 + 1
x + 1
(g) lim
r→+∞
r4 − r2 + 1
r5 + r3 − r
(h) lim
t→+∞
6t2 + 5t
(1 − t)(2t − 3)
(i) lim
x→+∞
√
1 + 4x2
4 + x
(j) lim
x→+∞
√
4x + x2
4x + 1
(k)
lim
x→+∞
€
p
x2 + 1−
p
x2 − 1
Š
(l) lim
x→+∞
1−√x
1 +
√
x
(m) lim
x→+∞
tg−1(x2 − x4)
(n) lim
x→+∞
x7 − 1
x6 + 1
(o) lim
x→+∞
1 + 2 + 3 + . . . + n
n2
(p) lim
x→+∞
12 + 22 + . . . + n2
n3
Sugestão: Para (o)
n
X
k=1
k =
n(n + 1)
2
e para (p)
n
X
k=1
k2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
.
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 4
26. Determine uma equação da assíntota(s) horizontal(is) ao gráfico da função f (x).
(a) f (x) = 2x + 1
x − 3 (b) f (x) =4x2
x2 − 9
27. Encontre a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) horizontal(is) e vertical(is) do gráfico de cada função.
(a) y = x
x + 4
(b) y = x
2 + 4
x2 − 1
(c) y = x
3
x2 + 3x − 10
(d) y = x
3 + 1
x3 + x
(e) y = x
4
√
x4 + 1
(f) y = x − 9
4x2 + 3x + 2
.
28. O departamento de capacitação de novos funcionários da empresa C&V Confecções estima que um
novo funcionário com pouca experiência na confecção da sua linha produzirá Q(t) = 30 − 10 · e− t9 novas
unidades em t dias após receber treinamento. Pergunta-se:
(a) Qual a produção do funcionário no início do treinamento?
(b) O que acontece com o nível de produção a longo prazo?
29. Uma determinada notícia numa cidade foi propagada de tal maneira que o numero de pessoas que
tomaram conhecimento e dado por N(t) = 600
1 + 24e−0,5t
, em que t representa o número de dias após
ocorrer a notícia. Pergunta-se
(a) Quantas pessoas souberam a noticia de imediato?
(b) Determine lim
t→∞N(t) e explique o seu resultado.
30. A arrecadação mundial total pela exibição de um filme de grande sucesso de bilheteira é aproximado
pela função A(x) = 120x
2
x2 + 4
, em que A(x) é medido em milhões de dólares e x é o número de meses do
filme em cartaz. Pergunta-se:
(a) Qual é a arrecadação de bilheteria após o primeiro e o segundo mês?
(b) Qual será a arrecadação do filme a longo do prazo?
31. Calcule o limite: lim
x→+∞
√
x
q
x +
È
x +
√
x
Limites Fundamentais
32. Calcule os limites:
(a) lim
x→0
sen(3x)
2x
(b) lim
x→0
sen(10x)
sen(7x)
(c) lim
x→0
tg(3x)
2x
(d) lim
x→0
1− cos(x)
x2
(e) lim
x→0
1− sec(x)
x2
(f) lim
x→0
1− cos(x)
x
(g) lim
x→0
1− cos(x)
x sen(x)
(h) lim
x→0
7− 7 cos2(x)
3x2
(i) lim
x→0
sen(x)
x − π
(j) lim
x→0
È
1 + sen(x)−
È
1− sen(x)
x
(k) lim
x→0
2x3 − x + sen(x)
x
(l) lim
x→0
sen(x + a)− sen(a)
x
(m) lim
x→pi
�
ln[sen2(x)]− 2 · ln(x)− ln
�
1− 2π
x
+
π2
x2
��
33. Calcule os limites:
(a) lim
x→−∞

1 +
2
x
‹x
(b) lim
x→−∞

1− 3
x
‹x
(c) lim
x→+∞

1 +
1
x
‹3x
(d) lim
x→+∞

1− 4
x
‹5x
(e) lim
x→−∞

1 +
1
x
‹x
(f) lim
x→+∞

x + 1
x − 1
‹x
(g) lim
x→∞

x
1 + x
‹x
(h) lim
x→+∞

x + 5
x
‹2x+3
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 5
34. Determine:
(a) lim
x→0
ex − 1
2x
(b) lim
x→0
31+x − 3
x
(c) lim
x→3
4x − 64
x − 3 (d) limx→0
4− e2x
x
35. Calcule os limites:
(a) lim
x→ 3pi2
[1 + cos(x)]3
1
cos(x) (b) lim
x→0
ex − 1
sen(x)
(c) lim
x→0
−5x3 + sen5(x)
6x3
(d) lim
x→+∞ 2
1+x2
2x2
36. Use o teorema do confronto para determinar lim
x→∞
sen2x
x2
.
Limites Envolvendo Funções Limitadas
37. Calcule os limites:
(a) lim
x→0
x · sen

1
x
‹
(b) lim
x→+∞
sen(x) + x6
x
(c) lim
x→−∞ e
x · sen(x)
(d) lim
x→0+
§
x3
”
4− cos(x−2)
—
+
ex
x
ª
(e) lim
x→+∞
(2 + x3) · cos[ln(x)]
1− 3x7
(f) lim
x→+∞
3 cos(x) + 2x
2x
38. Determine se o que está estabelecido é falso ou verdadeiro. Se verdadeiro, explique, se falso, explique
o porquê ou dê um contra-exemplo.
(a) lim
x→3+
2x
x − 3 = +∞, neste caso, dizemos que a reta y = 3 é uma assíntota vertical.
(b) lim
x→0
x
|x | não existe.
(c) lim
x→0
√
x · ecos(3pi/x) = 0
(d) A função f (x) = x
3 − x2 − 2x
x − 2 tem uma descontinuidade removível em x = 2 e f pode ser redefinida
como uma nova função dada por g(x) =
8
<
:
x3 − x2 − 2x
x − 2 , se x 6= 2
−6 , se x = 2
(e) Existe um número real que é exatamente um a mais que seu cubo.
(f) lim
x→0
sen(7x)
sen(5x)
=
7
5
.
Limites e Continuidade
39. Considere a função y = f (x) abaixo definida no domínio R \
n
−π
2
;
π
2
o
. Analisando o gráfico de f (x),
responda, justificando:
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 6
y
x−π −pi2 0
pi
2
π 3pi2
1
2
3
(a) lim
x→0
f (x)
(b) lim
x→ pi2 +
f (x)
(c) lim
x→ pi2 −
f (x)
(d) lim
x→ pi2
f (x)
(e) lim
x→pi+
f (x)
(f) lim
x→pi−
f (x)
(g) lim
x→pi
f (x)
(h) lim
x→− pi2
f (x)
(i) lim
x→ 3pi2 +
f (x)
(j) lim
x→ 3pi2 −
f (x)
(k) lim
x→ 3pi2
f (x)
(l) lim
x→−pi−
f (x)
(m) lim
x→−pi+
f (x)
(n) lim
x→−pi
f (x)
(o) lim
x→−∞
f (x)
(p) lim
x→+∞
f (x)
(q) f (−π)
(r) f (0)
(s) f (π)
(t) f

3π
2
‹
(u) f é contínua em x0 = 0?
(v) f é contínua em x0 = −π?
(w) f é contínua em x0 = 3π
2
?
(x) f é contínua em x0 = π?
(y) f é contínua em x0 = −π
2
?
40. Mostre que a função é contínua em x0 em cada caso.
(a)f (x) = x2 +√7− x , x0 = 4 (b) g(x) = (x + 2x3)4, x0 = −1 (c) h(x) = x + 1
2x2 − 1, x0 = 4
41. Investigue a continuidade das seguintes funções:
(a) f (x) =
8
<
:
x3 − 8
x2 − 4, x 6= 2,
1, x = 2
(b) f (x) = 2
3x2 + x3 − x − 3
(c) f (x) =
¨
0, x ≤ 0
x , x > 0
(d) f (x) =
8
<
:
x
|x | , x 6= 0
−1, x = 0
42. Calcule as constantes a e b de modo que:
(a) lim
x→b
x2 − a
x − b = 4 (b) limx→3
x2 − ax + b
x − 3 = 5 (c) limx→+∞
•
ax − bx + 3
x + 1
˜
= 5
43. Se f e g são funções contínuas, com f (3) = 5 e lim
x→3
[2f (x)− g(x)] = 4, encontre g(3).
44. Calcule p de modo que as funções abaixo sejam contínuas.
(a) f (x) =
¨
x2 + px + 2, x 6= −3
x , x = −3(b) f (x) =
¨
x + 2p, x ≤ −1
p2, x > −1 (c) f (x) =
¨
e2x , x 6= 0
p3 − 7, x = 0
45. Esboce o gráfico das funções abaixo, determine lim
x→x−0
f (x), lim
x→x+0
f (x) e, caso exista, lim
x→x0
f (x).
(a) f (x) =
¨
x2 − 3x + 2, x ≤ 3
8− 2x , x > 3 , a = 1;
(c) f (x) =
¨
x2 − x , x ≥ 0
−x , x < 0 , a = 0;
(b) f (x) =
8
>
<
>
:
x2 − 1, x ≥ 1, x 6= 2
1, x = 2
1− x , x < 1
, a = 2;
(d) f (x) = |x |
x
, a = 0;
46. Esboce o gráfico de cada função f a seguir, e determine o que se pede (use o Winplot 1 para visualizar
e confirmar os gráficos construídos)
1
<http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html>
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 7
(a) f (x) =
8
>
<
>
:
4x + 12, x < −2
x2, −2 ≤ x ≤ 1
−x2 + 3, x > 1
i. lim
x→−∞
f (x)
ii. lim
x→1
f (x)
(iii) lim
x→−2
f (x)
(iv) lim
x→+∞
f (x)
(b) f (x) =
¨
2−x , x > 0
x−1, x < 0
i. lim
x→−∞
f (x)
ii. lim
x→0+
f (x)
iii. lim
x→0−
f (x)
iv. lim
x→+∞
f (x)
(c) f (x) =
8
>
>
<
>
>
:
2x , x < 0
1− x , 0 ≤ x < 1
x2 − 1, x > 1
1, x = 1
i. lim
x→−∞
f (x)
ii. lim
x→1
f (x)
iii. lim
x→0
f (x)
iv. lim
x→+∞
f (x)
(d) f (x) =
8
>
>
<
>
>
:
x + 5, x ≤ −2
x2 − 1, −2 ≤ x ≤ −1
2x + 2, −1 < x ≤ 0
2−x , x > 0
i. lim
x→−∞
f (x)
ii. lim
x→+∞ f (x)
iii. lim
x→−2
f (x)
iv. lim
x→0
f (x)
47. Se uma esfera oca de raio a = 2cm é carregada com unidade de eletricidade estática, a intensidade
de campo elétrico E no ponto P depende da distância x do centro da esfera até P pela seguinte lei:
E (x) =
¨
0 ; se 0 ≤ x < a
x−2 ; se x ≥ a
Estude a continuidade do campo na superfície da esfera.
48. Que tipo de descontinuidade possui a função f (x) = e 11−x em x = 1?
49. Mostre que a função é contínua no intervalo dado.
(a) f (x) = x√16− x2; [−4, 4] (b) f (x) = x + 1
x − 3 ; (−∞, 3)
50. Encontre os pontos no(s) qual(is) a função é descontínua. Em quais desses pontos f é contínua à
direita, à esquerda ou em nenhum deles? Esboce o gráfico.
(a) f (x) =
8
>
<
>
:
2x + 1 , se x ≤ −1
3x , se − 1 < x < 1
2x − 1 , se x ≥ 1
(b) f (x) =
¨
(x − 1)3 , se x <0
(x + 1)3 , se x ≥ 0
51. Explique o porquê que a função é contínua. Estabeleça o domínio.
(a) f (x) = x
x2 + 5x + 6
(b) f (t) = 2t +√25− t2
(c) f (x) = 5√x − 1(x2 − 2)
(d) f (x) = sen(x)
x + 1
(e) f (x) = ex sen(5x)
(f) f (x) = sen−1(x2 − 1)
52. Use a continuidade para calcular o limite.
(a) lim
x→4
5 +
√
x√
5 + x
(b) lim
x→pi
sen(x + sen(x)) (c) lim
x→1
ex
2−x (d) lim
x→2
arctg
�
x2 − 4
3x2 − 6x
�
53. A força gravitacional exercida pela terra sobre uma unidade de massa a uma distância r do centro do
planeta é
F (r) =
8
>
>
<
>
>
:
GMr
R3
, se r < R
GM
r2
, se r ≥ R
em que M é a massa da terra, R é o seu raio e G é a constante gravitacional. A função F é uma função
contínua em r?
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 8
54. Quais das seguintes funções f têm uma descontinuidade removível em a? Se esta for removível,
encontre uma função g que é igual a f , para x 6= a e que seja contínua em R.
(a) f (x) = x
2 − 2x − 8
x + 2
, a =
−2
(b) f (x) = x − 7|x − 7| , a = 7 (c) f (x) =
x3 + 64
x + 4
, a = −4(d) f (x) = 3−
√
x
9− x , a = 9
Derivadas Imediatas e as Regras Operacionais
Derivadas Imediatas
1. k ′ = 0, ∀ k ∈ C;
2. (xn)′ = nxn−1;
3. (ax)′ = ax · ln(a),
em particular, (ex)′ = ex ;
4. (sen(x))′ = cos(x);
5. (cos(x))′ = − sen(x);
6. (tg(x))′ = sec2 x ;
7. (cotg(x))′ = − cossec2 x ;
8. (sec(x))′ = tg(x) · sec(x);
9. (cossec(x))′ = cotg(x) · cossec(x);
10. (loga x)′ =
1
x · ln(a) , ∀x ∈ R
∗
+, 0 < a 6= 1,
em particular, (ln x)′ = 1
x
;
11. (arcsen x)′ = 1√
1− x2 ;.
12. (arccos(x))′ = −1√
1− x2 ;
13. (arctg(x))′ = 1
1 + x2
;
Regras da Derivação
1. d(u ± v) = du ± dv ; 2. d(u · v) = u · dv + v · du; 3. d
�u
v
�
=
vdu − udv
v2
.
55. Encontre a derivada de cada uma das funções.
(a) f (x) = 2x4 − 3x2 + 5x − 2
(b) f (x) = 3
2x
+ 2x(
5
√
x3)− 2√
x
(c) f (x) = (3x5 − 1)(2− x4)
(d) f (s) = √3(s3 − s2)
(e) f (t) = t
3 − 3t
t5 − 5t (t
2 − 2t)
(f) f (x) = x
3
ex
+
ex
x3
(g) f (x) = x2 sen(x)− ln(x) cos(x)
(h) f (θ) = 2 cotg(θ)
1− sen(θ)
(i) f (x) = sec
2 t
1 + t2
;
(j) g(x) =
�
3x2 + 4
x7 + 1
�10
;
(k) f (t) = sen2(3t)√cos 2t;
(l) f (t) = e3t2−t3 − ln(cos 3t).
(m) f (x) =
�
3x2 + 4
x7 + 1
�2
;
(n) f (θ) = e3θ. sen2(3θ);
(o) f (t) = ln(cos(t)).
56. Se f (x) = ex · g(x), em que g(0) = 2 e g ′(0) = 5. É correto dizer que f ′(0) é:
(a) 7 (b) 2 (c) 5 (d) 10
57. Calcule as abscissas dos pontos do gráfico de y = x3 + 2x2 − 4x nos quais a reta tangente é:
(a) Horizontal. (b) Paralela à reta 2y + 8x − 5 = 0.
58. Determine a equação da reta tangente à curva f (x) = x − 3
x + 3
no ponto x = −2. Existe reta tangente ao
gráfico de f que tem inclinação horizontal? Por quê?
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 9
Derivada da Função Composta
Derivada da Função Composta
h(x) = f (g(x)) ⇒ h′(x) = [f (g(x))]′ · g ′(x).
Derivada da Função Exponencial Composta
y = [u(x)v(x)] ⇒ y ′ = v · uv−1 · u′ + uv · v ′ · ln x .
59. Calcule a derivada de:
(a) y = 3√3x − 1
(b) z(x) = ln(x2 − 6)
(c) f (t) = e4t3
(d) f (t) = ln(sec(x))
(e) y = cos[tg(3− 5x)]
(f) y = sen(x2 − 2x)
(g) f (t) = e 4t3t+4
(h) y = √−3− 7x cos(−15x)
(i) y = sec
”
log2
€
4
√
x3 −√2
Š—
60. Encontre a derivadas das funções dadas.
(a) f (x) = (3x5 − 1)10(2− x4)
(b) f (t) = (t
3 − 3t)3
(t5 − 5t)5
(c) f (s) = ln(e5s−3)
(d) f (x) = 1
2
ln(7x2 − 4)
(e) f (x) = ex2 + 4
(f) f (θ) = 2 cos(2θ2 − 3θ + 1)
(g) f (θ) = 2 cos2(θ) sen(θ)
(h) f (θ) = sen2(θ) + cos2(θ)
(i) f (x) = ln

x + 1
ex
‹
(j) f (x) = ln(sen2(x))
(k) f (x) = arctg(x2 + 1)
(l) f (θ) = earcsen(θ)
61. Determine f ′(3),
(a) sabendo que f (1 + 2x) + f (2x2 + 1) = 4x2 + 4x + 2, ∀ x ∈ R.
(b) sabendo que f (4x − 1) · f (−2x3 + 5) = x5 + x3 − x e que f (3) < 0.
62. Mostre que:
(a) Se y = xn, com n ∈ R, então y ′ = n · xn−1.
(b) Se f é uma função par, então f ′(x) = −f ′(−x).
(c) Se f é uma função ímpar, então f ′(x) = f ′(−x).
Derivada da Função Inversa
Derivada da Função Inversa
y−1 =
1
f (x)
⇒ (y−1)′ = 1
f ′(x)
.
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 10
63. Calcule a área do triângulo retângulo sombreado na figura
ao lado, sabendo-se que n é a reta normal a f (x) = ex no ponto
de abscissa x0 = 1.
x
y f (x)
n
1
64. Determine (f −1)′(−5), sabendo que:
f : (2, +∞) → R
x 7→ x2 − 4x − 2.
65. Determine a equação da reta tangente e normal ao gráfico da função f (x) = arctg2(x) no ponto de
abscissa
√
3.
66. Calcule a derivada da função inversa de f (x) = 5√x no ponto y = 1.
67. Determine a derivada da função inversa das funções a seguir.
(a) f (x) = 2x2 − 3 (b) f (x) = 5− 7x (c) f (x) = x4 + 1
Derivadas Sucessivas
68. Mostre que y = A cos(ω − t) + B sen(ω − t), satisfaz a equação: d
2y
dω2
− d
2y
dt2
= 0.
69. Determine a derivada de ordem 2006 das funções:
(a) f (x) = (2x + 1) (b) f (x) = ex(x + 1)
L’Hospital
70. Calcule o limite utilizando as regras de L’Hospital.
(a) lim
x→0
x
tg(x)
(b) lim
x→0
ex − cos(x)
x sen(x)
(c) lim
x→+∞
ln(x)√
x
(d) lim
x→0
x2 + 6x
x3 + 7x2 + 5x
(e) lim
x→+∞

ln
x
x + 1
‹
(f) lim
x→+∞
x99
ex
Derivação Implícita
71. Determine dy
dx
por derivação implícita:
(a) x2 + y2 = 16 (b) 1
x
+
1
y
= 1 (c) y2 = cos(x − y) (d) ex+y = arctg(y)
72. Ache a equação da reta tangente à curva x − y = √x + y no ponto (3, 1).
73. Determine f ′(3) sabendo que 2f (5x−2) = x3 + 3x2
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 11
Diferenciais
Diferencial de uma Função
Seja uma função y = f (x) uma função. Da igualdade lim
∆x→0
∆y
∆x
= f ′(x), temos:
∆y
∆x
− f ′(x) = α Diferença entre a razão incremental e a derivada da função.
Logo:
∆y = f ′(x) ·∆x
| {z }
Diferencial da função
+ α ·∆x ; dy = f ′(x)∆x .
74. Usando diferenciais, determinar um valor aproximado para:
(a) √64, 1; (b) 4√13 (c) ln(2, 53) sabendo que ln(2, 5) = 0, 91629
75. Encontrar o acréscimo ∆y e a diferencial dy para os valores dados:
(a) y = 1
2x2
; ∆x = 0, 001; x = 1;
(b) y = 5x2 − 6x ; ∆x = 0, 02; x = 0;
(c) y = 2x + 1
x − 1 ; ∆x = 0, 1; x = −1.
76. Calcular a diferencial das seguintes funções:
(a) y = (2x2 + x + 1)ex2 (b) y =
È
ln[tg(3x)] (c) y = 2sen(x) (d) x + 1
ex
Taxas de Variação
77. Um material arenoso está sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha cônica cuja altura é
sempre igual ao raio da base. Se dado instante o raio é 12 metros, use diferenciais para obter a variação
do raio que origina um aumento de 2 m3 no volume da pilha.
78. Um terreno, em desapropriação para reforma agrária, tem a forma de um quadrado. Estima-se que
cada um de seus lados mede 1200 m, como um erro máximo de 10 m. Usando diferencial, determinar o
possível erro no cálculo da área do terreno.
79. Um tanque em forma de cubo deve ter um revestimento externo com espessura de 1/4 cm de mate-
rial para um melhor isolamento térmico. Se o lado do tanque é de 2 m, usando diferencial, encontrar a
quantidade de revestimento necessária.
80. Uma pedra cai livremente num lago parado. Ondas circulares se espalham e o raio da região afetada
aumenta a uma taxa de 16 cm/s. Qual a taxa segundo a qual a região estará aumentando quando o raio
for de 4 cm?
81. Uma piscina está sendo drenada para a limpeza. Se o seu volume de água inicial era de 90.000 litros
e depois de um tempo t este volume diminui 2.500 t2 litros, determinar:
(a) tempo necessário para esvaziamento da piscina;
(b) taxa média de escoamento no intervalo [2, 5];
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 12
(c) taxade escoamento depois de 2 horas do início do processo.
82. Um tanque tem a forma de um cilindro reto de 5 m de raio de base e 10m de altura. No tempo t = 0,
a água começa a fluir no tanque à razão de 25 m3/h. Com que velocidade o nível da água sobe? Quanto
tempo levará para o tanque ficar cheio?
83. Um tanque cilíndrico aberto, deve ter um revestimento externo com 2cm de espessura. Se o raio interno
for 6m e a altura 10m, encontre, por diferenciais, a quantidade de material necessária para o revestimento.
84. Uma caixa de metal na forma de um cubo deve-se ter um volume inferior a 1000 cm3. Os seis lados são
feitos de metal, com espessura de 12cm. Se o custo do material for de R$ 0, 20 por centímetros cúbicos,
use diferencial para encontrar o custo aproximado do metal a ser usado na confecção da caixa.
85. Um reservatório de água tem 80m de comprimento e sua secção transversal é um trapézio isósceles
com lados iguais a 10m, uma base superior de 17m e uma base inferior de 5m. Quando a água tiver 5m
de profundidade, ache a taxa segundo qual estará escoando, se o nível de água estiver abaixando a uma
taxa de 0, 1 m/h.
86. Em um lago grande, um peixe predador alimenta-se de um peixe menor e a população de predadores
em qualquer época é uma função do número de peixes no lago, naquele período de tempo. Suponha que
quando há x peixes pequenos no lago, a população de predadores é y e y = 1
2
x2 + 80. Se a temporada de
pesca terminou t semanas atrás, x = 8t+90. A que taxa a população de peixe predador estará crescendo
9 semanas após o término da temporada da pesca?
Crescimento, Extremante, Inflexão e Esboço de Gráficos
87. Determinar os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes e decrescentes.
(a) y = x3 + 2x2 − 4x + 2
(b) y = x
2
x − 1
(c) y = t
2 + 9
(t − 3)2
(d) y = e−x
(e) y = ex(x2 − 2x)
(f) y = x
2
ex
(g) y = x4 + 4x
(h) y = x5 − 25
3
x3 + 20x − 2
(i) y = 5x3 − 3x5
(j) y = ln x
3− x
88. Encontre os pontos críticos das seguintes funções:
(a) f (x) = 5x2 + 4x
(b) f (t) = 2t3 + 3t + 6t + 4
(c) f (x) = xe2x
(d) f (s) = √3(s2 − s)
(e) f (t) = t + 1
t2 + t + 1
(f) s(t) = 2t3 + 3t2 + 6t + 4
(g) f (x) = x + sen(x)
(h) f (θ) = 5 + 6θ − 2θ3
89. Encontre os valores de mínimo e de máximo de f no intervalo dado.
(a) f (x) = 3x2 − 12x + 5, [0, 3]
(b) f (t) = t3 − 3t + 1, [0, 3]
(c) f (x) = 2t3 + 3t2 + 4, [−2, 1]
(d) f (s) = 3x5 − 5x3 − 1, [−2, 2]
(e) f (t) = t
t2 + 1
, [0, 2]
(f) s(t) = ln x
x
, [1, 3]
(g) f (x) = cos(x) + sen(x),
h
0,
π
3
i
(h) f (θ) = θe−θ, [0, 2]
90. Determine as constantes nas funções abaixo, de modo que:
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 13
(a) f (x) = axe−x2 tenha um máximo em x = 1√
2
;
(b) f (x) = x3 + ax2 + bx + c tenha pontos críticos em x = −2 e x = 3. Qual é o de máximo e qual é o de
mínimo?
91. Verifique se estão satisfeitas as hipóteses do Teorema de Rolle para as funções a seguir, nos intervalos
especificados. Ache, então, um valor de c em cada um desses intervalos para os quais f ′(c) = 0.
(a) f (x) = 4x3 − 9x , I1 =
•
−3
2
, 0
˜
, I2 =
•
0,
3
2
˜
e I3 =
•
−3
2
,
3
2
˜
.
(b) f (x) =
¨
x + 2 , x ≤ 2
4− x , x > 1 e I = [−2, 4]
92. Verifique se estão satisfeitas as hipóteses do Teorema de Lagrange para as funções a seguir, nos
intervalos I especificados. Em seguida, obtenha um c ∈ I que satisfaça a tese do teorema.
(a) f (x) = x2 + 2x − 1 e I = [0, 1];
(b) f (x) = 3√x2 e I = [0, 2];
(c) f (x) = x
2 + 4x
x − 1 e I = [2, 6]
93. Determine os pontos de inflexão e verifique, também, os intervalos os quais o gráfico delas tem
concavidade positiva ou negativa das funções da questão 87.
94. Determine as coordenadas dos pontos extremantes identificando-os, caso existam, de cada uma das
funções da questão 87, usando o teste da primeira e o da segunda derivada.
95. Determine (se existir) as assíntotas: horizontais, verticais ou oblíquas das funções a seguir:
(a) y = 3x + 1
(x + 2)(x − 3) (b) y =
x2
x − 3
96. Esboce o gráfico de cada uma das funções da questão 87, informando no plano cartesiano os pontos
determinados pelas intersecções com os eixos (quando for fácil), os pontos onde a função possui extremos
relativos e os pontos de inflexão. Utilize o software winplot 2 para conferir.
97. Esboce os gráficos das funções a seguir:
(a) y = −x2 + 4x + 2
(b) y = −x4 − x3 − 2x2
(c) y = 3x + 1
(x + 2)(x − 3)
(d) y = ln(x2 + 1)
(e) y = x
2
x − 3
98. Sabendo que f é definida e contínua em R e que o gráfico a seguir representa a derivada de f ,
determine para a função f :
(a) as abscissas dos pontos críticos;
(b) as abscissas dos pontos de máximo e mínimo locais;
(c) os intervalos de crescimento e decrescimento;
(d) os intervalos nos quais a função tem concavidade voltada
para cima e nos quais a função tem concavidade voltada
para baixo;
(e) as abscissas dos pontos de inflexão.
x
y
−2
0
2
4 6
2download em http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 14
99. Considere uma função duplamente derivável y = f (x) com as seguintes propriedades:
x y Derivadas
x < −1 y ′ > 0 y ′′ < 0
−1 0 y ′ > 0 y ′′ = 0
−1 < x < 0 y ′ > 0 y ′′ > 0
0 1 y ′ > 0 y ′′ = 0
0 < x < 2 y ′ > 0 y ′′ < 0
2 3 y ′ = 0 y ′′ < 0
x > 2 y ′ < 0 y ′′ < 0
(a) Informe, sem cálculos, quais são os extremantes relativos e os pontos de inflexão, caso existam.
(b) Esboce o gráfico da função com as informações dadas acima. Quando for possível, indique as
coordenadas.
100. Considere a função f (x) = 4x
x2 + 1
.
(a) Encontre os intervalos os quais a função é crescente e decrescente;
(b) Classifique os pontos críticos;
(c) Encontre os intervalos os quais a função tem concavidade voltada para cima e para baixo;
(d) Determine as coordenadas dos pontos de inflexão, caso existam;
(e) Determine as equações das assíntotas, caso existam;
(f) Esboce o gráfico da função, indicando os pontos determinados nos itens anteriores.
101. Determine, se possível, as raízes reais do polinômio f (x) = −2x4 + 4x3 + 3x2 + 6x + 9 e seus pontos
críticos. Faça o esboço do gráfico deste polinômio utilizando os dados acima.
102. Dada a função racional f (x) = 2x
2 − 8
x2 − x − 6 , determine o domínio, o conjunto imagem e as equações
das assíntotas horizontais e verticais. Esboce o gráfico de f .
Problemas de Otimização
103. Quadrados iguais são cortados de cada canto de um pedaço papelão medindo 8 centímetros de
largura por 15 centímetros de comprimento, e uma caixa sem tampa é construída virando os lados para
cima. Determine o comprimento x dos lados dos quadrados que devem cortados para a produção de uma
caixa de volume máximo.
104. Um galpão deve ser construído tendo uma área retangular
de 12.100m2. A prefeitura exige que exista um espaço livre de
25m na frente, 20m atrás e 12m em cada lado. Encontre as
dimensões do lote que tenha a área mínima na qual possa ser
construído este galpão. 25m
20m
1
2
m
1
2
m12.100m
2
x
y
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 15
105. [Construindo uma tubulação] Superpetroleiros descar-
regam petróleo, em atracadouros a 4 milhas da costa. A refi-
naria mais próxima está 9 milhas a leste do ponto da costa mais
próximo do atracadouro. Uma tubulação precisa ser construída
para conectar a refinaria ao atracadouro. Os dutos subaquáticos
custam R$300.000, 00 por milha e os terrestres, R$200.000, 00
por milha. Localize o ponto B para minimizar os custos da con-
strução.
Costa
A B Refinaria
Atracadouro
4 mi
9 mi
106. [Locação de uma estação bombeadora] Duas
cidades estão localizadas ao sul de um rio. Uma es-
tação bombeadora de água será instalada para servir
às duas cidades. A tubulação seguirá as retas que
ligam cadacidade à estação. Defina o ponto onde
a estação bombeadora deve ser instalada para mini-
mizar o custo da tubulação. Veja a figura:
P
B
A
2 mi
5 mi
10 mi
107. [Lançamento da água] Desprezando a resistência do ar, o jato d’água de uma mangueira de incêndio
satisfaz à equação
y = mx − 16(1 + m2)
�x
v
�2
,
em que m é a inclinação do bico, v é a velocidade do jato no bico em metros por segundos e y é a altura
em metros do jato a x metros do bico. Considere que v seja uma constante positiva. Calcule:
(a) o valor de x para a altura y do jato seja máxima para um valor fixo m;
(b) o valor de m para que o jato chegue ao chão a uma distância máxima do bico;
(c) o valor de m para o qual a água atingirá altura máxima num muro vertical a x metros do bico da
mangueira.
108. [Reação a medicamento] Em medicina é frequentemente aceito que a reação R a uma dose x de
uma droga é dada pela equação da forma R = Ax2(B − x), em que A e B são certas constantes positivas.
A sensibilidade de alguém a uma dose x é definida pela equação d
dx
R da reação com a respectiva dose.
Para que valor de x :
(a) a reação é máxima? (b) a sensibilidade é máxima?
109. Uma caixa fechada com base quadrada deve ter um volume de 2.000 cm3. O material da tampa e da
base deve custar R$3, 00 por centímetro quadrado e o material para os lados custa R$1, 50 por centímetro
quadrado. Queremos encontrar as dimensões da caixa cujo custo total do material seja mínimo.
110. Se uma lata fechada com volume 16π cm3 deve ter a forma de um cilindro circular reto, ache a altura
e o raio, se um mínimo de material deve ser usado em sua fabricação.
111. Um fabricante de caixas de papelão deseja fazer caixas abertas de pedaços quadrados de papelão
com 12 cm de lado. Para isso, ele pretende retirar quadrados iguais dos quatro cantos, dobrando, a seguir,
os lados.
(a) Se x cm for o comprimento dos quadrados a serem cortados, expresse o volume da caixa em cen-
tímetros cúbicos como função de x .
(b) Qual é o domínio da função?
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 16
(c) A função é contínua em seu domínio?
(d) Determine o comprimento do lado do quadrado para que a caixa tenha volume máximo.
112. Dois pontos A e B estão colocados em lados opostos a um rio cuja largura é de 3 km. A linha AB
é ortogonal ao rio. Um ponto C está na mesma direção que B, mas 2 km do rio abaixo. Uma companhia
telefônica deseja estender um cabo de A até C . Se o custo por quilômetro do cabo é 25% mais caro sob a
água do que em terra, como deve ser estendido o cabo, de forma que o custo seja o menor possível?
113. Um campo retangular à margem de uma rio deve ser cercado, com exceção do lado ao longo do
rio. Se o custo do material for de R$12, 00 por metro linear no lado paralelo ao rio e de R$8, 00 por metro
linear nos dois extremos, ache o campo de maior área possível que possa ser cercado com R$3.600, 00 de
material.
114. Ao planejar um restaurante, estima-se que se houver de 40 a 80 lugares, o lucro bruto diário será de
R$16, 00 por lugar. Se contudo, o número de assentos for acima de 80 lugares, o lucro bruto diário por lugar
decrescerá de R$0, 08 vezes o número de lugares acima de 80. Qual deverá ser o número de assentos
para que o lucro bruto diário seja máximo?
115. Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares, de dimensões a e b, com um lado comum a.
Se cada pasto deve medir 400m2 de área, determine as dimensões a e b, de forma que o comprimento da
cerca seja mínimo.
116. Encontre as dimensões do retângulo de menor perímetro cuja área é de 100 cm2.
117. Uma bola de neve esférica é formada de tal maneira que seu volume aumenta à razão de 8 cm3/min.
Como está variando o raio no instante em que a bola tem 4 cm de diâmetro?
118. Uma cerca de 8 m de altura corre paralela a um edifício a uma distância de 4 m desta. Qual é o
comprimento da menor escada que alcança o edifício quando inclinada sobre a cerca?
119. Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um triângulo com catetos 3 cm e 4 cm
se dois lados do retângulo estão sobre os catetos.
120. Um homem caminha ao longo de um caminho reto com velocidade 4 m/s. Uma lâmpada está
localizada no chão a 20 m da trajetória (distância ortogonal) e é mantida focalizada na direção do homem.
Qual a velocidade de rotação da lâmpada quando o homem está a 15 m do ponto do caminho mais próximo
da lâmpada?
121. O telescópio espacial Huble foi colocado em órbita em 24 de abril de 1990 pelo ônibus espacial
Discovery. Um modelo para a velocidade do ônibus durante essa missão, do lançamento em t = 0 até a
entrada em funcionamento do foguete auxiliar em t = 126s é dado por
v(t) = 0, 001302t3− 0, 09029t2 + 23, 61t − 3, 083 pés/s.
Usando esse modelo, estime os valores máximos e mínimo absoluto da aceleração do ônibus entre o
lançamento e a entrada do foguete auxiliar.
122. Um modelo para o índice de preço de alimento (o preço de uma cesta básica) entre 1984 e 1994 é
dado pela função
I (t) = 0, 00009045t5 + 0, 001438t4− 0, 06561t3 + 0, 4598t2 − 0, 6270t + 99, 33,
em que t é medido em anos desde a metade do ano de 1984; assim 0 ≤ t ≤ 10, e I (t) é medido 1987
em dólares e reduzido em uma escala tal que I (3) = 100. Estime os períodos nos quais a comida foi mais
barata e mais cara durante 1984-1994.
123. Um tanque de zinco na forma cilíndrica deve ser construído para a cultivo de peixes. Tal tanque deve
conter 8.000 litros de água e não precisará de tampa. Determine as medidas do tanque (a altura h e o raio
r do cilindro) para que a quantidade de zinco seja mínimo. DICA: Volume do cilindro V = πr2 · h, área da
superfície do cilindro menos a tampa S = 2πr · h + πr2.
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 17
124. Uma lata cilíndrica de estanho (sem tampa) tem volume de 5 cm3. Determine suas dimensões se a
quantidade de estanho para a fabricação da lata é mínima.
125. James mora numa ilha a 6 km da praia e sua namorada Jeane mora a 4 km praia acima. James pode
remar seu barco a 3 km por hora e pode andar a 5 km por hora na praia. Encontre o tempo mínimo gasto
por James para alcançar a casa de Jeane vindo de sua ilha.
126. A rapidez com que um boato se espalha em uma comunidade é proporcional ao produto do número de
pessoas que já ouviram o boato pelo número de pessoas que ainda não o ouviram. Mostre que a rapidez
é máxima no instante em que metade das pessoas ainda não ouviu o boato.
127. Uma certa árvore possui seu tronco na forma de um cilindro de raio 1m e altura 4m. Um certo fungo
alojou-se sobre a casca do tronco destruindo 5cm de profundidade. Qual a quantidade de material que
deve ser retirado?
128. Encontre as medidas de cada um dos lados do triângulo isósceles de maior área que pode ser inscrito
numa circunferência de raio 4 cm.
Resumo: Cálculo Diferencial e Integral
Definição
Sejam y = f (x) uma função e c ∈ R. Denomina-se INTEGRAL da função f (x), a função primitiva
F (x) + c , pois (F (x) + c)′ = f (x).
Propriedades
1. d
Z
f (x) dx = f (x) dx;
2.
Z
df (x) dx = f (x) + C ;
3.
Z
k · f (x) dx = k ·
Z
f (x) dx, k ∈ C;
4.
Z
[f (x) + g(x)] dx =
Z
f (x) dx+
Z
g(x) dx;
5.

Z
f (x) dx
‹′
= f (x).
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 18
Integrais imediatas
1.
Z
xn dx =
xn+1
n + 1
+ C , n ∈ R \ {−1};
2.
Z
1
x
dx = ln |x |+ C ;
3.
Z
sen(x) dx = − cos(x) + C ;
4.
Z
cos(x) dx = sen(x) + C ;
5.
Z
tg(x) dx = ln | sec(x)|+ C ;
6.
Z
cotg(x) dx = ln | sen(x)|+ C ;
7.
Z
sec(x) dx = ln | tg(x) + sec(x)|+ C ;
8.
Z
cossec(x) dx = ln | cotg(x)− cossec(x)|+ C ;
9.
Z
sec2 x dx = tg(x) + C ;
10.
Z
cossec2(x) dx = − cotg(x) + C ;
11.
Z
sec(x) · tg(x) dx = sec(x) + C ;
12.
Z
cossec(x) · cotg(x) dx = − cossec(x) + C ;
13.
Z
ax dx =
ax
ln a
+ C, a ∈ R∗+ \ {1};
14.
Z
ex dx = ex + C ;
15.
Z
dx√
1− x2 = arcsen x + C ;
16.
Z
dx√
b2 − a2x2 =
1
a
arcsen
�a
b
x
�
+ C ;
17.
Z
dx
1 + x2
= arctg(x) + C ;
18.
Z
dx
b2 + a2x2
=
1
ab
arctg
� a
b
x
�
+ C ;
19.
Z
dx
a2x2 ± b2 =
1
2ab
ln
�
�
�
�
ax ± b
ax ∓ b
�
�
�
�
+ C ;
20.
Z
dx√
a2x2 ± b2 =
1
a
ln
�
�
�
ax +
p
a2x2 ± b2
�
�
�
+ C ;
21.
Z
ln x dx = x(ln |x | − 1) + C .
22.
Z
dx
x
√
x2 − a2 =
1
a
arcsec
�x
a
�
+ C .
Métodos de integração
Por substituição;
Por partes: u · v
Z
v · du.
Integral de certas funções que contém um trinômio
1.
Z
dx
ax2 + bx + c
.
Z
dx
x2 + 5x + 4
=
Z
dx

x2 + 5x +
25
4
‹
+ 4− 25
4
=
Z
dx

x +
5
2
‹2
−

3
2
‹2
=
1
2 · 3
2
Z
ln
�
�
�
�
�
�
�
x +
5
2
− 3
2
x +
5
2
+
3
2
�
�
�
�
�
�
�
+ c =
1
3
ln
�
�
�
�
x + 1
x + 4
�
�
�
�
+ c
2.
Z
(mx + n) dx
ax2 + bx + c
;
Z
(2x + 3) dx
x2 + 5x + 4
u = x2 + 5x + 4 ⇒ du = 2x + 5 dx
Z
(2x + 5− 2) dx
x2 + 5x + 4
=
Z
du
u
− 2
Z
dx
x2 + 5x + 4
= ln |x2 + 5x + 4| − 2
3
ln
�
�
�
�
x + 1
x + 4
�
�
�
�
+ c
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 19
Integral de funções racionais
f (x) =
p(x)
q(x)
, q(x) 6= 0, ∀ x ,
em que p(x) e q(x) são dois polinômios.
Devemos observar as seguintes hipóteses:
1. Grau de p(x) < grau de q(x).
2. Grau de p(x) > grau de q(x).
Na primeira hipótese, decompomos p(x)
q(x)
em frações parciais, de acordo com a natureza das raízes do
polinômio q(x). Este pode apresentar raízes reais ou complexas, simples ou múltiplas. Os casos a seguir
ilustrarão estes quatro aspectos.
1.
Z
(2x − 1) dx
(x − 1)(x − 2)
Façamos
(2x − 1)
(x − 1)(x − 2) =
A
x − 1 +
B
x − 2
=
(A + B)x − 2A− B
(x − 1)(x − 2) ⇒
(
A + B = 2
−2A− B = −1 ⇒
(
A = −1
B = 3
Logo,
Z
(2x − 1) dx
(x − 1)(x − 2) = −
Z
dx
x − 1 + 3
Z
dx
x − 2
= ln
�
�
�
�
(x − 2)2
x − 1
�
�
�
�
+ c
2.
Z
dx
(x − 1)2(x − 2)
Façamos
1
(x − 1)2(x − 2) =
A
(x − 1)2 +
B
x − 1 +
C
x − 2
=
A(x − 2) + B(x2 − 3x + 2) + C (x2 − 2x + 1)
(x − 1)2(x − 2)
⇒
8
>
<
>
:
B + C = 0
A− 3B − 2C = 0
−2A+ 2B + C = 1
⇒
8
>
<
>
:
A = −1
B = −1
C = 1
Logo,
Z
dx
(x − 1)2(x − 2) = −
Z
dx
(x − 1)2 −
Z
dx
x − 1 +
Z
dx
x − 2
=
1
x − 1 ln
�
�
�
�
x − 2
x − 1
�
�
�
�
+ c
3.
Z
x dx
(x2 + 1)(x − 1)
Façamos
x
(x + 1)2(x − 1) =
Ax + B
x2 + 1
+
C
x + 1
=
(A + C )x2 + (B − A)x + C − B
(x2 + 1)(x − 1)
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 20
⇒
8
>
<
>
:
A+ C = 0
B − A = 1
C − B = 0
⇒
8
>
>
<
>
>
:
A = −1
2
B =
1
2
C =
1
2
Logo,
Z
x dx
(x2 + 1)(x − 1) = −
Z
x dx
2(x2 + 1)
+
Z
dx
2(x2 + 1)
+
Z
dx
2(x − 1)
=
1
2
arctg(x) + ln
�
�
�
�
�
4
r
(x − 1)2
x2 + 1
�
�
�
�
�
+ C
4.
Z
(x4 + 4x3 + 11x2 + 12x + 8) dx
(x2 + 2x + 3)(x + 1)
(x4 + 4x3 + 11x2 + 12x + 8) dx
(x2 + 2x + 3)(x + 1)
=
Ax + B
(x2 + 2x + 3)2
+
Cx + D
(x2 + 2x + 3
+
E
x + 1
= . . .
Na segunda hipótese, devemos dividir, inicialmente, p(x) por q(x) e efetuar o procedimento de cálculo
da integral.
5.
Z
(x5 + x4 − 8) dx
x3 − 4x =
Z
(x2 + x + 4) dx+
Z
(4x2 + 16x − 8) dx
x3 − 4x
= . . .
=
x3
3
+
x2
2
+ 4x + ln
�
�
�
�
x2(x − 2)5
(x + 2)3
�
�
�
�
+ c
Identidades trigonométricas importantes
1. sen2(x) = 1− cos(2x)
2
;
2. cos2(x) = 1 + cos(2x)
2
;
3. sen(x) · cos(x) = 1
2
sen 2x ;
4. sen(x) · cos(y) = 1
2
[sen(x − y) + sen(x + y)];
5. sen(x) · sen(y) = 1
2
[cos(x − y)− cos(x + y)];
6. cos(x) · cos(y) = 1
2
[cos(x − y) + cos(x + y)].
Funções hiperbólicas
1. senh(x) = e
x − e−x
2
= −i sen(iθ);
2. cosh(x) = e
x + e−x
2
= cos(iθ);
3. cosh2(x)− senh2(x) = 1;
4. senh2(x) = 1
2
(cosh(2x)− 1);
5. cosh2(x) = 1
2
(cosh(2x) + 1);
6. senh(x) · cosh(x) = 1
2
senh(2x).
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 21
Integral das Funções Hiperbólicas
1.
Z
senh(x) dx = cosh(x) + c ⇒ (cosh(x))′ = senh(x);
2.
Z
cosh(x) dx = senh(x) + c ⇒ (senh(x))′ = cosh(x);
Cálculo de Comprimento
Cartesianas ℓ =
Z b
a
È
1 + (f ′(x))2 dx;
Polares ℓ =
Z θ2
θ1
Ê
ρ2 +

dρ
dθ
‹2
dθ;
x = f1(t)
y = f2(t)
⇒
Z β
α
Ê

dx
dt
‹2
+

dy
dt
‹2
dt
Cálculo de Áreas
A =
Z b
a
f (x) dx
Z b
a
f (y) dy
; A =
1
2
Z β
α
ρ2dθ.
Cálculo do Volume
V = π
Z b
a
x2 dy V = π
Z b
a
y2 dx.
Integrais Indefinidas
129. Calcule a integral e, em seguida, derive as respostas para conferir os resultados.
(a)
Z
y3(2y2 − 3) dy
(b)
Z

2
x2
+
3
x3
+ 5
‹
dx
(c)
Z
2 cotg2(θ) − 3 tg2(θ)dθ
(d)
Z
ax4 + bx3 + 3c dx
(e)
Z
dx
sen2(x)
(f)
Z
cos(θ) tg(θ)dθ.
130. Calcule as seguintes integrais e, em seguida, derive para verificar sua resposta.
(a)
Z
2x7 dx
(b)
Z
dx
x3
(c)
Z
x
2
3 dx
(d)
Z
xpi dx
(n)
Z
sen(x)
cos2(x)
dx
(o)
Z
(4 cossec(x) · cotg(x) + 2 sec2(x)) dx
(p)
Z
sec2(x)[cos3(x) + 1] dx
(q)
Z
e
4x2 + 4
dx
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 22
(e)
Z
(3x4 − 5x3 + 4) dx
(f)
Z
1
4
x4 +
2
3
x3 − 12x2 + 8x − 1 dx
(g)
Z
6t2 3
√
tdt
(h)
Z
x4(5 − x2) dx
(i)
Z
√
x − 1√
x
‹
dx
(j)
Z

2
x3
+
3
x2
+ 5
‹
dx
(k)
Z
2
x
√
x
− x
3
√
x
2
dx
(l)
Z
y4 + 2y2 − 1√
y
dy
(m)
Z
(5 cos(x)− 4 sen(x)) dx
(r)
Z
(3 cossec2(t)− 5 sec(t) · tg(t)) dt
(s)
Z
dx
(ax)2 + a2
; a 6= 0.
(t)
Z 5
√
x2
x3
4
√
x dx
(u)
Z
1
sen2(x)
dx
(v)
Z
1
cos2(x)
dx
(w)
Z
1− cos2(x)
sen(x)
dx
(x)
Z
tg2(x)
sen(x)
dx
(z)
Z
cossec(x)
tg(x)
dx
131. Determine a função f (x), tal que
Z
f (x) dx = x3 +
1
3
· cos(2x) + C .
132. Determine a função f (x) tal que
Z
f (x) dx = x2 +
1
2
cos(2x) + c .
133. Encontre uma função f (x) tal que 1
2
f ′(x)− e2x = 0 e f (0) = 1.
134. Utilizando o método da substituição, calcule as seguintes integrais:
(a)
Z
x
5
√
x2 − 1 dx
(b)
Z
sen2(x) cos(x) dx
(c)
Z
tg(x) sec2(x) dx
(d)
Z
6x2 sen(x3) dx
(e)
Z
x2(x3 − 1)10 dx
(f)
Z
(x + sec2(3x)) dx
(g)
Z
arcsen(y)
2
p
1− y2 dy
(h)
Z
x2 + 2x√
x3 + 3x2 + 1
dx
(i)
Z
1
2
t cos(4t2) dt
(j)
Z
(tg(2x) + cotg(2x))2 dx
(k)
Z
(e2x + 2)5e2x dx
(l)
Z
sen(θ)dθ
[5− cos(θ)]3
(m)
Z
p
1− 4y dy
(n)
Z
x2(x3 − 1)10 dx
(o)
Z
6x2 sen(x3) dx
(p)
Z
r
1 +
1
3x
dx
x2
(q)
Z
(x3 − 2)1/7x2 dx
(r)
Z
p
x2 + 2x4 dx
(s)
Z
e1/x + 2
x2
dx
(t)
Z
xe3x
2
dx
(u)
Z
cos(x)
3− sen(x) dx
Integrais Definidas
135. Determine a soma de Riemann para a função no intervalo, usando a partição P dada e os valores de
ξi dados.
(a) f (x) = x2, 0 ≤ x ≤ 3; para P =
§
0,
1
2
,
5
4
,
9
4
, 3
ª
e ξ1 =
1
2
, ξ2 = 1, ξ3 =
3
2
, ξ4 =
5
2
.
(b) f (x) = 1
x
, 1 ≤ x ≤ 3; para P =
§
1,5
3
,
9
4
,
8
3
, 3
ª
; e ξ1 =
5
4
, ξ2 = 2, ξ3 =
5
2
, ξ4 =
11
4
.
(c) f (x) = x2 − x + 1, 0 ≤ x ≤ 1; para f1 = 0, 1, ξ2 = 0, 4, ξ3 = 0, 6, ξ4 = 0, 9.
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 23
136. Calcule as integrais definidas:
(a)
Z 5
2
3 dx
(b)
Z 2
−1
6 dx
(c)
Z 2
−2
√
5 dx
(d)
Z −2
5
2 dx
(e)
Z 4
1
(
√
2t + 3
√
t)dt
(f)
Z
pi
2
0
cos(x)
[1 + sen(x)]3
dx
(g)
Z 5
1
√
2t − 1dt
(h)
Z 1
0
xex
2−1 dx
137. Calcule as integrais definidas usando os seguintes resultados:
Z 2
−1
x2 dx = 3,
Z 2
−1
dx =
3
2
,
Z pi
0
sen(x) dx = 2,
Z 2
−1
x2 dx = 3,
Z pi
0
cos(x) dx = 0,
Z pi
0
sen2(x) dx =
π
2
.
(a)
Z 2
−1
(2x2 − 4x + 5) dx
(b)
Z 2
−1
�
2− 5x + x
2
2
�
dx
(c)
Z −1
2
(2x + 1)2 dx
(d)
Z −2
−1
(x − 1)(2x + 3) dx
(e)
Z pi
0
(2 sen(x) + 3 cos(x) + 1) dx
(f)
Z pi
0
(cos(x) + 4)2 dx
138. Encontre o valor médio das funções dadas abaixo, definidas em seus respectivos intervalos. Encontre,
também, o valor de x no qual ocorre o valor médio.
(a) f (x) = x2, [−1, 2], sabendo-se que
Z 2
−1
x2 dx = 3.
(b) f (x) = sen(x), [0,π], sabendo-se que
Z pi
0
sen(x) dx = 2.
139. Calcule as seguintes integrais:
(a)
Z 3
−1
4 dx
(b)
Z 2
0
(x3 + 3x − 1) dx
(c)
Z 3
0
(3x2 − 4x + 1) dx
(d)
Z 6
3
(x2 − 2x) dx
(e)
Z 5
−2
|x − 3| dx
(f)
Z
pi
8
0
sen(2x) dx
(g)
Z 2
1
1
x2
dx
(h)
Z −1
−2

1
x2
+ x
‹
dx
(i)
Z 1
−1
e2x dx
(j)
Z 4
1
(5x +
√
x) dx
(k)
Z 1
0
1
x + 1
dx
(l)
Z
pi
4
0
sec2 x dx
(m)
Z 2
1
(x − 2)5 dx
(n)
Z 1
0
3
√
5− x dx
(o)
Z 0
−1
x
√
x + 1 dx
(p)
Z 1
0
1
(x + 1)5
dx
(q)
Z 1
0
x2
1 + x3
dx
(r)
Z 1
0
x2
(1 + x3)2
dx
(s)
Z
pi
3
0
cos(2x) dx
140. Calcule a área S da figura plana limitada pela(s):
(a) reta y = 2x − 1, pelo eixo x e pelas retas x = 1 e x = 5
(b) curva y = 10 + x − x2, pelo eixo x e pelas retas x = −2 e x = 3;
(c) curvas y = x3 − 6x2 + 8x e y = x2 − 4x ;
(d) curvas y = x3 + 2x2 − 8x e y = x2 + 2x − 8;
(e) curvas y = 2− x2 e y3 = x2;
(f) curvas y = x2 − 6x + 9 e y = −x2 + 9;
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 24
(g) curva y = x3 e a primeira bissetriz.
(h) curvas y = 3x − 3
4
x2 e g(x) = 3− 3
4
x .
(i) curvas y = e−2x , y = x + 1, y = 0 e x = 1.
141. Encontre a área da região hachurada em cada caso.
(a) f (x) = 2
x
e g(x) = −x2 + 2x + 1; (b) f (x) = x3 e g(x) = 4x .
0
1
2
3
0 1 2 3 x
y
x
y
(c) f (x) = 2x − 1 e g(x) = −x ;
x
y
1
−1
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 25
Gabarito
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. lim
x→4
f (x) = 0. 8. 9. (a) 4; (b) −7; (c) 43 ; (d) − 15 ; (e) 75 ; (f) 25 ; (g) (h) (i) 32 ; (j) 35 ; (k) −3 (l) (m) (n) (o) 10..
(a) 12 ; (b) 13 ; (c) 43 ; (d) 16√3 ; (h)
−1
56 ; (i) − 13 ; (j) 112 ; (l) − 23√9 . 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 21. 22. 23. 24. (a) x = −3;
(b) x = −3; (c) x = −5 e x = −3. 25. (a) +∞; (b) 0; (c) −∞; (d) −5; (e) +∞; (f) 1; (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n) (o) 1/2; (p) 1/3. 26. (a)
y = 2; (b) y = 4. 27. (a) ; (b) (c) (d) (e) (f) . 28. (a) 20 unidades; (b) tende a produzir um número de 30 novas unidades. 29. (a) 24
unidades; (b) 600. 30. (a) 24 e 60 milhões; (b) 120 milhões. 32. (a) 32 ; (b) 107 ; (f) 0; (k) 0; (m) 1. 33. 34. 35. 36. 37. 39. 40.
41. (a) Descontínua no ponto x = −2; (b) Descontínua no conjunto {−3,−1, 1}; (c) Contínua em R; (d) Descontínua em x = 0. 46. 43.
6. 44. (a) p = 143 ; (b) p = 1; (c) p = 2. 45. 46. 47. É descontínuo, pois lim
x→2
E(x) 6= E(2). 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54.
55. (a) 8x3 − 6x + 5 (b) −3
2x2
+ 165
5√
x3 +
1√
x
(c) −27x8 + 30x4 + 4x3 (d) √3(3s2 − 2s) (e) 2t
8 + 6t7 − 18t6 − 20t5 + 30t4 + 30t3 − 30t2
(t5 − 5t)2 (f)
−x3 + 3x2
ex
+ ex
€
1
x3
− 3
x4
Š
(g) 2x sen(x) + x2 cos(x) − 1
x
+ tg(x) (h) cotg(θ)
[1− sen(θ)]2 [2 − 2 cossec(θ) + cos(θ)] 56. 57. 58. 59. 60. (a)
(3x5 − 1)9(−162x8 + 300x4 + 4x3); (b) (t
3 − 3t2)(9t7 − 9t5 − 95t3 + 15t)
(t5 − 5t)6 ; (c) 5; (d)
7x
7x2 − 8 ; (e) 2xe
x2 ; (f) −2 sen(2θ2 − 3θ + 1)(4θ − 3);
(g) 2 cos(θ)[3 cos2(θ) − 2]; (h) 0; (i) 1
x + 1
− 1; (j) 2 cotg(x); (k) 2x
x4 + 2x2 + 2
; (l) e
arcsen(θ)
p
1− θ2
. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 5. 67. (a)
(f−1)′(x) = 1
2
√
2x+6
; (b) (f−1)′(x) = − 17 ; (c) (f−1)′(x) = 14 4√x−1
3
. 68. Demonstração. 69. 70. (a) 1; (b) +∞; (c) 0; (d) 0; (e) 0; (f) 0. 129.
130. (a) x
8
4
+C ; (b) − 1
2x2
+C ; (c) 3
5
x
5
3 +C (d) 1
pi + 1
xpi+1 +C (e) 3 x
5
5 − 5 x
4
4
+ 4x +C ; (f) 1
20
x5 +
1
6
x4 − 4x3 + 4x2 − x + C (g) 9
5
t
10
3 +C ;
(h) x5− x
7
7
+C ; (i) 2
3
x
√
x−2√x +C ; (j)− 1
x2
− 3
x
+5x +C ; (k)− 4√
x
− 3x
2 3
√
x
14
+C (l) ( 2
9
y4 +
4
5
y2−2)√y +C ; (m) 5 sen(x)+4 cos(x)+C ;
(n) sec(x) + C ; (o) −4 cossec(x) + 2 tg(x) + C ; (p) sen(x) + tg(x) + C ; (q) e
4
arctg(x) + C ; (r) −3 cotg(t)− 5 sec(t) + C ; (s) 1
a2
· arctg(x) + C ;
(t) − 20
27x
27√
x7
+ C ; (u) − cotg(x) + C ; (v) tg(x) + C ; (w) − cos(x) + C . 131. f (x) = 2x2 − 23 sen(2x). 132. f (x) = − sen(2x) + 2x.
133. f (x) = e2x 134. (a) 5
8
(x2 − 1)4/5 + C ; (b) sen
3(x)
3
+ C ; (c) tg
2(x)
2
+ C ; (d) −2 cos3(x) + C ; (e) (x
3 − 1)11
33
+ C ; (f) 1
3
tg(3x) + C ; (g)
1
4
arcsen(y2) + C ; (h) 2
3
√
x3 + 3x2 + 1 + C ; (i) 1
16
sen(4t2) + C ; (j) 1
2
tg(2x) − cotg(2x) + C ; (k) 1
12
(e2x + 2)6 + C ; (l) −1
2(5− cos(θ))2 + C .
135. (a) 247
32
; (b) 1469
1320
; (c) 0, 835. 136. (a) 9; (b) 18; (c) 4√5; (d) −14. 137. (a) 15; (b) 0; (c) −21; (d) − 3
2
; (e) 4 + pi; (f) 33pi
2
. 138. (a)
1 e ±1; (b) 2
pi
e 0, 69. 139. (a) 16; (b) 8; (c) 12; (d) 36; (e) 29
2
; (f) 2−
√
2
4
; (g) 1
2
, (h) −1; (i) 1
2
(e2 − e−2); (j) 253
6
; (k) ln(2); (l) 1; (m) − 1
6
;
(n) 45
4
; (o) − 4
15
; (p) 15
64
; (q) 1
3
ln(2); (r) 1
6
; (s)
√
3
4
. 140. (a) 20. (b) 2456 . (c) (d) (i) 1 − 12e2 . 141. (a) 53 − ln(4). (b) 8 (c) log2(e) − 12 77.
4, 4209 milímetros. 78. 24.000m2 79. 0, 06m3. 80. 128pi cm2/s. 81. (a) 6s; (b) −17.500m3/s; (c) −10.000m3/s. 82. 1pim/h; 10pih. 83.
84. 85. 86. 87. (a) (−∞,−2] ∪ [2/3,∞) crescente; [−2, 2/3] decrescente; (b) (−∞, 0] ∪ [2, +∞) crescente; [0, 1) ∪ (1, 2] decrescente; (c)
(−∞,−3]∪(3,+∞) crescente; [−3, 3) decrescente; (d) (−∞,∞) decrescente; (e) (−∞,−√2]∪[√2,∞) crescente; [−√2,√2] decrescente;
(f) (−∞, 0]∪ [2, +∞) decrescente; [0, 2] crescente; (g) [−1,∞) crescente; (−∞,−1] decrescente; (h) (−∞,−2]∪ [−1, 1]∪ [2,∞) crescente;
[−2,−1] ∪ [1, 2] decrescente; (i) (−∞,−1] ∪ [1,∞) decrescente; [−1.1] crescente; (j) (−∞, 0[ crescente; ]3,∞) decrescente. 88. (a) (b)
(c) (d) (e) (f) (g) (h) 89. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) 90. (a) ∀ a ∈ R∗+, (b) a = − 32 , b = −18 e c ∈ R. xmax = −2 e xmin = 3. 91.
92. 93. (a) (−2/3; f (2/3)) PI; ] − 2/3, +∞) côncava para cima; (−∞,−2/3[ côncava para baixo; (b) (−∞, 1[ côncava para baixo; ]1, +∞)
côncava para cima; (c) (−6, f (−6)) PI; (−6, +∞) côncava para cima; (−∞,−6) côncava para baixo; (d) (−∞, +∞) côncava para cima; (e)
(−1−√3, f (−1−√3)) e (−1 +√3, f (−1 +√3)) PI; (−∞,−1−√3[∪]− 1 +√3,∞) côncava para cima; ]− 1−√3,−1 +√3[ côncava
para baixo; (f) (2 − √2, f (2 − √2)) e (2 + √2, f (2 + √2)) PI; (−∞, 2 − √2[∪]2 + √2,∞) côncava para cima; ]2 − √2, 2 + √2[ côncava
para baixo; (g) (−∞,∞) CVC; (h) (−
p
5
2 , f (−
p
5
2 )), (0, f (0)) e (
p
5
2 , f (
p
5
2 )) PI; (−∞,−
p
5
2 [∪]0,
p
5
2 [ CVB; ] −
p
5
2 , 0[∪]
p
5
2 ,∞)
CVC; (i) (−
√
22
, f (−
√
2
2
)), (0, f (0)) e (
√
2
2
, f (
√
2
2
)) PI; (−∞,−
√
2
2
[∪]0,
√
2
2
[ CVC; ] −
√
2
2
, 0[∪]
√
2
2
,∞) CVB; (j) (−∞, 0[∪]3,∞) CVC.
94. (a) (−2, 10) ponto de Máximo; (2/3, 14/27) ponto de Mínimo; (b) (0, 0) ponto de Máximo; (2, 4) ponto de Mínimo; (c) (−3, 1/2) ponto de
Mínimo; (d) 6 ∃; (e) (−√2, e−
√
2(2+2
√
2) ponto de Máximo; (+
√
2, e
√
2(2−2√2)) ponto de Mínimo; (f) (0, 0) ponto de Mínimo; (2, 4/e2) ponto
de Máximo; (g) (−1,−3) ponto de Mínimo; (h) (−2,−22/3) e (1, 22/3) pontos de Máximo; (−1,−44/3) e (2, 125/3) pontos de Mínimo; (i)
(−1,−2) ponto de Mínimo; (1, 2) ponto de Máximo; (j) 6 ∃ 95. 96. 97. 98. 99. 102. 103. x = 53 cm. 104. 88, 33 + 24× 150, 62 + 45. 105.
A 8
√
5
5 mi do ponto A. 106. A 7, 9 mi da perpendicular da cidade B . 107. (a) x =
v2m
32(1 + m2)
; (b) m = 1 (c) m = v
2
32x
. 108. (a) x = 23B ; (b)
x = 13B . 109. 10× 10× 20. 110. r = 2, h = 4. 111. (d) 8 cm. 112. diretamente de A a C . 113. 16.875 m2. 114. 140 lugares e R$1.568, 00
o lucro bruto diário. 115. a = 40
√
3
3
; b = 10
√
3. 119. 117. 118. 119. 120. 121. 122. 123. h = r = 203√pi . 124. h = r =
3
p
5
pi . 125.
126. 127.
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 26